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1 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/08 1 SAA: VaR-Ansatz VaR= für 1-Jahresrenditen VaR= für kumulierte n-jahresrenditen Frage: Ab wann kann konfident (Konfidenzparameter λ) mit einer kumulierten Mehrjahresrendite von mindestens 0% (Kapitalerhalt) gerechnet werden? VaR[n]= 0 = λ = Konfidenzparameter für Normalverteilung (90%=1,28; 95%=1,64; 99%=2,33) Frage: Wie groß muss n sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass Aktien sich besser entwickeln als Renten, bei 90% liegt? Frage: Mit welchen kumulierten VaR-Ertrag ist im Extrem zu rechnen? Wann tritt er auf? er tritt nach n * Jahren auf VaR[n * ]= VaR-Ertrag DAA: CPPI Modell (ist eine wiederholte Anwendung des VaR-Ansatzes) 1) Allokationsregel: 2) Marktentwicklung: (1+f) = e(1+s) + (1-e) (1+g) e= Aktienquote, c= cushion ( Maximalverlust in % des Gesamtvermögens), 1-e= Kassenquote, m= Multiplikator, s= Aktienreturn, g=geldmarktreturn, f= Portfolioreturn 3) Schleife 1 und 2 Multiplikator: Risikoprämie kann in der Praxis vernachlässigt werden. In guten Jahre: mehr lange Renten und lange Aktien In schlechten Jahren: mehr kurze Renten

2 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/08 2 Der Tracking Error (kurz TE) ist die Standardabweichung der Differenzrendite zwischen einem Portfolio und einer Benchmark. Damit kann der Tracking Error als ein Maß für die Schwankung der Abweichung der Portfoliorendite im Vergleich zur Benchmarkrendite interpretiert werden. Die passive Strategie beruht auf der Annahme informationseffizienter Kapitalmärkte. Auf Basis dieser Überlegung kann es keine überdurchschnittlichen Prognosefähigkeiten geben und eine Outperformance ist nicht möglich. Ziel des passiven Portfoliomanagements ist daher die möglichst exakte Nachbildung der Benchmark während des Anlagezeitraums (Minimierung des Tracking Errors). So soll das vom Markt nicht vergütete unsystematische Risiko ausgeschlossen worden. Replikation von Indizes Index Tracking setzt sich daher zum Ziel, die Wertentwicklung eines Indexes mit einer geringeren Titelzahl möglichst gut abzubilden Gründe für Indexierung: Informationseffizienz CAPM ; Erfolglose Managerselektion Chance gering, Aufwand hoch ; Track Record mehr Underperformance als Overperformance, wegen selbstüberschätzung, mangelnde Prognosegüte und Risikokontrolle Matrixnotation: ; (Portfoliorendite) ; Portfoliorendite ist das Matrixprodukt der Portfoliogewichte und der Kovarianzmatrix V der Einzeltitelrenditen Enhanced Indexing zielt auf begrenzte Zusatzerträge gegenüber der Benchmark, welche mit hohen Eintrittswahrscheinlichkeiten anfallen. Aktive Portfoliorendite (Wertentwicklungsdifferenz zwischen Portfolio und Benchmark Summe der aktiven Renditebeiträge): Vektor der aktiven Portfoliogewichte (Über-/Untergewichte): Vektor der aktiven Aktienrenditen (Out-/Underperformance): Replikation: + simples Verfahren, garantierte Wertentwicklungsidentität der Benchmark - hoher Pflegeaufwand und Portfoliovolumen, Tranaktionskostenintensiv, exakte Indexabbildung praktisch nahezu unmöglich Indexierungsverfahren: Replikation: keine Kovarianzanalyse; Tracking Error (Systematic Sampling, Stratified Sampling, Linear Programming): Implizite Kovarianzanalyse; Tracking Error (Quadratic Programming): Explizite Kovarianzanalyse je mehr Kovarianzanalyse, desto wenige Aktien werden gehalten o Tracking Error: ex post Die Bestimmung des realisierten TE setzt die Kenntnis der zurückliegenden Returns von Portfolio und Benchmark voraus ex ante = MCTE[i] = V[i] = i-te Zeile von V =

3 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/08 3 o Die Prognose des TE setzt als Inputgrößen die Gewichtungsfaktoren des Portfolios und der Benchmark sowie die erwartete Kovarianzmatrix der Aktienrenditen voraus. Stratified Sampling: Aktienrenditen zeichnen sich durch eine hohe Korrelation innerhalb der Faktoruntergruppen, und einer niedrigen Korrelation zwischen den Faktoruntergruppen aus. Linear Programming: Verallgemeinerung der Stratified Sampling, im Gegensatz zu SS mehr als 2 Faktoren möglich, Im passiven Management: jede spalte einzeln bertachtet hat eine aktive Sektorallokation; alle spalten zusammen sind jedoch sektorneutral (in summe = 0), TE is less than in SS Portfoliomerkmale) kontrollieren aktenspezifisches Portfoliorisiko); (4) (Benchmarkneutralität für beliebige Aktiengruppen und stetige Vorteil: Flexibel bei der Gestaltung der impliziten Risikokontrolle, keine Kovarianzprognose erforderlich, führt bei hinreichend formulierten Bed. Zu guten Ergebnissen Nachteil: komplexes Optimierungsdesign, Implementierung als Software aufwendig, bei Mazimierung einer Zielvariablen entsteht TE Quadratic Programming: setzt Kenntnisse der zukünftigen Kovarianzen voraus (wenn erfüllt, dann bestes Verfahren), Cov bilden alle rel. Faktoreinflüsse ab, Risikostreuung explizit über Zielfunktion, erwarteter TE ist niedriger als der anschließend realisierte TE, TE oft am geringsten i. Vgl. zu SS and LP kontrollieren aktenspezifisches Portfoliorisiko); (4) Restriktionen); (4) weitere nicht-lineare Restriktionen (lineare Vorteil: Zielfunktion entspricht angestrebtem Ziel der TE-Minimierung, QP dominiert vor allen anderen Approximationsverfahren Nachteil: wahre zukünftige Kovarianz ist unbekannt, Schätzung der zukünft. Cov. ist aufwendig und ungenau, Nachvollziehbarkeit der Portfoliostruktur gering, bei großen Portfolios Berechnung zu lang. Modelle zur Prognose des Risikos: Ziel ist eine robuste Schätzung mit hoher Prognosegüte; Prognose des Performancerisikos TE von Portfolio und Benchmark angemessener Agressionsgrad des Managers?; Risikozerlegung =erklärte Risikoquellen; beabsichtigte vs. Versehentliche Performancerisiken implizite Returnprognose deckt sich mit explitziter? Max. erw. Rendite zur erw. aktiv. Risiko 1. Historisch: Kovarianzen an Hand der hist. Stichprobenschätzer: Kovarianzmatrix = NxN hat zu schätzende Parameter. T=Beobachtungen pro Aktie =TxN Beobachtungen. Es muss gelten: optimal: für robuste Cov.Schätzungen. Problem: nicht für Aktieneinzeltitel, am ehesten für Asset-Aggregate.

4 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/ Mittelwert: Schätzung an Hand des durchschnittlichen Korrelationseffizienten aus vergangenen Werten gleicher Korrelationswert für alle erwartete Kovarianzen. Für geg. Renditeabweichungen. Robustes Modell, Problm: Übersimplifiziert. Schätzaufwand: N Renditestandardabweichungen und 1 Durchschnittlicher Korrelationskoeffizient, Stichprobenumfang (und Freiheitsgrade):, geschätzte Parameter:. geschätzt. 3. Single-Index: Betas werden an Hand einer Längsschnittsregression für jede Aktie (i, N) ; r= Returnzeitreihe für Aktie i (Tx1), X= Returnzeitreihe für Marktindex (Faktorrendite), = Betakoeffizient für Aktie i (Faktorsensitivität), e= Zeitreihe der Residualrendite für Aktie i. Cov( )= = Cov( )= Varianz des Marktindex; Var( )= Schätzaufwand: 2xN+1 Parameter, TxN Beobachtungen, N Betakoeffizienten, N Varianz der Residualrenditen(aktenspezifische Risiken), 1 Varianz des Marktindexes. Problem: Robuster Schätzer, jedoch geringe Erklärungsgüte für die Praxis. 4. Multifaktor-Modelle: beschreiben Asset-Renditen und ihre Kovarianzstruktur als Funktion einer begrenzten Zahl von Risikoattributen. Zur Analyse und Prognose von Risiken, Prognose von Renditen, Portfolio- Optimierung. Vorteile: intuitive Beschreibung von Portfolio-Charakteristika und kleine Anzahl an Risiko- Dimensionen, zu schätzende Parameter drastisch reduziert. 4a. Makro : Erweiterung des Single-Index Modells, da X statt Marktindex, K Faktoren (Inflation, Zinsniveau ) berücksichtigt. Es ist eine Multivariate Zeitreihenanalyse zur Bestimmung dieser K Faktorensensitivität ( ), Cov( )=. Schätzaufwand: aktenspezifische Risiken, Parameter, T*N Renditebeobachtungen, N*K Faktorsensitivitäten, N Kovarianzen der Faktorrenditen. Problem: zu langsame Anpassung der Faktorsensitivitäten und erschwehrte Schätzung dieser wegen hoher Korrelation der Faktorsnsitivitäten. 4b. Fundamental : Annahme: die Renditen im Aktienmarkt werden durch eine beschränkte Anzahl von Faktoren (unterschiedlicher Einfluss auf Wertpapiergruppen) bestimmt. Partielle Erklärung des Renditeverhaltens möglich; unerklärter Anteil bleibt aktienspezifisch. Vorgehen: Wahl der K Faktoren (Sektor, Size ); Erhebung und Schätzung der beobachtbaren bzw. nicht beobachtbaren Faktorsensitivitäten X Sensitivitäten; Faktorrenditen (Querschnittsregression), Kovarianzen der Faktorrenditen K*K, aktienspezifische Risiken - Prognose der Kovarianzen. Es ist eine Multivariate Querschnittsanalyse zur Bestimmung des Returns der N Aktieneinzeltitel für die jeweilige Periode: ; r = Returnvektor (N*1), X = Faktorexposure Sensitivitäten (N*K), Faktorrenditen (K*1), e = Titelspezifische Renditen (N*1), T in der Regel =60, Kovarianzprognose: Faktorrenditen, U =Diagonalmatrix (N*N) der titelspezifischen Varianzen F= Kovarianzmatrix (K*K) der

5 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/08 5 Schätzaufwand: N*T Renditebeobachtungen, K*T Faktorrenditen, K*(K+1)/2 Faktorkovarianzen, N aktienspezifische Risiken Dominierende Erklärungsfaktoren: Land und Sektor; Fundamental Makro Vorteil: Sensitivitäten spiegeln Veränderungen im Unternehmen direkt wieder Risikozerlegung: Aktives Management Der aktiven Strategie liegt die Annahme informationsineffizienter Kapitalmärkte zugrunde. Folglich kann über überdurchschnittliche Prognose- bzw. Analyseverfahren ein Informationsvorsprung generiert werden. Ziel ist die Erreichung einer Outperformance (=Mehrertrag im Vergleich zu einer Benchmark). Dies erfordert gezielte Abweichungen von den Gewichtungen der Titel im Benchmark. Warum Backtests von Prognosemodellen (zu) erfolgreich sind Data Mining: eine zu große Anzahl an Modellvarianten wird untersucht, identifizierte Zusammenhänge könnten zufällig sein, data snooping bias (fremde empirische Ergebnisse); zu viele Freiheitsgrade; Datengrundlage problematisch: Konkurs gegangene Unternehmen sind nicht enthalten, publication lag Qualitätsanforderung bei Renditeprognosemodellen: Anzahl an Modellen prüfen, wenige zu schätzende Parameter wählen, geeignete Stichprobe wählen, geeignete Schätzmethode der Parameter wählen, Erklärungsgüte Prognosegüte Information Ratio [IR] (ex post) ist ein relevantes Gütekriterium zur Beurteilung eines Renditeprognosemodells aktive Rendite [ ]/ Tracking Error excess return/ standard deviation Es misst die Höhe der aktiven Renditen pro Einheit TE (risikoadjustierter Mehrertrag) ; = Portfoliorendite, = Benchmarkrendite t-statistik (für Signifikanztest) : ; Frage: Wie lang braucht ein erfolgreicher Portfoliomanager für Signifikanz 97,5% t-stat=2? bei der t-statistic ist im Gegensatz zu IR, die Erhebungsfrequenz(Monat vs. Jahr) egal. Also ist die Signifikanz des Mehrertrags eines Portfoliomanagers nicht von der Erhebungsfrequenz abhängig. VA Value Added: der Trade-off zw. Aktiver Rendite und Tracking Error; Optimum: TE * = ; je höher IR des Managers, desto höher Wahl des optimalen TE. Max. VA * = ; Problem: Bestimmung des λ Lösung: Aus Erfarungswerten ; λ =

6 Modernes Portfoliomanagement Stephan WS 07/08 6 Informationskoeffizient (IC): Korrelationskoeffizient zw. Prognostizierten Renditen und realisierten Renditen der einzelnen Assets Maß für die Pronosegüte (zufälliger Zusammenhang IC=0); berücksichtigt prognostizierte Rendite im Gegensatz zu Hit-Ratio Hit Ratio: Prozentsatz der zutreffenden Prognosen; je höher IC, umso höher Hit-Ratio FLAM (Fundamental Law of Active Managemant): IR = IC ; Managementstile mit wenigen unabhängigen Prognosen M, müssen eine höhere Trefferquote aufweisen, um konsistent erfolgreich zu sein Stile: Stock Picker, Sektor Allocator, Market Timer Stildiversifikation vorteilhaft.

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