Evaluation von Filter-Ansätzen für die Positionsschätzung von Fahrzeugen mit den Werkzeugen der Sensitivitätsanalyse

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1 Evaluaton von Flter-Ansätzen für de Postonsschätzung von Fahrzeugen mt den Werzeugen der Senstvtätsanalyse Von der Faultät für Bau- und Umweltngeneurwssenschaften der Unverstät Stuttgart zur Erlangung der Würde enes Dotor-Ingeneurs (Dr.-Ing. genehmgte Abhandlung vorgelegt von Dpl.-Ing. Katrn Ramm aus Jülch Hauptberchter: Mtberchter: PD Dr.-Ing. Voler Schweger Prof. Dr.-Ing. Hener Kuhlmann Prof. Dr.-Ing. Nco Sneeuw Tag der mündlchen Prüfung: 8. Dezember 7 Insttut für Anwendungen der Geodäse m Bauwesen der Unverstät Stuttgart 8

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3 Deutsche Geodätsche Kommsson be der Bayerschen Aademe der Wssenschaften Rehe C Dssertatonen Heft Nr. 69 Evaluaton von Flter-Ansätzen für de Postonsschätzung von Fahrzeugen mt den Werzeugen der Senstvtätsanalyse Von der Faultät Luft- und Raumfahrttechn und Geodäse der Unverstät Stuttgart zur Erlangung der Würde enes Dotor-Ingeneurs (Dr.-Ing. genehmgte Abhandlung Vorgelegt von Katrn Ramm aus Jülch München 8 Verlag der Bayerschen Aademe der Wssenschaften n Kommsson bem Verlag C. H. Bec ISSN ISBN

4 Adresse der Deutschen Geodätschen Kommsson: Deutsche Geodätsche Kommsson Alfons-Goppel-Straße! D München Telefon ! Telefa / - e-mal horn@dgf.badw.de! Hauptberchter: PD Dr.-Ing. V. Schweger Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. H. Kuhlmann Prof. Dr.-Ing. Nco Sneeuw Tag der mündlchen Prüfung: Deutsche Geodätsche Kommsson, München Alle Rechte vorbehalten. Ohne Genehmgung der Herausgeber st es auch ncht gestattet, de Veröffentlchung oder Tele daraus auf photomechanschem Wege (Photoope, Mroope zu vervelfältgen ISSN ISBN

5 Kurzfassung 3 Kurzfassung In deser Arbet werden dre verschedene Ansätze zur Fahrzeugpostonsbestmmung m Kalman-Flter entwcelt. De Flterentwclungen erfolgen, um ene bessere Deteton von Flterstörungen bem Auftreten von GPS-Ausreßern mttels ener verbesserten stochastschen Modellerung zu errechen. Zur Berücschtgung der zetlchen Korrelaton von nematschen DGPS-Postonslösungen wrd der Kalman-Flter-Ansatz um enen Formflter erwetert. In enem adaptven Formflter-Ansatz wrd der n der Formflter Modellerung enthaltene Prozessoeffzent adaptv geschätzt. Ene wetere Verbesserung der stochastschen Modellerung wrd durch de Enführung ener epochenscharfen GPS- Standardabwechung n das stochastsche Modell des Flters errecht. Das Formflter und das adaptve Formflter tragen ncht, we aufgrund der verbesserten stochastschen Modellerung erwartet, zu ener verbesserten Deteton von Flterstörungen be. Deses gelngt aber mt der Enführung epochenscharfer GPS-Standardabwechungen n das stochastsche Modell des Flters. Zur Evaluaton der entwcelten Flter-Ansätze wrd neben umfangrechen Messfahrtdaten de Varanz- und Senstvtätsanalyse als Methode zur a pror Evaluaton von Auswerteansätzen auf Bass von Smulatonen engesetzt. Das Potenzal der Senstvtätsanalyse ann an ausgewählten Bespelen der Modellentwclung aufgezegt werden. Des Weteren führt de a pror Evaluaton mttels Varanz- und Senstvtätsanalyse zu wetgehend dentschen Ergebnssen we de Analyse anhand realer Messfahrtdaten. Das Werzeug der Varanz- und Senstvtätsanalyse ann folglch be Kenntns bezüglch der statstschen Vertelung der engesetzten Sensoren Messfahrten ersetzten. Summary Three dfferent approaches for vehcle postonng wth Kalman flter are developed. These developments are motvated to acheve a better detecton of flter dsturbance n case of GPS-outlers. Therefore an mproved stochastc modellng s ntroduced. The Kalman flter approach s augmented by a shapng flter to tae temporal correlatons of the nematc DGPS-postons nto account. An adaptve shapng flter approach s generated for adaptve estmaton of the process coeffcent contaned n the shape flter augmentaton. A further mprovement of the stochastc modellng s acheved by ntroducton of epochwse GPS standard devatons n the stochastc model of the flter. The shapng flter and the adaptve shapng flter do not result n an mproved detecton of flter dsturbances. Ths succeeds wth the ntroducton of epochwse GPS standard devatons. The evaluaton of the flter approaches developed s not only done by use of etensve measurement data from several test runs but also by use of varance and senstvty analyss for a pror evaluaton of model approaches based on smulatons. The potental of the senstvty analyss s shown wth selected eamples of model development. Furthermore the a pror evaluaton wth varance and senstvty analyss produces nearly dentcal results n comparson to the analyses wth measurement data. Consequently, the tool varance and senstvty analyss can be used nstead of the realsaton of test runs. Only the statstcal dstrbuton of the sensors nvolved has to be nown.

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7 Inhaltsverzechns 5 Inhaltsverzechns Enletung Motvaton Vorgehenswese... 8 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton.... Kalman-Flter..... Dsretes Kalman-Flter..... Erwetertes Kalman-Flter Formflter Adaptves Formflter Varanz-baserte Senstvtätsanalyse Enletung Senstvtätsmaße Etended Fourer Ampltude Senstvty Test (Etended FAST Replcated Latn Hypercube Samplng (rlhs Berücschtgung von orrelerten Engangsgrößen Anwendung der Varanz- und Senstvtätsanalyse Allgemene Vorgehenswese Aspete der Beurtelung Untersuchungen zu nematschen GPS-Codemessungen Erhaltensnegung von GPS-Messungen Theore der Zetrehenanalyse Datenanalyse Datenmateral Elmnaton von Ausreßern Schleßen von Datenlücen Ergebnsse Zusammenfassung der Untersuchungsergebnsse Entwclung von Ansätzen für de Postonsschätzung von Fahrzeugen Kalman-Flter-Ansatz Funtonales Modell Stochastsches Modell Formflter-Ansatz Funtonales Modell Stochastsches Modell Adaptver Formflter-Ansatz Funtonales Modell Stochastsches Modell... 49

8 6 Inhaltsverzechns 4.4 Integraton der Flter-Ansätze n en Ortungsmodul Flterung m Standardfall Deteton von Flterstörungen und deren Behebung Enführung epochenscharfer GPS-Standardabwechungen Zusammenstellung der entwcelten Flter-Ansätze A pror Evaluaton mt der Varanz- und Senstvtätsanalyse Potenzal der Varanz- und Senstvtätsanalyse Ausgewählte Aspete der Modellentwclung und -evaluaton Evaluatonsonzept Smulatonsszenaren Evaluerte Flter-Ansätze Abhängget von Geometre und Fahrdynam Enfluss der Sensorauswahl Zusammenfassung Evaluaton der entwcelten Ansätze zur Postonsschätzung Evaluatonsonzept Varanz- und Senstvtätsanalyse Stchprobengenererung und spezelle Smulatonsszenaren Evaluaton der Kalman-Flter-Varanten Evaluaton der Formflter-Varanten Evaluaton der adaptven Formflter-Varanten Analyse anhand realer Fahrtdaten Evaluaton der Kalman-Flter-Varanten Evaluaton der Formflter-Varanten Evaluaton der adaptven Formflter-Varanten Zusammenfassung der Evaluatonsergebnsse Beurtelung der Flter-Ansätze und deren Varanten Beurtelung des Potenzals der Varanz- und Senstvtätsanalyse Zusammenfassung und Ausblc Zusammenfassung Ausblc... 5 Lteratur... 6 Anhang A Kalman-Flter-Ansatz nach AUSSEMS (999...

9 Enletung 7 Enletung. Motvaton Anwendungen m Berech der Fahrzeugpostonsbestmmung snd nzwschen wet verbretet und werden n dem Maß weter zunehmen, n dem de dafür erforderlche Sensor mmer ostengünstger zur Verfügung steht (vgl. EL-SHEIMY, SHIN 5. Damt enher geht de Entwclung von angepassten Modellansätzen, de über de Standardverfahren hnaus den spezfschen Sensoregenschaften und den damt verbundenen Fehlerquellen Rechnung tragen. Jede Modellentwclung sollte von ener Evaluaton begletet werden, de berets n der Entwurfsphase n Abhängget der zuünftgen Anwendung de Enhaltung a pror defnerter Qualtätsrteren scherstellt. Hnschtlch der Krteren Genauget und Zuverlässget st mt der Methode der Varanz- und Senstvtätsanalyse nach SALTELLI et al. (a und (4 en Werzeug der a pror Evaluaton von Modellansätzen gegeben. Besondere Bedeutung ommt ener solchen Evaluaton zu, wenn mt Hlfe der Fahrzeugpostonsbestmmung schere Informatonen für ADAS (Advanced Drver Assstance System Anwendungen beretgestellt werden sollen, de Relevanz für de Fahrscherhet haben (vgl. WILTSCHKO / MÖHLENBRINK 3. Zuünftge Navgatonssysteme werden ene spurgenaue Ortung ermöglchen und de gestegerte Genauget der Postonsbestmmung nnerhalb des Straßennetzes für de Fahrerassstenz verwerten. Vor desem Hntergrund st de Zelsetzung deser Arbet entstanden: Flterentwclung zur verbesserten Deteton von GPS-Ausreßern Beurtelung des Betrags der varanz-baserten Senstvtätsanalyse zur Modellentwclung Modellentwclung und -evaluaton für de Fahrzeugpostonsbestmmung Verbesserte stochastsche Modellerung Deteton von Flterstörungen hnschtlch GPS-Ausreßern Senstvtätsanalyse a pror Werzeug für Modellentwclung und -evaluaton Berücschtgung zetlcher GPS- Korrelatonen Enführung epochenscharfer GPS- Stabw. Smulaton von GPS- Ausreßerszenaren Smulaton verschedener Fahrszenaren Entwclung verschedener Flteransätze Kalman Flter Formflter Adaptves Formflter 3 Varanten für alle Flteransätze ohne Behebung von Flterstörungen mt Behebung von Flterstörungen Beheb. von Flterstör. mt epo.scharfer GPS-Stabw. Evaluaton von Flteransätzen und -varanten mttels Smulaton Evaluaton von Flteransätzen und -varanten anhand realer GPS- Ausreßer Eemplarsche Evaluaton von ausgewählten Aspeten der Modellentwclung Beurtelung der Flteransätze und der Maßnahmen zur Behebung von Flterstörungen Beurtelung des Betrags der Senstvtätsanalyse zur Modellentwclung und -evaluaton Abbldung : Entwclungsschrtte und Vorgehenswese n deser Arbet Während andere Arbeten auf de Verbesserung der Postonsbestmmung m Fall von GPS-Ausfall abzelen, st der Schwerpunt deser Arbet auf de Optmerung der Fahrzeugposton bem Vorhandensen von GPS-Postonen mt gernger Qualtät, d.h. mt erhöhtem Messrauschen oder Ausreßern, gelegt. Dese Herangehenswese st auch vor dem Hntergrund gewählt, dass Hgh Senstvty GPS (HSGPS-Sensoren nzwschen martüblch snd. Der flächendecende Ensatz deser neuen Chptechnologe wrd ene zunehmende Verfügbaret von GPS-Postonen auch m nnerstädt-

10 8 Enletung schen Berech und anderen Umgebungen mt schwergen Empfangsbedngungen ermöglchen (WIESER / HARTINGER 6. Während n abschattungsfreen Berechen zuverlässge Postonen mt lener Standardabwechung erzelt werden, wrd unter schwergen Bedngungen de erhöhte Verfügbaret be glechzetgem Auftreten von höherem Messrauschen und Ausreßern errecht (EISFELLER et al. 5, LACHAPELLE et al. 4. Der n deser Arbet aufgegrffene und weter modfzerte Ansatz zur Fahrzeugpostonsbestmmung basert auf enem Multsensorsystem, das sch an de aufgrund der Fahrscherhet (Ant-Blocersystem (ABS und Eletronsches Stablserungsprogramm (ESP berets m Fahrzeug verfügbare Sensor anlehnt und damt m Low-Cost Berech angesedelt st. De her angestrebte Optmerung soll mt Hlfe ener orreten stochastschen Modellerung der n das Flter engehenden GPS-Postonen errecht werden. Zel deser Vorgehenswese st ene verbesserte Deteton von Flterstörungen und deren Behebung. Zwe Ansätze werden verfolgt: Berücschtgung zetlcher Korrelatonen der GPS-Postonen n enem Formflter-Ansatz Enführung von epochenscharfen GPS-Standardabwechungen n das stochastsche Modell des Flters Zur Ermttlung des Potenzals ener verbesserten Deteton von Flterstörungen und ener Stegerung der Testgüte m Kalman-Flter durch de Enführung ener orreten stochastschen Modellerung von GPS-Postonen snd als Evaluatonsonzept zwe verschedene Untersuchungen vorgesehen: Zum enen erfolgt de Beurtelung der entwcelten Flter-Ansätze auf Bass von Smulatonen und anschleßender Varanz- und Senstvtätsanalyse. Zum anderen werden umfangreche reale Messfahrtdaten für de Untersuchung der Flter-Ansätze herangezogen. Ene wetere Zelsetzung deser Arbet st es, den Betrag der Varanz- und Senstvtätsanalyse zur Modellentwclung und -evaluaton zu ermtteln. Deses gescheht nach folgender Vorgehenswese: De Ergebnsse der Varanz- und Senstvtätsanalyse werden mt denen der Varanzfortpflanzung für enfache Bespele der Puntbestmmung bs hn zur Auswertung m Kalman-Flter verglchen. An zwe Bespelen aus der Fahrzeugpostonsbestmmung wrd de Anwendung der Varanz- und Senstvtätsanalyse zur Analyse der Flterwrung, der Identfaton von enflussrechen Engangsgrößen und deren quanttatver Antel an der Varanz der m Flter geschätzten Zustandsgrößen aufgezegt. De Aussagen der a pror Evaluaton mttels Varanz- und Senstvtätsanalyse bezüglch der entwcelten Flter-Ansätze werden mt der Analyse anhand realer Messfahrtdaten verglchen. Damt ann über de Beurtelung der Flter-Ansätze hnschtlch hrer Lestungsfähget ener verbesserten Deteton und Behebung von Flterstörungen hnaus das Potenzal der Varanz- und Senstvtätsanalyse als Werzeug der a pror Evaluaton von Flter-Ansätzen untersucht werden. De durchgeführten Entwclungsschrtte und de Vorgehenswese n deser Arbet snd n der Abbldung dargestellt.. Vorgehenswese Im Anschluss an de Enletung werden m zweten Kaptel de Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton, de für dese Arbet relevant snd, dargestellt. Das Modell wrd auf der Bass des Kalman-Flters entwcelt. Ausgehend vom dsreten Kalman-Flter-Algorthmus erfolgt ene Überführung auf das erweterte Kalman-Flter, dem sch de Darstellung des Formflters anschleßt. Im letzten Abschntt wrd der Ansatz für en adaptves Formflter aufgezegt. De Modellevaluaton erfolgt anhand der Methode der varanz-baserten Senstvtätsanalyse. Enletend werden de allgemenen Zelsetzungen der Senstvtätsanalyse dargelegt und de für de Arbet wchtgen Senstvtätsmaße erläutert. De her verwendeten Verfahren zur Bestmmung der Senstvtätsmaße, der Etended Fourer Ampltude Senstvty Test und das Replcated Latn Hypercube Samplng, werden urz aufgeführt. Ebenso wrd en Verfahren zur Erzeu-

11 Enletung 9 gung orrelerter Stchproben zur Smulaton des zetlch orrelerten Messrauschens der GPS-Postonen dargestellt. Das Grundlagenaptel schleßt mt engen Anmerungen zur Anwendung der Senstvtätsanalyse. Das drtte Kaptel gbt enen urzen Überblc über de Methode der Zetrehenanalyse, um darauf aufbauend de m Rahmen deser Arbet verwendeten Datensätze von nematschen DGPS-Messungen zu untersuchen. De erwartete Erhaltensnegung ann anhand der Daten nachgewesen und ene Autoorrelatonsfunton bestmmt werden. Deser Nachwes untermauert de wetere Vorgehenswese, de Entwclung enes Formflter-Ansatzes zur orreten stochastschen Modellerung ncht weßen Messrauschens m Flter. Deses Zel aufgrefend werden m verten Kaptel de dre n deser Arbet entwcelten Ansätze (Kalman-Flter, Formflter und adaptves Formflter zur Fahrzeugpostonsbestmmung sowohl hnschtlch des funtonalen als auch des stochastschen Modells dargestellt. Im fünften Kaptel wrd de Anwendung der Varanz- und Senstvtätsanalyse für de Evaluaton von Modellauswertungen gezegt. Zunächst erfolgt ene Darstellung für enfache Verfahren der Puntbestmmung m Verglech zur Genaugetsabschätzung mttels Varanzfortpflanzung. Anhand ener Überletung auf de Auswertung m Kalman-Flter wrd der Ensatz der Varanz- und Senstvtätsanalyse m Rahmen deser Arbet begründet. Im Anschluss daran werden eemplarsch ausgewählte Aspete der Modellentwclung mt Hlfe der Varanz- und Senstvtätsanalyse untersucht und de Bedeutung hrer Ergebnsse aufgezegt. Im sechsten Kaptel werden de m Rahmen deser Arbet entwcelten Flter-Ansätze untersucht. Als Evaluatonsonzept st sowohl ene Varanz- und Senstvtätsanalyse als auch ene Analyse anhand realer Messfahrtdaten vorgesehen. Für de Varanz- und Senstvtätsanalyse werden n Anlehnung an n emprschen Daten auftretende Ausreßercharatersten verschedene Szenaren mt GPS-Ausreßern smulert. Be der Evaluaton der Flter-Ansätze mt emprschen Fahrtdaten wrd der Schwerpunt ebenfalls auf de Untersuchung von n mt GPS-Ausreßern gelegt. De Evaluaton mt smulerten und emprschen Daten wrd genutzt, um den Betrag der Varanz- und Senstvtätsanalyse für de Modellentwclung und -evaluaton zu beurtelen. De Arbet schleßt mt ener Zusammenfassung: De anhand der realen Messfahrtdaten nachgewesene zetlche Korrelaton der vorlegenden DGPS-Postonslösungen führt n ener daraus abgeleteten Formflter-Modellerung zu ener verbesserten Deteton von Flterstörungen. De Enführung epochenscharfer GPS-Standardabwechung bewrt ene verbesserte Zustandsschätzung. De Varanz- und Senstvtätsanalyse zegt deselben Ergebnsse, we se aus realen Fahrtdaten abgeletetet werden önnen. Damt bestätgt sch de Lestungsfähget der Varanz- und Senstvtätsanalyse als a pror Werzeug für de Modellentwclung und -evaluaton. In enem Ausblc werden wetere möglche Arbetsfelder n desem Themenumfeld benannt.

12 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton. Kalman-Flter Das Kalman-Flter st en ncht nur n der Geodäse wet verbreteter Auswertealgorthmus, der 96 von R. E. Kalman (KALMAN 96 dargelegt worden st. Wetere Darstellungen fnden sch z.b. n GELB (974, SCHRICK (977 und HEUNECKE (995. Das Flter wrd m Wesentlchen charatersert durch de gewchtete Zusammenführung von a pror funtonal beschrebenem Modellverhalten (Systemglechungen und zu enem bestmmten Zetpunt ermttelten Beobachtungen (Messglechungen (HEUNECKE 995, WELSCH et al.. De Schätzung m Kalman-Flter st erwartungstreu, west mnmale Varanz auf und st damt optmal (SCHRICK Dsretes Kalman-Flter In desem Abschntt erfolgt ene Darstellung des dsreten Kalman-Flter-Algorthmus, d.h. es wrd von enem dsret formulerten Systemverhalten und Beobachtungen zu dsreten Zetpunten ausgegangen. De Nomenlatur folgt n Anlehnung an HEUNECKE (995 und WELSCH et al. ( der n der Geodäse üblchen Schrebwese. Der Vetor der Zustandsgrößen enthält de das System beschrebenden Größen und de Systemglechung st mt T B u C w (.. gegeben. Im Fall lnearer Systemglechungen snd de Matrzen T, B und C zetnvarant und werden her ohne Inde geschreben. Se haben de folgende Bedeutung: De Transtonsmatr T modellert das Übertragungsverhalten des Systems vom Zetpunt t auf den Zetpunt t, de Stellgrößenmatr B beschrebt den determnstschen Enfluss der Stellgrößen u auf das Übertragungsverhalten und mt der Störgrößenmatr C werden ncht determnstsch modellerte, äußere Fehlerenflüsse w berücschtgt. In den Messglechungen wrd der funtonale Zusammenhang zwschen den Beobachtungen l (Messdaten und den Zustandsgrößen durch de Konfguratonsmatr A beschreben: l A ε (.. De Umsetzung des Kalman-Flters n ener onreten Anwendung führt auf den folgenden Algorthmus: Zur Prädton der Zustandsgröße aus der n der vorhergehenden geschätzten Zustandsgrößen wrd de Formel (.. herangezogen, wobe de ren stochastsch modellerte Störgröße w st: T B u (..3 De Kovaranzmatr der prädzerten Zustandsgrößen - m Folgenden urz Kovaranzmatr der Prädton genannt - ergbt sch mt Hlfe der Kovaranzfortpflanzung für de Formel (.. we folgt: Darn snd Σ,, Σuu Σ ww Σ T Σ T B Σ B C Σ C T T T,, uu ww (..4 und de zu den entsprechenden Größen zugehörgen Kovaranzmatrzen. De Innovaton ergbt sch aus der Dfferenz zwschen den zum Zetpunt t vorlegenden Beobachtungen l und den mt den Systemglechungen auf denselben Zetpunt prädzerten Zustandsgrößen, de mt Hlfe der Konfguratonsmatr A n den Beobachtungsraum transformert werden: De zugehörge Kovaranzmatr der Innovaton lautet: d l A (..5 T Σdd Σll A Σ, A (..6

13 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton u B ε w C A l T t t Abbldung : Darstellung des Kalman-Flters Treten ene sgnfanten Innovatonen auf, entsprcht das n der Systemglechung formulerte Verhalten der durch de Messglechung repräsenterten Realtät, d.h. System- und Messglechungen snd verträglch (HEUNECKE 995; WELSCH et al.. Der Globaltest wrd auf Bass der Innovatonen durchgeführt. Dese enthalten den Wderspruch zwschen den prädzerten Zustandsgrößen und den vorlegenden Beobachtungen (PELZER 987: s T, d Σddd s n s Fn, f mt f : Anzahl der Frehetsgrade n s n : Anzahl der Beobachtungen n der t Fn, f : Quantl der Fsher-Vertelung (..7 Nach deser Überprüfung erfolgt de optmale Schätzung durch Aufdateren der Zustandsgrößen, ndem de Prädton und de Beobachtungen über de Verstärungsmatr gewchtet zusammengeführt werden: mt der Verstärungsmatr K d (..8 K (..9 T Σ, A Σdd De Kovaranzmatr der aufdaterten Zustandsgrößen st: T Σ, Σ, K Σdd K (.. Damt st der Kalman-Flter-Algorthmus vollständg angegeben: Nach dem Aufstellen der System- und Messglechungen (Formeln (.. und (.. st mt den Formeln (..3 bs (.. ene reursve optmale Schätzung des Systems bzw. der Zustandsgrößen möglch. Deses st schematsch n der Abbldung dargestellt... Erwetertes Kalman-Flter Das Kalman-Flter lefert ene optmale Schätzung der Zustandsgrößen für lneare System- und Messglechungen (KALMAN 96. Be der Anwendung der Fltertechn zur Modellerung realer Systeme wrd dese Voraussetzung häufg ncht oder nur telwese erfüllt, so dass entgegen der vorausgesetzten Lneartät ncht-lneare Glechungen vorlegen (SCHRICK 977; WELCH / BISHOP 995. Deses st nsbesondere der Fall für de m Rahmen deser Arbet behandelten Bewegungsglechungen enes Fahrzeugs. Da her de Modellerung der Fahrzeugbewegung (vgl. WANG (997; AUSSEMS (999 ausschleßlch ren geometrsch erfolgt, bezehen sch de folgenden Darstellungen auf ncht-lneare

14 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton geometrsch ablet- und nterpreterbare funtonale Zusammenhänge. Ene allgemengültge Darstellung zur Abletung der Kalman-Flter Glechungen n desem Kontet fndet sch n EICHHORN (5. Das Vorlegen ener Ncht-Lneartät lässt sch formelmäßg ausdrücen, ndem n den Glechungen (.. und (.. de Terme T, B u und A durch de (ncht-lnearen Funtonen f ( (, (, t, b, u und a ( ersetzt werden: f, ( t, (, b, ( u C, w (.. l a ( ε (.. Da de Störgröße ren stochastsch mt Erwartungswert w behandelt wrd und somt ene Auswrung auf de Prädton nach Formel (..3 hat, erfolgt für C an deser Stelle ene eplzte Modellerung enes ncht-lnearen, Zusammenhangs. De erforderlche Lnearserung wrd durch Taylor-Rehen Entwclung für de System- und Beobachtungsglechungen an der Stelle der geschätzten bzw. prädzerten Zustandsgrößen errecht, wodurch das Kalman-Flter n das erweterte Kalman-Flter (Etended Kalman-Flter überführt wrd (GELB 974; SCHRICK 977. Deses führt her durch Erweterung der Darstellung n (CHUI / CHEN 999 auf de Formeln: f, ( ( (, ( ( (, ( t, ( b, u f, t, b, u T, B, u u... (..3 a ( ( ( a A... (..4 De Jaob-Matrzen blden sch we folgt: T, B A, f f,, ( t a (, ( t, (, b (, b u,, ( u ( u u u (..5 Unter Vernachlässgung von Termen höherer Ordnung ergbt sch en appromertes lneares Modell, wobe der verblebenden Appromatonsungenauget durch ene entsprechende Anpassung der stochastschen Modellerung für de Störgröße w Rechnung getragen wrd: T, B, u C, w (..6 l A ε (..7 Damt ergbt sch der m Folgenden dargestellte Algorthmus des erweterten Kalman-Flters. De n den Matrzen T,, B, und A enthaltene Abhängget von der atuellen Zustandsschätzung bzw. -prädton führt dazu, dass de Matrzen m Algorthmus telwese ncht mehr zetnvarant snd. Des wrd durch ene entsprechende Indzerung mt bzw. deutlch gemacht, de bem onventonellen Kalman-Flter üblcherwese vernachlässgt wrd (vgl. Abschntt... De Prädton des Systemzustands erfolgt mttels der ncht-lnearen Systemglechungen: f, ( t, (, b, ( u (..8 De Kovaranzmatr der Prädton behält be dsreter Darstellung der Systemglechungen hre ursprünglche Form: Σ T T T, T, Σ, T, B, Σ, B, C, Σ ww, C, De Innovaton und hre Kovaranzmatr werden zu uu (..9

15 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton 3 De Verstärungsmatr bldet sch nach d l a ( (.. T dd, Σll A Σ, A Σ (.. T T Σ, A ( Σll A Σ, A K (.. De Schätzung der aufdaterten Zustandsgrößen und der zugehörgen Kovaranzmatr lautet: K ( l a ( (..3 T, Σ, K Σdd, K Σ (..4 De Formel (..4 führt dazu, dass de m erweterten Kalman-Flter errechbare Schätzgenauget von der atuellen Zustandsschätzung abhängg st (GELB 974. Das erweterte Kalman-Flter geht be lnearem Systemverhalten und lnearen Messglechungen zum onventonellen Flter über (GELB 974. In der Abbldung 3 st ene schematsche Darstellung des erweterten Kalman-Flters gegeben. u B, ε w C, A l T, t t Abbldung 3: Darstellung des erweterten Kalman-Flters, nach LIN (99..3 Formflter De Standardformulerung des Kalman-Flters setzt für Mess- und Systemrauschen weßes Rauschen voraus (KALMAN 96; SCHRICK 977; WELCH / BISHOP 995. Weßes Rauschen wrd m Frequenzberech durch ene onstante Lestungsdchte für alle belebg dcht aufenander folgenden Frequenzen charatersert, des ommt aufgrund der daraus resulterenden ncht beschränten Sgnallestung n der Realtät ncht vor (SCHLITT / DITTRICH 97; SCHLITT 99. De Annahme weßen Rauschens für pratsche Anwendungen st zulässg, wenn de Lestungsdchte des Rauschens unterhalb der Grenzfrequenz des Systems hnrechend onstant, d.h. de Korrelatonszet des Rauschens len gegenüber der m System nteresserenden Zet st (BRYSON / JOHANSEN 965; SCHRICK 977; HUEP 986; HEUNECKE 995. Legt deser Fall ncht vor, st von enem zetlch orrelerten Rauschprozess auszugehen, der durch enen Formflter als Erweterung der Standardformulerung des Kalman-Flters zu modelleren st (SCHRICK 977; HUEP 986. Deser ermöglcht ene Aufspaltung des Rauschprozesses n enen nformatven und enen ncht-nformatven Antel, so dass der nformatve Antel funtonal modellert und als zusätzlche Zustandsgröße (State Vector Augmentaton dem System hnzugefügt werden ann (HEUNECKE 995. Der so modellerte ncht weße Rauschprozess wrd nur noch von enem weßen Rauschen angeregt (GELB 974; ISERMANN 988, so dass das Formflter-erweterte Kalman-Flter de standardmäßg geforderten Voraussetzungen erfüllt und auf onventonelle Wese weterbehandelt werden ann (HUEP 986; SCHLITT 99. Es werden farbge und rote Rauschprozesse unterscheden, deren charaterstsche Egenschaften und de Modelle zu hrer Beschrebung fnden sch z.b. n TAUBENHEIM (969.

16 4 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton Formulerungen für de Formflter-Erweterung fnden sch sowohl für orrelertes System- und/oder Messrauschen als auch für Abhänggeten zwschen System- und Messrauschen, de unterschedlch zu behandeln snd. Als Quellen herzu seen GELB (974, BRAMMER / SIFFLING (994 und GREWAL / ANDREWS ( genannt. De folgenden Darstellungen beschränen sch auf den Fall orrelerten Messrauschens, wobe deses aus enem orrelerten (nformatven und enem ncht orrelerten (ncht-nformatven Antel zusammengesetzt se, und stützen sch auf HUEP (986, der den her behandelten Fall an enem onreten Bespel anschaulch darlegt. Ausgangspunt für de Modellerung des Formflters snd gemäß Abschntt.. de System- und Messglechungen (..6 und (..7. De Korrelaton des Messrauschens führt dazu, dass zum Zetpunt t ncht de Beobachtungen l, sondern de um den orrelerten Antel beenflussten Beobachtungen l ' vorlegen: l (..5 ' c l ε Dadurch wrd de Messglechung (..7 zu ' ' l A ε (..6 ' mt als systematsch verfälschte Zustandsgrößen. Zur Schätzung der unverfälschten Zustandsgrößen st ene Berengung der vorlegenden Beobachtungen erforderlch: l (..7 ' c A ε ε c Da ε en weßes und ε en orrelertes Rauschen beschrebt, önnen bede Antele ncht zu enem entsprechend vergrößertem Messrauschen zusammengefasst werden, sondern das orrelerte Messrauschen wrd als Formflter- Erweterung beschreben (GELB 974, CHUI / CHEN 999: ε (..8 c c c c c T, ε C, w c c De Transtonsmatr T, modellert das zetlche Verhalten des farbgen Rauschprozesses und w se en weßes Rauschen. Wrd das orrelerte Rauschen mt c c ε als Zustandsgröße aufgefasst, ann Formel (..8 als c w (..9 c c c c T, C, geschreben werden. De Erweterung der Zustandsgrößen und der Systemglechungen mt dem Formflter ergbt sch we folgt: c e T, c T, e T, c e B B, e, u u e C, c C, e C, w w w c e bzw. (..3 Für de erweterte Messglechung glt: l ' l ' A A A e c c e ε ε bzw. (..3 Für de Kovaranzmatr der Prädton ergbt sch aus Formel (..3: Σ, T, C T, c, C Σ c,, Σ Σ ww c c Σ, c w w T c T, C T T, c T, C B c T,, Σ uu B T, (..3

17 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton 5 De erweterten Matrzen werden n dem m Abschntt.. beschrebenen Kalman-Flter-Algorthmus ersetzt und es ergbt sch: d d bzw. ' e e l A ' c c l A A (..33 Σ (..34 e e T dd, Σll A Σ, A K (..35 e T Σ, A Σdd, e e K d bzw. e e ' c K ( l A A c (..36 Σ (..37 T, Σ, K Σdd, K Der dargestellte Algorthmus verdeutlcht de Wrung der Formflter-Erweterung auf de Zustandsschätzung. In der Formel (..3 wrd der orrelerte Rauschantel ebenso we de anderen Zustandsgrößen prädzert. Mt Hlfe der Prädton erfolgt ene Berengung der Beobachtung (vgl. Formel (..33, so dass de aufdaterte Schätzung n Formel (..36 vom Enfluss der Korrelaton befret st. Glechzetg erfolgt n jeder Flterepoche n üblcher Form ene Schätzung der erweterten Zustandsgrößen, dem orrelerten Antel. De Komponenten des Formflters snd n der Abbldung 4 schematsch dargestellt. u B, ε w C, Erwetertes Kalman-Flter T, t t A c ε l c w c C, c c A Formflter Formflter-erwetertes Kalman-Flter c T, c t t Abbldung 4: Darstellung des Formflters, nach SCHEDING ( Adaptves Formflter Das m Kalman-Flter aufgestellte Modell stellt unter mehreren Geschtspunten nur ene genäherte Beschrebung des realen Systems dar. Deses st zum enen dadurch bedngt, dass de realen Vorgänge nur ungenau beannt snd, und zum anderen, dass sch dese ncht vollständg mathematsch beschreben lassen. Des Weteren sollte der zur Beschrebung gewählte Ansatz hnschtlch der Handhabbaret und Beherrschbaret des Modells nur ene vertretbar große Anzahl von Parametern aufwesen.

18 6 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton De Systemglechungen önnen de Modellbeschrebung beenflussende Koeffzenten aufwesen, de ncht Tel der egentlchen Zustandsschätzung snd, aber dennoch nur näherungswese beannt und ncht varanzfre snd (HEUNE- CKE 995. Dese unbeannten Prozessoeffzenten önnen zusammen mt der egentlchen Zustandsschätzung m adaptven Flter-Algorthmus bestmmt werden (SCHRICK 977. Im dsreten Fall wrd das adaptve Flter durch ene Zustandserweterung realsert (HEUNECKE 995. Aus der gewöhnlchen Systemglechung (Inde g mt der beannten Form g g g g g g,,, w C u B T (..38 und der erweterten Glechung der Prozessoeffzenten (Inde p, de mt ener Zufallsbewegung enen Random Wal Prozess beschreben und für de en Rauschen angenommen se (HEUNECKE 995, p p p p w C (..39 ergbt sch das gemensame Modell: p p g p g p g,,, ( w w u ψ (..4 In der oberen Zele der Formel (..4 wrd de Abhängget der gewöhnlchen Glechungen von den Prozessoeffzenten deutlch. Das lnearserte Modell ergbt a a a a a a a p g p gp g g p g p gp g p g,,,,,,,, w C u B T w w I C C u B I T T bzw. (..4 Darn st mt p p I C, jeder adaptven Zustandsomponente p en ndvduelles Rauschen p w zugeordnet. De Jaob-Matr bldet sch we folgt p p p g p g gp,,,, ( w u ψ T (..4 und es glt gp gp,, C T (HEUNECKE 995. De Messglechung st: p g ε A l (..43 De Übertragung der Glechungen der adaptven Flterung auf de n Abschntt.. beschrebene Formflter- Erweterung erfolgt derart, dass ene Bestmmung der Koeffzenten des modellerten Rauschprozesses möglch wrd. Dafür wrd de Hyperstrutur der Formel (..3 n de Hyperstrutur der Formel (..4 engesetzt; d.h. de gewöhnlche Glechung enthält das Kalman-Flter mt Formflter-Erweterung und de adaptve Flterpartton enthält de Prozessoeffzenten (vgl. Abbldung 5: p c p cp c p c p cp c p c,,,,,,, w w w I C C C u B I T T T bzw. p p p p p cp c c p cp c c p c,,,,,,, w I I w C w C T T w C u B T (..44 De zugehörge Messglechung lautet

19 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton 7 ' c c A A ε p l bzw. l ' c c A A ε (..45 De Erweterung der Konfguratonsmatr A mt trägt dem Umstand Rechnung, dass de Prozessoeffzenten ncht beobachtbar snd. u B, ε w C, Erwetertes Kalman-Flter T, t t A c ε l Formflter c c A c w c C, c T, c t t gp C, gp T, p w p I p Adaptves Formflter p I p t t Abbldung 5: Darstellung des adaptven Formflters. Varanz-baserte Senstvtätsanalyse.. Enletung Allgemen formulert werden mt Hlfe der Senstvtätsanalyse de Bezehungen zwschen den En- und Ausgangsgrößen enes Modells analysert (SALTELLI et al. a. Dabe önnen sowohl Varanzen der Engangsgrößen als auch der Modellegenschaften und -parameter berücschtgt werden (SCHWIEGER 5. Deses ermöglcht ene Anwendung der Senstvtätsanalyse mt unterschedlchen Zelsetzungen n velen Fachdszplnen we z.b. de Analyse chemscher Modelle, Vorhersagen zur Bevölerungsentwclung und m Berech der Besetgung von radoatvem Abfall. Ene Unterglederung und Erläuterung der allgemenen Zele der Senstvtätsanalyse Modellvalderung, Modelloptmerung, Identfaton wchtger Engangsgrößen,

20 8 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton Identfaton von Modellegenschaften und Rsobewertung fndet sch n SALTELLI et al. (a. Pratsche Bespele dazu snd n SALTELLI et al. (a und (4 dargestellt, sowe den Proceedngs der Konferenzen Internatonal Symposum on Senstvty Analyss of Model Output, z.b. SAMO (4, zu entnehmen. SCHWIEGER (5 setzt de n den vorangehend genannten Lteraturquellen defnerte Senstvtätsanalyse n hrem allgemenen Verständns n den Kontet der Ingeneurgeodäse und dem dort verbreteten Begrff der Senstvtät. Er zegt de onzeptonellen Unterschede auf, de m Wesentlchen aus der loalen Betrachtungswese (lener Unscherhetsberech nnerhalb lnearserter Modelle n der Geodäse resulteren. Das Potenzal ener hnschtlch der Unabhängget von den Modellegenschaften allgemengültger anzuwendenden globalen Senstvtätsanalyse für ngeneurgeodätsche Anwendungen wrd auf der Bass von SALTELLI et al. (a beschreben. Über de n der Ingeneurgeodäse engesetzten lnearserten analytschen Verfahren zur Genaugetsschätzung hnaus hat de Senstvtätsanalyse auch für ncht-addtve Modelle de folgenden Egenschaften: Im Gegensatz zu loalen Methoden, de auf partellen Abletungen baseren, bestzt de globale Senstvtätsanalyse Gültget über den gesamten Modellberech und ncht nur n enem loalen Berech um enen Näherungswert. Globale Methoden snd ncht auf de glechzetge Änderung nur ener Engangsgröße beschränt, so dass Abhänggeten zwschen den Engangsgrößen berücschtgt werden önnen. De varanz-baserte Senstvtätsanalyse gehört zu den Methoden der globalen Senstvtätsanalyse und betet folgende wetere Egenschaft: Unabhängg von Modellegenschaften we Lneartät, Addtvtät und Monotone snd ncht nur qualtatve sondern auch quanttatve Aussagen hnschtlch der Zuordnung der Varanz der Engangsgrößen zu denen der Ausgangsgrößen möglch, vgl. CAMPOLONGO et al. (, SALTELLI ( und SCHWIEGER (5. Auf SCHWIEGER (5 aufbauend werden n der vorlegenden Arbet aufgrund der Betrachtung ncht-addtver Modelle ausschleßlch varanz-baserte Senstvtätsanalysemethoden aufgegrffen, de ene Untergruppe der stchprobenbaserten oder Monte-Carlo Methoden darstellen. De resulterenden Senstvtätsmaße werden auf Bass von Stchproben erzeugt, de de Grundgesamthet nnerhalb des ndvduellen Werteberechs der Engangsgrößen wderspegeln (SCHWIEGER 5. Im Rahmen deser Arbet erfolgt de Anwendung der Senstvtätsanalyse für ene a pror Evaluaton von Flter- Ansätzen für de Postonsbestmmung bewegter Objete. De behandelten Fragestellungen umfassen hnschtlch der Senstvtätsanalyse de Identfaton von wchtgen Engangsgrößen und Modellegenschaften sowe de Modelloptmerung. De Modellvalderung als Untersuchung der Überenstmmung von Realtät und Modell erfolgt auf Bass des umfangrech vorlegenden Datenmaterals aus ver Messfahrten mt enem Multsensorsystem zur Fahrzeugpostonsbestmmung. Im Wesentlchen ommt de Senstvtätsanalysemethode Etended Fourer Ampltude Senstvty Test (s. Abschntt..3 zum Ensatz. Zur Berücschtgung der n deser Arbet ermttelten zetlchen Korrelatonen für de GPS-Postonen (vgl. Kaptel wrd de Methode Replcated Latn Hypercube Samplng engesetzt (s. Abschntt..4, da se de Erzeugung orrelerter Stchproben ermöglcht. Damt wrd m Rahmen der Senstvtätsanalyse ene orrete Smulaton der stochastschen Egenschaften der Engangsgrößen errecht und de smulerten Ergebnsse önnen m Verglech zu den emprschen beurtelt werden. De aus den Ergebnssen der Senstvtätsanalyse getroffenen Aussagen snd be Verwendung der Methode des Replcated Latn Hypercube Samplngs dadurch engeschränt, dass de Methode streng genommen nur für addtve Modelle gültg st. Deses wrd n den folgenden Abschntten deutlch gemacht und m Abschntt 6. entsprechend berücschtgt.

21 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton 9.. Senstvtätsmaße De varanz-baserte Senstvtätsanalyse basert auf der Zerlegung der Varanz der Ausgangsgrößen n Abhängget von der Varanz der Enflussgrößen, we Engangsgrößen oder Modellparametern, und damt auf der Berechnung von bedngten Varanzen. In desem Abschntt erfolgt ene urze Darstellung der wesentlchen Zusammenhänge zur Bestmmung der Senstvtätsmaße, um de spätere Anwendung und Interpretaton zu verdeutlchen. Für weterführende Lteratur se auf SALTELLI et al. (a, SALTELLI et al. (4 und SCHWIEGER (5 verwesen. Allgemen ann en belebges Modell durch den folgenden funtonalen Zusammenhang dargestellt werden: y f (, mt T K n (.. Her wrd n Anlehnung an de allgemen gebräuchlche Darstellung de mathematsche Notaton engeführt, so dass nsbesondere de Größe ene andere Bedeutung als m Abschntt. hat. Für ene bessere Überschtlchet der folgenden Darstellungen se de Ausgangsgröße y en Salar, de von n Engangsgrößen abhängt. De Varanz der Ausgangsgröße se bezechnet mt V (y und benhaltet den Enfluss der Varanz aller Engangsgrößen. Der Enfluss der Varanz ener Engangsgrößen X auf de Varanz der Ausgangsgröße wrd bestmmt, ndem de Reduton der Varanz der Ausgangsgröße ermttelt wrd, wäre der wahre Wert deser Engangsgröße beannt (SALTELLI / TARANTOLA. De zugehörge reduzerte Varanz lässt sch formelmäßg beschreben durch V y X (.. ( und gbt mt obger Festlegung de Varanz der Ausgangsgröße y aufgrund aller Engangsgrößen außer X an. Zur Identfaton ener enflussrechen Engangsgröße st dejenge gesucht, für de der Ausschluss hrer Varanz zur größten Reduton der Varanz der Ausgangsgröße führt, für de de reduzerte Varanz V ( y X also den lensten Wert annmmt. Da der wahre Wert von X ncht beannt st, wrd de erwartete reduzerte Varanz als Mttelwert über alle möglchen Werte von berechnet (SALTELLI / TARANTOLA. Man erhält den Erwartungswert der reduzerten Varanz von y, wenn X am wahren Wert festgehalten werden önnte (CHAN et al. 997: [ y E[ V ( y X ] E( y X ] f ( y dy f ( d y X X (..3 mt dem bedngten Erwartungswert von y E( y X y f y X ( y dy (..4 De bedngte Wahrschenlchetsdchtefunton von Y, wenn X gegeben st und de beden Zufallsvarablen X und Y ene gemensame Wahrschenlchetsdchtefunton f X, Y (, y bestzen, st defnert für alle Y und für alle X mt f X ( > (PARZEN 96: f y X ( y f X,Y (,y f ( X f f X,Y X,Y (,y (,y dy (..5 De Abhängget von n der nneren Varanz n Formel (..3 wrd ncht mehr dargestellt, da se durch de äußere Mttelbldung aufgehoben wrd (SALITELLI et al. 4. In Worten formulert ergbt sch der Erwartungswert der reduzerten Varanz, ndem für jeden festgehaltenen Wert von de Varanz aufgrund der anderen Engangsgrößen bestmmt und dese dann über alle Werte von gemttelt wrd. Dese Vorgehenswese charatersert allgemen de Methoden der globalen Senstvtätsanalyse und st unter dem Begrff der mehrdmensonalen Mttelbldung beannt (SALTELLI. De Gesamtvaranz V (y setzt sch entsprechend der Varanzzerlegung (PARZEN 96 we folgt zusammen: V ( y V[ E( y X ] E( V[ y X ] (..6

22 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton V E( y X ] st de Varanz des bedngten Erwartungswertes bzw. bedngte Varanz: [ V[ E( y X ] [ E( y X E( y] f ( d (..7 Der erste Term der rechten Sete von Glechung (..6 beschrebt de Unscherheten n der Ausgangsgröße aufgrund der Engangsgröße X und de erwartete reduzerte Varanz nach Formel (..3 entsprcht enem Restterm, der alle Unscherheten enthält, de ncht auf dese Engangsgröße zurüczuführen snd. Das snd entsprechend obger Ausführungen Unscherheten aufgrund der anderen Engangsgrößen (CHAN et al.. Da V (y onstant st, entsprcht mt Glechung (..6 de Suche nach enem lenen E ( V[ y X ] zur Bestmmung ener enflussrechen Engangsgröße der Suche nach enem großen V [ E( y X ]. De Bedeutung deser Größe st der Glechung (..7 zu entnehmen. Se bestmmt den Enfluss des Werteberechs von X auf y, d.h. n welchem Maß E ( y X der Ausgangsgröße y entsprcht. Wenn de gesamte Varaton von y durch de Veränderung von E ( y X über den Werteberech von X hervorgerufen wrd, dann st X de enzge wchtge Engangsgröße. De Varaton von E y X wrd gerade durch ( V[ E( y X ] bestmmt (CHAN et al.. Damt ergbt sch das mt Hlfe der Gesamtvaranz V (y normerte erste Senstvtätsmaß, der Senstvtätsnde. Ordnung: V[ E( y X ] S (..8 V ( y Mt den Senstvtätsndzes. Ordnung önnen de Engangsgrößen unabhängg von Modellegenschaften nach hrer Wchtget prorsert werden. Ene quanttatve Abschätzung des Enflusses der Engangsgrößen auf de Varanz der Ausgangsgröße st mt den Senstvtätsndzes. Ordnung für ncht-addtve Modelle ncht möglch, da Effete höherer Ordnung zu berücschtgen snd, de aufgrund von m Modell entstehenden Abhänggeten zwschen den Engangsgrößen erzeugt werden (SCHWIEGER 5. Deses führt zur Bestmmung der Gesamteffete, auf de m Folgenden übergeletet wrd. Auf der Bass ener Funtonszerlegung für Formel (.. stellt SOBOL (993 de Gesamtvaranz V (y für stochastsch unabhängge Engangsgrößen dar als V n n n n n n ( y V Vj Vj Vj..n (..9 j j j Für de Effete erster und höherer Ordnung glt (SALTELLI et al. 4 V V[ E( y X ] V j V[ E( y X, X ] V V j j (.. V j V[ E( y X, X, X ] V j j V V j V V V j und so weter. V [ E( y X, X j ] st der gemensame Effet von X und X j und V j beschrebt als Effet zweter Ordnung den Enfluss aufgrund der Abhängget zwschen X und X j, der ncht durch de Summe der enzelnen Effete von X und X j allen erlärt st (SALTELLI / TARANTOLA ; CHAN et al.. In Analoge zu Formel (..8 ergeben sch aus (..3 de Senstvtätsndzes höherer Ordnung zu S S j j V[ E( y X, X ] V V ( y V[ E( y X, X, X j j V ] V j j V V ( y V j V V V j (.. bzw. allgemen

23 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton Vj...n Sj...n (.. V (y Aus Formel (..9 ergbt sch unabhängg von den Modellegenschaften für stochastsch unabhängge Engangsgrößen folgender Zusammenhang (SOBOL 993: n n n S Sj Sj Sj..n (..3 j n n n j j Dese Zerlegung ermöglcht de Berechnung des zweten Senstvtätsmaßes, des Gesamteffets S T ener Engangsgröße, der aus den Senstvtätsndzes verschedener Ordnungen gebldet wrd und somt de Abhänggeten zwschen den Engangsgrößen berücschtgt (HOMMA / SALTELLI 996: S T n n S S S... j j j j j n... S j..n (..4 An Stelle der aufwendgen Berechnung aller Senstvtätsndzes höherer Ordnungen, de X enthalten, wrd auf de Berechnung der Varanz des bedngten Erwartungswertes V [ E( y X ] für alle Engangsgrößen außer X übergegangen. Nach SALTELLI / BOLADO (998 glt: V [ E( y X ] V[ E( y X,,..,,,..., n] (..5 Damt lässt sch unter Ausnutzung der Dfferenz zwschen der Summe der Senstvtätsndzes aller Ordnungen und dem Gesamteffet für X (Formeln (..3 und (..4 und der allgemenen Bezehung zur Varanzzerlegung (..6 n Analoge zu Formel (..8 ableten: S V[ E( y X ] E( V[ y X ] (..6 V ( y V ( y T Wobe durch den letzten Ausdruc n (..6 de Bedeutung des Gesamteffets anschaulch lar wrd: E ( V[ y X ] st de erwartete Varanz der Ausgangsgröße, de sch ergeben würde, wenn alle Engangsgrößen außer X fest oder beannt wären (SALTELLI et al. b; SALTELLI et al. 4. Demzufolge steht en großer Gesamteffet für ene enflussreche Engangsgröße X und en lener Gesamteffet für ene unbedeutende Engangsgröße X. Im Folgenden seen enge Anmerungen zu den Informatonen gemacht, de sch aus den beden Senstvtätsmaßen und den formelmäßgen Zusammenhängen ableten lassen. Für addtve Modelle werden alle höheren Ordnungen n (..9 bzw. (..3 zu Null, da ene Abhänggeten zwschen den Engangsgrößen bestehen (SALTELLI et al. 4, so dass glt n für addtve Modelle: S und S ST (..7 Umgeehrt führt de Vernachlässgung von Abhänggeten zwschen den Engangsgrößen n ncht-addtven Modellen entsprechend Formel (..3 dazu, dass n für ncht-addtve Modelle: S < (..8 De Summe aller Gesamteffete führt, da alle Senstvtätsndzes höherer Ordnung mehrfach n de Berechnung von (..4 enfleßen (SOBOL 993; SALTELLI et al. b, auf n für ncht-addtve Modelle: S T > (..9

24 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton De m Kaptel 4 getroffenen Aussagen stützen sch überwegend auf de Betrachtung der Gesamteffete, wobe de Engangsgrößen zu Gruppen zusammengefasst werden, vgl. SCHWIEGER (5. De Senstvtätsmaße behalten bezogen auf de Engangsgrößengruppe hre Gültget (s. SOBOL 993; CHAN et al.. De m Abschntt 6. durchgeführten Untersuchungen stützen sch auf de Senstvtätsndzes. Ordnung. De emprsche Bestmmung der her analytsch engeführten Senstvtätsmaße mt Hlfe von stchproben-baserten Verfahren st mt verschedenen Methoden möglch. Im Folgenden werden de verwendeten urz beschreben...3 Etended Fourer Ampltude Senstvty Test (Etended FAST Ursprünglch geht de Fourer Ampltude Senstvty Test (FAST Methode auf CUKIER et al. (973, 975, 978 und SCHAIBLY / SHULER (973 zurüc. De Weterentwclung durch SALTELLI / BOLADO (998 und SALTELLI et al. (999 zur Etended FAST Methode ermöglcht neben der Berechnung der Senstvtätsndzes. Ordnung auch de Berechnung der Gesamteffete (vgl. Abschntt... Wesentlches Mermal der Methode st de Analyse der Senstvtät m Frequenzberech, wobe der durch de Wertebereche der Engangsgrößen aufgespannte mehrdmensonale Raum durch ene Suchurve über den gesamten Werteberech endmensonal durchlaufen wrd (CHAN et al.. Da dese Methode dentsche Ergebnsse zu den Sobol Effeten. Ordnung und Gesamteffeten lefert (SALTELLI / BOLA- DO 998, SALTELLI et al. 999, aber en besseres Konvergenzverhalten aufwest (SALTELLI et al. 999, SCHWIEGER 5, wrd se n der vorlegenden Arbet zur Bestmmung der Senstvtätsmaße herangezogen. Her erfolgt der Vollständget halber ene urze Darstellung der Methode, für vertefende Informatonen se auf de oben genannte Lteratur verwesen. Jeder Engangsgröße X wrd zufällg mttels ener Funton g ene Frequenz ω zugeordnet (SALTELLI et al. b: ( s g(sn( ω s (.. De Wahl der Frequenzen ω muss dabe so getroffen werden, dass de ω und de zugehörgen Oberschwngungen lnear unabhängg vonenander snd (SCHAIBLY / SHULER 973; SALTELLI et al Mttels deser Transformaton st de Ausgangsgröße y von dem Parameter s abhängg und Ensetzen von (.. n (.. ergbt: y f ( s f ( ( s, ( s,...,n ( s (.. y f ( s f ( g(sn( ω s, g(sn( ω s,..., g(sn( ωn s (.. Unabhängg von der Wahl der Funton g wrd mt der Varaton des Parameters s von π bs π ene Abdecung des mehrdmensonalen Werteberechs der Engangsgrößen errecht. Jede Engangsgröße X oszllert dabe perodsch entsprechend hrer Frequenz ω. Mt deser Darstellung der Ausgangsgröße y n Abhängget des Parameters s wrd de mehrdmensonale Integraton auf en Enfach-Integral zurücgeführt (CUKIER et al. 978; CHAN et al. 997; SAL- TELLI / BOLADO 998. Zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varanz der Ausgangsgröße werden Integrale der Form (SALTELLI / BOLADO 998 aufgestellt: π E ( Y π f ( s ds und (..3 π π π V ( y ( ( f s ds f s ds π (..4 π π π Aufgrund hrer Perodztät ann de Ausgangsgröße y n ener Fourer-Rehe entwcelt werden (CUKIER et al. 978; SCHWIEGER 5:

25 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton 3 mt den Fourer-Koeffzenten y f ( s A ( A cos( s B sn( s (..5 A B A π π π π π π π f ( scos( s ds f ( ssn( s ds π π f ( s ds mt,,.., (..6 Der Schätzwert V (y für de Gesamtvaranz st: V ( y ( A B (..7 Für ene enflussreche Engangsgröße west de Ausgangsgröße an der zugehörgen Frequenz und deren Oberschwngungen große Ampltuden auf (SALTELLI et al. b. Da mt Hlfe der Fourer-Koeffzenten ener bestmmten Frequenz und deren Oberschwngungen de Unscherhet der zugeordneten Engangsgröße auf de Ausgangsgröße repräsentert wrd, önnen dese als Senstvtätsmaße nterpretert werden (CUKIER et al Der Schätzwert für de bedngte Varanz ergbt sch unter der Berücschtgung von Oberschwngungen als ganzzahlge Velfache von ω bs zu ener mamalen Ordnung m zu: V m [ E( y X ] ( Ap B pω p ω (..8 Für detallerte Ausführungen zur Festlegung der Funton g und der Frequenzen ω, zu Effeten bedngt durch de Frequenzwahl, zur aus der Frequenzwahl resulterenden Stchprobengenererung und zum Vernachlässgungsfehler, der durch de Beschränung auf de Ordnung m entsteht, se auf CUKIER et al. (975 und (978 sowe SALTELLI et al. (999 verwesen. Mt den Formeln (..7 und (..8 st ene Möglchet zur Bestmmung des Senstvtätsnde. Ordnung nach Formel (..8 gegeben. De Weterentwclung zur Etended FAST Methode ermöglcht de Berechung der Gesamtndzes durch de Festlegung von omplementären Frequenzen ω, so dass das Spetrum aller Frequenzen vermndert um den Enfluss der Frequenz ω analysert werden ann (SALTELLI et al De Frequenzen werden dabe so festgelegt, dass alle ω gernge Werte aufwesen und ω enen hohen. Nähere Angaben dazu fnden sch n SALTELLI et al. (999, CHAN et al. ( und SCHWIEGER (5. En Schätzwert für de bedngte Varanz V [ E( y X ] ann we folgt angegeben werden: V m [ E( y X ] ( Ap B pω p Daraus resultert mt Formel (..7 der Gesamteffet entsprechend Formel (..6. ω ( Replcated Latn Hypercube Samplng (rlhs De Methode des replcated Latn Hypercube Samplng (rlhs ermöglcht de Berechnung von so genannten Wchtgetsmaßen, de äquvalent zu den Senstvtätsndzes. Ordnung snd (CHAN et al. ; SALTELLI et al. 4. Im Rahmen deser Arbet wrd dese Methode engesetzt, da für hre Anwendung ene stochastsche Unabhängget vor-

26 4 Grundlagen zur Modellentwclung und -evaluaton ausgesetzt st und somt de Berücschtgung von Korrelatonen zwschen den Engangsgrößen möglch st. Auf de Enführung von Korrelatonen n ene rlhs genererte Stchprobe wrd m Abschntt..5 engegangen. Es erfolgt ene urze Darstellung der Methode, weterführende Hnwese fnden sch n MCKAY (995 und (996 sowe CHAN et al. ( und SALTELLI et al. (4. Für de Genererung ener rlhs-stchprobe wrd ene LHS-Stchprobe als sogenannte Bass-Stchprobe verwendet (MCKAY 995. Ene LHS-Stchprobe st ene Matr der Größe m n, wobe jede Spalte für ene der n Engangsgrößen steht und de Anzahl der Zelen m de Größe der Stchprobe angbt. De Bass-Stchprobe se mt D bezechnet: D X X K X n, wobe m,n (..3 T K m X mt,,..., n (..3 Der Spaltenvetor ener Engangsgröße X enthält m zufällg angeordnete Werte für j ( j,,..., m, de aus glechwahrschenlchen Intervallen generert werden; nähere Beschrebungen zur LHS-Stchprobengenererung fnden sch n MCKAY et al. (979 und HELTON / DAVIS (. Aus r Wederholungen der Bass-Stchprobe, d.h. aus r unabhänggen Permutatonen der enzelnen Spalten der Matr D, wrd ene rlhs-stchprobe generert. Für de Wederholung ergbt sch: D m,n X X K X mt,, K, r n (..3 Dabe st X ene unabhängge Permutaton des Spaltenvetors X. Alle r Wederholungen werden n ener Matr zusammengefasst: r m,n T D K Dr D D (..33 Deses Verfahren der Stchprobengenererung führt dazu, dass n jeder der r Wederholungen de glechen m Werte für jede enzelne Engangsgröße enthalten snd, de aber n Bezug auf de verschedenen Engangsgrößen neu unterenander ombnert snd. Aus jeder der r Wederholung ergeben sch jewels m Werte für de Ausgangsgröße, so dass nsgesamt m r Werte für de Ausgangsgröße vorlegen. Dese werden n ener Ergebnsmatr Y abgelegt, de we folgt aufgebaut st: y y m y y y r y y M Y (..34 m,r M O M K K K mr Damt snd de m über den gesamten Werteberech ermttelten Ausgangsgrößen zelenwese sortert, während de r aus den Wederholungen genererten Ausgangsgrößen spaltenwese angeordnet snd. Für de Senstvtätsanalyse önnen alle erforderlchen Größen aus deser Gesamtstchprobe der Ergebnsmatr Y berechnet werden. Das so genannte Gesamtstchprobenmttel ergbt sch aus dem Mttelwert über alle Zelen und Spalten von Y y m r r m y j j (..35 und de Gesamtvaranz der Ausgangsgröße aus der Abwechung zum Gesamtmttel st (MCKAY 995: r m V ( y ( y j y (..36 m r j