Kaplan-Meier-Schätzer

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kaplan-Meier-Schätzer"

Transkript

1 Kaplan-Meier-Schätzer Ausgangssituation Zwei naive Ansätze zur Schätzung der Survivalfunktion Unverzerrte Schätzung der Survivalfunktion Der Kaplan-Meier-Schätzer Standardfehler und Konfidenzintervall für die Schätzung Aus dem Modul wissen wir, dass im Rahmen der Lebensdaueranalyse neben der Verteilungsfunktion und der Dichte die Hazardrate und insbesondere die Survivalfunktion von Interesse sind Wir haben zwei theoretische Verteilungsmodelle für Lebensdauern, die Exponentialverteilung und die Weibull-Verteilung, kennen gelernt In diesem Modul werden wir uns mit der Frage beschäftigen, wie man aus empirischen Lebensdauerdaten eine Survivalfunktion schätzen kann Ausgangssituation Wir beginnen die Überlegungen zur Schätzung der Survivalfunktion mit einem motivierenden Beispiel (vgl Beispiel "Leuchtstofflampen" aus dem Modul ) Beispiel: Leuchtstofflampen Ausgangspunkt unserer Überlegungen sind die Daten eines Lebensdauerversuchs, in dem eine Stichprobe von Leuchtstofflampen untersucht wurde Die Lampen wurden gleichzeitig (zum Zeitpunkt 0) eingeschaltet Der Versuch wurde nach 1000 Stunden (6 Wochen) beendet Der Datensatz enthält 50 Zeiten; handelt es sich um eine beobachtete Lebensdauer, ist der Wert nicht gekennzeichnet, bei einer Zensierung ist ein +-Zeichen angefügt (weshalb die "zensierten" Lampen vorzeitig, also ohne dass deren Lebensdauer erreicht war, aus dem Lebensdauerversuch ausgeschieden sind, wollen wir hier nicht weiter verfolgen) Die identischen Werte 1000 mit +-Zeichen am Ende des Datensatzes kennzeichnen die Lampen, die am Ende der Beobachtungszeit noch nicht ausgefallen waren Wir wollen den Datensatz zunächst ganz einfach graphisch darstellen, in dem wir für jede Lampe eine horizontale Lebenslinie zeichnen, die zu Beginn der Beobachtung beginnt (hier also für alle Lampen bei ) Handelt es sich um eine Lebensdauer, beenden wir die Lebenslinie mit einem vollen Punkt, bei einer Zensierung mit einem hohlen Punkt Wir beginnen oben mit der kurzlebigsten Lampe und enden unten mit den Lampen, die bei noch leben Die Abbildung veranschaulicht gut, wie sich der Bestand "lebender" Lampen, ausgehend von, allmählich verringert Die vollen und hohlen Punkte am Ende der Lebenslinien geben einen Eindruck davon, ob ein größerer oder kleinerer Teil der Stichprobe zensiert wurde Zwei naive Ansätze zur Schätzung der Survivalfunktion Bei einem gewöhnlichen Merkmal würden wir nach der empirischen Page 1

2 Verteilungsfunktion fragen, dh nach der relativen Häufigkeit von Lebensdauern, die kleiner oder gleich sind: Es hat sich aber eingebürgert, in der Lebensdaueranalyse statt dessen die Überlebenshäufigkeitsfunktion zu berechnen; ist definiert als die relative Häufigkeit von Lebensdauern, die größer als sind: Ein naiver Ansatz besteht darin, zur Aufstellung von bzw die zensierten Werte einfach zu ignorieren Beispiel: Naive Ansätze zur Schätzung der Survivalfunktion Wenn wir die zensierten Werte im Datensatz ignorieren, verbleibt eine Stichprobe von Lebensdauern Wir errechnen (weil wir das schon können) und stellen dann statt der Treppenfunktion die Treppenfunktion dar Man sieht leicht (vgl Abbildung unten), dass wir ein verfälschtes Bild bekommen haben Zum Ende des Beobachtungszeitraums, bei Stunden waren 6 Lampen noch nicht ausgefallen, haben also eine Lebensdauer, die größer ist als 1000; aber die Funktion fällt bei der größten beobachteten Lebensdauer,, auf Null ab, suggeriert also, dass keine der Lebensdauern größer war als Das Weglassen der vor zensierten Werte hat denselben Effekt: hätte man die zensierten Lampen bis zum Ende ihrer Lebensdauer beobachten können, dann wäre langsamer gegen Null gefallen als es sich in unserem - falschen - Ansatz ergibt Auch der Alternativ-Vorschlag, die Zensierungszeit als Lebensdauer anzusehen, löst unser Problem nicht Wir haben dann zwar eine Stichprobe mit so vielen Daten wie am Anfang der Beobachtungszeit zur Verfügung standen, aber auch jetzt fällt steiler gegen Null als es der Situation entspricht, denn jeder zensierte Wert wird als eine Lebensdauer angesehen, ist aber tatsächlich kleiner als die Lebensdauer (wenn sie beobachtet worden wäre), und zum Ende der Beobachtungszeit, bei, fällt auf Null ab In der folgenden Abbildung sind die beiden verzerrten Schätzfunktionen (orange) wiedergegeben (die zuerst diskutierte endet bei, die zweite bei ) Dazu ist die nachfolgend diskutierte, asymptotisch unverzerrte Schätzfunktion (blau) eingezeichnet, die flacher verläuft Unverzerrte Schätzung der Survivalfunktion So wie die empirische Verteilungsfunktion eine unverzerrte Schätzung der theoretischen Verteilungsfunktion ist (vgl Modul, Abschnitt "Schätzung der Verteilungsfunktion F(x)"), soll die Überlebenshäufigkeitsfunktion eine unverzerrte Schätzung der Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion sein Die beiden Vorschläge, bei der Berechnung von entweder die Zensierzeiten nicht zu beachten oder als Lebensdauern zu bewerten, gewährleisten das nicht Dagegen erhält man mit folgenden Ansatz, der von Kaplan und Meier (1958) stammt, eine Page 2

3 Beispiel: Unverzerrte Schätzung der Survivalfunktion Wir gehen von dem Lampenbeispiel aus und betrachten die registrierten Zeiten nacheinander, beginnend mit der kleinsten Zeit 96 Das ist der erste Ausfallzeitpunkt, bis zu dem alle Lampen im Test waren, also ausfallen konnten Die Wahrscheinlichkeit, mit der der erste Ausfall bis erfolgte, schätzen wir zu (eine Lampe von 50), die Überlebenswahrscheinlichkeit bis wird also durch geschätzt Bei wurde der zweite Ausfall registriert; dessen bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass nach nur noch 49 Lampen im Test waren, wird mit (eine Lampe von 49, die noch im Test waren) geschätzt Die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit von bis ist also Der Schätzwert für die Überlebenswahrscheinlichkeit bis ist der bis,, multipliziert mit der bedingten von bis,, also Das nächste Ereignis im Test ist eine Zensierung zum Zeitpunkt Da wir zu diesem Zeitpunkt keine Lebensdauer beobachtet haben, können wir bei keine Überlebenswahrscheinlichkeit schätzen Danach erfolgt bei ein Ausfall Bis waren noch 47 Lampen im Test (weil bereits zwei ausgefallen und eine zensiert worden war); die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit von bis wird also durch geschätzt, die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit durch Die geschätzte Überlebenswahrscheinlichkeit bis ist also Auf diese Weise erhalten wir für jeden Ausfallzeitpunkt eine Schätzung Die Schätzung ist in der Abbildung oben (blau) eingezeichnet Der Kaplan-Meier-Schätzer Das Vorgehen können wir schematisieren: Für jeden Ausfallzeitpunkt berechnen wir die Anzahl der noch im Test befindlichen Einheiten und bezeichnen sie als Risikomenge Falls zum selben Zeitpunkt sowohl ein Ausfall eintritt als auch eine Zensierung erfolgt, nehmen wir an, dass der Ausfall der Zensierung vorgeht (dass also die zensierte Einheit noch zur Risikomenge für diesen Ausfall gehört) Außerdem berücksichtigen wir noch, dass es durchaus auch zwei (oder mehr) Ausfälle zum selben Zeitpunkt geben kann, und bezeichnen allgemein die Anzahl der Ausfälle zum Zeitpunkt mit Dann ist der Schätzwert für die bedingte Überlebenshäufigkeit von bis, und wir erhalten wobei ist Das ist eine Rekursionsformel, mit der man berechnen kann, wenn man schon berechnet hat Durch Einsetzen ergibt sich Diese Formel ist für die Berechnung besonders einfach: die fortlaufendes Multiplizieren der Ausdrücke ergeben sich durch an den Ausfallzeitpunkten Wenn Page 3

4 man außerdem beachtet, dass für jeden Zensierungszeitpunkt die Anzahl der Ausfälle gleich Null ist,, dann kann man die Formel auch auf alle beobachteten Zeitpunkte (Lebensdauern und Zensierzeiten) anwenden, indem man alle (nach der Größe geordneten) Zeiten nacheinander durchgeht und mit den jeweiligen multipliziert Die geschätzte Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion ist Da die Ausfallwahrscheinlichkeit gleich Eins minus die Überlebenswahrscheinlichkeit ist,, gilt entsprechend für die Schätzung Standardfehler und Konfidenzintervall für die Schätzung Greenwood (1987) hat eine Formel für den Standardfehler von angegeben: Mit und dem zugehörigen lässt sich näherungsweise ein Konfidenzintervall für angeben Unter den Annahmen der Normalverteilung von ergibt es sich zum Konfidenzniveau mit approximativ als Konfidenzintervall Da es sich um eine Näherung handelt, kann die obere Konfidenzgrenze größer als Eins, die untere Konfidenzgrenze kleiner als Null werden; in einem solchen Fall setzen wir sie Eins bzw Null Beispiel: Standardfehler und Konfidenzintervalle Versuchen wir für unser Lampenbeispiel für den Standardfehler der Schätzung zu berechnen, erhalten wir und für Die folgende Tabelle zeigt die Auswertung für unser Lampenbeispiel Spalte 2 enthält die registrierten Zeiten (mit einem +, falls es sich um eine Zensierung handelt) Spalte 3 enthält die Ausfallzeitpunkte, Spalte 4 die Anzahl von Lampen in der Risikomenge, Spalte 5 die Anzahl der Ausfälle zum Zeitpunkt (in unserem Beispiel sind alle ), Spalte 6 die Schätzung der bedingten Überlebenswahrscheinlichkeit, Spalte 7 die geschätzte Überlebenswahrscheinlichkeit, Spalte 8 deren Standardfehler, Spalte 9 und 10 die Grenzen des Konfidenzintervalls für und Spalte 11 die geschätzte Ausfallwahrscheinlichkeit Jeder Wert in Spalte 7 ist das Produkt aus dem darüber stehenden, beginnend mit, und dem in Spalte 6 links daneben stehenden In der folgenden Abbildung ist die geschätzte Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion (blau) dargestellt, ergänzt durch die Konfidenzgrenzen für (orange) Diese bilden in der Abbildung ein Band, das zu der Fehlinterpretationen verleitet, die Überlebenswahrscheinlichkeitsfunktion würde insgesamt innerhalb des Bandes verlaufen Es handelt sich aber nach wie vor um einzelne Konfidenzintervalle für an den Zeitpunkten, jeweils auf dem Konfidenzniveau Page 4

5 In einer medizinischen Studie wurde die Überlebenszeit (in Wochen) von männlichen Zungenkrebs-Patienten untersucht Die Ergebnisse sind der folgenden Tabelle zusammengestellt: Quelle: Sickle-Santanello et al (1988) Mit dem Statistiklabor lassen sich die Daten analog zu denen aus dem Lampenbeispiel auswerten Da die Berechnungen und die Erstellung der Graphiken nicht trivial ist, enthält das Labor-Szenario eine Funktion, die die Auswertung automatisiert Diese Funktion kann auch zur Auswertung anderer Versuchsdaten verwendet werden Labor-Szenario: Krebsspf ( cacspf ) Im Rahmen von Survivalanalysen besteht in vielen Fällen ein Interesse an der Schätzung der Survivalfunktion aus den vorliegenden Daten Im Gegensatz zu "gewöhnlichen" Schätzproblemen, besteht im Kontext von Survivalanalysen dabei das Problem der Zensierungen Werden die Zensierungen ignoriert oder als Lebenszeiten uminterpretiert, sind die resultierenden Schätzer verzerrt Der Kaplan-Meier-Schätzer dagegen bezieht die in den Zensierungen enthaltenen Informationen in die Schätzung mit ein und führt so zu einer asymptotisch unverzerrten Schätzung der Survivalfunktion Zu dieser Schätzung lassen sich punktweise die Standardfehler bestimmen, so dass sich problemlos auch ein näherungsweises Konfidenzintervall angeben lässt Literaturangabe Sickle-Santanello BJ, Farrar WB, DeCenzo JF et al Technical and statistical improvements for flow cytometric DNA analysis of paraffin-embedded tissue Cytometry 1988; 9: (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 5

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T

Verteilungsmodelle. Verteilungsfunktion und Dichte von T Verteilungsmodelle Verteilungsfunktion und Dichte von T Survivalfunktion von T Hazardrate von T Beziehungen zwischen F(t), S(t), f(t) und h(t) Vorüberlegung zu Lebensdauerverteilungen Die Exponentialverteilung

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

- Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch

- Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch 1 2 - Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch Badewannenkurve. -mit der Badewannenkurve lässt

Mehr

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz

9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz 9. Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Schätzen und Testen bei unbekannter Varianz Wenn wir die Standardabweichung σ nicht kennen,

Mehr

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER

METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER METHODENLEHRE I WS 2013/14 THOMAS SCHÄFER DAS THEMA: INFERENZSTATISTIK IV INFERENZSTATISTISCHE AUSSAGEN FÜR ZUSAMMENHÄNGE UND UNTERSCHIEDE Inferenzstatistik für Zusammenhänge Inferenzstatistik für Unterschiede

Mehr

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =

, dt. $+ f(x) = , - + < x < +,  > 0.  2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) = 38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die

Mehr

Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS

Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS Einfache statistische Auswertungen mit dem Programm SPSS Datensatz: fiktive_daten.sav Dipl. Päd. Anne Haßelkus Dr. Dorothea Dette-Hagenmeyer 11/2011 Überblick 1 Deskriptive Statistiken; Mittelwert berechnen...

Mehr

Webergänzung zu Kapitel 10

Webergänzung zu Kapitel 10 Webergänzung zu Kapitel 10 10.1.4 Varianzanalyse (ANOVA: analysis of variance) Im Kapitel 10 haben wir uns hauptsächlich mit Forschungsbeispielen beschäftigt, die nur zwei Ergebnissätze hatten (entweder

Mehr

Business Value Launch 2006

Business Value Launch 2006 Quantitative Methoden Inferenzstatistik alea iacta est 11.04.2008 Prof. Dr. Walter Hussy und David Tobinski UDE.EDUcation College im Rahmen des dokforums Universität Duisburg-Essen Inferenzstatistik Erläuterung

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 7. Hypothesentests Ausgangssituation: Man muss sich zwischen 2 Möglichkeiten (=Hypothesen) entscheiden. Diese Entscheidung soll mit Hilfe von Beobachtungen ( Stichprobe ) getroffen werden. Die Hypothesen

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall

Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen

Mehr

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1

Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008. Aufgabe 1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2007/2008 Aufgabe 1 Ihnen liegt

Mehr

Berechnung des LOG-RANK-Tests bei Überlebenskurven

Berechnung des LOG-RANK-Tests bei Überlebenskurven Statistik 1 Berechnung des LOG-RANK-Tests bei Überlebenskurven Hans-Dieter Spies inventiv Health Germany GmbH Brandenburger Weg 3 60437 Frankfurt hd.spies@t-online.de Zusammenfassung Mit Hilfe von Überlebenskurven

Mehr

Herzlich Willkommen zur Vorlesung Statistik

Herzlich Willkommen zur Vorlesung Statistik Herzlich Willkommen zur Vorlesung Statistik Thema dieser Vorlesung: Kovarianz und Korrelation Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Einfache Varianzanalyse für abhängige

Einfache Varianzanalyse für abhängige Einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben Wie beim t-test gibt es auch bei der VA eine Alternative für abhängige Stichproben. Anmerkung: Was man unter abhängigen Stichproben versteht und wie diese

Mehr

Statistische Analyse von Ereigniszeiten

Statistische Analyse von Ereigniszeiten Statistische Analyse von Survival Analysis VO Biostatistik im WS 2006/2007 1 2 3 : Leukemiedaten (unzensiert) 33 Patienten mit Leukemie; Zielvariable Überlebenszeit. Alle Patienten verstorben und Überlebenszeit

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8

Box-and-Whisker Plot -0,2 0,8 1,8 2,8 3,8 4,8 . Aufgabe: Für zwei verschiedene Aktien wurde der relative Kurszuwachs (in % beobachtet. Aus den jeweils 20 Quartaldaten ergaben sich die folgenden Box-Plots. Box-and-Whisker Plot Aktie Aktie 2-0,2 0,8,8

Mehr

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum)

Skriptum zur Veranstaltung. Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik. 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Skriptum zur Veranstaltung Quantitative Methoden (Mathematik/Statistik) Teil Induktive Statistik 1. Version (mehr Draft als Skriptum) Anmerkungen, Aufzeigen von Tippfehlern und konstruktive Kritik erwünscht!!!

Mehr

4 Produktspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausbeute

4 Produktspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausbeute 4.1 Grundlagen 4 Produktspezifische Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausbeute 4.1 Grundlagen In den bisherigen Ausführungen wurden die Grundlagen der Ausbeuteberechnung behandelt. So wurde bereits im Abschnitt

Mehr

Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen

Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen René Martin Berechnungen in Excel Zahlen, Formeln und Funktionen ISBN-10: 3-446-41029-5 ISBN-13: 978-3-446-41029-9 Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41029-9

Mehr

Medizinische Statistik Epidemiologie und χ 2 Vierfeldertest

Medizinische Statistik Epidemiologie und χ 2 Vierfeldertest Universität Wien Institut für Mathematik Wintersemester 2009/2010 Medizinische Statistik Epidemiologie und χ 2 Vierfeldertest Seminar Angewandte Mathematik Ao. Univ. Prof. Dr. Peter Schmitt von Nadja Reiterer

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur

F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur F-Praktikum Physik: Photolumineszenz an Halbleiterheterostruktur David Riemenschneider & Felix Spanier 31. Januar 2001 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Auswertung 3 2.1 Darstellung sämtlicher PL-Spektren................

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

4. Erstellen von Klassen

4. Erstellen von Klassen Statistik mit Tabellenkalkulation 4. Erstellen von Klassen Mit einem einfachen Befehl lässt sich eine Liste von Zahlen auf die Häufigkeit der einzelnen Werte untersuchen. Verwenden Sie dazu den Befehl

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment

OECD Programme for International Student Assessment OECD Programme for International Student Assessment PISA 2003 LÖSUNGEN DER BEISPIELAUFGABEN AUS DEM PROBLEMLÖSENTEST Beispielitems PISA-Hauptstudie 2003 1 UNIT BIBLIOTHEKENSYSTEM Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie

Mehr

Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern

Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeit. Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden

Mehr

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME)

LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME) LANGFRISTIGE HAUSAUFGABE (LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME) Aufgabe 1: Tanzkurs ( * ) Zu einem Tanzkurs erscheinen dreimal so viele Mädchen wie Jungen. Nachdem 15 Mädchen gegangen sind, sind noch doppelt so viele

Mehr

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe?

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Aufgabe 1: Das Stanzblech: Löcher In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Bei dieser Aufgabe kann rückwärts gearbeitet

Mehr

Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2012 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 nter einem Regentag verstehen Meteorologen einen Tag, an dem mehr als ein Liter Niederschlag pro Quadratmeter gefallen

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt. Stock, Nordflügel R. 0-49 (Persike) R. 0- (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 008/009 Fachbereich

Mehr

Bericht über die Untersuchung zur Erblichkeit von Herzerkrankungen beim PON

Bericht über die Untersuchung zur Erblichkeit von Herzerkrankungen beim PON 1 Bericht über die Untersuchung zur Erblichkeit von Herzerkrankungen beim PON Einleitung Bei der Rasse PON wurden im APH in der letzten Zeit auffällig viele Herzkrankheiten und Herzveränderungen unterschiedlicher

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die

Mehr

Gantt-Diagramm - Diagramm zur Projektverfolgung

Gantt-Diagramm - Diagramm zur Projektverfolgung Gantt-Diagramm - Diagramm zur Projektverfolgung 5.06.206 3:29:35 FAQ-Artikel-Ausdruck Kategorie: Windows::MS Office::Excel Bewertungen: 0 Status: öffentlich (Alle) Ergebnis: 0.00 % Sprache: de Letzte Aktualisierung:

Mehr

Multivariate Statistik

Multivariate Statistik Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 2 21. Oktober 2014 Verbundene Stichproben Liegen zwei Stichproben vor, deren Werte einander

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

FAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE. Andreas Handl

FAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE. Andreas Handl FAKTORIELLE VERSUCHSPLÄNE Andreas Handl 1 Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsplanung 4 2 Einfaktorielle Varianzanalyse 6 2.1 DieAnnahmen... 6 2.2 Die ANOVA-Tabelle und der F -Test... 6 2.3 Versuche mit zwei

Mehr

Einfache statistische Auswertungen mit dem TI-Nspire

Einfache statistische Auswertungen mit dem TI-Nspire 1. Neues Dokument und darin eine neue Seite anlegen Als Typ 6: Lists & Spreadsheet wählen. Darin die Messwerte in einer Spalte erfassen. Dies ergibt die Urliste. Wenn mehrere Messwerte vorliegen, die diejenigen,

Mehr

Interne und externe Modellvalidität

Interne und externe Modellvalidität Interne und externe Modellvalidität Interne Modellvalidität ist gegeben, o wenn statistische Inferenz bzgl. der untersuchten Grundgesamtheit zulässig ist o KQ-Schätzer der Modellparameter u. Varianzschätzer

Mehr

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG

RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Die Poisson-Verteilung Jianmin Lu RUPRECHTS-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastik (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In der Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Leseprobe aus: Budischewski, Kriens, SPSS für Einsteiger, ISBN 978-3-621-28183-6 2015 Beltz Verlag, Weinheim Basel

Leseprobe aus: Budischewski, Kriens, SPSS für Einsteiger, ISBN 978-3-621-28183-6 2015 Beltz Verlag, Weinheim Basel http://www.beltz.de/de/nc/verlagsgruppe-beltz/gesamtprogramm.html?isbn=978-3-621-28183-6 Vorwort LiebeLeserin, lieber Leser, wir arbeiten seit vielen Jahren mit SPSS. Diese Erfahrung aus Vorlesungen, Abschlussarbeiten,

Mehr

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

15.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit 5.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Einführendes Beispiel ( Erhöhung der Sicherheit bei Flugreisen ) Die statistische Wahrscheinlichkeit, dass während eines Fluges ein Sprengsatz an Bord

Mehr

Aufgabe 1: Malerarbeiten

Aufgabe 1: Malerarbeiten Aufgabe 1: Malerarbeiten Fritz braucht zwei Stunden, um ein Zimmer zu streichen. Susi braucht für das gleiche Zimmer drei Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen, um das Zimmer zu streichen? Lösung:

Mehr

Eine Einführung in R: Statistische Tests

Eine Einführung in R: Statistische Tests Eine Einführung in R: Statistische Tests Bernd Klaus, Verena Zuber Institut für Medizinische Informatik, Statistik und Epidemiologie (IMISE), Universität Leipzig http://www.uni-leipzig.de/ zuber/teaching/ws12/r-kurs/

Mehr

Kapitel 2. Lösung 2.2

Kapitel 2. Lösung 2.2 Kapitel 2: Die Strukturierung des Entscheidungsproblems 1 Kapitel 2 Aufgabe 2.1 Sie möchten Ihrer Schwester etwas zum Geburtstag schenken. Auf der Suche nach etwas Passendem finden Sie bei einem Schaufensterbummel

Mehr

Vorübung 1 Beschriften Sie die Tabelle wie in der Abbildung dargestellt.

Vorübung 1 Beschriften Sie die Tabelle wie in der Abbildung dargestellt. Diese Anleitung führt in einige Grundfunktionen des Tabellenkalkulationsprogramms Microsoft Excel ein. Sie erstellen nach einigen Vorübungen mit Excel ein kleines Programm, das auf der Grundlage der Gesamtpunktzahl

Mehr

a) Welche der beiden Halbgeraden stehen für die Tarife REGENBOGEN und UFO? Begründe. b) Hat Lena recht oder Giuseppe? Begründe.

a) Welche der beiden Halbgeraden stehen für die Tarife REGENBOGEN und UFO? Begründe. b) Hat Lena recht oder Giuseppe? Begründe. 38 3 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungsssteme grafisch lösen Beim Tarif REGENBGEN zahle ich für das Telefonieren mit dem Hand zwar einen Grundpreis. Dafür sind aber die Gesprächseinheiten

Mehr

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch 1: Viskosität. Durchgeführt am 26.01.2012. Gruppe X

Praktikum Physik. Protokoll zum Versuch 1: Viskosität. Durchgeführt am 26.01.2012. Gruppe X Praktikum Physik Protokoll zum Versuch 1: Viskosität Durchgeführt am 26.01.2012 Gruppe X Name 1 und Name 2 (abc.xyz@uni-ulm.de) (abc.xyz@uni-ulm.de) Betreuerin: Wir bestätigen hiermit, dass wir das Protokoll

Mehr

Kapitel 7: Varianzanalyse mit Messwiederholung

Kapitel 7: Varianzanalyse mit Messwiederholung Kapitel 7: Varianzanalyse mit Messwiederholung Durchführung einer einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung 1 Durchführung einer zweifaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung auf einem

Mehr

Schätzung des Lifetime Values von Spendern mit Hilfe der Überlebensanalyse

Schätzung des Lifetime Values von Spendern mit Hilfe der Überlebensanalyse Schätzung Lifetime Values von Spenn mit Hilfe Überlebensanalyse Einführung in das Verfahren am Beispiel Einzugsgenehmigung Überlebensanalysen o Ereignisdatenanalysen behandeln das Problem, mit welcher

Mehr

Folie 1: Fehlerbaumanalyse (FTA) Kurzbeschreibung und Ziel Die Fehlerbaumanalyse im Englischen als Fault Tree Analysis bezeichnet und mit FTA

Folie 1: Fehlerbaumanalyse (FTA) Kurzbeschreibung und Ziel Die Fehlerbaumanalyse im Englischen als Fault Tree Analysis bezeichnet und mit FTA Folie 1: Fehlerbaumanalyse (FTA) Kurzbeschreibung und Ziel Die Fehlerbaumanalyse im Englischen als Fault Tree Analysis bezeichnet und mit FTA abgekürzt dient der systematischen Untersuchung von Komponenten

Mehr

1 Wiederholung einiger Grundlagen

1 Wiederholung einiger Grundlagen TUTORIAL MODELLEIGENSCHAFTEN Im vorliegenden Tutorial werden einige der bisher eingeführten Begriffe mit dem in der Elektrotechnik üblichen Modell für elektrische Netzwerke formalisiert. Außerdem soll

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2007 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. oec. W. Lao Klausur (Maschineningenieure) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom 2.9.2007 Musterlösungen

Mehr

Kleine Einführung in die lineare Regression mit Excel

Kleine Einführung in die lineare Regression mit Excel Kleine Einführung in die lineare Regression mit Excel Grundoperationen mit Excel Werte mit Formeln berechnen Bsp.: Mittelwert und Standardabweichung Das $-Zeichen Beispielauswertung eines Versuches Daten

Mehr

Adressetiketten Bedingungsfeld

Adressetiketten Bedingungsfeld SERIENBRIEF BEDINGTE ANREDE Adressetiketten Bedingungsfeld Wie kann ich Leerschläge, welche aus leeren Felder resultieren, eliminieren? www.rechtemaustaste.ch Frage 1. Ich möchte einen Serienbrief fabrizieren.

Mehr

Tutorial. Mediationsanalyse mit PROCESS. stefan.pfattheicher@uni-ulm.de. Das Konzept Mediation

Tutorial. Mediationsanalyse mit PROCESS. stefan.pfattheicher@uni-ulm.de. Das Konzept Mediation Tutorial Mediationsanalyse mit PROCESS stefan.pfattheicher@uni-ulm.de Das Konzept Mediation Ein Mediator (folgend M) erklärt den Zusammenhang zwischen unabhängiger Variable (folgend X) und einer abhängigen

Mehr

Studiendesign und Statistik: Interpretation publizierter klinischer Daten

Studiendesign und Statistik: Interpretation publizierter klinischer Daten Studiendesign und Statistik: Interpretation publizierter klinischer Daten Dr. Antje Jahn Institut für Medizinische Biometrie, Epidemiologie und Informatik Universitätsmedizin Mainz Hämatologie im Wandel,

Mehr

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12 Grundlagen: Folge 19 - Bäume 19.1 Binärbäume - Allgemeines Unter Bäumen versteht man in der Informatik Datenstrukturen, bei denen jedes Element mindestens zwei Nachfolger hat. Bereits in der Folge 17 haben

Mehr

Nonparametric estimation of the probability of default 1

Nonparametric estimation of the probability of default 1 probability of default 1 probability of default 2 probability of default 3 Fixierte Studienzeit Fixierter Anteil an Toten (z.b. 80%) Fixierte Beobachtungsz. A B C D E 10 20 30 A B C D E 10 20 35 A B C

Mehr

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt!

Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! Grundlagen der Inferenzstatistik: Was Ihnen nicht erspart bleibt! 1 Einführung 2 Wahrscheinlichkeiten kurz gefasst 3 Zufallsvariablen und Verteilungen 4 Theoretische Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Mehr

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen

1.3 Die Beurteilung von Testleistungen 1.3 Die Beurteilung von Testleistungen Um das Testergebnis einer Vp zu interpretieren und daraus diagnostische Urteile ableiten zu können, benötigen wir einen Vergleichsmaßstab. Im Falle des klassischen

Mehr

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3

Mehr

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung

3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im

Mehr

Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1

Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2011 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Bei der TOTO-13er-Wette (vgl. abgebildeten Ausschnitt aus einem Spielschein) wird auf den Spielausgang von 13 Fußballspielen

Mehr

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung

5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung 5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Kapitalerhöhung - Verbuchung

Kapitalerhöhung - Verbuchung Kapitalerhöhung - Verbuchung Beschreibung Eine Kapitalerhöhung ist eine Erhöhung des Aktienkapitals einer Aktiengesellschaft durch Emission von en Aktien. Es gibt unterschiedliche Formen von Kapitalerhöhung.

Mehr

CdsComXL. Excel add-in für Bearbeitung und Auswertung der CDS-daten. ComXL-020/D, 0102. Spur 9 014.700. Spur 7 014.680. Spur 5 014.660. Spur 3 014.

CdsComXL. Excel add-in für Bearbeitung und Auswertung der CDS-daten. ComXL-020/D, 0102. Spur 9 014.700. Spur 7 014.680. Spur 5 014.660. Spur 3 014. Excel add-in für Bearbeitung und Auswertung der CDS-daten CdsComXL 100 50 0 Spur 9 014.700 Spur 7 014.680 014.660 014.640 Spur 3 Spur 5 014.620 Spur 1 014.600 ComXL-020/D, 0102 Inhaltsverzeichnis 1. Installation----------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin

Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin Mathematik von 1200 bis 2004 Stefan Kühling, Fachbereich Mathematik skuehling @ fsmath.mathematik.uni-dortmund.de Schnupper Uni 26. August 2004 1 1 Goldener

Mehr

Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit<-read.table("c:\\compaufg\\kredit.

Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit<-read.table(c:\\compaufg\\kredit. Lösung 16.3 Analog zu Aufgabe 16.1 werden die Daten durch folgenden Befehl eingelesen: > kredit

Mehr

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen

2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-1 2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Verteilungsfunktion und dquantile

Verteilungsfunktion und dquantile Statistik 1 für SoziologInnen Verteilungsfunktion und dquantile Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Kumulierte Häufigkeiten Hinweis: Damit die Kumulation inhaltlich sinnvoll ist, muss das Merkmal zumindest ordinal

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 2 28.02.2008 1 Inhalt der heutigen Übung Beschreibende Statistik Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben 2.1: Häufigkeitsverteilung 2.2: Tukey Boxplot 25:Korrelation

Mehr

Von der Untersuchungsfrage zu statistischen Hypothesen, und wie war das nochmal mit dem α- und

Von der Untersuchungsfrage zu statistischen Hypothesen, und wie war das nochmal mit dem α- und Von der Untersuchungsfrage zu statistischen Hypothesen, und wie war das nochmal mit dem α- und β-fehler? Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de

Mehr

4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile

4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile 4. Kumulierte Häufigkeiten und Quantile Kumulierte Häufigkeiten Oft ist man nicht an der Häufigkeit einzelner Merkmalsausprägungen interessiert, sondern an der Häufigkeit von Intervallen. Typische Fragestellung:

Mehr

1 Verteilungen und ihre Darstellung

1 Verteilungen und ihre Darstellung GKC Statistische Grundlagen für die Korpuslinguistik Kapitel 2: Univariate Deskription von Daten 8.11.2004 Univariate (= eindimensionale) Daten bestehen aus Beobachtungen eines einzelnen Merkmals. 1 Verteilungen

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-2-Aufgaben. Korrekturheft. öffentliches Dokument

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS. 11. Mai 2015. Mathematik. Teil-2-Aufgaben. Korrekturheft. öffentliches Dokument Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung AHS 11. Mai 2015 Mathematik Teil-2-Aufgaben Korrekturheft Aufgabe 1 200-m-Lauf a) Lösungserwartung: s (t) = 7 75 t + 1,4 s (t) = 7 75 s (t)

Mehr

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien

Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Wolfram Fischer Berechnung der Erhöhung der Durchschnittsprämien Oktober 2004 1 Zusammenfassung Zur Berechnung der Durchschnittsprämien wird das gesamte gemeldete Prämienvolumen Zusammenfassung durch die

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 14 Lehren für s Management & das tägliche Leben III: Zins und exponentielles Wachstum Zur Erinnerung: mit grossen n gilt: n! > c n > n c > log n. Aus der Analysis

Mehr

werden können. Wenn der Benutzer zudem eine konkrete Differenz mit praktischen Konsequenzen angibt, berechnet der Assistent den Stichprobenumfang,

werden können. Wenn der Benutzer zudem eine konkrete Differenz mit praktischen Konsequenzen angibt, berechnet der Assistent den Stichprobenumfang, Dieses White Paper ist Teil einer Reihe von Veröffentlichungen, welche die Forschungsarbeiten der Minitab-Statistiker erläutern, in deren Rahmen die im Assistenten der Minitab 17 Statistical Software verwendeten

Mehr

Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.)

Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.) ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 1/6 h. Lettner / physik Statistische Testverfahren Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.)

Mehr

Übung zum Thema. Abmaße ablesen und Toleranzen berechnen

Übung zum Thema. Abmaße ablesen und Toleranzen berechnen Übung zum Thema Abmaße ablesen und Toleranzen berechnen Grundlage der Übung sind die Tabellen TB2-1 bis TB2-3 im Roloff/Matek Tabellenbuch Vorgehensweise: 1. Bestimmung der Grundtoleranz In TB2-1 stehen

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Der Einfluss der Verpackung auf die Geschmackswahrnehmung von Kindergartenkindern

Der Einfluss der Verpackung auf die Geschmackswahrnehmung von Kindergartenkindern Der Einfluss der Verpackung auf die Geschmackswahrnehmung von Kindergartenkindern Ergebnisse einer experimentellen Studie in Kindertageseinrichtungen aus NRW Institut für Therapie- und Gesundheitsforschung

Mehr

Histogramm und Wahrscheinlichkeitsnetz 1/16

Histogramm und Wahrscheinlichkeitsnetz 1/16 Histogramm und Wahrscheinlichkeitsnetz 1/16 Ziel: Ziel der Aufgabe Ziel ist es, die Grafiken Histogramm und Wahrscheinlichkeitsnetz und die Funktionalitäten (z.b. C-Wert-Funktion) von qs-stat ME kennen

Mehr

Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie

Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie Anwendungshinweise zur Anwendung der Soziometrie Einführung Die Soziometrie ist ein Verfahren, welches sich besonders gut dafür eignet, Beziehungen zwischen Mitgliedern einer Gruppe darzustellen. Das Verfahren

Mehr

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes.

4. Jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder, ein linkes und ein rechtes. Binäre Bäume Definition: Ein binärer Baum T besteht aus einer Menge von Knoten, die durch eine Vater-Kind-Beziehung wie folgt strukturiert ist: 1. Es gibt genau einen hervorgehobenen Knoten r T, die Wurzel

Mehr