"Asset Liability Management und Produktdesign in der deutschen Lebensversicherung"

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1 "Asset Liability Maagemet ud Produktdesig i der deutsche Lebesversicherug" Michael Paeberg, Volker Stieglitz Germay Zusammefassug Die Arbeit liefert Atworte auf die Frage, welche Auswirkuge die Wahl der strategische Asset Allocatio im Rahme des Asset Liability Maagemets auf die Produktgestaltug deutscher Lebesversicheruge hat. Dabei werde ei bewusst eifaches Kapitalalagemodell sowie ei vereifachtes Sparplamodell etwickelt, die auch für Nicht- Aktuare verstädlich sid ud deoch die wesetliche Auswirkuge qualitativ ud quatitativ verdeutliche, ud auf wesetliche Elemete der Produktgestaltug agewedet. Isbesodere werde Argumete für die These vorgebracht, dass die Abbildug der Chace ud Risike der Kapitalalage ei gaz wesetlicher aber häufig verachlässigter Aspekt der Ausgestaltug der Gewibeteiligug als "Natürliche Gewibeteiligug ist.

2 "Asset Liability Maagemet ad Product Desig i Germa Life Assurace" Michael Paeberg, Volker Stieglitz Germay Syopsis Which impact does the choice of a defied strategic asset allocatio i the cotext of a Asset Liability Maagemet have o the desig of life assurace products? The paper gives some aswers to this questio for germa with - profit life assurace products. It uses a elemetary Markowitz-type portfolio model for the assets ad a simplified savigs pla model for the liabilities. Because of their simplicity, the models may be discussed without ay effort with o-actuaries ad evertheless demostrate the basic effects i a qualitatively ad quatitatively appropriate way. I particular, it is argued that icorporatig the promises ad risks of the assets i product desig is a importat but ofte eglected task i the costructio of a "atural profit sharig system. 2

3 Asset Liability Maagemet ud Produktdesig i der deutsche Lebesversicherug Dr. Michael Paeberg, Dr. Volker Stieglitz. Eileitug. Historische Niedrigzise ud volatile Aktie Der Kapitalmarkt ist i de letzte Jahre aus Alegersicht der deutsche Lebesversicherer vor allem durch zwei Effekte charakterisiert: Die Zise vo festverzisliche Wertpapiere, Hypotheke ud Darlehe befide sich auf historisch iedrigem Niveau. Aktie ud verwadte Alageforme brachte hohe Erträge bei hoher, teilweise och steigeder Volatilität. Als Folge dieser Etwicklug sike derzeit die vo Lebesversicherer erzielte ordetliche Erträge aus Ziszahluge (laufede Durchschittsverzisug, korrigiert um die aus Spezialfods ausgeschüttete außerordetliche Erträge) auf Werte, die deutlich uterhalb desse liege, was Kude erwarte ud der Wettbewerb, auch mit adere Alageforme, fordert. Als Kosequez erhöhte viele Uterehme i de letzte Jahre die Quote a Aktie ud verwadte Alageforme, sei es i der Direktalage, sei es i Spezialfods. Dies führte zu eier Kapitalalagepolitik, die sich für eiige Uterehme lagsam, für mache Uterehme fast abrupt auf jede Fall aber stetig ud kosequet vo der koservative Liie vergageer Jahre abwedet ud die aufsichtsrechtlich maximal zulässige Quote reditestarker aber sehr volatiler Alage, vor allem Aktie ud Fods, tedetiell ausschöpft. Die stärker is allgemeie Bewusstsei gerückte Ertragsmöglichkeite, aber auch Risike vo Aktie ud verwadte Alageforme führe gleichzeitig zu Gestaltugsforme der Altersvorsorge, die diese Chace bei agestrebter Kotrolle der Risike stärker ütze wolle als bisher (Pesiosfods, Altersvorsorgesodervermöge)..2 Asset Liability Maagemet i der Lebesversicherug Diese Etwicklug blieb icht ohe Folge. Die Schere zwische ordetliche Erträge aus Ziszahluge ud der durch verstärkte Realisierug außerordetlicher Erträge auf hohem Niveau gehaltee Nettoverzisug klafft immer weiter auseiader. Um trotz volatiler Aktiemärkte die Nettoverzisug i eier Höhe halte zu köe, die icht zur Absekug der Gewibeteiligug zwigt, sid hohe Bewertugsreserve ud dere agemessee Steuerug uter Berücksichtigug der Erforderisse der versicherugstechische Verpflichtuge zwiged erforderlich. Wie auf dem amerikaische Markt als Atwort auf kapitalmarktbedigte Uterehmeszusammebrüche ud auf dem britische Markt als Atwort auf die Etwicklug fodsgebudeer Versicheruge mit Kapitalgaratie steigt auch auf dem deutsche Markt das Iteresse a Methode des Asset Liability Maagemets, getriggert primär durch die steigede Abhägigkeit der Nettoverzisug vo außerordetliche Erträge ud sekudär durch die Publikatiospflichte vo große Teile der Bewertugsreserve auch i der HGB-Bilaz ud verstärkte Aforderuge a das 3

4 Risikomaagemet z.b. durch KoTraG ud de deutsche Rechugslegugs - Stadard DRS 5-20 ([DRS]). Methode eier die Kapitalalage ud die versicherugstechische Verpflichtuge simulta berücksichtigede Uterehmessteuerug ud dere Umsetzug i ei DV- System werde viel diskutiert, sid aber vo eiem marktbreite Eisatz ud Verstädis ud vor allem vo der Umsetzug der Ergebisse och relativ weit etfert. Eifache, weiger aufwädig umzusetzede aber wirkugsvolle Asätze wie ei Stress Test (z.b. der GDV Stress Test vom Dezember 999, vgl. [GDV]) werde dagege häufig ur weig beachtet ud agewedet, im Gegesatz zum amerikaische Markt wo die obe beschriebee Situatio zur Etwicklug des Risk Based Capital Asatzes führte ud zum britische Markt wo ei Stress Test uter der Bezeichug Resiliece Test aus Sicht der Versicherugsaufsicht madatorisch ist. Dies mag sich i der Zukuft äder, vor allem weil mache Uterehme magels ausreicheder Kapitalausstattug bereits vom Kapitalmarkt zu teilweise drastische Reduktioe ihrer Verpflichtuge durch Sekug der Gewibeteiligug ud sogar Verzicht auf eie Vorausdeklaratio gezwuge wurde. Noch weiger berücksichtigt weil weiger im Bewusstsei ud erst mittelfristig i der Wirkug wird die drastische Veräderug der Kapitalalage ud die gestiegee Aforderuge a das Risikokapital bei der Gestaltug vo Lebesversicherugsprodukte. Dabei biete sich gerade hier Möglichkeite, mittelfristig Uterehmesrisike zu verriger ud effektiv Sicherheitsmittel zur Verfügug zu stelle. Nach userer Auffassug sollte daher bereits bei der Gestaltug der Lebesversicherugsprodukte systematisch die Chace ud Risike der Kapitalalage i agemesseem Umfag berücksichtigt werde. Damit dies geligt, ist ei eifaches Modell der gegeseitige Abhägigkeite vo Assets ud Liabilities erforderlich so eifach, dass es i agemesseer Form i die Produktgestaltug eigehe ka, aber gleichzeitig so aussagekräftig, dass die Hauptstellhebel bewegt ud die gesteckte Ziele erreicht werde köe. Hierzu will die vorliegede Arbeit vor allem eie Beitrag leiste..3 Rechugsgrudlage Zis Provokativ formuliert: I der Traditio kapitalbildeder Produkte der deutsche Lebesversicherug ist der Zis eierseits die wichtigste, adererseits aber sicherlich icht die am beste utersuchte Rechugsgrudlage. Der sich abzeichede mittelfristige Übergag auf eie mehr a Marktwerte orietierte Bilazierug ud der durch die massive Äderuge der Alagepolitik ausgelöste Druck auf das Risikomaagemet ud die Produktgestaltug wird dieses Missverhältis zwagsläufig äder. Eie Eidruck vo de aktuelle Diskussioe hierzu vermittel z.b. [AGP], [DRS] ud [GDV]. Die hier vorgestellte elemetare Asätze zu eier Beurteilug der Rechugsgrudlage Zis i Abhägigkeit vo der strategische Asset Allocatio passe durchaus i de Methodekao der Beurteilug aderer Rechugsgrudlage, wie z.b. für die biometrische Rechugsgrudlage i [JQ] ud [PS] beschriebe..4 Asset Liability Maagemet ud Natürliche Gewibeteiligug Der beschriebee Asatz eier explizite Berücksichtigug der Chace ud Risike der Kapitalalage bei der Gestaltug vo Lebesversicherugsprodukte lässt sich och auf eie 4

5 zweite Art begrüde ud motiviere: Wir glaube, dass die möglichst kogruete Umsetzug vo Chace ud Risike der Kapitalalage i die versicherugstechische Ausgestaltug ud die Deklaratio der Gewibeteiligug für kapitalbildede Versicheruge der bei weitem wichtigste, aber bisher eher verachlässigte Aspekt eier Natürliche Gewibeteiligug im klassische Si ist: Natürliche Zisgewibeteiligug ist i diesem Si ei die Aforderuge der Assets auf atürliche Weise berücksichtigedes Liability Maagemet. Ohe eie Formaldefiitio azustrebe, gehe wir davo aus, dass die Forderug ach verursachugs- ud etstehugsgerechter, zeitaher Gewibeteiligug das wichtigste kostitutive Elemet eier Natürliche Gewibeteiligug i ihrer historisch i regulierter Zeit vo der Aufsicht geforderte ud achfolged auch vom deregulierte deutsche Lebesversicherugsmarkt praktizierte Form ist..4. Wahl des Zisträgers Bezoge auf das Asset Liability Maagemet heisst das bisher vor allem, dass die Ziserträge als bei weitem wichtigste Gewiquelle i Prozet eies Zisträgers defiiert werde, der modellmäßig de vom Kude stammede Teil der Kapitalalage repräsetiere soll ud demetspreched i der Regel eier zeitah berechete Prämiereserve uter Berücksichtigug der Gewibeteiligug etspricht. Vom Modellasatz her etspricht das eiem Deckugskapital zweiter Ordug, das aus praktische Grüde durch das Deckugskapital der Stammversicherug zuzüglich des Deckugskapitals gutgeschriebeer Bousleistuge dargestellt wird, die beide vollstädig mit de Rechugsgrudlage (Zis, Koste ud Biometrie) der Prämieberechug ermittelt werde. Auf dem Hitergrud der Trasparezaforderuge i Folge eier zuehmed schärfere Iterpretatio des AGBG gehe wir davo aus, dass diese Deckugskapitalie zeitah zum Ede des Vorjahrs / Afag des aktuelle Jahrs azusetze sid, sofer dieser auf dem Hitergrud der Verzisugspraxis der Bake zu Recht existierede Vorerwartug des Kude icht eie sehr klar formulierte bedigugsgemäße Vereibarug eier abweichede, isbesodere weiter zurückhägede Wahl des Zisträgers gegeübersteht..4.2 Beteiligug a de Kapitalerträge statt Zisgewibeteiligug Die eigags beschriebee Äderuge i der Kapitalalage führe dazu, dass ei immer größerer ud immer wichtigerer werdeder Ateil der Kapitalerträge auf außerordetliche Erträge, hauptsächlich basiered auf Hadelsgewie ud Auflösuge vo Bewertugsreserve, beruht uabhägig davo, ob diese aus der Direktalage stamme oder über Spezialfods ausgeschüttet ud damit uter HGB zu ordetliche Erträge werde. Die Eiahme auf der Aktivseite beruhe also icht mehr fast ausschließlich auf Zise, soder häge vermehrt vo Kapitalerträge jeglicher Art ab. Weiterhi führt die Veröffetlichugspflicht für Teile der Bewertugsreserve im Ahag der HGB Bilaz ud die zuehmed mehr is Bewusstsei rückede Rolle der Bewertugsreserve (auch der icht publizierte stille Reserve der zum Nomialwert aktivierte Papiere) zuehmed zu eier Marktwertbetrachtug der Aktivseite. Währed bisher die alles domiierede Rolle der zum Nomialwert aktivierte Papiere ud die Domiaz ihrer Ziserträge die Vorstellug vo eier starr (i.e. kapitalmarktuabhägig) 5

6 bilazierte Aktivseite mit fast ebe so starre Ziserträge, die sich ur lagsam durch Neualage zu aktuelle Koditioe, icht aber durch tägliche Marktwertschwakuge äder, rechtfertigte, muss umehr eie Marktwertbetrachtug ud die dazu korrespodierede explizite Beachtug der Volatilität der Kapitalerträge a ihre Stelle trete. Mit adere Worte: Eie atürliche Gewibeteiligug sollte de Zisüberschuss durch eie Kapitalertragsüberschuss ersetze, icht otwedig verbal, soder vor allem methodisch..4.3 Uterschiedlicher Garatiegrad vo laufeder ud Schluss- Gewibeteiligug I der Praxis heißt das ach userer Auffassug vor allem ei systematisches Überdeke ud eie grudlegede Neukozeptio der Rolle der Schlussgewibeteiligug. Vergliche mit der laufede Gewibeteiligug, die eimal gutgeschriebe uwiderruflich garatiert ist (eie häufig als lock-i Effekt oder Cliquet-Optio bezeichete Eigeschaft), stellt die Schlussgewibeteiligug ei wesetlich volatileres Elemet des Leistugsverspreches dar. Der regelmäßig vereibarte Vorbehalt eier otfalls (als ultima ratio) auch achträglich mögliche Kürzug vo Schlussgewiateile erlaubt ihre Eisatz als Sicherheitsmittel i der Kapitalausstattugsrechug ud führt zu eier modellmäßige Korrespodez zwische Schlussüberschussbeteiligug ud außerordetliche Kapitalerträge bzw. Schlussüberschussateilfods ud Bewertugsreserve: Zu dem gerigere Garatiegrad der Schlussüberschussateile (vergliche mit der Cliquet-Optio der laufede Überschussateile) korrespodiert bei atürlicher Gewibeteiligug die höhere Volatilität der außerordetliche Kapitalerträge (vergliche mit de ordetliche Erträge aus Ziszahluge ). Zum hohe Garatiegrad der laufede Gewibeteiligug ud ihrer starre Passivierug (regelmäßige Beibehaltug der afags vereibarte Rechugsgrudlage) korrespodiert die starre Aktivierug großer Teile der marktübliche Portfolios deutscher Lebesversicherer zum Nomialwert. Zum Asatz des aus zugewiesee Schlussüberschussateile gespeiste Schlussüberschussateilfods als Teil der die Solvabilitätsspae bedeckede Sicherheitsmittel der Passivseite korrespodiere bei atürlicher Gewibeteiligug ud eier Marktwertbetrachtug die aus außerordetliche, icht realisierte Erträge gebildete Bewertugsreserve der Aktivseite. Diese Korrespodeze verstehe wir als Teil eier für Zwecke der Produktgestaltug agemessee ud für die Gestaltug der Gewibeteiligug atürliche aktuarielle Modellbildug, icht als Iterpretatio mit zivil- oder hadelsrechtliche Kosequeze ud icht als starres Schema zur aktuarielle Steuerug vo Assets ud Liabilities. Demetspreched ist ei weiteres Ziel dieser Arbeit die pragmatische Präzisierug dieser Modellvorstellug, verbude mit eiige quatitative Illustratio ihrer Kosequeze. Natürliche Gewibeteiligug im hier verstadee Sie erschöpft sich icht im Asatz vo Zisgewie als Prozetsatz eies zeitahe Zisträgers, soder strebt eie Abbildug auch der Chace ud Risike der Kapitalalage i der Produktgestaltug a. 6

7 .4.4 Natürliche Gewibeteiligug, Zeitwert ud Rückkaufswert Eie weitgehed akzeptierte Präzisierug der versicherugsvertragsrechtliche Begriffe Zeitwert ud Rückkaufswert existiert derzeit i Deutschlad icht. Aktuelle Diskussiospukte sid uter aderem die Frage eies retrospektive oder prospektive Asatzes, die Bewertug der Schlussgewibeteiligug, die Rolle der Bewertugsreserve ud allgemeier die Frage ach Garatie ud Kapitalmarktabhägigkeit der Rückkaufswerte. Die beschriebee Modellvorstellug ka hier eie weitere Stei i das Gedakegebäude eifüge, ud zwar sowohl für die laufede als auch für die Schluss- Gewibeteiligug: Der Wert volatiler Kapitalalage wie z.b. Aktie weist kurzfristig starke Schwakuge auf, die sich mit wachsedem Zeithorizot aber ivelliere ud eiem lagfristige Erwartugswert aäher. Die (modellmäßig, icht hadelsrechtlich) durch volatile Kapitalalage bedeckte Verpflichtuge sollte daher im Sie eies kosequete Asset Liability Maagemets idealtypisch ei ähliches Verhalte aufweise. Im Sie userer Korrespodez heißt das, dass zu Begi große Teile der Gewibeteiligug als Schlussgewibeteiligug afalle müsste ud damit isbesodere eiem evtl. Apassugsbedarf uterliege, währed zum Ablauf hi der Apassugsbedarf ahezu verschwidet ud ur als ultima ratio für de Fall eies Crashs bestehe bleibt, so dass vermehrt laufede Gewibeteiligug gegebe werde ka ud der Ateil der Schlussgewibeteiligug durch das Ausmaß eies stets mögliche Crashs bestimmt wird. Kokret führt dies i userm Modell dazu, dass im vorzeitige Küdigugsfall die Abschläge vo z.b. dem Schlussüberschussateilfods (sei es u durch die Wahl des Zeitwertbegriffs oder die Festsetzug der Storoabschläge bei Rückkauf) vor allem i de erste Jahre drastisch höher ausfalle sollte als umittelbar vor Ablauf. Eie ormale (kokret: icht iverse) Zisstruktur heisst iedrigere Ziserträge für kurzlaufede ud höhere Ziserträge für läger laufede festverzisliche Kapitalalage. Ei (gedakliches, weder hadelsrechtlich wirksames och i der operative Kapitalalage otwedigerweise umgesetztes) duratio matchig vo Assets ud Liabilities heißt da im Rahme eier atürliche Gewibeteiligug: Der Zeitwert der laufede Gewibeteiligug eier ach kurzer Zeit vorzeitig aufgelöste Lebesversicherug sollte gedaklich auf eier iedrigere laufede Überschussbeteiligug beruhe als derjeige eies ach mittlerer oder lägerer Zeit vorzeitig aufgelöste Vertrags. Hierzu korrespodiert z.b. eie vertragliche Regelug, die bei vorzeitiger Küdigug eies Prämiedepots die Neufestsetzug eies abgesekte Zises ab Begi vorsieht. Natürlich schließt dies icht aus, dass ei wachsedes Uterehme mit achhaltig positivem Cash Flow, das hieraus alle Leistuge bezahle ka ud sich deshalb de facto i dieser Hisicht vo der Fristigkeitsabhägigkeit der Kapitalerträge abkoppel ka, dies als Wettbewerbsvorteil zur Darstellug hoher afäglicher Rückkaufswerte utzt..4.5 Wie atürlich soll die Produktgestaltug, vor allem die Gewibeteiligug sei? Versicherug ist wesetlich pauschaler Ausgleich im Kollektiv; atürliche Produktgestaltug ud Gewibeteiligug ist wesetlich Berücksichtigug der idividuelle Gegebeheite des Eizelfalls. Der Ausgleich dieser uterschiedliche Aforderuge ist eie schwierige Aufgabe des Aktuars, die berechtigterweise viel Raum für idividuelle Eischätzuge bietet. Usere Auffassug hierzu wird durch folgede Eckpukte gekezeichet: 7

8 Trasfers vo Mittel zwische eizele Versicheruge zum Ausgleich vo Uterschiede i der Risiko-, Koste- ud Kapitalertrags- Situatio sid icht a priori bedeklich, soder sogar kostitutiv für Versicheruge. Gefährlich werde sie erst, we ihr Gleichgewicht gestört wird ud sie aus dem Ruder laufe. Für die aktuarielle Steuerug, isbesodere das Asset Liability Maagemet, ist es vo zetraler Bedeutug, die Auswirkuge uterschiedlicher vertragsidividueller Gegebeheite ud die dadurch iduzierte Mitteltrasfers qualitativ ud quatitativ zu kee, um das Risikopotetial vo pauschale Nivellieruge zu erkee, i seier Größeordug zu erfasse ud etsprechede Risikovorsorge zu betreibe. Bei der kokrete Produktgestaltug ka mit pauschale Festsetzuge der Forderuge vo Kude ud Vertrieb ach eifache, trasparete Regeluge ud der Aforderug der operative Bereiche, vor allem der Dateverarbeitug, ach eifache, kostegüstig umzusetzede Regeluge achgekomme werde. Die Möglichkeite der Pauschalierug ede dort, wo Kude ud Vertrieb die Möglichkeit zur gezielte Arbitrage gege de Risikoträger i wirtschaftlich relevatem Umfag gegebe wird. Aus dem Bereich der Kostekalkulatio ist dies auch i Deutschlad leidlich bekat; aus dem Bereich der Kapitalalage bietet der Zusammebruch mehrerer Lebesversicherer i de USA vor Jahrzehte ei lehrreiches Beispiel..5 Rechugszis ud Direktgutschrift Die Berücksichtigug uterschiedlicher Garatiegrade ist ei Kerelemet userer Auffassug eier atürliche Gewibeteiligug. Der hierzu verwedete Modellierugsasatz erlaubt auch eie pauschale quatitative Betrachtug des Rechugszises i Abhägigkeit vo der Volatilität der Kapitalerträge. Gleiches gilt für de abgeschwächte Garatiegrad, mit dem üblicherweise die traditioelle Direktgutschrift ausgestattet wird..6 Ei eifaches Portfoliomodell der Kapitalalage Voraussetzug ud Iput für usere Modellbildug ist ei eifaches Portfoliomodell für die Kapitalalage vo Lebesversicherugsuterehme, das zur quatitative Illustratio möglicher Etwickluge der Kapitalerträge ud Alagerisike geeiget ist, jedoch icht zur Progose der küftige Alageerträge diee ka ud soll. Es basiert auf eiem eifache ud wohlbekate Multifaktormodell ud der Markowitz-Portfoliotheorie i ihrer eifachste Form sowie eier pauschale Normalverteilugsaahme..7 Der Trasfer vo der Aktiv- auf die Passivseite De Trasfer vom Portfoliomodell der Assets zu dem beschriebee Modell der versicherugstechische Verpflichtuge leiste wir, idem wir Ertragserwartug ud Risiko der Kapitalalage i de Begriffe eies kofidete Zises eies Sicherheitserforderisses a die Kapitalausstattug büdel ud beide Begriffe i Gestalt 8

9 vo garatierte oder i Aussicht gestellte Verzisuge der kudebezogee Zisträger vo Sicherheitsmittel des Uterehmes auf die Seite der Verpflichtuge ud ihrer Reservierug spiegel..8 Eie Bemerkug zur Methodik Für Zwecke der Produktgestaltug sid eifache ud ggf. pauschale Methode gefragt, währed die aktuarielle Steuerug hochitegrierte ud komplexe Modelle verlagt. Klassischerweise maifestiert sich dies dadurch, dass i Deutschlad die Produktkalkulatio ach wie vor auf dem Äquivalezprizip ud aalytische Formel zur Prämiekalkulatio beruht, währed im Bereich der aktuarielle Steuerug verbreitet Cash Flow Modelle ud zuehmed auch stochastische Simulatioe verwedet werde. Wir versuche i dieser Arbeit, die Aforderuge der Kapitalalage a die Produktgestaltug durch pauschal vereifachte aalytische Formel zu modelliere ud bleibe damit im traditioelle methodische Kao der Produktgestaltug, auch we wir eiige Ergebisse ahad vo stochastische Simulatioe i eiem elemetare Sparplamodell verdeutliche. Hieri uterscheidet sich user Asatz vo de üblicherweise auf stochastische Simulatioe vo Cash Flows im Rahme eies hochgradig itegrierte komplexe Modells beruhede Asätze zum Asset Liability Maagemet im Kotext der aktuarielle Steuerug. Abschliessed sei agemerkt, dass wir Ergebisse gelegetlich mit mehr als eier Nachkommastelle agebe, um de Vergleich ahe beieiader liegeder Werte zu erleichter ichtsdestotrotz geht die Geauigkeit der hier verwedete simple Asätze icht über eie sigifikate Nachkommastelle hiaus. 2. Ei eifaches Portfoliomodell der Kapitalalage Um die Abhägigkeite der Produktgestaltug vo der strategische Asset-Allocatio modelliere zu köe, beschreibe wir ei eifaches, rudimetäres Multifaktormodell für die Kapitalalage, das der Awedug auf die Produktgestaltug zu Grude gelegt wird. Ziel ist dabei die quatitative Illustratio, icht die Progose, möglicher Etwickluge der Alageerträge ud risike als Fuktio der strategische Asset Allocatio zum Zweck der mittel- ud lagfristige Passivsteuerug durch geeigete Produktgestaltug. 2. Reditebegrif Die i der deutsche Lebesversicherug gägige Reditebegriffe wie z.b. laufede Durchschittsverzisug, Nettoverzisug oder vollstädige Nettoverzisug eige sich aufgrud des gewüschte Übergags zu eiem Marktwertmodell icht. Orietiert ma sich vollstädig a Marktwerte ud verwedet de bakeübliche Total Retur, so wird zwar die echte Ertragskraft aus betriebswirtschaftlicher Sicht abgebildet, aber userem primäre Iteresse am Asset Liability Maagemet wird isofer icht Rechug getrage, als Alagestrategie, die das Uterehme typischerweise zur Sicherug vo Ziszusage auf der (uter HGB weitgehed starr bewertete) 9

10 Passivseite verfolgt ud die mit (korrespodiered starr bewertete) spezielle Assetklasse auf der Aktivseite umgesetzt werde, icht abgebildet werde, es fehle Vergleichsdate zur Kalibrierug des Modells, da i de Geschäftsberichte ach HGB ur die zum Aschaffugswert aktivierte abschreibugspflichtige Kapitalalage mit ihrem Marktwert agegebe werde. Aus diesem Grud betrachte wir die achfolged defiierte Marktwertverzisug als fudametale Reditegröße. Für ihre Defiitio ist der Begriff des dispoible Kapitals, d.h. des ach uterehmesiterer Eischätzug für de gewiorietierte Hadel verfügbare, icht im Asset Liability Maagemet vo Ziszusage oder aderweitig im Uterehme gebudee Kapitals etscheided. Assetklasse, die erklärtermaße ud achhaltig zum Asset Liability Maagemet vo Ziszusage eigesetzt werde oder aus adere Grüde regelmäßig bis zur Edfälligkeit gehalte werde, sid i diesem Sie icht dispoibel. Grob gesproche ka ma die icht dispoible Kapitalalage z.b. mit de Vermögesalage idetifiziere, die im Rahme betriebsiterer Risikomodelle oder im Kotext vo Risk Based Capital Modelle iteratioaler Ratigageture defiitiv dem Asset Liability Maagemet vo Ziszusage zugeordet werde, isofer bis zur Edfälligkeit gehalte werde, daher faktisch keiem Marktrisiko uterliege ud deshalb icht mit Risikokapital hiterlegt werde, mit eiem held to maturity Bestad ach IAS vergleiche, ohe dass hier eie formale Idetifikatio beabsichtigt ist. Basiered auf der Formel der Nettoverzisug wird zur Ermittlug der Marktwertverzisug a Erträge zusätzlich zu de ordetliche ud außerordetliche Erträge der HGB-Bilaz auch die Veräderug der Bewertugsreserve des dispoible Kapitals gezählt, ud die Bezugsgröße ist wie bei der Nettoverzisug der mittlere Kapitalalagebestad, wobei allerdigs das dispoible Kapital mit de Marktwerte ud die icht dispoible Assetklasse mit ihre Buchwerte eigerechet werde. Dies ist isofer sachgerecht, als evtl. vorhadee stille Gewie oder stille Verluste bei icht dispoible Assetklasse regelmäßig wege des Haltes bis zur Edfälligkeit icht realisiert werde. Als dispoibles Kapital setze wir i dieser Arbeit zu Illustratioszwecke durchgägig die ach HGB zum Aschaffugswert aktivierte Assetklasse a, dere Bewertugsreserve publikatiospflichtig sid. Nicht dispoibel sid also die zum Nomialwert aktivierte Kapitalalage. Ihr Eisatz zum Asset Liability Maagemet vo Ziszusage etspricht dem HGB - Bilazierugsparadigma ud der Praxis der meiste Uterehme. Beispielberechuge für die Marktwertverzisug deutscher Lebesversicherer sid damit wege der Publikatiospflicht für die Bewertugsreserve der dispoible Kapitalalage marktbreit für eiige (we auch weige) Jahre, bei mache Uterehme auch läger möglich. Mit userer Setzug verfolge wir damit i aderem Kotext eie aaloge Asatz wie Stepha i seier Dissertatio ([Steph]). 2.2 Portfoliomodell Orietiert a der Markowitz-Portfolio-Theorie werde Aahme über de Erwartugswert E(X), die Stadardabweichug σ(x) ud die paarweise Korrelatioe COR(X,Y) bzw. Kovariaze COV(X,Y) der Reditevariable X, Y,... der eizele Assetklasse fixiert. 0

11 Diese köe aus historische Portfoliodate hergeleitet werde, idem die etsprechede Parameter mit statistische Methode ahad der ach Assetklasse gegliederte Portfoliodate geschätzt werde (retrospektiver Asatz) oder ahad begrüdeter Eischätzuge für die Zukuft gesetzt werde (prospektiver Asatz). Beim retrospektive Asatz werde die Teilredite, Stadardabweichuge ud Korrelatioe der Assetklasse für die Zwecke dieser Arbeit durch die historische Etwicklug eies geeigete Performace - Idex dargestellt. Der Portfolioidex wird da mittels der festgelegte Gewichtug der eizele Assetklasse ud der Etwicklug der Assetklasse ahad der gewählte Idizes historisch hergeleitet. Aus dieser resultierede zeitliche Etwicklug des Modellportfolios ergebe sich somit Redite ud Risiko des Modellportfolios, ohe dass explizit Aahme über Korrelatioe der Assetklasse utereiader zu treffe sid (diese werde implizit durch die Wahl der repräsetierede Idizes festgelegt). Beim prospektive Asatz werde die Teilredite, Stadardabweichuge ud Korrelatioe hypothetisch gesetzt. Die Portfolioredite ergibt sich ahad der mit ihre durchschittliche Ateile gemäß der strategische Asset Allocatio gewichtete Teilredite der eizele Assetklasse. Uter Hizuahme der Korrelatioe ergibt sich da auch die Stadardabweichug des Modellportfolios. Zwar erhält ma ei relativ grobes ud icht immer homogees Portfoliomodell, welches aber de Vorteil hat, dass es ur Stadardparameter der Portfoliotheorie verwedet, für die hireichede Marktdate vorliege, zu eifache aalytische Formel führt, auch Nicht Aktuare vermittelbar ist. Gegebeefalls ka eie Verbesserug der Modellierug durch lieare Regressio (d.h. Modellierug des β-faktors zum gegebee Idex) erreicht werde. Die Auswahl der Assetklasse erfolgt aufgrud betriebswirtschaftlicher Kriterie, Kapitalmarktusace ud eier homogee, achhaltige Redite Risiko - Klassifizierug. Folgede repräsetative marktbreite Idizes wurde für die etsprechede Assetklasse verwedet: Aktie Abschreibugspflichtige festverzisliche Titel (ISCHV) Zum Nomialwert bilazierte festverzisliche Titel (NSCHV) DAX REXP Umlaufredite vo Aleihe der öffetliche Had gemäß Budesbakstatistik Die Wahl der Umlaufredite für die zum Nomialwert bilazierte festverzisliche Titel korrespodiert dabei zu ihrem Eisatz im Asset Liability Maagemet der Ziszusage ud dem etsprechede Buchwertasatz, die Wahl vo Performace Idizes bei de adere Assetklasse zum Marktwertasatz bei der Defiitio der hier stets betrachtete Marktwertverzisug. Will ma die Laufzeitstruktur des Portfolios der icht dispoible Assetklasse etwas geauer abbilde, ka ma z.b. vo eier revolvierede Alage i

12 zehjährige Papiere bei Wiederalage der Erträge ausgehe ud demetspreched im dyamische Beharrugszustad das arithmetische 0-Jahres-Mittel der geate Umlaufredite betrachte. Dies führt zu stochastisch abhägige Perioderedite, die aber deoch im Rahme des hier betrachtete Modells behadelt werde köe, idem ma wie Stepha ([Steph]) ggf. die Summeterme mitschleppt. I de weitere Betrachtuge werde folgede Portfolio-Variate betrachtet: Portfolio Aktie ISCHV NSCHV Musterportfolio 5% 20% 65% 30% Aktie 30% 20% 50% 60% Aktie 60% 20% 20% 30% ISCHV 5% 30% 55% 40% ISCHV 5% 40% 45% Aus der retrospektive Aalyse erhält ma folgede Ergebisse über eie 0-Jahres- Zeitraum vo für eie Portfolio-Idex mit kostate Quote der eizele Assetklasse (bei dem die Quote durch regelmäßiges Umschichte uabhägig vo der uterschiedliche Wertetwicklug der Assetklasse kostat gehalte werde): Kostate Quote Erwartugswert Stadardabweichug Musterportfolio 8,38 3,38 30% Aktie 9,80 6,7 60% Aktie 2,7 3,80 30% ISCHV 8,52 3,86 40% ISCHV 8,67 4,39 Der Übergag zu eiem 20-Jahres-Zeitraum brigt kaum adere Werte, so dass wir im Folgede zur Illustratio beim agegebee Zeitraum bleibe. Dagege führt der Übergag zu eiem buy-ad-hold Portfolio-Idex zu eier um 2 Prozetpukte deutlich erhöhte Volatilität bei mit rud 0,5% icht vergleichbar steigedem Erwartugswert: Buy ad Hold Erwartugswert Stadardabweichug Musterportfolio 8,75 4,48 30% Aktie 0,36 8,56 60% Aktie 3,23 5,70 30% ISCHV 8,88 4,88 40% ISCHV 9,0 5,33 Die im Vergleich zur Strategie der kostate Quote höhere Volatilität rührt daher, dass im Fall kostater Quote bei steigede Aktiemärkte tedetiell verkauft, bei fallede Aktiemärkte tedetiell gekauft wird, um die Quote kostat halte zu köe. Der Abgleich mit eier Studie der ZEW ([ZEW]) ergibt, dass die Tedezaussage ud Größeorduge der auf diesem Wege ermittelte Date für Redite ud Risiko im Rahme der für die Produktsteuerug ausreichede grobe Geauigkeit plausibel sid. 2

13 2.3 Back Trackig des Portfoliomodells Für eie Vergleich des Portfoliomodells mit der tatsächlich erzielte Marktwertverzisug eies deutsche Beispieluterehmes (Back Trackig) erhält ma bei Asatz historischer Buchwertquote für de betrachtete Zeitraum das folgede Ergebis: Back Trackig Erwartugswert Stadardabweichug Theoretisches 8,48 3,07 Portfoliomodell Tatsächlich erzielte Marktwertverzisug 8,3 3,5 Für de hier verfolgte illustrative Zweck ud für Zwecke der Produktsteuerug erhält ma also offebar eie ausreichede Modellgeauigkeit, obwohl die Idizes auf Marktwerte basiere ud im Modell Buchwertquote für die eizele Assetklasse verwedet wurde. Die Date des Back Trackigs rechtfertige auch de Asatz des Musterportfolios. 2.4 Notatioe ud Verteilugsaahme Um die Notatioe zu fixiere, begie wir mit der Beschreibug der zugrudeliegede Zufallsvariable ud Verteilugsaahme. Hierzu uterscheide wir zwei eifache Zismodelle, das arithmetische ud das geometrische Modell. Arithmetisches Modell Bezeiche R j die Marktwertverzisug im Jahr j der Versicherugsdauer,...,. Die Zufallsvariable R j sei ormalverteilt mit Erwartugswert µ j ud Stadardabweichug σ j, kurz: R j N(µ j ;σ j ). Die für mehrjährige Betrachtuge iteressate arithmetische Durchschittsredite ergibt sich als R. : = Rarithm. = R j j= Der Erwartugswert der Verteilug vo R ist E µ. ( R) = j j= Falls die R j uabhägig voeiader sid, ist R ebefalls ormalverteilt mit Variaz Var σ. 2 ( R) = 2 j j= Sid die R j sogar uabhägig ud idetisch verteilt mit µ j = µ ud σ j = σ, so ergibt sich 3

14 σ R N( µ ; ), d.h. die Stadardabweichug immt mit der Wurzel der Versicherugsdauer ab. Geometrisches Modell Bezeiche X j die Marktwertverzisug im Jahr j der Versicherugsdauer,..., ud R j die zugehörige stetige Marktwertverzisug. Da sid beide Zufallsvariable verbude durch + X j = exp(r j ), R j = l( + X j ). Die Zufallsvariable R j sei wie im arithmetische Modell ormalverteilt gemäß R j N(µ j ;σ j )) ud X j damit defiitiosgemäß logormalverteilt ( + X j LN(µ j ;σ j )) mit Erwartugswert ud Variaz 2 σ E(X j ) = E(exp(R j )) = exp( µ + j j ) ; Var(X j ) = Var(exp(R j )) = exp(2µ σ ) (exp( σ ) ). j + j j Die geometrische Durchschittsredite vo X j wird durch das geometrische Mittel der Aufzisugsfaktore defiiert: X : = X geom. = ( + X j ). j= Mit dieser Notatio ergibt sich für die Erwartugswerte die Beziehug E( X ) = E(exp( R )). Für X ergibt sich im Falle der Uabhägigkeit der Perioderedite R j eie Logormalverteilug mit 2 E (X ) = exp( µ j + 2 σ j ) ; 2 j= j= 2 Var (X ) = exp( µ j + 2 j= 2 σ j ) exp( 2 j= j= σ ). Sid die R j ud X j sogar uabhägig ud idetisch verteilt mit µ j = µ ud σ j = σ, so ergibt sich σ + X LN( µ ; ), ud die Stadardabweichug immt wieder mit der Wurzel der Versicherugsdauer ab. 2 j 4

15 I der Folge ehme wir für beide Modelle stets die R j als uabhägig ud idetisch ormalverteilt mit µ j = µ ud σ j = σ a. Diese fiazmathematisch i.a. ubefriedigede Aahme ist ach usere Erfahruge für Zwecke des Produktdesigs hireiched geau. 3. Der Begriff der kofidete Verzisug Das Portfoliomodell liefert mittels Erwartugswert ud Stadardabweichug der Marktwertverzisug eifache Aussage zu Redite ud Risiko der Assets. Um u de Trasfer dieser Aussage auf das Produktdesig leiste zu köe, wird das Modell um eifache Aussage zur Kofidez der Redite uter Berücksichtigug ihres Risikos ergäzt. 3. Defiitioe Wir betrachte zuächst ei eizeles Jahr; hier gilt R j µ σ N(0;). Bezeichet ma mit u α das α-quatil (α < 0,5) ud mit Φ die Verteilugsfuktio der Stadardormalverteilug, so gilt defiitiosgemäß Φ(u α ) = P( R j µ u α ) = P(R j µ + u α σ) = α. σ Uter Berücksichtigug der Idetitäte Φ(u α ) = Φ(u α ) ud u α = u α > 0 ergebe sich die Beziehuge Φ(u α ) = P( R j µ u α ) = P(R j µ + u α σ) = P(R j µ u α σ) = α. σ Dies bedeutet, dass im arithmetische Modell die Marktwertverzisug R j mit eier Wahrscheilichkeit vo α über dem als arithmetischer kofideter eijähriger Zis zur Shortfallwahrscheilichkeit α bezeichete Wert liege wird. k α = k,α = µ u α σ Hieraus lässt sich das Zisiveau c α = c,α bereche, welches im geometrische Modell durch die Perioderedite X j mit eier Wahrscheilichkeit vo α übertroffe wird. Es gilt: P(X j c α ) = P(X j + c α + ) = P(R j l(c α + )), also ergibt sich l(c α + ) = µ u α σ bzw. c α = c,α = exp(µ u α σ) = exp(k,α ). Der Wert c α = c,α wird als geometrischer kofideter eijähriger Zis zur Shortfallwahrscheilichkeit α bezeichet. Die beide kofidete eijährige Zise sid bei gleicher Shortfallwahrscheilichkeit über dieselbe Relatio verküpft wie die Reditevariable R ud X. 5

16 Wir betrachte u die gesamte Versicherugsdauer. Ma sieht aalog, dass die arithmetische Durchschittsredite R mit eier Wahrscheilichkeit vo α über dem arithmetische kofidete -jährige Zis zur Shortfallwahrscheilichkeit α σ k,α = µ u α liege wird. dass die geometrische Durchschittsredite X mit eier Wahrscheilichkeit vo α über dem geometrische kofidete -jährige Zis zur Shortfallwahrscheilichkeit α liege wird. c,α = exp(µ u α σ ) = exp( k,α ) Wir werde i der Folge häufig stillschweiged beutze, dass σ k =, α = µ u α k, β gilt, falls u β = u α gesetzt wird. 3.2 Bestimmug der kofidete Zise Im Folgede gehe wir immer vo eier defiierte feste positive Shortfallwahrscheilichkeit α ahe Null mit etsprechedem Kofideziveau - α ahe ud zugehörigem Quatil u α aus. Um die geate kofidete Zise zu bestimme, ist eie Festlegug der Parameter µ ud σ erforderlich. Hierzu wird ma beim retrospektive Asatz wie beschriebe de Portfolioidex herleite, die Datereihe der Marktwertverzisuge ableite, die Datereihe der Aufzisugsfaktore logarithmiere ud beide Ergebisse zumidestes optisch, ggf. aber auch statistisch auf die Agemesseheit eier Normalverteilugsaahme ispiziere. Je achdem ob ma vo eier Normalverteilug oder Logormalverteilug ausgeht, wird ma Erwartugswert ud Stadardabweichug der Reditevariable selbst oder ihrer zugehörige stetige Reditevariable schätze: Hierzu ka ma sich z.b des Stichprobemittels ud der Stichprobevariaz bediee, die bekatermaße Maximum Likelihood Schätzer der etsprechede Normalverteilugsparameter sid. Im prospektive Asatz wird ma Erwartugswert, Stadardabweichug ud paarweise Korrelatioe pro Assetklasse ach begrüdeter Erwartug asetze, hieraus Erwartugswert ud Variaz der Portfolioredite bereche ud für diese eie Normalverteilug oder Logormalverteilug postuliere. 3.3 Arithmetischer oder geometrischer kofideter Zis? Usere Erfahruge zufolge liegt der Uterschied vo arithmetisch oder geometrisch retrospektiv geschätzte erwartete Portfolioredite bei Berücksichtigug der agegebee Biaskorrektur i eier Größeordug vo rud 0,%. Berücksichtigt ma, dass wir hier ur 6

17 Schlussfolgeruge für Zwecke der Produktgestaltug, vor allem der Ausgestaltug der Gewibeteiligug astrebe, icht aber eie fiazmathematische Portfolioaalyse, so scheit dieser Uterschied verachlässigbar ud die Frage ach der Wahl des arithmetische (ormalverteilte) oder geometrische (logormalverteilte) Modells eher zweitragig. Im arithmetische Modell sid die Parameter µ ud σ direkt iterpretierbar als Erwartugswert ud Stadardabweichug der eijährige Reditevariable, dafür wird mehrjährig ur die arithmetische Durchschittsredite verwedet. Im geometrische Modell sid die achfolged stets primäre Parameter µ ud σ ur idirekt als Erwartugswert ud Stadardabweichug der zugehörige stetige Redite iterpretierbar, dafür wird mehrjährig die agemesseere geometrische Durchschittsverzisug verwedet. Über die agegebee Biaskorrektur ud die Beziehug c,α = exp( k,α ) lasse sich beide Modelle jedoch völlig problemlos ieiader umreche. Der Eifachheit der Darstellug halber werde wir i der Folge i der Regel das arithmetische Modell uterstelle ud de arithmetische kofidete Zis verwede. Umrechuge auf das geometrische Modell sid wie agegebe stets eifach möglich. 3.4 Kofideter Zis ud Sharpe Ratio Für eie Reditevariable R ud eie Referezzis r ist die Sharpe Ratio bekatermaße wie folgt defiiert: E( R) r SR( R) = σ ( R) Bei gegebeer Sharpe Ratio ermittelt ma also de Referezzis gemäß r = E( R) SR( R) σ ( R). Für jede der Reditevariable R des arithmetische Modells ud ihre kofidete Zis k ist k = E( R) u σ ( R). α Wählt ma speziell eie der iid Perioderedite ud bezeichet mit SR α die mit de kofidete eijährige Zis als Referezzis berechete Sharpe Ratio, so ist also ud SR α = u α SRα k, α = µ σ. Im µ-σ-diagramm ist die Sharpe-Ratio die Steigug der Gerade, die durch de Pukt (µ,σ) geht ud die Erwartugswertachse bei r scheidet. 7

18 3.5 Kalibrierug des kofidete Zises Der kofidete Zis lässt sich durch zwei Methode kalibriere: Festlegug der Shortfallwahrscheilichkeit Im Kotext vo Risk Based Capital Modelle wird häufig die Shortfallwahrscheilichkeit selbst festgesetzt. Übliche Aforderuge für eie Kapitalausstattug sid Werte vo 5%, % oder deutlich daruter. Ei BBB Ratig wird z.b. häufig mit eiem Wert vo 0,22% assoziiert. De geate Werte etspreche u.a. die folgede Sharpe Ratios: α 5,87% 6,68% 5,00% 2,28%,00% 0,22% 0,3% SR u,00,50,64 2,00 2,33 2,85 3,00 α = α Festlegug der Sharpe Ratio Orietiert a der Awedug auf Lebesversicherer, wähle wir als Referezzis de i Deutschlad im hier betrachtete Zeitraum relevate, marktübliche Rechugszis vo 4%. Usere Erfahruge zeige, dass da für die Sharpe Ratio der Marktwertverzisug ei Wert vo bis,5 durchaus realistisch erscheit. Die obige Tabelle liefert eie korrespodierede eijährige Shortfallwahrscheilichkeit vo 6 6%. Dem etspreche die achfolged tabellierte -jährige Shortfallwahrscheilichkeite: SR = 5,87% 4,6%,27% 0,08% 0,0% 0,0004% 0,0000% 0,0000% SR =,5 6,68% 0,47% 0,04% 0,000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% 0,0000% Als Beispiel tabelliere wir für das Musterportfolio de kofidete Zis, der im 5-Jahres- Zeitraum mit 95%iger Wahrscheilichkeit erreicht oder überschritte wird, ud gebe gleichzeitig eie Eidruck vom Uterschied zwische arithmetischem ud geometrischem Modell: k,4 4,5 5,4 6,4 6,8 7, 7,4 7,6 c,4 4,6 5,6 6,6 7, 7,4 7,7 7,9 3.6 Risikoadjustierte Redite als Sharpe Ratio zum Referezzis 0 Wählt ma de Referezzis Null, so ist die zugehörige Sharpe Ratio idetisch mit der risikoadjustierte Redite E( R) RaR( R) =, σ ( R) die agibt, wieviel Redite pro Risikoeiheit erwirtschaftet wird. Aus stochastischer Sicht ist dies geau der Kehrwert des bekate Variatioskoeffiziete 8

19 ( R) v ( R) = σ =. E( R) RaR( R) Bestimmt ma α durch RaR ( R) u, = α also passed zur Sharpe Ratio mit Referezzis Null, so ist der zugehörige kofidete Zis Null, ud wir habe die Wahrscheilichkeit bestimmt, eie positive Ertrag zu erwirtschafte: buy ad hold kost. Quote RaR -α RaR -α Musterportfolio,96 97,5% 2,48 99,3% 30% Aktie,2 88,7%,46 92,8% 60% Aktie 0,84 80,0% 0,92 82,% 30% ISCHV,82 96,6% 2,2 98,6% 40% ISCHV,69 95,5%,98 97,6% Über de Daume gepeilt heißt das: Bei eier Verdoppelug der Aktiequote steigt die eijährige Verlustwahrscheilichkeit i diesem Kotext um rude 6 0%, ud 0% mehr ISCHV steiger die eijährige Verlustwahrscheilichkeit um rude %. 3.7 Erweiterug des Modells um eie sichere Zis Auch bei der Modellierug des Portfolios ka ma eie Soderrolle der icht dispoible Kapitalalage (Assetklasse NSCHV) postuliere: Setzt ma diese wie geschehe zum Nomialwert a, so gehe Rediteschwakuge i dieser Assetklasse auf schwakede Emissiosredite bei Neualage zurück; we ma zusätzlich die Laufzeitstruktur des Portfolios uter der Prämisse eier revolvierede (Wieder-) Alage i zehjährige Papiere abbildet, ergibt sich die Redite i diesem Teilportfolio als zehjähriges Mittel vo Emissiosredite. Im hier betrachtete Zeitraum ergibt sich dabei ei Wert vo kapp 7,2% mit eier Stadardabweichug vo ur 0,3%. Ma beachte allerdigs, dass sukzessiv gebildete zehjährige Reditemittel selbst icht mehr stochastisch uabhägig sid; trotzdem bleibt ihre Behadlug möglich, solage die Summade stochastisch uabhägig ageomme werde (vgl. ([Steph]). Diese iedrige Stadardabweichug (die vor allem durch das 0-Jahresmittel, also die revolvierede Alage) bedigt ist, rechtfertigt es, eie Modellbildug vo Kovacevic ud Willomitzer ([KW]) aufzugreife ud das Portfolio i Alehug a das CAPM zu zerlege: Die Assetklasse Aktie ud ISCHV bilde de risikobehaftete Teil des Portfolios (Marktportfolio), Die Assetklasse NSCHV repräsetiert eie sichere Zis (sichere Alage). Das Uterehmesportfolio ergibt sich da im Modell als kovexe Mischug aus der sichere Alage ud dem Marktportfolio (wir lasse also keie Leerverkäufe zu); seie Redite ist die etsprechede Kovexkombiatio des sichere Zises ud der Redite des Marktportfolios, ud sei Risiko ist das mit der Quote des Marktportfolios gewichtete Risiko 9

20 des etsprechede Marktportfolios (de der sichere Zis ist kostat). Wir illustriere dies mit de stets verwedete Date des Zehjahreszeitraums ud Marktportfolios, die passed zu de bisher betrachte Uterehmesportfolios kostruiert werde. Als sichere Zis verwede wir das Zehjahresmittel der Umlaufredite im etsprechede Zeitraum: Es beträgt z = 6,7% ud reflektiert och das im Vergleich zu heute höhere Zisiveau der Vergageheit. Marktportfolio Quote Aktie Quote ISCHV Redite Buy ad Hold Risiko Buy ad Hold MaP 42,86% 57,4%,67,4 MaP2 60% 40% 3,07 4,73 MaP3 75% 25% 4,29 7,8 Uterehmes- Portfolio Buy ad Hold Quote sichere Alage Quote Marktportfolio Redite Risiko Musterportfolio 65% 35% MaP 8,44 3,99 30% Aktie 50% 50% MaP2 9,88 7,37 60% Aktie 20% 80% MaP3 2,77 4,24 Im µ-σ-diagramm liegt das jeweilige Uterehmesportfolio auf der Gerade, die durch das jeweilige Marktportfolio geht ud die Erwartugswertachse bei z scheidet; seie Positio auf dieser Gerade ist durch die Quote der sichere Alage bestimmt. 4. Awedug auf de Rechugszis Eie Äderug der strategische Asset Allocatio führt zu eier Veräderug des bei der Kapitalalage eigegagee Risikos ud hat somit Auswirkuge auf de garatierbare Rechugszis. Diese Auswirkuge, die der Markt isofer bestätigt, als etsprechede Produkte mit verstärkter Aktiealage i Deutschlad mit deutlich gesektem Rechugszis bereits agebote werde, werde hier mittels des kofidete Zises zu gegebeer Shortfallwahrscheilichkeit ud seier Iterpretatio als Sharpe Ratio aalysiert. Dazu idetifiziere wir de kofidete eijährige Zis zu etspreched geriger Shortfallwahrscheilichkeit mit dem Rechugszis. Zur Kalibrierug habe wir die bereits geate zwei Möglichkeite: Wir fixiere die Shortfallwahrscheilichkeit auf rud 85% (eijährig) bzw. uter 0,0% (5 ud mehr Jahre) oder forder eie Sharpe Ratio vo ; beides läuft darauf hiaus, SR u zu wähle ud damit de kofidete Zis mit α = α = k = µ σ festzusetze ud das Ergebis zu plausibilisiere. Der Wert für die Sharpe Ratio etspricht eier vorsichtige Vorerwartug; der Wert für die Shortfallwahrscheilichkeit ist icht grob uverüftig, aber wege der fehlede Berücksichtigug der Kapitalausstattug ud der uklare Auswirkug dieses Magels ur schwer zu beurteile. Darüber hiausgehede Begrüduge für diese rei illustrative Setzuge gibt es icht. Sie führe zu folgedem Ergebis: 20

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