Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

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1 001 - hp:// 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke mi der x-achse sowie af Hoch- nd Tiefpnke. Zeichne K 1 für 4 x, Längeneinhei cm. Die Parallele zr x-achse drch den Hochpnk nd die Parallele zr y-achse drch den Tiefpnk von K schneiden sich im Pnk Q. Welche Krve bilden diese Pnke Q, wenn alle zgelassenen Were annimm? 9 VP b Die Normale z K 1 im Ursprng schneide K 1 in einem weieren Pnk S. Berechne die Abszisse von S mi dem Newonschen Näherngsverfahren das Verfahren is abzbrechen, wenn sich die 4. Dezimale nich mehr änder; gib dann das Ergebnis af 3 Dezimalen gernde an. 8 VP c Die Krve K, die x-achse nd die Gerade x mi < 0 begrenzen im. Feld eine Fläche mi dem Inhal A. Berechne A nd lim A. 7 VP d Für jedes > 0 is aßer K noch die Parabel P gegeben drch y x x Besimme diejenigen Were von, für die sich P nd K in gena zwei Pnken schneiden. 6 VP

2 c 001 by Rainer Müller - hp:// 1 Lösng Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR a Asympoen Senkreche Asympoen Es gib keine senkrechen Asympoen, da D IR. Waagreche Asympoen Hier is das Verhalen von f x für x nd x z nerschen: { x x + : x x x e x f wegen > 0 x Für x + erhäl man also keine Asympoe. x : x x x }{{} x } {{ } e x 0 wegen > 0 f x 0 Erklärng: Es gil zwar x x, aber ach e x 0. Da die e-fnkion särker gegen nll geh, als jede Poenzfnkion, folg f x 0. Die x-achse y 0 is daher waagreche Asympoe. Das wird z.b. mi der Regel von de l Hopial nachgewiesen: Umformen liefer f x x x e, wobei x x x nd e x für x. Daher darf man Zähler nd Nenner gerenn ableien nd danach den Limes bilden beache: beim Ableien von a e kx erhäl man ak e kx : lim f x x x lim x x e x de l H. x lim x e x Jez geh der Zähler gegen mins nendlich, der Nenner geh wegen > 0 ebenfalls gegen mins nendlich; daher darf wieder die Regel von de l Hopial angewende werden. Man erhäl schließlich lim f x x x de l H. lim x e x lim x e x 0 y 0 is also waagreche Asympoe nd f x näher sich ihr von oben an, da > 0 nd e x > 0 bzw. da f x x x ex > 0 für x < 0.

3 c 001 by Rainer Müller - hp:// Schnipnke mi der x-achse f x 0 x x e x 0 x x e x 0 ; wegen e x 0 folg x x 0 Daher erhäl man x 1 0 oder x 0 + x : Exrema Daz benöig man die N ; N 0 Ableingen mi der Prodk nd Keenregel: Nowendige Bedingng: f x x x e x f x x e x + x x e x x + x x e x x f x e x x e x x + x + e x x f x 0 e x x 0 ; wegen e x 0 folg e x x 0 + x 1 0 x : erlab wegen > 0 x 1 ; x

4 c 001 by Rainer Müller - hp:// 3 Hinreichende Bedingng f x 0 nd f x 0 Da für die gefndenen Sellen schon f x 1; 0 gil, mss nr noch f x 1; 0 überprüf werden: Wegen e x > 0 ha f x e x x + x das gleiche Vorzeichen wie x +x : x 1 : + < 0 f x 1 < 0 Bei x 1 is also ein Hochpnk. x : + > 0 f x > 0 Bei x is also ein Tiefpnk. Fnkionswere f x 1 f f x f Zeichnng 1 Hochpnk H Tiefpnk T e + + e e e e e

5 c 001 by Rainer Müller - hp:// 4 Krve der Pnke Q Orskrve Die Parallele zr x-achse drch H ha die Gleichng y + e. Die Parallele zr y-achse drch T ha die Gleichng x. Deswegen ha Q dieselben Koordinaen: Q + e. Die Krve, welche die Pnke Q bilden, nenn man ach Orskrve. Um sie z erhalen, lös man x nach af nd sez das dann in y ein: x y + x e x x + e ; in y eingesez ergib das 1 + x 1 + x x Wegen > 0 gil ach x > 0. Also liegen die Pnke Q af der Parabel y 1+ e x mi x > 0. b Normale von K 1 im Ursprng Sez man 1 in f nd in f as Teilafgabe a ein, dann erhäl man e f 1 x x xe x f 1x x e x Für x 0 ergib sich die Tangenenseigng m f 10. Die Normale im Ursprng O0 0 is senkrech zr Tangenen nd ha als Seigng m n den negaiven Kehrwer von m : e m n 1 m 1 1 Da die Normale eine Ursprngsgerade is, ha sie also die Gleichng n : y 1 x Der Schni der Normalen n mi f 1 liefer drch Gleichsezen die Gleichng x x e x 1 x x 4xe x x x x xe x x 0 Jez wird im Hinblick af das Newon-Verfahren die Fnkion gx : x xe x x definier nd abgeleie beache dabei, dass gil: gx f 1 x x: g x f 1x 1 x e x 1 As der Zeichnng ermiel man eine Näherngslösng x 0, indem man die Normale im Ursprng einzeichne nd in ewa die x-koordinae des vom Ursprng O0 0 verschiedenen

6 c 001 by Rainer Müller - hp:// 5 Schnipnkes ablies; ein möglicher Wer is ewa x 0. Rekrsive Gleichng für das Newonverfahren Die rekrsive Gleichng für das Newonsche Näherngsverfahren für gx 0 das heiss: einer approximaiven Lösng von gx 0 lae x n+1 x n gx n g x n Sez man g nd g hier ein, dann erhäl man x n+1 x n x n x n e xn x n x n e xn 1 Diese Gleichng liefer mi dem Sarwer x 0 nacheinander die Were x 1 e e 1 4 e e 1 x 1, x, x 3, Von x af x 3 ha sich die viere Dezimale nich mehr veränder. Das af 3 Sellen gerndee Ergebnis lae dami z,064 c Fläche A im. Feld neigenliches Inegral Für alle x < 0 gil f x > 0: f lieg im. Feld über der x-achse. Daher gil für die gesche Fläche mi < 0 A 0 0 f xdx x x e x dx Hier is es am besen, die Prodkinegraion anzwenden, denn es lieg ja ach ein Prodk vor beache dabei: eine Sammfnkion von a e kx a is k ekx : x x x nd v x e x liefer x x nd vx 1 ex Wegen b x v xdx [x vx] b a a a b x vxdx folg dann A [ x x 1 ] 0 ex 0 x 1 ex dx

7 c 001 by Rainer Müller - hp:// 6 Jez wird eine weiere Prodkinegraion benöig: x x nd v x 1 ex liefer Dami erhäl man dann A x nd vx 1 ex [ x x [ 1 ex [ 1 ex [ 1 ex ] 0 ex [ x x x 1 x ex x x x + + ] 0 3 ex x 4x + 4 ] 0 [ 1 1 ] 0 0 ex ] e ] A e [ + 1 ex ex dx ] 0 Der Term 1 e konvergier mi gegen nll, da die e-fnkion,,särker gegen nll geh, als jede Poenzfnkion. Daher gil d Schni von K nd P für > 0 lim A 4 3 Daz werden f x nd y x x gleichgesez: x x x x e x x x x x e x x x 0 [ jez x x asklammern ] x x e x 0 x x e x 0 Diese Gleichng liefer gena die Lösngen x 1 0 nd x sowie die Lösng der Gleichng e x 0. Diese leze Gleichng liefer e x ; wegen > 0 darf man logarihmisieren: x ln : 0 ln x 3 Die Lösngen x 1 nd x sind verschieden; man mss sich also darm kümmern, dass die drie Lösng x 3 mi einem der Were x 1 oder x zsammenfäll, dami es gena zwei Schnipnke gib:

8 c 001 by Rainer Müller - hp:// Fall: x 3 x 1 ln 0 0 ln 0 e 1. Fall: x 3 x ln 0 ln e e D.h. P nd K schneiden sich gena dann in gena zwei Pnken, wenn 1 x 1 0 ; x oder wenn e x 1 0 ; x e is. Ergänzngen: x IR ; y > 0 n Z, > 0 : x + x n e x + x x n e x 0 e x y > 0 x ln y e 0 1 ; e 1 e ; ln 1 0 ; ln e 1 a a,b > 0 : ln a b ln a + ln b ; ln ln a ln b b 1 r IR : ln a r r lna ; ln ln b b

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