Lösungen zur Prüfung Mathematik III, Winter 2016 Prof. Dr. E. W. Farkas

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1 D-HEST Lösungen zur Prüfung Mathematik III, Winter 216 Prof. Dr. E. W. Farkas Bitte wenden!

2 1. Laplace-Transformation Im Folgenden bezeichne: L{f}(s) = e st f(t)dt die Laplace-Transformierte einer gegebenen Funktion f, sofern das Integral existiert und endlich ist. a) Wie lautet die Laplace-Transformation von: f(t) = σ(t 1) cos(t 1) + e t wobei σ(u) = 1 für u und σ(u) = für u <. s Die Laplace-Transformation von cos(t) lautet. Da die Funktion um 1 nach s 2 +1 rechts verschoben wird, kommt ein Faktor e s hinzu. Die Laplace-Transformation von e t 1 lautet. Wegen der Linearität der Laplace-Transformation erhalten wir s 1 also: L{f} = L{σ(t 1) cos(t 1)} + L{e t } = e s s s s 1. b) Bestimmen Sie unter Verwendung des Faltungssatzes die Originalfunktion h(t) zu: 1, mit a R, s(s a) 2 das heisst, bestimmen Sie die Funktion h(t) mit L{h}(s) = 1. s(s a) 2 Die Originalfunktionen zu 1 und 1 lauten 1 und te at. Es gilt also: s (s a) 2 t h(t) = 1 te at = ue au du = u 1 t a eau t 1 a eau = teat a 1 a 2 eau t = teat a eat 1. a 2 c) Für gegebene A, B R seien die Funktionen x 1 (t), x 2 (t) Lösungen des Differentialgleichungssystems: x 1 = x 2 (t) x 2 = x 1 (t) zu den Anfangsbedingungen x 1 () = A, x 2 () = B, wobei x i(t) = dx i (t)/dt für i = 1, 2 die Ableitung nach t bezeichnet. Siehe nächstes Blatt!

3 Seien F i = L{x i } für i = 1, 2. Bestimmen Sie F 1 in Abhängigkeit von s, A und B. Bestimmen Sie durch Rücktransformation die Funktion x 1 (t). Hinweis: Machen Sie eine Partialbruchzerlegung. Durch Laplace-Transformation und benützen des Ableitungssatzes erhalten wir: sf 1 A = F 2 sf 2 B = F 1. Auflösen der zweiten Gleichung nach F 2 und einsetzen in die erste Gleichung ergibt: sf 1 A = F 1 B. s Auflösen nach F 1 ergibt: F 1 = sa B s 2 1. Die Nullstellen des Nenners sind 1 und 1. Wir machen daher den Ansatz: F 1 = sa B s 2 1 = C s 1 + D s + 1 für die Partialbruchzerlegung. Durch Multiplikation mit s 2 1 erhalten wir: Koeffizientenvergleich ergibt: Es folgt: sa B = C(s + 1) + D(s 1). C = A B 2 A = C + D B = C D. und D = A + B. 2 Die Rücktransformationen von 1 und 1 sind s 1 s+1 et und e t. Die Lösung lautet also: x 1 (t) = A B e t + A + B e t. 2 2 Bitte wenden!

4 2. Fourier Reihen Die Funktion g(x) auf dem Intervall x [ 1, 1[ sei gegeben als: { 2x + x 2 1 x < g(x) := 2x x 2 x < 1 und die Funktion h(x) auf dem selben Intervall als: { 2x x 2 1 x < h(x) := 2x x 2 x < 1. Weiter ist die reelle Fourier-Reihe einer Funktion f(x): mit a, a n, b n R. f(x) = a 2 + a n cos(nx) + n=1 b n sin(nx) n=1 a) Zeigen Sie, dass die Funktion g ungerade und die Funktion h gerade ist. (4 Punkte: 2 pro Funktion) Damit die Funktion g ungerade ist, muss g( x) = g(x) gelten. Sei < a 1, dann ist: und für 1 a < ist ebenso: g( a) = 2a + a 2 g(a) = 2a + a 2 g( a) = 2a + a 2 g(a) = 2a + a 2. Die Funktion h sei gerade, es muss also h( x) = h(x) gelten. Sei < a 1, dann ist: und für 1 a < ist: h( a) = 2a a 2 h(a) = 2a a 2 h( a) = 2a a 2 h(a) = 2a a 2. Siehe nächstes Blatt!

5 b) Was können Sie jeweils über die Koeffizienten a n, b n der reellen Fourier-Reihen einer geraden beziehungsweise ungeraden Funktion aussagen? (2 Punkte: 1 pro Funktion) Die Funktion g ist ungerade, die Reihe enthält nur ungerade Reihenglieder, also gilt a =, a n = und b n. Die Funktion h ist gerade, die Reihe enthält nur gerade Reihenglieder, also gilt genau umgekehrt a, a n und b n =. c) Berechnen Sie die Koeffizienten der reellen Fourier-Reihen beider Funktionen. (6 Punkte: 2 pro b g n, a h, a h n) Die Periode beider Funktionen ist gleich der Intervalllänge, also T = 2 und somit ω = 2π. T Für g berechnen wir nur: b n = 2 T = 4 T = 2 = 4 1 = 4( 1)n+1 πn g(x) sin(nωx)dx g(x) sin(nωx)dx (2x x 2 ) sin(nωx)dx x sin(nωx)dx 2 x 2 sin(nωx)dx + 2( 1)n (π 2 n 2 2) + 4 π 3 n 3 = 4 2( 1)n (π 2 n 2 + 2). π 3 n 3 Für h berechnen wir a : a = 2 T = 4 T = 2 = 4 1 = h(x)dx h(x)dx x 2 2xdx xdx 2 x 2 dx = 4 3 Bitte wenden!

6 und a n : a n = 2 T = 4 T = 2 = 4 1 h(x) cos(nωx)dx h(x) cos(nωx)dx (2x x 2 ) cos(nωx)dx x cos(nωx)dx 2 = 4 (( 1)n 1) π 2 n 2 = 4 π 2 n. 2 4( 1)n π 2 n 2 x 2 cos(nωx)dx Abbildung 1: Näherungen mit n = 2, 4, 6, 8, 1 Reihengliedern. Die komplexe Darstellung der Fourier-Reihe einer Funktion f(x) schreibt sich: f(x) = c n e inωx mit c n C. n= d) Bestimmen Sie im Folgenden die Koeffizienten c n der komplexen Fourier Reihen von g und h. Siehe nächstes Blatt!

7 Abbildung 2: Näherungen mit n = 2, 4, 6, 8, 1 Reihengliedern. (3 Punkte: 1/2 pro c n, c, c n je Funktion) Die Umrechnungsregeln sind: Für die Funktion g finden wir: c = und für die Funktion h ergibt sich: c = 1 2 a c n = 1 2 (a n ib n ) c n = 1 2 (a n + ib n ). c n = i 2 b n = i( 1)n (π 2 n 2 + 2) 2i π 3 n 3 c n = i 2 b n = i( 1)n (π 2 n 2 + 2) + 2i π 3 n 3 c = 2 3 c n = 1 2 a n = 2 π 2 n 2 c n = 1 2 a n = 2 π 2 n 2. Die Koeffizienten von g sind rein imaginär und die Koeffizienten von h rein reell. Bitte wenden!

8 3. Kompartiment-Modell Gegeben seien die drei Teile K 1, K 2 und K 3, welche zu einem Kompartiment-Modell gehören: b 21 b 32 a K 1 K 2 K 3 b 12 c b 23 Die Substanz in den einzelnen Teilen wird über die Zeit durch die Funktionen y 1 (t), y 2 (t) und y 3 (t) beschrieben. a) Stellen Sie die Differentialgleichungen für die drei Funktionen y 1, y 2 und y 3 auf. (2 Punkte) Die drei gekoppelten Differentialgleichungen lauten: für t. y 1(t) = b 21 y 1 (t) + b 12 y 2 (t) + a y 2(t) = b 21 y 1 (t) (b 12 + b 32 + c)y 2 (t) + b 23 y 3 (t) y 3(t) = b 32 y 2 (t) b 23 y 3 (t) b) Das System lässt sich in Matrixform y = Ay + g schreiben. Finden Sie die 3 3 Matrix A sowie den Vektor g. Es sei y := [y 1, y 2, y 3 ] T. (2 Punkte) Das Differentialgleichungssystem ist: y 1(t) b 21 b 12 y 1 (t) a y (t) = y 2(t) = b 21 (b 12 + b 32 + c) b 23 y 2 (t) + y 3(t) b 32 b 23 y 3 (t) für t. Die Parameter haben folgende Werte: b 21 = 2, b 12 = 2, mit Zufluss a = 3 und Abfluss c = 3. Wir betrachten nun den Fall b 32 = und b 23 = wobei sich das Modell vereinfachen lässt. Siehe nächstes Blatt!

9 c) Zeichnen Sie das simplere Kompartiment-Modell und beschriften Sie die Pfeile. Achten Sie auch auf die korrekte Pfeilrichtung. Formulieren Sie anschliessend das System von zwei Differentialgleichungen z = Cz + h, welches dieses Modell beschreibt. C ist eine 2 2 Matrix und z := [z 1, z 2 ] T. (3 Punkte: 1 Zeichnung, 2 Gleichungssystem) Das vereinfachte Modell hat folgende Gestalt und die zugehörigen Differential- b 21 a K 1 K 2 c b 12 gleichungen lauten: z (t) = ( ) [ ] ( ) z 1 (t) b21 b z 2(t) = 12 z1 (t) b 21 (b 12 + c) z 2 (t) Mit den konkreten Werten ergibt sich daraus: ( ) [ ] ( ) z z (t) = 1 (t) 2 2 z1 (t) z 2(t) = z 2 (t) + ( ) 3. ( ) a. d) Berechnen Sie die Eigenwerte λ 1, λ 2 und Eigenvektoren ν 1 und ν 2 der Matrix C. (4 Punkte: 2 für Eigenwerte, 2 für Eigenvektoren) Die Eigenwerte sind: λ 1 = 6 λ 2 = 1 und die Eigenvektoren sind: ( ) 1 ν 1 = 2 ( ) 2 ν 2 =. 1 e) Berechnen Sie die Lösung z(t) des Differentialgleichungssystems für t zum Anfangswert z() = [, ] T. Nutzen Sie die Diagonalisierung der Matrix C um das System in zwei skalare Differentialgleichungen zu entkoppeln. Bitte wenden!

10 (4 Punkte) Es seien: und: P = [ [ ] ] 1 2 ν 1 ν 2 = 2 1 [ ] λ1 Λ = = λ 2 [ ] 6 1 und die Diagonalisierung ist dann C = PΛP 1. Wir entkoppeln damit das System: z = Cz + h z = PΛP 1 z + h P 1 z = ΛP 1 z + P 1 h u = Λu + h wobei u = P 1 z und erhalten zwei skalare Differentialgleichungen: Die Lösungen davon sind: u(t) = u 1 = λ 1 u 1 + h 1 u 2 = λ 2 u 2 + h 2. ( ) u1 (t) = u 2 (t) ( e 6t und wir bekommen mit z = Pu die Lösungen: e t 5 5 z 1 (t) = e 6t 1 12e t z 2 (t) = e 6t 5 6e t ) Siehe nächstes Blatt!

11 Abbildung 3: Lösungen z 1 (t) (rot) und z 2 (t) (blau). 4. Partielle Differentialgleichung Wir betrachten einen offenen Draht mit Temperaturleitungsfähigkeit D > und Länge 1 und suchen Lösungen der Wärmeleitungsgleichung: zu den Randbedingungen: u t = D 2 u für alle < x < 1, t > (1) x 2 u u (, t) = (1, t) = für alle t >. (2) x x a) Bestimmen Sie alle Lösungen von der Form u(x, t) = X(x)T (t) der Wärmeleitungsgleichung (1) mit den Randbedingungen (2). Aus der Vorlesung folgt, dass Basislösungen von der Form: sind. Die Ableitung nach x ist: (A cos(ωx) + B sin(ωx))e Dω2 t ω( A sin(ωx) + B cos(ωx))e Dω2t. Wegen der Randbedingung (2) gilt B = und ω = nπ für ein n {, 1, 2,... }. Die Lösungen lauten also: A cos(nπx)e D(nπ)2t. Bitte wenden!

12 b) Die Temperatur zum Zeitpunkt t = sei gegeben durch u(x, ) = x für alle x 1. Bestimmen Sie für diese Anfangswerte durch Superposition der gefundenen Lösungen aus a) die Lösung zur Wärmeleitungsgleichung (1) mit den Randbedingungen (2). Wir verwenden den Ansatz: v(x, t) = A n cos(nπx)e D(nπ)2t. (3) n=1 Die Koeffizienten A n bestimmen wir so, dass die Anfangsbedingung u(x, ) = u (x) erfüllt ist. Für t = ist (3) die Fourierreihe einer geraden Funktion. Wir betrachten daher die gerade 2-periodische Fortsetzung ū von u (x) = x für alle < x < 1. Da ū und cos(nπx) gerade sind, gilt für die Fourierkoeffizienten: A n = Mittels partieller Integration folgt: A n = 2 ( x sin(nπx) 1 nπ ū (x) cos(nπx)dx = 2 x cos(nπx)dx. ) sin(nπx)dx = 2 (nπ) 2 cos(nπx) 1 = Zudem ist A = 2 xdx = 1. Die Lösung lautet also: u(x, t) = 1 2 n ungerade 4 (nπ) 2 cos(nπx)e D(nπ)2t. { n gerade 4 (nπ) 2 n ungerade. c) Zeigen Sie: u(x, t)dx ist konstant für alle t, das heisst, die Wärme im Draht bleibt zeitlich konstant. Es gilt: d dt udx = u t dx = Du xx dx = Du x 1 =.