Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation

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1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Vorlesung: Mi, 9:00 11:00, INF Übung: Do, 14:00 16:00, INF 350 OMZ R U011 JProf. Heike Jänicke

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Visuelle Wahrnehmung 3. Datentypen und Datenrepräsentation 4. Skalardaten 5. Statistische Graphiken 6. Interaktion und Datenexploration 7. Darstellung von Graphen 8. Vektordaten 9. Tensordaten 10. Klausurvorbereitung Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 2

3 Inhaltsverzeichnis 3. Datentypen und Datenrepräsentation 1. Diskrete und kontinuierliche Daten 2. Zelltypen 3. Datentypen 4. Die Verarbeitungskette in der Visualisierung Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 3

4 Datenerhebung Daten in der Visualisierung repräsentieren sehr unterschiedliche Phänomene, wie z.b. medizinische Aufnahmen, Strömung in Luft und Wasser, Deformationen in Materialien und Geweben, statistische Erhebungen, Interaktionen zwischen Menschen oder auch Textdatenbanken. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 4

5 Datenerhebung Es gibt zwei wesentlich Methoden zur Erhebung von Daten: Simulation Messung Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 5

6 Datenerhebung Für die Datenrepräsentation gibt es zwei wesentlich Kategorien: Implizit diskrete Daten (ordinal und nominal): Zählungen, Text, Bilder. Implizit kontinuierliche/stetige Daten: Temperatur, Größe, Geschwindigkeit, Zeit. Da am Rechner nur Werte mit begrenzter Genauigkeit gespeichert werden können, müssen stetige Daten diskretisiert werde. Sie heißen dann diskretisierte Daten (sampled data). Sind also ebenfalls diskret, stammen aber ursprünglich von kontinuierlichen Daten. Stetige Fkt. f Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Diskretisierte Fkt. fi 6

7 Herausforderungen Kompakte Datenrepräsentation: Datensätze in der Visualisierung sind oft sehr groß, weshalb man auf eine speichereffiziente Repräsentation achten muss. Effizienter Zugriff: Der Zugriff auf die Daten sollte in konstanter Zeit erfolgen, sonst sind Visualisierungen nicht mehr mit linearer Komplexität berechenbar. Abbildbarkeit: Zwei wichtige Aspekte des Abbildens spielen eine Rolle. Erstens müssen die Daten für einfache Visualisierungen schnell in Grafikprimitive und Attribute verwandelt werden können. Zweitens sollte eine einfache Konvertierung des Ausgangsformates in das interne Format des Systems möglich sein. Einfachheit: Die Erfahrung zeigt, dass einfache Repräsentationen meistens aufwändigen Varianten vorzuziehen sind, da man sie leichter optimieren kann. Dies muss allerdings in engem Zusammenhang mit den Mappingverfahren gesehen werden. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 7

8 Kontinuierliche Daten Mathematisch können kontinuierliche Daten als Funktion modeliert werden f :D Z d c mit Definitionsmenge D ℝ und Zielmenge Z ℝ. Sind x und y Elemente der Definitions- bzw. Zielmenge ergibt sich für die Funktion: f x 1,, x d = y 1,, y c Ist die Definitionsmenge eine Teilmenge des ℝ (Ebene), ℝ (3D Raum) oder ℝ (3D + Zeit) spricht man in der Visualisierung häufig von einem Feld. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 8

9 Stetigkeit Eine Funktion heißt stetig, wenn das epsilon-delta-kriterium an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches gilt: f : D C ist stetig in x0 D, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x D mit x x < ε gilt: f(x) f(x ) < δ. 0 0 k f C, wenn die Eine Funktion heißt stetig mit Ordnung k oder C -stetig k Funktion selbst und alle ihre Ableitungen bis einschließlich Ordnung k stetig sind. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 9

10 Kontinuierliche Daten in der Visualisierung Stetiger Datensatz: Das Tripel D = (D, C, f) definiert einen stetigen Datensatz. D steht in Zukunft für einen Datensatz und D für den Ortsraum (domain). Geometrische Dimension: Die Dimension d des Ortsraumes ℝ d, in den der Ortsraum der Funktion (function domain) eingebettet ist, heißt die geometrische Dimension. Topologische Dimension: Die Dimension s d der Funktion(domain) selbst heißt topologische Dimension (z.b. Ebene im 3D). Kodimension: Die Kodimension eines Objektes ist die Differenz aus geometrischer und topologischer Dimension (d s). Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 10

11 Diskretisierte Daten Die überwiegende Mehrheit der wissenschaftlichen Daten wird in diskreter Form gespeichert. Folgende Operationen werden verwendet, um zwischen der kontinuierlichen und der diskreten Repräsentation zu wechseln: Abtastung: Durch Abtastung erhält man aus einem stetigen Datensatz einen diskretisierten. Rekonstruktion: Aus den diskreten Werten werden mittels Rekonstruktion die Originalwerte oder eine Näherung von ihnen zurückgerechnet (z.b. Interpolation). Stetige Fkt. f Diskretisierte Fkt. fi Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Refkonstruierte Fkt. f 11

12 Vektorraum und Basis des Vektorraums Vektorraum: Ein Vektorraum über einem Körper (K, +, ) oder kurz K-Vektorraum ist eine additive abelsche Gruppe (V, +), auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus K erklärt ist. (Diese muss bestimmte Bedingungen erfüllen.) Körper: Ein Körper ist eine algebraische Struktur in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division wie bei den reellen Zahlen durchgeführt werden können. Additive Abelsche Gruppe: In einer additiven abelschen Gruppe ist die Addition kommutativ (a+b = b+a). Basis: Eine Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jedes Element des Vektorraumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen läßt. Mit endliche vielen v 1,..., v n V und 1,..., n K ergibt sich somit n s = 1 v 1 n v n= i v i i= 1 Beispiele: Einheitsvektoren im R³ {1, X, X², X³,...} für den Vektorraum der Polynome Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 12

13 Basisfunktionen Orthogonale Basis: Eine Basis heißt orthogonal, wenn das innere Produkt aller paarweise verschiedenen Basisvektoren gleich null ist. Normierte Basis: Eine Basis heißt normiert, wenn die Norm jedes Basisvektors gleich eins ist. Orthonormale Basis: Eine Basis heißt orthonormal, wenn sie gleichzeitig orthogonal und normiert ist. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 13

14 Datenrekonstruktion mittels Basisfunktionen Betrachten wir die Rekonstruktion eines kontinuierlichen Feldes aus diskretisierten Daten {pi, fi } mit N Datenpunkten pi D und N Funktionswerten f i C. Hieraus soll die kontinuierliche Funktion f : D C rekonstruiert werden. In den Datenpunkten sollen diskretisierte Funktion und rekonstruierte Funktion übereinstimmen. Das rekonstruierte Feld kann wie folgt definiert werden N f p j = f i i p j i =1 mit Basisfunktionen φi: D C. 2 1? 3? 4? Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation? 14

15 Basisunktionen Die rekonstruierte Funktion soll in allen Datenpunkten pj mit der diskreten Funktion übereinstimmen. Dies erreichen wir durch folgende Basisfunktionen: N f p j = f i i p j i =1 { i p j = 1, i = j 0, i j } Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 15

16 Gitter und Zellen Ein Gitter ist eine Unterteilung eines gegebenen Raumes D ℝ Zellen ci. d in eine Menge von Gewöhnlich werden als Zellen Polytope verwendet: 1D: Strecke 2D: Polygone (Dreiecke, Vierecke, Vielecke) 3D: Polyeder (Tetraeder, Quader, Prismen, etc.) Die Vereinigung aller Zellen überdeckt den gesamten Ortsraum U i c i= D und die Zellen sind i.a. nicht überlappend i j : c i c j =0 Die Eckpunkte der Zellen sind zumeist durch die Messpunkte pi D gegeben. Gitter 2D Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Polyeder 16

17 Konstante Basisunktionen Konstante Basisfunktionen bilden die einfachste Form der kontinuierlichen 0 Datenrekonstruktion. Für ein Gitter mit N Zellen sind die Basisfunktionen i wie folgt definiert: { 0 i x = 1, x ci 0, x ci } f Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 17

18 Konstante Basisunktionen Konstante Basisfunktionen bilden die einfachste Form der kontinuierlichen 0 Datenrekonstruktion. Für ein Gitter mit N Zellen sind die Basisfunktionen i wie folgt definiert: 0 { i x = 1, x ci 0, x ci } Vorteile: Leicht zu implementieren Praktisch kein Rechenaufwand Bei allen Zelltypen und allen Dimensionen anwendbar Nachteile: Unrealistische Approximation mit Stufen Diskontinuitäten an den Zellgrenzen Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 18

19 Lineare Interpolation Für die lineare Interpolation in beliebigen Zellen definiert man zuerst die Interpolation in einer normierte Referenzzellen. Im 1D ist dies die Strecke [v1, v2] mit v1 = 0 und v2 = 1. Koordinaten in der Referenzzelle [0,1]d (auch Referenzkoordinaten) werden mit folgenden Koordinaten bezeichnet r, s, t für d 3 und r1,..., rd für d > 3. Koordinaten im Ortsraum des Feldes mit x, y, z für d 3 und x1,..., xd für d > 3. Für die lokalen Basisfunktionen damit: 1,1 12 :[0, 1] ℝ für Strecken im 1D ergibt sich 1 1=1 r 1 2 =r f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Basisfunktionen 19

20 Lineare Interpolation Referenzzellen Interpolierte Werte können nun wie folgt berechnet werden: 2 f r = f i 1i r i=1 Gegeben sei nun eine beliebige 1D Zelle c = (p1, p2). Um auch in dieser Zelle interpolieren zu können benötigt man eine Abbildung T: [0,1] ℝ zwischen der gegebenen Zelle und der Referenzzelle: 2 1 x=t r = p i i r i =1 Für eine Zelle mit n Vertices im 3D ergibt sich für T: [0,1]³ ℝ n 1 x, y, z =T r, s, t = pi i r, s,t i= f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Basisfunktionen 20

21 Lineare Interpolation Interpolation in beliebigen Zellen Um die Daten in beliebigen Zellen interpolieren zu können benötigt man die inverse Transformation T-1, welche Punkte in der gegebenen Zelle auf die Referenzzelle abbildet. Damit ergibt sich für die Interpolation in einer 3D Zelle mit N Vertices: N 1 f x, y, z = f i i T 1 i =1 x, y, z. Die inverse Transformation hängt stark vom jeweiligen Zelltyp ab und wird später behandelt. Für die linearen Basisfunktionen 1i für ein Gitter bestehend aus den Messpunkten pj und den Zellen ci ergibt sich somit: 1i x, y, z = { 0, if x, y, z cells p i 1i T 1 x, y, z, if x, y, z c i Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation } 21

22 Lineare Interpolation Eigenschaften: Die Basisfunktionen sind orthonormal. Die interpolierte Funktion f ist C0-stetig (Positionsstetigkeit). Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 22

23 Diskreter Datensatz Ein diskreter Datensatz besteht aus dem Tupel D s = ({pi}, {ci}, {fi}, {Φi}) mit pi: Datenpunkte ci: Zellen fi: Messwerte Φi: Basisfunktionen der Referenzzelle(n) Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 23

24 Zelltypen Vertex Linie Dreieck Viereck Rechteck Tetraeder Hexaeder Quader Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Pyramide Prisma 24

25 Strecke Eigenschaften: topologische Dimension s = 1 # Vertices nverts = 2 Positionen der Referenzzellen v 1 =0 v 2=1 Basisfunktionen 11 r =1 r 1 2 r =r Inverse Transformation (Skalarprodukt) 1 2 T Strecke x, y, z = p p1 p2 p1 / p2 p1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 25

26 Dreieck Eigenschaften: topologische Dimension s = 2 # Vertices nverts = 3 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0 v 2= 1, 0 v 3 = 0, 1 Basisfunktionen (entspricht baryzentrischen Koordinaten) 11 r, s =1 r s 12 r, s =r 13 r, s =s Inverse Transformation T 1 Dreieck 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 x, y, z = r, s = 2 p p1 p3 p1 / p3 p1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation T 26

27 Viereck Eigenschaften: topologische Dimension s = 2 # Vertices nverts = 4 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0 v 3 = 1, 1 v 2 = 1, 0 v 4 = 0, 1 Basisfunktionen 11 r, s = 1 r 1 s 12 r, s =r 1 s 13 r, s =rs 1 4 r, s = 1 r s Inverse Transformation (dot product...) T 1 Viereck 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 x, y, z = r, s = 2 p p1 p 4 p1 / p 4 p1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation T 27

28 Tetraeder Eigenschaften: topologische Dimension s = 3 # Vertices nverts = 4 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0, 0 v 3 = 0, 1, 0 v 2 = 1, 0, 0 v 4 = 0, 0, 1 Basisfunktionen (entspricht baryzentrischen Koordinaten) 11 r, s, t =1 r s t 12 r, s, t =r 13 r, s,t =s 1 4 r, s, t =t Inverse Transformation 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 2 T 1 Tet x, y, z = r, s, t = p p 1 p 3 p 1 / p 3 p 1 2 p p1 p 4 p1 / p4 p1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation T 28

29 Hexaeder Eigenschaften: topologische Dimension s = 3 # Vertices nverts = 8 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0,0 v 5 = 0, 0,1 v 2 = 1, 0,0 v 6 = 1,0, 1 v3= 1,1, 0 v 7= 1, 1,1 Basisfunktionen 11 r, s, t = 1 r 1 s 1 t 13 r, s, t =r s 1 t 15 r, s, t = 1 r 1 s t 1 Inverse Transformation 12 r, s,t =r 1 s 1 t 14 r, s,t = 1 r s 1 t 15 r, s,t = 1 r 1 s t 1 7 r, s, t =rst v 4= 0, 1,0 v8 = 0, 1,1 8 r, s, t = 1 r st 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 1 T Hex x, y, z = r, s, t = p p1 p 4 p1 / p 4 p1 2 p p1 p 8 p1 / p8 p1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation T 29

30 Gittertypen In der Wissenschaft werden vielfältige Gittertypen verwendet. Die am häufigsten verwendeten sind: Uniforme/regelmäßige Gitter Rektilineare Gitter Strukturierte Gitter Unstrukturierte Gitter Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 30

31 Regelmäßige Gitter (uniform grid) Bei regelmäßigen Gitter entspricht der Ortsraum einem d-dimensionalen achsenparallelen Quader (1D: Strecke, 2D: Rechteck, 3D: Quader). Die Gitterpunkte haben entlang den Hauptachsen einen regelmäßigen Abstand zueinander. Regelmäßige Gitter lassen sich sehr effizient implizit im Speicher ablegen. Man benötigt hierfür: p0: den Ursprung der Box Δi: den Abstand zwischen benachbarten Punkten auf jeder Achse ni: die Anzahl der Vertices auf den Achsen Anzahl der zu speichernden Werte: d( ) = 3d Werden die Daten fi nun in einem Vektor abgespeichert, erhält man die Koordinate i für den Punkt (x1,..., xd ) mittels d k 1 i= x 1 x k nl k =2 l= 1 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 31

32 Rechtwinklige Gitter (rectilinear grid) Rechtwinklige Gitter unterteilen den Raum ebenfalls in achsenparallele Bereiche, jedoch dürfen die paarweisen Abstände auf den Achsen hier unterschiedlich groß sein. Um ein rechtwinkliges Gitter zu speichern benötigt man: p0: den Ursprung der Box di, j: die Abstände zwischen benachbarten Punkten auf den Achsen (i [1, d], j [0, ni]) Anzahl der zu speichernden Werte: d d ni i =1 Die Abfrage von Koordinaten ist analog zu regelmäßigen Gittern. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 32

33 Strukturierte Gitter (structured grid) Um bei der Modellierung von geometrischen Strukturen etwas mehr Freiheit zu haben, gibt es strukturierte Gitter. Die Nachbarschaft der Vertices ist nach wie vor fix, jedoch kann jeder einzelne Vertex innerhalb dieser Konfiguration frei bewegt werden. Um ein strukturiertes Gitter zu speichern benötigt man: pi: die Positionen der Vertices ni: die Anzahl an Position pro Dimension d Anzahl der zu speichernden Werte: d 3 n i i =1 Die Abfrage von Koordinaten ist analog zu regelmäßigen Gittern. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 33

34 Unstrukturierte Gitter (unstructured grids) Strukturierte Gitter haben folgende Nachteile: Nur für eine bestimmte Topologische Struktur geeignet. Die Gitterzellen sind implizit vorgegeben. Unstrukturierte Gitter haben diese Nachteile nicht, da Positionen und Zellen explizit definiert werden. Unstrukturierte Gitter bestehen aus: {pi}, i [ 0, N ] : Messpunkten {ci = (vi,1,..., vi,cj)}: Zellen, wobei Cj die Anzahl an Vertices für den entsprechenden Zelltyp angibt. Die vi,j sind Zeiger auf Messpunkte. Unstrukturierte Gitter sind sehr mächtig, benötigen jedoch recht viel Speicher (besonders, wenn verschiedene Zelltypen in einem Gitter verwendet werden). Die Lokalisation von Zellen ist ebenfalls wesentlich schwieriger. Triangulierung Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Verschiedene Zelltypen 34

35 Unstrukturierte Gitter Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 35

36 Weitere Gittertypen Multiblock strukturierte Gitter: Die Definitionsmenge wird in Blöcke unterteilt, die jeweils selbst als strukturierte Gitter organisiert sind. (Anwendung: Simulationen die aus mehreren Komponenten/Bauteilen bestehen). Hybride Gitter: Der Ortsraum ist wieder in mehrere Blöcke unterteilt, jedoch diesmal mit verschiedenen Gittertypen. (Anwendung: Wieder mehrere Blöcke, jedoch habe diese z.b. unterschiedlich komplizierte Geometrie) Chimärengitter: Es erfolgt eine Unterteilung in strukturierte Blöcke, die sich überschneiden. Die Auswertung der Attribute erfolgt über geeignete Interpolation. (Anwendung: Meist bei komplexer Geometrie, wenn Randbedingungen weitergegeben werden müssen.) Hierarchische Gitter: Hier erfolgt eine Unterteilung des Ortsraumes durch Quadtrees, Octrees oder andere Unterteilungsverfahren. (Anwendung: Stellt verschiedene Auflösungen bei großen und komplexen Daten bereit. ) Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation [ Chimera Grid Tools] 36

37 Attribute Die Attribute eines Datensatzes beschreiben die Werte an den Messpunkten pi. Dabei kann es sich um einen einzigen Datentyp handeln oder eine Menge aus Messwerten (z.b. Temperatur, Druck, Windfeld in einem Wetterdatensatz). Die am häufigsten auftreten Datentypen sind: Skalarwerte Vektorwerte Tensorwerte Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 37

38 Skalarwerte Skalarwerte sind einfache numerische Werte. Man unterscheidet: Nominale Werte: Die Werte dienen lediglich der Unterscheidung mehrerer Ausprägung, haben jedoch keine Inherente Ordnung (Bsp. Farbe, Geschlecht). Ordinale/Diskrete Werte: Die Werte sind diskret und können geordnet werden wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen (Bsp. klein, mittel, groß; Anzahl; Wochentag). Kontinuierliche Werte: Innerhalb eines bestimmte Wertebereichs können alle Werte angenommen werden (Bsp. Größe, Temperatur, Richtung). [graphics.stanford.edu/paper/solaris] Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 38

39 Vektorwerte Vektoren treten zumeist im 2D und 3D auf und geben gerichtete Größen oder Positionen an, wie zum Beispiel Position im Ortsraum Bewegungsrichtung Kraft Gradient einer skalaren Funktion Normalen zu einer Oberfäche Man unterteilt den Vektor häufig in Richtung und Norm/Länge. v = v = v1 v2 v v norm =v norm = v v = x 21 x 2d Normierter Vektor = Richtung Norm vn Vektor Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 39

40 Tensorwerte Tensoren sind eine Verallgemeinerung von Skalaren, Vektoren und Matrizen auf höhere Dimensionen. Die Ordnung eines Tensors gibt die Dimension an, welche ein Feld haben muss um ihn zu beschreiben (entspricht der Anzahl der Indizes): 0. Ordnung: Skalar 1. Ordnung: Vektor 2. Ordnung: Matrix n. Ordnung: n-dimensionales Feld Anwendungen von Tensoren (meist zweiter Ordnung): Spannungstensoren bei der Untersuchung von Materialien. Diffusionstensoren zur Beschreibung der Diffusion von Wasser z.b. im Gehirn. Feldstärketensoren diener der Beschreibung von elektromagnetischen Feldern in der Raumzeit. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 40

41 Die Verarbeitungskette in der Visualisierung Ziel der Visualisierung ist es mittels Bildern neue Einsichten in gegebene Prozesse/Systeme zu ermöglichen. Der Prozess gliedert sich in mehrere modulare Schritte: Datenimport Datenaufarbeitung Abbildung auf graphische Primitive Rendering Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 41

42 Datenimport Zur Speicherung wissenschaftlicher Daten gibt es vielfältige Formate. Damit die Visualisierungsalgorithmen all diese Datenformate verarbeiten können, werden die Daten gewöhnlich vom externen Format in der Datei in ein internes im Visualisierungsprogramm konvertiert. Struktur und Werte bleiben gewöhnlich erhalten. VTK Dateiformat Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation netcdf Dateiformat 42

43 Datenimport Dicom HDF5 Dateiformat Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 43

44 Datenaufarbeitung Häufig können spezifische Fragen nicht einfach durch das direkte Darstellen der Daten beantwortet werden, sondern es müssen erst Strukturen extrahiert oder die Daten transformiert werden. Beispiele: Extraktion anatomischer Strukturen in einer MRT-Aufnahme Analyse bestimmter Filme in einer Sammlung von Kinofilmen Berechnung des Gradienten in einem Skalarfeld Berechnung von Wirbeln in einer Strömungssimulation Berechnung statistischer Größen Dieser Schritt ist häufige der schwierigste und arbeitsreichste in der Visualisierung. [DKFZ] Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation [Fuchs 2007] 44

45 Abbildung auf Graphische Primitive Bisher sind die Daten in abstrakter numerischer Form gegeben. Um sie anzeigen zu können müssen sie in graphische Form überführt werden. Wichtige Charakteristika für der graphischen Repräsentation sind Form, Position, Größe Farbe, Textur, Beleuchtung Bewegung Eigenschaften einer guten Abbildung Injektiv: Unterschiedliche Werte in den Daten sollten auf unterschiedliche graphische Primitive abgebildet werden. Dies ist nötig damit der Betrachter die ursprünglichen Daten aus dem Bild rekonstruieren kann. Erhaltung von Abständen: Der visuelle Eindruck von Abständen sollte dem tatsächlichen entsprechen. Dies gilt sowohl für Farben, als auch für räumliche Abstände. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 45

46 Rendering Beim Rendering wird das graphische Modell der Daten auf ein 2D Bild abgebildet. Hierzu werden noch einige zusätzliche Informationen benötigt: Augpunkt Kameraeinstellungen Beleuchtung Für gewöhnlich können die Renderingparameter in der Visualisierungssoftware interaktiv geändert werden, so dass man sich die Daten von verschiedenen Seiten ansehen kann oder durch Zoomen das Blickfeld verkleinern oder vergrößern kann. Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 46

47 Referenzen Die Erklärungen folgen den Beschreibungen in: A. C. Telea. Data Visualization: Principles and Practice, A K Peters, Ltd., 2008 Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation 47