Einige Grundlagen der magnetischen Nahfeld-Kopplung. Vorlesung RFID Systems Michael Gebhart TU Graz, Sommersemester 2011

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1 Einige Gundlagen de magnetischen Nahfeld-Kopplung Volesung Michael Gebhat TU Gaz, Sommesemeste

2 Inhalt Übeblick Methode des Magnetischen Moments Biot-Savat Gesetz zu Bestimmung de H-Feldstäke Koppelsystem: Induziete Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, Koppelfakto Seite

3 Übeblick Seite 3

4 Enegieübetagung im Nahfeld ie Enegieübetagung efolgt bei induktiv gekoppelten Systemen im Nahfeld fast ausschließlich duch das H-Feld, welches stomduchflossene Leite umgibt, und Spannungen und Stöme in benachbaten Leiten induziet. ie feie Ausbeitung eine elektomagnetische Welle ist im Nahfeld eine Schleifenantenne noch nicht gegeben, und das E-Feld ist im Vegleich zum H-Feld seh schwach. Hinzu kommt eine Phasenveschiebung zwischen E- und H-Komponente, sodass sich eine komplexe Wellenimpedanz ausbildet und duch die EM Welle gößtenteils Blindleistung übetagen wid. ie H-Feld-Komponente nimmt zudem im Nahfeld mit /d 3 (- 6 db/ek.) ab, wähend im Fenfeld bei feie Wellenausbeitung sowohl H-Feld-Komponente, als auch E-Feld- Komponente mit /d (- db/ek.) abnimmt. a die Genzwete fü die zulässige Feldstäke de Abstahlung bei konstante istanz gemessen weden, die bei 3,56 MHz beeits im Fenfeld liegt, hat die Vewendung des H-Feldes im Nahfeld den Voteil, dass bei kleinen Abständen elativ hohe Leistung vom Reade an den Tanponde übetagen weden kann. Seite 4

5 Modelle fü H-FeldstäkeH Es gibt im Wesentlichen zwei Modelle, die zu analytischen Beechnung de H-Feldstäke vewendet weden können: Magnetisches Moment iese Methode wude von Heinich Hetz als Analogie zum ipolmoment fü die Beechnung des E-Feldes entwickelt. Sie liefet gute Egebnisse fü das Fenfeld bzw. fü eine auseichend goße istanz zu Sendeantenne, deen genaue Geometie nicht beücksichtigt wid. Biot-Savat-Gesetz iese Methode beücksichtigt genau die Geometie de stomduchflossenen Sendeantenne und liefet gute Egebnisse fü die Abstahlung im Nahfeld. In de oiginalen Fomel wid die elektomagnetische Wellenausbeitung nicht beücksichtigt. ie Fomel lässt sich jedoch so eweiten, dass sie im Nahfeld und im Fenfeld gute Egebnisse liefet. Seite 5

6 Methode des Magnetischen Moments Seite 6

7 Magnetisches Moment Wi veänden ein wenig die histoische Reihenfolge, und beginnen mit de Methode des Magnetischen Momentes. Sie wude von Heinich Hetz eingefüht und elaubt, die elektomagnetische Welle ausgehend von eine von Wechselstom duchflossenen Schleifenantenne in Analogie zu eine elektischen ipol-antenne zu bescheiben. Im Fenfeld sind die Eigenschaften eine elektomagnetischen Welle gleich, ob sie nun von einem ipol, ode eine Schleife ezeugt wude. Auch viele Eigenschaften des H-Feldes und des E-Feldes im Nahfeld-Beeich lassen sich mit diesem Modell gut heleiten und zeigen. Insbesondee kann es fü die RFI-Technik dann nützlich sein, wenn es daum geht, allgemeine Beziehungen unabhängig von eine speziellen Antennengeometie aufzustellen (Kopplung, Rückwikung zwischen Readen und Tansponden unteschiedliche Baufomen...). Jedoch vesagt das Modell des magnetischen Moments in unmittelbae Nähe zum Antennenleite, da eben kein Leite vohanden ist. Um hie die Eigenschaften ichtige zu betachten, geht man besse wiede zuück zum Biot-Savat- Gesetz, das in seine (späte duch Wheele u.a.) um das Retadationspotential eweiteten Fom nicht nu im Nahbeeich, sonden auch im Fenfeld ichtig ist. ip o l- a n te n n e x z S c h le ife n - a n te n n e y Gewinn eine kleinen Loop-Antenne in xy fü das Fenfeld. Seite 7

8 Magnetisches Moment as magnetische Moment egibt sich aus Geometie mal Stom. Fü eine geschlossene Leiteschleife beliebige Fom in de Ebene egibt sich das Moment als Stom mal de vom Leite umschlossenen Fläche. m d I da Noch allgemeine, fü beliebige Stomveteilung im Raumvolumen, egibt sich m d JdV mit dv ( sinθ ) d dθ dφ Raumvolumen-Element (Kugelkoodinaten) Vekto von Uspung zum Volumselement v J ρ Stomdichte (mal Geschwindigkeitsvekto) Paktisch egibt sich damit fü den Betag des Moments eine ebenen Antenne bei keisunde Antenne m d ( ) I N I A N π bei echteckige Antenne N I A N l b m d ( ) I Seite 8

9 H-Feld ausgedückt duch magnet. Moment ie H-Feld-Komponente und die E-Feld-Komponente egeben sich aus dem magnetischen Moment (eine stomduchflossenen Leiteschleife) fü einen beliebigen Raumpunkt in Kugelkoodinaten zu m ) ) d H + j cosθ Φ j sinθθ 4π v µ ) c md E j sinθ Φ 4π z H E Raumpunkt mit λ π bezogene Wellenlänge (adian wavelength) Stomduchflossene Leiteschleife θ as Vehältnis von E-Feld zu H-Feld ist die Feld- ode Wellen-Impedanz Z E H x I Φ y Seite 9

10 Besondee Antennen-Oientieungen Koaxiale Oientieung: ie Mittelpunkte beide Antennenleite liegen auf de gleichen Achse nomal auf die Leitebahnebene Koplanae Oientieung: Beide Antennenleite liegen in de selben Ebene. Seite

11 H-Feld und E-Feld E bei koplanae Oientieung Koplanae Oientieung: e Winkel zu Flächennomalen z ist Null. θ 9 ( θ ) cos sin( θ ) Es entfällt somit de Kosinus- Anteil de H-Feld-Komponente und es bleibt eine veeinfachte Komponente fü H- und fü E- Feld. H m 4π d + + j E µ c m 4π d j Seite

12 Seite Feldimpedanz bei koplanae Oientieung Feldimpedanz bei koplanae Oientieung a E und H ungleich Null sind, läßt sich die Feldimpedanz beechnen. azu nehmen wi einmal den Betag des H-Vektos und des E-Vektos an: m m H d d π π ( ) m c m c E d d π µ π µ ( ) j Z j j Z j m j m c H E Z d d K π π µ

13 Feldimpedanz bei koplanae Oientieung aaus kann man nun den Realteil und den Imaginäteil von Z bilden. Re ( Z ) Z 4 ( ). 3 Real & Imaginäteil de Wellenimpedanz 377 Ohm Im ( Z ) Z 4 4 ( + ) e Betag von Z egibt sich wiedeum aus beiden Anteilen duch 3 Impedanz in Ohm Realteil Nahfeld- Impedanz Imaginäteil Nahfeld- Impedanz Z Re ( Z ) + Im ( Z ) E H. Z ( + ) 6... istanz übe bezogene Wellenlänge Seite 3

14 Wellenimpedanz bei koplanae Oientieung e Betag von Z egibt sich wiedeum duch aus beiden Anteilen duch Betag de Feldimpedanz koplana. 3 Z Re ( Z ) + Im ( Z ) E H 377 Ohm Z 6 + ( ) Est im Fenfeld konvegiet die Feldimpedanz zu bekannten Vakuum- Stahlungsimpedanz von Z µ µ c Ω 377 Ω ε c ε π 6 Impedanz in Ohm Betag Nahfeld- Impedanz.. istanz übe bezogene Wellenlänge Seite 4

15 H-Feld und E-Feld E bei koaxiale Oientieung Koaxiale Oientieung: e Winkel zu Flächennomalen z ist Null. θ ( θ ) cos sin( θ ) ie E-Feld-Komponente wid damit zu Null und es vebleibt nu ein Anteil fü die H-Feld- Komponente. H m d ( θ ) + j ( θ ) 4π E ie Feldimpedanz Z wid damit bei diese Antennnen-Oientieung zu Null! Seite 5

16 Seite 6 Vegleich de H Vegleich de H-Feldstäke bei koaxiale und Feldstäke bei koaxiale und koplanae Antennen koplanae Antennen-Oientieung Oientieung Koaxiale Oientieung: ( ) + j m H d 4 π θ Im Re m m H d d K π π Koplanae Oientieung: ( ) + + j m H d 4 9 π θ m m H d d π π Komplexe astellung Komplexe astellung Komplexe astellung Komplexe astellung Betagsmäßige astellung Betagsmäßige astellung Betagsmäßige astellung Betagsmäßige astellung

17 Vegleich de H-Feldstäke H bei koaxiale und koplanae Antennen-Oientieung Abnahme de H-Feldstäke mit de istanz fü koaxiale und koplanae Antennenoientieung. Nahfeld: koaxial & koplana: H ~ /d 3 Fenfeld: koaxial: H ~ /d 3 koplana: H ~ /d koplana koaxial. 6. istanz in m Nahfeld Fenfeld Seite 7

18 Phasenlage von H-Feld H und E-Feld E übe istanz Mit dem Velauf de Feldimpedanz hat auch die Phasenlage von H-Feld und E-Feld bei de Abstahlung vom Antennenleite noch nicht den Velauf de feien Wellenausbeitung. Nahfeld Phasenlage übe istanz Nahfeld Phasenlage übe istanz 5 H-Feld Phasenvelauf H-Fenfeld Phasenvelauf 5 Phasenwinkel in Gad 5 5 E-Feld Phasenvelauf Winkel in Gad istanz zu Sendeantenne in Meten istanz übe bezogene Wellenlänge 3,56 MHz astellung bis λ/. Seite 8

19 Felde aus eine echteckigen Schleifen-Antenne Als anschauliches Beispiel wollen wi noch die H-Feld und die E-Feld-Komponenten im Nahbeeich um eine echteckige Schleifenantenne ansehen, wie sie ein Feldsimulato (Softwae) dastellt. Antenne 88 x 55 mm, Leitebahnbeite,5 mm und Leitebahn-Stäke µm. Speisung an de linken kuzen Seitenkante, Antennenstom A(ms). Quelle: Pof.. H. Wendel, FH Oldenbug Seite 9

20 Absolutwete H-Feld H und E-FeldE Seite

21 Richtungsvektoen H-Feld H und E-FeldE Seite

22 Absolutwete und ezibel-wete ezibel-wete sind logaithmische Wete, bezogen auf einen Refeenzwet. Leistungen skalieen mit -fachem Logaithmus, Felde wie H und E skalieen mit -fachem Logaithmus (wie Stöme und Spannungen), da sie quadatisch popotional de Leistung sind. H db H log H H ABS H db ABS H REF REF ( 377 Ω) 5. db( Ω) Z db log 5, Beispiel: H-Feld-Limit von 6 db(µa/m) entspicht absolut H LIMIT H 6dB H µ A / m µ A / m REF db ma / m Im Fenfeld kann man daaus den Betag von E beechnen ELIMIT H LIMIT Z µ A/ m377 Ω 377µ V m Elektomagnetische Welle im Fenfeld. as Gleiche gelingt mit ezibel-weten (fü das Fenfeld) E H db + Z, db H db + 5.5dB Ω m ( ) 6dB( µ A/ m) + 5.5dB( Ω).5dB( V / ) db µ Seite

23 Leistung ie Leistungsdichte egibt sich mit dem Poynting-Vekto aus E-Feld und H-Feld bekanntlich nach S E H E Fü Betags-Gößen gilt auch S Z H Z E ie Leistung ist P So da A AZ H Z z A ie Richtchaakteistik (iektivität) egibt sich zu S S ISOTROPH Fü eine velustlose Antenne ist die iektivität gleich dem Gewinn. ip o l- a n te n n e x S c h le ife n - a n te n n e y 4 ( ma / m) 377 W / m.377 mw S Z 377 m H Ω / Gewinn eine kleinen Loop-Antenne in xy fü das Fenfeld. Mit dem H-Feld Limit 6 db(µa/m) egibt sich damit im Fenfeld die Leistungsdichte: Seite 3

24 Zusammenfassung Nahfeld / Fenfeld Nahfeld Fenfeld Elektomagnetische Welle Genze Feldbeeich λ 3 istanz π λ π.3 istanz Antennen- duchmesse istanz λ istanz λ (zeitliche) Phasenveschiebung (äumliche) Feldvektoen ( E ( t), H( t) ) ( E( t), H( t) ) E H Seite 4

25 Anwendungsbeispiel: H-Feld Emissionslimits übe Messdistanz Man kann diese Zusammenhänge beispielsweise dazu nutzen, um die Genzwete fü die Feldstäke auch in andeen istanzen als de angegebenen Mess-istanz messen und auf die Mess- istanz umechnen zu können. So kann man etwa zwischen unteschiedlichen Regulativen vegleichen (EU, USA,...). Ebenso kann man mit E-Feld-Antenne gemessene Genzwete mit Hilfe de Fomeln in H-Feld-Wete umechen, ode umgekeht. Es ist dabei jedoch imme etwas Vosicht auf Einflüsse geboten, zetifiziet wid jedenfalls nach Messvoschift. H-Feldstäke in A/m(ms). 3 H-Feldstäke de Limits übe istanz istanz in Meten Seite 5

26 Biot-Savat Gesetz zu Bestimmung de H-Feldstäke Seite 6

27 Gesetz von Ampée In de Reihenfolge de Entwicklungsgeschichte hat zuest Ampee (8) sein Gesetz gefunden, dem zufolge ein Stom, de duch einen Leite fließt, ein magnetisches Feld und um den Leite ezeugt. Mit de späte eingefühten Notation de Einheiten (efinition von µ ) lautet sein Gesetz in heute übliche Scheibweise z B Φ µ I cos 4π ( cosα α ) I...Antennenstom (effektiv)...istanz von Leitemitte µ...pemeabilität (magnetische Feldkonstante) im feien Raum, 4π -7 Vs/Am Fü den Spezialfall eines unendlich langen, geaden ahtstückes (> α -8, α ) egibt sich de bekannte einfache Zusammenhang B Φ µ I bzw. H Φ π I π Raumpunkt I Leitestück α α α R Seite 7

28 Gesetz von Biot-Savat Späte haben in Pais de Physike Jean-Baptiste Biot und sein Assistent Felix Savat das nach ihnen benannte Gesetz entwickelt, das es elaubt, Richtung und Stäke des magnetischen Feldes aus beliebigen Geometien und Stömen fü jeden Raumpunkt zu beechnen. as Gesetz lautet in integale Fom: I ds H I d s 4π 3 S Messpunkt dh as Poblem dabei ist das Umlaufintegal, das nu fü einige Spezialfälle analytisch zu lösen ist. Es egeben sich Näheungsfomeln fü wesentliche Fälle. Seite 8

29 Näheungsfomeln fü spezielle Geometien Keisunde plane Leiteschleife Rechteckige plane Leiteschleife Fü den Betag des H-Feldes auf de Achse eine keisunden planaen Leiteschleifen ( kuze Zylindespule ) egibt sich die Näheungsfomel : H I N R ( R + ) 3 x H Fü den Betag des H-Feldes auf de Achse eine echteckigen planen Leiteschleife mit den Kantenlängen a und b egibt sich die Näheungsfomel : I N ab + 4 a b a b π + + x + x + x H...Feldstäke am Messpunkt H...Feldstäke am Messpunkt I...Antennenstom (effektiv) I...Antennenstom (effektiv) N...Windungsanzahl N...Windungsanzahl R...(mittlee) Radius de Spule R...(mittlee) Radius de Spule x...istanz auf de Mittelachse x...istanz auf de Mittelachse Randbedingung ist eine plane ode kuze Spule (Länge << R) und de Nahfeldbeeich (x << λ/π). Seite 9

30 Eweitete Biot-Savat Savat-Fomel fü keisunde plane Leiteschleifen Mit Hilfe mathematische Softwae läßt sich die folgende Integalfomel ausweten, um exakte Lösungen fü keisunde Antennen zu ehalten. Man stellt dazu die keisfömige Leiteschleife mit Zylindekoodinaten da. e Vekto zwischen einem Punkt am Umfang de Leiteschleife (Index S fü souce) und dem Aufpunkt ode Empfangspunkt im Raum (Index R fü eceive) egibt sich so: SR ( x + a cos( Φ) x ) + ( y + a sin( Φ) y ) + ( z z ) ( Φ, xr, yr, zr ) S R S R S R abei ist de Mittelpunkt de keisunden Leiteschleife mit x S, y S und z S im Raum gegeben, de Aufpunkt mit x R, y R, z R. Radius de keisunden Leiteschleife ist a und ein Punkt am Umfang wid übe den Winkel φ beschieben (...36 ). π f ie Phasenkonstante beta egibt sich wie üblich nach β c Seite 3

31 Seite 3 Eweitete Biot Eweitete Biot-Savat Savat-Fomel fü keisunde Fomel fü keisunde plane Leiteschleifen plane Leiteschleifen ie Betäge de dei Komponenten de H-Feldstäke egeben sich im Aufpunkt damit zu ( ) ( ) ( ) [ ] Φ Φ + Φ + + d y y x x a i e a I z y x H R S R S SR SR i A R R R z SR π β β π ) sin( ) cos( 4,, Besondes wesentlich fü die üblicheweise koaxiale Anodnung von Reade und Tansponde ist die Hz-Komponente (bei exakt koaxiale Anodnung wid Hx und Hy Null). ( ) ( ) ( ) Φ + Φ d i e z z a I z y x H SR SR i R S A R R R x SR π β β π cos 4,, ( ) ( ) ( ) Φ + Φ d i e z z a I z y x H SR SR i R S A R R R y SR π β β π sin 4,,

32 Eweitete Biot-Savat Savat-Fomel fü keisunde plane Leiteschleifen Mit de um das Retadationspotential eweiteten Biot-Savat-Fomel läßt sich ebenfalls de typische Velauf de H-Feldstäke bei koaxiale und koplanae Antennen-Oientieung fü Nahfeld und Fenfeld zeigen: a mit diese Fomel das H-Feld auch seh nahe am Leite ichtig bestimmt weden kann, ist fü RFI- Anwendungen die Anmekung wichtig, dass dies natülich nu fü den unbelasteten Fall (Feifeld- Ausbeitung) gilt. Metallteile ode Tansponde ezeugen ein Sekundäfeld und wiken auf den Reade zuück. abei eduziet sich de Antennenstom, und damit auch das emittiete H-Feld. Seite 3

33 Zwei Betachtungen mit Biot-Savat as Biot-Savat-Gesetz liefet gute Egebnisse im Nahfeld und bezieht die Antennengeometie ichtig mit ein. Wi wollen dahe mit Hilfe des Biot-Savat-Gesetzes zwei Betachtungen anstellen, fü die Göße und Fom de Antenne entscheidend sind: Homogenität des H-Feldes Optimale Antennenadius as H-Feld ist in jedem Punkt im Raum duch einen Vekto zu bescheiben, de die Stäke und die Richtung des Feldes angibt. Es gibt dahe in katesischen Koodinaten stets die dei Komponenten x, y, z. Entlang de Spulen-Achse ist insbesondee die z-komponente wesentlich, die beiden andeen Richtungsbeitäge weden an diese speziellen Achse zu Null. Nahe de Leiteschleife entstehen zudem von beiden Leiten he entgegengesetzt geichtete Beitäge, die sich aufheben. Betachtet man also die Hz-Komponente übe den Queschnitt de keisunden Leitescheife, so findet man in geinge istanz z dahe übe de Mitte eine elle in de Feldstäke, bei gößee istanz z hingegen ein Maximum. Abhängig vom uchmesse de Leitescheife gibt es eine istanz z, an de sich übe eine gewisse Fläche eine ebene, homogene Feldstäkeveteilung egibt. Seite 33

34 Optimale Antennenadius Wi haben zuvo gesehen, dass in geingem Abstand zu eine elativ goßen, keisunden Sendeantenne auf de Mittelachse ein Minimum de Feldstäke besteht. Wenn man den gleichen Stom duch eine Antenne mit kleineem uchmesse fließen läßt, kann man in gleiche istanz punktuell viel höhee Feldstäken ezeugen. Veändet man bei konstantem Abstand x zu Sendeantenne den Antennen-Radius, so findet man (in koaxiale Oientieung) bei einem bestimmten Vehältnis zwischen Abstand und Radius ein Maximum de Feldstäke H. ieses Maximum ist feilich nu fü einen Abstand, beispielsweise die maximale Reichweite eines RFI-Systems, gegeben. Um den optimalen Antennen-Radius zu finden, kann man die Näheungsfomel ableiten: H d dr ( R) ( H ( R) ) INR ie Nullstellen diese Funktion liegen bei 3INR ( ) 3 ( ) ( R + x R + x R + x ) 3 ± x e enegetisch günstigste Radius egibt sich also zu mal de istanz zum Antennen-Mittelpunkt. abei wäe noch zu bedenken, dass die Näheung nicht die Inhomogenität des Feldes miteinbezieht, die Fläche de Tanspondeantenne also unbeücksichtigt bleibt. Gößenodnungsmäßig soll de maximale Abstand günstigeweise etwa gleich dem Radius de Sendeantenne sein. 3 Seite 34

35 Koppelsystem: Induziete Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, Koppelfakto Seite 35

36 Induziete Leelaufspannung, offene Schleife Fü eine einzelne, offene Leiteschleife in einem zeitlich veändelichen H-Feld (wi nehmen eine kontinuieliche Kosinus-Schwingung an) kann die induziete Spannung nach dem Induktionsgesetz von Michael Faaday beechnet weden: u i ( t) dφ dt Φ...magnetische Fluß ω...keisfequenz ( t) d[ Φ cos( ω t) ] Φ...Amplitude des Flusses ( sin( ω t) ) Φ ω cos ω t Φ ω π dt Φ B A µ Rµ H A Es egibt sich eine hamonische Schwingung auch fü den Zeitvelauf de induzieten Spannung. iese ist gegenübe de Schwingung im Fluss um eine Vietel-Peiodendaue zeitveschoben. Wenn man die Zeitveschiebung auße Acht läßt, egibt sich jedenfalls fü die Amplitude de induzieten Spannung: U i Φ ω π fc µ Rµ A H In eine idealen, offenen Leiteschleife fließt kein Stom, damit gibt es keine Rückwikung auf das pimäe H-Feld. In de Paxis weden bei hohen Fequenzen paasitäe Kapazitäten von wenigen pf bedeutend, sodass doch nennenswete Blindstöme fließen, und eine kleine Rückwikung auftitt. Seite 36

37 Stom in geschlossene Leiteschleife In eine geschlossenen Schleife eines idealen Leites ohne Wikwidestand, die in einem magnetischen Wechselfeld liegt, stellt sich (nach dem uchflutungssatz) ein Stom so ein, dass ein magnetisches Wechselfeld ezeugt wid, welches dem Pimäfeld entgegenwikt und dieses genau aufhebt (Regel von Lenz). e uchflutungssatz ist hie die este Maxwell-Gleichung, bei de fü zeitlich langsam veändeliches Magnetfeld (quasi-stationä) de Anteil de Veschiebungsstomstäke venächlässigt ist: H o ds C A J o nda s...beandungslinie (Randkuve C) A...(vom Leite) umschlossene Fläche n H J v...vekto nomal zu Fläche A...H-Feld...Leitungsstomdichte Wechselstom, de in eine geschlossenen Leiteschleife fließt, ezeugt ein H-Feld und hat damit eine Rückwikung auf das pimäe Feld, dem Enegie entzogen wid. An diese Stelle endet nomaleweise die klassische Theoie, fü RFI-Anwendungen liegen die Vehältnisse abe noch inteessante, weil die Randbedingungen fü Idealfälle nicht efüllt sind. Leite haben einen Wikwidestand, höhee Güten elauben phasenveschobene Stöme, etc. Seite 37

38 Induktivität Betachten wi zwei Leiteschleifen, die von zeitlich veändelichem Stom duchflossen sind. C...Randkuve de esten Fläche A...(vom Leite) umschlossene Fläche i...stom in esten Leite n B...Vekto nomal zu Fläche A...magnetische Flußdichte e Stom in de esten Leiteschleife ezeugt ein Magnetfeld, das die Fläche de Leiteschleife duchsetzt und sich außehalb de Schleifenfläche schließt. Ein Teil des magnetischen Feldes kann auch eine zweite Leiteschleife duchsetzen. Ändet sich de Stom in de esten Leiteschleife mit de Zeit, dann ändet sich ebenfalls das Magnetfeld zeitlich und induziet eine Spannung in beide Leiteschleifen. as hat einen Stom zu Folge, welche de zeitlichen Ändeung des Oiginal-Stomes entgegenwikt. e magnetische Fluß, de die. Leiteschleife duchsetzt, kann aus dem magnetischen Vektopotential beechnet weden. Φ Bo nda A A C A ( P ) o ds mit B ota Seite 38

39 Induktivität Alle Anteile, die zum Fluß duch eine Fläche beitagen, sind den Stomstäken in den einzelnen Leiten diekt popotional, somit gilt fü den Fluß duch Fläche : Φ I L + I L abei ist L mit gleichen Indices die Selbstinduktivität (L), und L mit unteschiedlichen Indices wid als Gegeninduktivität (M) bezeichnet. Man kann diese Popotionalitätswete auch allgemein auflösen: Es gilt fü die Gegeninduktivität: L L µ dso ds 4π C C R ( ) Es gilt fü die Selbstinduktivität: S P L µ 4 π I C V R dv o ds Ist nu ein Leite vohanden, ist die wiksame Induktivität die Selbstinduktivität; sind zwei stomduchflossene Leite vohanden, ist die wiksame Induktivität gleich Selbst- minus Gegeninduktivität. Seite 39

40 (Selbst-) ) Induktivität Bildlich gespochen läßt sich die Induktivität als die Tägheit des Stomes vestehen; sie ist de Widestand, den de Leite eine zeitlichen Ändeung des Stomflusses entgegenstellt. ie Induktivität egibt sich aus dem Vehältnis des mit dem Leite vebundenen magnetischen Flusses Φ und de Stomstäke I zu dφ L mit dem Spulenfluss ψ NΦ di e insgesamt vom Stom i ezeugte magnetische Fluß Φ ist diekt popotional dem Momentanwet de Stomstäke i. e dabei auftetende Popotionalitätswet ist die Induktivität. u i ( t) dψ dt ( t) dφ N di di dt L di dt dψ dφ L N di di Fü ein hamonische Schwingungen kann man wiede die Ableitung umwandeln, und damit gilt dann fü die Netzwek-Rechnung (ohne Betachtung von Einschwingvogängen) U I jx mit X ω L wobei j die Phasenveschiebung von 9 ausdückt. L L Seite 4

41 Einige Näheungsfomeln fü Induktivität Induktivität eines geaden Leitestückes mit keisundem Queschnitt: I...Länge des geaden Leites in cm a...radius des Leitequeschnittes in cm l a l 3 L, l ln in µ H a 4 Induktivität eine einzelnen keisunden Windung (Leite mit undem Queschnitt) R...Radius de Windung in cm a...radius des Leitequeschnittes in cm R a 8R L,57 R,33log in µ H a Induktivität eine langen Spule mit eine Wicklung (Leite mit undem Queschnitt) R...Radius de Windungen in cm R ( RN ) L in µ H,9R + 5,4l l...länge de Spule in cm N...Anzahl de Windungen l Seite 4

42 Einige Näheungsfomeln fü Induktivität Induktivität eine echteckigen Plana-Antenne mit eine Windung: L 4 b ln w( b + A a + b + a ln ) w( a + A a + b + ) [ ( )] w + a + b a + b in nh a...länge eine Seite in cm b...länge andee Seite in cm w...halbe Leitebahnbeite in cm A...Antennenfläche (a b) a w b Seite 4

43 Gegeninduktivität Eine exakte Beechnung de Gegeninduktivität zweie keisunde Leiteschleifen ist mit folgende Fomel möglich: M C µ π sin ( α ) x + + cos ( α ) dα M C...Gegeninduktivität in H µ...pemeabilitätskonstante,...radius de esten Schleife in m,...radius de zweiten Schleife in m, x...abstand de beiden Spulenmitten in m, α...winkel de beiden Spulenachsen Fü koaxiale Spulen, die auf eine gemeinsamen Achse liegen (koaxiale Oientieung), egibt sich dafü folgende Näheungsfomel N N M CA µ + ( ) 3 x π Seite 43

44 Koppelfakto e Koppelfakto (ode Koppelgad) egibt sich aus Induktivität und Gegeninduktivität eine Spulen- Anodnung, und gibt deen elative Vebindung an. E ist eine eine Geometie-Göße, da sich die andeen Paamete küzen lassen. M k mit M M L L M...Gegeninduktivität beide Spulen in H L...Induktivität. Spule in H, L...Induktivität. Spule in H uch Auflösen de jeweiligen Induktivität bzw. Gegeninduktivität kommt man zu Geometie- Gleichungen fü Spulenanodnungen. Fü zwei keisunde Spulen egibt sich so M k ( ) + x 3 Seite 44

45 Messung von Gegeninduktivität und Koppelgad Nicht imme ist eine exakte Beechnung aus de Spulengeometie leicht möglich, manchmal ist eine Messung (auch zu Kontolle de Rechnung) einfache duchzufühen. Eine Möglichkeit dafü nützt ein LCR-Mete, und liefet eine Näheung fü die Gegeninduktivität: L σ...steuinduktivität L H...Hauptinduktivität. Leelauf-Messung: ie este Spule wid ans Messgeät angschlossen, die zweite Spule bleibt offen. Ls wid an 3,56 MHz gemessen. L MESS H H. Kuzschluß-Messung: ie este Spule wid ans Messgeät angschlossen, die zweite Spule wid kuzgeschlossen. Ls wid an 3,56 MHz gemessen. L σ + L L LMESS Lσ + ( Lσ // LH ) Lσ e Steufakto ist L L K σ und de Koppelgad k σ L L K L L ie Gegeninduktivität M egibt sich daaus zu M k L L Seite 45

46 Messung des Koppelgades Eine andee, paktische Möglichkeit zu Messung des Koppelgades folgt aus eine seh einfachen Betachtung, die man vom nicht idealen Tansfomato he kennt: U U k K F L L k...koppelgad K F...Koektufakto (< ) U...Spannung Pimäspule U...Spannung Sekundäspule L...Induktivität Pimäspule L...Induktivität Sekundäspule Wesentliche Voaussetzungen dabei ist, dass in de Sekundäspule möglichst kein Stom fließen soll, um am Wikwidestand de Spule keinen Spannungsabfall zu veusachen, und um keine Rückwikung auf die Pimäspule zu veusachen. ie Messung efolgt dahe am besten mit einem aktiven Tastkopf, ode einem Spannungsfolge mit geinge Eingangskapazität. ie Wikung de stöenden Kapazität sollte dennoch duch einen Koektufakto beücksichtigt weden: C C + U U Wid eine pimäen Spule eine Wechselspannung eingepägt, und die induziete Spannung an eine sekundäen Spule gemessen, so egibt sich de Koppelgad nach K F ( ω C L ) GES C PROBE k mit L ~ N N N Es ist nach diesem Pinzip natülich auch möglich, Gegeninduktivität aus Schaltungssimulationen (Spice o.ä.) zu gewinnen. GES Seite 46

47 Impedanzen im Übeblick Symbol Z R Z R Impedanz jx R R Zeigediagamm I θ U i u Zeitfunktion Z R + jx Y G + ( t) I ( ω t + ) cos ϕ ( t ) U ( ω t + ) cos ϕ Signalvelauf u(t) i(t) jb t Z jω L jx U i ( t) I ( ω t + ) cos ϕ u(t) i(t) t Z sl jωl R I θ u ( t) U ( ω t ) cos ϕ Z j jω C ω C Z sc jx -j ωc R I θ U i u ( t) I ( ω t + ) cos ϕ ( t) U ( ω t + 9 ) cos ϕ u(t) i(t) t Seite 47

48 Smith-iagamm as Smith-iagamm wude von Phillip Smith im Jah 939 entwickelt. Hintegund dafü ist, dass die Impedanz- Eigenschaften von Netzweken bei hohen Fequenzen nu duch Reflexionsmessung an stehenden Wellen messtechnisch zugänglich weden. So abeitet ein Netzwekanalysato (Messgeät). ahe ist es naheliegend, die astellung des Reflexionsfaktos duch geeignete Skalen-Beschiftung als komplexe Impedanz ablesba zu machen. Zugleich zeigt das iagamm intuitiv die Genauigkeit des Messvefahens (genau um den Anpasspunkt 5 Ohm). as Smith-iagamm liegt also in de Ebene des Reflexionsfaktos ρ, und stellt eine Tansfomation de komplexen Impedanz Z auf ρ da. Es elaubt geometische Netzwek-Rechnungen, insbesondee Anpassung. Seite 48

49 Einige wesentliche Konstanten de Theoie 7 V s µ 4π... Pemeabilitätskonstante, magnetische Feldkonstante Am ε 8,854 A s V m... ielektizitätskonstante, elektische Feldkonstante c, m s...lichtgeschwindigkeit in Vakuum Seite 49

50 Refeenzen [] Maxwellsche Theoie - Gundlagen und Anwendung, Ingo Wolf, Spinge Velag 997, ISBN [] An Intoduction to Cicuit Analysis, onald E. Scott, McGaw-Hill 987, ISBN [3] Volesung Theoie de Elektotechnik an de TU Gaz Seite 5

51 Tainingsfagen zu Veständniskontolle Wie efolgt bei induktiv gekoppelten RFI-Systeme die Enegieübetagung von Reade zu Tansponde? Welche Modelle kennen wi, um die H-Feld-Ausbeitung im Nahfeld zu bescheiben, und welches sind ihe Voteile und Nachteile? Wie sieht im Vegleich zum H-Feld das E-Feld aus, und die Feldimpedanz Z? Welche beiden wichtigen Antennen-Oientieungen kann man untescheiden? Wie nimmt die Amplitude des H-Feldes übe de istanz zum Antennenmittelpunkt ab (Nah- und Fenfeld)? Bis zu welche istanz eicht bei 3,56 MHz Tägefequenz etwa das Nahfeld? Wie, und in welche istanz weden meist die Emissionslimits bestimmt? Welches Modell eignet sich zu esten Abschätzung fü Reade und Antenne? Welchen Stom im Antennenleite daf eine keisunde Reade-Antenne mit cm uchmesse und Windungen nicht übescheiten, um das Emissionslimit 6 db(µa/m) einzuhalten? Wie hoch ist die H-Feldstäke koaxial in cm von de Antennenmitte gemessen? Wie hoch muß die Stombelastbakeit des Leites eine echteckigen Antenne mit x 3 cm Kantenlänge sein, um in m istanz die gleiche H-Feldstäke zu ezeugen? Wie kann man die induziete Spannung in eine Leiteschleife heleiten, die duch ein magnetisches Wechselfeld ezeugt wid (Amplitude, Phasenlage)? Was vesteht man unte Induktivität, Gegeninduktivität und Koppelgad, und wie kann man diese Göße messen? Seite 5

52 Seite 5

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