Kreditrisiko am Einzelgeschäft

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1 Kapitel 6 Kreditrisiko am Einzelgeschäft In Kapitel 2 haben wir den Kosten für das Marktpreisrisiko gewidmet und kostenneutrale Strategien entwickelt. In einigen Situation konnten nur noch erwartete Kosten ermittelt gewerden. Die Höhe des erwarteten Kreditverlusts ist im Finanzgewerbe ein weiterer Risikofaktor, der häufig Standardrisikokosten genannt wird. Der Portfolioverlust ist die Summe der Verluste aus Einzelengagements. Der Erwartungswert ist linear, so dass wir die Frage der Standardrisikokosten eines Portfolios auf die Frage des erwarteten Verlustes des Einzelengagements reduzieren können. Zunächst wollen wir die Auswirkung der ein-jahres Ausfallwahrscheinlichkeit auf die Kostenhöhen studieren. Dabei stellt der Kredit einen geeigneten Einstieg dar. Wir nehmen dabei zunächst an, dass die (ein-jahres) Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens heute dieselbe sei wie in einem Jahr (gegeben das Unternehmen hat bis dahin überlebt). Wenn eine Ausfallwahrscheinlichkeit nicht ausreicht, um das gesamte Ausfallverhalten zu beschreiben, wollen wir eine allgemeinere Bewertung andeuten. Im zweiten Abschnitt geht es dann darum wie wir die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Kontrahenten oder eines Engagements festlegen, also z. B. aus einer historischen Stichprobe schätzen können. Dabei soll auch die Frage möglicher Kovariablen erörtert werden. Der Frage, ob die Ausfallwahrscheinlichkeit abhängig von der Zeit ist nähern wir uns dann mittels ökometrischer Tests. Arbeiten dazu sind Hakenes and Altrock (21); Nickell et al. (2); Weißbach and Dette (27); Weißbach et al. 81

2 82 KAPITEL 6. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT (25)). Wir stellen uns zu guter letzt die Frage allgemeiner, also stetig. Nun tritt die spontane Ausfallneigung eines Unternehmens anstelle der pauschalen Ausfallwahrscheinlichkeit. 6.1 Modellierung des Kreditereignisses Häufig kann man den Ausfall eines Kontrahenten als diskretes, dichotomes und daher Bernoulli-verteiltes Ereignis modelliert. Um Betrachtungen verschiedener Zeithorizonte zu ermöglichen wollen wir zunächst den Ausfallzeitpunkt modelleiren. Häufig wird diese Modellierung als event history analysis bezeichnet. Als Referenzen zu dem betrachteten Thema seien Aalen (1978), Andersen et al. (1993), Borgan (1997), Hougaard (21), Kalbfleisch and Prentice (198) und Lee (1992) genannt. (Eine andere Idee der Modellierung extremer Ereignisse betrachten Embrechts et al. (2)). Betrachte die folgende stetige Idee: Der Kontrahent bewegt sich (nach seiner Gründung) durch die Zeit und hat immer ein momentanes Ausfallrisiko P(τ [t,t + dt[ τ t) h(t)dt, wobei τ den (nicht-negativen) Ausfallzeitpunkt symbolisiert und P(τ [t,t + dt[ τ t) h(t) : lim. dt dt Man nennt h(t) die Hazardrate (oder Hazardfunktion) (engl. hazard rate ). Wir wollen annehmen, dass die Hazardrate stetig ist. Es gilt h(t) f(t) 1 F(t) f(t) S(t), wobei f(t) die Dichte, F(t) die kumulative Verteilungsfunktion und S(t) : P(τ > t) 1 F(t) die Überlebenszeitfunktion von τ darstellen. Als heuristische Motivation bemerke, dass h(t)dt f(t)dt S(t) ist. (siehe z. B. Lee (1992)). Man kann eine nicht-negative Zufallsvariable über die Dichte oder äquivalent über die Hazardrate beschreiben. Bei Kenntnis von f( ) ist h( ) bekannt. Es gibt eine

3 6.1. MODELLIERUNG DES KREDITEREIGNISSES 83 monotone Beziehung zwischen der kumulativen Hazardrate H(t) : t h(s)ds und der kumulativen Verteilungsfunktion, denn: H(t) t h(s)ds t f(s) ds log(s(t)) log(1 F(t)) S(s) F(t) 1 e H(t). (6.1) Hierbei wird die Substitutionsregel b a g(h(x))h (x)dx h(b) g(y)dy genutzt. Setze h(a) g(x) 1/x und h(x) S(x), dann ist h (x) f(x) und für die Integrationsgrenzen gilt h() S() 1 und h(t) S(t). Damit ist t f(s) S(s) ds S(t) 1 1 y dy [log(y)] S(t) 1 log(s(t)) log(1) log(s(t)). Somit kennen wir bei Kenntnis von h( ) auch f( ). Es besteht also ein bijektive Beziehung. Die Parametrisierungen einer Verteilungsfamilie über die Dichte und die Hazardrate sind äquivalent. Von Seiten der Praxis gibt es eine Randbedingung, die wir auch schon bei der diskreten Modellierung der Verlustverteilung in Abschnitt 7.1 im Hinterkopf hatten, die Ausfallwahrscheinlichkeit binnen einen Jahres. Genauer sollten wir sagen, die kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit eines Jahres (PD von engl. probability of default ). Diese Größe ist im Bankgewerbe exogen gegeben. Sie ist mit dem Rating (externer) Agenturen, aber auch mit internen Bewertungsverfahren eng verbunden. Wo ist die Schnittstelle zum Modell von Sprung- und Zählprozessen? PD 1 P(Kontrahent fällt binnen einen Jahres aus) P(Ausfallzeitpunkt des Kontrahenten 1Jahr) P(τ 1) F(1) 1 e 1 h(s)ds (6.2) Implizit definiert die ein-jahres PD also das Integral 1 h(s)ds log(1 PD 1). Die Form der Hazardrate ist nicht angegeben. Solange wir keine Information über die

4 84 KAPITEL 6. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT Form der Hazardrate haben, können wir eine konstante Hazardrate h(t) h annehmen. Das entspricht einer Annahme Exponential-verteilter Ausfallzeiten. Die Ausfallwahrscheinlichkeit für ein Jahr lässt sich dann als PD 1 1 e h darstellen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt t ist dann durch die ein-jahres Wahrscheinlichkeit gegeben, durch F(t) P(τ t) 1 e t hds 1 e t( log(1 PD 1)) 1 (1 PD 1 ) t. 6.2 Bewertung von Finanzinstrumenten Kredit Bei der Bewertung von Krediten mit Ausfallrisiko sind die vorrangigen (stochastischen) Kosten die des erwarteten Verlusts, auch Standardrisikokosten genannt. Im einfachsten Modell ist der Verlust das Produkt aus (feststehender) Engagementhöhe und Ausfallindikator. Der einzige unbekannte Parameter ist die Ausfallwahrscheinlichkeit, PD genannt (engl. probability of default ). Deren Quantifizierung werden wir im Abschnitt 6.3 behandeln. Wir wollen sie hier zunächst als gegeben annehmen. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit nun anwenden, um für Kredite mit mehrfachen Rück- und Zinszahlungen den erwarteten Verlust zu berechnen. Das Problem bearbeiten wir mit Methoden der stochastischen (Sprung)Prozesse. Das Modell für das Kreditgeschäft ist die Serie von Zahlungen a ti an den (zukünftigen) Zeitpunkten t < t 1 <...t n T mit Beginn des Geschäfts in t - O. B. d. A. heute, - und Geschäftsende T. Die Zahlungen werden in der Abbildung 6.1 dargestellt. Die Auszahlung im Zeitpunkt t ist die einzige deterministischen Zahlung, deswegen können wir den Kredit auf die Zahlungen ab t 1 reduzieren. Vereinfachend nehmen wir an, dass der Kredit, nach der Auszahlung in t, nur positive, also Rückzahlungen, aufweist. Wir betrachten also einen typischen Kredit für den der Investor eine Berechnung der Kosten für den erwarteten Ausfall anstellen muss. O. B. d. A. unterdrücken wir den Effekt des Zeitwerts von Geld und denken uns die a ti s als abgeleitete ã ti s über die Diskontierung mit aktueller risikofreier Zinskurve,

5 6.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 85 a tn a t1 t 1 t n T Abbildung 6.1: Abgezinste zukünftige Zahlungsströme des Kredits r(s) (e.g. EURIBOR). Das heißt wir nehmen an dass a ti ã ti df ti, mit df ti als Abzinsungsfaktor zum Zeitpunkt t i, d. h. df ti e r(t i)t i. Wir betrachten die zwei Fälle der konstanten und der allgemeinen Ausfallintensität. Die konstante Ausfallintensität Üblicherweise dauern Kreditgeschäfte nicht nur ein Jahr. Um den erwarteten Verlust zu berechnen, müssen wir auf Basis der ein-jahres Ausfallwahrscheinlichkeit (die wir hier mit PD 1 bezeichnen wollen) ein Modell für den Ausfall des haftenden Kontrahenten entwickeln. Wenn wir keine Kenntnis über das Ausfallverhalten haben, wollen wir wie im einfachsten Fall der Abschnitts 6.1 annehmen, dass die Ausfallneigung zu jedem Zeitpunkt in der Zukunft - falls er diesen erlebt - gleich ist. Das heißt wir nehmen für die Ausfallzeit τ P(τ [t,t + dt] τ t) hdt an. Die konstante Hazardrate der Höhe h ist wieder äquivalent zur ein-jährigen Ausfallwahrscheinlichkeit PD 1 über den Zusammenhang F(1) 1 e h (6.3)

6 86 KAPITEL 6. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT wobei F(t) : P(τ t). Eine beliebige Ausfallwahrscheinlichkeit ist gegeben durch F(t) 1 e ht. Betrachten wir zunächst einen vereinfachten Kredit bei dem der Anleger dem Kontrahenten eine Einheit einer Währung leiht (oder äquivalent eine Anleihe mit Nominal 1 kauft.) Es wird nur einen Zeitpunkt T in der Zukunft geben, an dem dieser Betrag zurückgezahlt wird. Der Anleger möchte den anfangs ausgehändigten Betrag, die eine Einheit, um die Kosten für den erwarteten Verlust verringern. Die Kosten des gesamten erwarteten Verlusts werden in der Praxis für einen Kredit mit Laufzeit T (in Jahren) häufig mit Hilfe von (6.3) berechnet als T F(1) T(1 e h ). (6.4) Dieser Standardprozedur liegt statistisch das Bernoulli-Modell für den Ausfall zugrunde. Wir wollen nun den Verlust stetig modellieren. Man stelle sich vor, dass der Anleger seinen Kredit über den ganzen Zeitraum beobachtet, und zwar beginnend in t. Das Ende in T lassen wir hier zunächst der Einfachheit halber weg. Die Verlustsituation ist für ihn gegeben durch V t I {τ t}. Um den Kompensator zu bestimmen bemerke wieder, dass Somit ist E(dV t F t ) I {τ t} P(τ [t,t + dt] τ t) I {τ t} hdt. V t Λ t + M t, mit Λ t t I {τ s}hds( I {τ t} ht + I {τ<t} hτ) als kumulativer Intensität. Wegen V und Λ haben wir E(M T ) E(M ), so dass E(V T ) E(Λ T ) + E(M T ) T T EI {τ s} hds f(s)ds F(T) 1 e ht. (6.5)

7 6.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 87 Bemerkung: Das Nominal 1 haben wir nur der einfachen Darstellung halber gewählt. Für eine Verallgemeinerung auf eine beliebige (bekannte) Zahlung A multipliziert man den Verlust mit demselben. Nun ist es nur bei Anleihen üblich das Nominal bei Laufzeitende zu zahlen. Bei Krediten wird das Nominal üblicherweise am Anfang der Laufzeit ausgegeben und, immer noch vereinfachend, mit Zinsen in T zurückgezahlt. Diese Kreditstruktur nennt man endfällig (engl. bullet ). Bei ausgezahltem Nominal A erfolgt die Abzahlung B (mit Kosten für den erwarteten Verlust) in Höhe von B A 1 (1 e ht ) AehT. (6.6) Formel (6.6) zeigt, dass die Berücksichtigung des erwarteten Verlusts gleichbedeutend ist mit einer stetigen Verzinsung von A mit Zins h (siehe Hull (2)). Letzteres werden wir noch als Fundamentaltheorem bei der Bewertung von Derivativen mit Kreditrisiko kennen lernen. Bei der allgemeinen Zahlungsstruktur mit mehrfacher Zahlung ist der Verlust der stochastische Prozess V t 1 {t τ} a ti 1 {t τ} t i τ 1 {τ ti }a ti. Der Prozess ist in Abbildung 6.2 dargestellt. Um den Kompensator zu berechnen, betrachten wir die erwarteten Inkremente E(dV t F t ) 1 {τ t} a ti E(1 {τ [t,t+dt]} F t ) t i t 1 {τ t} a ti hdt (6.7) t i t Zur Berechnung des erwarteten Verlusts zur Zeit T mit stochastischer Analysis müssen wir den erwarteten Trend zur Zeit T berechnen, da EV T EΛ T.

8 88 KAPITEL 6. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT V t t i τ a t i τ t Abbildung 6.2: Pfad des Verlustprozesses Nun ist EΛ T E T t i s T a ti 1 {τ s} hds a ti E1 {τ s} hds t i s T a ti I {ti s}f(s)ds F(t i )a ti (1 e t i( log(1 PD 1 ) )a ti Zusammen mit (6.3) ergeben sich die erwarteten Verlustkosten. Theorem Der erwartete Verlust eines Kredits mit Laufzeit T an einen haftenden Kontrahenten mit konstanter instantaner Ausfallwahrscheinlichkeit, die durch die ein-jahres Ausfallwahrscheinlichkeit PD 1 festgelegt ist, lässt sich berechnen als E(V T ) (1 (1 PD 1 ) t i )a ti.

9 6.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 89 Bemerkung: In der Praxis wird für Kredite mit mehrfachen Zahlungen häufig ein ähnlicher Ansatz verwendet wie bei der einfachen Zahlung: Die ein-jahres Wahrscheinlichkeit PD 1 wird für jedes Jahr angewandt und die jährlichen Kosten addiert. D. h. es wird angenommen, dass die Hazardrate konstant ist. In der Tat ist dieses Vorgehen eine Taylorapproximation. Theorem Mit der bekannten Notation und unter Annahme einer konstanten Hazardrate gilt EV T PD 1 t i a ti. (6.8) Die Gleichheit gilt für PD 1. Beweis: Man entwickle die Koeffizienten in Theorem bezüglich der Variable PD 1 in, da Ausfälle im Kreditgeschäft selten sind: 1 (1 PD 1 ) t i ν1 ( 1) ν+1 t i! ν!(t i ν)! PDν 1 Wenn wir eine lineare Approximation benutzen haben wir 1 (1 PD 1 ) t i t i PD 1. Somit haben wir die lineare Taylorapproximation nachgewiesen. Die Bedeutung der Vereinfachung ist bemerkenswert. Betrachte einen 1-jährigen Kredit über 1 Millionen Euro an einen Kontrahenten mit einer ein-jahres PD 1 von 1%. Nehmen wir Annuitätstilgung an. Der erwartete Verlust bezüglich der praktischen Methode (6.8) beträgt 5, 5 Millionen Euro, bzw. 5, 5%. Dagegen beträgt der exakte erwartete Verlust nach Theorem unter Vernachlässigung der Abzinsung 5, 34 Millionen Euro (oder 5, 34%). Diese Differenz von 16 Basispunkten ist deutlich. Allerdings ist die Höhe der Abweichung nicht leicht zu beurteilen, da sie nicht auf jähriger Basis ausgewiesen ist. Eine Division durch 1 ist allerdings nicht möglich, da zukünftige Zahlungen wieder ausfallgefährdet und damit weniger wert sind. Einen fairen Aufschlag berechnen wir anhand der folgenden Verallgemeinerung.

10 9 KAPITEL 6. KREDITRISIKO AM EINZELGESCHÄFT Die allgemeine Ausfallintensität Die konstante Hazardrate ist ökonomisch ansprechend, weil sie den neutralen Anspruch, keine Annahme über die Ausfallneigung eines Kontrahenten zu machen for- malisiert. Die Frage ist allerdings, ob wir nicht aus Erfahrungen in der Vergangenheit Schlüsse über die zukünftigen Ausfallneigungen von Kontrahenten ableiten können. So suggeriert z. B. der Produktlebenszyklus, dass die Ausfallneigung nach Ablauf des Zyklusses höher ist als bei einer Unternehmensgründung. Diese Frage kann als Hypothese zur nicht-stationarität der Ausfallraten aufgefasst werden (siehe Lando and Skødeberg (22)). Wir wollen die Frage statistisch untersuchen. Die benötigten Daten bei unserer stetigen Modellierung müssen wieder stetig sein. Banken besitzen solche Daten aus der Historie ihrer Engagements. So kann man die Überlebenszeit nach Engagementeingang als relevante Variable identifizieren. Als homogene Gruppen stellen sich Ratingkategorien dar, die in Banken zur Pauschalisierung der Risikobehandlung verwendet werden. Wir können nun von der Annahme einer konstanten Hazardrate abweichen und eine allgemeine Hazadrate h(t) annehmen. Die Berechnungen zum erwarteten Verlust für das endfällige Darlehen (6.5) verallgemeinern wir mit E(dV t F t ) I {τ t} P(τ [t,t + dt] τ t) I {τ t} h(t) dt, } {{ } :λ(t) mit neuem Intensitätsprozess λ( ). Der erwartete Verlust ist dann E(L T ) E(Λ T ) 1 e T h(s)ds. Die Verallgemeinerung von (6.7) ist E(dV t F t ) 1 {τ t} a ti h(t)dt, t i t so dass sich wieder E(V T ) n F(t i)a ti ergibt. Nur dass die kumulative Verteilungsfunktion F(t) nun nicht mehr durch eine Exponentialverteilung gegeben ist, sondern über die Hazardfunktion F(t i ) 1 e t i h(s)ds. Zusammen gilt Theorem Der erwartete Verlust aus einem Kredit mit Zahlungzeiten t i und Abzinsingsfaktoren df ti, i 1,...,n, bei einem haftenden Kontrahenten Ausfallrisi-

11 6.2. BEWERTUNG VON FINANZINSTRUMENTEN 91 ko gegeben durch die Hazardrate h(t) ist gegeben durch E(V T ) (1 e t i h(s)ds )ã ti df ti. Wie schon erwähnt, wollen wir es nicht bei der Kostenrechnung bewenden lassen. Wir werden die Auswirkung auf die Preisbildung in Form eines konstanten Zuschlags berechnen. Im Fall einer Zahlung haben wir die Implikation in Formel (6.6) schon beobachtet. In der Praxis kann der erwartete Verlust bei einem Kredit nicht zu Anfang des Geschäfts erhoben werden. Nehmen wir an, dass wir einen konstanten Aufschlag ε auf die a ti berechnen wollen. Der zusätzliche Zahlungstrom, der aus dieser Risikoprämie erwächst beträgt P t ε 1 {τ>ti }. Um den erwarteten Verlust aus Theorem zu kompensieren muss die erwartete Prämie gleich dem erwarteten Verlust sein. Die erwartete Prämie E(P T ) ist zu berechnen als ε n e t i h(s)ds. Die konstante Prämie beträgt deshalb ε n (1 t i e h(s)ds )ã ti df ti n t i. e α(s)ds Bemerkung: Für die konstante Hazadrate vereinfacht sich die Prämie zu ε n (1 (1 PD 1) t i )ã ti df ti n (1 PD. 1) t i Für unser Beispiel des 1-jährigen Kredits mit 1% jährlicher Ausfallwahrscheinlichkeit ist ε, 5639%, was sich von 1% im Fall der Standardmethode klar unterscheidet.

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