Noethersche und artinsche Ringe

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1 Noethersche und artinsche Ringe Seminar Kommutative Algebra und Varietäten Prof. Dr. K. Wingberg, Dr. J. Gärtner Vortrag 6 Yassin Mousa Im Folgenden bezeichne R immer einen kommutativen Ring mit 1. 1 Kettenbedingungen Ordnet man die Menge Σ aller Untermoduln eines Moduls M mit der Relation, so erhält man einen Verband 1 mit dem maximalen Element M und dem minimalen Element (0). Kettenbedingungen sind eine Möglichkeit, um die mengentheoretischen Eigenschaften dieses Verbandes (Σ, ) mit algebraischen Eigenschaften in Verbindung zu bringen. Zunächst wollen wir der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen die Menge aller echten Untermoduln von M ein maximales Element besitzt. In der Mengenlehre gibt es zwei wichtige Sätze, die uns eine solche Existenz eines maximalen Elements sichern. Satz 1.1 (Zornsches Lemma): Sei S eine nicht leere, partiell geordnete Menge. Besitzt jede total geordnete Teilmenge T von S eine obere Schranke in S, dann besitzt S mindestens ein maximales Element. Satz 1.2: Sei S eine partiell geordnete Menge mit der Ordnungsrelation ; dann sind die folgenden zwei Aussagen äquivalent: i) Jede aufsteigende Kette x 1 x 2 in S ist stationär.(d.h, es existiert ein n, derart, dass gilt:x n = x n+1 = ) ii) Jede nicht leere Teilmenge von S besitzt ein maximales Element. Beweis: i.) ii.) : Beweis durch Kontraposition. Gilt ii.) nicht, so gibt es eine nicht leere Teilmenge T von S, die kein maximales Element besitzt. Man wähle x 1 T. Da T kein maximales Element besitzt existiert ein x 2 T.mit x 1 < x 2. Man fährt nun induktiv fort und erhält so eine nicht stationäre Kette. (An dieser Stelle benötigt man 1 Ein Verband bezeichnet eine partielle Ordnung auf einer Menge Σ, wobei es zu je zwei beliebigen Elementen a und b stehst ein Supremum und Infinum gibt. Im Falle zweier Untermoduln a und b eines Moduls M sind diese unter der Ordnungsrelation durch sup(a, b) = a + b und inf(a, b) = a b gegeben. 1

2 das abzählbare Auswahlaxiom) 2 ii.) i.) : Betrachte die Kette x 1 x 2 als Menge (x m ) m>1.diese besitzt ein maximales Element x n. Somit ist die Kette stationär. Bezeichnung: Betrachtet man die Menge Σ aller Untermoduln eines Moduls mit der Ordnungsrelation, so bezeichnet man i.) als die aufsteigende Kettenbedingung und ii.) als die Maximalitätsbedingung. Wird Σ von geordnet, so bezeichnet man i.) als die absteigende Kettenbedingung und ii.) als die Minimalitätsbedingung. Betrachtet man eine total geordnete Teilmenge bzw. aufsteigende Kette von Untermoduln M 1 M 2 eines Moduls M, so erkennt man schnell, dass als einziger Kandidat für eine obere Schranke nur der Untermodul N := i=1 M i 3 in Frage kommt. Bei einem Ring R, aufgefasst als R-Modul über sich selbst, kann man zeigen, dass für alle Ketten aus der Menge der echten Ideale N R gilt 4. Somit ist aufgrund des Zornschen Lemmas die Existenz von mindestens einem maximalen Ideal nachgewiesen. Für Untermoduln ist N M jedoch i.a falsch. Gilt allerdings für jede beliebige Kette von Untermoduln m N : i=1 M i = m i=1 M i, so kann man Satz 1.2 anwenden. Dies motiviert die folgende Aussage: 5 Satz 1.3: Für ein R-Modul M sind folgende Aussagen äquivalent: i) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt ii) Jede nicht leere Teilmenge der Menge Σ aller Untermoduln von M besitzt ein maximales Element Beweis:,, : Sei M 1 M 2 eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M, dann ist N := i=1 M i ein Untermodul von M und somit endlich erzeugt. Die Erzeuger seien gegeben durch x 1,, x r mit x i M ni. Mit n = max r i=1 n i folgt 1 i r : x i M n. Folglich ist M n = N und die Kette ist stationär. Man verwende Satz 1.2.,, :Sei N ein Untermodul von M, und Σ bezeichne die Menge aller endlich erzeugten Untermoduln von N. Nun ist Σ nicht leer, da 0 Σ und besitzt somit ein maximales Element N 0. Angenommen N 0 N. Man betrachte den Untermodul < N 0, x > N mit x N und x / N 0. Nun ist < N 0, x > endlich erzeugt und N 0 < N 0, x >. Es gilt also N 0 = N und N ist endlich erzeugt. Aufgrund von Satz 1.3 ist die Maximalitätsbedingung etwas bedeutsamer als die Minimalitätsbedingung. Diese kann zunächst nicht so leicht mit algebraischen Eigenschaften des Moduls in Verbindung gebracht werden. Die vorangegangenen Beobachtungen sollen nun Anlass zu folgender Definition geben: 2 Das abzählbare Auswahlaxiom ist schwächer als das Auswahlaxiom. Die Tatsache, dass das Auswahlaxiom hier nicht benötigt wird führt letztendlich dazu, dass es auch nicht benötigt wird, um die Existenz eines maximalen Ideals in einem noetherschen Ring zu beweisen. 3 Dass es sich bei N um einen Modul handelt ist klar; denn für je zwei Elemente x und y gibt es stets ein Modul M n N mit x, y M n. Somit gelten für x und y die in Moduln geforderten Eigenschaften. 4 Für jedes Ideal a R gilt 1 / a. Somit 1 / N N R. 5 Ist (M i ) i>1 eine Kette in (Σ, ), so ist es nicht möglich i=1 M i einfach als maximales Element von (M i ) i>1 zu wählen, da keinesfalls klar ist, ob i=1 M i (M i ) i>1 gilt. Dies ist i.a falsch 2

3 Definition 1.4 (endliche Kette): Eine endliche Kette von Untermoduln eines Moduls M ist eine Kette (M i )(0 i n) von Untermoduln von M, für die gilt: M = M 0 M 1 M n = 0. Dabei legt n die Länge der Kette fest. Eine Kette heißt maximal, falls es nicht möglich ist, einen weiteren Untermodul von M in die Kette einzufügen. Dies ist genau dann erfüllt, falls alle Moduln M i 1 /M i (1 i n) einfach sind. Satz 1.5: Sei M ein Modul mit einer maximalen Kette der Länge n; dann besitzt jede maximale Kette von M die Länge n und jede Kette kann zu einer maximalen Kette ergänzt werde. Beweis: l(m) bezeichne das Minimum der Längen aller maximalen Ketten von M.(l(M) := +, falls M keine maximale Kette besitzt). i.) Beh: Sei N M ein echter Untermodul von M, dann gilt l(n) < l(m). Bew: Sei (M i ) eine maximale Kette von M von minimaler Länger l(m). Die Untermoduln N i von N seinen gegeben durch N i := N M i. Es folgt N i M i und daher N i 1 /N i M i 1 /M i und letzterer Modul ist einfach. Folglich gilt entweder N i 1 /N i = M i 1 /M i oder N i 1 /N i = 0 N i 1 = N i. Mit (N i ) Ni N i+1 erhält man so eine maximale Kette von N mit l(n) l(m). Angenommen l(n)=l(m), dann gilt N i 1 /N i = M i 1 /M i i = 1, 2,, l(m); und daher M l(m) 1 = N l(m) 1 M l(m) 2 = N l(m) 2 M = N. (Man beachte M l(m) = N l(m) = 0) ii.) Beh: Die Länge jeder Kette in M ist l(m). Bew: Sei M = M 0 M 1 M k = 0 eine Ketter der Länge k. Dann gilt nach i.) l(m) > l(m 1 ) > > l(m k ) = 0, somit l(m) k. iii.) (M i ) sei eine beliebige maximale Kette von M. Angenommen diese Kette habe die Länge n, dann ist n l(m) nach ii.) und somit n=l(m) aufgrund der Definition von l(m). Folglich haben alle maximalen Ketten die gleiche Länge. Letztlich betrachte man eine beliebige Kette von M. Ist deren Länge l(m), so muss sie nach ii.) maximal sein. Ist die Länge < l(m), dann ist die Kette nicht maximal ( 1 i n : M i 1 /M i ist nicht einfach) und somit kann ein weiterer Untermodul in die Kette eingefügt werden. Induktiv kann diese so zu einer maximalen Kette ergänzt werden. Satz 1.6: Für ein R-Modul M sind folgende Aussagen äquivalent: i) M besitzt eine maximale Kette ii) M erfüllt sowohl die aufsteigende als auch die absteigende Kettenbedingung. Beweis:,, : Sei (M i ) eine beliebige Kette von M. Man betrachte nun die Folge (M n ) der Ketten M n = (M = M 0 M n = 0 : M i M i+1 ). Ang. (M i ) wäre bzgl. einer der beiden Relationen, oder nicht stationär, dann wäre die Folge der Längen der Ketten M i unbeschränkt. nach Satz 1.5.,, : Man konstruiere sich eine maximale Kette wie folgt: Da der Modul M = M 0 die aufsteigende Kettenbedingung erfüllt, besitzt er nach Satz 1.2 einen maximalen Untermodul M 1 M 0. Selbiges trifft nun auf den Modul M 1 zu, sodass man eine 3

4 streng absteigende Kette M 0 M 1 erhält, die nach der absteigenden Kettenbedingung ab einem Index n stationär sein muss. Somit erhält man eine maximale Kette M = M 0 M 1 M n = 0 Definition 1.7 (Modul von endlicher Länge): Aufgrund von Satz 1.6 nennen wir einen Modul, welcher sowohl die aufsteigende als auch die absteigende Kettenbedingung erfüllt, ein Modul von endlicher Länge. Alle maximalen Ketten eines Moduls M von endlicher Länge besitzen nun nach Satz 1.5 die gleich Länge l(m), sodass wir l(m) als die Länge des Moduls M bezeichnen. Satz 1.8 (Jordan-Hölder): Je zwei maximale Ketten eines Moduls M von endlicher Länge sind äquivalent 6. Bemerkung: Man überlege sich einfach, dass für einen endlich dimensionalen Vektoraum die Begriffe der Dimension und der Länge äquivalent sind. Satz 1.9: Die Länge l(m) ist eine additive Funktion auf der Klasse aller R-Moduln von endlicher Länge. 7 Beweis: Es ist zu zeigen: Bei gegebener exakter Sequenz 0 M α β M M 0 von Moduln endlicher Länge. gilt l(m) = l(m ) + l(m ). Es sei (M i ) eine maximale Kette von M und (M i ) eine maximale Kette von M. Nun ist die Sequenz exakt, und somit induziert β einen Isomorphismus von M/Kern(β) = Coker(f) nach M. Folglich ist (β 1 (M i )) eine Kette von M, für die gilt: β 1 (M i 1 )/β 1 (M i ) ist einfach 1 i < l(m ). Ferner ist α injektiv und daher (α(m i )) eine maximale Kette von Im(α) = Ker(β). Mit β 1 (M L(M ) ) = α(m 0) ist folglich M = β 1 (M 0 ) β 1 (M L(M ) 1 ) α(m 0) α(m l(m ) ) = 0 eine maximale Kette von M und es gilt l(m) = l(m ) + l(m ). 6 Wir nennen zwei endliche Ketten(M i ) und (N i ) äquivalent, falls gilt: i) Die beiden Ketten besitzen beide die gleiche Länge n ii) Es existiert eine Permutation σ : {1,, n} {1,, n}, derart dass gilt: M i 1 /M i = N σ(i 1) /N σ(i) 7 Man könnte hier mit Blick auf den Satz 2.11 auch von der Klasse aller R-Modulen ausgehen, wenn man l(m) := setzt, falls M nicht von endlicher Länge ist. 4

5 2 Noethersche und artinsche Moduln und Ringe Der vorangegangene Abschnitt hat das Potential von Kettenbedingung in Anwendung auf Moduln aufgezeigt. Dieser Abschnitt wird nun verstärkt auf die algebraischen Eigenschaften von Moduln mit einer Maximalitätsbedingung eingehen. Definition 2.1 (Noetherscher Modul ): 8 Ein Modul M wird noethersch genannt, falls es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen 9 erfüllt: i) M erfüllt die aufsteigende Kettenbedingung ii) M erfüllt die Maximalitätsbedingung iii) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt Definition 2.2 (Artinscher Modul): 10 Ein Modul M wird artinsch genannt, falls es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen 11 erfüllt: i) M erfüllt die absteigende Kettenbedingung ii) M erfüllt die Minimalitätsbedingung Definition 2.3 (Noetherscher bzw. artinscher Ring): Ein Ring R heist noethersch, bzw. artinsch, falls er als R-Modul noethersch bzw. artinsch ist. Beispiele: i) Eine endliche abelsche Gruppe G (als Z M odul) ist sowohl artinsch als auch noethersch.(man beachte, dass die Untermoduln in diesem Fall gerade den Untergruppen von G entsprechen) ii) Hauptidealringe sind noethersche Ringe. 12 iii) Hauptidealringe müssen aber nicht umbedingt artinsch sein. Dies erkennt man z.b am Ring der ganzen Zahlen Z. Für ein a 0 gilt a n a n+1 n N (a) (a 2 ) (a m ) iv) Der Polynomring in einer Variablen über einem Körper k k[x] ist ein euklidischer Ring, folglich Hauptidealring, folglich noethersch. k[x] ist ebenfalls nicht artinsch. Dies sieht man an der streng absteigenden Kette (x) (x 2 ) (x n ), die sich ebenfalls über die Teilbarkeitslehre erklärt Benannt nach Amalie Emmy Noether ( ) 9 Für die Äquivalenz dieser Aussagen siehe Satz 1.2 und Satz Benannt nach Emil Artin ( ) 11 Für die Äquivalenz dieser Aussagen siehe Satz Dies ist nach Satz 1.3 klar. Allerdings ist dieses Resultat auch schon mit folgenden zwei Sätzen aus der Algebra I bekannt: 1.) ein Integritätsring R ist genau dann faktoriell, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: a.) Jede aufsteigende Kette von Hauptidealen ist stationär b.)jedes irreduzible Element von R ist ein Primelement. 2.) Jeder Hauptidealring R ist faktoriell. 13 In der Kette haben wir echte Inklusionsbeziehungen, da die Elemente x m und x m+1 nicht zueinander assoziiert sind. Dies ist intuitiv klar, aber auch an der Definition des Polynomrings über einem Körper direkt zu erkennen. 5

6 v) Der Polynomring k[x 1, x 2, ] in unendlich vielen Variablen über einem Körper k ist weder artinsch (Dies zeigt man analog, wie im Falle vom Polynomring in einer Variable) noch noethersch, da die Kette (x 1 ) (x 1, x 2 ) nicht stationär ist. vi) Z[ 1 p ]/Z mit Z[ 1 p ] := { a p n nicht noethersch : a Z, n 0}, mit einer Primzahl p ist artinsch aber Bis jetzt wurde in noetherschen und artinschen Ringen immer nur eine bestimmte Kette betrachtet. Es ist aber auch recht sinnvoll das Zusammenspiel dieser Ketten im Verband zu untersuchen. Für einen noetherschen Modul soll dies hier in einem Diagramm exemplarisch veranschaulicht werden. M M 2,0 M 2,1 M 2,2 M 2,3 M 2,4 M 2,5 M 1,0 M 1,1 M 1,2 M 1,3 M 1,4 M 0,0 M 0,1 M 0,2... Die folgende Definition soll helfen, um dass Diagramm zu beschreiben. Definition 2.4 (Irreduzibilität von Untermodul): Ein Untermodul M heißt irreduzibel, falls gilt: Ist M = N O mit Untermoduln N und O (M = NoderM = O). Man nennt ein Untermodul reduzibel, falls es nicht irreduzibel ist. 14 Im obigen Diagramm sind nun alle Untermoduln, die an Knoten sitzen reduzibel, alle anderen irreduzibel. Da das Diagramm nach oben beschränkt ist, drängt sich die Vermutung auf, dass sich in einem noetherschen Modul jeder Untermodul als Schnitt endlich vieler irreduzibler Moduln darstellen lässt. Dem soll nun mathematisch nachgegangen werden. Lemma 2.5: In einem noetherschen Modul M lässt sich jeder Untermodul als Schnitt endlich vieler irreduzibler Untermoduln darstellen. Beweis: Angenommen die Behauptung wäre falsch, dann ist die Menge Σ aller Untermoduln in M, auf die das Lemma nicht zutrifft, nicht leer. Σ enthält folglich ein reduzibles, maximales Element M = N O mit N M und O M. Nun lassen sich N / Σ und O / Σ durch einen endlichen Schnitt irreduzibler Untermoduln beschreiben, folglich auch M. Ob eine Primärzerlegung eines Ideals in einem noetherschen Ring möglich ist scheint also davon abzuhängen, ob die irreduziblen Ideale bereits Primärideale sind. Lemma 2.6: In einem noetherschen Ring R ist jedes irreduzible Ideal a ein Primärideal. 14 Jedes Primideal ist irreduzibel. 6

7 Beweis: Man betrachte den Restklassenring R/a. Angenommen (0) R/a ist reduzibel, dann existieren zwei Ideale b, c in R/a mit (0) = b c und (0) b, c, folglich a = π 1 (b) π 1 (c) und a π 1 (b), π 1 (c), wobei π die zugehörige Restklassenabbildung bezeichnet. Dies führt aufgrund der Irreduzibilität von a zu einem Widerspruch, sodass (0) R/a irreduzibel sein muss. Ferner folgt aus der Definition eines Primärideals sofort (0) R/a ist genau dann primär, wenn a primär ist. Es genügt also die Behauptung für (0) zu zeigen. Sei xy = 0 mit y 0. Da R noethersch ist, muss die aufsteigende Kette Ann(x) Ann(x 2 ) stationär sein. Es existiert also ein n mit Ann(x n ) = Ann(x n+1 ) =. Nun folgt (x n ) (y) = 0, denn ist z (y) dann ist zx = 0; gilt nun auch z (x n ), so ist z = bx n, folglich bx n+1 = 0, folglich b Ann(x n+1 ) = Ann(x n ), folglich bx n = 0 = z. Da (0) irreduzibel ist und (y) 0 ist, also x n = 0, also ist (0) primär. Satz 2.7: In einem noetherschen Ring besitzt jedes Ideal a (1) eine Zerlegung in Primärideale. 15 Satz 2.8: In einem noetherschen Ring R enthält jedes Ideal a eine Potenz seines Radikals a Beweis: R ist noethersch und somit ist a endlich erzeugt von Erzeugern x 1,, x k. Für diese Erzeuger gilt nach der Definition des Radikals x ni i a mit gewissen n i.sei m := 1 + Σ k i=1 (n i 1). Nach dem Binomischem Lehrsatz ist {x r1 1 xr k k Σr i = m} ein Erzeugendensystem von a m. Nach der Konstruktion von m muss r i n i für mindestens ein i gelten. Somit liegt also jeder Erzeuger aus dem Erzeugendensystem {x r1 1 xr k k Σr i = m} in a, folglich a m a Korollar 2.9: In einem noetherschen Ring R ist das Nilradikal nilpotent. Beweis: Man wähle a = (0) in Satz 2.8. Satz 2.10: Sei a (1) ein Ideal in einem noetherschen Ring. Die Primideale die zu a gehören entsprechen genau den Primidealen aus der Menge {(a : x) x R} Beweis:,, : Durch Übergang nach R/a sei o.b.d.a a = (0), denn eine minimale Primärzerlegung von a R erhält man aus einer minimalen Primärzerlegung von (0) R/a durch Kontraktion 16. Sei also n i=1 q i = 0 eine minimale Primärzerlegung von (0). Seien p i := q i und a i := i j q j 0. Aus dem Beweis des 1.) Eindeutigkeitsatzes der Primärzerlegung (siehe Vortrag 4) folgt Ann(x) = p i x a i, x 0, sodass folgt Ann(x) p i. Da q i p i -primär ist folgt nach Satz 2.8 p m i q i für ein geeignetes m. Folglich gilt a i p m i a i p m i a i q i = 0. Sei m 1 das kleinste m mit a i p m i = 0 und sei x a i p m 1 i, x 0. Es folgt p i x = 0, also Ann(x) p i, also Ann(x) = p i.,, : Sei Ann(x) ein Primideal p, dann gilt Ann(x) = p und somit gehört p nach dem 1.) Eindeutigkeitssatz der Primärzerlegung zu a 15 An der exemplarischen Abbildung auf Seite 6 kann man sich veranschaulichen, dass diese Primärzerlegung i.a nicht eindeutig zu sein braucht. 16 Der Begriff Kontraktion wird in der Fußnote 18 erklärt 7

8 Wie wir festgestellt haben, besitzen noethersche und artinsche Moduln erstaunliche Eigenschaften. Es stellt sich nun die Frage, in wie weit diese Eigenschaften unter bestimmten Operationen erhalten bleiben. Dies soll im Folgenden betrachtet werden. Satz 2.11: Sei 0 M α β M M 0 eine exakte Sequenz von R-Moduln. Dann gilt: i) M is noethersch M und M sind noethersch ii) M ist artinsch M und M sind artinsch Beweis: i.),, : Da die Sequenz exakt ist, ist α injektiv und Coker(α) = M. Jede aufsteigende Kette in M oder M induziert also eine aufsteigende Kette in M und muss daher stationär sein. Folglich sind M und M noethersch. 17,, : Sei(L n ) n1 eine aufsteigende Kette von Untermoduln von M, dann ist (α 1 (L n )) eine aufsteigende Kette in M und (β(l n )) ist eine aufsteigende Kette in M. Sowohl (α 1 (L n )) als auch (β(l n )) sind stationär. Da die Sequenz exakt ist(also insbesondere α injektiv und Coker(α) = M ), muss also auch (L n ) n1 stationär sein. ii.) analog. Satz 2.12: Sind M i (1 i n) noethersche (resp. artinsche) R-Moduln, dann ist n i=1 M i noethersch (resp. artinsch). α Beweis: Betrachte die Sequenz 0 M n n β i=1 M i n 1 i=1 M i 0 mit α(x) = (0,, 0, x) und β((x 1,, x n )) = (x 1,, x n 1 ). Es folgt Im(α) = Ker(β) und α ist injektiv und β ist surjektiv; somit ist die Sequenz exakt. Die Behauptung folgt nun durch Induktion nach n unter der Verwendung von Satz 2.11; Satz 2.13: Sei M ein Modul und N ein Untermodul von M, dann gilt: i) Ist M noethersch (resp. artinsch), dann ist M/N noethersch (resp. artinsch) ii) Sind N und M/N noethersch (resp. artinsch), dann ist M noethersch (resp. artinsch). Beweis: Man betrachte die exakte Sequenz 0 N i M π M/N 0 mit der Inklusionsabbildung i und der Restklassenabbildung π und verwende Satz 2.11 Satz 2.14: Sei R ein noetherscher (resp. artinscher) Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul, dann ist M noethersch (resp.) artinsch. Beweis: M ist ein endlich erzeugter R-Modul und somit isomorph zu einem Restklassenring von R n. Die Behauptung folgt nun aus den Sätzen 2.12 und Satz 2.15: Ist A ein noetherscher (resp. artinscher Ring), φ ein surjektiver Ringhomomorphismus von A nach B, dann ist auch B noethersch (resp.) artinsch. Beweis: Nach dem Homomorphiesatz gilt B = A/Ker(φ). A/Ker(φ) ist nach Satz 2.13 noethersch (resp. aritnsch) als ein A-Modul, also auch als ein A/Ker(φ)-Modul (also als Ring.) 17 Gleiche Argumentation wie im Beweis von Satz 1.9 8

9 Satz 2.16: Ist R ein noetherscher Ring und S eine multiplikative Teilmenge von R, dann ist S 1 R noethersch Beweis: Ist a ein beliebiges Ideal von R, dann besitzt a ein endliches Erzeugendensystem (x 1,, x n ). Somit wird S 1 a von (x 1 /1,, x n /1) erzeugt. Jedes Ideal in S 1 R ist also endlich erzeugt. 18 Satz 2.17 (Hilbertscher Basissatz): 19 Ist R ein noetherscher Ring, dann ist R[X] ein noetherscher Ring. Beweis: Der Beweis soll geführt werden, indem gezeigt wird, dass jedes Ideal a in R[X] endlich erzeugt ist. Sei also a ein Ideal in R[X]. Die führenden Koeffizienten von Polynomen in a müssen dann ein Ideal I in R bilden. Da R noethersch ist, ist I endlich erzeugt von einem Erzeugersystem a 1,, a n. Für jedes i = 1,, n existiert nun ein Polynom f i a der Form f i = a i x ri +(Terme niedrigeren Grades). Sei r = max n i=1 r i.aufgrund ihrer Wahl erzeugen die f i ein Ideal a a in R[X]. Sei f = ax m +(Terme niedrigeren Grades) mit a I ein beliebiges Polynom aus a. Angenommen m r. Da sich a darstellen lässt als a = Σ n i=1 u ia i mit u i R, folgt also f = Σ n i=1 u ia i x m + = Σ n i=1 u ia i x ri x m ri + = Σ n i=1 u if i x m ri Also ist f Σ n i=1 u if i x m ri ein Polynom in a vom Grad < m. Ferner ist Σ n i=1 u if i x m ri a. Führt man diesen Prozess also induktiv fort, erhält man Polynome g a vom Grad < r und h a, mit f = g + h. Ist M das von 1, x,, x r 1 erzeugte R-Modul, so wurde bis jetzt die Gleichheit a = (a M) + a gezeigt. Nun ist M ein endlich erzeugtes R-Modul und somit nach Satz 2.14 noethersch. Folglich ist somit auch a M noethersch und endlich erzeugt(als ein R-Modul). Ist g 1,, g m ein Erzeugendensystem von a M, so erzeugen die f i und g i a. a ist somit endlich erzeugt, und folglich noethersch. Korollar 2.18: Ist R noethersch, dann ist R[X 1,, X n ] noethersch. Beweis: Man beachte R[X 1,, X n ] = R[X 1,, X n 1 ][X n ] und führe den Beweis durch Induktion nach n. Korollar 2.19: Sei B eine endlich erzeugte A Algebra. Ist A noethersch, dann ist auch B noethersch. 18 Die Aussage gilt auch für artinsche Ringe, ist dann aber anders zu beweisen. Man benötigt die folgenden beiden Sätze: Bez. Seien A, B Ringe und f : A B ein Ringhomomorphismus. Ist a A ein Ideal, dann ist auch a e B mit a e := Bf(a) ein Ideal. Dieses heißt erweitertes Ideal von a. Ist b B ein Ideal, dann ist b c A mit b c := f 1 (b) ein Ideal. Dieses heißt kontrahiertes Ideal. 1.) Sei R ein Ring und S eine multiplikative Teilmenge. Jedes Ideal in S 1 R ist dann ein erweitertes Ideal. 2.) Seien f : A B, A, B wie oben, dann gilt: Ist C die Menge aller kontrahierten Ideale in A und E die Menge aller erweiterten Ideale in B, dann gilt C = {a a ec = a}; E = {b b ce = a} und a a e ist eine Bijektion von C nach E mit der Umkehrabbildung b b c Die Ideale in S 1 R stehen also in einer bijektiven, ordnungserhaltenden Relation zu den kontrahierten Idealen in R, müssen also der Minimalitätsbedingung genügen, falls R artinsch ist. 19 Benannt nach David Hilbert ( ). Hilbert studierte im übrigen ein Semester lang in Heidelberg. 20 stehe hierbei für Terme niedrigeren Grades 9

10 Beweis: B ist ein epimomorphes Bild eines Polynomrings A[x 1,, x n ]. Die Behauptung folgt also mit dem Hilbertschen Basissatz und Satz Satz 2.20: Seien A B C Ringe. Ist A noethersch, C eine endlich erzeugte A- Algebra und ist C endlich erzeugt als ein B-Modul. 21 ; dann ist B endlich erzeugt als eine A-Algebra. Beweis: Sei x 1,, x m ein Erzeugendensystem von C als A-Algebra und y 1,, y n ein erzeugenden System von C als B-Modul. Es gibt dann Ausdrücke der Form 1. x i = Σ j b ij y j (b ij B) 2. y i y j = Σ k b ijk y k (b ijk B) Sei B 0 die von den b ij und b ijk erzeugte A-Algebra. Da A noethersch ist, und B 0 als A-Algebra endlich erzeugt ist, ist B 0 auch noethersch.(siehe. Korollar 2.19) Ferner gilt A B 0 B. C ist nach Voraussetzung als A-Algebra endlich erzeugt. Jedes Element c C lässt sich also darstellen als c = x n1 1 a 1 + x n2 2 a 2 + mit a i A. Substituiert man nun die x i durch den Ausdruck in 1.), und anschließend wiederholt alle Ausdrücke der Form y i y j durch die Darstellung in 2.),dann erkennt man, dass sich c als lineare Kombination der y i mit Koeffizienten in B 0 auffassen lässt. C ist also als B 0 Modul aufgefasst endlich erzeugt. Da B 0 noethersch ist, ist also C als B 0 -Modul noethersch. Folglich ist B als B 0 -Modul noethersch und somit endlich erzeugt (siehe Satz 1.3 und Satz 2.14). Da B 0 als A-Algebra endlich erzeugt ist, ist auch B als A-Algebra endlich erzeugt. Satz 2.21 (schwache Form des Hilbertschen Nullstellensatzes): Sei k ein Körper, E eine endlich erzeugte k-algebra. Ist E ein Körper, so ist E k eine endliche, algebraische Erweiterung von k. Beweis: 22 Sei E = k[x 1,, x n ] eine endlich erzeugte k-algebra. Angenommen E ist nicht algebraisch über k, dann kann man die x i umnummerieren, sodass die Elemente x 1,, x r r 1 algebraisch unabhängig über k sind und die Elemente x r+1,, x n algebraisch über dem Körper F = k(x 1,, x r ) sind. E ist nun nach Konstruktion eine endliche, algebraische Erweiterung von F und daher als ein F-Modul endlich erzeugt. Wendet man Satz 2.20 auf den Körperturm k F E an, so folgt: F ist eine endlich erzeugte k-algebra, also F = k[y 1,, y n ]. Jeder Erzeuger y i lässt sich nun als f i /g i darstellen, wobei f i und g i polynomielle Ausdrücke in x 1,, x r sind (o.b.d.a sei g i normiert). 23 In k[x 1,, x r ]gibt es nun unendlich viele normierte irreduzibel polynomielle Ausdrücke. 24. Es existiert also ein irreduzibler polynomieller Ausdruck h, welcher nicht 21 Diese letze Aussage ist äquivalent dazu, dass C über B algebraisch ist. 22 Dieser Beweis geht auf Emil Artin ( ) und John Torrence Tate (*1925) zurück 23 Für ein transzendentes Element x 1 über k gilt bekanntlich k[x 1 ] = k[x]. Geht man nun von k[x 1 ] nach k(x 1 ) über, so folgt k(x 1 ) = Quot(X). Induktiv erhält man so für die algebraisch unabhängigen Elemente x 1,, x r : k(x 1,, x r) = Quot(X 1,, X r) 24 Dies beweist man analog zu dem euklidischen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Angenommen es gäbe nur endlich viele normierte irreduzible Polynome f 1,, f n in k[x 1,, X r]. Sei m := f 1 f n. Nach Konstruktion gilt m f i i = 1,, n. Man betrachte m + 1. Aus Gradgründen gilt m + 1 f i i = 1,, n. Es gibt nun zwei Möglichkeiten: i) m+1 ist irreduzibel ii) m+1 ist reduzibel. f i mit f i (m + 1). Da nach Konstruktion gilt f i m folgt f i 1. 10

11 von den g i geteilt wird. Folglich kann das Element h 1 F kein polynomieller Ausdruck der y i sein. E k ist folglich eine endliche,algebraische Erweiterung. Korollar 2.22: Sei k ein Körper, A eine endlich erzeugte k-algebra. Sei m ein maximales Ideal von A. Der Körper A/m ist dann eine endliche algebraische Erweiterung von k. Insbesondere gilt, A/m = k, falls k algebraisch abgeschlossen ist. Beweis: Man wähle E = A/m und verwende die schwache Form von Hilberts Nullstellensatz. Im Folgenden sollen artinsche Ringe mit Hilfe von algebraischen Eigenschaften charakterisiert werden. Satz 2.23: In einem artinschen Ring R ist das Nilradikal N nilpotent. Beweis: Da R artinsch ist die absteigende Kette N N 2 stationär. Es gibt also ein k mit N k = N k+1 =. Angenommen N k 0. Σ bezeichne die Menge aller Ideale b mit N k b 0. Σ ist nicht leer, denn N k Σ. Da R artinsch ist besitzt Σ also ein minimales Element c. Es gibt nun ein Element x c mit N k x 0. Da gilt (x) c folgt wegen der Minimalität von c also c = (x). Folglich gilt (N k x)n k = N k x 0. Wegen (N k x) (x) folgt also, erneut aus der Minimalität von c, (N k x) = (x). Es gibt nun notwendig ein y N k mit x = xy. Wegen (N k x) = (x) gilt also ferner x = xy = xy 2 = = 0, denn y ist nilpotent. Insbesondere ist also x=0. Satz 2.24: In einem artinschen Ring R ist jedes Primideal maximal. Beweis: Man betrachte für x R/p die Kette (x) (x 2 ). Diese ist nach Voraussetzung stationär, sodass (x n ) = (x n+1 ) gilt. Da p ein Primideal ist, ist R/p ein Integritätsring, sodass für die zueinander assoziierten Elemente x n und x n+1 ; x n = ɛx n+1 mit einer Einheit ɛ gilt. Es folgt also x n (1 x ɛ ) = 0, sodass x = 0 oder x = ɛ gilt, da R/p nullteilerfrei ist. R/p ist also ein Körper, folglich is p maximal Satz 2.25: In einem artinschen Ring gibt es nur eine endliche Anzahl von maximalen Idealen. Beweis: Man betrachte die Kette (m 1 m r ) aller endlichen Schnitte von maximalen Idealen m i in R. Das minimale Ideal dieser Kette sei gegeben durch m 1 m n. Für jedes maximale Ideal m gilt also m 1 m n m = m 1 m n, folglich m m 1 m n. Es gilt also m m i für ein i, sodass folgt m = m i, da m i maximal. Satz 2.26: Sei R ein Ring in dem gilt (0) = m 1 m 2 m n mit maximalen Idealen m i (nicht notwendig verschieden); dann gilt: R ist noethersch genau dann wenn R artinsch ist. Beweis: Man betrachte die endliche Kette von Idealen R m 1 m 1 m 2 m 1 m n = 0. Jeder R-Untermodul m 1 m i 1 /m 1 m i =: v i ist auch ein R/m i Vektorraum 1 < i n. v i ist also artinsch genau dann wenn v i noethersch ist (als R/m i -Vektorraum). Jeder Untervektorraum von v i ist nun ein Ideal in R. Ist R also Folglich gibt es unendlich viele normierte, irreduzible Polynome in k[x 1,, X r]. Da polynomielle Ausdrücke homomorphe Bilder von Polynomem sind, gibt es unendlich viele irreduzible, normiert polynomielle Ausdrücke in k[x 1,, x r]. 11

12 noethersch (artinsch), so ist v i sowohl noethersch als auch artinsch (als R-Modul). i π 1 < i n erhält man eine exakte Sequenz 0 m 1 m i m 1 m i 1 vi 0. Da (0) sowohl noethersch als auch artinsch ist folgt durch Induktion nach i unter der Verwendung von Satz 2.11 R ist noethersch, als auch artinsch. Definition 2.27 (Krulldimension): Die Dimension eines Rings R (bez. dim(r)) ist definiert als das Supremum aller Längen von Ketten bestehend aus Primidealen. (Ist R 0, so ist die Dimension 0, oder + ) Beispiele: i) Ein Körper hat die Dimension 0 ii) Z hat die Dimension 1 Satz 2.28: Ein Ring R ist artinsch R ist noethersch und dim (R) =0. Beweis: : Nach 2.24 gilt dim(r) = 0. Sei m i (1 i n) nach Satz 2.25 die disjunkte Menge aller maximalen Ideale von R. Es folgt Π n i=1 mk i ( n i=1 m i) k = R k = 0 für ein geeignetes k N (Nach Satz 2.23 und Satz 2.24). Nach Satz 2.26 ist R also noethersch. : Nach Satz 2.7 besitzt das Nullideal eine Primärzerlegung. R besitzt also nur eine endliche Anzahl von Primidealen, die bezüglich der Inklusion Minimal sind. 25 Wegen dim(r) = 0 sind diese Primideale auch maximale Ideale. Es Gilt also N= n i=1 m i 26 mit maximalen Idealen m i. Nach dem Korollar 2.9 gilt nun N k = 0 mit einem geeigneten k. Es gilt also Π n i=1 mk i = 0. Nach Satz 2.26 ist R also artinsch. Satz 2.29 (Struktursatz für artinsche Ringe): Ein artinscher Ring R ist bis auf Isomorphie eindeutig als ein endliches direkten Produkt von artinschen lokalen Ringen bestimmt. Literatur: M.F. Atiyah, I.G MacDonald: Introduction to Commutative Algebra [Ch.VI], [Ch.VII], [Ch.VIII] Addison- Wesley, Sei k i=1 q i = (0) eine minimale Primärzerlegung des Nullideals (0) und p i := q i die zu (0) gehörigen Primideale. Sei nun p R ein beliebiges Primideal. Nun gilt k i=1 q i p, da p ein Primideal ist, existiert also ein i mit q i p. Folglich also p i p, also p i p. Es gibt also nur endlich viele Primideale, die bezüglich Inklusion minimal sind. 26 Das Nilradikal N ist immer gleich dem Schnitt über alle Primideale 12

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