Summe aller Beitrage Summe aller Schaden

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1 Grundlagen. Schema einer Versicherung Das Wort Versicherung kann mehrere Bedeutungen haben, wir meinen in diesem Abschnitt Versicherung gegen ein Risiko. Risiken sind zum Beispiel Feuer, Unfall, Beschädigung oder Verlust von Gegenständen, Tod einer Person in einem festgelegten Zeitraum (Lebensversicherung), Krankheit etc.. Zu einer Versicherung gehört ein Kollektiv, dessen Mitglieder bei einem Versicherungsunternehmen (Abkürzung VU) gegen dasselbe Risiko zu gleichen Vetragsbedingungen versichert sind. Die Mitglieder des Kollektivs (es können Personen oder Firmen sein) nennen wir im folgenden einfach Kunden oder Versicherte. Tritt das Risiko bei einem Kunden ein, so spricht man von einem Schaden. Das VU verp ichtet sich, innerhalb eines vertraglich festgelegten Zeitraums den Kunden ihre Schäden in einer ebenfalls vertraglich festgelegten Weise nanziell zu ersetzen. Für das VU bedeutet Schaden also einen Geldbetrag, den es im Schadensfall herausrücken muß. Die Kunden müssen hierfür natürlich zahlen, wie und wieviel hängt wieder von der Vertragsgestaltung ab. Der Betrag, den ein Kunde zu einem Zeitpunkt zahlt, heißt sein Beitrag (zu diesem Zeitpunkt), früher hießes auch Prämie. Das VU strebt natürlich den Gewinnfall Summe aller Beitrage Summe aller Schaden an. Hierfür läßt sich auf mancherlei Weise sorgen, etwa indem man keine schlechten Risiken unter Vertrag nimmt oder die Beiträge genügend hoch festsetzt. Bei letzterem emp ehlt sich ein Blick auf die Beiträge konkurrierender Versicherungsunternehmen. Die wichtige Frage, was denn mit dem entstehenden Überschußgeschieht, wenn obige Ungleichung echt ist, wird je nach Versicherungstyp (Risiko) anders beantwortet und wird uns im Fall der Lebensversicherung besonders beschäftigen..2 Schadensverläufe.2. Vorbetrachtung Wir bezeichnen mit L das Kollektiv als Menge und mit jlj die Anzahl seiner Mitglieder. Es ist nicht unrealistisch, daßnur endlich viele Schadenszeitpunkte vorkommen können, etwa vom Vertragsabschlußan bis zum Tag nach Vertragsabschlußin Tagesabständen.

2 Allgemein seien die möglichen Schadenszeitpunkte t 0 = 0 < t < ::::: < t N. Daßwir den Zeitpunkt t 0 = 0 des Vertragsabschlusses ebenfalls als Schadenszeitpunkt ansetzen, erklärt sich daraus, daßdas VU seine bei Vertragsabschluß entstehenden Kosten, wie auch alle späteren Kosten, als Schäden ansehen kann. Es hängt von der Vertragsgestaltung ab, welche der möglichen Kombinationen aus Schadenshöhen und Schadenszeitpunkten tatsächlich vorkommen: Wenn es Kunden gibt, deren nullter Schaden gleich 0, deren erster gleich,..., deren letzter gleich N ist, so bezeichnen wir eine Zeile der Form ( 0 ; ; ::::; N ) als Schadensverlauf..2.2 Einfache Beispiele für Schadensverläufe a) Versicherung gegen Steckenbleiben der Vorlesungsteilnehmer im Fahrstuhl. Das Kollektiv sind die Vorlesungsteilnehmer, Versicherungsdauer eine Woche. Bei Steckenbleiben am ersten Vorlesungstag gibts s DM, am zweiten gibts s 2 DM. Der Organisator (der die Beiträge eintreibt, über die wir jetzt noch nicht reden), verlangt zu Anfang pro Kunde s 3 DM. In der folgenden Tabelle sind alle möglichen Schadensverläufe dargestellt: t 0 t t 2 sv 0 s sv s 3 s 0 sv 2 s 3 0 s 2 sv 3 s 3 s s 2 b) Risikolebensversicherung über drei Jahre mit Versicherungssumme s. Stirbt ein Versicherter innerhalb von drei Jahren nach Abschluß, so wird am Jahrestag des Abschlusses die Versicherungssumme s DM ausgezahlt. Für den Versicherungsabschlußwerden pro Kunde DM verlangt. Die möglichen Schadensverläufe sind: t 0 t t 2 t 3 sv 0 s 0 0 sv 0 s 0 sv s sv c) Gemischte Kapitallebensversicherung über drei Jahre mit Versicherungssumme s. Stirbt ein Versicherter innerhalb von drei Jahren nach Abschluß, so wird am Jahrestag des Abschlusses die Versicherungssumme s DM ausgezahlt. Erlebt ein Versicherter den Ablaufszeitpunkt, so werden ebenfalls s DM ausgezahlt. Für den Versicherungsabschlußwerden pro Kunde DM verlangt. 2

3 Die möglichen Schadensverläufe sind: t 0 t t 2 t 3 sv 0 s 0 0 sv 0 s 0 sv s sv s Hier fällt auf, daßdie Zeilen der Schadensverläufe sv 2 und sv 3 identisch sind. sv 2 soll Schadensverlauf der Kunden sein, die im 3. Jahr sterben, während sv 3 den Schadensverlauf der überlebenden Kunden darstellt. Rein von den Geldbeträgen sind sie nicht zu unterscheiden, wohl aber formal durch die Zeilennummer und in der Praxis auch von den Wahrscheinlichkeiten des Eintretens, s.unten. Es ist klar, daßdie Tabellen, also die Angabe aller Schadensverläufe, die vollständige Information über die Leistungen des Versicherungsvertrags enthalten. Statt einer langatmigen Beschreibung gibt man also besser die Tabelle selbst an! Beim nächsten Beispiel beschreibe man die Leistungen anhand der Tabelle! d) Reisegepäckversicherung über zwei Monate. 0 < r seien die Reisekosten, 0 < s < s 2 Erstattungssummen für weniger oder mehr abhanden gekommenes Gepäck. t 0 t t 2 sv 0 y 0 s 2 + r 0 sv y 0 s s 2 s + r sv 2 y 0 0 s sv 3 y 0 0 s r sv 3 y Aufgabe : Warum steht in der ersten Spalte der Tabellen immer der gleiche Eintrag? Aufgabe 2: Welche der beiden Versicherungen b), c) wird für den Kunden billiger sein? Aufgabe 3: Wie sehen die Tabellen bei b), c) für beliebige Versicherungsdauern N aus?.2.3 Wahrscheinlichkeiten für die Schadensverläufe Die Schadensverläufe sammeln wir in der Menge aller Schadensverläufe: = fsv 0 ; sv ; :::::; sv U g Entsprechend den U + Schadensverläufen zerfällt das Kollektiv L in U + nichtleere Teilmengen der Form D j = fv 2 L j V verursacht den Schadensverlauf sv j g ; 0 j U 3

4 mit U[ D j = L: (Disjunkte V ereinigung) Wenn wir die Abbildung Sv : L! einführen, die jedem Versicherten V seinen von ihm verursachten Schadensverlauf zuordnet, so ist oder kurz D j = fv 2 L j Sv(V ) = sv j g ; 0 j U; D j = (Sv = sv j ) ; 0 j U: Das Kollektiv kann sich im Laufe der Zeit durch Zu- oder Abgang ändern. Wir setzen aber im folgenden voraus, daßdie Zahlen w j = jd jj jlj ; 0 j U; dabei fest bleiben. w j ist die Wahrscheinlichkeit, beim Herausgreifen eines V 2 L einen solchen zu erwischen, der den Schadenverlauf sv j versursacht. Die Wahrscheinlichkeiten w j ordnen wir auch den entsprechenden Schadensverläufen zu. Das läuft auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß P : 2! [0; ] hinaus, das durch oder allgemeiner durch P (fsv j g) = w j ; 0 j U; P (M) = j(sv 2 M)j ; M jlj de niert ist. Die Tabellen der Schadensverläufe denken wir uns jetzt um eine weitere Spalte mit den w j ; 0 j U; ergänzt, etwa Beispiel a) aus.2.2: t 0 t t 2 w j sv 0 s ; 98 sv s 3 s 0 0; 007 sv 2 s 3 0 s 2 0; 0 sv 3 s 3 s s 2 0; 002 4

5 Aufgabe : In Beispiel a) aus.2.2 (s.o.) sei s = 0; s 2 = 5; s 3 =. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daßder Gesamtschaden (eines Schadenverlaufs) kleiner als 6, aber größer als 0 ist! Aufgabe 2: Bei der Formel P (M) = j(sv 2 M)j ; M jlj gilt auch Warum? P (M) = X sv j2m w j.2.4 Erinnerung an die Wahrscheinlichkeitsrechnung Wir betrachten noch einmal die Teilmengen D j = fv 2 L j Sv(V ) = sv j g, die mittels der Abbildung Sv : L! gebildet wurden. Die gleiche Situation liegt in folgendem wohlbekannten Beispiel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor: In einer Urne liegen s schwarze Kugeln fk ; ::::; k s gund w weiße Kugeln fk s+ ; ::::; k s+w g, es wird n-mal mit Zurücklegen gezogen. Jede Ziehung ( ; :::::; n ) mit j 2 fk ; ::::; k s g[fk s+ ; ::::; k s+w g hat dann die gleiche Wahrscheinlichkeit (s + w) n. Die Rolle des Kollektivs spielt hier die Menge aller möglichen Ziehungen L 0 = ( ; :::::; n ) j j 2 fk ; ::::; k s g [ fk s+ ; ::::; k s+w g : Wie im Fall der Versicherten aus L, bei denen nur der von ihnen verursachte Schadensverlauf interessiert, soll es bei den Ziehungen aus L 0 nur darauf ankommen, ob die einzelnen Kugeln schwarz oder weißsind: Wir bilden aus jeder Ziehung ( ; :::::; n ) 2 L 0 die entsprechende Folge ( ; :::::; n ) aus Nullen und Einsen, mit 0; j = j 2 fk ; ::::; k s g ; j 2 fk s+ ; ::::; k s+w g : Der Menge der Schadenverläufe entspricht in diesem Beispiel die Menge 0 dieser Folgen aus Nullen und Einsen und der Abbildung Sv : L! entspricht nun die Abbildung Sv 0 : L 0! 0, die jeder Ziehung aus L 0 ihre Null-Eins-Folge aus 0 zuordnet. Was jetzt noch fehlt, ist das entsprechende WahrscheinlichkeitsmaßP 0 : 2 0! [0; ]. Wir bilden es formal genauso wie P mit Sv 0 P 0 = ( (f( ; :::::; n )g) = ; :::::; n ) jl 0 j ( = ; :::::; n ) 2 L 0 j Sv 0 (( ; :::::; n )) = ( ; :::::; n ) jl 0 j 5

6 Die Menge Sv 0 = ( ; :::::; n ) = ( ; :::::; n ) 2 L 0 j Sv 0 (( ; :::::; n )) = ( ; :::::; n ) besteht also aus allen Ziehungen, die dieselbe Null-Eins-Folge ( ; :::::; n ) ergeben. Genauso besteht die Menge D j = (Sv = sv j ) = fv 2 L j Sv(V ) = sv j g aus allen Kunden, die denselben Schadensverlauf sv j verursachen. Damit wäre die Analogie komplett, aber in diesem Beispiel läßt sich nun noch weiterrechnen. Der Nenner des letzten Bruchs ist jl 0 j = (s + w) n. Der Zähler ergibt sich durch die übliche kombinatorische Überlegung: Sind in ( ; :::::; n ) genau k Einsen und n k Nullen, so gibt es w k Möglichkeiten zur Besetzung der Einserstellen und s n k Möglichkeiten zur Besetzung der Nullenstellen. Somit ist der Zähler gleich Sv 0 = ( ; :::::; n ) = w k s n k : Insgesamt ergibt sich P 0 (f( ; :::::; n )g) = wk s n k w k (s + w) n = (s + w) k s n k (s + w) n k : Schreibt man noch p = w s + w ; p = s, so erhält man s + w P 0 (f( ; :::::; n )g) = p k ( p) n k : Die an den beiden Beispielen dargelegte Situation kommt so oft vor, daßman sie formalisiert hat: Gegeben ist eine Abbildung X :! 2. Auf ist ein WahrscheinlichkeitsmaßP gegeben, auf 2 läßt sich dann ein WahrscheinlichkeitsmaßP 2 de nieren über die Formel P 2 (M) = P (f$ 2 j X ($) 2 Mg = P (X 2 M); M 2 : Ein solches X nennt man bekanntlich eine Zufallsvariable und das mit ihrer Hilfe neu de nierte WahrscheinlichkeitsmaßP 2 heißt die Verteilung von X. In unseren Beispielen war = L; L 0 ; 2 = ; 0 und X = Sv; Sv 0. P ist jeweils die Laplace-Wahrscheinlichkeit, d.h. alle Elemente von L bzw. L 0 sind gleichwahrscheinlich. Aufgabe : Bilden Sie die folgenden Teilmengen von L 0, für die Kugeln fk ; k 2 ; k 3 g [ fk 4 ; k 5 g, wobei fk ; k 2 ; k 3 g die schwarzen Kugeln sind! a) (Sv0 = (0; 0; )) 6

7 b) (Sv0 = (; )) c) (Sv0 = (0; 0; 0)) Welche Wahrscheinlichkeiten gehören zu diesen Teilmengen? Aufgabe 2: Die Schreibweise (X 2 M) := f$ 2 jx ($) 2 M g ; M 2 für eine Abbildung X :! 2 ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie üblich und kommt ständig vor, insbesondere in der Kombination "P (X 2 M)". In anderen Gebieten der Mathematik schreibt man oft für die gleiche Menge X (M) := f$ 2 j X ($) 2 Mg ; M 2 : Man nennt sie auch das Urbild von M unter X, während man die Menge X(B) : = f 2 2 j X ($) = f ur ein $ 2 Bg = fx($) j $ 2 Bg ; B das Bild von B unter X nennt. Bestimmen Sie folgende Urbilder: a) (cos = ); b) (sin 2 f ; 0; g); c) (tan = 0); d) (f 2 4 ; ), dabei sei f : R! R mit f(x) = x 2. e) (f = ), dabei sei f : R! C mit f(t) = e it. f) (Y = k), dabei sei Y : 0! f0; ; 2; ::::; ng und 0 wie oben die Menge aller Zeilen der Länge n mit Nullen und Einsen, Y ordnet jeder sochen Zeile die Anzahl der Einsen zu. Wieviel Elemente hat (Y = k)? Bestimmen Sie die (Ihnen schon lange bekannte) Verteilung von Y! g) (Y 2 (5; 5]), dabei sei Y :! R, die Menge der Schadensverläufe folgender Tabelle, Y ordnet jedem Schadensverlauf seinen Gesamtschaden zu. t 0 t t 2 w sv ; sv 2 3 0; 05 sv ; 05 sv ; 2 sv ; 6 Bestimmen Sie auch die Verteilung von Y! h) (Y = 0), dabei sei Y :! 2 und die Menge aller stetigdi erenzierbaren Funktionen auf R, 2 die Menge aller stetigen Funktionen, Y ordnet jeder Funktion aus ihre Ableitungsfunktion zu. i) Wie nennt man in der Linearen Algebra die Menge (Y = 0), dabei sei Y :! 2 eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen ; 2? j) Eine Funktion f : D! R; D R n nennt man auch Potentialfunktion. Was ist eine Äquipotential äche? Beispiele! Aufgabe 3: Für spezielle M R haben sich andere Schreibweisen für (X 2 M) eingebürgert, welche für z.b.: 7

8 M = fxg ; M = [a; b] ; M = (a; b] ; M = (a; b) ; M = ( ; b] ; M = (a; )? Aufgabe 4: Beweisen Sie folgende Formeln für Y :! 2 : a) (Y 2 S M j ) = S (Y 2 M j ). Steht auf einer Seite dieser Gleichung eine j j disjunkte Vereinigung, so auch auf der anderen! b) (Y 2 T M j ) = T (Y 2 M j ). j j c) (Y 2 2 M) = (Y 2 M). Kleiden Sie die Formeln in Worte: Das Urbild einer Vereinigung ist gleich.... Wie steht es, wenn man Urbild durch Bild ersetzt? d) Y (Y 2 M) M. Geben Sie Beispiele für eine echte Inklusion! Welche Bedingung an Y ist äquivalent zu: Y (Y 2 M) = M für alle M 2? e) Welche Bedingung an Y ist äquivalent zu: j(y = y)j = oder (Y = y) = ; für alle y 2 2? Aufgabe 5: Welche Formalien mußman bei der obengetro enen De nition einer Verteilung noch beachten? Denken Sie an die De nition eines Wahrscheinlichkeitsraums!.3 Das einfachste mathematische Modell.3. Grundlegende De nitionen Wir fassen den Inhalt der ersten Abschnitte zusammen. Es gibt N + Schadenszeitpunkte t 0 = 0 < t < :::: < t N. Eine Zeile ( 0 ; ; :::; N ) heißt Schadensverlauf, dabei soll j als Schadenshöhe zur Zeit t j aufgefaßt werden. Zur Beschreibung eines Versicherungsvertrags mußdie Menge aller möglichen Schadensverläufe angegeben werden. Wir bezeichnen sie mit = fsv 0 ; sv ; :::; sv U g. Man darf sich zusätzlich vorstellen, daßdie Schadensverläufe von den Mitgliedern eines Kollektivs L verursacht werden. Bezeichnet D j diejenigen Mitglieder von L, die den Schadensverlauf sv j verursachen, so zerfällt L in U[ L = Auf L sei die Laplace - Wahrscheinlichkeit eingeführt, d.h. die Wahrscheinlichkeit, einen speziellen Versicherten V 2 L auszuwählen, ist gleich jlj. Als Wahrscheinlichkeit P auf nehmen wir die Verteilung der Zufallsvariablen Sv : L!, die jedem V 2 L seinen Schadensverlauf zuordnet. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schadensverläufe sind dann P(fsv j g) = jd jj jlj D j =: w j ; 0 j U: 8

9 Auf einen Blick in einer Tabelle, deren Zeilen die Schadensverläufe sind: t 0 = 0 t.... t N w () sv 0 x 00 x x 0N w 0 sv x 0 x.... x N w sv U x U0 x U.... x UN w U Eine Tabelle wie in (*) nennen wir auch ein Schadensverlaufdiagramm. Es ist zulässig, daßzwei oder mehr Zeilen der Tabelle identisch sind. Sie werden aber durch ihre Zeilennummer unterschieden, vgl. oben das Beispiel der Kapitallebensversicherung. Gleiche Zeilen der Tabelle bedeuten, daßdas VU unter Kunden mit den gleichen Schäden noch aufgrund anderer Merkmale als den Schäden selbst unterscheiden kann. Bei der Kapitallebensversicherung ist dieses Merkmal Tod oder Überleben des letzten Versicherungsjahrs. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis M, d.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, daßeiner der Schadensverläufe sv 2 M eintritt, ist P (M) = X sv j2m w j = j(sv 2 M)j ; M jlj Damit ist ein WahrscheinlichkeitsmaßP : 2! [0; ] de niert. Für den Wahrscheinlichkeitsraum (; 2 ; P) bzw. für seine Beschreibung durch die Tabelle (*), schreiben wir nur kurz. Mittels dieses Modells lassen sich nun unter anderem die folgenden typischen Fragen beantworten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der dritte Schaden größer als 5? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der dritte Schaden größer als die Summe von. und 2. Schaden? Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Summe aller Schäden (also der Gesamtschaden) zwischen 0 und 00? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Anzahl aller positiven Schäden (eines Schadensverlaufs) kleiner als 5? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der dritte Schaden größer als 5, unter der Bedingung, daßder vierte größer als 0 ist? 9

10 Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Gesamtschaden zwischen 0 und 00, unter der Bedingung, daßdie Summe der ersten drei Schäden größer als 5 war? Wie großsind Mittelwert und Varianz des vierten Schadens? Wie großsind Mittelwert und Varianz des Gesamtschadens? Wie großsind Mittelwert und Varianz des vierten Schadens, unter der Bedingung, daßder Gesamtschaden größer als 80 ist? Hier bezeichnen die Ausdrücke wie dritter Schaden, Summe von. und 2. Schaden, Gesamtschaden, Anzahl aller Schäden o ensichtlich Zufallsvariablen auf, d.h. Funktionen, deren Variablen die Schadensverläufe sind! Um uns kürzer und in der Weise der Wahrscheinlichkeitstheorie ausdrücken zu können, führen wir die Zufallsvariablen X m :! R; 0 m N; mit X m (sv j ) = x jm; 0 j U; ein, X m ist also die Zufallsvariable, die die Höhe des m-ten Schadens angibt. Weiter setzen wir P S m = m X k ; 0 m N; k=0 diese Zufallsvariablen geben also die Schadenssumme bis zur Zeit m an. Die Zufallsvariable S N = gibt daher den Gesamtschaden an. Die obige Liste sieht dann so aus: P(X 3 > 5) =? P(X 3 > X + X 2 ) =? P(0 N P NX k=0 X k X m 00) = P(0 S N 00) =? P(A < 5) =? dabei ist A : Zahlen in der Zeile sv j P(X 3 > 5 j X 4 > 0) =? P(0 S N 00 j 2P X m > 5) =?! R mit A(sv j ) = Anzahl aller positiven 0

11 daher E(X 4 ) =?; V (X 4 ) =? E( N P X m ) = E(S N ) =?; V ( N P X m ) = V (S N )? E(X 4 j S N > 80) =?; V (X 4 j S N > 80) =? Im nächsten Beispiel rechnen wir einmal alle diese Zahlen aus. Gegeben sei 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 w sv :6 sv ; 2 sv ; sv ; 05 sv ; 04 sv ; 0 a) P(X 3 > 5) =? Es ist (X 3 > 5) = fsv 3 ; sv 4 ; sv 5 g und daher P(X 3 > 5) = 0; ; ; 0 = 0; b) P(X 3 > X + X 2 ) =? Es ist (X 3 > X + X 2 ) = fsv ; sv 4 ; sv 5 g und daher c) P(0 N P P(X 3 > X + X 2 ) = 0; 2 + 0; ; 0 = 0; 25 X m 00) =? Es ist (0 N P P(0 NX X m 00) = 0; 2 + 0; = 0; 3 d) P(A < 5) =? Es ist (A < 5) = fsv 0 ; sv 4 ; sv 5 g und daher P(A < 5) = 0; 6 + 0; ; 0 = 0; 65 X m 00) = fsv ; sv 2 g und e) P(X 3 > 5 j X 4 > 0) =? Es ist (X 3 > 5) = fsv 3 ; sv 4 ; sv 5 g und (X 4 > 0) = fsv 2 ; sv 4 ; sv 5 g und daher P(X 3 > 5 j X 4 > 0) = P((X 3 > 5) \ (X 4 > 0)) P(X 4 > 0) P( fsv 4 ; sv 5 g) 0; 05 = = P( fsv 2 ; sv 4 ; sv 5 g) 0; 25 = 0; 2

12 P f) P(0 N X m 00 j fsv ; sv 2 g und ( 2 P 2P X m > 5) =? Es ist (0 N P X m > 5) = fsv 2 ; sv 3 g und daher X m 00) = P(0 = = NX X m 00 j P((0 N P 2X X m > 5) X m 00) \ ( 2 P P( 2 P X m > 5) P( fsv 2 g) P( fsv 2 ; sv 3 g) = 0; 0; 5 = 2 3 X m > 5)) g) E(X 4 ) =?; V (X 4 ) =? Die Werte der Zufallsvariablen X 4 sind f0; 8; 30; 50; 80g, daher ist und E(X 4 ) = 8 P(X 4 = 8) + 30 P(X 4 = 30) + 50 P(X 4 = 50) + 80 P(X 4 = 80) = 8 P( fsv g) + 30P( fsv 2 g) + 50 P( fsv 3 ; sv 5 g) + 80 P( fsv 4 g = 8 0; ; ; ; 04 = 0; 8 V (X 4 ) = (8 0; 8) 2 P(X 4 = 8) + (30 0; 8) 2 P(X 4 = 30) +(50 0; 8) 2 P(X 4 = 50) + (80 0; 8) 2 P(X 4 = 80) = (8 0; 8) 2 P( fsv g) + (30 0; 8) 2 P( fsv 2 g +(50 0; 8) 2 P( fsv 3 ; sv 5 g) + (80 0; 8) 2 P( fsv 4 g) = (8 0; 8) 2 0; 2 + (30 0; 8) 2 0; +(50 0; 8) 2 0; 06 + (80 0; 8) 2 0; 04 h) E(X 4 j NP = 322; 8 X m > 80) =?; V (X 4 j NP P ( N X m > 80) = fsv 3 ; sv 4 ; sv 5 g und daher P(A) = 0; ; ; 0 = 0; X m > 80) =? Zunächst ist A := 2

13 Weiter ist (X 4 = 8) \ A = ;; (X 4 = 30) \ A = ;; (X 4 = 50) \ A = fsv 3 ; sv 5 g ; (X 4 = 80) \ A = fsv 4 g ; also E(X 4 j A) = 50 P(X 4 = 50 j A) + 80 P(X 4 = 80 j A) = 50 P((X 4 = 50) \ A) + 80 P((X 4 = 80) \ A) P(A) P(A) = 50 P( fsv 3; sv 5 g) + 80 P( fsv 4g) P(A) P(A) = 50 = 62 0; ; 0 0; ; 04 0; und V (X 4 j A) = (50 62) 2 P(X 4 = 50 j A) + (80 62) 2 P(X 4 = 80 j A) = 44 P((X 4 = 50) \ A) P((X 4 = 80) \ A) P(A) P(A) = 44 P( fsv 3; sv 5 g) P( fsv 4g) P(A) P(A) = 44 = 56 0; ; 0 0; ; 04 0; Vielleicht sollten wir die Begri e aus e), f), h) in obigem Beispiel noch einmal erläutern! Die Bezeichnung P(M j A) = P(M \ A) ; M; A ; P(A) 6= 0 P(A) bedeutet bedingte Wahrscheinlichkeit von M bezüglich (gegeben, unter der Bedingung) A. Die Teilmenge A wird als neue Grundgesamtheit angesehen und die Zuordnung A M 7! P(M j A) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf A. Die Bezeichnung X E(X j A) = x P(X = x j A); x W ert von X 3

14 bedeutet bedingter Erwartungswert von X bezüglich (gegeben, unter der Bedingung) A. Die Zahl E(X j A) ist also der Erwartungswert der auf den Wahrscheinlichkeitsraum (A; P( j A)) eingeschränkten Abbildung X. Analog ist X V (X j A) = (x E(X j A)) 2 P(X = x j A); x W ert von X die bedingte Varianz von X bezüglich (gegeben, unter der Bedingung) A. Aufgabe : Es sei sgn(x) :! R wie üblich de niert als sgn(x) = ; auf (X? 0) 0; auf (X = 0): ( und X sind hier beliebig) Was bedeuten nun die Zufallsvariablen A m :! R mit mx A m := sgn(x k ); 0 m N k=0 für den Fall, daß die Menge der Schadensverläufe und X k Zeit t k bedeutet? Aufgabe 2: Das folgende Schadensverlaufsdiagramm sei gegeben 0 X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 w sv ; 0 sv ; 0 sv ; 02 sv :03 sv ; 03 sv ; 04 sv ; 06 sv ; 8 Berechnen Sie: a) die Wertemengen der Zufallsvariablen S 6 = 6 P Aufgabe ), deren Erwartungswerte und Varianzen! b) P(0 < S 6 < 20) c) P(0 < S 6 < 20 j A 6 = 4) d) E(S 6 j A 3 = 3) Aufgabe 3: Es sei den Schaden zur X k und A 6 : (A 6 wie in = [ j A j 4

15 ! R eine Zu- eine Zerlegung des Wahrscheinlichkeitsraums und X : fallsvariable. Zeigen Sie, daßdann E(X) = X j P(A j )E(X j A j ) gilt! In Worten? (beachte P j P(A j ) = ).3.2 Bemerkungen zum Modell Das soeben formulierte, sehr einfache mathematische Modell ndet fast ausschließlich Anwendung in der Lebens- und Krankenversicherung. Aus deren Sicht könnten unsere kleinen Beispiele mit den wenigen Phantasieschadenverläufen wie eine Art Spielzeugmathematik wirken. Hätte man nur diesen Anwendungsbereich im Auge, so ließe sich direkt daran herangehen wie in den elementaren Lehrbüchern der Lebensversicherungsmathematik. Dort ndet man wenig oder nichts über eine wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlegung des Gebiets. Für unser Vorgehen gibt es nun folgende Gründe: Auch für die Lebensversicherungsmathematik lohnt sich eine präzise Formulierung ihrer Begri e. Darauf gehen wir in Kapitel 2 noch ein. An den kleinen Phantasiebeispielen lassen sich die Grundbegri e gut einüben. Unser Modell mit den Zufallsvariablen X m ^= Höhe des m-ten Schadens ist der einfachste Spezialfall desjenigen Modells, das man in der sogenannten Risikotheorie verwendet, siehe Kapitel 3. Insofern ist es eine Vorbereitung darauf. Zum letzten Punkt noch einige Erläuterungen: Hat man zwei Zufallsvariablen X; Y :! R; so sagt man, daßman ihre gemeinsame Verteilung kennt, wenn man die Zahlen P(X 2 A; Y 2 B); A; B R für alle A; B R kennt. Dabei ist (X 2 A; Y 2 B) := (X 2 A) \ ( Y 2 B). Analog de niert man die gemeinsame Verteilung für mehr als zwei Zufallsvariablen. In unserem Modell läßt sich natürlich die gemeinsame Verteilung der X 0 ; :::; X N sofort berechnen. Umgekehrt lassen sich aus der gemeinsamen Verteilung der X 0 ; :::; X N die Schadensverläufe mit ihren Wahrscheinlichkeiten rekonstruieren, oder wenigstens die mit verschiedenen Zeilen: Die Menge (X 0 = 0 ; X 2 = 2 ; ::::::; X N = N ) ist ja entweder leer oder gleich der Menge fsv j 2 j sv j = ( 0 ; 2 ; ::::::; N )g. Daher ist es möglich, unser Modell zu formulieren, ohne überhaupt darauf 5

16 einzugehen, daßdie Menge aus Schadensverläufen besteht. Wir brauchen nur zu verlangen: Es gibt Zufallsvariablen X 0 ; :::; X N :! R und deren gemeinsame Verteilung sei bekannt. In der Risikotheorie tut man genau das, allerdings läßt man statt der endlich vielen Zufallsvariablen eine ganze Folge zu, und die Schadenszeitpunkte sind nicht mehr fest, sondern ebenfalls zufällig. Wegen der Interpretation X m ^= Höhe des m-ten Schadens können wir unser allgemeines Schadensverlauf-Schema auch so aufschreiben: X 0 X.... X N w sv 0 x 00 x x 0N w 0 sv x 0 x.... x N w sv U x U0 x U.... x UN w U In den Spalten ndet man dann die Werte der Zufallsvariablen X 0 ; :::; X N :! R. (natürlich kann in einer Spalte ein Wert mehrfach auftreten) Aufgabe : a) Sind die Zufallsvariablen X 0 ; :::; X N aus den bisherigen Beispielen unabhängig? b) Er nden Sie -etwa mit U = 3 und N = 2- ein Beispiel für unabhängige, paarweise verschiedene X m! c) Wenn X 0 ; :::; X N :! R unabhängig sind, wie berechnet man dann deren gemeinsame Verteilung aus den Verteilungen der einzelnen X k?.4 Schadensklassen und Beiträge.4. Schadensklassen Aus der Sicht des VU sind zum Anfangszeitpunkt t 0 = 0 die Versicherten des Kollektivs L insofern ununterscheidbar, als man nicht sagen kann, welchen Schadensverlauf ein Kunde denn nun produzieren wird. Das drückt sich auch darin aus, daßallen der gleichen Schaden zum Zeitpunkt t 0 = 0 zugeordnet wird, bzw. daßx 0 :! R eine Konstante ist. Ganz anders ist es am Endzeitpunkt t N : jetzt kann man jedem Kunden seinen Schadensverlauf zuordnen, was ja in der Zerlegung L = U[ D j ; D j = (Sv = sv j ) ; 0 j U; 6

17 zum Ausdruck gebracht ist. Wie sieht es nun an den Zwischenzeitpunkten t m, t 0 = 0 t m t N aus? Wir orientieren uns zunächst an einem Beispiel: X 0 X X 2 X 3 X 4 sv sv sv sv sv sv Zur Zeit t kann das VU drei Klassen (Teilmengen von ) von Schadensverläufen (bzw. Kunden) unterscheiden: Zur Zeit t 2 sind es die vier Klassen : A = fsv 0 ; sv 5 g = (X = 0) ; A 2 = fsv ; sv 2 g = (X = ) ; A 3 = fsv 3 ; sv 4 g = (X = 0) : A 2 = fsv 0 ; sv 5 g = (X = 0; X 2 = 0) ; A 22 = fsv ; sv 2 g = (X = ; X 2 = 3) ; A 23 = fsv 3 g = (X = 0; X 2 = 0) ; A 24 = fsv 4 g = (X = 0; X 2 = 20) : Zur Zeit t 3 sind es die fünf Klassen: A 3 = fsv 0 g = (X = 0; X 2 = 0; X 3 = 0) ; A 32 = fsv 5 g = (X = 0; X 2 = 0; X 3 = 40) ; A 33 = fsv ; sv 2 g = (X = ; X 2 = 3; X 3 = 4) ; A 34 = fsv 3 g = (X = 0; X 2 = 0; X 3 = 5) ; A 35 = fsv 4 g = (X = 0; X 2 = 20; X 3 = 20) : Als allgemeine Vorschrift läßt sich diese Klassenbildung so fassen: Zum Zeitpunkt t m kommen alle Schadensverläufe ( 0 ; :::; m ; :::; N ) mit den gleichen ersten Schäden ( 0 ; :::; m ) in dieselbe Klasse. Die so für den Zeitpunkt t m gebildeten Teilmengen von heißen die Schadensklassen zum Zeitpunkt m. 7

18 Sind A m ; ::::; A mk die Schadensklassen zur Zeit m, so zerfällt das Kollektiv gemäß k[ L = (Sv 2 A mj ) : Diese Zerlegung des Kollektivs L in zu den Schadensklassen gehörige Kunden ist die zur Zeit t m bestmögliche Unterscheidung der Kunden, wenn als einziges Unterscheidungsmerkmal die Schäden vorliegen. Aufgabe : Bestimmen Sie die Schadensklassen für jeden Zeitpunkt in folgendem Schadensverlaufsdiagramm X 0 X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 sv sv sv sv sv sv Aufgabe 2 : Bestimmen Sie die Schadensklassen für die N-jährige Risikoversicherung und die N-jährige gemischte Kapitalversicherung (siehe.2.2) Aufgabe 3 : Es sei t m fest. Wir erklären zwei Schadensverläufe sv; sv 0 2 als äquivalent, wenn gilt: X k (sv) = X k (sv 0 ) ; k m: Zeigen Sie, daßdies eine Äquivalenzrelation ist und daßdie Äquivalenzklassen gerade die Schadensklassen zur Zeit t m sind!.4.2 Beiträge und Äquivalenzprinzip Das VU verlangt von seinen Kunden für seine Leistungen (Schadenserstattung) natürlich Beiträge und strebt dabei Gewinn an: Summe aller Beitrage (aller Kunden) > Summe aller Leistungen (an alle Kunden): Diese Ungleichung läßt sich zu einer Gleichung machen, indem man die Kosten des Versicherungsbetriebs als Leistungen an den Kunden ansieht. Die tatsächlichen Zahlungen an den Kunden bezeichnet man auch als Nettoleistungen, diese zusammen mit den Kosten auch als Bruttoleistungen. Jetzt also: Summe aller Beitrage (aller Kunden) = Summe aller (Brutto )Leistungen (an alle Kunden): 8

19 Man bezeichnet diese Gleichwertigkeit von Leistungen und Gegenleistungen als Äquivalenzprinzip. Unter den obigen Annahmen über das Kollektiv L läßt sich sofort berechnen: Summe aller Leistungen (an alle Kunden) = UX jd j j S N (sv j ) Die einfachste Methode der Beitragszahlung ist der Einmalbeitrag, das heißt, alle jlj Kunden zahlen zum Zeitpunkt t 0 = 0 ihren einzigen und für alle gleichen Beitrag B. Das Äquivalenzprinzip erfordert dann Es ist aber jlj B = = = jlj UX UX jd j j S N (sv j ): UX jd j j S N (sv j ) jd j j jlj S N (sv j ) UX w j S N (sv j ) = E(S N ): und damit B = E(S N ) kurz: Einmalbeitrag gleich mittlerer Gesamtschaden. Nun ist ein Einmalbeitrag aus der Sicht der Kunden oft unangemessen hoch, so daßdas VU den Kunden eine Ratenzahlung während der der Dauer der Versicherung ermöglicht. Das VU kann an einem festen Zeitpunkt t m die Kunden gemäßden oben eingeführten Schadensklassen unterscheiden, also kann es zu diesem Zeitpunkt so viele unterschiedliche Beiträge festlegen, wie Schadensklassen zur Zeit t m existieren. Nehmen wir als Beispiel die vierjährige Risikolebensversicherung: X 0 X X 2 X 3 X 4 sv 0 s sv 0 s 0 0 sv s 0 sv s sv

20 Zum Zeitpunkt t gibt es die beiden Schadensklassen fsv 0 g ; fsv ; sv 2 ; sv 3 ; sv 4 g ; zum Zeitpunkt t 2 gibt es die drei Schadensklassen fsv 0 g ; fsv g ; fsv 2 ; sv 3 ; sv 4 g usw. Die Schadensverläufe sv 0 ; sv ; sv 2 ; sv 3 werden von den Kunden erzeugt, die im.,...,4. Versicherungsjahr sterben, sv 4 von den Kunden, die überleben. Da man von Toten keine Beiträge (also 0) erhebt, ergibt sich somit folgendes Beitragsdiagramm: B 0 B B 2 B 3 B 4 sv 0 b sv b 0 b sv 2 b 0 b b sv 3 b 0 b b 2 b 3 0 sv 4 b 0 b b 2 b 3 0 Wir de nieren also: Der Beitrag B m zur Zeit t m ist eine Zufallsvariable B m :! R die auf den Schadensklassen zur Zeit m konstant ist, 0 m N: Natürlich ist B m dann auch auf den Schadensklassen zur Zeit ; m N, konstant. Analog zum Gesamtschaden nennen wir die Zufallsvariable NX B m :! R den Gesamtbeitrag. Jetzt ist Summe aller Beitrage (aller Kunden) = und das Äquivalenzprinzip wird zu UX NX jd j j ( B m (sv j )) = UX NX jd j j ( B m (sv j )) UX jd j j S N (sv j ); seine übliche Form ergibt sich mittels Division durch jlj zu 20

21 P E( N B m ) = E(S N ): kurz: Erwartungswert des Gesamtbeitrags gleich Erwartungswert des Gesamtschadens : oder Erwartungswert der Beiträge gleich Erwartungswert der Leistungen : Zur (mathematisch) vollständigen Beschreibung eines Versicherungsvertrags gehört die Angabe von Schadensverlaufs- und Beitragsdiagramm! Aufgabe : Berechnen Sie für die vierjährige Risikolebensversicherung X 0 X X 2 X 3 X 4 w sv 0 s w 0 sv 0 s 0 0 w sv s 0 w 2 sv s w 3 sv w 4 den Jahresbeitrag b, d.h. im obigen Beitragsdiagramm ist b 0 = b = b 2 = b 3 = b. Aufgabe 2: Bestimmen Sie für das Schadensverlaufsdiagramm X 0 X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 sv sv sv sv sv sv ein Beitragsdiagramm, wobei die Zufallsvariablen B m :! R möglichst viele Werte haben sollen! Aufgabe 3: Zeigen Sie, daßsich der Erwartungswert des Gesamtschadens nicht ändert, wenn man die Einträge in einem oder mehreren Schadensverläufen vertauscht! Dieser Erwartungswert ändert sich auch dann nicht, wenn die Einträge eines Schadensverlaufes an einzelnen Zeitpunkten so zusammengefaßt werden, daßihre Gesamtsumme erhalten bleibt! Analoge Aussagen gelten für den Gesamtbeitrag N P B m. 2

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