Über eine direkte Analyse von Wechselspannungen und Wechselströmen

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1 Research Collection Doctoral Thesis Über eine direkte Analyse von Wechselspannungen und Wechselströmen Author(s): Hänni, Arnold Publication Date: 9 Permanent Link: Rights / License: In Copyright NonCommercial Use Permitted This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use. ETH Library

2 Ober eine direkte Analyse von Wechselspannungen nnd Wechselströmen. Von der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich zur Erlangung der Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften genehmigte Promotionsarbeit vorgelegt von Arnold Hänni, dipl. Fachlehrer in math.phys. Richtung aus Belpberg (Bern) Ffeferent: Herr Prof. Dr. A. Schweitzer Korreferent: Herr Prof. Dr. P. Weiss. ZÜRICH 9 FachschriftenVerlag 8j Buchdruckerei A.G.

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4 Diese Arbeit wurde ausgeführt im physikalischen Institute der Eidgenössischen Technischen Hochschule auf Anregung von Herrn Professor Dr. H. F. Weber. Es sei mir gestattet, meinem verehrten, leider zu früh ver storbenen Lehrer wenigstens an dieser Stelle zu danken für seine Förderung meiner wissenschaftlichen Ausbildung.

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6 INHALT. Einleitung 7 Seite Theoretischer Teil. I. Die Berechnung der Amplituden bei den Indirekten Methoden:. Analyse von Spannungs und Stromkurven Reduktion der Berechnungsgleichungen 3. Berechnungstabellen. zur Kurvenanalyse. 5. Ableitung einer direkten Methode:. Die Beziehungen zwischen den Wechseistromgrossen.. 5. Prinzip der neuen direkten ' Methode 8 3. Wahl der Kombinationen w, L und C Auflösung der Berechnungsgleichungen 3 5. Allgemeine Bemerkungen über die zu verwendenden Apparate 35 Experimenteller Teil. I. Die Meßschaltung und deren Instrumente:. Beschreibung des Strommeßinstrumentes Aichung des ThermoInstrumentes Die Induktionsspule 4 4. Die Meßschaltung und der Gang der Messungen Die Messungen:. Die Berechnungsgleichungen 47. Die Resultate Prüfung und Diskussion der Resultate 53 m

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8 Adams: M. Feldmann: Wangemann Martienssen: Horschitz: Rosa, Eisler: Lloyd: E. Einleitung. Der üblichen mathematischen Behandlung des Wechselstromes wird eine periodische elektromotorische Kraft zu Grunde gelegt von rein sinusförmigem zeitlichen Verlaufe. Es wird damit eine Voraussetzung gemacht, die bei den gebräuchlichen Wechselströmen exakt niemals zutrifft. Der wahre zeitliche Verlauf der durch die Wechselstromgeneratoren er zeugten elektromotorischen Kräfte weicht immer von der Sinusform ab. Die Abweichungen sind im Allgemeinen nicht gross, genügen aber doch, um einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss auf den Zusammenhang zwischen den gemessenen Wechselstromgrössen zu besitzen.) Es sind deshalb schon zahlreiche Untersuchungen angestellt worden über die Ursachen und Wirkungen) dieser Abweichungen und deren mathematische Behandlung;3) die ver schiedensten Methoden zur raschen und genauen Ermittlung des wahren zeitlichen Ver laufes von Wechselspannungen und Wechselströmen wurden angegeben und ausgearbeitet.4) Derselbe ist jedenfalls eine von der Sinusfunktion wenig verschiedene periodische Funktion der Zeit, die man deshalb immer als Fourier'sche Reihe mit rasch abnehmenden Koeffizienten der höheren Glieder auffassen wird. In diesem Sinne kann man beim ge wöhnlichen Wechselstrome von einer Deformation reden, das erste Glied seiner Fourier'schen Entwicklung als seine Haupt oder Grundwelle bezeichnen, die höheren Glieder als seine Oberwellen. Die zwischen zwei Punkten eines Stromnetzes bestehende Wechselspannung wird dem nach in der Form zu schreiben sein: n co e ^ n, ~ \ <S sin (nt»t «n) der in einem Zweige eines Stromnetzes herrschende Wechselstrom desgleichen in der Form: nca i 3n sin (mot ß ) n ') H. F. Weber: Wied. Ann. 63, S E.T.Z. 90, S ) Feldmann: Wechselstromtransformatoren,, S. 44. Bur. of Stand, I, Nr. 3, S. 4. Muguet: E.T.Z. 896, S E.T.Z. 90, S. 344, 407. Electrician, 35, S E.T.Z. 895, S E. T. Z. 903, S : E.T.Z. 904, S Orlich: Lloyd $ ffeid: Bull, of the E.T. Z. 896, S. 76. E.T.Z. 909, S Phys. Zeitschr. 90, S Fleming: Wien: Wied. Ann. 66, S ) H. F. Weber: Wied. Ann. 63, S ) E. Orlich: Aufnahme und Analyse von Wechselstromkurven", Braunschweig 906.

9 8 E.T.Z. Pupim Die Koeffizienten & und ü sind dann die Amplituden, die Grössen «und ß die Phasenkonstanten der einzelnen Wellen. Der Koeffizient (u giebt die Periode dieser Funk tionen an, gemäss: (u k n wenn N die Anzahl der Perioden in der Zeiteinheit bedeutet. Da die Phasenkonstanten nur eine zeitliche Verschiebung der einzelnen Wellen gegen einander ausdrücken, sind sie von untergeordneter Bedeutung gegenüber den Amplituden. Während diese die Grösse der Deformationen der Grundwelle angeben, charakterisieren die Phasenkonstanten nur die zeitliche Verteilung derselben. Deshalb sind es die Amplituden der einzelnen Wellen, welche in erster Linie interes sieren und auf deren Ermittlung es hauptsächlich ankommt, die Phasenkonstanten brauchen in den meisten Fällen gar nicht berücksichtigt zu werden, auch wenn die Bestimmung der Amplituden nebenbei die Phasenkonstanten liefern sollte. Tatsächlich ergeben die bekannten Methoden zur Ermittlung der Amplituden einer Wechselspannung oder eines Wechselstromes (Wechselstromanalyse) gleichzeitig auch die Phasenkonstanten. Mit drei Ausnahmen l) beruhen sie alle auf der Bestimmung einer grossen Anzahl von Momentan werten, entweder von solchen einer Wechselspannung zwischen zwei Punkten eines Stromnetzes oder von solchen eines Wechselstromes in einem Zweige des selben. Die gebräuchlichen Methoden benötigen deshalb alle) eigens zu diesem Zwecke gebaute Vorrichtungen und Apparate, da die üblichen Instrumente der Meßtechnik ja nur effektive Werte der Wechselstromgrössen angeben. Lassen auch einige der bekannten Methoden an Sicherheit, Genauigkeit und Rasch heit der Ausführung nichts zu wünschen übrig,3) so wäre doch manchmal ein exaktes Ver fahren erwünscht, welches mit den gebräuchlichen in jedem Laboratorium vorhandenen Meßinstrumenten auskommt.) Zweck der vorliegenden Arbeit ist es nun eben, eine solche Methode zur Ermittlung der Amplituden von Wechselspannungen und Wechselströmen auszuarbeiten und in ihrer Verwendbarkeit und Genauigkeit zu prüfen.4) Wie auch einige bisherigen Methoden ist sie nicht anwendbar zur Bestimmung von elektromotorischen Kräften, sie ermöglicht nur die Analyse von Wechselspannungen zwischen zwei Punkten eines Stromnetzes. Die Analyse von Wechselströmen muss hierbei zurück geführt werden auf diejenige von Wechselspannungen, was natürlich stets möglich ist. Denn zwischen der Form eines Wechselstromes in einem Zweige eines Stromnetzes und der Form der Spannung zwischen zwei Stellen dieses Zweiges besteht eine eindeutige Be ziehung, wie später gezeigt wird. Im Gegensatze zu den bisherigen Methoden ergibt die hier zu besprechende bei der Ermittlung der Amplituden nicht gleichzeitig auch die Phasenkonstanten, welcher Umstand aber, entsprechend den geführten Betrachtungen, keinen Nachteil dieser Methode bedeutet. ') Th. Des Coudres: E.T.Z. 900, S. 75, auch Verh. d. phys. Ges. zu Berl., 98, S. 9. P. G. Agnew: Bull, of the Bur. of Stand., 6, S. 95 (909). Journ. of Science, 48, S. 379, 473 (894). 90, S. 55. Am. ) Von den sub ]) erwähnten Methoden benötigt diejenige von Coudres, trotzdem sie nicht auf der Ermittlung von Momentanwerten beruht, doch eine Spezialkonstruktion, während die von Agnew und von Pupin angegebenen ohne solche auskommen, dafür aber höchst unvollkommen sind. 3) Niethammer: E.T.Z. 900, S ) Die hier zu entwickelnde Methode geht von den gleichen Überlegungen aus wie diejenige von P. G. Agnew, und ist also in diesem Sinne als eine Vervollkommnung derselben aufzufassen.

10 Zenneck: Ryan: Eichberg: Franke: E. Goldschmidt: FischerHinnen: Wehnelt Drexler: Kubier: Braun: Fleming: Thompson: W. Theoretischer Teil. I. Die Berechnung der Amplituden bei den indirekten Methoden.. Die Analyse von Spannungs und Stromkurven. Die sämtlichen üblichen indirekten Methoden zur Analyse von Wechselströmen und Wechselspannungen beruhen alle auf der Aufnahme der sogenannten Spannungs resp. Stromkurven. Sie unterscheiden sich demnach nur in dem besonderen Verfahren ') der Ermittlung einer genügenden Anzahl von Momentanwerten, welche hierauf jedesmal (mit der Zeit als Abscisse), in einem Koordinatensysteme als Ordinaten aufgetragen, die gesuchte Kurve ergeben. Eine vollständige Übersicht über alle bekannten Methoden und eine ausführliche Dar stellung derselben findet man bei E. Orlich Aufnahme und Analyse von Wechselstrom kurven".) Sobald durch dieselben die Kurve der zu analysierenden Wechselspannung oder des Wechselstromes gefunden ist oder gezeichnet vorliegt, setzt erst die eigentliche Bestimmung der Amplituden ein. Alle solche Methoden führen also die Analyse von Wechselspannungen und Wechselströmen zurück auf diejenige ihrer Kurven und sind in diesem Sinne als indirekte Methoden zu bezeichnen. Die wenigen bekannten direkten Methoden ermitteln dagegen die Amplituden durch Rechnung aus direkt gemessenen Wechselstromgrössen, mit denen sie in bestimmtem Zu sammenhange stehen. Eine solche direkte Methode wird auch die in dieser Arbeit zu entwickelnde sein und soll eine Vereinfachung gegenüber den schon bestehenden ergeben. Während bei den indirekten Methoden die Aufnahme der Kurven selbst zu einem ziemlich hohen Grade der Genauigkeit und Einfachheit gelangt ist, bedeutet hingegen die Analyse der gezeichneten Kurven immer noch, trotz mannigfach angegebener Verein fachungen3) eine komplizierte und zeitraubende Arbeit. ') Lutalowsky: E.T.Z. 896, S.. E.T.Z. 896, S E.T. Z. 897, S. 0. E.T.Z. 897, S E.T.Z. 896, S BehnEschenburg: E.T.Z. 897, S. 65. Marcher: E.T.Z. 899, S. 804, und Zeitschr. für Instr.Kunde,, S.. Niethammer: E.T.Z. 900, S E.T.Z. 90, S Electrician, 895, February. Trans, of amer. Inst, of electr. eng., 6, S. 345 (900). Hospitalier: L'Electricien,, S. 94, und Zeitschr. für Instr.Kunde,, S. 66. Wied. Ann., 69, S Wied. Ann., 60, S.55. $ Donath: Wied. Ann., 69, S. 86. Blondel: Rapp. du Congr. int. de phys., 3, S. 64 (900); Journ. de Phys. (4) S. 73, 90; Eclair, electr., 3, S. 4, 6, 33, S. 5 (90). ) In der Sammlung Elektrotechnik in Einzeldarstellungen", von Dr. G. Benischke (906). s) C. Runge: Theorie und Praxis der Reihen", S. 47, siehe auch: E.T.Z., 905, S. 47. Hermann: E.T.Z., 90, S. 56. J. Houston $ A. E. Kenelly: E.T.Z., 898, S. 74. B. Woodhouse: Electrician, 46, S E.T.Z., 90, S Phys. Soc, 9, S. 443, und Phys. Soc. Lond., 904, Dec. 9. Proc.

11 Vn 0 4 Es werde deshalb in diesem Kapitel der eigentlichen Aufgabe dieser Abhandlung ein Versuch vorangestellt, die Analyse gezeichneter Kurven auf arithmetischem Wege noch weit gehender zu vereinfachen als bisher. Zur Analyse einer periodischen Kurve, d. h. zur Aufstellung ihrer Gleichung und zwar in der Form einer Fourier'schen Reihe, ist natürlich nur eine Periode derselben erfor derlich und wird man als Abscisse nicht die Zeit selber, sondern den durch die Beziehung 99 cot definierten Winkel in Bogenmass benützen, wobei <p von 0 bis n zu zählen ist. Die Gleichung der Kurve kann dann jedenfalls auf die Form gebracht werden : nco y ^jk" Sln (" <P r a») welche ihrerseits wieder, vermöge der Substitutionen : A cos a ß Vn sin an und Vn VaI,Bn a arc tg A durch die gleichwertige Form : y 0) ersetzt werden kann. n Die in der Bestimmung sämtlicher Kcefizienten A und B bestehende Kurven analyse geschieht entweder mechanisch durch eigens dazu konstruierte Apparate, die harmonischen Analysatoren ') oder durch Rechnung. Im Prinzipe besteht jede rechnerische Analyse in der Aufstellung von ebensoviel Gleichungen, vermöge zusammengehöriger Werte q> und y, als Koeffizienten berechnet werden sollen. In dem besonderen Verfahren der Auflösung der dadurch gewonnenen Gleichungen unterscheiden sich erst die verschie denen Methoden zur arithmetischen Analyse von Kurven. Streng genommen wären zur exakten Bestimmung der Koeffizienten A und B un endlich viele Gleichungen mit ebenso vielen Unbekannten erforderlich, doch genügt es praktisch stets, die Fourier'sche Entwicklung bei einem Gliede von endlicher Ordnung abzubrechen, die Koeffizienten also beispielsweise nur bis zum ( m)te" Gliede zu berechnen, was einer Auflösung von (Am) Gleichungen entspricht. Den durch die Vernachlässigung der Koeffizienten der höheren Glieder gemachten Fehler in der Bestimmung der ersten m Koeffizienten kann man genau angeben, wenn man zur Aufstellung der Gleichungen nicht beliebige Wertepaare qp* und yk wählt, son dern solche, deren Abscissen definiert sind durch die Form: ÇPA ^ k 0,,, m m Vermöge der Beziehungen: sin (4 % m ri) /77 sin (n^\ cos (4 X m ri) ^ y /77 / /77 cos(n ) y /77/ ') E. Orlich: Aufnahme und Analyse von Wechselstromkurven".

12 H. lassen sich nämlich die Glieder der Gleichungen derart zusammenziehen, dass sie in der Form geschrieben werden können: mit Yk nm E*!* «*(?) <*""(! ) () n /. Sf An ^ \A(4Xm yn) A(4Xmn)J A l Aco (3) A Der Index m" der Koeffizienten S(J und C^ bedeutet, dass dieselben berechnet wurden für die beim (m)ten Gliede abgebrochene Fourier'sche Reihe. Die arithmetische Kurvenanalyse besteht nunmehr in der Auflösung der Gleichungen nach den Koeffizienten S(> und C "\ wobei man sich aber immer bewusst sein muss, dass diese sich von den wahren Koeffizienten unterscheiden um die durch die Beziehungen 3 definierten Beträge.. Reduktion der Berechnungsgleichungen. In der Technik hat man es mit wenigen Ausnahmen ') immer mit normalen Wechsel spannungen zu tun. Das sind solche, deren Kurven identische positive wie negative Hälften besitzen. Da demnach zwei um eine halbe Periode auseinander liegende Ordinaten ent y* y*i gegengesetzt gleich sind kann die entsprechende Fourier'sche Reihe keine Glieder von gerader Ordnung enthalten.*) Wir beschränken uns also auf die Analyse von solchen normalen Kurven, die sich darstellen lassen durch eine Fourier'sche Reihe: Yk >/ sin (n çpa f an) mit Koeffizienten von nur n\,3,s... ungerader Ordnung, die wir bestimmen durch Auflösung der ( tri) Gleichungen : m cm i Yk,3,5 Ä 0,,, 3... ( m ) wobei nunmehr der Index m" der Koeffizienten S(J und C("J angibt, dass die Berech nung derselben sich bis zum mte" Gliede von ungerader Ordnung n erstrecke. Die ot Gleichungen 4 mit m Unbekannten lassen sich spalten in m Gleichungen mit nur m Unbekannten. Man findet nämlich sofort: ') Bei Durchgang eines normalen Wechselstromes durch eine Aluminiumzelle (s. E. T. Z., 900, S. 93), oder bei Erzeugung von Wechselstrom durch Unterbrechung von Gleichstrom.») Simons: E. T. Z., 906, S. 63. E. T. Z., 904, S F. Weber: Wied. Ann., 63, S Wangemann:

13 ,, /7m m?) *, *.. (mv... (m y* y m m y^cfo cos ('#),3, 5 A,, 3... /n  0,,.,3,5 ) Setzen wir zur Abkürzung: woraus folgt: yk.k m k ~~ Xk yk y m k ~ Zk Xk X Zk Z( m A m k) Jf(*) *A Z(k) Zk so sind wir hierdurch vor die Aufgabe gestellt, die m Gleichungen, zu deren Aufstellung es nur der einen Kurvenhälfte bedarf, m m (" Xk J* & sin (n ) Zk,3,5...,3,5... <** Er) (5) A,, 3 ot A 0,, (m) nach den noch unbekannten Koeffizienten aufzulösen. Bis hierher stimmen die gegebenen Umformungen überein mit denjenigen anderer Methoden zur Analyse normaler Kurven. Nun aber möge die Auflösung der letzten zwei Gleichungssysteme auf neuem Wege durchgeführt werden. Man kann zeigen, dass es, sofern m gerade ist, immer möglich sein wird, ein obiges System von mgleichungen zurückzuführen auf zwei Systeme von je ~~ Gleichungen mit m/ Unbekannten, welch letztere zwei Systeme überdies auf gleiche allgemeine Form ge bracht werden können wie das ursprüngliche Gleichungssystem. So oft m den Faktor enthält, so oft lässt sich dieselbe Reduktion weiterführen, so dass nach ç'maliger Reduktion ( m\ das eine Gleichungssystem ersetzt wird durch «Systeme von je ("ö?") Gleichungen von / m \ gleicher allgemeiner Form. Aus deren.mal je I ~^~ I Unbekannten können diejenigen des ursprünglichen Systèmes natürlich eindeutig bestimmt werden. Setzen wir: m nip a P (P v wobei a eine möglichst kleine ungerade Zahl bedeutet, so hat jedes der durch gmalige Reduktion erhaltenen Gleichungssysteme dieselbe allgemeine Form, welche wir schreiben können : ** > E,,, > «mv S"' Si" r nv) nl,3,5 X,, 3. ** *' ] C"' S (" n^) (6) n l,3,5.. mv r 0,,. r 0,,,... (»l) ) Dabei werden durch (/ ) die einzelnen Gleichungssysteme von einander unterschieden, während X die Stellung einer Gleichung innerhalb ihres Systèmes angibt. (Der Index (r) ist dabei als rgestrichen" zu lesen: \XX,mJ r^o XX, m,' \X{i. m, )/ r ^Im,)' \X(k m, )/ r ^Im,) U' Sl W)

14 .. /77 _i n) n) 3 CW Für 90, also v p muss die allgemeine Form 6 übergehen in die spezielle 5. Dies gibt die Beziehungen : / (t) \ / (r) \ \XX,mf)r 0Xk,mzXk \zkm,) T 0 ~Z <k>m> Z* ($)r0 W S'"' ($)r0 W C'nm> Wir haben nun zu zeigen, dass die angedeutete Reduktion tatsächlich möglich ist, ( <r> und wie sich die xx,m^ und zx,m^ aus den x/, und z* berechnen, wie ferner aus den sff und d > rückwärts die SJ"' und CS"' gefunden werden. Dies geschieht durch Anwendung der Beziehungen : sin ( (/77v ^ ) /77v () sin (»j^ j cos ( (/77, ) /77, ( ) cos yn^ j Hiermit lassen sich in jeder Gleichung 6 je zwei Glieder zusammenziehen, welche Gleichungen deshalb die Form annehmen: m» I,3... tf7v ( C) A (/ ) \ r*0 C \ c(v) ),3 wir (/ ) (r) (/) c(v) SW Q(vl) (7) «W (r ) s(v) _j_ s(v) S(v) n ' rp, n n W M <rl) _ CW C(v n n m, n und ersetzen einmal X durch X, das andere Mal durch (X ), so lässt sich jedes Gleichungssystem zerlegen in zwei Systeme :,3...,3... X,,3 /77,_i X 0,, (/77 _ ) und (9) <o m^,' / (X)iu\ P'') «^' / (X)tt\ PH'),3,5...,3,5... X,, 3. A 0,,... (/77v_i)

15 <') <r) / V 4 '... <r> (r> (P ) V^l / Aus den Gleichungen 9 bilden wir die Systeme: / M, M jua.j.. ^.),m. ) i/o, w m,., \ \^ / Äff \ //7Tt\ J^P ^ *>» Kj^ ) C0S ( ^7 ) ^,),3... X,, 3... /77v_i m.t \ V / x* \ /»w\ «rv (io) (^,m, z(,,m,j «^cos^^j cos(j C» X 0,,... (/»,_,) Hiermit haben wir gezeigt, dass jedes der Systeme 6 sich zerlegen lässt in zwei Systeme 8 und 0 von nur halb soviel Gleichungen und Unbekannten. Die Gleichungen 8 und 0 können aber auch einfach auf die allgemeine Form 6 gebracht werden. Definieren wir: X(k,m,) \X(X^g)ml,») ^X(kg)m, J *hm, yz(x^ g),my»^^ (X~g),m^lJ (r) (r) (f) (r) (/ ) (rt C) n n wobei wir zur Abkürzung gesetzt haben: so findet man durch Anwendung der Beziehungen auf die Gleichungen 8 und 0, ohne weitere Rechnung, dass sie sich auch in der Form schreiben lassen: \ Ki) j m«.i m,.i ^^ / Air \ <').. v«/ kr. kr. \ <'>n }')n} Air \ l'),. VI / ^ mv, 'i. m j «ai (» j^) #,; X,3...,3... cos ( " t^tt ) ^ <r ). /77y. /7v VI t^" Vi / Air \ <'>> Aie \ <'j> 3!,3... N ' X, Die reduzierten Gleichungssysteme haben also tatsächlich beide dieselbe allgemeine Form wie das ursprüngliche Gleichungssystem. Durch q pmalige Reduktion der ursprünglichen Gleichungen wird deren Auflösung ersetzt durch diejenige der ''Systeme von nur je a Gleichungen mit a Unbekannten: a a (r) VI \ / A ff \ ^,a ZA, a js" S//,r a) y^ C<, ), 3..., 3... A,, 3... a A 0,, r0,,, 3. S ( ) <3> (a ) Die hierzu nötigen Grössen xx, und a zx, findet a man aus den bekannten x/, und z* durch successive Anwendung der Rekursionsformeln. Aus den Auflösungen sj,"' und ci"' der letzten Gleichungen 3 findet man hierauf rückwärts die Koeffizienten Sf0 und Cim) durch fortgesetzte Benutzung der aus den Beziehungen 7 zu bildenden Rekursionsformeln :

16 n). 5 ( n)x^\.. (P ' (r) (r) (r) (/) s(v >_ n ^Jn c(v, ) " " (/) (r) (r) (r) (r) Q(v) &v) (r) Q(v) C(v) ô(m,,n) ^ ^(mytln) ^ (4) mit Berücksichtigung der Beziehungen. Das solchermassen angegebene Verfahren scheint recht kompliziert zu sein, einmal wegen der Bildung der xx, und a zx, a aus den xk und za, und dann wegen der successiven Berechnung der SJ,"0 und Cj,m). Dem ist aber nicht so, denn in dem letzteren Umstände liegt gerade der eigentliche Vorteil dieses Verfahrens. 3. Berechnungstabellen zur Kurvenanalyse. Die Vereinfachung der Kurvenanalyse durch das oben abgeleitete Verfahren zeigt sich erst, wenn dasselbe tabellarisch durchgeführt wird. (r) (r) In erster Linie bildet man sich die Grössen xx,a und z%t a für soviele Werte von (r) als gewünscht Tabelle auf S. 6. werden. Für die Werte r 0 bis r 7 erhält man die Ausdrücke der Hierauf hat man die? Gleichungssysteme 3 mit je a Gleichungen bekannten aufzulösen. Dies ist ganz allgemein möglich. Man erhält nämlich: nach ihren Un (r> «w 4 a^xk'a Al,,3... SW{X a) (r) n(o) Wz Nj A0,,... Z(X,a) S ' /7 TC a. (5) n, 3, 5. (a ) r 0,,. ) sin((a Wegen der Relation: l?a { 4) sin U ~\ cos((a ( ow*^) findet man aus den Gleichungssystemen 5 sofort: (r) (r) 4" s&, S(any A a J] (l ).,... )') S, sin (k \ a <r) <r> '. / r\ W / /7TC \ X0,,. (/ ) Xl,... (r) (. _ c(0) Cl y) ^,'V A <r> / /77i \ X 0,.

17 . o 6 i slâ fc *À OO ej^ SJ5 sji3 V êo* în i J, 00 ^^ sjj3 N ^ ^ in "h EJ5 C Ejâ I fc T T 7 cô* 7 7 < "<. <i, I i 'V P 3 et? "ET? V < 3, N N V r cn 4 i et? ^ 4 e7à e l c«, C^ço "S. 'S loo I EjeS N V V CN fia * <. ço. co" **< co ço. 4 e5 L El5 ÇO, V ^ 3 Irf I l^r 00 N ^TôT' ^z^ SJ5 ^> ^Z^ ^Z> G EX? sjs EJ5 ^ I co~ I 4 3, < 00, ço. y EicS in v V, i ^N ^^ ^^ ^, T E]3 E^hf EJ5 sus çs V <, V ço ço. V V V V 4^ j^ 5 V Ejà ed "ET? ^ Ejâ ejs < ÇN, ^,. V ço., ^ V X, V V V V "sià in" CN tn 'ét? t IrtpICN EJ5 ÇO, V EJ5 W 4 00, V ^ EJ5 co, 3 loo _ CN * lo x> t^ V, V, "s >> ^ V, «^ V.

18 (r) <r>.. (a. /, /, 7 (r) (a ~ X^ (r) oder mit: (r) (r) (/) (r) (r) (r) M (r) «, v #'*$ >% ) («l,3...(*)) erhält man: ö <0) <$_»> r(a_n! («, 3... X a \ (a ) j^ s/"(a 77j ^7^«"*(x 77j X,3... X 0,, , 3... a /7,3... a (6) )) X (a) (r> VI X^ ö(an) ~ n«\ 77* \ <r> X (a) (r) VI A "* i^'" s/" (X 77J ^) äi Zxa cos( 77 X,4... Xl,3,5... /?, 3. ) /7,3... (a) Aus den durch die Gleichungen 6 gewonnenen Grössen o und f (/ i (rt wärts die s*?' und cj* vermittelst der Beziehungen : (r) / (r) (r) \ W / W «\ ^ 7(<,«(,ran>jn...a C$, ; (r) y^rn r(an7j, «/ W (r) \ M / M M \ ^a ny n) ) n I... (a ) S? ~~ ( *«öca C) findet man rück l,3...a ~~ ( A T(an))ni,3...(a) (r) Bei der tabellarischen Durchführung dieser Analyse werden zuerst alle Aft, «; und «(t) (r) za a) notierti hierauf die on und yn berechnet und in die Tabelle eingetragen, (r) (r) die sj,"' und cj* bestimmt und ebenfalls eingetragen. Nun beginnt aus diesen die wiederholte Anwen dung der Rekursionsformeln 4, und, und zwar werden die Zwischenresultate auch jedesmal tabellarisch aufgeschrieben, um Irrtümer zu vermeiden und der Einfachheit halber. Wir geben im Folgenden die tabellarische Berechnung der Koeffizienten Si?" und Ci"" bis zum Gliede (/77 ) 3, also mit 777 und infolgedessen mit a 3. Wir benötigen im Ganzen vier Tabellen. In der ersten verschafft man sich die a* und Zk, in der zweiten berechnet man die Sim), in der dritten die Ci"" und in der letzten die Vn und a. In jeder Reihe stehen die analogen Operationen, und zwar sind sie in den folgenden Tabellen ausführlich angegeben, während bei praktischen Beispielen in die Tabellen natürlich nur die entsprechenden Zahlen samt Vorzeichen gesetzt werden. Tabelle I weist sechs Reihen auf, deren Bedeutung ohne weiteres ersichtlich ist. (r) Die Tabellen und I besitzen acht Reihen. In der ersten Reihe stehen die jfx, a (0 (r) (r) und z\,a in ihrer Abhängigkeit von jt* und zk; in der zweiten stehen die tf und y, wie (r) (r) (r) (r) sie aus den x\t a und z\t a gefunden werden. In der dritten Reihe werden die si0) und cj"

19 _ 8 (r) M (r) (r) aus den 6n und yn gebildet, hierauf in der vierten Reihe aus den sj" und cjf' die entsprechen (r) (r) den SJ?' und Cf. Hiermit hat man diese Koeffizienten viermal bis auf drei Glieder genau bestimmt. Die in den Reihen 5 und 6 notierten Operationen erzeugen (0 aus den S*?' und (r) (r) (r) CJ,0) die bis zum sechsten Gliede berechneten Koeffizienten SJ," und Ci0 und zwar in zwei Serien. Aus diesen beiden Serien stellen schliesslich die Reihen 7 und 8 die Koeffizienten Sjf* und C%} her, welche die Koeffizienten der beim zwölften Gliede von ungerader Ord nung abgebrochenen Reihe bedeuten. In der Tabelle IV werden die Vn und a aus den Sj,"0 und Ci"0 bestimmt. Zur Be stimmung der <x genügt nicht die Kenntnis ihrer Tangenten allein, man muss auch die Quadranten der a kennen. Dies ist der Fall, wenn man die Vorzeichen der sin an und cos an zugleich kennt. Mit Hilfe dieser Tabellen ist es nun möglich, in kürzester Zeit aus den abgemessenen Ordinaten y* die Amplituden und die Phasenkonstanten der Kurve zu berechnen ; denn es handelt sich ja in der Hauptsache um die Bildung von arithmetischen Mitteln. Dabei ist jede Verwirrung und Unklarheit während der Berechnung ausgeschlossen, wenn man sich streng an die gegebenen Tabellen hält und die Rechnung auch tabellarisch durchführt. Diese Methode der Kurvenanalyse hat den Vorteil, dass man ohne grosse Mühe die Berechnung sofort ausdehnen kann auf die doppelte Anzahl von Gliedern. Hat man z. B. die Analyse gemäss nachstehenden Tabellen durchgeführt bis m und sieht dann, dass die Koeffizienten S3 und C3 noch so gross sind, dass die höheren Glieder nicht vernach lässigt werden dürfen, so kann man die Tabellen einfach fortsetzen, auf analoge Weise wie die schon bestehenden Teile gebildet sind ; es kommen nur die höheren Indices in Betracht. Dieser Fall wird aber praktisch höchst selten eintreten; im Gegenteil, man wird meistens gar nicht bis zum zwölften Gliede gehen müssen. Dann werden einfach nicht die ganzen Tabellen benützt, sondern nur die doppelt umrandeten Teile derselben, wenn beispielsweise nur sechs Glieder erforderlich sind. Überhaupt wird man am vorteilhaftesten verfahren, wenn man zuerst nur bis sechs Koeffizienten berechnet und erst, wenn man dann sieht, dass sechs nicht genügen, wird man weiterfahren, nun die vollständigen Tabellen benützend.

20 " " Tabelle I /f4 A8 Ä Ä Ä6 Ar 0 <p 30» <p60» ç> 90 <p 5 g> 45» g> 75 y^y** y8k6oo Kly90» ^^5«^6 ^ß» ^0^^45" y0 ^50 ^6^^/'l0o ^"^90" ^ ^65 ^8:'/3S' ^4 ~ ^05" A4 y4^o A«y8^i6 JriJ^ yj^ ^6 ^8 ^io i yu *'" A, 4 ^4^0 "8" ^8^6 Z,, 0 ^ ^ > y6 y* ^,0^4 Äl Ä3 Ä5 I A7 k9 Ä ç7v*?l/«? 37'A>» 5 '? 67V«? 8'/».Kl ~ J^iy) ^3 ^W ^5y37l/, yj J^'/,» ^9 ^67'/ao ^n ys>i,<> ^3 ^7'/» ^ ~y\st'ij> ^9 y\4&u> ^7.^7'/» ^5 "J'ilîh y\3 ^97'/! ^^3 Al 3 y3yi y5y9 y7^i7 ^9 ^5 Kl ^3 A5 5 7 ^9 9 All Zl ^^3 ^3^ ^5^9 ^7^7 ^9y)5 KllylJ J 5 7 Z9 9 "

21 0 C eo il o >r.m a» o n S» to «0 * co" Sin So ô 03 J" " ST ~v> *o co co_ Il % %n % s? Il Ca «0 *0 N So. to a» to So. o O So ** ~>T m To «co So 'Jo co_ ~^ «"^ i S o_ O "So At. to.a«"so To" So J Si~ >T m >o co xrf. a» <0 ë" sr 3««0 ji cm (0 So «0 So to ~C»o s in 0 X" So So xœ <s %«4 <*? <% X" "S?! sy < to JI s to tin f t ~~û> v «s" 50" >T. V3 to o "So Ä 5o~ So To" "to

22 * " " ". *" *j '4 si ^" Jl is» to cor "To" So 00 vo " "05?_ C 03 J \" 8 to!? s» ~% to r m T ^._ ös 03 «0 G "^3 >? i n to 03 T? % O J sa <0 * * 'S * * ^ Sm *0 v«03 cm" 03 % to 03 J ^ ; n ~» 5; <? 03 to to z "Ï. p>t * ^ * «s* ; m To &3 "T?" O3 Hf o <i" In 0 Jl "To 5? ""To" r ««* "go ~* J * Jl 03 to" 03 * «>?" '*? ~Tc 03 T? &5" w To O 03 ^5 _ 03 Jl 03 To ll Mb. 03 L i > «r>?" L Stf «" to to 00 _ 03 J m m ~To to is Nlfl 03 i " 03 to 5?»? «t To" 00 O»? : <o" cvt Jl 'S" ö7 "03 _ '03 "To J 03 ^(0 * "03 Ti7 03

23 " " " " er o* o io _^ ^ N~ N~ O er ^ CNJ lo vo i tr "o~ co" 5 Jl N t^ N. o^ ^~ er ^"» cj CN~ J er er to fm er <N"t.r*T irt O N ^ % O co N* N %> 'b *&" oq NM co il ~N!f 7 O Tf T? i ^r %> Eco j Çty li N i fco ^ <*^_ o tf tf er o s?? Ö" N o_?"> irt ~>^ K? ~tr U _^ o _^ NN co tr tr N >C J cr br s " il "o bv ev "tt er % >c N* N" in & 'er i %> ^f tf * >c il?«il ^ ~ > o >io o ji rî»r" o êr b" er. iri a? M" ä >~ tf tf N*. Il fù> "^co _v o ~v O ^ tf tr tr te. > co_ ^~* O o ^ o CN^ vp wco ^îo >C0 M O O o O eo <" * N. tr tr O»~ N >C X o^ \n ~Cf b" ii er er i tr tr il b" ' ey I tr tr er

24 " ^ 3 i N" ^ ^ ' * m J % in 's" S ^ "CT 00 >C % ~XT ~b~ ~b~ i b"i ii o* w c0 %* "s"»r >S ^ % ïfco o * N *_ s^ ^ 5o «r i ii cm" rn " b"l XT 3~«I >s"" \r!f! J _ ro_ s 'CT "xr b* tf : N~ n" ï ^ 'S *o Jl >c ~XT _ll to" J J r br CT CNCr XT co^ >s" n fo in N ^ %» o Ï H ii %>!f ~ "b" XT _, b~ o 'I XT ^ ^~»"m»sio o XT o N vf> 'S ï?co %> >ct r I t ;>^ 4 ^ I! ^ ^ CN"iO 's" : o" 'XT >r 00 q O & cn~»n ;N ^cm" i ] si 3" ZO 00 O _ "b! '0 b" J 'CT J I ~"o" b" CN^ cn"co CN

25 4 ifi itn 0"l co" t ^0 à" 0" co.5 s.c; O cm cm O co co p.t; 0 co 0 co O 0 it ^~ ij5 co lo o"l co" cm in cn co ^ s a V à~ 8 >* ef «T S 8 ** ^ co co p.ci p 0 co 0 0 co <0 üt SiT ^ 0 _ o I co, O co 0 cil co" 0 <S\ co co co _» co ^ a a ^ a a "r^ 0" a.t;.c co.! t^ ist i^r er co 8 o U" co" co C/) O t h h Ol co" > 8~ 8 > a a W.0 8 <0.C! O.c: co S.g P O 0 r co O ^" ^ ^r

26 P. Ableitung einer direkten Methode.. Die Beziehungen zwischen den Wechselstromgrössen. Auf ein direktes Verfahren zur Analyse einer Wechselspannung zwischen zwei Stellen eines Stromnetzes wird man geführt durch Betrachtung des Zusammenhanges zwischen dem effektiven Werte dieser Spannung, respektive dem effektiven Werte des durch sie, in einem an die beiden Metzpunkte angelegten Nebenschlüsse, erzeugten Wechselstromes einer seits und den Amplituden der Wechselspannung anderseits. Es seien gemäss Abbildung Al und A. zwei Stellen eines Stromnetzes mit den Potentialen Pl und P, deren Differenz gegeben sei durch einen Ausdruck von der Form: Pi e ^, &n sin (mot a ) n wobei wir noch dahingestellt lassen, ob diese Reihe die geraden Glieder enthalte oder nicht. Zwischen Ax und A werde eine zu dem gegebenen Stromkreise parallele, vollkommen eisenfreie Zweigleitung eingeschaltet, von dem totalen Ohm'schen Widerstände w und dem totalen Seibstinduktionskoeffizienten L. Die Selbstinduktion werde dabei lokalisiert in einer Induktionsspule; der Stromzweig sei überall kapazitätsfrei bis auf einen eingeschalteten Kondensator von der Kapazität C. Nun steht die Potentialdifferenz AP zwischen den Endpunkten eines ununterbro chenen eisenfreien Leiterstückes mit dem da rin herrschenden momentanen Strome in dem.induktionsspule Zusammenhange : JP / w dt (7) entsprechend dem Ohm'schen Gesetze und \ den Gesetzen der Induktion. / Kondensator *Pi Befindet sich in *Pa einer Leitung ein Kon Abbildung. densator, so teilt derwt l«. selbe die ganze Leitung in zwei ununterbrochene Teilstücke, für welch beide also die Gleichung 7 Geltung hat. I_ L Seien f, und P4 die Potentiale der beiden Belegungen des Kondensators gemäss nebenstehender Abbildung, so gelten die Be P,'I P' Abbildung. ziehungen : PPßiiwl Lt d[ ~dt di

27 P').,. di ~ de 6 woraus durch Addition sich ergiebt: P,P (P'.P,) i K f w,) Li 4 L,)jt oder mit: erhalten wir: e (/>,/>,) wi \ w w L, L L PlP, e ^/ ^ (8) Hierbei ist (P\ die Potentialdifferenz der beiden Belegungen des Kondensators. Für sie gilt bekanntlich, wenn q die Ladung des Kondensators bedeutet: C(P'lP'i) q (9) wobei diejenige Belegung mit dem höheren Potentiale die positiv geladene ist. Da somit in obiger Gleichung 9 der Belegung mit dem Potentiale P', die positive Ladung zugesprochen wird, entspricht dem von PL nach P' gerichteten Strome /' eine Zunahme der Ladung q gemäss der Grundformel : dt Zur Elimination der Kondensatorspannung aus der Gleichung malige Differentiation nach der Zeit erforderlich. Sie ergiebt: 8 ist somit eine ein d,,, di dt^^^jldj de dt Vermittelst : </(/>,P') \_dq dt C dt C gelangt man schliesslich zu der Differentialgleichung: d"i di.. Ld7*wdt c'dt (0) womit der Zusammenhang zwischen den Momentanwerten eines Wechselstromes und den jenigen der ihn erzeugenden Wechselspannung gefunden ist. Um den Zusammenhang zwischen den effektiven Werten zu erhalten, muss die Differentialgleichung 0 vorerst integriert werden. Sie ist linear, mit konstanten Koeffizien ten, weshalb man die Variable / in beliebig viele additive Teile zerlegen darf: / n die sich ohne gegenseitige Beeinflussung superponieren. j Zerlegt man auch die bezüglich der Differentialgleichung 0 bekannte Funktion ~^i in eine gleiche Anzahl Teile n oo dl dt n

28 de.. 7 und definiert jeden Teilstrom i durch je eine Differentialgleichung: di di. A^"^c,". ^ (,) so ist das allgemeine Integral der ursprünglichen Differentialgleichung 0 sicher gleich der Summe der allgemeinen Integrale der analogen Differentialgleichungen für die Teilströme. Im vorliegenden Falle wird man ohne weiteres auf die durch e Gn sin (n(v t a ) definierte Zerlegung de der Funktion geführt. Auf solche Weise ist dann die Integration der ursprünglichen Differentialgleichung 0 zurückgeführt auf diejenige der Differentialgleichungen: di'n di \..,, L77T W /n /7(ü6 S {nu)t)ra ) dt dt C Die allgemeine Integration dieser Differentialgleichung liefert für i den Ausdruck : i / a sin {\t) 4 b cos (kt) Je 9^ sin (n w t f ß ) mit und 9 rr. ßn rn w( rivul ^ \ ntoc während a und bn die Integrationskonstanten bedeuten. arc tg ( Hieraus folgt für den Gesamtstrom der Wert: n od i (a sin {lt)bcos (\t)\e * H V] 7 s/n(n«t( js,) n mit n co A ^> n co B ^bn n n als Integrationskonstanten. Der erzeugte Strom besteht aus einer rein periodischen Funktion und einer gedämpften Schwingung,) welch letztere bei allen praktischen Fällen sehr rasch abklingt. Schon nach ganz kurzer Zeit wird deshalb der erzeugte Strom durch die periodische Funktion allein gegeben sein. ') In allen Fällen der Praxis ist eben X sicher reell, nämlich ^>.,

29 il 8 Es ist somit n oo ^y sm(nmt ß ) n der Zusammenhang zwischen den Momentanwerten des Stromes und den Spannungsampli tuden, vermöge der Konstanten w, L und C des Stromzweiges. Die Ausrechnung der durch die Beziehungen : T 'H"" "r\ mit T als der Zeit einer Periode, definierten effektiven Spannung E und effektiven Strom T stärke / ergibt: n n\ Die Phasenkonstanten treten in den effektiven Werten nicht auf. Setzen wir zur Abkürzung: nwc* w* ( n*m*cl)' so ist die effektive Stromstärke auch gegeben durch die Formel: n co i'~lal"el () n l womit wir schliesslich den gewünschten Zusammenhang zwischen der effektiven Strom stärke und den Spannungsamplituden gefunden haben. Das Quadrat der effektiven Stromstärke ist eine lineare Funktion der Quadrate der Spannungsamplituden; die Koeffizienten dieser linearen Funktion sind hierbei eindeutig ge geben durch den Ohm'schen Widerstand, die Selbstinduktion, die Kapazität, d. h. durch die Konstanten w, L und C des Stromzweiges, und durch die Periode der untersuchten Wechselspannung. Dieser Zusammenhang gilt ganz allgemein für jeden Wechselstrom, ob er ein nor maler sei oder nicht, ob er Glieder von gerader Ordnung enthalte oder nicht. Benützt man die Beziehung für technische Wechselströme, so hat man unter die Summe ein fach nur die Glieder von ungerader Ordnung zu nehmen.. Prinzip der neuen direkten Methode. Die Beziehungen: / wc n oo ^JiWGl (3) n n oo *t«(4) n \

30 ) ) 9 Rüdenberg: ermöglichen auf einfache Weise die Bestimmung der Amplituden von Wechselspannungen, führen uns also auf eine direkte Methode zur Analyse derselben. Durch eine Wahl von (m Kombinationen w, L und C und jedesmalige Messung der dabei auftretenden effektiven Stromstärke, erhält man, bei Kenntnis der effektiven Spannung E und der Periode N der untersuchten Wechselspannung, (m ) lineare Glei chungen 3 und eine lineare Gleichung 4 zur Berechnung von m Amplituden, voraus gesetzt, dass dieselben genau gleich geblieben sind bei jedweder Kombination. Diese Vor aussetzung trifft exakt niemals zu, aus verschiedenen Gründen. Es erzeugt jede der gewählten Kombinationen einen anderen Strom, welcher durch Rückwirkung auf den Generator) die Form seiner elektromotorischen Kraft ändert. Das Verfahren ist deshalb nur anwendbar, wenn der Generator selber schon derart belastet ist, dass die Belastungsänderungen durch den Meßstrom gegenüber der Hauptbelastung keinen merkbaren Einfluss auf die Form der elektromotorischen Kraft besitzen. Des ferneren ist die Spannung selbst Schwankungen unterworfen, je kleiner die Schwankungen sind, um so genauer darf man Proportionalität annehmen zwischen den Amplituden einerseits und der effektiven Spannung anderseits. Lassen wir demnach nur ganz kleine Spannungsschwankungen zu, so sind mit ge nügender Genauigkeit die Verhältnisse als von den Spannungsschwankungen unabhängig zu betrachten. Es sind dies die auf die Einheit der effektiven Spannung reduzierten Amplituden, und auf diese kommt es eigentlich nur an, will man beispielsweise die Spannungsformen bei verschiedenen effektiven Spannungen mit einander vergleichen. Für die reduzierten Amplituden gelten die Beziehungen: n od ^jl n Cl (5) Jj**à ^l? c (6) Zur Bestimmung von m reduzierten Amplituden p benötigt man ausser der Grund gleichung 5 nur noch (m Gleichungen 6, wobei man die Amplituden aller höheren Glieder vernachlässigt, d. h. gleich Null setzt. Man muss deshalb m immer so gross wählen, dass der gemachte Fehler in der Berechnung der Amplituden keine Bedeutung hat. Im Anwendungsfalle hat man zuerst (m ) passende Kombinationen von w, L und C zu wählen, hierfür die der gemessenen Periodenzahl entsprechenden Koeffizienten aj; aus zuwerten und damit (m ) Gleichungen von der Form aufzustellen : (m ) >] a,* tfp«,3,5... c k k, 3, 4... m worin nur noch die (m ) Grössen c* zu bestimmen sind. Sie erhält man, indem man nacheinander zwischen die zwei Stellen des Stromnetzes, deren Spannungsunterschied unter ') Adams: E.T.Z., 90, S. 344, 407. E.T.Z., 904, S. 5. Wangemann: E. T. Z., 904, S. 783.

31 30 sucht werden soll, die (m ) gewählten Kombinationen von w, L und C einschaltet und jedesmal die zugehörigen effektiven Werte der Spannungsdifferenz, der Stromstärke und zugleich die Periodenzahl misst, aus welchen Werten man die I\ sofort berechnen kann. Man ersieht, diese Methode liefert nur die Amplituden, nicht aber auch gleichzeitig die Phasenkonstanten. Die gegebenen Entwicklungen sind im Prinzipe dieselben, wie sie dem von P. G. Agnew angegebenen Verfahren zu Grunde liegen. Die Verwertung dieser Entwicklungen ist aber derart, dass seine Methode höchst unvollkommen wird. Es ist mit ihr nicht möglich, eine beliebige Anzahl von Amplituden zu bestimmen; sie beschränkt sich auf die Berechnung von nur drei Amplituden, weshalb die Genauigkeit in deren Ermittlung sehr ungenügend ausfällt. Des ferneren gibt uns bei den meisten Spannungsformen die Kenntnis von nur drei Amplituden überhaupt kein rechtes Bild derselben. Wir werden deshalb darauf bedacht sein, unsere Methode derart auszubauen, dass die Anzahl der zu berechnenden Amplituden unbeschränkt bleibt. P. G. Agnew gewinnt die drei verschiedenen Kombinationen von w, L und C dadurch, dass er den Grössen w und C einen dominierenden Einfluss erteilt und durch deren pas sende Wahl die Koeffizienten an verändert. Darin liegt eben der Grund der Beschränkung auf drei Kombinationen ; denn solange in a! " /7wCw ( nmcl) w eine dominierende Bedeutung hat, ist eine grosse Variation der Grösse an nicht mög lich, wie man sofort ersieht, wenn man die Art, wie die einzelnen Grössen w, L und C in den Ausdruck für an eintreten, näher ins Auge fasst. In dieser Erkenntnis werden wir unsere Kombinationen stets herstellen durch eine passende Wahl der Grössen L und C, bei einem möglichst kleinen Ohm'schen Wider stände w. 3. Wahl der Kombinationen w, L und C. Wir wollen nun die Gesichtspunkte festlegen, unter welchen die Wahl der Grössen w, L und C zu treffen ist, um eine brauchbare Methode zu erhalten. Zu diesem Zwecke schreiben wir a in der Form: mit und al^blp (8) bl ( ri'^cl) _. P \hn*^cbnw Es darf in Gleichung 8 solange p fortgelassen, d. h. gleich gesetzt werden, als die Bedingung erfüllt ist: «''"Kloöö

32 Damit wird die Beziehung 9 zu: n*blciwi < 0~8 3 S Dies ist sicher der Fall für: (,p!,<w'als07 <W oder und ^a. n<acb\ w <,\n<»cbnw nmcbnw < (9) Wir setzen: iu ç 0)o mit T:yY0 Ti i7 woraus folgt: o>! ~ 05 oder schliesslich zu: nbl{\0*c)wl<w (30) Solange diese Bedingung erfüllt ist, darf man den Faktor p a\ einfach fortlassen, den Ohm'schen Widerstand also vernachlässigen, bei der Berechnung der da dann der dadurch verursachte Fehler in der Aufstellung der Werte von a\ höchstens einen Tausendstel beträgt. Eine grössere Genauigkeit ist aber nicht erforderlich, hat auch keinen Sinn, indem die gemessenen Grössen, speziell die L, auch nicht genauer Man wird deshalb bei Ausführung des angegebenen bestimmt werden können. Verfahrens durchwegs nur solche Kombinationen verwenden, d. h. nur solche Widerstände w zulassen, dass dabei die Bedin gung 30 erfüllt bleibt. Nicht nur, daß man solchermaßen den genauen Wert des Ohm' schen Widerstandes der Meßleitung gar nicht zu kennen braucht, daß zweitens sich die Berechnung der a\ viel einfacher gestaltet, sondern erst dann ist es überhaupt möglich, eine große Verschiedenheit der Koeffizienten a\, sowohl mit steigendem Index n", als auch von einer Kombination L und C zur anderen, zu erhalten. Die Koeffizienten al sind dann gleichzusetzen \ * ( nmcl) den Grössen: Um in einfacher Weise und rasch solche Wahlen von L und C vornehmen zu können, welche günstige Werte der b\ zur Folge haben, setzen und ferner a> it 50 wir wieder: oder u>* 0, C (r6ci wobei die C4 in Mikrofarad zu messen sind. Damit erhält man b" << "c.. n nos7. r. n* ( Xln 0^0987 CiL) ^3) Hierin ist durch Messung gegeben, während die Q und L noch gewählt werden können nach Maßgabe der zur Verfügung stehenden Kapazitäten und Selbstinduktionen. Bezüglich dieser Wahl gelten die folgenden Bemerkungen : Die gewählten bzn, respek tive die ihnen gleichzusetzenden a\ sind die Koeffizienten von linearen Gleichungen, und sind deshalb derart zu wählen, dass die Auflösung der Gleichungen, trotz der nicht exakten

33 3 Ct) Kenntnis dieser Koeffizienten selber, besonders der konstanten Glieder Ot, ein genügend genaues Resultat ergibt. Vom Standpunkte des numerischen Rechnens aus ist aber, bei nicht genau bekannten Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems, eine entsprechend genaue Auflösung des selben nur möglich, wenn erstens die entsprechenden Koeffizienten von einer Gleichung zur anderen und zweitens auch die einzelnen Koeffizienten ein und derselben Gleichung sehr stark von einander verschieden sind. Im Übrigen müssen die Koeffizienten mit grösser werdendem n" rasch abnehmen, damit diejenigen der vernachlässigten Glieder höherer Ordnung keinen merkbaren Einfluss auf die Werte der c* besitzen. Es empfiehlt sich deshalb, die Koeffizienten an derart zu wählen, dass in jeder Glei chung nur einer derselben einen sehr grossen Wert annimmt, und zwar in allen Gleichungen Koeffizienten von verschiedener Ordnung, während die folgenden Koeffizienten sehr rasch abnehmen mit steigendem Index n". Da es in Gleichung 3 nur auf das Produkt (Z. ankommt, ist es sehr einfach, bei auch nur ungefähr bekannten, rasch eine passende Wahl der L und Q zu treffen. Man sucht zu diesem Zwecke diejenigen Werte des Produktes (L Q) auf, welche bl am grössten machen, d. h. Resonanz erzielen, für die verschiedenen Werte von n. st nicht stark verschieden von der Einheit, so findet Resonanz statt, wenn wird. z.c0 n 0,987 Man berechnet sich nun für eine Anzahl Werte von n den Ausdruck5 und hat hierauf diejenigen Kombinationen der zur Verfügung stehenden Kapazitäten und Selbstinduk 0 tionen zu suchen, für welche die Produkte (LC^) am nächsten den einzelnen Werten von ^ kommen, doch immerhin nicht derart nahe, dass Resonanz tatsächlich eintritt, indem sonst die Bedingungsgleichung 30 nicht erfüllt werden könnte. 4. Auflösung der Berechnungsgleichungen. Zur Auflösung der die Amplituden liefernden Gleichungen schreiben wir dieselben in der allgemeinen Form hin : / m rxki Xj Ca (3) mit und /,,3... xi *! "" P«k,3, 4... m während cx und die ck für k, 3, 4... in die durch die Gleichung 7 definierten Grössen bedeuten.

34 33 ~ ^ ~ Die Auflösung aller m Gleichungen 3 nach den m Unbekannten ist sehr zeitraubend, besonders bei unbestimmt gelassenen c*. Es empfiehlt sich deshalb das folgende Verfahren: Die drei ersten Gleichungen werden in der Form geschrieben : / m «* «* «3 *3 Cl,«!' */ C'l «Xl «^3 h «*3 C ^^«/ */ C i 4 / m «3 * H" «3 * «33 ^3 C3 5^*3 i *i c'3 Die Auflösung dieser drei Gleichungen liefert die xt als lineare Funktionen der c'k. Sie seien gegeben durch: i 4 *i ßn c'i?i C ft, ^ Vßi * Ca y(x(^i a «a/ J Al /4 x ß c\ ß c' f ß3 c'3 ^i ("/ A 3 N %J? a Ca Vj ( Jf, " 5 A cta / ) A / 4 *8?8 c't ß3 c',%3 c's Solchermassen sind die Li? ^/ *3 x V%aCa Vj(^/ ^?3* a*/ J * ; 4 A YJi* A3 A3 A3 Ca a'3 y]p3a CA Ca at' yt3a A A A die in erster Annäherung berechneten drei ersten Unbekannten bezüglich der drei ersten Gleichungen, unter Vernachlässigung aller übrigen Unbekannten. Die y\ / m A 3 i m V] (*< ^ «a/aa j / 4 A 4 y]^ ri' / m A 3 ;' m yy^ fjo y^ «az/^a ) y]^ ; 4 A / 4 r* ' Y* ^ / m A3 i m (x, X^ a*//38* j y^^/ ;' 4 A f 4 Ta/ sind die an den x', anzubringenden Korrektionen, gemäss

35 3) X^aA,y, ^\aki 34 3) N«*, 3) In ihnen sind die yk, bekannt, berechenbar aus den ak,\ die x, sind die übrigen Un bekannten. Man findet dieselben folgenderweise: In die noch nicht benützten Gleichungen 3 setzen wir die gefundenen ersten drei Unbekannten ein und erhalten (m Gleichungen von der Form : oder: / 3 / 3 / m X^a/,,y/ tx^oft,y, ck 7 ; 4 / / m 3 X^A", («kl ak\ Xi, <*A f, «A3 ~(3t \ Ck X', Setzen wir («A / a* ~(\i ok f ak 3 Y3 ) k, Ck ^i gk / so bleiben zur Bestimmung der übrigen (m Unbekannten die (m Gleichungen : / m ki X, ^A k 4, 5, 6, 7... auf weiche man natürlich dasselbe Verfahren weiter anwenden kann. m Auf solche Weise wird die Auflösung von mgleichungen mit ebensovielen Unbe kannten zurückgeführt auf diejenige mehrerer Systeme von nur drei Gleichungen mit drei Unbekannten, was natürlich eine Vereinfachung bedeutet. Wir hätten die Auflösung selbstverständlich auch zurückführen können auf die Lösung von Systemen mit je zwei, vier oder noch mehr Gleichungen. Ist beispielsweise m 8, so ist eine Zurückführung nur auf Systeme mit drei Gleichungen gar nicht möglich, wohl aber auf zwei Systeme mit je drei Gleichungen und auf ein System mit zwei Gleichungen. Von besonderem Vorteile ist das angegebene Verfahren der successiven Auflösung dann, wenn die Koeffizienten ukl derart beschaffen sind, dass die Koeffizienten yki der Korrektionen y, sehr klein werden. Denn dann sind die sk, fast gleich den entsprechen den aki, so dass die sk, oft gar nicht berechnet werden müssen, sondern einfach gleich den «a, gesetzt werden dürfen. Dies ist der Fall bei den Gleichungen, wie wir sie zur Berechnung der Amplituden erhalten, wenn wir uns streng an die am Schlüsse des vorigen Paragraphen gegebenen Vorschriften bei ihrer Aufstellung halten. Diesem Umstände entspringt ein weiterer Vorteil unserer Methode, der in der folgen den Regel besteht: Soll eine gegebene Wechselspannung untersucht werden, so misst man vorerst nur für zwei Meßschaltungen die entsprechenden ck und berechnet hieraus sofort die drei ersten x',. Muss man dann vermuten, dass die weiteren Unbekannten nicht zu vernach lässigen sind, dann erst stellt man drei weitere Meßschaltungen her und bestimmt hierfür die Grössen ck durch Messung. Lässt die Grössenordnung der hieraus berechneten drei

36 ' Handbuch 35 lausch: weiteren Amplituden darauf schliessen, dass auch die übrigen Unbekannten nicht fortge lassen werden dürfen, erst dann fährt man mit der Messung der c* für weitere Meßschal tungen fort, in Serien zu zwei, drei, vier oder mehr, bis man eine genügende Anzahl Amplituden glaubt gefunden zu haben. In diesem Sinne können wir unsere Methode als eine direkte Methode der succesiven Analyse von Wechselspannungen bezeichnen. 5. Allgemeine Bemerkungen über die zu verwendenden Apparate. Mit dem nunmehr erläuterten Verfahren zur Ermittlung der Spannungsamplituden haben wir tatsächlich eine Methode gefunden, welche keine speziellen Vorrichtungen und Apparate benötigt und dabei doch exakte Resultate liefert. An Instrumenten erfordert dasselbe nur solche, wie sie in jedem Laboratorium leicht zu beschaffen sind. Während aber bezüglich des zur Messung der effektiven Spannung verwendeten Voltmeters und des zur Bestimmung keine Bemerkungen zu machen sind, ist die Wahl der übrigen der Periode benuzten Frequenzmessers Instrumente in erster Linie an die Bedingung geknüpft, dass dieselben nur einen kleinen in der Rechnung lässigenden Gesamtwiderstand der Meßschaltung stand infolgedessen nur der Grössenordnung zur Folge haben, deren nach bekannt sein muss. Hingegen ist die genaue Kenntnis sowohl der Kapazität koeffizienten der Meßleitung ein Haupterfordernis. zu vernach Ohm'scher Wider als auch des Selbstinduktions Zu diesem Zwecke wird man dieselbe nicht nur derart ausführen, dass sie bis auf den Kondensator als kapazitätsfrei angesehen werden darf, sondern dass sie auch überall induktionslos ist bis auf eine eingeschaltete, vollkommen eisenfreie Spule. Der Selbst induktionskoeffizient dieser Spule ist dann zugleich derjenige der ganzen Leitung durch Messung genau bestimmt werden. und muss Um aber verschiedene Selbstinduktionen der Meßleitung herstellen zu können, müssen entweder mehrere Spulen zur Verfügung stehen, oder aber eine einzige in mehreren Ab teilungen gewickelte Spule. Eine solche ermöglicht, durch Kombination der einzelnen Ab teilungen miteinander, die verschiedensten Selbstinduktionen zu erzeugen, durch Messung ermittelt werden müssen. Im Uebrigen darf die Induktionsspule stand besitzen, weshalb nur Spulen welche alle einzeln natürlich nur einen kleinen Ohm'schen Wider in Betracht fallen mit recht dicken Drähten und dem zufolge mit mehreren Lagen. Da aber die Selbstinduktionskoeffizienten solcher Rollen infolge der Wirkung der einzelnen Lagen aufeinander von der Periodenzahl des durch gehenden Wechselstromes nicht unabhängig sind '), ist jede Spule, respektive jede Kom bination der einzelnen Abteilungen einer Spule, vor ihrer Benützung, daraufhin zu unter suchen, ob die Veränderlichkeit ihres Selbstinduktionskoeffizienten mit der Periodenzahl vernachlässigt werden darf oder nicht. Die betreffende Spule ist dann nur im ersteren Falle brauchbar, da sonst die Induk tionskoeffizienten für alle Periodenzahlen bis zu hohen Werten derselben einzeln bestimmt werden müssten, indem ja zur Berechnung eines jeden Koeffizienten a\ der dieser Periode, gegeben durch [nw], entsprechende ') Dolezalek: Drud. Ann., S. 4. Strasser: Drud. Ann. 7, S Wert von L benützt werden muss. Das Wechselfeld in Drahtrollen". Diss.08. der Physik von Winkelmann : Bd. Vu S. 608,

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