Zweidimensionale Verteilungen

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2 Bblografsce Iformato der Deutsce Natoalbblotek De Deutsce Natoalbblotek verzecet dese Publkato der Deutsce Natoalbblografe; detallerte bblografsce Date sd m Iteret über <ttp://db.db.de> abrufbar. De Iformatoe desem Buc werde oe Rücksct auf ee evetuelle Patetscutz veröffetlct. Wareame werde oe Gewärlestug der free Verwedbarket beutzt. Be der Zusammestellug vo Texte ud Abblduge wurde mt größter Sorgfalt vorgegage. Trotzdem köe Feler ct ausgesclosse werde. Verlag, Herausgeber ud Autore köe für felerafte Agabe ud dere Folge weder ee urstsce Veratwortug oc rgedee Haftug übereme. Für Verbesserugsvorscläge ud Hwese auf Feler sd Verlag ud Herausgeber dakbar. Alle Recte vorbealte, auc de der fotomecasce Wedergabe ud der Specerug elektrosce Mede. De gewerblce Nutzug der desem Produkt gezegte Modelle ud Arbete st ct zulässg. Fast alle Produktbezecuge ud wetere Stcworte ud sostge Agabe, de desem Buc verwedet werde, sd als egetragee Marke gescützt. Da es ct möglc st, alle Fälle zeta zu ermttel, ob e Markescutz bestet, wrd das -Symbol desem Buc ct verwedet ISBN Prt; PDF 0 by Pearso Deutsclad GmbH Mart-Kollar-Straße 0, D-889 Müce/Germay Alle Recte vorbealte A part of Pearso plc worldwde Lektorat: Mart Mlbradt, Korrektorat: Dua Reule, Müce Umsclaggestaltug: Tomas Arlt, Ttelbld: fotola, Deutsclad Herstellug: Elsabet Prümm, Satz: le-tex publsg servces GmbH, Lepzg Druck ud Verarbetug: Drukara Dmograf, Belsko-Bała Prted Polad

3 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Hägt de Dauer der Arbetslosgket vom Ausbldugsstad ab, oder vom Alter ud vom Gesclect? Beeflusst de Wacstumsrate der Geldmege de Iflatosrate? Um wevel verrgert sc de Nacfrage, we Volkswage see Prese um 5% eröt? Solce ud älce Fragestelluge erforder de Utersucug vo Zusammeäge ud Abäggkete zwsce zwe oder merere Merkmale, de gemesam erobe werde müsse. I desem Kaptel wrd ausgefürt, we zwedmesoales Datemateral aufberetet ud dargestellt werde ka. Vor allem aber werde Verfare ud Maßzale vorgestellt, mt dee de Zusammeäge ud Abäggkete aufgedeckt ud gemesse werde köe. 3. Streudagramm ud gemesame Vertelug Jede statstsce Eet ω (,, ) eer Grudgesamtet Ω ka Träger eer Velzal vo Merkmale se. De uvarate Statstk beactet davo ur e Merkmal bzw. ur ee Varable, de multvarate Statstk beobactet vo edem Merkmalsträger ω merere Varable X ω ), X ( ω ),, X ( ω ) (3-) ( m ud aalysert de Bezeuge zwsce de Varable. Der efacste Fall eer merdmesoale Statstk st de zwedmesoale. Be r sd zwe Varable X ( ω ) ud Y ( ω ) vo Iteresse. Das Ergebs der Erebug sd Wertepaare (x, y ). Im Streudagramm werde Wertepaare (x, y ) : P (x, y ) : P (x 3, y 3 ) : P 3... (x, y ) : P

4 84 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge als Koordate vo Pukte P agesee ud e Koordatesystem egezecet: y y x x BILD 3. Pukte m Streudagramm De Kotgeztabelle oder Korrelatostabelle y y y y l x l x l x l x k k k k kl k sgesamt sgesamt l stellt de gemesame Vertelug der statstsce Varable X ud Y übersctlc dar. Be der Beadlug der edmesoale statstsce Varable wurde als Laufdex ud als Summatosdex verwedet, ud es kote sorgfältg zwsce bede uterscede werde. I der Kotgeztabelle der zwedmesoale statstsce Varable (X, Y) bezecet gleczetg de Summatosdex ud Laufdex vo X, wäred Summatos- ud Laufdex vo Y st. k bezecet de Azal der

5 3. Radverteluge 85 Dabe gee wr davo aus, dass de Merkmale ewels ur k respektve l Auspräguge aeme oder aeme köe. Ser oft werde aber auc be der Afertgug vo Kotgeztabelle Größeklasse gebldet. I der Tabelle bedeutet absh( X x Y y ), (3-) für,, k ud,, l, de absolute Häufgket, mt der de Wertekombato (x, y ), ud l bzw. k (3-3) de absolute Häufgket, mt der der Wert x bzw. y beobactet wurde. Es glt atürlc, dass de Summe der Zelesumme glec der Summe der Spaltesumme st: k l k l l k Natürlc köe Kotgeztabelle auc de relatve Häufgkete oder Prozetwerte agegebe se, was mest ascaulcer st. Für de relatve Häufgkete : / glt etspreced: k l k l l k.. 3. Radverteluge Natürlc ka ma auc be zwe- oder merdmesoalem Datemateral das Augemerk ur auf das ee oder adere Merkmal rcte ud de Zusammeäge zuäcst ubeactet lasse. Ma wrd da dese edmesoale Merkmale getret beadel ud mt de Verfare des vorge Kaptels auswerte. Bldlc gesproce bedeutet des, dass ma ur auf de Räder der Kotgeztabelle scaut ud das Iere der Matrx ct beactet. verscedee Auspräguge vo X ud l de vo Y, st de Azal der Beobactuge bzw. Merkmalsträger.

6 86 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Defto: De bede edmesoale Verteluge relh( X x ),,, k (3-4) bezeugswese ( Y y ),,, l (3-5) eße Radverteluge der statstsce Varable X bzw. Y. Betractet ma aber ur de Räder, get de wesetlce Iformato eer zwedmesoale Statstk, ämlc de über das gemesame Veralte der Merkmale ud dere Abäggket oder Uabäggket, leder verlore. Berecug vo Mttelwert ud Varaz De Radverteluge gebe de Vertelug eer Varable a, gaz uabägg davo, welce Wert de adere Varable gerade at. Mt der ewelge Radvertelug lasse sc Mttelwert ud emprsce Varaz für ede Varable ezel berece als k x x bezeugswese l y y (3-6) ud s X k ( x) bzw. sy x l y ( y). (3-7) Bespel [] Abstraktes Recebespel für ee zwedmesoale Häufgketsvertelug. De Kompoete X at de k 4 Merkmalsauspräguge x 30, x 40, x 3 50, x De Kompoete Y at de l 5 Merkmalsauspräguge y, y, y 3 4, y 4 5, y 5 8. De Azal der Merkmalsträger bzw. Wertepaare st 00. De gemesame Vertelug se gegebe durc de folgede Tabelle der absolute Häufgkete:

7 3. Radverteluge 87 X Y sgesamt sgesamt De relatve Häufgkete erält ma durc Dvso aller Werte durc 00: X Y I der letzte Spalte ud der uterste Zele erket ma de bede Radverteluge deser gemesame Vertelug, ud zwar de für X X ud de für de Kompoete Y Y Mttelwerte ud Varaze werde mt de Radverteluge berecet. Zuäcst für X

8 88 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 4 x x s X s X ( x x) 0. ( 30 47) 3 ( 40 47) ( 50 47) ( 60 47) 0. ( 7) 3 ( 7) 4 ( 3) ( 3) ud da für Y 5 y 8 y y Y s 4. ( 4. 44) s Y

9 3.3 Bedgte Verteluge ud statstsce Zusammeäge Bedgte Verteluge ud statstsce Zusammeäge Besoders teressert be eer zwedmesoale statstsce Varable de Vertelug der relatve Häufgkete über eer Varable, we (uter der Bedgug, dass) de adere auf eem bestmmte Wert festgealte wrd. Auf dese Wese erält ma ee wctge Eblck de Art des Zusammeags zwsce bede. Defto: De,, l edmesoale Verteluge relh( X x Y y ),,, k (3-8) y ud de,, k edmesoale Verteluge relh( Y y X x ),,, l (3-9) x eße bedgte Verteluge. De bedgte Verteluge lasse sc lect aus der Kotgeztabelle eteme; ma brauct ur de Zele oder Spalte der Tabelle durc de e etsprecede Wert der Radvertelug zu dvdere: y ud x Defto: Ist de gemesame Vertelug der statstsce Varable X ud Y glec dem Produkt der bede Radverteluge, (3-0) für,, k ud,, l, so eße X ud Y statstsc uabägg. Be uabägge statstsce Varable sd de bedgte Verteluge detsc ud ewels glec der Radvertelug. Es glt also für alle,, l bedgte Verteluge vo X y,,, k

10 90 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge ud für alle,, k bedgte Verteluge vo Y x,,, l. Bespel [] Für de gemesame Vertelug aus dem Zalebespel [] gbt es füf bedgte Verteluge vo X ud ee Radvertelug vo X: X Y Y Y 4 Y 5 Y Alle dese füf bedgte Verteluge sd verscede ud kee st glec der Radvertelug. De bede Kompoete X ud Y sd desalb er ct uabägg. Es gbt ver bedgte Verteluge vo Y ud ee Radvertelug vo Y: Y X X X X

11 3.3 Bedgte Verteluge ud statstsce Zusammeäge 9 Zusammefassede Maßzale De Elemete ω (,, ) eer statstsce Masse Ω vom Umfag sd ac zwe Merkmale utersuct ud de statstsce Varable x X ( ω ) ud y Y ( ω ) als Wertepaare erobe worde. Vo bede Varable see sowol Mttelwerte x ud y als auc de Varaze s X ud s Y berecet. Es glt für de Summe Z : X + Y : z x + y, (3-) das eßt, der Mttelwert eer Summe st glec der Summe der Mttelwerte. Etspreced st der Mttelwert eer Dfferez glec der Dfferez der Mttelwerte. Des glt oe Asee der gemesame Vertelug der bede Varable ud ebeso für statstsc uabägge we für statstsc abägge Varable. Bespel [3] Das deutsce Ekommesteuergesetz ket sebe Ekuftsarte. Vele Steuerpflctge erzele Eküfte aus zwe oder merere Ekuftsarte. See X de vo de Steuerpflctge erklärte Eküfte aus ctselbstädger Arbet, Y de aus Kaptalvermöge ud Z de Summe aus bede. Da glt scerlc für de Mttelwert der Summe z x + y. Aber we st es mt der Streuug? Für de Varaz der Summe Z X + Y eralte wr durc Awede der bomsce Formel s + X Y [( x + y ) ( x + s X [( x x) + ( y y)] y)] [( x x) + ( y y) + ( x x)( y y)] s + s + ( x x)( y y) + Y X Y (3-) ud etspreced für de Varaz der Dfferez s s + s ( x x)( y y) X Y X Y. (3-3)

12 9 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Nur für de Spezalfall, dass der letzte Term (3-) bzw. (3-3) verscwdet, wäre de Varaz eer Summe oder Dfferez glec der Summe der Ezelvaraze: falls ( x x)( y y) 0. X Y X Y s s + s, ± (3-4) Ob u deser Term, der de leare statstsce Zusammeag beder Varable wderspegelt, verscwdet oder ct, ägt vo der gemesame Vertelug vo X ud Y ab. 3.4 Kovaraz ud Korrelatoskoeffzet Defto: De aus de Wertepaare (x, y ) berecete Größe c XY : ( x x)( y y) (3-5) eßt emprsce Kovaraz oder kurz de Kovaraz zwsce de statstsce Varable X ud Y. De Kovaraz st cts weter als das artmetsce Mttel des Produkts der Abwecuge der ezele Beobactuge vo rem ewelge Mttel. Älc we be der Varaz gbt es auc be der Kovaraz ee verefacte Berecug. Statt de Abwecugsprodukte zu mttel, ka ma auc das Produkt der Werte selbst mttel c XY x y x y ud ascleßed das Produkt der bede Mttelwerte abzee. De Kurzscrebwese c XY xy x y (3-5a) drückt des prägat aus. Der Bewes st lect; ma brauct ur de Abwecugsprodukte (3-5) auszumultplzere ud de ver Summade getret zu mttel.

13 3.4 Kovaraz ud Korrelatoskoeffzet 93 y y y ( ) (+) y x x (+) ( ) x x BILD 3. Illustrato der Kovaraz Zur Illustrato der Kovaraz st BILD 3. e Hlfs-Koordatesystem egezecet, das durc de Scwerpukt ( x, y) der Puktewolke get. I desem Koordatesystem werde de Abwecuge der Beobactugswerte vo rem egee artmetsce Mttel gemesse. Desalb sd see Acse mt x x ud y y bezecet. De ezele Abwecugsprodukte ( x x)( y y) etsprece de Fläce der vo de ezele Pukte aufgespate Rectecke. Sd de Abwecuge groß, gbt es große, sd se kle, gbt es klee Rectecke. De Rectecksfläce m I. ud III. Quadrate etsprece postve Abwecugsprodukte. Im II. ud IV. Quadrate abe de Abwecuge verscedee Vorzece, was e egatves Produkt ergbt. Überwege de postve Abwecugsprodukte, blebt re Summe postv, überwege de Beobactugswerte m II. ud IV. Quadrate, wrd se egatv. Ee postve Kovaraz bescrebt somt ee gemesame Tedez der beobactete Werte x ud y : Relatv große Werte vo X gee m Durcsctt der Beobactuge mt relatv große Werte vo Y eer. Etspreced zegt ee egatve Kovaraz a, dass de Beobactugswerte m II. ud IV. Quadrate überwege, das eßt große Werte der ee Varable eer mt klee Werte der adere eergee. De Kovaraz ka ur für Wertepaare berecet werde oder was dasselbe st für zwe Varable, de ee gemesame Vertelug bestze. Uter Verwedug rer gemesame Vertelug erält de Defto de folgede Screbwese:

14 94 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge c XY k l : ( x x)( y y) (3-5b) Her wrd deutlc, dass edes de Beobactuge vorkommede Abwecugsprodukt mt seer relatve Häufgket gewctet berücksctgt wrd. Sd zwe Varable X ud Y statstsc uabägg, st de Kovaraz zwsce e Null. Ma beacte, dass deser Satz ct umkerbar st; aus der statstsce Uabäggket folgt zwar das Verscwde der Kovaraz, edoc legt keeswegs mmer Uabäggket vor, we de Kovaraz verscwdet. I der Tat msst de Kovaraz ur de leare Atel der statstsce Abäggket. Defto: Der Quotet r XY cxy : (3-6) s s X Y eßt (emprscer) Korrelatoskoeffzet zwsce X ud Y. Natürlc lässt sc deser Quotet ur da ausrece, we bede Stadardabwecuge m Neer größer als Null sd. Ege wctge Egescafte des Korrelatoskoeffzete see beactet:. Mt der Dvso durc de bede Stadardabwecuge erält ma e ormertes Maß für de Strege des leare statstsce Zusammeages. De e großer Zalewert der Kovaraz ka auc daer rüre, dass de Streuug der bede Kompoete für sc geomme sco groß st, obwol gar kee allzu große leare Abäggket zwsce e bestet. De Größe r XY at das glece Vorzece we de Kovaraz, legt aber stets zwsce ud +, das eßt r +. XY. Ee wetere Folge der Normerug st, dass der Korrelatoskoeffzet uverädert blebt, we ma ee oder bede Varable lear trasformert, das eßt de Maßstab ädert. Es st m egal, ob ma Dollar, Ye oder Euro recet. Um das zu zege, defere wr zwe eue Varable

15 3.4 Kovaraz ud Korrelatoskoeffzet 95 U : a + b X, mt b V a + b Y, mt b : als leare Trasformato vo X respektve Y ud berece de Korrelatoskoeffzete zwsce e. Wr eralte uter Berücksctgug der Receregel (-8) 0 0 r UV c b b c b b UV XY r, s s b s b s XY b b U V X Y dass sc der Korrelatoskoeffzet ct verädert, solage b ud b bede postv oder bede egatv sd. Aderfalls ädert sc ledglc das Vorzece vo r, was a ur plausbel st. 3. Vertausct ma de Varable X ud Y, ädert sc dadurc cts am Korrelatoskoeffzete, velmer st r XY r YX. Bede Merkmale werde der Korrelatosrecug symmetrsc beadelt, kees st gegeüber dem adere bevorzugt. Es wrd zwar ee statstsce Abäggket kostatert, oe festzulege, welce der bede de abäge oder de uabägge Varable st. Das st der Regressosrecug des folgede Kaptels aders. r XY 0.97 r XY 0.5 r XY 0.06 BILD 3.3 Puktewolke ud Korrelatoskoeffzete Bespel [4] Für de gemesame Vertelug aus dem Zalebespel [] erält ma für de Kovaraz XY 4 5 : ( x x )( y y c ) 4 5 über de Umweg der verefacte Berecug zuäcst x y x y

16 96 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 4 5 x y ud da c XY Der Korrelatoskoeffzet beträgt somt 4. 5 r 366, XY 9. 8 was ee scwace postve Korrelato bedeutet. Es st ser wctg zu betoe, dass Kovaraz ud Korrelatoskoeffzet ct zwged ee kausale Bezeug zwsce de Merkmale bedeute: Ledglc de gerade vorlegede Beobactuge zege ee statstsce Tedez, dese köte aber auc re zufällg se. Je streger de Korrelato allerdgs st, umso eer wrd ma geegt se, ee substatelle Zusammeag zu vermute, der aber durc teoretsce ud saclce Überleguge sowe durc wetere emprsce Forscuge gestützt werde müsste. Bravas-Pearso ud Spearma Der obe deferte Korrelatoskoeffzet wrd oft als BRAVAIS -PEARSON - Korrelatoskoeffzet oder PEARSON r bezecet. De es gbt oc ee adere, ämlc de Korrelatoskoeffzete ac SPEARMAN 3 oder Ragkorrelatoskoeffzete. AUGUSTE BRAVAIS, 8 863) frazösscer Pysker, Professor a der École Polytecque, Pars, berümt durc de Etdeckug der Gtterstruktur der Krstalle (Bravas-Gtter). Warscelc at er de Korrelatoskoeffzete erfude. KARL PEARSON, , eglscer Matematker ud Atropologe am Uversty College, Lodo. Er st eer der Begrüder der modere Statstk. Außerdem war er oc Rectsawalt, Poet ud radkaler Poltker, aber ct verwadt ud ct verscwägert mt dem Verlag, dem deses Lerbuc erscet. 3 CHARLES EDWARD SPEARMAN, , eglscer Psycologe ud we PEARSON Professor am Uversty College, Lodo. Er scuf de Asätze zur obektve Messug vo Itellgez ud adere mesclce Fägkete.

17 3.4 Kovaraz ud Korrelatoskoeffzet 97 Ma verwedet be ordal skalerte Merkmale. Er st cts aderes als der Korrelatoskoeffzet zwsce de Ragplätze der Beobactuge Sp XY r : r. (3-7) rg( X), rg( Y) De Formel zur Berecug deses Koeffzete st m Przp de glece, mt dem Utersced, dass ct mt de gemessee Varablewerte (x, y ) selbst, soder mt re Ragplätze [rg(x ), rg(y )] gerecet wrd. De Ragplätze sd de Idzes, acdem de Beobactugswerte der Größe ac sortert worde sd. Es spelt dabe kee Rolle, ob ma dem größte oder dem kleste Wert de Ragplatz zuwest. Trete dabe zwe oder merere glec große Werte auf, so ummerert ma zuäcst efac durc, ordet aber da de glece Werte das artmetsce Mttel rer Ragplätze zu. Bespel [5] De folgede Tabelle zegt de Ergebsse der Abturprüfuge vo ze Scüler de Fäcer Deutsc (Merkmal D) ud Gesccte (Merkmal G). De maxmal errecbare Puktzal beträgt ewels 5. Scüler Deutsc D Gesccte G rg(d) rg(g) () (3) (3) (6) 9 4 (4) 6.5 (7) 8 4 (5) Sd de Note korrelert? Gee gute Lestuge Deutsc mt gute Gescctsketsse eer? Zuerst werde für ede Scüler edem der bede Fäcer de Ragplätze bestmmt. Dazu orde wr de Scüler ac de vo e erzelte Ergebsse de Fäcer a. Scüler mt glecem Ergebs wrd das artmetsce Mttel derege Ragplätze zugeordet, de se be wllkürlcer Aordug eralte ätte (sd Klammer ewels agegebe). So ka es zu Ragplätze.5 oder 6.5 komme. Da berece wr Varaze, Stadardabwecuge ud de Kovaraz der Ragplätze ud eralte mt Sp DG r ee rect postve Korrelato, was zu erwarte war.

18 98 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Ma wrd m Ezelfall auc da leber de Ragkorrelato berece, we ma der Qualtät der Skala ees oder beder Merkmale ct rect traut, also ct weß, ob se abstadstreu st. Be Examesote etwa werde de meste zustmme, dass ee wol besser st als ee, aber ob de Dfferez zwsce der ud der geau so vel bedeutet we de zwsce der ud der 3, st fraglc. Wäred der BRAVAIS-PEARSON-Korrelatoskoeffzet de leare statstsce Zusammeag agbt, msst der SPEARMANsce Ragkorrelatoskoeffzet ur de mootoe Atel des statstsce Zusammeags der bede Varable. Streg mootoe Trasformatoe der bede Varable veräder ct, de se lasse de Ragplätze uverädert. De leare Trasformatoe geöre atürlc zu de mootoe Trasformatoe, aber auc etwa das Logartmere wäre ee mootoe Trasformato. Auc er ädert der Korrelatoskoeffzet allefalls das Vorzece, ämlc geau da, we de ee Trasformato streg mooto falled war ud de adere steged. 3.5 Kotgezkoeffzet De Berecug ud svolle Iterpretato der Kovaraz ud des Korrelatoskoeffzete setzt voraus, dass de statstsce Varable ee metrsce Messbarket abe. Für de Ragkorrelatoskoeffzete rect ee ordale Messbarket aus, aber we msst ma de statstsce Zusammeag, we ur omalskalerte Merkmale vorlege? Ausgagspukt für de Überleguge st der Begrff der statstsce Uabäggket. Nac der Defto (3-0) würde zwe Kompoete X ud Y als statstsc uabägg bezecet werde, we sc re gemesame Vertelug aus dem Produkt der bede Radverteluge (3-8) für,, k ud,, l berece leße. I absolute Häufgkete ausgedrückt würde das Uabäggketskrterum E : (3-9) laute. Dabe st zu beacte, dass de Zale E ebe ypotetsce Werte sd, de auc keeswegs gazzalg zu se brauce. Um das Ausmaß der Abäggket zu quatfzere, wrd ma auf de Abwecuge E scaue. Im Allgemee aber sd emprsce gemesame Verteluge ct u-

19 3.5 Kotgezkoeffzet 99 abägg, soder es gbt mer oder weger große Abwecuge. Je stärker de tatsäclce Häufgkete vo de ypotetsce abwece, umso größer wrd der statstsce Zusammeag se. Um ee Maßzal zu gewe, quadrert ma de Abwecuge, telt se durc de ypotetsce Wert ud summert über alle Felder der Kotgeztabelle auf. Defto: De Summe der relatve quadratsce Abwecuge QK k l ( E ) : (3-0) E eßt quadratsce Kotgez oder C-Quadrat-Koeffzet. De quadratsce Kotgez wäre m Falle vollkommeer Uabäggket atürlc Null, alle adere Fälle postv, ud se ka, we Abäggket vorlegt, für große ser groß werde. Darum st se als Zusammeagsmaß ct rect geeget. Ma würde e ormertes Maß vorzee. Der Kotgezkoeffzet ac PEARSON K : QK QK + st ebefalls Null, we de quadratsce Kotgez Null st. Für großes QK wrd auc K größer, errect de Wert Es aber ct gaz, soder maxmal de Wert K max 0 K K max m <, m der vo der Größe der Kotgeztabelle abägt, das eßt vo rer Zelezal k ud Spaltezal l, wobe m de kleere vo bede st. Uter Berücksctgug deses Sacveralts korrgert ma de Kotgezkoeffzete eem zwete Normerugsscrtt. Defto: De Größe QK m K : K (3-) K ( QK + )( m ) max eßt korrgerter Kotgezkoeffzet. Es st u 0 K, ud ma ka damt auc de Stärke des Zusammeags vo verscedee Kotgeztabelle eer verglece als mt K. (Vgl. dazu Aufgabe 3.8)

20 00 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Bespel [6] Strebe mälce ud weblce Jugedlce Deutsclad de glece Berufe? De folgede Kotgeztabelle zegt de gemesame Häufgkete der bede Merkmale Gesclect ud Ausbldugsberec Deutsclad m Jar 005 ( Taused Persoe): TABELLE 3.a Azubs Deutsclad Ausbldugsberec mälc weblc gesamt Idustre ud Hadel Hadwerk öffetlcer Dest Quelle: Deutsclad Zale 007, Isttut der deutsce Wrtscaft Wäre de Berufswal uabägg vom Gesclect, müsste de gemesame Vertelug ac (3-9) etwa so aussee: TABELLE 3.b Vertelug der Azubs be Uabäggket Ausbldugsberec mälc weblc gesamt Idustre ud Hadel Hadwerk öffetlcer Dest Mt Hlfe der folgede Arbetstabelle berece wr zuerst de quadratsce Kotgez: E ( E E ) QK 53.89

21 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 0 Der korrgerte Kotgezkoeffzet K ( ) ( ) 0.75 zegt, dass de Berufswal auc eute durcaus ct uabägg vom Gesclect st. Im Jare 999 betrug er oc Der Kotgezkoeffzet ka atürlc auc für ordale ud sogar metrsce Merkmale berecet ud svoll terpretert werde. Jedoc st zu beacte, dass er ur agbt, we stark der Zusammeag st, aber cts über de Rctug des Zusammeags aussagt, we es etwa der Korrelatoskoeffzet tut. Ma ka aufgrud ees große Koeffzete K ebe ct sage, dass große Werte der ee Varable tedezell mt große Werte der adere eergee. Das legt dara, dass ebe be der Berecug der QK ur das Nomalskaleveau beactet wrd. Größe ud Abstäde der Merkmalswerte werde ct berücksctgt, se komme de Formel gar ct vor. Auc belebge Umstelluge vo Spalte oder Zele der Kotgeztabelle veräder cts a de Kotgezmaße. Bespel [7] De folgede Verteluge abe alle de glece korrgerte Kotgezkoeffzete, aber verscedee Korrelatoskoeffzete: Y Y Y X 5 8 X 0 8 X r K r K r K Der korrgerte Kotgezkoeffzet eer Vertelug st geau da Es, we eder Zele öcstes ee Spalte ud eder Spalte öcstes ee Zele mt Häufgkete besetzt st ud somt vollkommee Abäggket bestet. Kotrollfrage Was st der Utersced zwsce uvarater ud multvarater Statstk? Überlege Se sc e Bespel der bvarate Statstk! Welce Aufbau ud welce Fukto abe Kotgeztabelle? Gbt es auc Kotgeztabelle für mer als zwe Merkmale?

22 0 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 3 We vele Radverteluge at ee 3-dmesoale statstsce Vertelug? 4 Wa st de Varaz eer Summe kleer als de Summe der Varaze? 5 Was st statstsce Uabäggket? I welcem Zusammeag stet erbe de Kovaraz? 6 Was sagt der Korrelatoskoeffzet aus? Bedeutet e emprscer Korrelatoskoeffzet vo 0, dass es kee saclce Zusammeag zwsce de betractete Merkmale gbt? 7 Was st ee Ragkorrelato? Womt msst ma se? 8 Warum st de quadratsce Kotgez ct vo de Varablewerte abägg? ERGÄNZENDE LITERATUR Evertt, B. S.: Te Aalyss of Cotgecy Tables,. Auflage, Boca-Rato: Capma & Hall, 000 Farmer, L.; Küstler, R.; Pgeot, I.; Tutz, G.: Statstk: Der Weg zur Dateaalyse, 7. Aufl., Berl, Hedelberg, New York: Sprger, 009, Kaptel 3 Hartug, J.; Elpelt, B.: Multvarate Statstk, 7. Auflage, Müce, We: Oldebourg, 007 Kedall, M. G.; Gbbos J. D.: Rak correlato metods, 5. Auflage, New York: Oxford Uversty Press, 990 Kotz, S.; Drouet, M. D.: Correlato ad Depedece, Lodo: Imperal College Press, 00 PRAXIS Zalt sc e Studum aus? Häufg st de Frage gestellt worde, ob sc e Studum überaupt lot. Wrd ma m spätere Lebe e öeres Ekomme erzele, we ma besser ausgebldet st, ee Master oder gar ee Doktorttel at? Um de Frage zu kläre, werde de Erebuge der Ekommes- ud Verbraucsstcprobe (EVS) eragezoge. De EVS wrd vom STATISTISCHEN BUNDESAMT der Regel alle füf Jare erstellt ud erfasst 0.% aller prvate Hausalte Deutsclad. Aus de Date vo 993 errece wr de absolute Häufgketsvertelug des ärlce Bruttoekommes des Hauptekommesbezeers vo 4 78 Hausalte Abäggket vom Ausbldugsabscluss ud eralte:

23 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 03 TABELLE 3. Vertelug des Bruttoekommes, absolute Häufgkete Bruttoekomme Tsd EUR Berufsfacscule Mester/ Tecker FH U Σ bs über Σ Bedgte Verteluge % ud Maßzale Euro Bruttoekomme Tsd EUR Berufsfacscule Mester/ Tecker FH U alle bs über Σ artm. Mttel Stadardabwecug Meda Quartl %-Quatl We wr see, ka ma auc mt gergem formale Ausbldugsabscluss oe Ekomme erzele ud umgekert. Zur Beatwortug der Frage ac der statstsce Abäggket oder Uabäggket vo dvdueller Ausbldug ud Ekomme scaue wr auf de bedgte Verteluge, aber auc auf de durcscttlce Ekomme ud de Medaekomme. De Durcscttsekomme sd größer als de Medae, de Verteluge sd also rectsscef, was typsc st für Ekommesverteluge. Der Kotgezkoeffzet K beträgt 0.8.

24 04 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Fazt: Es st also ee deutlce Abäggket der Bruttoekomme vom Ausbldugsveau erkebar. Glecwol sd de absolute Ekommesuterscede weg dramatsc, auc verglce mt de Stadardabwecuge eralb eer Gruppe. Außerdem wrd durc de progressve Ekommesteuertarf, de Sozalgesetzgebug ud de öffetlce Lestuge ee wetere Nvellerug der Nettoekomme errect. Um de egags gestellte Frage zu beatworte, wäre oc de Koste ees Studums zu bedeke, de Alteratvkoste des etgagee Ekommes be eer adere Betätgug, aber auc wetere, sc ct Geldekomme ausdrückede Erträge. AUFGABEN 3. Zwllgsforscug. Der bekate Psycologe A. Sker msst de Itellgezquotete IQ vo sebe eege Zwllge, de ac der Geburt voeader getret worde ware. I der folgede Tabelle stee der erste Zele (X) de IQs der m Elteraus aufgewacsee, der zwete Zele (Y) de der be Pflegeelter aufgewacsee Testpersoe. Utereader stee ewels de IQs ees Zwllgspaares: X : Y : Utersuce Se de Zusammeag deser Statstk a) dem Se de möglce statstsce Zusammeag geeget grapsc darstelle ud erläuter ud b) de Zusammeag recersc ermttel ud terpretere. 3. Berece Se für de statstsce Ree Aufgabe.0 de Kovaraze ud Korrelatoskoeffzete a) c XY, c YZ b) c ZU, c VT, c UV c) r UW, r ZU, r VT 3.3 Gegebe st de statstsce Ree X. Se at de Mttelwert 40 ud de Varaz 8. De statstsce Ree Y errecet sc aus X, dem ma edes Elemet der Ree X mt dem kostate Faktor b > 0 multplzert, also y : b x für,,. a) Berece Se de Kovaraz zwsce X ud Y ud de Korrelatoskoeffzete. b) Welce Wert at r XY, we der Faktor b egatv st?

25 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge Refa. Gee Se vo dem Sacveralt ud dem statstsce Materal der Aufgabe.9 aus. a) Zece Se e sorgfältges Streudagramm. Berece Se de Korrelatoskoeffzete. b) Welcer der folgede Aussage () De Korrelato zwsce de Arbetszete für de. ud. Arbetsgag st postv () De Korrelato st stark egatv (3) De Korrelato st scwac egatv (4) Es gbt kee leare statstsce Zusammeag würde Se zustmme? c) Versuce Se, das statstsce Ergebs der Erebug bezüglc Gesccklcket ud Sorgfalt verbal zu terpretere. 3.5 Erwerbstätge. I der amtlce Statstk fde Se folgede Vertelug der Erwerbstätge Deutsclad für Aprl 005 ( 000 Persoe): Altersgruppe vo... bs uter > 65 Selbstädge ud mtelfede Famleageörge abägg Bescäftgte Quelle: Statstsces Jarbuc 006 a) Was sd de statstsce Eete, Grudgesamtete ud Merkmale? b) Zece Se e Hstogramm der Radvertelug ud der bede bedgte Verteluge des Merkmals Alter. c) Zece Se bede bedgte Vertelugsfuktoe e Koordatesystem. Gebe Se de bedgte Medae a. d) Berece Se de bede bedgte Mttelwerte. e) Müsse de Selbstädge läger arbete? Welcer Atel der Selbstädge ud welcer Atel der Uselbstädge st 55 Jare ud älter? Welcer Atel der über 65-ärge Erwerbstätge st selbstädg? Ka ma aus dese Date de durcscttlce Lebesarbetszet berece? Hwes: Gee Se vo der Aame eer glecmäßge Vertelug eralb der Altersgruppe aus.

26 06 KAPITEL 3 Zwedmesoale Verteluge 3.6 Der Verscebugssatz für de emprsce Kovaraz lautet: c XY ( x a)( y b) ( x a) ( y b), wobe a ud b kostate Größe sd. Bewese Se dese Satz. 3.7 Mact es S, mt de Date aus Aufgabe.8 ee statstsce Zusammeag Gestalt ees Korrelatoskoeffzete zu berece? (Begrüdug) 3.8 Cramérs V. Mace Statstker bevorzuge de ormerte Kotgezkoeffzete ac CRAMÉR. Er dvdert glec de quadratsce Kotgez QK QK max ( m ) durc re ewels maxmal möglce Wert. Deser errecet sc ur aus ud m, dem Mmum aus Zelezal k ud Spaltezal l der Kotgeztabelle. Ma defert also QK QK V :. QK ( m ) max Natürlc legt auc V zwsce Null ud Es. a) Berece Se mt de Zale aus Bespel [6] CRAMÉRs V. b) Ist CRAMÉRs V edem Falle kleer als PEARSONs K*? LÖSUNGEN 3. b) a) 0; 0 b) 0; 0; c) ; ; a) 8b; b) 3.4 a) ; c) 45.7; d) 46.7; e) 3.8%;.3% 5.6% 3.8 a) 0.984

27 Copyrgt Date, Texte, Desg ud Grafke deses ebooks, sowe de evetuell agebotee ebook-zusatzdate sd ureberrectlc gescützt. Deses ebook stelle wr ledglc als persölce Ezelplatz-Lzez zur Verfügug! Jede adere Verwedug deses ebooks oder zugeörger Materale ud Iformatoe, escleßlc der Reprodukto, der Wetergabe, des Wetervertrebs, der Platzerug m Iteret, Itraets, Extraets, der Veräderug, des Weterverkaufs ud der Veröffetlcug bedarf der scrftlce Geemgug des Verlags. Isbesodere st de Etferug oder Äderug des vom Verlag vergebee Passwortscutzes ausdrücklc utersagt! Be Frage zu desem Tema wede Se sc btte a: Zusatzdate Möglcerwese legt dem gedruckte Buc ee CD-ROM mt Zusatzdate be. De Zurverfügugstellug deser Date auf usere Webstes st ee frewllge Lestug des Verlags. Der Rectsweg st ausgesclosse. Hwes Deses ud vele wetere ebooks köe Se rud um de Ur ud legal auf userer Webste eruterlade: ttp://ebooks.pearso.de

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