WB Wechselstrombrücke

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1 WB Wechselstrombrücke Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Wechselstromwiderstand Wechselstromwiderstand von Schaltungen Wheatstone-Brücke Versuchsdurchführung 6 4 Messergebnisse und Auswertung Kondensatoren Spulen

2 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB 2 1 Einführung In diesem Versuch sollen Kapazitäten und Induktivitäten durch eine Wechselstrombrücke gemessen werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Wechselstromwiderstand Bei Gleichstrom definiert man den Widerstand eines Bauteils durch R = U/I. Legt man an ein Bauteil Wechselspannung U(t) = U 0 cos ωt = Ũ an, so hängt der Widerstand von der Art des Bauteils ab. Für einen ohmschen Widerstand gilt nach wie vor R = U(t)/I(t), d.h. der Strom ist I Ω (t) = Ũ R = U 0 cos ωt = ĨΩ. R Eine Kapazität C verschiebt jedoch die Phase des Stroms um π/2 gegenüber der Phase der Spannung, da bei einer Kapazität der Strom I direkt proportional zur zeitlichen Ableitung der Spannung U ist: Ĩ = Q = C Ũ = CωU 0 sin ωt = I 0 cos(ωt + π/2) R C := U 0 = 1 I 0 ωc (1) Eine Kapazität C hat also einen Widerstand R C und verschiebt die Stromphase um π/2. Dies lässt sich durch Einführung eines komplexen Wechselstromwiderstands Z C = i ωc zusammenfassen, wenn man Strom Ĩ und Spannung Ũ ebenfalls komplex durch beschreibt, denn dann ist Ũ(t) = U 0 e iωt und Ĩ(t) = I 0 e i(ωt+π/2) Z C = Ũ Ĩ = 1 ωc e iπ/2 = i ωc. (2)

3 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB 3 Eine Induktivität L verschiebt die Stromphase um π/2 in die andere Richtung, da die Spannung U direkt proportional zur zeitlichen Ableitung des Stroms I ist: Ĩ = Ĩ = U 0 L Ũ L = U 0 L eiωt e iωt dt = U 0 ωl ieiωt = U 0 ωl ei(ωt π/2) = I 0 e i(ωt π/2) Für den komplexen Wechselstromwiderstand erhält man somit Z L = Ũ Ĩ = ωleiπ/2 = iωl. (3) Allgemein ist der Imaginärteil des komplexen Wechselstromwiderstands der Blindwiderstand, während der Realanteil der Verlustwiderstand ist. 2.2 Wechselstromwiderstand von Schaltungen Schaltet man ohmsche Widerstände R, Induktivitäten L und Kapazitäten C hintereinander, so addieren sich die komplexen Wechselstromwiderstand zu einem gesamten Wechselstromwiderstand Z. Beispiele: 1. Induktivität L und ohmscher Widerstand R: Z = Z L + Z R = iωl + R Z = (ωl) 2 + R 2, tan ϕ = ImZ ReZ = ωl R (4) 2. Kapazität C und ohmscher Widerstand R: Z = Z C + Z R = i ωc + R ( ) 1 2 Z = + R ωc 2, tan ϕ = 1 ωcr (5) 3. Induktivität L, Kapazität C und ohmscher Widerstand R: Z = Z L + Z C + Z R = iωl i ωc + R ( Z = ωl 1 ) 2 + R ωc 2 ωl 1/ωC, tan ϕ = (6) R

4 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB Wheatstone-Brücke Gleichstrom Eine Gleichstrom-Wheatstone-Brücke ermöglicht die Messung des ohmschen Widerstands eines unbekannten Bauteils. Eine Gleichstrom- Wheatstone-Brücke ist eine Parallelschaltung von vier Widerständen in zwei Zweigen, wobei die Spannung U, die zwischen den beiden Zweigen abfällt, durch einen Spannungsmesser gemessen wird (siehe Abb. 1). Im abgeglichenen Zustand ist die Spannung bei R 1, R 3 und Abbildung 1: Wheatstone-Brücke für Gleichstrom. bei R 2, R 4 jeweils gleich groß, da kein Strom durch die Brücke fließt. Also folgt I 1 R 1 = I 3 R 3 und I 1 R 2 = I 3 R 4 R 1 R 2 = R 3 R 4 so dass man den unbekannten Widerstand R 1 aus den bekannten Widerständen R 2,R 3 und R 4 berechnen kann (R 2 und R 4 sind gewöhnlich durch ein Potentiometer realisiert). Wechselstrom Eine Wheatstone-Brücke für Wechselstrom ist prinzipiell gleich aufgebaut, enthält aber in beiden Zweigen ein Potentiometer (siehe Abb. 2). Mit diesem Aufbau lassen sich die Kapazität C von Kondensatoren und die Induktivität L von Spulen sowie deren Blind- und Verlustwiderstände ermitteln. Hierzu betrachten wir den abgeglichenen Zustand in Abb. 2, in dem kein Strom durch die Brücke fließt. Nehmen wir an, dass sich an Stelle von R x und L x eine Kapazität C x im linken

5 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN WB 5 Abbildung 2: Wheatstone-Brücke für Wechselstrom. Zweig befindet und statt R n und L n eine Kapazität C n im rechten Zweig ist. Dann sind der Strom I x, der von A nach C durch L x, R x und R a fließt, und der Strom I n, der von C nach E durch R b, R n und L n fließt gleich I x = I n. Somit gilt analog zur Gleichstrombrücke R a = Z x Z n = 1 iωc x + R a 1 iωc n + R b Z x = R a Z n. Da zwei komplexe Zahlen gleich sind, wenn ihre Real- und Imaginärteile jeweils gleich sind, folgt 1 Realteil: Imaginärteil: R a R b = R a 1 iωc x 1 = C n = R a C x = C n. (7) iωc n C x R a Da ein Bruch komplexer Zahlen nur dann reell ist, wenn Zähler und Nenner die gleiche Phasen haben (Division entspricht Subtraktion der Phasen), haben die Wechselstromwiderstände Z x und Z n die gleichen Phasen ϕ Zx = ϕ Zn. Wegen Z = U/I erhält man aus der Polardarstellung Z = Z e iϕ Z = U I ei(ϕ U ϕ I ) ϕ Z = ϕ U ϕ I, d.h. die Phase des Wechselstromwiderstands ϕ Z gibt die Phasendifferenz von U und I an. Da ϕ Z im x- und n-abschnitt gleich sind, ist 1 An der Bedingung für den Realteil erkennt man die Notwendigkeit des R a, R b Potentiometers in der Schaltung.

6 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG WB 6 die Phasendifferenz von U und I in diesen beiden Abschnitten gleich groß. Da die x- und n-abschnitte direkt miteinander verbunden sind und somit keine weitere Phasenverschiebung zwischen U und I stattfinden kann, sind U und I in x- und n-abschnitt jeweils in Phase, d.h. ϕ Ux = ϕ Un und ϕ Ix = ϕ In. Man erhält für die Phase ϕ Z von Z n und Z x tan ϕ Z = 1 ωc n R b. Ersetzt man die Kapazitäten C x und C n durch zwei Induktivitäten L x und L n und zwei Widerstände R x und R n, so dass man die Schaltung aus Abb. 2 erhält, dann ergibt sich analog zu oben R a = Z x Z n = iωl x + R x + R a iωl n + R n + R b und somit für Real- und Imaginärteil Realteil: R x + R a R n + R b = R a ωl x Imaginärteil: = L x = R a. (8) ωl n L n Durch Auflösen erhält man Formeln für die Induktivität L x und den Verlustwiderstand R x der unbekannten Spule. Während R a, R a und R b also reine Verlustwiderstände sind, sind die Kondensatoren reine Blindwiderstände (mit positiver Phasenverschiebung von +π/2). Lediglich die Spulen bestehen sowohl aus einem Verlustwiderstand und einem Blindwiderstand (mit negativer Phasenverschiebung von π/2). 3 Versuchsdurchführung In dem Versuch wird mit einer Wheatstone-Brücke für Wechselstrom die Induktivität einer Spule und die Kapazität und der Verlustwiderstand eines Kondensator gemessen. Hierzu werden die im Theorieteil hergeleiteten Formeln auf die gemessenen Potentiometereinstellungen angewandt, bei denen kein Strom durch die Brücke fließt. Der Nullpunkt des Stromflusses wird durch Anschließen eines Kopfhörers an die Brücke bestimmt. Da die Frequenz der Wechselspannung im hörbaren Bereich liegt, fließt kein Strom, wenn kein Ton zu hören ist. 4 Messergebnisse und Auswertung In den folgenden Tabellen sind die Potentiometer-Einstellungen eingetragen, bei denen kein Ton mehr auf der Brücke zu hören war. Bei

7 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG WB 7 den Kondensatoren ist jeweils R a = R a/100 und R b = /100. Alle Widerstände sind in Ω angegeben. 4.1 Kondensatoren C2X1 R a C vgl C errechnet ,922µF 0,151µF ,220µF 0,150µF C2X2 R a C vgl C errechnet ,922µF 1,57µF ,220µF 1,57µF C2X1 und C2X2 in Parallelschaltung R a C vgl C errechnet ,922µF 1,72µF ,220µF 1,73µF Der berechnete Wert beträgt 1,72µF und stimmt gut mit den gemessenen Werten überein. C2X1 und C2X2 in Reihenschaltung R a C vgl C errechnet ,922µF 0,134µF ,220µF 0,138µF Der berechnete Wert beträgt 0,137µF und stimmt gut mit den gemessenen Werten überein.

8 4 MESSERGEBNISSE UND AUSWERTUNG WB Spulen Spulenwerte Spule R a R b R a L vgl R vgl L errechnet R erechnet L2X , 46mH 17, 55Ω 60, 71mH 15, 56Ω L2X ,5 292,5 68,46mH 17,55Ω 94,54mH 20,85Ω Gegeninduktivität Spulenrichtung R a L vgl L errechnet Gegeninduktivität gleichsinnig , 46mH 311, 9mH 78, 33mH gegensinnig , 46mH 6, 771mH 74, 23mH Die Werte für die Gegeninduktivität sind etwas voneinander verschieden, was durch die ungenauen Lautstärkeminima erklärt werden kann. Im Rahmen der Messunsicherheiten ist das Ergebnis allerdings vertretbar.

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