Zusammenfassung Leistungselektronik

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1 HS2009 VL von Prof. Dr. J. W. Kolar Zusammenfassung Leistungselektronik Jonas Huber Rev. 2 bis 29, Einführung Das Tastverhältnis D ist definiert als das Verhältnis von Einschaltzeit zur Takt- Tastverhältnis periode: D = T ein T S (1) Tiefpass 1. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und hat die Übertragunsfunktion: G(jω) = jω L R (2) Tiefpass 2. Ordnung Besteht hier aus einer zur Last in Serie geschalteten Induktivität und einer parallel zur Last geschalteten Kapazität, was folgende Übertragungsfunktion ergibt: G(jω) = jω L R + (jω)2 LC (3) Spannungszeitflächengleichgewicht Das Spannungszeitflächengleichgewicht an einer Induktivität und das Ladungsgleichgewicht an einer Kapazität sind zwei wichtige Beziehungen: u L = 1 TS u L dt = 0 (4) T S 0 i C = 1 TS i C dt = 0 (5) T S 0 1

2 Abbildung 1: Tiefsetzsteller mit Eingangsstrom i 1 und Laststrom i 2 = i L i C. 2 DC/DC-Wandler 2.1 Tiefsetzsteller (Buck Converter) Kontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis Für einen stabilen Betrieb muss der Spannungsmittelwert über der Induktivität gleich Null sein. Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht t on ( ) = (T S t on ) und mit t off = T S t on folgt daher: 1 (t on ( ) t off ) = 0 = u L T S (6) = I 1 = t on = D I 2 T S (7) Das Stromübersetzungsverhältnis folgt aus der Leistungsbilanz P 1 = I 1 = I 2 = P 2. Abbildung 2: Links: Spannungszeitflächenverhältnis und Stromrippel in der Induktivität; rechts: Ausgangsspannungsrippel. 2

3 Stromrippel i Lpp = DT S = L L (1 D)T S (8) Ausgangsspannungsrippel u 2pp = Q C = i LppT S C = (1 D)TS 2 8LC Achtung: Bei linearem Verlauf von i L besteht der Ausgangsspannungsrippel aus Parabelstücken! Man kann auch die relative Schwankung der Ausgangsspannung bezüglich ihres Mittelwertes bestimmen und erhält: (9) u 2pp = 1 8 T 2 S 1 D LC ( ) 2 = π2 2 (1 D) f0 (10) f S Dabei ist f S = 1 T S f 0 = 1 2π. LC und f 0 die Eigenfrequenz des durch L und C gebildeten Filters 2. Ordnung, also Diskontinuierlicher Stromfluss in der Induktivität (Lückbetrieb) Da bei der praktischen Realisierung des Tiefsetzstellers die verwendeten Dioden negative Drosselströme verhindern, entstehen bei kleiner Last charakteristische Intervalle mit i L = 0. Man spricht dann vom lückenden Betrieb 1 des Tiefsetzers. (a) Verlauf der Lückgrenze. (b) Diskontinuierlicher Stromverlauf in der Induktivität. Abbildung 3: Diskontinuierlicher Betrieb des Tiefsetzstellers. Lückgrenze Der Drosselstrom i L beginnt dann zu lücken, wenn der lineare Mittelwert I 2 des Laststromes i 2 kleiner wird als die halbe Schwankungsbreite 1 2 i Lpp. Bei der Lückgrenze 2 erreicht der Drosselstrom am Ender der Pulsperiode gerade den Wert Null. Die Beziehung = D ist dann immer noch gültig. 1 Skript, S. 27ff. 2 Skript, S. 28ff. I 2g = 1 2 i Lpp = 2L (1 D)T S = T S D(1 D) (11) 2L 3

4 Aus di 2g dd = 0 folgt, dass I 2g für D = 0.5 maximal wird: I 2g,max = I 2g D=0.5 = T S 8L (12) Der Grenzwiderstand R g ist derjenige Widerstand, welcher als Last maximal 3 zulässig ist, um noch eine kontinuierliche Stromführung in der Induktivität zu gewährleisten. R g = I 2g = 2L (1 D)T S (13) Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht folgt für den lückenden Betrieb das Spannungsübersetzungsverhältnis gemäss: = D 1 D 1 + D 2 (14) D 1 = D kann von der Steuerung vorgegeben werden, D 2 hingegen hängt von der Lastspannung ab. Mit der Ladungsbilanz den Kondensators (i c = 0) folgt: = D 2 D ( I2 I 2g,max ) (15) Wird ausgehende von der Lückgrenze die Last verringert, d. h. der Lastswiderstand R erhöht, so steigt bei konstantem D die Ausgangsspannung an. Will man im Lückbetrieb konstante Ausgangsspannung haben, muss D wie folgt gewählt werden: D = 1 2 I 2 I 2g,max 1 = 1 2 8LU2 ( 1) R 1 T S Zusammen mit Gl. 7 kann nun das Tastverhältnis D für eine konstante Ausgansspannung über den gesamte Lastbereich angegeben werden. 2.2 Hochsetzsteller (Boost Converter) (16) Abbildung 4: Hochsetzsteller mit Eingangsstrom i 1 = i L und Laststrom i 2 = i D i C. 4

5 (a) Spannungszeitflächengleichgewicht und Stromrippel. (b) Ladungsträgergleichgewicht und Spannungsrippel. Abbildung 5: Hochsetzsteller im kontinuierlichen Betrieb Kontinuierliche Stromführung Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht DT S = ( )(1 D)T S und der Leistungsbilanz folgen das Spannungs- und Stromübersetzungsverhältnis gemäss: = I 1 = 1 bzw. D = (17) I 2 1 D Beachte, dass der Ausgangsstrom des Hochsetzters im Gegensatz zu jenem des Tiefsetzers eine schaltfrequente Pulsung aufweist und dass i L beim Hochsetzer dem Eingangsstrom entspricht. Stromrippel i Lpp = L DT S = L D(1 D)T S (18) Ausgangsspannungsrippel u 2pp = Q C u 2pp = I RDT S C = DT S RC = DT S τ = R DT S C (19) mit τ = RC (20) Diskontinuierliche Stromführung Lückgrenze I Lg = I 1g = 1 2 i Lpp = 1 2 U1 L DT S = 1 2 U2 (1 D)T S (Eingangsstrom) (21) L I 2g = 1 2 U2 L D(1 D)2 T S (Ausgangsstrom) (22) 3 Cave: Kleine Last heisst kleiner Laststrom heisst grosser Widerstand! 5

6 (a) Lückgrenze. (b) Spannungszeitflächengleichgewicht. Abbildung 6: Hochsetzsteller im diskontinuierlichen Betrieb. Aus di 2g dd = 0 folgt, dass der Strom I 2g an der Lückgrenze für das Tastverhältnis D = 1 3 maximal wird: I 2g,max = I 2g D= 1 = U2 L T S (23) Den Verlauf der Lückgrenze ergibt sich zu: I 2g = 27 I 2g,max 4 D(1 D)2 (24) Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht u L = D 1 T S + ( )D 2 T S = 0 folgt: = D 1 + D 2 D 2 (25) Das Tastverhältnis D 1 = D wird vorgegeben, D 2 hingegen kann durch Verwenden der Bedingung i C = 0 (Ladungsgleichgewicht) berechnet werden, was auf D 2 = 2L D 1 T S R führt. Für das Spannungsübersetzungsverhältnis im diskontinuierlichen Bereich findet man: 4 D = 27 ( ) U2 1 I 2 I 2g,max (26) Zusammen mit Gl. 17 kann man den ganzen Lastbereich abdecken. Bei kontinuierlichem Stromfluss ist das Spannungsübersetzungsverhältnis lastunabhänging, im diskontinuierlichen Fall hingegen muss das Tastverhältnis D bei sinkendem Laststrom I 2 verringert werden, um bei konstanter Eingangsspannung ein Ansteigen der Ausgangsspannung zu verhindern. 2.3 Tief-Hochsetzsteller bzw. Inverswandler (Buck-Boost Converter) Vorsicht: Die folgenden Beziehungen gelten für den invertierenden Tief-Hochsetzsteller, also den Inverswandler. 6

7 (a) Schaltbild. (b) Lückgrenze. Abbildung 7: Inverswandler Kontinuierliche Stromführung Spannungsübersetzungsverhältnis Aus dem Spannungszeitflächengleichgewicht u L = DT S + (1 D)T S = 0 folgt: = D 1 D bzw. D = (27) Stromübersetzungsverhältnis Das Stromübersetzungsverhältnis kann über die Leistungsbilanz P 1 = I 1 = I 2 = P 2 (beachte Zählpfeildefinition von Bild 2.37c im Skript, S. 51) berechnet werden: I 2 = 1 D (28) I 1 D Stromrippel i Lpp = L DT S = L (1 D)T S (29) Strommittelwerte bei kontinuierlicher Stromführung und im Grenzfall Diskontinuierliche Stromführung Lückgrenze 1 I 1 = I L DT S = I L D T S (30) 1 I 2 = I L (1 D)T S = I L (1 D) T S (31) I Lg = 1 2 L DT S = 2L (1 D)T S (32) I 2g = I Lg (1 D) = 1 2 L (1 D)2 T S (33) 7

8 I 2g wird für ein Tastverhältnis von D = 0 maximal und beträgt dann: I 2g,max = 1 2 L T S (34) I 2g,n = I 2g = (1 D) 2 I 2g,max (35) Spannungsübersetzungsverhältnis Bei diskontinuierlicher Stromführung beträgt das Spannungsübersetzungsverhältnis des Inverswandlers: = D D = 1 2 Zusammen mit Gl. 27 kann so der gesamte Bereich abgedeckt werden. 2.4 Übersicht über die grundlegenden DC/DC-Konverter Spannungsübersetzungsverhältnisse R L T S (36) I2 I 2g,max (37) Konverter Spannungsübersetzungsv. Eingansstrom Ausgangsstrom I 2 > I 2g I 2 I 2g Buck D = D = 1 2 Boost D = D = Buck-Boost D = D = 8L ( 1) RU1 2T S ( 4 U2 27 U 1 I2 ) 1 diskont. stetig I 2 I 2g,max stetig diskont. I 2g,max diskont. diskont Beanspruchung der Leistungshalbleiter Die Ausnutzung des Leistungstransistors (Silicon Utilization) ist definiert als das Verhältnis von Ausgangsleistung P 2 zur Bauteilleistung P T : P 2 P T = P 2 U T,max I T,max (38) Beachte, dass U T,max und I T,max nicht gleichzeitig auftreten! Der Kehrwert, P T P 2 wird als Switch Stress Factor bezeichnet. Grafik und Berechnung der passiven Komponenten siehe Skript, S. 58f. 2.5 Weitere DC/DC-Konverter Cuk-Converter = D 1 D (39) 8

9 SEPIC-Konverter = D 1 D (40) Brückenschaltung = 2D 1 (41) 3 Einphasige Gleichrichterschaltung mit sinusförmigem Netzstrom Alle diese Schaltungen haben einen unidirektionalen Leistungsfluss von der AC- zur DC-Seite. Nachfolgend wird ein DC/DC-Konverter oder ein Wechselrichter geschaltet, um die Last zu versorgen. 3.1 Einphasen-Diodengleichrichter mit kapazitiver Glättung (a) Schaltbild des Einphase-Diodengleichrichters. (b) Betriebskennlinien. Abbildung 8: Einphasen-Diodengleichrichter: Schaltbild und Betriebskennlinien. Vereinfachende Annahmen: sehr gute Glättung der Ausgangsspannung, d. h. u d U d = const. (praktische Realisierung durch Wahl von grossem C d ) Lückender Betrieb Ist die Ausgangsspannung U d nahe dem Spitzenwert Û1 der Netzsspannung so arbeitet die Schaltung im Lückbetrieb (vgl. Abb. 9(a)). Dies ist in der Regel der Normalbetrieb eines Diodengleichrichters mit kapazitiver Glättung. Ausgangsstrom der Diodenbrücke während der Einschaltdauer β: ( i d (t) = Û1 cos(α) cos(ωt) U ) d (ωt α) für α ωt α + β (42) ωl 1 Û 1 Für die Bedeutung von α und β siehe Abb. 9(a). Weitere Beziehungen: ( ) U d 1 cos β = sin α und α = arctan Û 1 β sin β (43) 9

10 (a) Lückbetrieb. (b) Nichtlückender Betrieb. Abbildung 9: Strom- und Spannungsverhältnisse des Einphasen-Diodengleichrichters. Mittelwert des Diodenstroms I d = Û1 πωl 1 [Û1 (1 cos β) U ] d β2 U d Û 1 2 (44) Oder normiert auf den Gleichrichtwert des Kurschlussstromes des Netzes I d,n = ( 2 π I d ) = 1 Û 1 2 ωl 1 [Û1 (1 cos β) U ] d β2 U d Û 1 2 ( 2 Û 1 πωl 1 ): (45) Nichtlückender Betrieb Wenn das Verhältnis U d über die Lückgrenze hinaus weiter verringert wird, arbeitet die Schaltung Û 1 im nichtlückenden Betrieb (vgl. Abb. 8(b)). Ausgangsstrom der Diodenbrücke i d (t) = 2 ( ( ) π Û 1 π cos(α ) ωl α ωt cos(α ) π ) 2 cos(ωt) Durch Integration von α bis α + π folgt für den Mittelwert I d : (46) I d = 2 π Û 1 ωl 1 sin(α ) (47) Und wiederum normiert auf den Gleichrichtwert des Kurzschlussstromes des Netzes: I d,n = I ( d 2 π ) = sin(α ) (48) Û 1 ωl Netzstrom, Netzrückwirkungen Man kann den Eingangsstrom i 1 des Gleichrichters in eine gegenüber der Netzspannung u 1 um ϕ 1 phasenverschobene Grundschwingung i 1G und eine Summe von Oberschwingungen, den Verzerrungsanteil i 1V, zerlegen: i 1 = i 1G + i 1V 10

11 (a) Netzstrom i 1 für lückenden und nichtlückenden Betrieb. (b) Zerlegung des Netzstromes in einen Grundschwingungsanteil i 1G und einen Verzerrungsanteil i 1V Abbildung 10: Verlauf des Netzstromes des einphasigen Diodengleichrichters. Übertragung einer bestimmten Wirk- Leistungsfaktor Beschreibt die Belastung des Netzes bei leistung P 1 und ist definiert als: λ = P 1 S 1 mit S 1 = I 1 und P 1 = I 1G cos ϕ 1 (49) Es trägt also nur die Grundschwingung des Eingangsstromes zur Wirkleistung bei! Es folgt also: λ = I 1G cos ϕ 1 I 1 und auch λ = (T HD(i 1 )) 2 cos ϕ 1 (50) Dabei beschreibt das THD (Total Harmonic Distortion) den Oberschwingungsanteil und ist definiert als T HD(i 1 ) = I 1V I 1G. Man erkennt, das sowohl eine Phasenverschiebung der Netzstrom- Grundschwingung als auch eine Verzerrung des Netzstromes zu einer Verringerung des Leistungsfaktors führen! Netzspannungsverzerrung und Nulleiterbelastung Siehe Skript, Seiten 84ff. bzw. 86ff. 3.3 Einphasen-Diodengleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom Die oben besprochene Schaltung entnimmt dem Netz einen höchst hässlichen Strom. Es ist jedoch wünschenswert, dass der Netzstrom einen weitgehend sinusförmig ist und gegenüber der Netzspannung keine Phasenverschiebung hat. Gleichrichterschaltungen mit sinusförmigem Eingangsstrom, auch als Power Factor Corrector (PFC) bezeichnet, verfügen über diese Eigenschaft. Tastverhältnis Im Prinzip wir dem Gleichrichter ein DC/DC-Konverter nachgeschaltet, hier ein Hochsetzsteller. Dessen Tastverhältnis wird so geregelt, dass zum einen eine konstante Ausgangsspannung U d erzeugt wird und gleichzeitig der Eingangsstrom i proportional zur Eingangsspannung u ist. Das dazu nötige zeitabhängige Tastverhältnis ergibt sich (unter Vernachlässigung des gegenüber u 1 kleinen lokalen Spannungsmittelwertes u L über der Induktivität) zu: d(t) = 1 1 M sin(ωt) mit M = U d Û 1 (51) 11

12 Abbildung 11: Einphasen-Gleichrichter mit sinusförmigem Eingangsstrom. Die Ausgangsspannung sowie der Eingangsstrom werden geregelt Toleranzbandregelung Der Eingangsstrom i wird um einen vom Regler vorgegebenen Eingangsstromsollwert i innerhalb eines Toleranzbandes geführt. (a) Toleranzbandregelung des Eingangsstromes i. (b) Ein- und Ausschaltzeiten sowie Schaltfrequenz bei der Toleranzbandregelung (normierte Werte, vgl. Skript). Abbildung 12: Toleranzbandregelung des einphasigen Diodengleichrichters mit sinusförmigem Netzstrom. Toleranzbandbreite i pp (t) = 2k î sin(ωt) k : Proportionalitätsfaktor (52) 12

13 Erster Ausschaltzeitpunkt (bzw. Dauer des ersten Einschaltin- Schaltzeitpunkte bzw. Intervalle tervalles): T p1 = T on,a = T ( 1 ωl π arctan Î ) (1 + k) Û 1 Lokale Ausschaltdauer: Lokale einschaltdauer: T off,t (t) = 2kLÎ Û 1 T on,t (t) = 2kLÎ Û Regelung mit konstanter Tastfrequenz T 1 = 2π w sin(ωt) ( M sin(ωt) + ωlî (1 k) cos(ωt) Û 1 1 ( 1 ωlî (1+k) cot(ωt) Û 1 Periodendauer des Netzes (53) ) (54) ) (55) Der Nachteil der Toleranzbandregelung ist die starke Schwankung der Taktfrequenz f T innerhalb einer Netzhalbschwingung. Dies kann durch eine lineare Regelung des lokalen Eingangsstrommittelwertes gemäss dem Sollwert i erfolgen, wobei man dieses Verfahren als Average Current Mode Control bezeichnet. Hier ist also die Schaltfrequenz f T vorgegeben und der Verlauf der Einhüllenden des Rippels stellt sich entsprechend ein. Eingangsstromrippel Lokaler Spitzenwert: i pp = 1 L u d(t) T T mit d(t) = 1 1 M sin(ωt) (56) Dabei ist d(t) das durch den Stromregler eingestellte, zeitabhängige Tastverhältnis. Der Rippel mit Breite i pp liegt symmetrisch um den Sollwert i, daher sind die Einhüllenden: i E = ± 1 2 i pp oder i E = i ± 1 2 i pp (57) Achtung: Diese Beziehungen gelten nur für den kontinuierlichen Betrieb, d. h. wenn gilt: Î Û1 T T 2L Ausgangsspannungsregelung und Eingangsersatzwiderstand (58) siehe Skript, S. 105f. bzw. S. 106ff. 3.4 Dimensionierung einer Gleichrichterschaltung Vorausgesetzt wird kontinuierliche Stromführung in der Eingangsinduktivität des Hochsetzstellers! 13

14 Ausgangskapazität Die Amplitude (!) der Ausgangsspannungssschwankung berechnet sich zu: Û Cd = P d 1 peak-to-peak: u d = 2 U d 2ωC ÛCd (59) d Soll der Peak-to-Peak-Wert 2ÛCd U d der relativen Schwankung u d U d der Ausgangsspannung auf einen bestimmten Wert beschränkt werden, muss die Kapazität C d wie folgt dimensioniert werden: C d 1 2ω ÛCd Ud 1 R d Strombeanspruchung: I 2 Cd,rms = 1 M ( 4 3π 1 ) 4M Î 2 1 (60) Ausgangsdiode Mittelung der Strombeanspruchung über eine Netzperiode: Leistungstransistor I T H,avg = 4 Netzgeführte Stromrichter 4.1 Ungesteuerte Mittelpunktschaltung (Skript, S. 119ff.) Gleichspannungsbildung I DH,avg = 1 2M Î I 2 DH,rms = 4 3πM Î 2 (61) ( 2 π 1 ) ( 1 2M Î 1 IT 2 H,rms = 2 4 ) 3πM Î 2 1 (62) Eine ohm sche Last soll aus dem Dreiphasennetz gespeist werden (Fig. 4.1, Skript). Durch die Parallelschaltung der drei Phasenspannungen plus Dioden mit gemeinsamer Kathode wird erreicht, dass immer die höchste positive Phasenspannung an die Last durchgeschaltet wird. Jede der Dioden führt also während 120 den Laststrom. Der arithmetische Mittelwert der Lastspannung u di ergibt sich durch Integration zu: U di0 = 1 2π 3 π 3 π 3 2U cos(ωt) d(ωt) = 3 3 π 2 U (63) U ist dabei der Effektivwert der sekundärseitigen Phasenspannungen und U di wird auch als ideelle Leerlaufgleichspannung bezeichnet. Achtung: Gilt nur für nichtlückenden Betrieb (sonst: Skript, S. 147f.). 4.2 Gesteuerte Mittelpunktsschaltung Dioden sind durch Thyristoren ersetzt, welche einen bestimmten Winkel, den sog. Zündwinkel α, nach dem natürlichen Kommutierungszeitpunkt einschalten und den Strom übernehmen. Der arithmetische Mittelwert der Ausgangsspannung ist dann von α abhängig: U diα = U di0 cos(α) = 3 3 π cos(α) U (64) 2 14

15 Für α 90 arbeitet die Schaltung im Gleichrichterbetrieb, es wird Leistung von der Wechselspannungsseite zur Gleichspannungsseite übertragen. Für α 90 arbeitet sie im (stationären) Wechselrichterbetrieb, der Leistungsfluss geht von der Gleichspannungsseite zur Wechselspannungsseite (beachte auch Pfeilrichtungen der Spannungen: Skript). Typischerweise kann α nicht grösser als etwa 150 werden, da sonst Wechselrichterkippen auftreten kann. 4.3 Drehstrombrückenschaltung (B6-Schaltung) Besteht im Prinzip aus zwei M3-Schaltungen. Daher addieren sich die Ausgangsspannungen dieser beiden: U diα,6 = U diα,1 + U diα,2 (65) Für die ungesteuerte Variante gilt z. B.: U di0,6 = 2U di0 = π 2 U (66) Diese Beziehungen können über Integration gefunden werden; beachte dass das Integrationsintervall wegen den sechs Pulsen π 3 beträgt! 5 Induktivitäten als Bauelemente leistungselektronischer Schaltungen 5.1 Grundlagen Unter Vernachlässigung des ohmschen Widerstandes der Spule sowie der parasitären Parallelkapazität gilt für lineare Materialien die bekannte Gleichung: u = L di dt Gespeicherte Energie: W m = 1 2 LI2 (67) Pulsförmige Spannung Wird eine Pulsförmige Spannung an eine Induktivität gelegt, verhält sich der Strom eigentlich nichtlinear. Für den für die Leistungselektronik relevanten Fall von vernachlässigbarem ohm schem Widerstand sowie einer Zeitkonstante die viel grösser als die Pulsfrequenz ist, kann jedoch mit einer linearen Näherung gearbeitet werden: i U L t Real nichtlinear: i = U R (1 e t τ ) τ = L R (68) 5.2 Homogener Magnetkreis Unter der Annahme, dass die magnetische Feldstärke H im Magnetkern abschnittsweise konstant ist (gut erfüllt) sowie vereinfachend, dass die magnetische Feldstärke konstant längs des gesamten magnetischen Weges ist (exakt nur für Toroidspule), ergibt sich für N Wicklungen um einen solchen Kern der magnetische Widerstand und die Induktivität zu: R m = l L = N 2 µa E µa E l = N 2 1 R m = N 2 A L mit A L := 1 R m (69) A L wird oft in Datenblättern spezifiziert, l ist die magnetische Weglänge und A E die Querschnittsfläche des (Eisen-)kerns. 15

16 Unter Vernachlässigung von Streufeldern beträgt die in der Induktivität gespeicherte magnetische Energie: W m = B2 2µ E V E V E : Eisenvolumen (70) 5.3 Magnetkreis mit Luftspalt Um eine Sättigung des Eisenkerns bei hohen Strömen zu vermeiden, kann ein Luftspalt der Breite δ in den Magnetkern geschnitten werden. Da die Permeabilität des Eisens viel grösser als jene von Luft ist (µ E >> µ 0 ) folgt R δ >> R E, d. h. die Induktvität ist nur vom Luftspalt abhängig und es gilt unter Vernachlässigung der Streufelder: L N 2 µ 0A E δ Die gespeicherte Energie beträgt: 5.4 Baugrösse einer Induktivität oder mit µ eff := µ 0 l δ L N 2 µ eff A E l (71) W m = B2 2µ E V E + B2 2µ 0 V δ B2 2µ 0 V δ (72) Sie L der geforderte Induktivitätswert, Î der Spitzenwert des Betriebsstromes und I rms der entsprechende RMS-Wert. Weiter sei A W die Querschnittsfläche des Wicklungsraumes, k w < 1 der Kupferfüllfaktor und A L = Irms S rms der Kupferquerschnitt des Drahtes bei einer maximal zulässigen Stromdichte von S rms. Dann gilt für die Windungszahl: N = k wa w A L (73) Mit der maximal zulässigen Induktion (Sättigungsinduktion) B S ergibt sich: LÎI rms = k w S rms B S A W A E für Î I rms I: 1 2 LI2 = 1 2 k ws rms B S A W A E (74) Der Luftspalt muss so gewählt werden, dass der gewünschte Induktivitätswert erreicht wird. 5.5 Dimensionierung Oft sind L, Î und I rms vorgegeben und die Kerngrösse (A E, A W ) sowie N und δ gesucht. Der Magnetkern wird aufgrund des Flächenproduktes A W A E gewählt und es gilt: A W A E = LÎI rms N = LÎ k w S rms B S B S A E δ = N 2 µ 0 A E L Achtung: Diese Formel für N sollte nur in diesem Kontext verwendet werden. Allg. gilt L N 2, z. B. beim Trafo. Die Wicklungsverluste ergeben sich mit der mittleren Windungslänge l W und dem spezifischen Widerstand ρ zu: I 2 rmsr W = ρk w A W l W S 2 rms mit Kupferwiderstand R W = ρ N 2 l w k w A W (76) Andere, iterative Vorgehensweise im Skript, S (75) 16

17 6 Transformator-Funktion, Ersatzschaltbild und Dimensionierung Siehe Skript, S. 187ff. 6.1 Dimensionierung An einem mehr oder weniger konkreten Beispiel ab S Wichtige Formeln daraus: N 1 = B S l E Î 1,µ µ E A E = ˆΨ 1 N 1 B S (77) Wichtige Erkenntnis: Je höher die Taktfrequenz, desto kleiner kann die Baugrösse von Übertragern gewählt werden: A E A W 1 f p (78) 6.2 Transformator ohne Streuung aber mit endlicher Permeabilität des Kerns L 1 = N 1 2 L 2 N2 2 (Verhältnis Primär-/Sekundärinduktivität) (79) = N 1 N 2 (Spannungsübersetzung) (80) i 1 = i 1,µ + i 2 N 2 N 1 (Ströme beachte Vorzeichen: hier i 2 := i 2) (81) 7 Potentialgetrennte DC/DC-Konverter 7.1 Sperrwandler (Flyback Converter Der Sperrwandler wird im Wesentlichen vom Inverswandler abgeleitet, indem die Induktivität durch zwei gekoppelte Induktivitäten ersetzt wird. Beachte, dass nie beide Windungen gleichzeitig Strom Abbildung 13: Sperrwandler führen! Im Ausschaltmoment des Transistors übernimmt die Sekundärwindung den Strom derart, dass die die Energie definierende magnetische Induktion im Kern kontinuierlich bleibt (Details vgl. Skript, S. 225ff.): Î2 = Î1 N 1 N 2 17

18 Die Sperrspannungsbeanspruchung des Transistors ist dann gleich U T = + N 1 N 2, wobei die an der Sekundärwindung auftretende Spannung ist (Achtung: Falls Dioden Flussspannungen haben, gilt u s )! Diskontinuierliche Magnetisierung Um diskontinuierlichen Betrieb sicherstellen zu können, muss die Entmagnetisierung innerhalb des Ausschaltintervalles vollständig abgeschlossen sein. Als Bedingung an das Windungszahlverhältnis für diskontinuierlichen Betrieb ergibt sich: N 1 N 2 D N 1 Spannungsbeanspruchung des Transistors: U T1,m = + (82) 1 D N 2 Das Tastverhältnis beeinflusst also die Bauelementebeanspruchung! Abbildung 14: Ableitung des auf die Primärseite bezogenen Ersatzschaltbildes des Sperrwandlers. Pro Taktperiode wird während des Einschaltintervalls Energie in der Induktivität gespeichert und anschliessend auf die Sekundärseite geliefert. Daraus kann die Leistung berechnet werden: W L = 1 2 LÎ2 1 P 1 = W L T S (83) Spitzenwert des Primärstromes am Ende des Einschaltintervalls, die im mittel über eine Taktperiode übertragene Leistung und daraus mit P 2 = 2 R (R: Lastwiderstand) die Spannungsübersetzung: Î 1 = DT P P 2 = 1 U1 2 D 2 1 R T P = D T P (84) L 1 2 L 1 2 L 1 Annahme: Durch grossen Ausgangskondensator näherungsweise konstante Ausgangsspannung Kontinuierliche Magnetisierung Siehe Skript, S. 231ff Nichtideale Kopplung Bei nichtidealer Kopplung wird die Sperrspannung des Transistors erhöht, und es ist eine Schaltung zur Spannungsbegrenzung vorzusehen. Details siehe Skript, S. 233ff. 18

19 Abbildung 15: Ströme und Spannungen beim Sperrwandler im diskontinuierlichen Betrieb. 7.2 Durchflusswandler Im Gegensatz zum Sperrwandler nutzt der Durchflusswandler den Transformator auf normale Weise, d. h. nicht zur Energiespeicherung. Ausgehend vom Tiefsetzsteller erhält man das Ersatzschaltbild des Durchlusswandlers. Abbildung 16: Durchflusswandler mit dritter Wicklung N 3 zum Abbau der Magnetisierungsenergie, welche hier in die Quelle zurückgeliefert wird. Eine Spannungsbegrenzung über dem Transistor ist wegen der real auftretenden Streuung zwischen L 1 und L 3 trotzdem nötig, aber nicht eingezeichnet Unidirektionale magnetische Aussteuerung Bei unidirektionaler Aussteuerung des Magnetkerns bzw. diskontinuierlicher Magnetisierung wird der Fluss innerhalb der Taktperiode wieder auf Null abgebaut. Um die zu gewährleisten muss 19

20 gelten: N 3 1 D N 1 D Max. Spannung über Transistor: U T1,m = + N 1 N 3 (85) Bei Voraussetzung idealer Kopplung ergeben sich die charakteristischen Verläufe gemäss Fig Für die Spannungsübersetzung bzw. den Spitzenwert des magnetisierungsstromes gilt: Abbildung 17: Charakteristische Ströme und Spannungen beim Ein-Schalter-Durchflusswandler. Weiter gilt L 1 L 3 = N 1 2. N3 2 = D N 2 Î 1,µ = N 1 DT P N 1 L Î3 = Î1,µ (86) 1 N 3 Zwei-Transistor-Durchflusswandler Wenn ein zweiter Transistor verwendet wird, kann die Primärwicklung auch für die Entmagnetisierung verwendet werden; die entmagnetisierende Spannung ist dann und die Dauer dieses Vorgangs gleich wie jende der Aufmagnetisierung, woraus D max = 0.5 folgt. Es ergeben sich das Ersatzschaltbild und die Verläufe aus Fig Bidirektionale Aussteuerung Siehe Skript, S. 247ff. 8 Einphasen- und Dreiphasen-Pulswechselrichter mit eingeprägter Eingangsspannung 8.1 Einphasen-Brückenschaltung (Vierquadrantensteller) 8.2 Dreiphasen-Brückenschaltung 9 Allgemeines 20

21 Abbildung 18: Ersatzschaltbild und charakteristische Ströme und Spannungen beim Zwei-Schalter- Durchflusswandler. Mittel- und Effektivwert I avg = 1 T T 0 i(t) dt I rms = 1 T (i(t)) 2 dt (87) T 0 Für Sinusgrössen gilt I rms = Î 2. Beachte, dass beim berechnen des Effektivwertes über eine ganze Halbschwingung aus den lokalen RMS-Werten i rms (t) ebenfalls die Formel Irms 2 = 2 T/2 T 0 i rms (t) 2 dt gilt (vgl. Skript, S. 114). Spezielle Signale: Rechteck, dass während 0 t < DT p konstant Î beträgt und für DT p t < T Null ist: 1 DTp I avg = DÎ I rms = Î 2 dt = DÎ (88) Dreieck, das während 0 t < DT p linear von 0 auf Î ansteigt und für DT p t < T Null ist: I avg = DÎ 2 I rms = 1 T p T p DTp 0 0 ( ) 2 Î D t dt = DT p 3 Î (89) Grundschwingung bestimmen Wähle die Nullage so, dass die Fourierreihe nur cos-anteile besitzt, d. h. gerade ist. Dann berechnen sich die Koeffizienten der cos-reihe nach: a 0 2 = 1 T a n = 2 T Mit Periode T = 2π ergibt sich: a 0 = 1 π π c+t c c+t c f(t) dt (Gleichanteil) (90) f(t) cos(nωt) dt (91) π f(x) dx (Gleichanteil) a n = 1 π Der Koeffizient a 1 ist dann die Amplitude der Grundschwingung. π π f(x) cos(nx) dx (92) 21

22 Leistungsmittelwerte Mit Annahme sinusförmiger Spannung U (RMS-Wert), gilt: S = U I = U I(1) 2 + I2 (2) + I2 (3) +... (Scheinleistung) (93) S (1) = U I (1) (Grundschwingungsscheinleistung) (94) Q (1) = U I (1) sin(ϕ 1 ) (Grundschwingungsblindleistung) (95) P = U I (1) cos(ϕ 1 ) (Wirkleistung) (96) Q = S 2 P 2 (Gesamtblindleistung) (97) Beachte, dass nur die Grundschwingung zur Wirkleistung beiträgt! Bei Dreiphasensystemen den Faktor 3 nicht vergessen! 22

23 Index Boost Converter, 4 Brückenschaltung, 9 Buck Converter, 2 Buck-Boost Converter, 6 Cuk-Konverter, 8 Drehstrombrückenschaltung, 15 Dreiphasen-Brückenschaltung, 20 Durchflusswandler, 19 Effektivwert, 20 Einphasen-Brückenschaltung, 20 Einphasen-Gleichrichter, 9 kapazitive Glättung, 9 Leistungsfaktor, 11 Netzrückwirkungen, 10 sinusförmiger Netzsstrom, 11 Toleranzbandregelung, 12 Einphasen-Gleichrichter: konstante Taktfrequenz, 13 SEPIC-Konverter, 9 Silicon Utilization, 8 Spannungszeitflächen, 1 Sperrwandler, 17 Tastverhältnis, 1 Tief-Hochsetzsteller, 6 Tiefpass 1. Ordnung, 1 2. Ordnung, 1 Tiefsetzsteller, 2 Lückbetrieb, 3 Transformator, 17 Vierquadrantensteller, 20 Flyback Converter, 17 Gleichrichter, 9 Grundschwingung, 21 Hochsetzsteller, 4 Induktivität Dimensionierung, 16 Induktvität, 15 Inverswandler, 6 Lückgrenze, 3 Ladungsgleichgewicht, 1 Luftspalt, 16 Magnetkreis, 15, 16 Mittelpunktschaltung gesteuerte, 14 ungesteuerte, 14 Mittelwert, 20 Netzgeführte Stromrichter, 14 PFC, 11 23