zz da n B. (3.79) 3.7 TRANSFORMATORTHEORIE

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1 3.7 TANSFOATOTHEOE E re quanttatve Beobatungen über den usammenang wsen etabänggen eletrsen Feldern und magnetsen Feldern wurden berets von ael Faraday m Jare 83 durgefürt. Er untersute erbe das Veralten von Strömen n eterslefen, de etl veränderlen agnetfeldern ausgesett waren. Grundsätl ereugt jeder eletrse Strom, der dur ene eteronfguraton fleßt, en agnetfeld B. Se S de von ener eterslefe aufgespannte Fläe, mt der Fläennormalen n und dem geslossenen and S, dann aratersert der magnetse Fluss m de magnetse nduton dur dese Fläe. Defnton: agnetser Fluss. m da n B. (3.79) S Der expermentelle Befund besagt nun, dass en s etl ändernder magnetser Fluss, dur ene geslossene eterslefe, ene eletromotorse Kraft emf n deser ervorruft, de proportonal ur etlen Änderungsrate von m. Deses Pänomen als Faradayses ndutonsgeset beannt. Axom: Faradayses ndutonsgeset. emf d. (3.8) m dt Aufgrund der nduerten ngspannung fleßt en Strom n der Slefe, der wederum en agnetfeld ereugt, das der rsae des ursprünglen Feldes entgegenwrt. Deser Saveralt als ense egel beannt. ense egel: Der n ene eterslefe nduerte Strom ets so gertet, dass sen agnetfeld der ndutonsursae entgegenwrt. Ansaul besagt se, dass s das Syem nt aufsaueln ann und de ugeörgen Felder von allen nt mmer ärer werden önnen, da des den Energeeraltungssat verlett. Abb. : we ndutv geoppelte eterslefen. En n der Eletroten äußer nütles Konept be der Beandlung von Syemen mt romfürenden eterslefen, das der ndutonsoeffenten. Se ängen ledgl von der Geometre der eteronfguraton ab und ellen ene Beeung er wsen der Energe des agnetfeldes, das von der romfürenden eterslefe ereugt wrd und den ugeörgen Strömen. De Egenndutvtät und de Gegenndutvtät weer belebger Stromslefen lassen s formal über de magnetsen Flüsse defneren. der magnetse Fluss ausgeend vom Spulenrom der de von der Stromslefe aufgespannte Fläe S durdrngt, dann läs s de Selbnduton we folgt defneren: Defnton: Selbndutvtät.. (3.8)

2 Gan analog dau läs s de Gegenndutvtät enfüren. der magnetse Fluss ausgeend vom Spulenrom, der de von der weten eterslefe aufgespannten Fläe S durdrngt, dann läs s de Gegenndutvtät we folgt defneren: Defnton: Gegenndutvtät.. (3.8) nsbesondere n der Transformatorteore spelt das Konept der Gegenndutvtät ene große olle, wel er etl veränderle Ströme über den Auaus rer magnetsen Flüsse mtenander n Weselwrung treten. De Gegenndutvtät weer eterslefen und deren Egenndutvtäten snd über den Kopplungsfator mtenander orrelert. Defnton: Kopplungsfator. (3.83) Herbe en aß dafür, we de magnetsen Flüsse der enelnen Slefen enander durdrngen. egen bespelswese we Stromslefen ser eng beenander, dann durdrngt en großer Antel des von der eren Spule ereugten agnetfelds de von der weten Spule aufgespannte Flussfläe und umgeert. Der Kopplungsfator n desem Fall ser o. Anderersets de Kopplung weer romfürenden Slefen ser len, wenn se wet ausenander legen. Nur en gernger Antel der von ener Spule ereugten agnetfelder durdrngt de von der jewels anderen Spule aufgespannte Flussfläe. agnetse Flüsse, de vom Strom ener Slefe S ereugt werden und de andere Slefe nt durdrngen, werden Streuflüsse genannt. Ene Eröung des Kopplungsfators glebedeutend mt ener Verrngerung der Streuflüsse. Salteen für we magnets geoppelte ndutvtäten: En Transformator en Bauelement der Eletroten, das eletrse Energe wsen we ndutv geoppelten Kresen mögl verluarm überträgt. Der Kres mt der atven Spannungsquelle eßt Prmärres und der Kres mt der a eßt Seundärres. De folgende Abbldung egt das Saltbld enes realen Transformators mt angeslossener a. Abb. : Saltbld enes Transformators. Der Strom der n den Seundärres nduert wrd, gemäß der ensen egel ets so gertet, dass er sener rsae entgegenwrt. nter Verwendung der Kroffsen asenregel, läs s das ugeörge DG-Syem aufellen. Kroffse asenregel: t (3.84) Na Abb. snd de an den mpedanen abfallenden Spannungen gegeben dur:

3 t t t t t t Es ergbt s en Syem aus we geoppelten DG s, mt: t t t t t t t One Besränung der Allgemenet werde unä von ener snusförmgen etabängget der Engangsspannung ausgegangen. Es glt: t sn t. (3.85) Ene aplae-transformaton der relevanten Größen ergbt: ~ s s ~ bsg sbsg bg bsg s ~ s s ~ s s s De Anfangsbedngungen snd dur = und dur = gegeben. Des bedeutet nts anderes, als dass u Begnn des Enswngvorgangs ene Ströme fleßen. t Hlfe der aplae-transformaton läs s en Syem aus geoppelten DG s n en Syem aus mtenander geoppelten algebrasen Gleungen umwandeln. nter Berüstgung der Anfangsbedngungen glt demna: ~ ~ ~ s s s s s s ~ ~ ~ s s s s s De wete Gleung läs s sofort umellen. Es glt: b ~ ~ s s s s g ~ s s s ~ s Der nduerte Strom, läs s somt als Funton der Engangsgrößen und der eletrsen Parameter der beden Krese ausdrüen. De gefundene Beeung ann n de ere Gleung des Gleungssyems engesett werden. Es ergbt s dann: ~ s s s s ~ s ~ s s ~ ~ s s s s s s s s unä werde für den Kres ene deale Kopplung vorausgesett, so dass =. Demna glt: b g ~ s s s s s ~ s s s s s Der Engangsrom somt endeutg bemmt dur de Egensaften der Spannungsquelle und den eletrsen Parametern des areses. Dur ene mertransformaton läs s de Stromäre m

4 Engangsres n Abängget von der et urügewnnen. Aus der Teore der aplae-transformatonen folgt: t s s ~ dse s. (3.86) Das n desem Kontext auftretende ntegral wrd m folgenden faultatven Absntt explt ausgewertet. Faultatver Absntt Auswertung mertransformaton dur ntegraton über ene Bromw-Kurve. Abb. 3: ntegratonsurve über de Polellen des ntegranden (s). We n Abb. u seen bet der ntegrand Polellen erer Ordnung nneralb des ntegratonsberes D. Ene ntegraton entlang von D, läs s unter Verwendung des esduensates durfüren. Es glt: e s e ds D es s s s s S T F H O e t K s s ; s ; s * V W N sn t O Q P P os t Herbe wurden de n der Eletroten üble Abürung =+, sowe = verwendet. Das Kurvenntegral über den geslossenen and D läs s nun we folgt erlegen: e s s r e ds ds D s s s r s s Offenstl ds r s e s s s s, s s r d

5 für s=s +re und unter Anwendung des Jourdansen emmas folgt das Verswnden des letten ntegrals über den Halbres r für den Grenübergang r. Vergle ergbt sleßl de Beeung: e s s ds s s s * F H O e t K N sn t O QP os t Für den engeswungenen uand verswndet der lette Term, so dass für den Grenfall t, der armonse Ausdru übrg blebt. De mertransformaton ergbt somt den folgenden Ausdru für den Strom m Prmärres: btg snbtg osb tg * * P. (3.87) N Der auf den eren Bl ret omplex wrende Ausdru läs s weter verenfaen. Tatsäl erledet der Strom n Abängget von der transformerten a ene Pasenversebung. nter Verwendung der Ausdrüe O P Q * artan F HG KJ (3.88) Somt ergbt s de enfae Beeung: t sn t. (3.89) ur weterfürenden Betratung snd no de eletrsen Größen we Seundärrom (t) und de Seundärspannung (t) von Bedeutung. Aus der Gleung für de aplae-transformerten Ströme, ergbt s de Beeung: ~ s ~ s s s. (3.9) t den Polellen n s=bw. s=- ergbt s:. (3.9) nter Berüstgung von = und << glt für das Verältns der Ströme m Prmärres und m Seundärres: bg N N

6 n enger Analoge um dealen Transformator entsprt der transformerte Seundärrom dem um das Verältns der Wndungsalen N /N vervelfaten Prmärrom. We u erwarten ergbt de Berüstgung der Kopplung wsen den Kresen enen n Abängget von gerngeren Wert für den nduerten Seundärrom. Transformaton des Seundärroms: N N. (3.9) Ene gan analoge Überlegung ergbt s au für das Verältns aus Prmärspannung und der m Seundärres nduerten Spannung. bg N N Au er beätgt s weder de Änlet des vorlegenden odells mt dem des dealen Transformators. nter Berüstgung der nt dealen Kopplung ergbt s für de nduerte Spannung en gerngerer Wert als m dealfall. Transformaton der Seundärspannung: N N. (3.93) Der er vorgeellte matematse Formalsmus, baserend auf dem Transformatormodell, egnet s vor allen Dngen ur Besrebung ndutv geoppelter Krese mt Frequenen unteralb von H. m Gegensat u HF-Transformatoren de Kopplung über de paraären Spulenapatäten vernalässgbar len. Abb. 4: Überbrüung der Transformatoropplung dur de paraäre Spulenapatät be der Verwendung von HF. Wrd ur ndutven Kopplung weer Krese ngegen HF verwendet, dann ellen selb Übergangsapatäten von pf - pf, de let n Form von Welapatäten n Ersenung treten, enen relatv gerngen apatven Blndwderand dar. nfolgedessen wrd be öeren Frequenen ene ndutve Transformatoropplung um Seundärres mmer swerger. rsae snd de Versebungsröme de dann über de Kapatät auf den Seundärres übertragen werden und dadur nt mer dur de ndutonsspule fleßen. Dadur wrd das ndutonsfeld swäer und de ndutve Kopplung nur no partell wrsam.

7 3.7. Netweranalyse be ndutv geoppelten Kresen Das Saltbld weer ndutv geoppelter Krese läs s über ene Transformaton der Gegenndutvtät auf en -Netwer redueren und ann somt der etod der Netweranalyse ugängl gemat werden. m Hnbl auf de Engangsgrößen we Engangsspannung, Engangsrom und Engangsmpedan snd de folgenden Saltungen äquvalent: Abb. 5a: Saltbld für we ndutv geoppelte Krese. Abb. 5b: Äquvalentes Netwer. Für den Fall a) ergbt s das Gleungssyem: F HG KJ F H G K J F H G K J (3.94) der nnenwderand der Spannungsquelle, dann ergbt s für das verblebene Netwer de folgende mpedanmatrx: a F HG KJ. (3.95) Es läs s nun de Engangsmpedan der Saltung n a) ermtteln: b ag det De Engangsmpedan ea : ea det a det b ag Analog dau läs s au de Saltung n b) auswerten. Das Netwer bet de folgende mpedanmatrx: b F HG ü KJ Der Wderand wurde er weder als nnenwderand der Spannungsquelle nterpretert. Es läs s nun de Engangsmpedan der Saltung n b) ermtteln: b bg 4 det ü ü De Engangsmpedan :

8 eb det b det b bg ü ü ü Das Übersetungsverältns ü defnert als de Quadratwurel aus dem Verältns von Prmärndutvtät u Seundärndutvtät, mt: Defnton: Übersetungsverältns. ü. (3.96) Aufgrund der Proportonaltät ~N, let enuseen, dass ü=n /N. Somt ergbt s für de Engangsmpedan: eb ü ü ü Wegen ab = eb snd bede Saltungen äquvalent. De Transformatorsaltung läs s somt auf en - Netwer urüfüren. Des verenfat de Analyse der Egensaften des Syems vor allen Dngen was das Frequenveralten anbetrfft. n der ttel- und Hofrequenten es oft nötg ene mpedananpassung durufüren, damt de eung ener Quelle mt enem gegebenen nnenwderand optmal an ene a übertragen werden ann. Für den Fall dealer Kopplung glt: Abb. 6: Transformator mt dealer Kopplung. Ene mpedananpassung legt vor, wenn =ü und de ndutvtät so gewält wrd, dass glt: ü. (3.97) Dese Bedngung sollte ets beatet werden, wenn en tens snnvoller Transformator aufgebaut werden soll. n der Praxs snd Werte von ~ü bs ~ü übl. Wtg bem Ensat enes Übertragers snd sen Frequenveralten und dessen Abängget von der Kopplung. Des spelt vor allen Dngen be Tonfrequenübertragern ene olle, de ene mpedananpassung über enen mögl breten Frequenbere vornemen müssen. Be der Analyse muss n betrat geogen werden, dass für reale Transformatoren ets < glt. Für nedrge Frequenen ann de ndutvtät n ee mt aufgrund des Fators (- ) vernalässgt werden. Es ergbt s de folgende Äquvalensaltung: Abb. 7: Äquvalensaltung des Transformators be nedrgen Frequenen.

9 De Saltung verält s we en Hopassflter. Nedrge Frequenen werden dur de ndutvtät urgeslossen. Für den Fall u, ergbt s ene untere Grenfrequen u unteralb derer der Strom dur größer wrd als dur ü und en tens snnvoller Übertragerbetreb nt mer gewärleet werden ann. mformen ergbt: u. ntere Grenfrequen für enen Übertrager: u. (3.98) mgeert mat s be ser oen Frequenen de ndutvtät (- ) als Serenwderand u und ü bemerbar. nfolgedessen wrd wenger eung an de a übertragen. Für den Fall o ergbt s ene obere Grenfrequen. De ndutvtät wrt we en Tefpass. Abb. 8: Äquvalensaltung des Transformators be oen Frequenen. Be öer werdenden Frequenen als o wrd der Spannungsabfall an ü lener als an (- ). mformen des Ausdrus für de obere Grenfrequen ergbt: o. Obere Grenfrequen für enen Übertrager: o. (3.99) usammenfassend egt en Übertrager en änles Veralten we das enes Bandpassflters bw. ener Wen- Brüe. Das Verältns o / u defnert en aß für de Bandbrete des Übertragers: o u. (3.) Je besser de Kopplung wsen Prmär- und Seundärndutvtät, umso breter der Frequenbere, be dem ene mpedananpassung vorgenommen werden ann. Be Kerntransformatoren legen typse Werte von be: Kern

10 Werte oberalb von.99 snd nur no mt großem Aufwand be der Welten bw. mt ser großen Transformatoren u erreen. Be ufttransformatoren de Kopplung beträtl sleter, mt typsen Werten von: uft Bespel: En 5W örenverärer mt enem nnenwderand von = soll über enen Audoübertrager an enen 4 autspreer angeslossen werden. Abb. 9: örenverärer mt Übertrager und autspreer. a) Es sollen und bemessen werden um ene optmale mpedananpassung be 5H vorunemen. Aus der Bedngung ~3 ü² läs s de ndutvtät determneren: 3ü H. 4H Der gesamte omse Wderand des Elements ergbt s u: ü ges De Bedngung der mpedananpassung mplert, dass glt: ü F H G N N KJ Folgl glt: F HG N N KJ Somt gegeben dur:

11 H b) Der Kopplungsfator des Übertragers für den Frequenbere von H bs ur oberen Grenfrequen von H ellt ene ndevoraussetung für de angerebte Anwendung dar. Es glt: o u H. H Somt glt für de Kopplung :. 995 Ene derartge Kopplung selb mt Kerntransformatoren ene trvale Angelegenet, nsbesondere dann, wenn au no en relatv breter Frequenbere mögl one Vererrung übertragen werden soll. ) Der Effetvrom eff be maxmaler Belaung m Verärer läs s aus der Engangsmpedan bemmen. Es glt: * Es glt: * Optmale mpedananpassung soll be H vorlegen. Enseten der gegebenen Werte ergbt: 49. eung und mpedan snd nun gegeben. Daraus folgt: P 5W 49. A ma Für den Effetvrom ergbt s: eff 4 ma.