1 Induktiver Aufbau von Graphen
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- Achim Hofmeister
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1 Ï˾¼½¼»½½ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÅÓ ÐÐ ÖÙÒ ĐÙÖ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö Ô Ò Ð ÓØ Ä ºÅĐÓÐÐ Ö ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe Ù Ó¼ Ö Ô Ò Å ÖØ Ò ÖÛ µ Ä ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ð ÓØ ÞÙÖ Ò ÐÙÒ Ö ÐÐ Ñ Ò Ö Î Ö Ö Ò ØÞ FuGoe ÙØÓÑ Ø Ò Ö ÑÑ ß¾ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe erwig/fgl/ ÃÒÓØ ÒÙÒ Ã ÒØ ÒÑ Ö ÖØ ÙÒÑ Ö ÖØ Ö ÐÐ Å Ö ÖÙÒ ÒÚÓÑØÖ Ú Ð ÒÌÝÔ() ÙÖ Å Ö ÖÙÒ ÙÒØ Ö Òµ Beispiel Å Ö ÒØ ÒÞÛ ÒÃÒÓØ Ò 1 Induktiver Aufbau von Graphen ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ß FuGoe type Node = Int -- statt Int könnte auch ein -- beliebiger anderer Typ von -- "Knotennamen" stehen type LNode a = (Node,a) -- a Typ der Knotenmarkierungen type UNode = LNode () -- unmarkierte Knoten type Edge = (Node,Node) type LEdge b = (Node,Node,b) -- b Typ der Kantenmarkierungen type UEdge = LEdge () -- unmarkierte Kanten type Graph a b = -- abstrakter Typ (in Typklasse eingeführt) der -- Graphen mit Knoten-/Kantenmarkierungen vom Typ a/b type UGraph = Graph () () -- unmarkierter Graph type Path = [Node] -- Pfad als reine Knotenfolge type LPath a = [LNode a] -- Pfad mit Knotenmarkierungen type UPath = [UNode]
2 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe Ò Ù ÒÃÒÓØ Ò Ò Ö Ô Ò Ò Ò ÔÖ ÒÛ Ö Ð ÍÑ ÖÙÒ ÚÓÖÛ ÖÇÔ Ö Ø ÓÒ ÒÞÙÑ Ò ĐÙ ÒÚÓÒÃÓÒØ ÜØ Ò Ð ÓÚÓÒ Ò ÖÐ ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒº ĐÙÖ Ò ÒÃÒÓØ Òx Ò Ò Ñ Ö Ô ÒG ÒÒÑ ÒGÞ ÖÐ Ò Ò Ò ÖÆÙÑÑ ÖÙÒ Ò ÖÅ Ö ÖÙÒ ÓÛ ÒÊ Ø Ö Ô ÒG ÒÃÓÒØ ÜØÚÓÒx Ø Ò Ù Ò Ò Ò Þ ÒÞÐ Ø Ò Ö ÙÖ ËØÖ ÒÚÓÒxÙÒ Ò Ö Ò¹ÙÒ Ù Ò Òà ÒØ Ò ÒØ Ø Øº FuGoe ß ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ Ò ÒÃÓÒØ ÜØ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe empty :: Graph a b ĐÙ Ò ÙÒ Ò ÃÒÓØ Ò Ò Û Ð Ñ Ø Ö ÒÎ Ö Ò ÙÒ Ò ÖÙÒ ĐÙÖ Ö Ô Ò Ù Ù Ù Ò ÔÙÒ Ø Ø Û Ð ÖÐ Ö Ö Ô ÞÙ Ö Ø Ø Ò ÒÃÒÓØ Òº emptyu :: UGraph ÒÃÒÓØ ÒxÑ Ø Ò Ö Ò Ò ¹ÙÒ Ù Ò Þ ÒÞ Ð Ø y 1 z b 1 c 1 1 x c b k n º º y k z n type Adj b = [(b,node)] Î Ö Ò ÙÒ ÒÛ Ö Ò Ö Ø ÐÐØ ÙÖ Þ ÒÞÐ Ø Ò type Context a b = (Adj b,node,a,adj b) embed :: Context a b -> Graph a b -> Graph a b Ò ĐÙ Ò ÍÑ ÖØ ÒÒÑ Ò Ò ÒÔ Ò ÒÃÓÒØ ÜØ Ò Ò Ò Ö Ô Ò embedu :: UContext -> UGraph -> UGraph infixr & ĐÙÖÛ Ö Ù ÒÁÒ ÜÓÔ Ö ØÓÖ Ò ĐÙ ÖØ c & g = embed c g
3 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½½ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½¼ß FuGoe ÞÙÚ Ö ÖÒ Ø Ø Đ Ð ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ ØÛ ÓÑÔÐ Ü Ö ÙÑ ÆÞ ÒÞ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½¾ß FuGoe Beispiel uarc n = ((),n) -- "Halbkante" mit Knoten n und leerer Markierung a = ([],1, a,[]) & empty -- Einzelknoten; -- streng genommen ist hier für eine der leeren Adjazenzen -- der Typ [] :: Adj () explizit anzugeben loop = ([],1, a,[uarc 1]) & empty -- Einzelknoten mit Schlinge e = ([uarc 1],2, b,[]) & a -- Kante a --> b ab = ([uarc 1],2, b,[uarc 1]) & a -- Zyklus aus zwei Knoten a <--> b GraphData> a ÃÒÓØ ÒÑ Ø Ö Ò Ù Ò Þ ÒÞ Ò Ù Ø ĐÙÖ Ö Ô Ò Ø Ò show¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖØ ÖÊ 1: a ->[] GraphData> loop 1: a ->[((),1)] GraphData> e 1: a ->[((),2)] 2: b ->[] GraphData> ab 1: a ->[((),2)] 2: b ->[((),1)] g3 = ([("left",2),("up",3)]),1, a,[("right",2)]) & ([],2, b,[("down",3)]) Û Ö Ò Ò Ö Ô ÒÒ Ò ÖÊ Ð Ù Ú Ö Ò Ï Ò Ù ÙØ ([],3, c,[]) empty & & type Context a b = (Adj b,a,adj b) Ò Ð Ð ÙÒ ÒÚÓÒÃÒÓØ Ò Ù Ê Ø ÓÒØ ÜØ Ò ÑĐÓ Ð ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ g3 = ([("down",2)]),3, c,[(("up",1)]) & ([("right",1)],2, b,[("left",1)]) & ([],l, a,[]) & empty
![a,[uarc 1]) & empty -- Einzelknoten mit Schlinge e = ([uarc 1],2, b,[]) & a -- Kante a --> b ab = ([uarc 1],2, b,[uarc 1]) & a -- Zyklus aus zwei Knoten a <--> b GraphData> a ÃÒÓØ ÒÑ Ø Ö Ò Ù Ò Þ ÒÞ Ò](/docs-images/50/18012630/images/page_3.jpg "Ù Ø ĐÙÖ Ö Ô Ò Ø Ò show¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÖØ ÖÊ 1: a ->[] GraphData> loop 1: a ->[((),1)] GraphData> e 1: a ->[((),2)] 2: b ->[] GraphData> ab 1: a ->[((),2)] 2: b ->[((),1)] g3 = ([(\"left\",2),(\"up\",3)]),1,")
4 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe insnode :: LNode a -> Graph a b -> Graph a b insnodes :: [LNode al -> Graph a b -> Graph a b insedge :: LEdge b -> Graph a b -> Graph a b Ù embedþùöđù ÙÑ ÕÙ Ñ Ò Ö Ø Ò ĐÙ ÖØÑ Ò Ò Ê ÚÓÒÀ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò insedges :: [LEdge b] -> Graph a b -> Graph a b ucycle :: Int -> UGraph BeispielÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒÚÓÒ Ý Ð ÒÙÒ Ø ÖÒ ĐÓÖÑ Ò Ö Ô Ò ucycle n = mkugraph vs (map (\v->(v,v mod n+1)) vs) where vs = [1..n] newnodes :: Int -> Graph a b -> [Node] -- Liste einiger im Graphen noch nicht enthaltenen Knoten star :: Int -> UGraph star n = mkugraph [1..n] (map (\v->(1,v)) [2..n]) mkgraph :: [LNode a] -> [LEdge b] -> Graph a b mkugraph :: [Node] -> [Edge] -> UGraph 2 Ableseoperationen ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe isempty :: Graph a b -> Bool nonodes :: Graph a b -> Int -- Knotenzahl Ö Ô Ò Ù Ù Ò ÖØÛ Ö Òº ÙÒĐ ØÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒĐÙ Ö ÓÐ Ò ÒØÝÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ĐÓÒÒ Ò Ò Ù Ø ÚĐÙ Ö Ò ÑØ Ö Ô Ò nodes :: Graph a b -> [Node] -- Knotenmenge als Liste labnodes :: Graph a b -> [LNode a] -- Liste der markierten Knoten edges :: Graph a b -> [Edge] -- Kantenmenge als Liste labedges :: Graph a b -> [LEdge b] -- Liste der markierten Kanten ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe suc :: Graph a b -> Node -> [Node] -- Nachfolger pre :: Graph a b -> Node -> [Node] -- Vorgänger neighbors :: Graph a b -> Node -> [Node] ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒĐÙ Ö ÒÞ ÐÒ ÃÒÓØ Ò -- Vorgänger und Nachfolger out :: Graph a b -> Node -> [LEdge b] -- ausgehende Kanten inn :: Graph a b -> Node -> [LEdge b] -- einlaufende Kanten outdeg :: Graph a b -> Node -> Int -- Ausgangsgrad indeg :: Graph a b -> Node -> Int -- Eingangsgrad deg :: Graph a b -> Node -> Int -- Grad
![vs (map (\v->(v,v mod n+1)) vs) where vs = [1..n] newnodes :: Int -> Graph a b -> [Node] -- Liste einiger im Graphen noch nicht enthaltenen Knoten star :: Int -> UGraph star n = mkugraph [1.](/docs-images/50/18012630/images/page_4.jpg ".n] (map (\v->(1,v)) [2.")
5 FuGoe ß½ ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ Ð Ê Ø Ö Ô ÞÙÖĐÙ Ð ÖØÛ Ö º Ö Ò Û ÖØ ÚÓÑÌÝÔa Ö ÛĐ Ö Ò Nothing Ò Ö ØÞÛ ÖØ Ñ Ø ÐÐØ ÖÃÓÒ ØÖÙ ØÓÖJust Î Ö ÒØ Ö ÓÖ ÒØÐ Ò Ð Ö ÐРغ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾¼ß FuGoe 3 Graphzerlegung pre :: Context a b -> [Node] neighbors :: Context a b -> [Node] out :: Context a b -> [LEdge b] inn :: Context a b -> [LEdge b] outdeg :: Context a b -> Int indeg :: Context a b -> Int deg :: Context a b -> Int Ö ÖÐ ÙÒ Ø Ò Ö Û Ð Ö ÐÐ Ò ÒÛ Ö ÒÑÙ Ò Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÛ Ö Ò Ð Ö Ò ÐÙÒ ÒĐÓØ º Ö ÖÐ ÙÒ ÒÓØ Ò ÖÒ Ø Ñ Ö Ô ÒÚÓÖ ÓÑÑغ data a = Just a Nothing ĐÙÖ ÓÐ Đ ÐÐ Ø ÒÀ ÐÐ ÒËØ Ò Ö ØÝÔMaybe suc :: Context a b -> [Node] ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ù ĐÙÖÃÓÒØ ÜØ Û Ø node :: Context a b -> Node -- zentraler Knoten des Kontexts lab :: Context a b -> a -- seine Markierung labnode :: Context a b -> LNode a -- zentraler Knoten mit Markierung ÒÀ ÐÐÞÛ ÖÑĐÓ Ð Ö ØÛ ÙÑ ØĐ Ò Ð Øº Ñ Ø ÒÒÑ Ò Ù Ò Ø Ù Ò Ñ Ò ÐÙÒ Ú ÖÞ Ø Ò ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe type MContext a b = Maybe (Context a b) ĐÙÖÙÒ Ö ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ö ÒÛ Ö ÓÐ Ò ÌÝÔ Ò type Decomp a b = (MContext a b,graph a b) type GDecomp a b = (Context a b,graph a b) type UContext type UDecomp = ([Node],Node,[Node]) = (Maybe UContext,UGraph) GraphData> match 1 a ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß½ ß FuGoe (Just ([],1, a,[]),) -- Restgraph leer GraphData> match 1 loop (Just ([],1, a,[((),1)]),) -- Restgraph leer -- Schlingenpfeil nur in einer Adjazenz! match :: Node -> Graph a b -> Decomp a b ÖÐ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò matchu :: Node -> UGraph -> UDecomp GraphData> match 1 ab (Just ([((),2)],1, a,[((),2)]), 2: b ->[]) GraphData> match 1 e (Just ([],1, a,[((),2)]), 2: b ->[]) ÃÒÓØ ÒÒ Ø Ñ Ö Ô ÒÐ Ø ÛĐ Ö Ò Ö Ö Ô ÙÒÚ ÖĐ Ò ÖØ Ð ÖÒ ÒÒ Ò Ö ØÞ ÓÒØ ÜØNothing Û ÒÒ Ö ØÖ Ø Ø
6 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾½ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾¾ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe GraphData> match 2 a (Nothing, 1: a ->[]) GraphData> match 1 g3 (Just ([("left",2), ("up",3)],1, a, [("right",2)]), 2: b ->[("down",3)] 3: c ->[]) matchp :: Node -> Graph a b -> Decomp a b -- wie match, fügt aber Schlingenkanten in die -- Vorgängerliste ein Ï Ø Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò ĐÓÒÒ Ò Ö Ù ÞÙÖĐÙ ĐÙ ÖØÛ Ö Ò matchany :: Graph a b -> GDecomp a b -- unbestimmte Zerlegung; -- Fehler bei leerem Graphen matchsome :: (Graph a b -> Node -> Bool) -> Graph a b -> GDecomp a b -- Zerlegung an unbestimmtem Knoten, -- der ein Prädikat erfüllt matchthe :: (Graph a b -> Node -> Bool) -> Graph a -> GDecomp a b -- dito; aber es darf nur einen erfüllenden Knoten geben v g = (Just c,g ) => c & g = g ĐÙÖmatch ÐØ ÓÐ Ò Ê ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ø 4 Allgemeine Graphenoperationen context :: Node -> Graph a b -> Context a b contextp :: Node -> Graph a b -> Context a b -- Zerlegungen ohne Restgraphen delnode :: Node -> Graph a b -> Graph a b delnodes :: [Node] -> Graph a b -> Graph a b deledge :: Edge -> Graph a b -> Graph a b deledges :: [Edge] -> Graph a b -> Graph a b -- Löschen von Knoten bzw. Kanten gmap :: (Context a b -> Context c d) ÙÖ Ð Ù ÒÚÓÒ Ö Ô Òº ÙÒĐ Ø ÔÖ ÒÛ Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÒÞÙÑ Ý Ø Ñ Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ò ÐÓ ÓÒÞÙÖmap¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ù Ä Ø Ò -> Graph a b -> Graph c d gmap f g = if isempty g then empty else f c & gmap f g where (c,g ) = matchany g
7 Û ÒØÐ Ü Ð Ö Ð ÛĐÓ ÒÐ ÒĐ Ö À Ð Ò ÖÙÒ Ð Ñ Ö À Ð Ò ÖÀ Ð Ò Ò ÙÒ Ö ĐÙÐÐØ Ò ÖÏÙÖÞ Ð Å Ò ÑÙÑ Ö Ð Ú ÖÞÛ Ø Đ ÙÑ Î Ö Ò ÙÒ ÞÛ ÖÀ Ð Ò Đ Ò Ñ Ø Ñ ÖĐÓ Ö ÒÏÙÖÞ Ð¹ ÃÒÓØ ÒÛ ÖØ Ï ÖØ Û ÖØ Ð ÞÙ Đ ØÞÐ Ã Ò ÙÒØ Ö ÏÙÖÞ ÐÑ Ø Ñ Ð Ò Ö Ò Ö Ù ÐĐ Ø Ò Ù Ø Ú Ò ÐÐ Ñ Ò Î Ö Ò ÙÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ĐÙÖ Ò Ð Ú Ð À Ð Ò Ò Ö Ò FuGoe ß¾ ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ Ú Ö Ò Ò ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe ÙÖ Ë ÐĐÙ ÐÚ ÖØÖ Ø ÒÛ Ö Òº Øa ÖÌÝÔ ÖË ÐĐÙ ÐÙÒ b Ö Ò ÖÏ ÖØ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe gmap (\(p,v,_,s) -> (p,v,chr(96+v),s)) Char¹ Ö Ø ÐÐÙÒ Ò ÖÆÙÑÑ Ö Ö ÐØ Ò Beispiel ÖÃÒÓØ Ò Ö Ô Ò ÓÐÐ Ð Å Ö ÖÙÒ nmap emap :: (a -> c) -> Graph a b -> Graph c b :: (b -> c) -> Graph a b -> Graph a c Ö Ø Ò ÐÐ ÖÃÒÓØ Ò¹ Þۺà ÒØ ÒÑ Ö ÖÙÒ Ò ËÔ Þ Ð Đ ÐÐ ÚÓÒgmap Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÞÙÑ Ý Ø Ñ Ø Ò grev :: Graph a b -> Graph a b Ï Ø Ö Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò -- Umkehren aller Kanten undir :: Graph a b -> Graph a b -- reichere den Graphen um fehlende symmetrisierte Kanten -- zur Darstellung des zugehörigen ungerichteten Graphen an unlab :: Graph a b -> UGraph -- erzeuge den unterliegenden unmarkierten Graphen gsel :: (Context a b -> Bool) -> Graph a b -> [Context a b] -- Liste aller Kontexte, die ein Prädikat erfüllen 5 Kürzeste Wege ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe data Ord a => Heap a b = Empty Node a b [Heap a b] Ò Ò Ø Ö Ø ÒØÝÔ Ø Ò ÐÓ ÞÙÑ ÐÐ Ñ Ò Ò ÙÑØÝÔ ÜØÖ Ø ÓÒ Å Ò ÑÙÑ ÏÙÖÞ Ð Ò ÒÙÒ ÐÐ ÖÃ Ò Ö
8 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß¾ ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ½ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ¼ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ¾ß FuGoe empty :: Ord a => Heap a b ÞÙ ĐÓÖ ÒÇÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ò ÓÐ Ò Ò empty = Empty isempty :: Ord a => Heap a b -> Bool isempty Empty = True isempty _ = False unit :: Ord a => a -> b -> Heap a b unit key val = Node key val [] merge :: Ord a => Heap a b -> Heap a b -> Heap a b merge h Empty = h merge Empty h = h merge h@(node key1 val1 hs) key2 val2 hs ) key1<key2 = Node key1 val1 (h :hs) otherwise = Node key2 val2 (h:hs ) mergeall:: Ord a => [Heap a b] -> Heap a b mergeall [] = Empty mergeall [h] = h mergeall (h:h :hs) = merge (merge h h ) (mergeall hs) insert :: Ord a => (a, b) -> Heap a b -> Heap a b insert (key, val) h = merge (unit key val) h findmin :: Ord a => Heap a b -> (a, b) findmin Empty = error "Heap.findMin: empty heap" findmin (Node key val _) = (key, val) deletemin :: Ord a => Heap a b -> Heap a b deletemin Empty = Empty deletemin (Node hs) = mergeall hs splitmin :: Ord a => Heap a b -> (a,b,heap a b) splitmin Empty = error "Heap.splitMin: empty heap" splitmin (Node key val hs) = (key,val,mergeall hs) build :: Ord a => [(a,b)] -> Heap a b ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ë ÐĐÙ ÐÙÒ Ï ÖØ Ò Ö Û Ð Ð µ Å Ø ÒÇÔ Ö Ø ÓÒ ÒÐĐ Ø À Ð Ò ÓÖØ Ö Ò Ó build = foldr insert Empty tolist :: Ord a => Heap a b -> [(a,b)] tolist Empty = [] tolist h = x:tolist r where (x,r) = (findmin h,deletemin h) heapsort :: Ord a => [a] -> [a] heapsort = (map fst). tolist. build. map (\x->(x,x))
![Empty h = h merge h@(node key1 val1 hs) h @(Node key2 val2 hs ) key1<key2 = Node key1 val1 (h :hs) otherwise = Node key2 val2 (h:hs ) mergeall:: Ord a => [Heap a b] -> Heap a b mergeall [] = Empty](/docs-images/50/18012630/images/page_8.jpg "mergeall [h] = h mergeall (h:h :hs) = merge (merge h h ) (mergeall hs) insert :: Ord a => (a, b) -> Heap a b -> Heap a b insert (key, val) h = merge (unit key val) h findmin :: Ord a => Heap a b ->")
9 ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe Ð ÑÔ Ö Ø Ú ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ ÓÒ ØÖÙ ÖØ Ò Ö Ñ Ò¹ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ ÚÓÒ ØÖ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ĐÙÖÞ Ø ÒÏ ÚÓÑËØ ÖØ ÒÓØ ÒsÞÙx ÒØ Đ Ðغ Ø ÐÐ Ò Ð pre ÞÙ ÑÃÒÓØ Òx ÒÎÓÖ Đ Ò Ö Ù Ò Ñ Ì Ø Đ Ð Ö ÔÖĐ ÒØ ÖØpre Ò ÒËÔ ÒÒ ÙÑ Ö Ù ÑÑ Ò¹ ÖÛ Ö Ö Ò ÖÓ Ò ÖÛĐ ÒØ ÒÏ Ð Å Ò ÞÛº Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ÚÓÒsº Ñ Ø Ö Ò Øº Ä Ø µúóòè Ò Ö Ø ÐÐØÙÒ Ø ØØ Ð Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ È Û Ö Ò ÆÞ ÒØ Ò Ò ÖÑ Ö ÒÀ Ð Ú ÖÛ ÐØ Øº ÙÒ ÖÞÙ ĐÓÖ ÒÄĐ Ò º Á Ö ÃÒÓØ Ò ÒØÖĐ Ò È Ö Ø Ò Û Ð Ù Ò ÑÈ ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ù Ù Øº ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe type RTree = [Path] Ö Ø ÐÐØ Ð Å Ò ÒÚÓÒÈ ÒÚÓÒ ÙÑ ÒÓØ ÒÞÙÖÏÙÖÞ Ð Ï Ø Ö À Ð Ñ ØØ Ð ÒÚ ÖØ ÖØ Đ ÙÑ Ú ÐºÍÒ ÓÒ¹ Ò µ type LRTree a = [LPath a] À Ð Ò ØÖ ÒÙÒ Ñ ØÑ Ò Ñ Ð ÖÄĐ Ò ÙÖ À й Ò Ö Ð Ñ ÑÔ Ö Ø Ú Ò ÐÐÛ Ö Ò Ò ÐÐ È Ò sptree :: (Graph gr, Real b) => Û Ö ÙÖ ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÖ Ð ÖØ Node -> gr a b -> LRTree b sptree s g = dijkstra (unit 0 [(s,0)]) g -- Anfangshalde enthält nur die einelementige Halde -- mit der Wurzel s dijkstra :: (Graph gr, Real b) => Heap b (LPath b) -> gr a b -> LRTree b dijkstra h g = if isempty h isempty g then [] else let (_,p,h ) = splitmin h -- hole Pfad minimaler Länge (v,d) = head p in case match v g of (Just c,g ) -> p : dijkstra h g where h = mergeall (h : expand d p c) (Nothing,g ) -> dijkstra h g
![ÖÞÙ ĐÓÖ ÒÄĐ Ò º Á Ö ÃÒÓØ Ò ÒØÖĐ Ò È Ö Ø Ò Û Ð Ù Ò ÑÈ ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ù Ù Øº ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe type RTree = [Path] Ö Ø ÐÐØ Ð Å Ò ÒÚÓÒÈ ÒÚÓÒ ÙÑ ÒÓØ ÒÞÙÖÏÙÖÞ Ð Ï Ø Ö À Ð](/docs-images/50/18012630/images/page_9.jpg "Ñ ØØ Ð ÒÚ ÖØ ÖØ Đ ÙÑ Ú ÐºÍÒ ÓÒ¹ Ò µ type LRTree a = [LPath a] À Ð Ò ØÖ ÒÙÒ Ñ ØÑ Ò Ñ Ð ÖÄĐ Ò ÙÖ À й Ò Ö Ð Ñ ÑÔ Ö Ø Ú Ò ÐÐÛ Ö Ò Ò ÐÐ È Ò sptree :: (Graph gr, Real b) => Û Ö ÙÖ ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒÖ Ð ÖØ")
10 ÖÖ Öº FuGoe ß ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ß FuGoe ÓÖØ ÖØ Ù ØÖ Ø Òº FuGoe ß ß ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ºÅĐÓÐÐ Ö»ËºÌ ÑÔ ß ¼ß FuGoe expand :: Real b => b -> LPath b -> Context a b -> [Heap b (LPath b)] expand d p (_,x,_,succlist) = map adaptdist succlist where adaptdist (e,v) = unit (e+d) ((v,e+d):p) -- e Kantengewicht einer von v ausgehenden Kante splength :: (Graph gr, Real b) => ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò ÆÙÒ ĐÓÒÒ ÒÛ Ö ÒØÐ ÒØ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Node -> Node -> gr a b -> b splength s t g = getdistance t (sptree s g) sp :: (Graph gr, Real b) => Node -> Node -> gr a b -> Path sp s t g = getlpathnodes t (sptree s g) ØÞ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÒgetDistanceÙÒ getlpathnodes ÚÓÖ Ù Ñ Ø ÑÃÒÓØ Òt ÒÒ Ò ÒÈ Ñ Ö Ñ ÖËØ ÖØ ÒÓØ Òs ØÚÓÒx Ù ÑÈ p ÖÄĐ Ò d ÖÖ Öº ÐÐ ÃÒÓØ Ò Ò ÙÐ Ø Ò Æ ÓÐ ÖÚÓÒxº ØsÚÓÒv Ù Ù ÑÙÑvÚ ÖÐĐ Ò ÖØ ÒÈ ÖÄĐ Ò l+d Á Ø Ð Óv ÒÆ ÓÐ ÖÚÓÒx Ù Ò Öà ÒØ ÖÄĐ Ò l Ó ÞÛ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØ ÙÖ À Ð Ò ØÖÙ ØÙÖÒ Ö ÖÄĐ Ò getdistance :: Node -> LRTree a -> a getdistance v pp = snd (head (findp v pp)) -- Distanz zum Startknoten ist in jedem pp-pfad vermerkt findp :: Node -> LRTree a -> [LNode a] -- liefert den ersten Pfad, der mit dem -- übergebenen Knoten beginnt findp v pp = if pp == [] then [] else if head pp == [] fst (head pp) /= v then findp v tail pp else head pp getlpath :: Node -> LRTree a -> LPath a getlpath v pp = reverse (findp v pp) -- invertierten Pfad in gewöhnlichen umrechnen getlpathnodes :: Node -> LRTree a -> Path getlpathnodes v pp = map fst (getlpath v) -- Distanzinformation wegwerfen
ÉÙ ÒØ Ò ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ô Ý ÓÖ ÖØ Ö ÅÓÐ ĐÙÐ Ø Ò Ù Ö Ô Ø È ÒĐÙ Ö Đ Ò ÉÙ ÒØ Ò «Ø ÙÒ Ð Ò Ø Ò ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò Ñ Ö È Ý Ö ÂÓ ÒÒ ÙØ Ò Ö ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ò Å ÒÞ ÚÓÒ Ö ÇÐ ÄĐÓ Ò ÓÖ Ò Ò Ï Ò Å ¾¼¼¼
 ÀÊ Ë ÊÁ ÀÌ ½ ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ËØÙØØ ÖØ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ØÛ Ò ØÖ ¾¼¹¾¾ ¼ ËØÙØØ ÖØ À Ö Ù Ö ÈÖÓ º Öº Àº¹Âº ÏÙÒ ÖÐ Đ Ø ĐÙ Ö Ò Ö Ö ØÓÖ ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ØÛ Ò ØÖ ¾¼¹¾¾ ¼ ËØÙØØ ÖØ Ê Ø ÓÒ ÖÒ Ö Ð Ö Ì
Å Ö Ù ÃÐ Ò Ä Ò Đ Ö Ö Ï Ö Ù ÐØ ÚÓÒ Ö ¹ ÙÒ Ï Ð ØĐ Ò Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ã Ð Ö ÖÙÒ ÙÒ ÒÛ Ò ÙÒ ÅÓ ÐÐ Ä Ñ ÖÓ ¹ÄÝ Ñ Ø Ö Ëغ ÖÒÓÐ Ç Ò ÖĐÙ ¾¼¼¼ Ä Ò Đ Ö Ö Ï Ö Ù ÐØ ÚÓÒ Ö ¹ ÙÒ Ï Ð ØĐ Ò Ò ÒØÛ ÐÙÒ Ã Ð Ö ÖÙÒ ÙÒ ÒÛ Ò ÙÒ ÅÓ ÐÐ
ÃÓÒÞ ÔØ ÓÒ ÙÒ Ê Ð ÖÙÒ Ò ÓÓ Ñ Ö Ú ÖÛ ÐØÙÒ Ý Ø Ñ ĐÙÖ Ò ËØ Ø ĐÙ Ö Ù Ö ÚÓÒ ÈÀÈ ÙÒ ÅÝËÉÄ ÔÐÓÑ Ö Ø Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø ÙÒ ÁÒØÖ Ò Ø ËØÙ Ò Ò Ç«ÒØÐ Đ Ð ÓØ Ò Ö Ó ÙÐ ËØÙØØ ÖØ ß ÀÓ ÙÐ Ö Å Ò ÃÐ Ù ÃĐÓ Ð Ö Ö ØÔÖĐÙ Ö Û ØÔÖĐÙ Ö
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