Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit dem Wahlfach Statistik

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1 Ludwig Fahrmeir, Nora Fenske Institut für Statistik Bitte für die Korrektur freilassen! Aufgabe Punkte Klausur zur Vorlesung Statistik III für Studenten mit dem Wahlfach Statistik 29. März 21 Hinweise: 1. Überprüfen Sie zunächst, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist. Die Klausur sollte aus 5 Blättern (inklusive Deckblatt) mit 4 Aufgaben auf den Seiten 1 7 bestehen. 2. Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die Ihnen zur Verfügung gestellten Papierbögen. 3. Kennzeichnen Sie jedes abgegebene Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. 4. Die Bearbeitungszeit beträgt 12 Minuten. Es können maximal 1 Punkte sowie 15 Bonuspunkte in 3 mit ( ) markierten Teilaufgaben erreicht werden. 5. Es sind folgende Hilfsmittel zugelassen: Nicht programmierbarer Taschenrechner Offizielle Formelsammlung zur Vorlesung mit handschriftlichen Notizen auf den bedruckten Seiten (nicht auf leeren Rückseiten!) Ein DIN-A4-Blatt mit handschriftlichen Notizen auf Vorder- und Rückseite Bei Bedarf ein Wörterbuch 6. Bei Unterschleif gilt die Klausur als nicht bestanden und es erfolgt eine Meldung an das Prüfungsamt. Name (in Druckbuchstaben): Bitte ausfüllen und unterschreiben!!! Matrikelnummer: Geburtstag: Studienfach: Geburtsort: Ich bestätige, dass ich obige Hinweise zur Kenntnis genommen habe und sie befolgen werde. Ich bin mit einer Veröffentlichung meines Klausurergebnisses im Internet in der Form <Matrikelnummer><Note> einverstanden. (Falls nicht, den letzten Satz bitte streichen!) Unterschrift: Viel Erfolg!

2 Aufgabe 1 17 Punkte Gegeben sei eine bivariat normalverteilte Zufallsvariable x = (x 1, x 2 ) mit Erwartungswertvektor µ und Kovarianzmatrix Σ wie folgt: µ = ( ) Σ = ( ) (a) Interpretieren Sie die Elemente µ 2 und σ 11. (b) Berechnen Sie die Korrelationsmatrix von x. Interpretieren Sie dann das Element σ 12 von Σ. (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Kovarianzmatrix der Zufallsvariablen y = Ax mit A = ( ). (d) Berechnen Sie die Korrelationsmatrix von y. (e) Die folgenden Abbildungen zeigen die Dichten der beiden Zufallsvariablen x und y: (i) (ii) Welche der beiden Abbildungen zeigt die Dichte von x? Welche der beiden Abbildungen zeigt die Dichte von y? Begründen Sie Ihre Antwort. Seite 1

3 Aufgabe Punkte Gegeben seien unabhängige Beobachtungen x 1,..., x n einer log-normalverteilten Zufallsvariablen X logn(µ, σ 2 ), dabei gilt X > und ln(x) N(µ, σ 2 ). Die Dichte einer lognormalverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern µ und σ 2 lautet: f(x) = 1 1 2πσ 2 x exp { 1 } (ln(x) µ)2 2σ2 mit x > (a) Bestimmen Sie zunächst die Likelihoodfunktion L i (µ, σ 2 ) sowie die Log Likelihoodfunktion l i (µ, σ 2 ) der unbekannten Parameter (µ, σ 2 ) für die i-te Beobachtung der Stichprobe. Berechnen Sie dann die Likelihoodfunktion L(µ, σ 2 ) und die Log Likelihoodfunktion l(µ, σ 2 ) für die gesamte Stichprobe. (b) Zeigen Sie, dass die Scorefunktion s(µ, σ 2 ) der Stichprobe die folgende Form hat: ( s(µ, σ 2 1 ) = σ 2 n i=1 ln(x i ) nµ σ 2, n 2σ σ 4 ) n (ln(x i ) µ) 2 (c) Bestimmen Sie die ML-Schätzer für die unbekannten Parameter µ und σ 2. (d) Ergänzen Sie die fehlenden Elemente A, B und C der beobachteten Fisher-Informationsmatrix F obs (µ, σ 2 ): F obs (µ, σ 2 ) = A C n 2σ σ 6 B i=1 n (ln(x i ) µ) 2 (e) Beschreiben Sie, wie man im nächsten Schritt vorgehen müsste, um die erwartete Fisher Informationsmatrix F (µ, σ 2 ) herzuleiten. Welche Größen in F obs (µ, σ 2 ) sind zufällig und welche sind fest? Hinweis: Es ist keine Herleitung der erwarteten Fisher Informationsmatrix nötig, nur eine Beschreibung des Vorgehens. *(f) Erklären Sie anhand einer Skizze für den Fall, dass genau ein Parameter θ unbekannt ist, wie sich ein höherer Stichprobenumfang auf die Varianz des ML-Schätzers ˆθ ML auswirkt. Inwiefern spielen in diesem Zusammenhang die Fisher Informationsmatrizen eine Rolle? i=1 Seite 2

4 Aufgabe Punkte Bei einer Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Körpermaßen und Geweihlänge einer speziellen Fliegenart im baltischen Bernstein wurden die folgenden Merkmale bei 16 Fliegen erhoben: Variable Geweihlänge Breite Länge Flügel Geschlecht Beschreibung Geweihlänge der Fliege in mm Körperbreite der Fliege in mm Körperlänge der Fliege in mm Flügellänge der Fliege in mm Geschlecht der Fliege ( = weiblich, 1 = männlich) Zur Modellierung des Zusammenhangs zwischen der Geweihlänge der Fliegen und den Kovariablen wurde ein lineares Regressionsmodell gerechnet, dessen SPSS Output auf Seite 4 abgebildet ist. Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf den Output zu Modell (1). (a) Berechnen Sie die Werte A bis G im Output zu Modell (1) auf Seite 4. Geben Sie dabei jeweils die zugrunde liegenden Formeln an. Hinweis: Sie können folgende t α (n)-quantile der t-verteilung benutzen: t.623 (1) =.322, t.6232 (11) =.322, t.6235 (12) =.322, t.624 (15) =.322, t.6241 (16) =.322. (b) Interpretieren Sie die geschätzten Regressionskoeffizienten für die Kovariablen Flügel und Geschlecht. (c) Was lässt sich für Modell (1) auf Seite 4 bezüglich der Tests für die Hypothesen i. H : β Flügel = ii. H : β Geschlecht = iii. H : β Länge = β Breite = β Flügel = β Geschlecht = aussagen, falls man α =.5 zugrunde legt? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) Welche Geweihlänge würden Sie gemäß Modell (1) auf Seite 4 für eine männliche Fliege prognostizieren, deren Körper 4.5mm lang und 1.1mm breit ist und deren Flügellänge 3.2mm beträgt? (e) Welche Parameter ändern sich, wenn die Variable Geschlecht effektkodiert wäre (mit der gleichen Referenzkategorie weiblich)? Geben Sie die effektkodierte Variable an und berechnen Sie die neuen Parameter. (f) Für Modell (2), dessen Output auf Seite 5 abgebildet ist, wurden nur die beiden Kovariablen Länge und Geschlecht in die Regressionsgleichung aufgenommen, alle anderen Kovariablen wurden weggelassen. i. Welcher wesentliche Unterschied fällt in der Koeffiziententabelle von Modell (2) im Vergleich zu Modell (1) auf? ii. Worauf könnte dieser Unterschied zurückzuführen sein? *(g) Ein Experte vermutet, dass die Körperlänge und Geweihlänge bei Fliegen einen nichtlinearen Zusammenhang aufweisen. Wie würden Sie vorgehen, um diese Vermutung zu untersuchen? Welche Möglichkeiten kennen Sie, um einen nicht-linearen Zusammenhang zwischen Körper- und Geweihlänge mittels Regression zu modellieren? Seite 3

5 Modell (1) Modellzusammenfassung Modell R R-Quadrat Korrigiertes R- Quadrat Standardfehler des Schätzers 1 A,896,859,1726 ANOVA Modell Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz 1 Regression 2,755 4,689 23,759, Residuen B 11,29 Gesamt 3,74 15 Koeffizienten (a) Modell Nicht standardisierte Koeffizienten T Signifikanz 95%-Konfidenzintervall für B Standardfehler B Untergrenze Obergrenze 1 (Konstante) -1,575,456-3,454,5-2,578 -,571 Länge,58 C,263,798 -,426,542 Breite,21,653,322 D -1,226 1,646 Flügel 1,64,311 3,417,6,379 1,749 Geschlecht,558,116 4,82,1,33,812 (a) Abhängige Variable: Geweihlänge Korrelation der Koeffizienten Modell Geschlecht Breite Flügel Länge 1 Korrelationen Geschlecht 1, -,563,9,557 Breite -,563 1, -,387 -,578 Flügel,9 -,387 1, -,436 Länge,557 -,578 -,436 1, Kovarianzen Geschlecht,13 F,3,14 Breite E,426 -,79 -,83 Flügel,3 -,79 G -,3 Länge,14 -,83 -,3,48 Korrelation nach Pearson Korrelationen der Kovariablen Länge Breite Flügel Länge 1,,846,884 Breite,846 1,,85 Flügel,884,85 1, Seite 4

6 Modell (2) Modellzusammenfassung Korrigiertes Standardfehler des Modell R R-Quadrat R-Quadrat Schätzers 1,87,756,719,24 Modell 1 ANOVA Residuen,75 13,58 Gesamt 3,74 15 Koeffizienten (a) Modell Nicht standardisierte Koeffizienten T Signifikanz 95%-Konfidenzintervall für B Quadratsumme df Mittel der Quadrate F Signifikanz Regression 2, ,162 2,153, Standardfehler B Untergrenze Obergrenze 1 (Konstante) -1,45,554-1,885,82-2,242,152 Länge,72,122 5,762,,439,966 Geschlecht,64,133 4,815,,353,928 (a) Abhängige Variable: Geweihlänge Korrelation der Koeffizienten Modell Geschlecht Länge 1 Korrelationen Geschlecht 1,,414 Länge,414 1, Kovarianzen Geschlecht,18,7 Länge,7,15 Seite 5

7 Aufgabe Punkte Bei einer Untersuchung zur Bonität von Kreditkunden einer süddeutschen Großbank wurden unter anderem folgende Merkmale von 1 abgeschlossenen Kreditgeschäften erhoben: Variable Beschreibung boni Bonität des Kunden 1 = Kunde ist nicht kreditwürdig, d.h. der Kredit wurde nicht zurückgezahlt = Kunde ist kreditwürdig, d.h. der Kredit wurde zurückgezahlt lauf zeit Laufzeit des Kredits in Monaten laufzeit2 Quadrierte Laufzeit des Kredits, d.h. laufzeit2 = laufzeit 2 moral Frühere Zahlungsmoral des Kunden 1 = gute Moral = schlechte Moral Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde seinen Kredit nicht zurückzahlt, wird mittels eines Logit-Modells in Abhängigkeit von Kovariablen geschätzt. In R ergibt sich der folgende Modelloutput: Call: glm(formula = boni ~ laufzeit + moral, family = binomial(link = "logit"), data = kredit) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) laufzeit e-9 *** moral e-8 *** --- Signif. codes: ***.1 **.1 * Null deviance: on 999 degrees of freedom Residual deviance: on 997 degrees of freedom Log likelihood : on 3 degrees of freedom AIC: (a) Interpretieren Sie die geschätzten Regressionskoeffizienten für laufzeit auf der Ebene der logarithmierten Chancen, der Chancen und der Wahrscheinlichkeiten. (b) Wie lässt sich der geschätzte Koeffizient für (Intercept) interpretieren? (c) Berechnen Sie die geschätzte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde mit guter Zahlungsmoral seinen Kredit bei einem Vertrag mit 24 Monaten Laufzeit nicht zurückzahlen kann. Fortsetzung der Aufgabe auf der nächsten Seite! Seite 6

8 Als Alternative wird ein weiteres Logit-Modell gerechnet, in dem zusätzlich ein quadratischer Term für die Laufzeit aufgenommen wird. In R ergibt sich der folgende Modelloutput: Call: glm(formula = boni ~ laufzeit + laufzeit2 + moral, family = binomial(link = "logit"), data = kredit) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) * laufzeit ** laufzeit moral e-8 *** --- Signif. codes: ***.1 **.1 * Null deviance: on 999 degrees of freedom Residual deviance: on 996 degrees of freedom Log likelihood : on 4 degrees of freedom AIC: (d) Testen Sie mit einem Likelihood Quotienten Test zum Signifikanzniveau von α =.5, ob die komplexere Modellierung zu bevorzugen ist. (e) Welches Modell wäre nach dem Akaike Informationskriterium zu bevorzugen? *(f) Bescheiben Sie kurz den Aufbau und die Annahmen des Logit-Modells. Wie kann dieses Modell geschätzt werden? Seite 7

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