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1 Zusatztutorium, David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu sein. Allerdings sollte der gar keine Angst machen, da er sehr hilfreich sein kann, wie wir im Folgenden sehen werden. 1.1 Theorie Satz 1 (Homomorphiesatz für Gruppen). Es seien G, H Gruppen, ψ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus ϕ : G/ ker ψ H, so dass ϕ π = ψ gilt. Und hier die Version für Ringe: Satz 2 (Homomorphiesatz für Ringe). Es seien R, A Ringe, ψ : R A ein Ringhomomorphismus. Dann existiert ein eindeutiger Ringhomomorphismus ϕ : R/ ker ψ A, so dass ϕ π = ψ gilt. Der einzige Unterschied ist also, dass wir die Worte Gruppe und Ring gegeneinander ausgetauscht haben. Dadurch verändern sich die Voraussetzungen an den Homomorphismus: Während ein Gruppenhomomorphismus nur eine Verknüpfung erhalten muss, muss ein Ringhomomorphismus zwei Verknüpfungen (+, ) erhalten. Da wir aber meistens einen Gruppen - oder Ringhomomorphismus gegeben haben, wenn wir einen der Sätze benutzen, muss uns das nicht weiter kümmern. Was sagen diese Sätze nun aus? Sie sagen uns, dass wir (ohne groß nachdenken zu müssen) die linke Seite des Homomorphismus nach dem Kern austeilen können, ohne, dass sich an der Abbildung etwas ändert. Das kann hilfreich sein, wenn...

2 1....die / der ursprüngliche Gruppe G / Ring R ziemlich unschön (also z.b. extrem groß ist oder Nullteiler oder sonstewas hat) ist - der Faktor G/ ker ψ / R/ ker ψ hingegen vielleicht ganz einfach gestrickt ist wir einen injektiven Homomorphismus brauchen. Wenn wir nach dem Kern austeilen, ist der neue Homomorphismus anschließend injektiv, da hier dann ker ϕ = 0 gilt. Außerdem können wir noch einen Schritt weitergehen und zu den Isomorphiesätzen übergehen: Satz 3 (Isomorphiesatz für Gruppen). Es seien G, H Gruppen, ψ : G H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ : G/ ker ψ Im ψ ein Isomorphismus von Gruppen. Satz 4 (Isomorphiesatz für Ringe). Es seien R, A Ringe, ψ : R A ein Ringhomomorphismus. Dann ist ϕ : G/ ker ψ Im ψ ein Isomorphismus von Ringen. Während wir bei den Homomorphiesätzen alle Elemente, die sowieso auf die Null abgebildet werden, schon im Urbild zur Null gemacht haben, schränken wir bei den Isomorphiesätzen nun auch noch das Bild auf den Bereich ein, den wir überhaupt erreichen können. Wir schneiden somit auf beiden Seiten das Unwichtige weg. 1.2 Praxis Hier nun noch Beispiele für Aufgaben, in denen der Homomorphiesatz zum Einsatz kommt: Aufgabe (4.1). b) Für eine normale Untergruppe U von G mit (G : U) = 2 konstruiere man einen Gruppenhomomorphismus f : G Z/nZ (für geeignetes n) mit ker (f) = U. Welche der n = 1, 2, 3, 4 sind hier möglich? Lösung. Der Gesuchte Homomorphismus ist mit f : G G/U = {U, (G \ U)} = {±1} = Z/2Z, f(g) = 0, falls g U und f(g) = 1, falls g U Nun ist die Frage, für welche n = 1, 2, 3, 4 so eine Abbildung existiert. Angenommen es existiert ein Homomorphismus ψ : G Z/nZ. Dann wissen wir nach dem Homomorphiesatz für Gruppen, dass dann auch ein (injektiver) Homomorphismus ϕ : G/ ker ψ = G/U = Z/2Z Z/nZ existieren muss. Das geht jedoch nur für gerades n, da ein Element ϕ(2) = x Z/nZ existieren muss, mit x + x = 0. Dies gibt es allerdings nur für gerades n. 2

3 Aufgabe (12.3). a) Man bestimme eine Isotropiegruppe der Konjugationswirkung von S 4 auf X := V \ {id} = {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} S 4. b) Wegen #X = 3 gibt diese Wirkung einen Gruppenhomomorphismus S 4 S 3. Was sind Kern und Bild? c) Aus der Einfachheit von A 5 folgere man, dass A 5 die einzige nichttriviale normale Untergruppe von S 5 ist. d) Man zeige, dass es keinen surjektiven Gruppenhomomorphismus S 5 S 4 gibt. Lösung. Zu d) Angenommen es existiert ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ϕ : S 5 S 4. Dann gilt nach dem Homomorphiesatz S 5 / ker ϕ = S 4 und somit #(ker ϕ) = 5. Da der Kern einer Abbildung zudem eine normale Untergruppe ist, müssten wir also einen Normalteiler von S 5 mit Ordnung 5 finden, was nach Teil c) nicht geht (einzige normale Untergruppen von S 5 sind {id}, A 5, S 5 und keine davon hat Ordnung 5). 2 Primelemente / irreduzible Elemente Diese Elemente sind von besonderem Interesse, da wir so ziemlich alle anderen Elemente eines Rings aus ihnen konstruieren können. Wenn man sich allgemeine Ringe als Verallgemeinerung der ganze Zahlen Z vorstellt, so nehmen die Primelemente und die irreduziblen Elemente die Rolle der Primzahlen ein. Allerdings ist nicht jeder Ring so schön wie Z, so dass es also auch durchaus sein kann, dass die beiden Begriffe nicht gleich sind. 2.1 Theorie Definition 5. Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1). Wir nennen r R irreduzibel, wenn aus r = a b folgt, dass a R oder b R gilt. Einfach gesagt sind die irreduziblen Elemente all diese Elemente, die nicht wirklich zerlegt werden können. Das entspricht der Tatsache, dass wir eine Primzahl p P höchstens in p = p ( 1) zerlegen können, nicht aber in zwei echte Teiler. Definition 6. Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1). Wir nennen p R Primelement, falls aus p a b folgt, dass p a oder p b gilt. 3

4 Primelemente sind also die Grundbausteine des Ringes. Auch in Z gilt, dass, wenn eine Primzahl p ein Produkt teilt, sie schon einen der Faktoren teilen muss (z.b. gilt 3 24 = 6 4 und 3 6). Wie hängen die beiden Begriffe nun zusammen? Eine wichtige Tatsache, die man sich unbedingt merken sollte, ist die folgende: Satz 7. Es sei R ein Integritätsbereich und p R. Dann gilt: p prim p irreduzibel. Noch viel wichtiger ist allerdings die folgende Tatsache: Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht! Es sollte im Hinterkopf sein, dass die Tatsache {P rimelemente} = {irreduzibleelemente} etwas ganz besonderes ist, über das man sich unter Umständen sogar freuen kann. Ringe, in denen so etwas gilt, sind die s.g. faktoriellen Ringe, in denen jedes Element eindeutig (bis auf Einheiten) als das Produkt von Primelementen darstellbar ist. Und da gilt, dass {euklidische Ringe} {Hauptidealringe} {f aktorielle Ringe}, gilt auch in den euklidischen und den Hauptidealringen Gleichheit. Das sind aber sozusagen die schönen Ausnahmen. 2.2 Praxis Auch hier einige Beispielaufgaben: Aufgabe (7.1). a) Ist das Element x in den Ringen R[x] und C[x] irreduzibel? Ist es prim? b) Welche Polynome sind in C[x] irreduzibel? c) Man zeige, dass Polynome f(x) R[x] immer reduzibel sind. d) Welche Polynome in R[x] sind irreduzibel? Lösung. Da wir wissen, dass Polynomringe über faktoriellen Ringen wieder faktoriell sind, sind alle hier betrachteten Ringe faktoriell (sowohl R als auch C sind Körper und damit sozusagen hochgradig faktoriell). Zu a) In C[x] gilt natürlich x 2 + = (x 1)(x + 1) und daher ist x hier nicht irreduzibel. In R[x] hat x keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Denn wenn es reduzibel wäre, würde es in zwei Polynome vom Grad 1 zerfallen, wobei diese dann die Form (x + a) mit a R hätten und dann wäre a eine Nullstelle in R. Zu b) - d) Siehe Ausarbeitung zu Blatt 7. 4

5 Aufgabe (7.5). b) Aufgabe (10.3). a), b), c) Aufgabe (9.1). Aufgabe (). Man zeige, dass die 2 in Z[ 5] zwar irreduzibel, jedoch nicht prim ist. Lösung. Es gilt 2 6 = (1 + 5)(1 5) aber auch 2 (1 ± 5), daher ist die 2 nicht prim. Allerdings ist die 2 irreduzibel: Angenommen nicht. Dann existieren a, b Z[ 5] \ ( Z[ 5] ) mit 2 = a b. Damit muss auch 4 = N(2) = N(a) N(b) gelten, wobei N die bekannte Norm-Abbildung ist. Da N(x) = 1 x R gilt, muss N(a) = N(b) = 2 gelten. Mit a = x + y 5 folgt damit 2 = x 2 + 5y 2, was keine ganzzahlige Lösung hat. Also ist die 2 in Z[ 5] irreduzibel. 3 Moduln, Algebren, Ideale etc. 3.1 Moduln Moduln sind die Verallgemeinerung von Vektorräumen. Wobei letztere immer einen Körper K zugrunde liegen haben, bilden bei Moduln Ringe die Basis. Da liegt auch schon der große Unterschied: bei der Multiplikation mit Skalaren müssen wir aufpassen, da wir im Allgemeinen nicht dividieren können. Definition 8. Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1), (M, +) eine abelsche Gruppe. Mit der Abbildung R M M, (r, m) r m wird M zu einem R-Modul, wenn die Abbildung die folgenden Eigenschaften erfüllt: 1. (r + s) m = r m + sm für alle r, s R, m M 2. r (m + n) = r m + r n für alle r R, m, n M 3. r (s m) = (r s) m für alle r, s R, m M 5

6 3.2 Algebren Definition 9. Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1), A ein R-Modul. Mit der Abbildung A A A, (a, b) a b wird A zu einer R-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. (a + b) c = a c + b c für alle a, b, c A 2. a (b + c) = a b + a c für alle a, b, c A 3. r (a b) = (r a) b = a (r b) für alle a, b A, r R Das Besondere an Algebren ist also, dass wir einen Modul haben, in dem wir auch multiplizieren können (was nicht selbstverständlich ist). Beispiel 1. Ein besonders interessantes Beispiel ist der Polynomring R[x], wobei R ein (kommutativer) Ring (mit 1) ist. Als Modul ist R[x] nicht endlich erzeugt, da wir x, x 2, x 3, x 4,... in die R-Basis aufnehmen müssen. Als Algebra hingegen ist R[x] sehr wohl endlich erzeugt: die R-Basis ist B = {1, x}. Da wir in einer Algebra multiplizieren dürfen, müssen wir x 2, x 3 etc. nicht in die Basis mit aufnehmen, sondern können es aus B konstruieren. 3.3 Ideale Ideale sind schön! Das sollte im Gedächtnis bleiben (sie heißen schließlich nicht umsonst Ideal ). Definition 10. Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1). Eine Menge I R heißt Ideal, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: 1. 0 I 2. a, b I (a + b) I 3. r R, a I r a I Was Ideale von Moduln unterscheidet ist die Tatsache, dass Ideale innerhalb des Ringes leben. Allerdings sind Ideale ganz spezielle Moduln: Ideale sind die Untermoduln des Ringes R (also die Moduln, die innerhalb von R liegen). Ideale können auf folgende Arten verknüpft werden (I, J seien Ideale in R): 1. I J ist ein Ideal in R 2. I + J := { a + b a I, b J } ist ein Ideal in R 3. I J := { c c I oder c J } ist i.a. kein Ideal (häufig wird aber I J := I + J gesetzt) 6

7 Definition 11. Ein Ideal I R heißt Primideal, falls R/I nullteilerfrei ist. Ein Ideal J R heißt Maximalideal, falls R/J ein Körper ist. Bemerkung. Es gilt: I Maximalideal I Primideal. Das ist klar, da natürlich alle Körper nullteilerfrei sind. Auch hier gilt mal wieder: Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch! Definition 12. Hauptideal Beispiel 2. In Z haben alle Ideale die Form (a) := a Z, mit a Z. Aufgabe (5.2). Aufgabe (5.3). c), e) Aufgabe (5.4). a) Aufgabe (6.4). Aufgabe (8.1). a) + b) 4 Der Chinesische Restsatz Vielleicht der Satz der Vorlesung. Auf jeden Fall ein ganz wichtiger. Satz 13 (Chinesischer Restsatz, Version für Z/nZ). Es seien n 1,..., n k N paarweise teilerfremd und N := k i=1 n i. Dann gilt Z/NZ Z/n 1 Z Z/n k Z. Es gibt noch eine allgemeine Version für beliebige Ringe und Ideale, diese ist für uns aber nicht so wichtig. 7

8 Satz 14 (Chinesischer Restsatz, allgemeine Version). Es sei R ein (kommutativer) Ring (mit 1), I 1,..., I k R seien Ideale mit I i + I j = R für i j. Es sei außerdem I := k i=1 I i. Dann gilt R/I R/I 1 R/I k. Jetzt stellt sich die Frage, wozu der Chinesische Restatz gut ist. Eine der häufigsten Anwendungen ist die der simultanen Kongruenzen. Das sieht dann wie folgt aus: Gegeben ein System von Kongruenzen x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ). x a k (mod n k ) mit ggt(n i, n j ) = 1 für i j. Dann existiert nach dem Chinesischen Restsatz eine Lösung x 0, die eindeutig modulo n := k i=1 n i ist. Beispiel 1. Gesucht ist ein x Z/60Z, mit x 3 (mod 5) und x 6 (mod 12). Um das zu lösen, lassen wir zunächst den erweiterten Euklidischen Algorithmus laufen und erhalten = 1. Damit ist (mod 5) (mod 12) (mod 5) (mod 12) Damit erhalten wir für den Isomorphismus im Chinesischen Restsat Z/60Z Z/5Z Z/12Z 25 (0, 1) 24 (1, 0) Wir suchen nun das Urbild des Elements (3, 6) Z/5Z Z/12Z, d.h. gesucht ist das Urbild von (3, 6) = 3 (1, 0) + 6 (0, 1), welches wir bestimmen können, indem wir die Urbilder von (1, 0), bzw. (0, 1) einsetzen: Und Tatsache, es gilt 3 ( 24) = (mod 60) 18 3 (mod 5) 18 6 (mod 12) 8

9 wie gewünscht! Dieses Vorgehen lässt sich auch auf drei und mehr teilerfremde Zahlen ausweiten. Wollen wir z.b. das System x 3 (mod 5) x 1 (mod 3) x 3 (mod 4) lösen, so müssen wir insgesamt drei ggt s berechnen: Damit ergibt sich als Lösung r s 1 (3 4) = 1 r s 2 (5 4) = 1 r s 3 (5 3) = 1 r 1 = 5, s 1 = 2 r 2 = 7, s 2 = 1 r 3 = 4, s 3 = 1 Analog zum ersten Teil des Beispiels ist dann Damit ist die Lösung Oh Wunder, es gilt Z/60Z Z/5Z Z/3Z Z/4Z 24 (1, 0, 0) 20 (0, 1, 0) 15 (0, 0, 1) 3 ( 24) + 1 ( 20) + 3 ( 15) = (mod 60) 43 3 (mod 5) 43 1 (mod 3) 43 3 (mod 4). Aufgabe (10.4). 9

10 5 Konjugiertheit bei Permutationen Bei Permutationen ist es of interessant herauszufinden, ob sie zueinander konjugiert sind oder nicht. Es gibt eine ganz einfach Möglichkeit dies zu testen und sogar zu berechnen, mithilfe welcher weiteren Permutation sie ineinander überführbar sind. Satz 15. Zwei Permutationen α, β S n sind genau dann konjugiert zueinander, wenn sie den gleichen Zykeltyp haben. Das ist doch mal was! Wie berechnen wir nun das Element, welches α in β überführt? Wir zeigen das anhand eines Beispiels: Beispiel 1. Seien α = (1 3 5)(2 4) und β = (1 3)(2 4 6). Zunächst schreiben wir in die obere Zeile einer zweizeilige Matrix die Elemente von α und zwar in ihrer Auftrittsreihenfolge: ( ) Dann schreiben wir darunter (auch in Auftrittsreihenfolge, aber Achtung: die gleichlangen Zykel müssen untereinander stehen!) die Elemente aus β: ( ) Jetzt sortieren wir die obere Zeile in aufsteigender Reihenfolge und nehmen die Einträge, die darunter stehen, mit: ( ) Und was da jetzt steht, ist die gesuchte Permutaion σ mit σ α σ 1 = β. 10

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