Ringe. Kapitel Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln

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1 Kapitel 3 Ringe Gruppen- und Ringstrukturen sind uns schon in den verschiedensten Zusammenhängen begegnet. In diesem Kapitel wollen wir einige wichtige Klassen von Ringen im Hinblick auf Anwendungen in der Zahlentheorie studieren. Deshalb ist der Ring Z der ganzen Zahlen das Standardbeispiel für die meisten der nachfolgenden Konstruktionen und Ergebnisse. Konvention: Von jetzt ab lassen wir die Unterstreichungen bei Algebren weg, unterscheiden also in der Notation nicht mehr zwischen der Algebra und der zugrundeliegenden Menge. Statt isomorph sagen wir auch isomorphe Kopie von oder gleich bis auf Isomorphie. Unter einem Ring verstehen wir im Folgenden immer einen kommutativen unitären Ring. Konsequenterweise bewahren Ringhomomorphismen also ab jetzt immer die Einselemente. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln Zunächst führen wir noch eine sehr nützliche Klasse von Algebren ein, nämlich die so genannten Moduln (ohne auf die so genannte Modultheorie näher einzugehen). Damit bringen wir eine Vielzahl von Resultaten über abelsche Gruppen, Ringe und Vektorräume unter einen Hut. R sei stets ein (kommutativer!) Ring mit Addition r + s, Nullelement 0, negativen Elementen r, Multiplikation rs = r s und Einselement Definition. (Moduln) Ein Modul über R oder R-Modul ist eine Algebra (A; +, 0,, l), bestehend aus einer abelschen Gruppe (A; +, 0, ) und einer Familie (l r r R) einstelliger Operationen l r : A A, a ra := l r (a) so dass für r, s R und a, b A die Distributivgesetze (r + s)a = ra + sa, r(a + b) = ra + rb sowie das Assoziativgesetz (rs)a = r(sa) und das Neutralitätsgesetz gelten. 1a = a 36

2 KAPITEL 3. RINGE Beispiele. (Spezielle Klassen von Moduln) (1) Jeder Ring R ist wegen der Distributiv- und Assoziativgesetze ein R-Modul. (2) Jede abelsche Gruppe A ist ein Z-Modul, denn Induktion zeigt: (m + n)a = ma + na, n(a + b) = na + nb, (mn)a = m(na) (m, n Z, a, b A). (3) Die Vektorräume über einem Körper K sind genau die K-Moduln. Die Untermoduln eines R-Moduls sind definitionsgemäß diejenigen Teilmengen, die gegen die Gruppenoperationen und gegen Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen sind (zusammen mit den induzierten Operationen). Etwas knapper ist folgende Beschreibung: Lemma. (Untermoduln) Eine Teilmenge U eines R-Moduls A ist genau dann ein Untermodul, wenn sie nicht leer ist und für a, b U und r R auch a b und ra in U liegen. Insbesondere ist eine Teilmenge U einer abelschen Gruppe A genau dann eine Untergruppe (d.h. ein Z-Untermodul), wenn sie nicht leer ist und mit a, b U auch a b in U liegt. Denn in diesem Fall liegen mit a, b U auch 0 = a a, a = 0 a = 0 + ( a) und schließlich a + b = a ( b) wieder in U Beispiele. (Spezielle Untermoduln) (1) Die R-Untermoduln eines Ringes R sind die so genannten Ideale (siehe 3.1.8). (2) Die Untergruppen einer abelschen Gruppe sind nichts anderes als die Z-Untermoduln. Sowohl die Untergruppen der additiven Gruppe Z als auch die Ideale des Ringes Z sind genau die Teilmengen nz = {nz z Z} mit den induzierten Operationen (siehe ). (3) Die Unterräume eines Vektorraumes sind genau seine Untermoduln. Moduln haben die äußerst vorteilhafte Eigenschaft, dass ihre Untermoduln bijektiv den Kongruenzen entsprechen. Beim Beweis des einschlägigen Isomorphiesatzes wie auch diverser weiterer algebraischer Isomorphiebeziehungen erweist sich die folgende Charakterisierung von allgemeinen Isomorphismen zwischen (Halb-)Verbänden als sehr nützlich: Lemma. (Ordnungsisomorphismen) Für Halbverbände (A; ) und (B; ) und eine bijektive Abbildung F : A B sind äquivalent: (a) (b) F ist ein Isomorphismus zwischen (A; ) und (B; ). F ist ein Ordnungsisomorphismus, d.h. a c F (a) F (c) (wobei a c a c = c). Sind (A;, ) und (B;, ) sogar Verbände, so sind diese Bedingungen auch äquivalent zu: (c) F ist ein Isomorphismus zwischen (A;, ) und (B;, ). Beweis. (a) (b) : a c a c = c F (a) F (c) = F (c) F (a) F (c). (b) (a) : a b = c x B (x x und b x c x) x B (F (a) F (x) und F (b) F (x) F (c) F (x)) (F surjektiv!) F (a) F (b) = F (c). Aus (a) (b) und der entsprechenden dualen Aussage für ergibt sich nun sofort (a) (c).

3 KAPITEL 3. RINGE Satz. (Untermoduln, Kerne und Kongruenzen) (1) Indem man jedem Untermodul U eines Moduls A die Relation U := {(a, c) A 2 a c U} zuordnet, erhält man einen Isomorphismus zwischen dem Verband Sub A der Untermoduln von A und dem Verband Con A der Kongruenzen auf A. Der inverse Isomorphismus ordnet jeder Kongruenz Ξ die Nullklasse Ξ 0 = {a A a Ξ 0} zu. (2) Die Untermoduln eines Moduls A sind genau die Kerne von Modulhomomorphismen F : A B. Unter dem Isomorphismus aus (1) entspricht der Kern von F der Kernkongruenz F. (3) Die homomorphen Bilder von A sind genau die isomorphen Kopien der Faktormoduln A/ U := A/ U mit U Sub A. Die Elemente von A/ U sind die Restklassen a + U (a A); Addition, Subtraktion und Multiplikation geschieht repräsentantenweise : (a + U) + (c + U) = (a + c) + U, (a + U) = ( a) + U, r(a + U) = ra + U. Beweis: Zu (1): Die Relation U ist reflexiv wegen a a = 0 U, symmetrisch wegen der Implikation a b U b a = (a b) U, und auch transitiv wegen der Implikation a b U, b c U a c = (a b) + (b c) U. Weiter ist U verträglich mit +, da aus a U c und b U d, d.h. a c U und b d U stets (a+b) (c+d) = (a c) + (b d) U, also a+b U c+d folgt. Analog sieht man a U c und ra U rc für r R. Insgesamt erweist sich U als Kongruenz, und den Untermodul U erhält man zurück durch U = { a A a 0 U} = U 0. Für jede Kongruenz Ξ Con A ist die Menge Ξ0 nichtleer (0 Ξ0), abgeschlossen gegen Subtraktion (a Ξ 0, b Ξ 0 a b Ξ 0 0 = 0) und Multiplikation mit r R (a Ξ 0 ra Ξ r0 = 0 ra Ξ0), und Ξ stimmt mit Ξ0 überein: a Ξ0 c a c Ξ0 a = (a c)+c Ξ 0+c = c. Wegen a U c und a V c a c U V a U V c ist der Durchschnitt U V gleich der Kongruenz U V, d.h. die Bijektion F : Sub A Con A, U U ist ein -Homomorphismus und sogar ein Verbandsisomorphismus (3.1.5). Zu (2): Da {0} ein Untermodul von B ist, wissen wir aus Satz (2) und der anschließenden Folgerung, dass der Kern F (0) ein Untermodul von A ist. Umgekehrt ist jeder Untermodul U der Kern des kanonischen Epimorphismus F U = F U : A A/ U := A/ U, a U a = a + U, da U = 0 + U das Nullelement von A/ U ist und F (U) = {a A a + U = U} = U gilt. Schließlich stimmt die Kernkongruenz F mit der zum Kern U = F (0) gehörigen Kongruenz U überein: a U c a c U = F (0) F (a) F (c) = F (a c) = 0 F (a) = F (c) a F c. (3) ist eine unmittelbare Konsequenz aus dem Homomorphiesatz. Die Kongruenzklassen von U haben die Form U a = {c A a c U} = a + U, und es ist (a + U) + (c + U) = U a + U c = U (a + c) = (a + c) + U etc.

4 KAPITEL 3. RINGE Folgerungen. (Untermoduln, Untergruppen, Unterräume) (1) Die Untermoduln eines Moduls A sind genau die Kerne von Modulhomomorphismen F : A B; sie entsprechen bijektiv den Kongruenzen auf A. Die homomorphen Bilder von A sind bis auf Isomorphie die Faktormoduln A/ U für U Sub A. (2) Die Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen stimmen mit den Modulhomomorphismen zwischen den entsprechenden Z-Moduln überein (siehe Beispiel (2)). Die Untergruppen einer abelschen Gruppe A sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen F : A B; sie entsprechen bjektiv den Kongruenzen auf A. Die homomorphen Bilder von A sind bis auf Isomorphie die Faktorgruppen A/ U für U Sub A. (3) Die Unterräume eines Vektorraumes A sind genau die Kerne von linearen Abbildungen, d.h. Vektorraumhomomorphismen F : A B; sie entsprechen bijektiv den Kongruenzen auf A. Die homomorphen Bilder von A sind bis auf Isomorphie die Faktorräume A/ U für U Sub A. Die Kerne von Ringhomomorphismen lassen sich mit Hilfe von Satz nicht vollständig beschreiben, da es dort um Modulhomomorphismen geht. Wir brauchen noch das mit Untermoduln eng verwandte Konzept der Ideale. Es spielt auch in der Zahlentheorie eine zentrale Rolle Definition. (Ideale) Ein Ideal eines Ringes R ist eine nichtleere Teilmenge U mit a b U und ra U für alle a, b U und r R Satz. (Charakterisierung der Ideale) Für eine Teilmenge U eines Ringes R sind äquivalent: (a) U ist ein Ideal von R. (b) U ist ein Unterring von R mit ra U für a U, r R. (c) U ist ein Untermodul von R. (d) U ist Kern eines Ringhomomorphismus F : R S. (e) U ist die Nullklasse Ξ 0 einer (eindeutigen) Kongruenz Ξ Con R. Beweis: Wie im Falle von Untermoduln erhält man die Äquivalenz von (a), (b) und (c). (c) (e) : Definiert man a U b wieder durch a b U, so ist U nach Satz die einzige Kongruenz Ξ des R-Moduls R mit Ξ0 = U. Um sie als Ringkongruenz zu qualifizieren, muss man noch die Verträglichkeit mit der Multiplikation sicherstellen: a U c, b U d a c U, b d U ab cd = a(b d) + (a c)d U ac U bd. (e) (d) : Der kanonische Epimorphismus F Ξ hat die Kernkongruenz F = Ξ; also ist U = Ξ0 = {a R Ξa = Ξ0} = {a R F Ξ (a) = Ξ0} = F (Ξ0) der Kern von F Ξ. (d) (a) : Ist F : R S ein Ringhomomorphismus mit U = F (0), so liegt 0 in U, aus a, b U folgt F (a b) = F (a) F (b) = 0 0 = 0, also a b F (0), und F (ra) = F (r)f (a) = F (r)0 = 0, also ra F (0) und ebenso ar U. Aus den bisherigen Überlegungen ergibt sich nun unmittelbar:

5 KAPITEL 3. RINGE Satz. (Idealverband und Homomorphiesatz für Ringe) Die Ideale eines Ringes R bilden ein Hüllensystem und damit einen Verband, der zum Kongruenzverband Con R isomorph ist. Die homomorphen Bilder von R sind bis auf Isomorphie die Faktorringe R/ U = R/ U zu Idealen U von R. Wie sehen die von Teilmengen erzeugten Untermoduln aus? Wie im Falle der Darstellung von linearen Hüllen in einem Vektorraum mit Hilfe von Linearkombinationen verifiziert man: Lemma. (Erzeugte Untermoduln, Untergruppen und Ideale) (1) Für eine Teilmenge X eines R-Moduls A besteht der erzeugte Untermodul X aus allen Linearkombinationen r 1 x r n x n mit Koeffizienten r j R Z. (2) Für jede Teilmenge X einer abelschen Gruppe A besteht die von X erzeugte Untergruppe aus allen Linearkombinationen r 1 x r n x n mit Koeffizienten r j Z. (3) Für jede Teilmenge X eines kommutativen Ringes A mit Eins besteht das von X erzeugte Ideal aus allen Linearkombinationen r 1 x r n x n mit Koeffizienten r j R. Besonders übersichtlich gestaltet sich die Situation im Falle des Ringes Z: Satz. (Unterstrukturen des Ringes der ganzen Zahlen) Für eine Teilmenge U von Z sind folgende Eigenschaften äquivalent: (a) Es gibt ein (eindeutiges) m N 0 mit U = mz = {mz z Z}. (b) U ist ein Ideal (d.h. ein Z-Untermodul) von Z. (c) U ist ein Unterring von Z. (d) U ist eine additive Untergruppe von Z. (e) U ist die Modulkongruenz m für ein (eindeutiges) m N 0. Die einzigen Kongruenzen auf Z sind also die Modulkongruenzen m, und diese entsprechen bijektiv den Untermoduln von Z. Die Zuordnung m mz liefert einen Isomorphismus zwischen dem dualen Teilerverband (N 0, ggt, kgv) und dem Untergruppenverband (Sub Z, +, ). Entsprechend liefert die Zuordnung m m einen Isomorphismus zwischen (N 0, ggt, kgv) und dem Kongruenzverband (Con Z,, ). Beweis: Die Implikationen (a) (b) (c) (d) sind offensichtlich. Zum Beweis von (d) (a) dürfen wir U {0} = 0Z annehmen, und wegen 0 = a a U sowie a = 0 a U für jedes a U existiert das Minimum m der Menge U N. Für beliebiges a U liefert Division mit Rest ein q = a m Z und r N 0 mit a = mq + r und r < m. Induktiv bekommt man r = a qm U. Die Minimalität von m erzwingt r = 0, d.h. a = mq mz. Umgekehrt folgt aus m U induktiv mz U, insgesamt also U = mz. Die Äquivalenz von (a) und (e) ergibt sich unmittelbar aus Satz Um zu sehen, dass die Bijektion m mz ein Isomorphismus zwischen (N 0, ggt, kgv) und Sub Z ist, muss man nur die Äquivalenz m n nz mz heranziehen (3.1.5). Analog verfährt man mit der Bijektion m m zwischen (N 0, ggt, kgv) und Con Z.

6 KAPITEL 3. RINGE Folgerung. (Lemma von Bézout) Der größte gemeinsame Teiler d von ganzen Zahlen a 1,..., a k lässt sich als Linearkombination d = r 1 a r k a k mit ganzzahligen Koeffizienten r 1,..., r k darstellen. Insbesondere sind ganze Zahlen a und b genau dann teilerfremd, wenn es r, s Z mit ra + sb = 1 gibt. Der von a 1,..., a k erzeugte Untermodul besteht nämlich aus all diesen Linearkombinationen und ist andererseits von der Form mz. Da alle a j Vielfache von d sind, gilt das auch für alle ganzzahligen Linearkombinationen, insbesondere für m. Andererseits ist m ein Teiler aller a j und damit von d. Folglich ist d = m eine ganzzahlige Linearkombination der a j Satz und Definition. (Restklassenringe) Für a, n Z mit n > 0 sei M n (a) der Rest bei Division von a durch n, d.h. M n (a) = a n a n. Auf der Menge Z n = {k N 0 k < n} = {0,..., n 1} definieren wir Addition, Subtraktion und Multiplikation modulo n durch a + n b := M n (a + b), a n b := M n (a b), a n b := M n (ab). Damit wird Z n zu einem kommutativen Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1. Die Abbildung M n : Z Z n ist ein Ringhomomorphismus mit Kern nz. Nach dem Homomorphiesatz ist also Z/ nz isomorph zu Z n vermöge M n. Der umgekehrte Isomorphismus bildet m Z n auf die Restklasse m + nz ab. Aufgrund dieser Isomorphie identifiziert man häufig Z n mit Z/ nz oder benutzt zumindest die Notation Z n für Z/ nz. Für n = 0 setzt man Z n := Z. In Analogie zu Satz gilt: Satz. (Unterstrukturen der Restklassenringe) Für n N und eine Teilmenge U von Z n sind folgende Eigenschaften äquivalent: (a) Es gibt einen (eindeutigen) Teiler m von n mit U = mz n = {mz z Z n }. (b) U ist ein Ideal (d.h. ein Z-Untermodul) von Z n. (c) U ist ein Unterring von Z n. (d) U ist eine additive Untergruppe von Z n. Die Kongruenzen auf Z n entsprechen bijektiv den Kernen, d.h. den Unterringen von Z n. Die Zuordnung m mz n liefert einen Isomorphismus zwischen dem dualen Verband (T n, ggt, kgv) aller Teiler von n und dem Untergruppenverband (Sub Z n, +, ) T Z 180 Sub Z Z Con Z

7 KAPITEL 3. RINGE Isomorphiesätze Wir konkretisieren in diesem Abschnitt den Homomorphiesatz und die Isomorphiesätze aus Kapitel 2 für den Fall von Moduln und Ringen. Diese Isomorphiesätze haben nicht nur in der Algebra, sondern auch (angewandt auf den Ring der ganzen Zahlen und seine Restklassenringe) in der Zahlentheorie viele interessante und nützliche Konsequenzen. Wir hatten Ringe als Moduln über sich selbst interpretiert. Bei Endomorphismen eines Ringes muss man aber sorgfältig zwischen Ring- und Modulhomomorphismen unterscheiden Beispiele. (Modul- und Ringendomorphismen) (1) Für jedes n Z ist die Linksmultiplikation l n : Z Z, x nx ein Gruppenendomorphismus (d.h. ein Z-Modulendomorphismus); aber nur für n = 0 und n = 1 ist sie ein Ringendomorphismus. Dies sind sogar die einzigen Ringendomorphismen von Z! (Warum?) Für n N ist die Restriktion l n : Z nz aber sogar ein Ringisomorphismus. (2) Es sei K ein Körper der Charakteristik p, d.h. p N sei minimal mit pa = a a = 0 für alle a K. Dann ist p eine Primzahl. Die Abbildung F : K K, a a p ist ein Ringendomorphismus, der so genannte Frobenius-Homomorphismus. Denn die Binomialformel liefert ( ) p p (a + b) p = a k b p k = a p + b p, k da ( p k k=0 ) = p(p 1)...(p k+1) k! für alle k =1,..., p 1 durch p teilbar, also ( p k) a k b p k in K gleich 0 ist. Die Gleichung (ab) p = a p b p ist offensichtlich ebenfalls erfüllt. F ist injektiv, da nur 0 im Kern liegt, und folglich ist F für endliche Körper K sogar ein Automorphismus. Hingegen ist F kein K-Modul-Endomorphismus, falls K mehr als p Elemente hat; denn F (ab) = a F (b), d.h. (ab) p = a b p bedeutet für b 0 das Gleiche wie a p = a, und diese Polynomgleichung hat in Körpern höchstens p Lösungen. Für p-elementige Körper K (z.b. K = Z p ) ist F allerdings, wie wir in sehen werden, die Identität auf K (Kleinen Satz von Fermat). Bei Kongruenzen auf Ringen ist die obige Unterscheidung erstaunlicherweise nicht nötig: Lemma. (Kongruenzen auf Ringen) Für eine Äquivalenzrelation auf einem Ring sind gleichwertige Eigenschaften: (a) ist eine Ringkongruenz, d.h. a c, b d a+b c+d, a c, ab cd. (b) (c) ist eine Modulkongruenz, d.h. a c, b d a+b c+d, a c, ab ad. ist verträglich mit Translationen und Dilationen, d.h. b d a+b a+d, ab ad. Die Implikationen (a) (b) (c) sind klar. Zu (c) (a) schließt man für {+, }: a c, b d a b a d = d a d c = c d Satz. (Homomorphiesatz) Eine surjektive Abbildung F : A B ist genau dann ein Homomorphismus zwischen (1) (Links-)Moduln (2) Abelschen Gruppen (3) Vektorräumen (4) Ringen, wenn (genau) ein Isomorphismus F : A/ U B mit F (a + U) = F (a) existiert, wobei U (1) ein Untermodul (2) eine Untergruppe (3) ein Unterraum (4) ein Ideal von A ist, und zwar der Kern von F.

8 KAPITEL 3. RINGE 43 Beweis. Gibt es einen Isomorphismus F mit F (a + U) = F (a), so ist F als Kompositum zweier Homomorphismen wieder ein solcher. Umgekehrt wird für jeden Epimorphismus F : A B und seinen Kern U durch F (a + U) = F (a) ein Isomorphismus F : A/ U B definiert, da im Falle von Moduln (insbesondere von abelschen Gruppen und Vektorräumen) gilt: a + U = c + U a c U F (a) F (c) = F (a c) = 0 F (a) = F (c), F ((a + U) + (b + U)) = F ((a + b) + U) = F (a + b) = F (a) + F (b) = F (a + U) + F (b + U), F (r(a + U)) = F (ra + U) = F (ra) = rf (a) = r F (a + U). Im Falle von Ringen haben wir außerdem F ((a + U)(b + U)) = F (ab + U) = F (ab) = F (a)f (b) = F (a + U) F (b + U). Dieser Homomorphiesatz folgt auch aus dem Homomorphiesatz für allgemeine Algebren, wenn man die Sätze und berücksichtigt. Wir notieren einen wichtigen Spezialfall: Folgerung. (Einsetz-Homomorphismen und Faktormoduln) Gegeben sei ein Ring R und ein R-Modul A (also z.b. der Ring R = Z und eine abelsche Gruppe A, aufgefasst als Z-Modul, oder ein Körper R = K und ein K-Vektorraum A). Für ein festes Element a A definiert man die Abbildung E a : R A, r ra und den Annullator U := Ann(a) := {r R ra = 0}. Dann ist E a ein Homomorphismus mit Kern U und Bild a = Ra A/ U. Im Falle eines kommutativen Ringes R ist Ann(a) ein Ideal von R Definition. (Zyklische Moduln und Gruppen, Hauptideale) Moduln bzw. Gruppen heißen zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt werden. Ein von einem Element erzeugtes Ideal nennt man Hauptideal. Wegen des Distributiv- bzw. Potenzgesetzes ma + na = (m + n)a = (n + m)a = na + ma (in additiv geschriebenen Gruppen) a m a n = a m+n = a n+m = a n a m (in multiplikativ geschriebenen Gruppen) ist jede zyklische Gruppe kommutativ (abelsch). In Verallgemeinerung von Satz gilt: Folgerung. (Charakterisierung zyklischer Gruppen) Die zyklischen Gruppen sind die isomorphen Kopien der Restklassengruppen Z/ nz für n N 0. Es gibt also bis auf Isomorphie zu jedem n N genau eine zyklische Gruppe mit n Elementen, nämlich Z n Z/ nz, und nur eine unendliche zyklische Gruppe, nämlich Z 0 = Z. Für jede additiv geschriebene zyklische Gruppe A Z n ist die Abbildung m ma ein Isomorphismus zwischen dem dualen Teilerverband (T n, ggt, kgv) und dem Untergruppenverband (Sub A, +, ) Beispiel. (Restklassenringe als Quotienten von Idealen) Ist m ein Teiler der natürlichen Zahl n, so gilt Z n Z/ n m m Z mz/ nz. Denn die Abbildung F : Z mz/ nz, a ma + nz ist ein Epimorphismus mit Kern n m Z.

9 KAPITEL 3. RINGE Satz. (Erster Isomorphiesatz für Moduln und Ringe) Es seien U und W alternativ (1) Untermoduln eines Moduls A (2) Untergruppen einer abelschen Gruppe A (3) Unterräume eines Vektorraums A (4) Ideale eines Ringes A. Dann ist die Abbildung a+u W a+u ein Isomorphismus zwischen U/ U W und U +W / W. U U +W W U W Dies folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz, da F : U U +W/ W, u u+w ein Epimorphismus mit Kern U W ist Beispiel. (Isomorphe Restklassenringe) Für Ideale U = mz und W = nz des Ringes Z gilt U +W = ggt(m, n)z = (m n)z und U W = kgv(m, n)z = (m n)z (siehe Satz ); also nach dem ersten Isomorphiesatz und Beispiel 3.2.7: Z n m n (m n)z/ nz mz/ (m n)z Z m n. m Insbesondere erhalten wir durch Vergleich der Elementezahlen die Formel m n = ggt(m, n) kgv(m, n) Satz. (Zweiter Isomorphiesatz für Moduln und Ringe) Es seien U und W alternativ (1) Untermoduln eines Moduls A (2) Untergruppen einer abelschen Gruppe A (3) Unterräume eines Vektorraums A (4) Ideale eines Ringes A mit U W. Dann gilt die Kürzungsregel (A/ U )/(W/ U ) A/W. Diesen Satz leitet man aus dem Homomorphiesatz ab, indem man ausnutzt, dass die folgende Abbildung ein Epimorphismus mit Kern W/U ist: F : A/U A/W, a + U a + W. (Es handelt sich natürlich um einen Spezialfall des zweiten Isomorphiesatzes für allgemeine Algebren.)

10 KAPITEL 3. RINGE Beispiel. (Weitere Isomorphismen für Restklassenringe) Für Ideale U = mz und W = nz des Ringes Z mit m n gilt nz mz und Z n / mzn Z n /(mz/ nz ) Z m. Ist außerdem k ein Teiler von m, so hat man die Kürzungsregel (kz/ nz )/(mz/ nz ) kz/ mz Satz. (Dritter Isomorphiesatz für Moduln und Ringe) Sub A sei alternativ der Verband der (1) Untermoduln eines Moduls A (2) Untergruppen einer abelschen Gruppe A (3) Unterräume eines Vektorraums A (4) Ideale eines Ringes A, aufgefasst als Links- und Rechts-Modul über A. Weiter sei U Sub A und Sub U A := {W Sub A U W }. Dann liefert die Zuordnung W W/ U einen Isomorphismus zwischen den Verbänden Sub U A und Sub(A/ U ). Der Kongruenzverband eines Faktormoduls oder Faktorrings ist also stets isomorph zu einem Unterverband des ursprünglichen Kongruenzverbandes. Da die Abbildung F : Sub U A Sub(A/ U ), W W/ U die Äquivalenz V W V/ U W/ U erfüllt, ist nur die Surjektivität nachzuweisen (benutze 3.1.5). Für ein beliebiges Element V von Sub A/ U zeigt eine einfache Überprüfung, dass W = { a A a + U V } zu Sub A gehört, U umfasst und das Bild F (W ) = V hat Beispiel. (Alle Ideale eines Restklassenrings) Die Ideale eines Restklassenrings Z n Z/ nz entsprechen nach dem dritten Isomorphiesatz bijektiv den Idealen von Z, die das Ideal nz umfassen. Dies sind aber nach Satz genau die Ideale mz, wobei m die Teiler von n durchläuft. Damit erhalten wir Isomorphismen (T n, ggt, kgv) ({mz m T n }, +, ) (Sub Z n, +, ) (vgl ). Beachten Sie, dass im Falle eines Ringes A im dritten Isomorphiesatz mit Sub A nicht die Gesamtheit aller Unterringe, sondern die der Ideale gemeint ist. Im Falle von Z ist zwar jeder Unterring schon ein Ideal, aber in beliebigen Ringen trifft diese Übereinstimmung nur selten zu. Zum Beispiel kann kein echter (unitärer) Unterring eines Ringes ein Ideal sein. (Denn?) Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer weiteren Anwendung des Homomorphiesatzes Satz. (Produkte von Faktorringen) Es seien U 1,..., U k Ideale eines kommutativen Ringes R mit Eins, U = U 1... U k ihr Durchschnitt, und es gelte U i + U j = R für i j (i, j k). Dann ist die Abbildung k F : R/ U R/ Ui, a + U (a + U i i k) i=1 ein Ringisomorphismus.

11 KAPITEL 3. RINGE 46 Beweis: Die Abbildung k F : R R/ Ui, a (a + U i i k) i=1 ist ein Homomorphismus, da jedes F i : R R/ Ui, a a + U i einer ist. Der Kern von F besteht aus den Elementen a mit a + U i = 0 + U i, d.h. a U i für alle i k, ist also gleich U. Um den Homomorphiesatz anwenden zu können, müssen wir noch die Surjektivität von F sicherstellen, und nur hier brauchen wir die Voraussetzung U i + U j = R (i j). Wir halten einen Index j fest und finden zu i j Elemente u i U i und v i U j mit u i + v i = 1. Das Produkt a j := i k\{j} u i liegt in jedem der Ideale U i (i j); es folgt u i Ui 0 für i j, aber wegen 1 u i = v i U j gilt u i Uj 1 für alle i j und folglich a j Uj 1. Damit ist F (a j ) = e j := (δ ij + U i i k) (mit δ jj = 1 und δ ij = 0 sonst). Für ein beliebiges (r 1 + U 1,..., r k + U k ) k i=1 R/ Ui finden wir nun ein Urbild r 1 a r k a k ; denn die Homomorphie-Eigenschaft liefert ja F (r 1 a r k a k ) = r 1 F (a 1 ) r k F (a k ) = r 1 e r k e k = (r 1 + U 1,..., r k + U k ). Die klassische Folgerung aus diesem algebraischen Satz ist einer der ältesten und berühmtesten Sätze der Zahlentheorie, der seit nahezu zwei Jahrtausenden bekannte Chinesische Restsatz: Folgerung. (Chinesischer Restsatz: Simultane Lösung von Kongruenzen) Sind m 1,..., m k Z paarweise teilerfremde Zahlen, so gibt es zu jedem Tupel (r 1,..., r k ) Z k eine modulo n = m 1... m k eindeutige ganzzahlige Lösung des Kongruenzsystems x r i mod m i für alle i k. Für jede natürliche Zahl n und ihre Primfaktorzerlegung n = k i=1 p e i i Z n k i=1 Z e p i, insbesondere Z mn Z m Z n für teilerfremde Zahlen m, n. i Die Lösung des Kongruenzsystems findet man, indem man die jeweils zu m i teilerfremden Zahlen n i = n m i betrachtet und nach Bézout existierende Lösungen der Gleichungen m i u i + n i v i = 1 bestimmt (z.b. mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus). Die Zahlen e j := n j v j (j k) erfüllen dann e j 1 mod m j und e j 0 mod m i für i j. Die gesuchte Lösung bastelt man als Linearkombination r 1 e r k e k zusammen Beispiel. (Aus dem Arithmetischen Handbuch von Meister Sun, ca. 3. Jhd.) Lim, Sin und Tan kaufen Enten zu gleichen Preisen. Lim bezahlt mit 3-, Sin mit 5- und Tan mit 7-Drachmenmünzen. Lim bekommt eine, Sin zwei und Tan fünf Drachmen zurück. Was kosten die Enten (mindestens)? Zu lösen ist das Kongruenzsystem x 2 mod 3, x 3 mod 5, x 2 mod 7. Wegen 2 (5 7) = 70 1 mod 3, 1 (3 7) = 21 1 mod 5, 1 (3 5) = 15 1 mod 7 ist = 233 eine simultane Lösung des Kongruenzsystems. Die kleinste positive Lösung modulo = 105 ist = 23. Die Enten kosten demnach (mindestens) 23 Drachmen. Lim bezahlt mit 8 3 = , Sin mit 5 5 = und Tan mit 4 7 = Drachmen. gilt:

12 KAPITEL 3. RINGE Polynome Die klassische Aufgabe der Lösung von Polynomgleichungen hat die moderne Algebra ausgelöst. In diesem Abschnitt präzisieren wir, was man unter einem Polynom versteht, und stellen einige Eigenschaften der Polynomringe zusammen. Dies sind spezielle Algebren über einem Ring R, den wir wie zuvor stets als kommutativ mit Einselement 1 voraussetzen. Das Nullelement des Ringes wird mit 0 bezeichnet, und wir setzen R = R \ {0}. Im weiteren Verlauf werden wir viele Gemeinsamkeiten zwischen Polynomringen und dem Ring der ganzen Zahlen erkennen Definition. (Algebren über einem Ring) Eine R-Algebra A ist zugleich ein Ring und ein R-Modul, so dass die Gleichungen r(ab) = (ra)b = a(rb) und 1a = a für alle r R und a, b A erfüllt sind. A hat ein Einselement 1 A = a Lemma. (Von einem Element erzeugte R-Algebren) Für a A besteht die von a erzeugte R-Unteralgebra R[a] aus allen Elementen der Form n f(a) := f j a j mit f j R. j=0 R[a] ist zugleich der von Ra 0 {a} erzeugte Unterring Definition. (Polynome) Für ein Element x einer R-Algebra nennt man R[x] einen Polynomring oder eine Polynomalgebra über R in der Variablen x, falls jedes Element von R[x] sich eindeutig in der Form n f(x) := f j x j j=0 mit f j R und f n 0 im Falle n > 0 darstellen lässt. Die Elemente von R[x] nennt man Polynome in x. Das Element f n heißt Leitkoeffizient und n der Grad (degree) von f(x), bezeichnet mit deg(f). Für das Nullpolynom setzt man den Grad als fest. Ein Polynom f(x) mit Leitkoeffizient f n = 1 heißt normiert. Jedes Polynom ist eine Summe von Monomen f j x j Lemma. (Polynomringe) R[x] ist genau dann ein Polynomring, wenn es keine nicht-triviale Linearkombination der Potenzen von x mit Koeffizienten in R gibt, d.h. aus n j=0 f j x j = 0 stets f 0 =...=f n =0 folgt. Im Falle eines Körpers R = K ist R[x] also genau dann ein Polynomring, wenn R[x] als K-Vektorraum nicht endlich-dimensional ist, bzw. die Potenzen von x linear unabhängig sind. Vermöge der Einbettung r r x 0 wird R zum Unterring der konstanten Polynome von R[x]. Es ist in der Algebra wichtig, zwischen Polynomen und Polynomfunktionen zu unterscheiden. Während ein Polynom der Form f(x) = x q x nicht das Nullpolynom ist, erweist sich für endliche Körper K mit q Elementen die entsprechende Polynomfunktion f K : K K, a a q a als die Nullfunktion! Da die Multiplikation mit a K eine Permutation von K liefert, gilt a q b K b = a b K (ab) = a b K b, also wegen b K b 0 : aq = a. Angewandt auf den Restklassenkörper Z p für Primzahlen p ergibt diese Überlegung:

13 KAPITEL 3. RINGE Satz. (Kleiner Satz von Fermat) Für jede Primzahl p und jede ganze Zahl a gilt: a p a mod p, sowie a p 1 1 mod p, falls p kein Teiler von a ist. Wir haben noch nicht geklärt, ob es überhaupt Polynomringe gibt. Das holen wir jetzt nach: Satz. (Existenz von Polynomringen) Es sei R [N 0] der R-Modul aller Folgen von Elementen aus R, bei denen höchstens endliche viele Glieder von 0 verschieden sind. Insbesondere liegt x := e 1 = (0, 1, 0, 0, 0,...) in R [N 0]. Auf R [N 0] wird durch das so genannte Cauchyprodukt (f g) k = j f j g k j eine Multiplikation definiert, mit der R [N 0] zu einem Polynomring R[x] wird. Dazu stellt man induktiv fest, dass x k der k-te Einheitsvektor e k aus R [N 0] ist (mit einer 1 an der k-ten Stelle). Damit besitzt jedes Element f aus R [N 0] eine eindeutige Darstellung in der Form f = f(x). Die Ringeigenschaften von R[x] sind leicht nachzuprüfen Satz. (Universelle Eigenschaften von Polynomringen) Alle Polynomringe über R sind isomorph, und jede von einem Element erzeugte R-Algebra R[a] ist homomorphes Bild jedes Polynomrings R[x]. Jeder Homomorphismus von R in R[a] lässt sich eindeutig zu einem Homomorphismus von R[x] in R[a] fortsetzen, der x auf a abbildet. Für jedes fest gewählte Element a einer R-Algebra A ist der Einsetz-Homomorphismus E a : R[x] R[a], f(x) f(a) wegen der eindeutigen Darstellung von f = f(x) wohldefiniert und nach Lemma surjektiv, im Falle eines Polynomringes R[a] sogar ein Isomorphismus. Je zwei Polynomringe über R sind also isomorph, weshalb man oft einfach von dem Polynomring in einer Variablen spricht. Ist H : R R[a] ein Ringhomomorphismus, so definiert man H : R[x] R[a] durch H( f i x i ) := H(f i ) a i und erhält so den einzigen Ringhomomorphismus H mit H(x) = a und H R = H, wobei wir R mittels Einbettung r rx 0 als Teilring von R[x] auffassen. R[x] ist in diesem Sinne der von R {x} erzeugte Ring Bemerkung. (Frei erzeugte Algebren) Wegen der obigen Eigenschaften nennt man einen Polynomring R[x] auch frei erzeugt (von x). Entsprechend nennt man eine allgemeine, von einem Element x erzeugte Algebra x frei (erzeugt), falls es zu jeder von einem Element a erzeugten Algebra a gleichen Typs genau einen Homomorphismus von x nach a gibt, der x auf a abbildet. Zum Beispiel sind alle von einem Element frei erzeugten Halbgruppen isomorph zu (N, +) alle von einem Element frei erzeugten Monoide isomorph zu (N 0, +) alle von einem Element frei erzeugten abelschen Gruppen isomorph zu (Z, +) alle von einem Element frei erzeugten K-Vektorräume eindimensional, isomorph zu K alle von einem Element frei erzeugten (Halb-)Verbände einelementig alle von einem Element frei erzeugten Booleschen Algebren {0, 1, x, x } vierelementig.

14 KAPITEL 3. RINGE Definition. (Nullstellen) Ist f R[x], so heißt ein Element a einer R-Algebra A mit f(a) = 0 Nullstelle von f in A Lemma. (Abspalten von Nullstellen) Ein Element a des Ringes R ist genau dann Nullstelle eines Polynoms f R[x] vom Grad n, wenn es ein Polynom g R[x] vom Grad n 1 mit f = g (x a) gibt. In einem Körper hat ein Polynom n-ten Grades daher höchstens n Nullstellen. Die Koeffizienten von g = n 1 j=0 g j x j hängen mit denen von f = n j=0 f j x j über das so genannte Hornerschema zusammen (und können damit auseinander errechnet werden): g n 1 = f n, g j 1 = f j + a g j (j n 1) Beispiele. (Algebren und Polynomringe über Körpern) (1) Jeder Körper K ist selbst eine K-Algebra, aber für a K ist K[a] = K nach Lemma kein Polynomring über K. (2) Jeder Matrizenring K n n ist eine (für n > 1 nicht kommutative) K-Algebra. Jede von einer Matrix a erzeugte Unteralgebra K[a] ist kommutativ, aber nie ein Polynomring, da stets endlich-dimensional. In der linearen Algebra zeigt man sogar dim K[a] n. (3) Für a C ist Q[a] bzw. Z[a] genau dann kein Polynomring, wenn es ein nicht konstantes Polynom mit rationalen bzw. ganzzahligen Koeffizienten gibt, das a als Nullstelle hat. Solche Zahlen a nennt man algebraisch (über Q), und das (eindeutige!) normierte Polynom kleinsten Grades mit Nullstelle a heißt Minimalpolynom von a. Einige Beispiele algebraischer Zahlen: Zahl 5 7 ı 1 2 (1 + ı 3) Minimalpolynom x 5 x 2 7 x x 2 x + 1 x 4 10x Für algebraisches a ist Q[a] sogar ein Unterkörper von C ; denn der Koeffizient f 0 des Minimalpolynoms f = n j=0 f j x j von a 0 ist nicht 0, sonst wäre h = n 1 j=0 f j+1 x j ein Polynom kleineren Grades mit h(a)=0; also ist f0 1 1 h(a) a = f0 (f(a) h(a)a) = 1, d.h. a invertierbar. (4) Für jede ganze Zahl n ist n (= ı n im Falle n < 0) algebraisch, und es gilt Z[ n] = {a + b n a, b Z}. Dazu muss man nur nachrechnen, dass die rechte Seite gegen Produkte abgeschlossen ist. (5) Auch q = (1 + n)/2 ist ür n Z algebraisch, und es gilt Z[q] = {a + bq a, b Z} genau dann, wenn n 1 durch 4 teilbar ist. (Prüfen Sie dies nach!) (6) Nicht algebraische Zahlen heißen transzendent. Solche Zahlen sind z.b. die Eulersche Zahl e = k=0 1/k! und die Kreiszahl π. (Transzendenzbeweise sind schwierig; der erste Beweis der Transzendenz von π wurde Ende des 19. Jahrhunderts von C. F. von Lindemann gefunden) Definition. (Polynomringe in mehreren Variablen) Durch R[x 1,..., x k ] := R[x 1,..., x k 1 ][x k ] definiert man induktiv Polynomringe in k Variablen. Aus den universellen Eigenschaften der Polynomringe in einer Variablen leitet man ab: Folgerung. Polynomringe über R in k Variablen sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt für jede Permutation σ von n: R[x 1,..., x k ] R[x σ(1),..., x σ(k) ].

15 KAPITEL 3. RINGE Teilbarkeit und Integritätsbereiche Allgemeine Teilbarkeitseigenschaften, die wir von natürlichen bzw. ganzen Zahlen kennen, lassen sich vielfach in sehr viel allgemeineren Ringen als Z feststellen und ausnutzen. Ein wesentliches Kriterium ist die Nullteilerfreiheit, die sichert, dass ein Produkt von 0 verschiedener Elemente nicht 0 werden kann. Wie zuvor sei R stets ein kommutativer Ring mit Einselement 1. Wir verallgemeinern Begriff der Teilbarkeit vom Ring der ganzen Zahlen auf beliebige kommutative Monoide und Ringe Definition. (Teilbarkeit) Es seien a, b Elemente eines kommutativen Monoids oder eines kommutativen Ringes mit 1. (1) Gibt es ein d mit ad = b, so schreibt man a b und sagt, a sei ein Teiler von b, bzw. b sei ein Vielfaches von a oder durch a teilbar. d heißt Komplementärteiler von b zu a. (2) a und b heißen (zueinander) assoziiert, in Zeichen: a b, falls b sowohl Teiler als auch Vielfaches von a ist, d.h. a b a b und b a. Ein echter Teiler a von b erfüllt a b, aber nicht b a. Definitionsgemäß ist jedes Element durch das Einselement teilbar, und in Ringen ist andererseits das Nullelement durch jedes Ringelement teilbar, aber nur zu sich selbst assoziiert Satz. (Teilbarkeit als Quasiordnung) (1) Auf jedem Monoid A ist die Teilbarkeitsrelation eine mit der Multiplikation verträgliche Quasiordnung. (2) Die Assoziiertheitsrelation ist eine Kongruenzrelation auf A. (3) Die Faktormenge A/ ist ein durch a b a b geordnetes Monoid und ein homomorphes Bild von A. (4) Ist V ein Vertretersystem für die Kongruenzrelation (d.h. enthält jede Kongruenzklasse genau ein Element aus V ), so ist V eine zu A/ isomorphe durch geordnete Menge. Zu (1): Die Reflexivität folgt aus der Existenz eines Einselements, die Transitivität aus dem Assoziativgesetz: a b und b c = d, e (ad=b, be=c) = a(de) = (ad)e = be = c = a c. Aus a b folgt sofort ac bc, und entsprechend aus a b auch ac bc. Zu (2): Reflexivität und Transitivität übertragen sich direkt von auf, Symmetrie ist klar. Zu (3): Die Ordnungseigenschaften vererben sich von auf, die Antisymmetrie folgt aus a = b a b a b und b a. Der Rest ergibt sich aus (2) mit Hilfe des kanonischen Epimorphismus F : A A/. Leider ist ist keinewegs klar, ob und wie man ein gegen Multiplikation abgeschlossenes Vertretersystem für die Assoziiertheitsrelation finden kann. In einigen Fällen, wie etwa in Z und in Polynomringen über Körpern, geht das allerdings auf kanonische Weise, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.

16 KAPITEL 3. RINGE Beispiele. (Spezielle Teilbarkeitsrelationen) (1) In einer Gruppe G sind je zwei Elemente assoziiert. Die Faktorgruppe G/ ist einelementig. (2) In Z ist Assoziiertheit gegeben durch a b a = b a = ±b. Das Faktormonoid Z/ ist isomorph zum multiplikativen Monoid N 0. Letzteres ist bezüglich Teilbarkeit ein Verband (mit kgv, ggt, kleinstem Element 1 und größtem Element 0). (3) In jedem Polynomring K[x] über einem Körper ist Assoziiertheit gegeben durch f g ef = g für ein konstantes Polynom e 0. Das Faktormonoid K[x] / ist isomorph zur durch Teilbarkeit geordneten Menge K 1 [x] der normierten Polynome: Jede Klasse f enthält genau ein normiertes Polynom. Wir werden später sehen, dass K 1 [x] und damit K[x]/ sogar ein Verband ist. (4) In einem Halbverband ist die Teilbarkeitsrelation gerade die entsprechende Ordnung: a b a b = b d (a d = b). Assoziiertheit bedeutet Gleichheit Definition. (Nullteiler und Integritätsbereiche) Ein Element a R heißt Nullteiler, wenn ein b R mit ab = 0 existiert. Ist außerdem a 0, so nennen wir a einen echten Nullteiler. (Viele Autoren lassen das Wort echt weg und schließen 0 von der Menge der Nullteiler aus.) Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring R mit 1 0 und ohne echte Nullteiler, d.h. für a, b R gilt auch ab R. Mit anderen Worten: Ein Ring R ist genau dann ein Integritätsbereich, wenn R ein kommutatives Untermonoid von (R, ) ist. Eine einfache Anwendung des Distributivgesetzes zeigt: Lemma. (Kürzungsregel) Ein kommutativer Ring R mit 1 0 ist dann und nur dann ein Integritätsbereich, wenn Komplementärteiler eindeutig sind, d.h. aus ac = ad und a 0 stets c = d folgt Beispiele. (Integritätsbereiche) (1) Jeder Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich; insbesondere sind z.b. die Ringe Z[a] mit a C allesamt Integritätsbereiche (da Unterringe des Körpers C). Wir werden später sehen, dass umgekehrt jeder Integritätsbereich Unterring eines geeigneten Körpers ist. (2) Für jeden Integritätsbereich R ist auch der Polynomring R[x] ein Integritätsbereich. Für f, g R[x] gilt die Gradformel deg(fg) = deg(f) + deg(g). Insbesondere ist Z[x] und jeder Polynomring K[x] über einem Körper K ein Integritätsbereich. (3) Für jede Menge X ist auch R X, die Menge der Funktionen von X nach R mit elementweiser Addition und Multiplikation, wieder ein kommutativer Ring mit 1. Aber R X wird nur dann ein Integritätsbereich, wenn R einer ist und X oder R höchstens ein Element hat. Insbesondere ist R R nie ein Integritätsbereich, außer R hat nur ein Element 0 = 1. (4) Die Restklasenringe Z n sind für n N dann und nur dann Integritätsbereiche, wenn n eine Primzahl ist.

17 KAPITEL 3. RINGE Definition. (Einheiten) Ein Element u des Ringes R heißt Einheit oder invertierbar, falls ein w mit uw = 1 existiert. Die Menge der Einheiten von R bezeichnen wir mit E(R) oder R. In nicht-kommutativen Ringen verlangt man zur Definition von Einheiten uw = wu = 1, da es Elemente u, w mit uw = 1, aber vu 1 für alle v R geben kann Satz. (Einheitengruppe) E(R) ist bezüglich der Multiplikation von R eine Gruppe. Insbesondere gibt es zu u E(R) genau ein w = u aus E(R) mit uw = 1, und für u, v E(R) gilt: (uv) = v u, (u ) = u Lemma. (Einheiten erzeugen den ganzen Ring) (1) Ein Element u des Ringes R ist genau dann Einheit, wenn Ru = R gilt. Jedes Ringelement ist also durch alle Einheiten teilbar. (2) Die zum Einselement assoziierten Elemente sind dessen Teiler, d.h. die Einheiten. (3) Multiplikation mit Einheiten ändert nichts an Teilbarkeitsbeziehungen: a b und u, v E(R) = au bv Lemma. (Assoziiertheit in Integritätsbereichen) In einem Integritätsbereich R sind zwei Elemente a, b genau dann assoziiert, wenn es ein u E(R) mit au = b gibt. Denn in diesem Fall existiert ein w mit uw = 1, also a = a1 = auw = bw, und es folgt außer a b auch noch b a. Umgekehrt gibt es zu Elementen a b weitere Ringelelemente u, w mit au = b und bw = a, also auch auw = bw = a = a1, und die Kürzungsregel für Integritätsringe (3.4.5) erzwingt dann uw = 1, d.h. u und w sind Einheiten Beispiele. (Spezielle Einheitengruppen) (1) R = K: Körper E(R) = R. (2) R = K[x]: Polynomring über einem Körper E(K[x]) = {f K[x] deg(f) = 0}. (3) R = Z: Ring der ganzen Zahlen E(Z) = { 1, 1}. (4) R = Z[ ı ]: Ring der Gaußschen ganzen Zahlen E(Z[ ı ]) = {1, 1, ı, ı}. (5) R = Z[ n]: Quadratischer Zahlring (n N 2 ) E(Z[ n]) = {1, 1}. (6) R = Z n : Restklassenring modulo n E(Z n ) = {u Z n ggt(u, n) = 1}. Zum Beweis von (5) bildet man für Einheiten u = x + y n und w = s + t n mit uw = 1 das Produkt mit den konjugierten Elementen: (x 2 + y 2 n)(s 2 + t 2 n) = uuww = uwuw = 1 und stellt fest, dass dies im Falle n > 1 nur für x = s = ±1 und y = t = 0 möglich ist. Die Kennzeichnung der Einheiten von Z n ist wieder einmal eine Folge des Lemmas von Bézout: u E(Z n ) w Z (uw 1 mod n) v, w Z (uw vn = 1) ggt(u, n) = 1.

18 KAPITEL 3. RINGE Satz. (Einheiten und Nullteiler) Nullteiler sind nie Einheiten. In endlichen Ringen sind die Nullteiler genau die Nichteinheiten. Beweis. Ist u eine Einheit, etwa uw = 1, so folgt aus au = 0 sofort a = a1 = auw = 0w = 0, d.h. u ist kein Nullteiler. Sei umgekehrt u ein Element des endlichen Ringes R, aber kein Nullteiler. Induktiv sieht man, dass mit u auch keine Potenz u k ein Nullteiler ist (aus u k+1 b = 0 folgt u k (ub) = 0 und dann nach Induktionsannahme ub = 0 sowie b = 0). Wegen der Endlichkeit von R gibt es natürliche Zahlen m < n mit u m = u n, also u m (1 u n m ) = 0. Da u m kein Nullteiler ist, erzwingt dies 1 u n m = 0, d.h. u u n m 1 = 1, und u ist eine Einheit Folgerung. (Endliche Integritätsbereiche) Einen endlicher kommutativer Ring R mit 1 0 ist genau dann ein Körper, wenn er ein Integritätsbereich ist. Ist die additive Gruppe von R zyklisch, so ist R genau dann ein Körper, wenn er isomorph zum Restklassenring Z p für eine Primzahl p ist. Denn eine endliche zyklische Gruppe (R, +) ist nach zu einem (Z n, + n ) isomorph, und ist n keine Primzahl, so gibt es echte Nullteiler: n = k m = km1 = k1 m1 = 0 in (R, ). Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie sind die Einheitengruppen der Restklassenringe Definition. (Prime Restklassengruppe und Eulersche ϕ Funktion) Die Einheitengruppe E(Z n ) des Restklassenrings Z n heißt prime Restklassengruppe modulo n. Ihre Kardinalität E(Z n ) wird mit ϕ(n) bezeichnet. Die dadurch auf N definierte Funktion heißt Eulersche ϕ-funktion. Aus dem Chinesischen Restsatz und der Charakterisierung (6) der Einheiten folgt: Satz. (Berechnung der ϕ Funktion) (1) Für teilerfremde Zahlen m, n gilt E(Z mn ) E(Z m ) E(Z n ) = E(Z m Z n ), also ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). (2) Für jede Primzahlpotenz p r ist p Z p r die Menge der Nichteinheiten (Nullteiler) in Z n, also ϕ(p r ) = p r p r 1 = p r 1 (p 1). (3) Ist k i=1 p e i i die Primfaktorzerlegung einer Zahl n N, so gilt ϕ(n) = k i=1 p e i 1 i (p i 1) = n p P,p n (1 1 p ). Zu (1) betrachtet man den kanonischen Isomorphismus F : Z mn Z m Z n und beachtet, dass für u E(Z mn ) aus ggt(u, mn) = ggt(m, n) = 1 erst recht ggt(m m (u), m) = 1 und ggt(m n (u), n) = 1, also F (u) = (M m (u), M n (u)) E(Z m ) E(Z n ) = E(Z m Z n ) folgt. (2) folgt aus der Tatsache, dass eine Primzahl, die n nicht teilt, bereits zu n teilerfremd ist Folgerung. ϕ(n) ist für n N 3 stets gerade, und für ungerades n gilt ϕ(n) = ϕ(2n). n ϕ(n)

19 KAPITEL 3. RINGE Hauptidealringe und faktorielle Ringe Als eine wesentliche Eigenschaft des Ringes Z der ganzen Zahlen hatten wir erkannt, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist. Ringe mit dieser Eigenschaft wollen wir jetzt studieren. In ihnen gibt es, analog zu Z, bis auf Assoziiertheit eindeutige Primfaktorzerlegungen. Solche Ringe nennt man faktoriell oder ZPE-Ringe ( Zerlegungen in Primelemente mit Eindeutigkeit ). Wieder sei R ein kommutativer Ring mit 1. Wir rufen uns zunächst das grundlegende Konzept der Ideale für diesen Fall in Erinnerung. (1) Eine nichtleere Teilmenge A von R ist genau dann ein Ideal, wenn für alle a, b A und r R auch a + b A und ra A gilt, kurz: A + A = A, RA = A. (2) Mit I(R) bezeichnen wir das Hüllensystem aller Ideale von R. Zu jeder Teilmenge Y von R existiert ein kleinstes Y umfassendes Ideal I(Y ), das von Y erzeugte Ideal. (3) Jede Teilmenge der Form Ra = {ra r R} ist ein Ideal, das von a erzeugte Hauptideal. Das kleinste Ideal R0 besteht nur aus dem Nullelement, das größte ist der ganze Ring R = R1. (4) Für Ideale U 1,..., U k ist U 1 U k das größte in jedem U j (j k) enthaltene Ideal und U U k = { a a k a j U j, j k } das kleinste jedes U j (j k) umfassende Ideal. Insbesondere gilt I(a 1,..., a k ) := I({a 1,..., a k }) = Ra Ra k (k N, a 1,..., a k R). (I(R), +, ) ist somit ein Verband, der so genannte Idealverband von R Beispiele. (Spezielle Ideale) (1) Die Ideale in Z sind genau die Mengen mz (m N 0 ). Für m 1,..., m k N ist ggt(m 1,..., m k )Z = m 1 Z m k Z, kgv(m 1,..., m k )Z = m 1 Z... m k Z. (2) Die Ideale des Restklassenringes Z n (n N) sind genau die Mengen mz n mit m n (3.1.15). (3) In einem Potenzmengenring P(X) (mit symmetrischer Differenz als Addition) sind die Ideale genau die nichtleeren Teilmengen U P(X) mit A B U A U und B U. (4) Ein Körper K (z.b. Z p für p P) hat nur die trivialen Ideale {0} und K. Unmittelbar aus den Definitionen leitet man ab: Lemma. (Teilbarkeit und Hauptideale) Für Elemente a, b des (kommutativen!) Ringes R gilt: (1) a b Ra Rb b Ra. (2) a b Ra = Rb a Rb und b Ra. Die Hauptideale bilden daher eine zu R/ isomorphe durch halbgeordnete Menge. In der folgenden wichtigen Klasse von Ringen bilden die Hauptideale sogar einen Verband: Definition. (Hauptidealringe) Ein Hauptidealring ist ein kommutativer Ring R mit 1, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Falls R außerdem ein Integritätsbereich ist, spricht man von einem Hauptidealbereich. (Vorsicht: Viele Autoren verwenden den Begriff Hauptidealring synonym mit Hauptidealbereich.)

20 KAPITEL 3. RINGE Beispiele. (Hauptidealringe und Hauptidealbereiche) (1) Z ist ein Hauptidealbereich mit I(Z) = {nz n N 0 }. (2) Jeder Körper K ist ein Hauptidealbereich mit I(K) = {{0}, K}. Für endliche Ringe gilt auch die Umkehrung (siehe ). (3) Die algebraischen Zahlringe Z[ n] (n N) sind manchmal Hauptidealbereiche, manchmal nicht: Zum Beispiel ist der Ring Z[ ı ] = Z[ 1] der Gaußschen ganzen Zahlen ein Hauptidealbereich, Z[ 5] hingegen nicht. (Warum, sehen wir später.) (4) Für jeden Körper K ist der Polynomring K[x] ein Hauptidealbereich. Jedes Ideal wird von einem eindeutigen normierten Polynom erzeugt (Beweis in Abschnitt 3.6). (5) Z[x] ist zwar ein Integritätsbereich, aber kein Hauptidealring: 2 Z[x] + x Z[x] ist ein Ideal, aber kein Hauptideal, denn ein Polynom f mit f Z[x] = 2 Z[x]+x Z[x] müsste sowohl ein Teiler des konstanten Polynoms 2 als auch von x sein, was nur für f = ±1 ginge; aber ±1 ist nicht in der Form 2g + xh mit ganzzahligen Polynomen g, h darstellbar. (6) Ein Potenzmengenring P(X) ist genau dann ein Hauptidealring, wenn X endlich ist. In diesem Fall ist I(P(X)) = {P(Y ) Y X}. Aber für X > 1 ist P(X) kein Hauptidealbereich! Für unendliches X ist das System aller endlichen Teilmengen eine Ideal, aber kein Hauptideal. (7) Die Abbildung χ : P(X) Z 2 X, Y χ Y mit χ Y (x) = 1 x Y ist ein Ringisomorphismus. Die Aussagen aus (6) gelten daher entsprechend für Z 2 X. (8) Jeder Restklassenring Z n ist ein Hauptidealring mit I(Z n ) = {mz n m n}. Aber Z n ist nur dann ein Integritätsbereich (und damit sogar ein Körper, erst recht ein Hauptidealbereich), wenn n eine Primzahl ist (siehe wieder ) Definition. (Größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches) Für Elemente a 1,..., a k, d des Ringes R nennt man d einen größten gemeinsamen Teiler (ggt) von a 1,..., a k, falls d ein gemeinsamer Teiler aller a j ist und jeder weitere gemeinsame Teiler von a 1,..., a k ein Teiler von d ist. Analog definiert man kleinste gemeinsame Vielfache (kgv). Man nennt a 1,..., a k R teilerfremd oder relativ prim, falls die einzigen gemeinsamen Teiler von a 1,..., a k die Einheiten sind. Hingegen heißen a 1,..., a k paarweise teilerfremd, falls jedes a j zu jedem a i mit i j teilerfremd ist. In Z sind zum Beispiel 6, 10 und 15 teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd (vgl ). ggt und kgv sind bis auf Assoziiertheit eindeutig, d.h. von den drei Aussagen (1) c ist ein ggt von a 1,..., a k, (2) d ist ein ggt von a 1,..., a k, (3) c d implizieren je zwei die dritte. Wählt man aus jeder Äquivalenzklasse solcher ggt ein Element g(a 1,..., a k ) aus, so kann man von dem ggt g(a 1,..., a k ) sprechen. Kanonische Auswahlen hat man zum Beispiel in Z (man nimmt den positiven ggt) und in Polynomringen über Körpern (man nimmt den normierten ggt; zur Existenz siehe Abschnitt 3.6). Es ist vielfach üblich, d = ggt (a 1,..., a k ) oder sogar nur d = (a 1,..., a k ) zu schreiben, falls d ein ggt von a 1,..., a k ist. Man muss dann aber beachten, dass dies keine Gleichungen im eigentlichen Sinn sind und (a 1,..., a k ) eine andere Bedeutung als die eines k-tupels hat. Entsprechendes gilt für kgv. Der Begriff Hauptidealring ergibt sich durch Synthese zweier schwächerer Eigenschaften:

21 KAPITEL 3. RINGE Definition. (Noethersche Ringe und Bézout-Ringe) Ein Ring heißt noethersch (nach der Mathematikerin Emmy Noether), falls jedes seiner Ideale endlich erzeugt ist. In einem Bézout-Ring ist jedes endlich erzeugte Ideal schon ein Hauptideal. Damit sind die Hauptidealringe genau die noetherschen Bézout-Ringe Satz. (ggt, kgv und Hauptideale) In jedem kommutativen Ring R mit 1 gilt: (1) Rv = Ra 1... Ra k v = kgv(a 1,..., a k ). (2) Rd = Ra Ra k = d = ggt(a 1,..., a k ). In Bézout-Ringen gilt auch die Umkehrung der Implikation (2), und je endlich viele Elemente haben einen ggt. In Hauptidealringen haben sie sowohl (1) ein kgv als auch (2) einen ggt. Zu (1): Rv = Ra 1... Ra k b R (v b j k (a j b)) v = kgv(a 1,..., a k ). Zu (2): Rd = Ra Ra k j k (d a j ) & ( j k (b a j ) b d) d = ggt(a 1,..., a k ). Wieder einmal sehen wir, wie eine wichtigen Eigenschaft der ganzen Zahlen, in diesem Fall das Lemma von Bézout, Anlass zu einem algebraischen Begriff, hier dem des Bézout-Ringes, gibt Folgerung. (Teilerfremdheit in Bézout-Ringen) Für Elemente a 1,..., a k eines Bézout-Ringes (somit jedes Hauptidealringes) R sind äquivalent: (a) a 1,..., a k sind teilerfremd. (b) Ra Ra k = R. (c) Es existieren r 1,..., r k R mit r 1 a r k a k = 1. Für a, b, c R gilt: Ist c ein Teiler von ab und a teilerfremd zu c, so ist c ein Teiler von b. Denn die Voraussetzungen liefern r, s, d R mit ar + cs = 1 und cd = ab, woraus distributiv und kommutativ b = b1 = b(ar + cs) = abr + cbs = cdr + cbs = c(dr + bs), also c b folgt. Wir wenden uns nun der ringtheoretischen Verallgemeinerung der Primzahlen, also der multiplikativ unzerlegbaren Zahlen, zu Lemma. (Unzerlegbarkeit) Für ein Element p 0 eines Integritätsbereiches R sind folgende Aussagen äquivalent: (a) p = ab = a p oder b p. (b) p = ab = a 1 oder b 1. (c) a p = a 1 oder a p. (d) p a = ggt(a, p) = 1. Beweis. (a) = (b) : a p = ab = a = pd, p = ab = p = pdb = 1 = db = b 1. (b) = (c) : p = ab = a 1 oder b 1, also p = ab a1 = a. (c) = (d) : d a, d p = d 1 oder d p ; p d a = p a. Aus p a folgt somit d 1. (d) = (a) : p = ab, a p = p a (da a p) = ggt(a, p) = 1 = a 1 = p = ab b.

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