Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch. John C. Hull

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2 Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 9., aktualisierte Aulage John C. Hull Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner

3 Praktische Fragestellungen zu Kapitel 11 Die vorzeitige Ausübung eines amerikanischen Puts ist attraktiv, wenn die Zinsen auf den Basispreis größer sind als der Wert der verlorenen Absicherung. Steigen die Zinsen, steigt der Wert der auf den Basispreis erhaltenen Zinsen, und eine vorzeitige Ausübung wird attraktiver. Sinkt die Volatilität, ist die Absicherung weniger wert. Erneut wird eine vorzeitige Ausübung attraktiver Der Preis einer europäischen Kaufoption, die in sechs Monaten verfällt und einen Basispreis von 30 $ hat, ist 2 $. Der Preis der zugrunde liegenden Aktie beträgt 29 $ und es wird in zwei und in fünf Monaten jeweils eine Dividende von 0 50 $ erwartet. Es existiert eine flache Zinsstrukturkurve, alle risikolosen Zinssätze betragen 10%. Wie hoch ist der Preis einer europäischen Verkaufsoption, die in sechs Monaten verfällt und einen Basispreis von 30 $ hat? Mit der Notation aus dem Kapitel lautet die Put-Call-Parität (Gleichung (11.10)) c C K e rt C D D p C S 0 bzw. In diesem Fall erhält man p D c C K e rt C D S 0 : p D 2 C 30e 0 16=12 C 0 5e 0 12=12 C 0 5e 0 15=12 29 D 2 51 : Der Preis des Puts beträgt also 2 51 $ Erläutern Sie die Arbitragemöglichkeiten in Aufgabe 11.14, falls der Preis der europäischen Verkaufsoption 3 $ beträgt. Beträgt der Preis des Puts 3 00 $, so ist er im Verhältnis zum Preis des Calls zu hoch. Ein Arbitrageur sollte den Call kaufen, den Put verkaufen und die Aktie leerverkaufen. Dies liefert 2 C 3 C 29 D 30 $, die zu 10% angelegt werden können. In jedem Fall wird ein Gewinn mit einem Barwert von D 0 49 $ gesichert. Liegt der Aktienkurs in sechs Monaten über 30 $, wird die Call-Option ausgeübt und die Put-Option verfällt wertlos. Durch den Call kann die Aktie für 30 $ bzw. barwertig für 30e 0 106=12 D $ erworben werden. Die Dividenden aus der Short-Position kosten barwertig 0 5e 0 12=12 C 0 5e 0 15=12 D 0 97 $, sodass ein barwertiger Gewinn von D 0 49 $ entsteht. Liegt der Aktienkurs in sechs Monaten unter 30 $, wird der Put ausgeübt und der Call verfällt wertlos. Durch den Short-Put wird die Aktie für 30 $ bzw. barwertig für 30e 0 106=12 D $ erworben. Die Dividenden aus der 105

4 11 Eigenschaften von Aktienoptionen Short-Position kosten barwertig 0 5e 0 12=12 C 0 5e 0 15=12 D 0 97 $, sodass ein barwertiger Gewinn von D 0 49 $ entsteht Der Preis eines amerikanischen Calls auf eine dividendenlose Aktie ist 4 $. Der Aktienkurs beträgt 31 $, der Basispreis 30 $. Die Option verfällt in drei Monaten; der risikolose Zinssatz liegt bei 8%. Leiten Sie die obere und untere Grenze für den Wert einer amerikanischen Verkaufsoption auf dieselbe Aktie mit demselben Basispreis und demselben Verfallzeitpunkt ab. Gemäß Gleichung (11.7) gilt In diesem Fall ergibt sich bzw. bzw. S 0 K C P S 0 K e rt : P 31 30e P P 3 00 : Die Wertober- bzw. Wertuntergrenzen für den amerikanischen Put sind deshalb 2 41 $ und 3 00 $ Erläutern Sie ausführlich die Arbitragemöglichkeiten in Aufgabe 11.16, falls der Preis des amerikanischen Puts über der errechneten oberen Grenze liegt. Ist der Preis der amerikanischen Verkaufsoption größer als 3 00 $, kann ein Arbitrageur den amerikanischen Put verkaufen, die Aktie leerverkaufen und den amerikanischen Call kaufen. Damit werden 3 C 31 4 D 30 $ realisiert, die zum risikolosen Zins angelegt werden können. Zu irgendeinem Zeitpunkt während des dreimonatigen Zeitraums wird entweder der amerikanische Put oder der amerikanische Call ausgeübt. Der Arbitrageur zahlt dann 30 $, erhält die Aktie und schließt die Short-Position. Die Cash Flows für den Arbitrageur betragen C30 $ zum Zeitpunkt 0 und 30 $ zu einem zukünftigen Zeitpunkt. Dieser Zahlungsstrom besitzt einen positiven Barwert Beweisen Sie Gleichung (11.7). (Hinweis: Betrachten Sie für den ersten Teil der Beziehung (a) ein Portfolio, das aus einer europäischen Kaufoption und einem Geldbetrag der Höhe K besteht, und (b) ein Portfolio, das aus einer amerikanischen Verkaufsoption und einer Aktie besteht.) 106

5 Praktische Fragestellungen zu Kapitel 11 Wie im Lehrbuch verwenden wir c und p, um die Preise europäischer Kaufbzw. Verkaufsoptionen zu bezeichnen. C und P bezeichnen die Preise amerikanischer Kauf- bzw. Verkaufsoptionen. Wegen P p folgt aus der Put-Call- Parität P c C K e rt S 0 und wegen c D C gilt bzw. P C C K e rt S 0 C P S 0 K e rt : Für einen weiteren Zusammenhang zwischen C und P betrachten wir Portfolio I: einen europäischen Call plus einen Geldbetrag in Höhe von K, Portfolio J: einen amerikanischen Put plus eine Aktie. Beide Optionen weisen den gleichen Basispreis und dasselbe Verfalldatum auf. Angenommen, der Geldbetrag in Portfolio I wird zum risikolosen Zins angelegt. Wird der Put nicht vorzeitig ausgeübt, besitzt Portfolio J zum Zeitpunkt T einen Wert von max.s T K/: Portfolio I besitzt zu diesem Zeitpunkt einen Wert von max.s T K 0/ C K e rt D max.s T K/ K C K e rt : Portfolio I ist folglich mehr wert als Portfolio J. Als Nächstes sei angenommen, dass die Verkaufsoption in Portfolio J vorzeitig ausgeübt wird, z. B. zum Zeitpunkt. Damit hat Portfolio J zum Zeitpunkt einen Wert von K. Jedoch wäre Portfolio I selbst bei einem wertlosen Call K e rt wert. Daraus folgt, dass Portfolio I in jedem Fall mindestens so viel wert ist wie Portfolio J. Deshalb gilt c C K P C S 0 : Wegen c D C gilt bzw. C C K P C S 0 C P S 0 K : In Verbindung mit der oben hergeleiteten anderen Ungleichung für C P erhält man S 0 K C P S 0 K e rt : 107

6 11 Eigenschaften von Aktienoptionen Beweisen Sie Gleichung (11.11). (Hinweis: Betrachten Sie für den ersten Teil der Beziehung (a) ein Portfolio, das aus einer europäischen Kaufoption und einem Geldbetrag der Höhe D C K besteht, und (b) ein Portfolio, das aus einer amerikanischen Verkaufsoption und einer Aktie besteht.) Wie im Lehrbuch verwenden wir c und p, um die Preise europäischer Kaufbzw. Verkaufsoptionen zu bezeichnen. C und P bezeichnen die Preise amerikanischer Kauf- bzw. Verkaufsoptionen. Der Barwert der Dividenden wird mit D bezeichnet. Gemäß der Lösung zu 9.18 im Fall ohne Dividenden gilt C P S 0 K e rt : Dividenden verringern C und erhöhen P. Dieser Zusammenhang muss deshalb auch im Fall von Dividenden gelten. Für einen weiteren Zusammenhang zwischen C und P betrachten wir Portfolio I: eine europäische Kaufoption plus einen Geldbetrag in Höhe von D C K, Portfolio J: eine amerikanische Verkaufsoption plus eine Aktie. Beide Optionen besitzen den gleichen Basispreis und dasselbe Verfalldatum. Angenommen, der Geldbetrag in Portfolio I wird zum risikolosen Zins angelegt. Wird der Put nicht vorzeitig ausgeübt, besitzt Portfolio J zum Zeitpunkt T einen Wert von max.s T K/ C De rt : Portfolio I hat zu diesem Zeitpunkt einen Wert von max.s T K 0/ C.D C K/e rt D max.s T K/ C De rt C K e rt K : Portfolio I ist deshalb mehr wert als Portfolio J. Als Nächstes sei angenommen, dass die Verkaufsoption in Portfolio J vorzeitig ausgeübt wird, z. B. zum Zeitpunkt. Damit hat Portfolio J zum Zeitpunkt einen Wert von maximal K CDe r. Jedoch wäre Portfolio I zum Zeitpunkt selbst bei einem wertlosen Call.D C K/e r wert. Daraus folgt, dass Portfolio I in jedem Fall mehr wert ist als Portfolio J. Deshalb gilt c C D C K P C S 0 : Wegen C c gilt C P S 0 D K : Betrachten Sie eine Mitarbeiteroption mit 5 Jahres-Laufzeit auf eine Aktie, die keine Dividenden ausschüttet. Die Option kann nach Ablauf des ersten Jahres jederzeit ausgeübt werden. Im Gegensatz zu regulären börsengehandelten Optionen kann die Mitarbeiteroption nicht verkauft werden. 108

7 Praktische Fragestellungen zu Kapitel 11 Welchen Einfluss auf die Entscheidung über eine vorzeitige Ausübung wird diese Beschränkung voraussichtlich haben? Mitarbeiteroptionen könnten vorzeitig ausgeübt werden, wenn der Manager Geld benötigt oder wenn er hinsichtlich der zukünftigen Aussichten des Unternehmens unsicher ist. Standard-Calls können am Markt in beiden Situationen verkauft werden, Mitarbeiteroptionen können nicht verkauft werden. Theoretisch könnte ein Manager als Alternative zur Ausübung die Aktien des Unternehmens leerverkaufen. In der Praxis wird dieses Verhalten nicht unterstützt und könnte sogar illegal sein Verifizieren Sie unter Verwendung der DerivaGem-Software, dass die Abbildungen 11.1 und 11.2 korrekt sind. Die Abbildungen können mit dem ersten Tabellenblatt in DerivaGem erstellt werden. Wählen Sie Equity als Art des Underlyings und Analytic European als Option Type. Geben Sie für den Aktienkurs 50, für die Volatilität 30%, als risikolosen Zins 5%, als Restlaufzeit 1 Jahr und als Basispreis 50 ein. Die Zellen für Dividenden bleiben leer, da wir keine Dividendenzahlungan annehmen. Wählen Sie den Button für Call. Wählen Sie nicht den implied volatility -Button. Drücken Sie - und klicken Sie auf Calculate. DerivaGem gibt einen Optionspreis von aus. Gehen Sie zu den Grafiken auf der rechten Seite des Arbeitsblatts. Wählen Sie Option Price für die y-achse und Asset price für die x-achse. Wählen Sie als Wert für den kleinsten Basispreis 10 (der Wert 0 wird von der Software nicht akzeptiert) und als Wert für den größten Basispreis 100. Drücken Sie - und klicken Sie auf Draw Graph. Sie erhalten Abbildung 11.1a (Lehrbuch). Die Abbildungen 11.1c, 11.1e, 11.2a und 11.2c können entsprechend durch Änderung der x-achse erstellt werden. Durch die Wahl von Put statt Call und erneute Berechnung können die restlichen Abbildungen erstellt werden. Sie sollten mit diesem Tabellenblatt experimentieren. Probieren Sie unterschiedliche Parameterwerte und Optionsarten aus. 109

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9 12 Handelsstrategien mit Optionen Praktische Fragestellungen 12.1 Was ist ein Protective Put? Welche Position in Kaufoptionen ist äquivalent mit einem Protective Put? Ein Protective Put besteht aus einer Long-Position in einer Put-Option und einer Long-Position im Underlying. Äquivalent zu einem Protective Put ist eine Long-Position in einer Call-Option plus ein bestimmter Geldbetrag. Dies folgt aus der Put-Call-Parität p C S 0 D c C K e rt C D : 12.2 Erläutern Sie zwei Methoden, mit denen Bear Spreads erzeugt werden können. Ein Bear Spread kann durch zwei Kaufoptionen mit demselben Verfalldatum und unterschiedlichen Basispreisen erzeugt werden. Der Anleger verkauft die Kaufoption mit dem kleineren Basispreis und kauft die Kaufoption mit dem größeren Basispreis. Ein Bear Spread kann auch durch zwei Verkaufsoptionen mit demselben Verfalldatum und unterschiedlichen Basispreisen erzeugt werden. In diesem Fall verkauft der Anleger den Put mit dem kleineren Basispreis und kauft den Put mit dem größeren Basispreis Wann empfiehlt es sich für einen Anleger, einen Butterfly Spread zu erwerben? Ein Butterfly Spread besteht aus einer Position in Optionen mit drei verschiedenen Basispreisen (K 1, K 2 und K 3 ). Ein Anleger sollte einen Butterfly Spread erwerben, wenn er denkt, dass der Preis des Underlyings wahrscheinlich nahe am mittleren Basispreis K 2 bleibt. 111

10 12 Handelsstrategien mit Optionen 12.4 Kaufoptionen auf eine Aktie sind zu Basispreisen von 15 $, $ und 20 $ erhältlich und das Fälligkeitsdatum liegt in drei Monaten. Sie kosten 4$, 2$ bzw. 2 1 $. Erläutern Sie, wie die Optionen genutzt werden können, um das Auszahlungsprofil eines Butterfly Spread zu erzeugen. Erstellen Sie eine Tabelle, die zeigt, wie sich der Gewinn für den Butterfly Spread mit dem Aktienkurs ändert. Ein Anleger erzeugt einen Butterfly Spread durch den Kauf von Calls mit Basispreisen von 15 $ und 20 $ sowie den Verkauf von zwei Calls mit einem Basispreis von $. Das anfängliche Investment beträgt 4 C D 1 2 $. Die folgende Tabelle zeigt die Veränderung des Gewinns in Abhängigkeit vom Aktienkurs bei Fälligkeit: Aktienkurs S T Gewinn S T < < S T < S T 15/ < S T < S T / 2 1 S T > Welche Handelsstrategie erzeugt einen umgekehrten (reverse) Calendar Spread? Ein reverse Calendar Spread wird erzeugt durch den Kauf einer kurzlaufenden Option und den Verkauf einer langlaufenden Option, wobei beide Optionen denselben Basispreis haben Was ist der Unterschied zwischen einem Strangle und einem Straddle? Sowohl ein Straddle als auch ein Strangle entstehen durch die Kombination einer Long-Position in einem Call mit einer Long-Position in einem Put. Beim Straddle haben beide denselben Basispreis und das gleiche Verfalldatum. Bei einem Strangle weisen sie unterschiedliche Basispreise auf und haben das gleiche Verfalldatum Ein Call mit einem Basispreis von 50 $ kostet 2 $. Ein Put mit einem Basispreis von 45 $ kostet 3 $. Erläutern Sie, wie mit diesen beiden Optionen ein Strangle erstellt werden kann. Wie sieht das Gewinnprofil dieses Strangle aus? 112

11 Praktische Fragestellungen zu Kapitel 12 Ein Strangle wird erzeugt durch den Kauf beider Optionen. Das Gewinnprofil sieht wie folgt aus: Aktienkurs S T Gewinn S T < S T / 5 45 < S T < 50 5 S T > 50.S T 50/ Verwenden Sie die Put-Call-Parität, um die Anfangsinvestition für einen Bull Spread, der Kaufoptionen benutzt, mit der Anfangsinvestition für einen Bull Spread in Beziehung zu bringen, der Verkaufsoptionen verwendet. Das Gewinnprofil eines Bull Spread mit Kaufoptionen entspricht grundsätzlich dem Gewinnprofil eines Bull Spread mit Verkaufsoptionen (siehe Abbildungen 12.2 und 12.3 im Lehrbuch). p 1 und c 1 seien die Preise von Put und Call mit Basispreis K 1 und p 2, und c 2 seien die Preise von Put und Call mit Basispreis K 2. Gemäß der Put-Call-Parität gilt Folglich gilt: p 1 C S D c 1 C K 1 e rt p 2 C S D c 2 C K 2 e rt : p 1 p 2 D c 1 c 2.K 2 K 1 /e rt : Dies zeigt, dass die Anfangsinvestition des Spreads mit Verkaufsoptionen um.k 2 K 1 /e rt geringer ist als die Anfangsinvestition des Spreads mit Kaufoptionen. Tatsächlich ist, wie im Lehrbuch erwähnt, die Anfangsinvestition bei einem Bull Spread mit Verkaufsoptionen negativ, während die Anfangsinvestition bei einem Bull Spread mit Kaufoptionen positiv ist. Der Gewinn bei Verwendung von Kaufoptionen für den Bull Spread ist um.k 2 K 1 /.1 e rt / höher als bei einer Verwendung von Verkaufsoptionen. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Call-Strategie ein zusätzliches risikoloses Investment in Höhe von.k 2 K 1 /e rt gegenüber der Put-Strategie erfordert. Darauf werden Zinsen in Höhe von.k 2 K 1 /e rt.e rt 1/ D.K 2 K 1 /.1 e rt / verdient Erläutern Sie, wie ein aggressiver Bear Spread gebildet werden kann, der Verkaufsoptionen benutzt. Ein aggressiver Bull Spread mit Kaufoptionen wurde im Lehrbuch diskutiert. Beide verwendeten Optionen haben einen relativ hohen Basispreis. 113

12 12 Handelsstrategien mit Optionen Entsprechend kann ein aggressiver Bear Spread mit Verkaufsoptionen gebildet werden. Beide Optionen sollten aus dem Geld liegen und daher relativ geringe Basispreise haben. Die Bildung des Spread ist dann mit sehr geringen Kosten verbunden, da beide Puts einen Wert nahe null aufweisen. In den meisten Fällen wird der Spread eine Auszahlung von 0 bieten. Es besteht jedoch eine kleine Chance, dass der Aktienkurs so stark fällt, dass am Verfalltag beide Optionen im Geld liegen. Der Spread bietet dann eine Auszahlung in Höhe der Differenz der beiden Basispreise, K 2 K Angenommen, Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit Basispreisen von 30 $ und 35 $ kosten 4 $ bzw. 7 $. Wie können diese Optionen benutzt werden, um (a) einen Bull Spread und (b) einen Bear Spread zu erzeugen? Erstellen Sie eine Tabelle, die die Auszahlung und die Gewinne beider Spreads widergibt. Ein Bull Spread wird durch den Kauf des 30 $-Puts und den Verkauf des 35 $-Puts erzeugt. Die Strategie hat eine anfängliche Einzahlung von 3 $ zur Folge. Das Ergebnis der Strategie sieht wie folgt aus: Aktienkurs Auszahlung Gewinn S T S T < 35 S T 35 S T 32 S T < Ein Bear Spread wird durch den Verkauf des 30 $-Puts und den Kauf des 35 $-Puts erzeugt. Die Strategie weist anfängliche Kosten von 3 $ auf. Das Ergebnis der Strategie sieht wie folgt aus: Aktienkurs Auszahlung Gewinn S T S T < S T 32 S T S T < Zeigen Sie mithilfe der Put-Call-Parität, dass die Kosten eines mit europäischen Verkaufsoptionen gebildeten Butterfly Spread identisch mit den Kosten eines aus europäischen Kaufoptionen erstellten Butterfly Spread sind. c 1, c 2 und c 3 seien die Preise von Kaufoptionen mit den Basispreisen K 1, K 2 und K 3. p 1, p 2 und p 3 seien die Preise von Verkaufsoptionen mit den 114

13 Copyright Daten, Texte, Design und Grafiken dieses ebooks, sowie die eventuell angebotenen ebook-zusatzdaten sind urheberrechtlich geschützt. Dieses ebook stellen wir lediglich als persönliche Einzelplatz-Lizenz zur Verfügung! Jede andere Verwendung dieses ebooks oder zugehöriger Materialien und Informationen, einschließlich der Reproduktion, der Weitergabe, des Weitervertriebs, der Platzierung im Internet, in Intranets, in Extranets, der Veränderung, des Weiterverkaufs und der Veröffentlichung bedarf der schriftlichen Genehmigung des Verlags. Insbesondere ist die Entfernung oder Änderung des vom Verlag vergebenen Passwortschutzes ausdrücklich untersagt! Bei Fragen zu diesem Thema wenden Sie sich bitte an: Zusatzdaten Möglicherweise liegt dem gedruckten Buch eine CD-ROM mit Zusatzdaten bei. Die Zurverfügungstellung dieser Daten auf unseren Websites ist eine freiwillige Leistung des Verlags. Der Rechtsweg ist ausgeschlossen. Hinweis Dieses und viele weitere ebooks können Sie rund um die Uhr und legal auf unserer Website herunterladen:

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