FORMELSAMMLUNG ET. Inhaltsverzeichnis

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1 FORMELSAMMLUNG ET ZO Zusammenfassung. Entstanden aus den Vorlesungen bei G. Meyer, FHSG St.Gallen. Inhaltsverzeichnis Teil 1. Grundsätzliches 3 1. Ladung Definition Ladungserhaltung Quantisierung der Ladung Coulomb sches Gesetz 3 2. Spannung 4 3. Strom Definition Einheit des el. Stroms Ladungsbewegung im metallischen Gitter 4 4. Leiter und Nichtleiter 4 5. Spezifischer Widerstand ρ Gundlegendes Ohm sches Gesetz Temperatur-Abhängigkeit 5 6. Quellen Definition Ideale Quellen Galvanische Elemente 8 Teil 2. Netzwerk-Analyse 8 7. Definition 8 8. Lineare Modellbildung für Quellen und Verbraucher 8 9. Kirchhoffsche Regeln Maschensatz Knotensatz Berechnung einfacher Netzwerke Widerstände seriell Widerstände parallel: Dreieck-Stern-Schaltung Generator-Ersatzschaltung Superpositionsgesetz Systematische Netzwerk-Analyse Bestimmung der geeigneten Gleichungen Elemente des Graphen Verfahren zur systematischen Netzwerk-Analyse Zweigstromanalyse 12 1

2 11.5. Kreisstromverfahren (Ideale Stromquellen) Kreis- oder Maschenstromverfahren Elektrodynamik Einige Definitionen Fluss Arbeit Elektrische Feldgrössen El. Strömungsfeld Stromdichte s Coulomb sches Gesetz Übergang vom Partikel- zum Feldmodell Potential ϕ Elektrostatisches Feld Elektrisches Feld einer Punktladung Berechnung der el. Feldstärke E aus der Potentialverteilung im Raum Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Q und D in Differentialform Zusammenhang zwischen Strömungsfeld s und der Feldstärke E Kapazitäten Zwei-Elektroden-Anordnung: Kapazität C [F ] Strom-Spannungs-Zusammenhang C an idealer Spannungsquelle C an idealer Stromquelle Sinusförmige ideale Spannungsquelle Phasenverschiebung an der Kapazität: Einschaltvorgang an RC-Serieschaltung Serie- und Parallelschaltung von Kapazitäten Berechnung von (Plattenkondensator-)Kapazitäten Elektrostatisches Feld bei unterschiedlichen Dielektrika Energie im Kondensator Energie im elektrischen Feld Kraft an den Elektroden des Kondensators Magnetfelder Einführung Stromdurchflossener Leiter im B-Feld Bewegter Leiter im B-Feld Induktionsgesetz für offene Schleife (Faraday) Schleifen in Serie Rotierende Schleife (Generator) Induktion Permeabilität µ Mögliches Messverfahren für Hysteresekurven H- und B-Feld am der Grenze zwischen Stoffen mit unterschiedlichem µ r Magnetischer Kreis Einfluss des Luftspalts auf die Hysterese Magnetischer Widerstand Charakteristische Gleichung der idealen Spule Schwingkreis Berechnung der Induktivität 29 2

3 Gegeninduktivität M Energie der Induktivität Energiedichte in der Spule 31 Teil 3. Älterer Kram Spannungsteiler Wirkungsgrad η Spulen Arbeit, Leistung etc Magnetismus Magnete Magnetische Durchflutung Magnetische Feldstärke Magnetische Flussdichte Magnetischer Widerstand Beziehung zwischen magnetischer Flussdichte und Feldstärke Kraftwirkungen zwischen parallelen Leitern Wärmeprobleme Wärmemenge Elektrowärme 34 Teil 1. Grundsätzliches 1. Ladung 1.1. Definition. Ladung ist eine Eigenschaft von Materie, die zu Kraftwirkungen zwischen Körpern führt. Gleiche Ladungen stossen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an Ladungserhaltung. Die gesamte elektrische Ladung eines Systems, d.h. die vorzeichenbehaftete Summe aller Teilladungen ist stets konstant Quantisierung der Ladung. Alle Ladungen sind Vielfache einer kleinsten Ladungsmenge, der Elementarladung e = As 1.4. Coulomb sches Gesetz. Kraf t Ladungsmenge Kraft Es gilt das Superpositions-Gesetz: F = n i=2 F = 1 Abstand 2 n i=2 3 k Q1Q i ri1 2 e ri1

4 2. Spannung Q 1 Q i E = k r 2 i1 e ri1 E sei für jeden Punkt im Raum definiert Kraftfeld. W = F (r) dr = Q2 E (r) dr Die elektrische Spannung U ist gleich der Änderung der pot. Energie ( W ), falls die Ladung Q 2 gleich 1 ist. U 12 = W E = (r) dr Q 2 U = E (s) ds 3. Strom 3.1. Definition. Elektrische Spannungen können eine Ladungsbewegung, d.h. einen elektrischen Strom bewirken. I = dq dt Es gibt verschiedene Transportvorgänge (met. Leiter, Elektrolyte, Gase) Einheit des el. Stroms. Ampere 1A = 1 Cb s = Elektronen Sekunde 3.3. Ladungsbewegung im metallischen Gitter. In der Zeit t verschiebe sich das Volumen A s durch die Leiterebene Ladung in Volumen. A s: q = A s n e n bezeichnet die Dichte der freien Ladungskörper; n cu = e m Mittlere Drift-Geschwindigkeit....v, falls alle Valenzelektronen bewegt werden: v = s t Es gilt: q = I t = A s n e I = A s t ne = A v n e I A = v n e (Strom pro Flächeneinheit im Leiter...) Leiter: Cu, Al, Fe,... Halbleiter: Si, Ge, C,... Nichtleiter: Glas, Kunststoffe, Leiter und Nichtleiter 4

5 5. Spezifischer Widerstand ρ 5.1. Gundlegendes. Die Leitfähigkeit hängt ab von der Geometrie und vom Material Ohm sches Gesetz. U = R I Aus der Definition von U und i ergibt sich eine Grösse R = U i, gemessen in Ohm = V olt Ampre. wobei zum Beispiel ρ Cu = Ωmm2 m l R = ρ A ist. Der spezifische Leitwert γ entspricht dem Reziprok-Wert: γ = 1 ρ. Widerstand pro Längeneinheit lässt sich berechnen durch R = ρ l A 5.3. Temperatur-Abhängigkeit. ρ ist temperaturabhängig und gilt üblicherweise für 20 C. Bei Metallen steigt der Widerstand mit zunehmender Temperatur, bei Halbleitern fällt er Lineares Modell. Im Temperaturbereich für el. Systeme lässt sich ein lineares Temperaturmodell verwenden: ρ(ϑ) = ρ 20 (1 + ϑ α 20 ) ϑ = ϑ 20 C α 20 = T emperaturkoeffizient Für eine konstante l und A wird mit Beispiele für α 20 R(ϑ) = ρ(ϑ) l A R(ϑ) = R 20 (1 + ϑ α 20 ) α 20 Cu = C 1 α 20 Al = C Quadratische Approximation für grosse Bereiche. ρ(ϑ) = ρ 20 (1 + α 20 ϑ + β 20 ϑ 2 ) β 20 Cu = C 2 β 20 Al = C 2 6. Quellen 6.1. Definition. Quellen sind aktive Zweipole, d.h. Bauelemente mit 2 Klemmen, die in der Lage sind, Energie abzugeben. 5

6 6.2. Ideale Quellen. Die Art eines Zweipols wird durch seinen Strom-Spannungs- Zusammenhang beschrieben. Bei linearen Zweipolen ist der U R i-zusammenhang eine Gerade und kann daher durch zwei Wertepaare (zwei Punkte [u 1, i 1 ], [u 2, i 2 ]) eindeutig beschrieben werden Ideale Spannnungsquelle. Unabhängig vom Strom ist die Spannung U q konstant. Typische Werte: Leerlauf U q = konstant Kurzschluss U q = konstant R = 0 i = U q R = Modell der realen Spannungsquelle. U = U q U Ri = U q R i i Typische Fälle Leerlauf U = U q R i 0 = U q Kurzschluss U = U q R i i = U q U q = 0 6

7 In der Elektrotechnik werden Quellen immer in der Nähe des Leerlaufpunktes betrieben geringe Verluste im Generator. Kurzschluss führt zur Zerstörung der Quelle. U Klemme = U q I R i U q I L = R i + R a R I = U I U = I R i Ideale Stromquelle. Unabhängig von der Spannung ist der Quellenstrom i q = konstant. Typische Werte: Leerlauf R U = i q R Kurzschluss R = 0 U = i q R = Modell der realen Stromquelle. 7

8 Umformung. Reale Strom- und Spannungsquellen sind äquivalent, d.h. jede reale Quelle kann sowohl als Strom- als auch als Spannungsquelle gezeichnet werden. Dabei muss nur der Wert des Innenwiderstandes beibehalten werden. Schaltungen von Spannungserzeugern Reihenschaltung. Durch die Reihenschaltung von Spannungsquellen wird die Spannung grösser. Die Spannungen und die inneren Widerstände summieren sich, der Strom darf nicht grösser sein als derjenige des schwächsten Elements Parallelschaltung. Durch das Parallelschalten von gleichen Spannungsquellen bleibt die Spannnung annähernd gleich (bei gleicher Last), aber der Strom in den Spannungsquellen geht zurück, d.h. die Strombelastbarkeit insgesamt steigt. Durch Parallelschalten von gleichen Spannungsquellen bleibt die Spannung bei Belastung stabiler. Durch Parallelschalten von ungleichen Spannungsquellen ergibt sich ein Ausgleichs- Strom. Die Ströme summieren sich, der innere Widerstand wird kleiner. Es dürfen nur Elemente mit der gleichen Spannung in Serie geschalten werden Galvanische Elemente. Zwei verschiedene Werkstoffe in einem Elektrolyten ergeben eine Spannungsquelle, ein sogenanntes galvanisches Element. Galvanische Primärelemente sind Spannungsquellen, die nicht aufgeladen werden können. Die Kapazität K eines galvanischen Elements ist die entnehmbare Elektrizitätsmenge (Ladung Q) in Amperestunden. Example. Zink-Kohle-Elemente (Zinkbecher, Elektrolyt, Braunstein, Kohlekern. Plus innen, Minus am Zinkmantel.) Galvanische Sekundärelemente sind Spannungsquellen, die aufgeladen werden können (Akkumulatoren). Example. Ein Bleiakkumulator ( Autobatterie ) mit Bleiplatten und Schwefelsäure als Elektrolyt. Teil 2. Netzwerk-Analyse 7. Definition Unter Netzwerkanalyse versteht man die Bestimmung der Strom- und Spannungs- Situation in einem Netzwerk. 8. Lineare Modellbildung für Quellen und Verbraucher Für jeden Zweipol wird u k und i k bestimmt. Benötigt werden: Strom-Spannungszusammenhang der einzelnen Bauelemente Strom- und Spannungsverteilung im Netzwerk (Kirchhoff sche Regeln) 9.1. Maschensatz. 9. Kirchhoffsche Regeln n U mi = 0 i=1 In einer geschlossenen Masche ist die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungen gleich Null. 8

9 9.2. Knotensatz. U q1 + U q2 = I R 1 + I R 2 + I R 3 n i kj = 0 j=1 Die vorzeichenbehaftete Summe aller in einen Knoten ein- und ausfliessenden Ströme ist gleich Null. I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I Berechnung einfacher Netzwerke Widerstände seriell. R T = R 1 + R R n I T = U T R T = I 1 = I 2 = I n Widerstände parallel: U T = U 1 + U 2 + U U n 1 R T = 1 R R R n R T = R 1 R 2 R 1 + R 2 I R = I 1 + I I n U T = U 1 = U 2 = (...) = U n 9

10 10.3. Dreieck-Stern-Schaltung. R 12 R 31 R 1 = R 12 + R 23 + R 31 R 12 R 23 R 2 = R 12 + R 23 + R 31 R 23 R 31 R 3 = R 12 + R 23 + R 31 R 12 = R 1R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 3 R 23 = R 1R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 R 13 = R 1R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R Generator-Ersatzschaltung. Ein beliebiges lineares aktives Netzwerk kann bezüglich seiner Wirkung nach aussen durch eine Generator-Ersatzschaltung (= reale Spannungsquelle) ersetzt werden Typische Anwendungen. Untersuchung einer Teilschaltung in einer Signal- Kette Bestimmung der Ersatzgrössen U q, i q und R i. Der Innenwiderstand kann bestimmt werden aus dem Klemmenwiderstand des Netzwerkes, d.h. dem Widerstand, der an den Klemmen resultiert, wenn alle Netzwerkquellen abgeschaltet werden (u o = 0 Kurzschluss, i q = 0 offeneklemmen). U q entspricht der Leerlaufspannung an den offenen Klemmen, i q entspricht dem Kurzschluss-Strom bei kurzgeschlossenen Klemmen. Es gilt auch hier U q = R i i Superpositionsgesetz. In einem Netzwerk mit mehreren Quellen können die von einer Quelle erzeugten Ströme einzeln berechnet und zu den Strömen der anderen Quellen summiert werden (vorzeichen-behaftet... ). 10

11 11. Systematische Netzwerk-Analyse Reale Schaltung Bildung eines linearen Modells aus der realen Schaltung Netzwerk Charakteristische Gleichungen der Bauelemente Daraus lassen sich die zur Verfügung stehenden Netzwerkgleichungen herleiten: Knotengleichungen i k = 0 Maschengleichungen U m = 0 Charakteristische Gleichungen U i-zusammenhang für jedes Bauelement Zur Bestimmung von Strom und Spannnungen an n Bauteilen sind 2n Gleichungen notwendig Auswahl muss aufgrund der Netzwerk-Struktur erfolgen! Die Gleichungen müssen linear unabhängig sein Bestimmung der geeigneten Gleichungen. Erfolgt mit Hilfe der Graphen- Theorie: Elemente des Graphen. Zweig (zwischen zwei Punkten) Knoten (Verbindung von mind. zwei Zweigen) Kreis (geschl. Verbindung von Zweigen) Baum (Teil eines Graphen, der alle Zweige, aber keine Kreise enthält) Ast (Zweig eines Baums) Sehne (Zweig, der nicht zum Baum gehört) Basiskreis (Kreis, der nur eine Sehne enthält) (1) Die Bäume eines Graphen mit k Punkten enthalten α = k 1 Äste. (2) Ein Graph mit k Punkten und n Zweigen enthält β = n k + 1 = n α Sehnen. Jeder zusammenhängende Graph besitzt β = n k + 1 Basiskreise. (3) Die Basiskreisgleichungen, d.h. die Maschengleichungen der Basiskreise, sind linear unabhängig, da jede Sehne nur in einer Basiskreisgleichung vorkommt. 11

12 Für die Bestimmung aller benötigter Spannungen und Ströme von U 1 bis U n und I 1 bis I n sind 2n Gleichungen notwendig: n charakteristische Gleichungen für die einzelnen Zweige (U 1 = R 1 I 1... ) 4 linear unabhängige Basiskreisgleichungen Die restlichen, linear unabhängigen Gleichungen sind aus den Knotengleichungen zu wählen (beliebige Auswahl). Wir wählen x Knotengleichungen, dann lösen wir das System auf Verfahren zur systematischen Netzwerk-Analyse. Zweigstrom-Analyse (2n Gleichungen, n char. Gleichungen, n k + 1 Basiskreisgleichungen, k 1 Knotengleichungen) Kreis- oder Maschenstromverfahren (n + (n k + 1) Gleichungen, nur Bestimmung der Sehnenströme) Knotenpotenzial-Verfahren (SPICE; n + (k 1) Gleichungen, nur Bestimmung der Knotenspannnungen) Zweigstromanalyse. u-i-gleichungen der Zweipole gerichteter Graph n k + 1 Basiskreisgleichungen k 1 Knotengleichungen Zweigstrom-Gleichungssystem: [A] i k ] = i q u q ] Lösung des Gleichungssystems mit n unbekannten Strömen Bestimmung der Spannungen an den Zweigen aus den u-i-gleichungen Kreisstromverfahren (Ideale Stromquellen). Die Umwandlung in eine Spannungsquelle liefert ein Matrix-Element, wobei aber R =, das ist nicht verwendbar. Abhilfe: i q wird als Sehne gewählt, damit ist ein gesuchter Strom gegeben. Die Gleichung mit i q kann gestrichen werden; i q -Elemente müssen dann in den Störvektor. Knotenpotenzial-Verfahren Bestimmung von k 1 Knotenpotenzialen Knotenpotenzial := Spannung zwischen Knoten und einem gemeinsamen Nullpunkt (Bezugsknoten) Es sind k 1 Gleichungen notwendig Gleichungssystem: G u u (k 1)0 In Knotengleichungen dürfen nur Stromquellen vorkommen; alle Spannungsquellen müssen umgewandelt werden! Die Quellen kommen in den Störvektor, die Ströme werden durch Leitwert und Knotenpotenzial ausgedrückt Kreis- oder Maschenstromverfahren. Aufstellung von n k + 1 Basisgleichungen: = [R ] I s ] = U q ] Es fehlen k 1 Astströme, die über die Sehnenströme berechnet werden müssen. 12 i q......

13 Aufstellung der Kreisstrom-Matrix: Hauptdiagonale: Widerstände des Basiskreises Nebenplätze (symmetrisch zur Hauptdiagonalen): Koppelwiderstände zwischen den Basiskreisen Vorzeichen: gegenläufig, gleichläufig + Quellen im Störvektor: Wechseln des Vorzeichens Einige Definitionen. 12. Elektrodynamik Vektor: gerichtete Strecke im Raum Vektorfeld: Abbildung eines räumlichen Bereichs D( v) in die Menge der Vektoren; jedem in D( v) liegenden Punkt wird über drei skalare Funktionen ein Vektor zugeordnet. Feldlinie: Eine in D( v) liegende Kurve heisst Feldlinie, wenn sie in jedem Punkt P zu v(p ) tangential ist. Vektorfelder: Sind in der Physik entweder Kraftfelder ( F ) oder Strömungsfelder ( v) Fluss. Im Definitionsbereich eines Vektorfeldes v liege eine Fläche A, auf A ist die Normalenrichtung n ausgezeichnet ( n = 1, n A). Wenn v ein Strömungsfeld ist, entspricht dem Fluss Φ das Flüssigkeitsvolumen, das pro Zeiteinheit durch A (in Richtung von n) hindurchströmt. Für ein sehr kleines Flächenelement gilt: dφ = v n Für die gesamte Fläche A ergibt sich damit der Fluss durch A: Φ = A v nda = A v da Arbeit. Arbeit von v entlang von s: W = Q p v ds Für einen beliebigen Weg ist an jedem Punkt v ds zu bestimmen; W total = s v ds 13

14 12.4. Elektrische Feldgrössen El. Strömungsfeld. Ladungsbewegungen im el. Leiter, typischerweise Elektronenbewegungen im metallischen Gitter. Die räumliche Verteilung der Ladungsbewegung im Leiter wird durch die Stromdichte s beschrieben Stromdichte s. Im Leiter bewegen sich freie Elektronen mit der Geschwindigkeit v (x, y, z). s = dq dt = n e v s :=bewegte Ladung pro Flächen- und Zeiteinheit des Querschnittes. dv wird infinitesimal klein gewählt, so dass s für dv auch im inhomogenen Feld konstant wird. Alle s-vektoren auf einer Fläche A tragen zum Strom durch diese Fläche bei: i = A s da = A s nda Die senkrechte Komponente von s ist s n = s n cos ϕ. Nur die senkrechte Komponente tritt durch da hindurch. da ist so klein zu wählen, dass s auf da konstant ist. Knotenregel: Summe aller Ströme an einem Knoten ist gleich 0: s da = Einfachster Fall. Strom steht senkrecht zu einem gestreckten Leiter, s ist homogen: s da und s in A konstant. 14

15 i = s da = A s da = s A s = i A Radiales Feld. Wir approximieren das s-feld im Elektrolyten eines Kondensators durch ein (von der Längsachse unabhängiges) radiales Feld s ist Funktion von r. Durch die konzentrischen Zylinder fliesst immer der Strom i. Hüllfläche des Zylinders: 2πr h i = s da = s da = s da = s 2πr h s = i 2πr h e r Coulomb sches Gesetz. Das Coulomb sche Gesetz beschreibt Kräfte auf Ladungen. F = k Q1Q 2 r 2 1 k = 4ε 0 πε r ε 0 = Formulierung als Vektor: F = Q 1 Q 2 4πε 0 ε r R 21 e 21 R e 21 = 21 R 21 Für die Kräfte im elektrischen Feld gilt das Superpositions-Prinzip. Die Gesamtkraft ist die vektorielle Summe alle Teilkräfte. F = Q 1 4πε n Q k r 21 2 e rk1 k= Übergang vom Partikel- zum Feldmodell. Wir suchen die Vektorfunktion, die für jeden Punkt im Raum die von Q 1 an diesem Punkt verursachte Kraft auf eine (gedachte) Ladung Q = 1 liefert. Diese Vektorfunktion ist die elektrische Feldstärke E. E für eine Punktladung: E = Q 1 4πε 0 r 2 e r F = Q 2 E 15

16 Potentialfelder. In Potentialfeldern kann die Verteilung der potentiellen Energie im Raum angegeben werden. Das Gravitationsfeld und das el. Feld E sind Potentialfelder. P2 P2 W = F ds = F ds cos ϕ P 1 P 1 Geschlossene Wege liefern keine potentielle Energie: F ds = 0 F E = Q E ds = Potential ϕ. Mit ϕ wird die potentielle Energie einer Einheitsladung im Punkt P bezeichnet. r ϕ 1 = 1 F ds Q = E ds 0 0 Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten ist gleich der Potentialdifferenz zwischen diesen beiden Punkten: r U 12 = Elektrostatisches Feld. r2 r 1 E ds E-Feld im idealen Leiter (ρ = 0). Potentialfeld Für ρ = 0 muss E = 0 sein, sonst kommt es zu einem schlagartigen Ladungsausgleich: s = E ρ bis E = 0 wird. Ideale Leiter bilden Äquipotentialflächen, d.h. ϕ =konstant, E auf F laeche = E-Feld im realen Leiter (0 < ρ < ). Elektrisches Strömungsfeld E s = und s n, s v ρ i = s da u = E-Feld im Isolator (ρ, s 0). Elektrostatisches Feld E existiert trotzdem. Ladungsphase Vakuum: E hat keine Wirkung Isoliermaterial: Beeinflussung des Materials duch E-Feld: Polarisation Polarisation Gebundene elektrische Ladung im Isoliermaterial wird durch das äussere E-Feld ausgerichtet (materialabhängig). Beschreibung mit relativer Dielektrizitäts-Konstante ε r : E ds Beispiele für ε r : ε r = E V akuum E Material 16

17 Material ε r Luft Glimmer 5-8 Glas 5-12 Bariumtitanat ~2000 PE 2.3 PP Elektrisches Feld einer Punktladung. 1 Q E = 4πε 0 ε r r 2 e r Gesamtes E-Feld der Punktladung: E da 1 Q = 4πε 0 ε r r 2 e rda E ist auf einer konzentrischen Kugel konstant; E da E da 1 Q = EdA = 4πε 0 ε r r 2 da = Q ε 0 ε r Q = ε 0 ε r E da Der Zusammenhang zwischen E und Q ist materialabhängig Verschiebungsflussdichte D D = ε 0 ε re D da = Q Beispiel: Koax-Kabel. (Q +, Q gleichmässig verteilt) D da = Q; D konstant auf konzentrischen Zylindern; da D (strahlenförmiges Feld) Kabellänge > > Querschnitt Schnittflächen sind zu vernachlässigen. D da = Q = D da + 2 D da Q = 2πrl D D = Beispiel: Inhomogener Leiter. ρ(r) = ρ(1 + k r) Q 2πrl e r r bezeichnet den Radius des Leiters, l seine Länge. Wir wählen als Modell eine Parallelschaltung dünner, konzentrischer Zylinder: dr = 2πrdr l 1 R = G = 1 dl = dg ρ l A = ρ l 2πrdr = ρ 0(1 + k r) l 2πrdr 17

18 G = dg = 1 dr = 2πrdr ρ 0 (1 + k r) l r0 0 dg = 2π r0 r ρ 0 l k r dr = 2π ( r0 ρ 0 l k 1 ) k 2 ln (1 + k r 0 ) Berechnung der el. Feldstärke E aus der Potentialverteilung im Raum. Wir betrachten ein Skalarfeld ϕ(p ) im Raum. Eine Änderung des Skalars ϕ von M bis N bewirkt dϕ = ϕ(n) ϕ(m) Weil dr (Änderung der Länge des Ortsvektors) sehr klein ist, lässt sich eine Linearisierung vornehmen: dϕ = ϕ ϕ ϕ dx + dy + x y z dz Die totale Änderung entspricht der Summe der Änderungen in den einzelnen Komponenten-Richtungen. dϕ lässt sich als Skalarprodukt schreiben: ( ϕ x, ϕ y, ϕ ) (dx, dy, dz) z Gradϕ im Punkte P ist ein Vektor, der die Änderung der Skalarfunktion ϕ in den Koordinatenrichtungen x, y, z beschreibt. Die Projektion von gradϕ auf einem Strahl liefert die Änderung von ϕ in Richtung des Strahls gradϕ zeigt in Richtung der grössten Feldänderung gradϕ steht senkrecht auf einer Potentialfläche, da die Änderung von ϕ für alle Vektoren in der Ebene Null ist ϕ = E dr dϕ = E dr Für kleines dr: dϕ = gradϕ dr = E dr gradϕ = E E zeigt immer vom positiven zum negativen Potential: E = gradϕ = ϕ Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Q und D in Differentialform Divergenz. Für ein Vektorfeld D gilt: div D = lim V 0 D da V Die Hüllfläche da, die das Volumen V umschliesst, wird auf einen Punkt zusammengezogen. Wenn die Divergenz von D div D in einem Punkt 0 ist, muss sich in diesem Punkt eine Quelle oder eine Senke befinden. 18

19 Divergenz im kartesischen Koordinatensystem. D da = Dx x x y z y z x z x y Für den gesamten gedachten Würfel gilt: div D = ( Dx x lim V 0 D da = Dy y x y z D da = Dz z x y z + Dy y + Dz ) x y z z D da ( Dx = V x + Dy y + Dz ) z div D(P ) = x D x(p ) + y D y(p ) + z D z(p ) = D Ladungsdichtefunktion σ Ladungsverteilung im Raum. Die Dichtefunktion ist eine Skalarfunktion: σ (P (x, y, z)) Ladung pro Volumeneinheit: Q = σdv ; dq = σdv σ = dq dv D da = div DdV σ = dd dx = ε de 0ε r dx = ε d 2 ϕ 0ε r dx Poisson-Gleichung. div D = σ LaPlace-Gleichung. Ladungsfreier Raum (σ = 0) div D = Zusammenhang zwischen Strömungsfeld s und der Feldstärke E. Auf Ladungen in einem E-Feld wirken Coulomb-Kräfte Ladungen werden bewegt Ladungen im Vakuum. Elektronen werden im elektirschen Feld mit F = q E = m a beschleunigt Die Geschwindigkeit wird immer grösser (max. c). 19

20 Ladungen im metallischen Gitter. Das Metallgitter bremst die Elektronen- Bewegung. Ein Gleichgewichtszustand wird erreicht, wenn die el. Kraft F = q E umgekehrt gleich gross ist wie die Bremskraft im Gitter. n F i = 0 Beschleunigung a = 0 i=1 Der Strom hängt ab von der Ladungsträgergeschwindigkeit und der Anzahl freier Ladungsträger im Gitter, d.h. vom spezifischen Widerstand ρ. E = ρ s Beispiel: Homogener Leiter (ρ = konstant). i = s da = s A da = s A (dieselben Überlegungen wie bei ) ϕ = E ds = E l R = U i = E l s A = ρ s l s A = ρ l A (Widerstand eines homogenen Leiters) Beispiel: Strom in Erdung bei Kurzschluss. s sei konstant auf konzentrischen Halbkugeln. s Halbkugeloberfläche i = s da = s 2π r 2 = 100A ρ Erde = 50Ωm s = i 2πr 2 = 15.9A r 2 e r Potential ϕ = E dr; E = ρ s = r 2 e r = 795V m r 2 e r r(m) ϕ(v) 1 795V V 2 397V 3 264V 10 80V ϕ = E dr = r 0 ϕ = ρi ( 1 2π 1 ) r 0 20 r 0 ρ s dr =... = ρi 2π 1 r 0

21 13.1. Zwei-Elektroden-Anordnung: 13. Kapazitäten Ladung auf den (leitenden) Elektroden Elektrostatisches Feld zwischen den Elektroden D da = +Q A D = ε 0 ε r E s E ds = U q Je nach Konstruktion kann die Spannung U q zu unterschiedlichen Ladungsmengen +Q bzw. Q auf den Platten führen Kapazität C [F ]. Q = C U C = Q U = D da s E ds = Strom-Spannungs-Zusammenhang. D da 1 ε 0ε r s D ds i = dq dt ; Q = C U dq dt = i = d (C U) dt i = C du dt + U dc dt Für zeitinvariante Systeme werden die Bauteilgrössen R, C, L konstant gehalten, ist üblicherweise 0 d.h. dc dt U = 1 C i(t) = C du(t) dt U(t) = 1 C t0 0 t0 0 i(t)dt i(t)dt + U(t = 0) C an idealer Spannungsquelle. Ideale Quelle: U C = U Q für t 0 du C dt, i(t = 0) = C du c dt C an idealer Stromquelle. i Q = konstant. U C = 1 i Q dt C U C = 1 C i Qt 21

22 13.6. Sinusförmige ideale Spannungsquelle. U q (t) = Û sin ωt und U q(t) = U C (t) i(t) = C du C dt = C du q dt = C d sin ωt dtû Analog zu R = U I i(t) = Cûω cos ωt = î cos ωt lässt sich schreiben: û î = û ûωc = 1 ωc Impedanz Z der Kapazität = 1 ωc û und î treten nicht gleichzeitig auf. Die Phasenverschiebung um π 2 oder 90. u(t) = û sin (ωt + 0) ( i(t) = î cos (ωt) = î sin ωt + π ) Phasenverschiebung an der Kapazität: ûî ϕ = ϕ u ϕ i = 0 π 2 = π 2 wird beschrieben durch die Grössen z und ϕ z Polarkoordinatendarstellung in der komplexen Ebene: z = i 1 ωc = 1 iωc z = 1 ωc e i π Einschaltvorgang an RC-Serieschaltung. U R = R I; U C = 1 C idt; i = C du C dt. t 0: U q = U R + U C U q = R i + 1 C Durch Ableiten wird eine Diff-Gleichung gebildet; dabei geht die Integrationskonstante verloren. Anfangs sieht die Formel für den Strom i so aus: i(t) = A e 1 RC t Aufgrund der Situation im Netzwerk kann nun A bestimmt werden (typisch: t = 0 oder t sind bekannt). Beispiel: U C (t = 0) = 0 (Kondensator ist beim Start ungeladen) U C = U R ; U R = i R i(t = 0) = Uq R In Lösung einsetzen: i(t) = U Q e 1 RC t 22 idt

23 13.9. Serie- und Parallelschaltung von Kapazitäten. n C parallel = 1 C Serie = k=1 n C k 1 C k k= Berechnung von (Plattenkondensator-)Kapazitäten. C = ε 0 ε r A d (A bezeichnet die Plattenfläche, d den Plattenabstand) Elektrostatisches Feld bei unterschiedlichen Dielektrika Querschichtung. D-Feld bei +Q muss gleich sein dem D-Feld bei Q D 1 = D Längsschichtung. E 1 E 2 = ε r1 ε r2 U E 1 = l 1 + εr1 ε r2 l 2 U E 2 = l 2 + εr2 ε r1 l 1 U 1 = U 2 E 1 = E 2 D 1 = ε r1 D 2 ε r2 D da = Q Auf der Platte ist die Ladung ungleichmässig verteilt Schräge Schichtung. An der Genzfläche müssen die Bedingungen für die Längs- und die Querschichung eingehalten werden Energie im Kondensator. tanα 1 tanα 2 = ε r1 ε r2 W = C u2 (t) 2 23 = QU 2 = Q2 2C

24 Energie im elektrischen Feld. Gegeben seien zwei parallele Platten und darin ein homogenes Feld. Dann gilt: Allgemeiner Fall: W = W = l A ε 0 ε 2 E 2 Example. Energie im Zylinder-Kondensator W = ra E 2 D 2 ε 0 ε r 2 dv = 2 1 dv ε 0 ε r Q 2 r i ε 0 ε r 8π 2 r 2 l 2 2πrldr = = Q2 ε 0 ε r 4πl ln Kraft an den Elektroden des Kondensators. F = U 2 2 εa 1 l Magnetfelder Einführung. Magnetfelder üben Kräfte auf bewegte Ladungen aus. Magnetfelder werden verursacht durch: Permanentmagnete elektr. Ströme Magnetische Monopole gibt es nicht. Auf bewegte Ladungen wirken magnetische und elektrische Kräfte. Die beiden Kräfte überlagern sich: E Feld F = q E B Feld F ( = Q v B ) F total = qe ( + q v B ) Stromdurchflossener Leiter im B-Feld. F = i l e i B Bewegter Leiter im B-Feld. E = v B ( ra r i ) U = Eds = ( v B) ds Induktionsgesetz für offene Schleife (Faraday). U induziert = d B da dt = dφ dt B da = Schleifen in Serie. U = U 1 + U 2 U = n dφ dt = dψ dt 24

25 14.6. Rotierende Schleife (Generator). Φ (t) = B A cosωt U ind (t) = dφ = B A ω sinωt dt Induktion. Allgemein gilt für das Wegintegral der magnetischen Induktion B ds = µ 0 µ r S da wobei µ 0 = 4π 10 7 V s Am beträgt. B = µ0µr H H bezeichnet die magnetische Feldstärke. H ds = S da Example. Langer, gerader Leiter H liegt tangential zu konzentrischen Kreisen um den Leiter. H auf konzentrischen Kreisen konstant: H ds = S da ds H S da = i H ds = = H 2πr i = H 2πr H = i 2πe e tan (gilt auch ausserhalb des Leiters). Situation im Leiterinneren: Nur ein Teil des Stroms wird vom Weg s eingeschlossen. Für konstante Stromdichte ( s konstant): i innen i total = A innen A Leiter = r2 π r 2 0 π i innen = r2 i r 2 0 H ds = i innen Example. Koaxiales Kabel H = i r 2πr0 2 e tan r 2 < r r 3 : r r 1 : H i r = 2πr1 2 e tan r 1 < r r 2 : H i = 2πr i innen i = e tan A innen A Aussenleiter = r2 π r 2 2π r 2 3 π r2 2 π 25

26 H 2πr = i i r2 π r 2 2π Wenn r = r 3 gilt: ( r3 2π r2 2 π H = i H2πr = i i = 0 1 r2 π r 2 2π r 2 3 π r2 2 π Sofern die Anordnung symmetrisch ist, gilt damit auch: Example. Sehr lange Spule H = 0 ) 1 2πr e tan Example. Ringkern H i n l Φ = B da = µ 0 µ r H = i n 2πr e tan H da = = µ 0µ r i n b ln 2π Permeabilität µ. Der Zusammenhang B-H ist materialabhängig. Für die relative Permeabilität µ gilt: Diamagnetischer Stoff: µ r < 1 Paramagnetischer Stoff: µ r > 1 Ferromagnetischer Stoff: µ r 1 Die aufgezeichnete Funktion µ (H, B) bezeichnet man als Hysterese-Kurve. Einerseits schneidet die Kurve die B-Achse im Punkte B r Remanenz (Material bleibt magnetisiert und wirkt als Permanentmagnet), andererseits schneidet sie die H-Achse in H k Koerzitiv-Feldstärke (B=0, Remanenz wird durch Gegenfeld kompensiert). Man unterscheidet ausserdem zwischen weichmagnetischen Werkstoffen (Gusseisen, Dynamobleche, reines Eisen, weichmagn. Ferrite,... ) mit einem H k < 400 A m ; B r und H k sind bei solchen Stoffen klein, der Magnetisierungsverlust ist ebenfalls klein. Daneben gibt es hartmagnetische Stoffe mit grossen B r und H k (H k A m ), dazu gehören Federstahl oder Legierungen aus Aluminium, Nickel und Kobalt. Aus diesen Werkstoffen stellt man Permanentmagnete her. ( ra r i ) Mögliches Messverfahren für Hysteresekurven. U R1 i (t) H mit H ds = i n 26

27 U ind = t U C = 1 C Annahme: R 2 sehr gross, U C U R2 B da B t i 2 dt U ind U R2 = R 2 i 2 U C = 1 C U ind R 2 i 2 dt U C 1 RC i 2 B t U ind dt B t dt B H- und B-Feld am der Grenze zwischen Stoffen mit unterschiedlichem µ r Querschichtung Längsschichtung. H 1 H 2 = µ r2 µ r1 B 1 B 2 = µ r1 µ r Schräge Schichtung. tanα 1 tanα 2 = µ r1 µ r2 (α 1 und α 2 bezeichnen die Einfalls- bzw. Ausfallswinkel der B-Vektoren.) Magnetischer Kreis. Modell für die Berechnung magn. Anordnungen, bei denen das Feld vorwiegend in einem ferromagn. Material und in kurzen Luftspalten verläuft (z.b. Übergang Rotor-Stator). (1) Feld wird als abschnittweise konstant betrachtet (Inhomogenitäten vernachlässigen) (2) Streueffekt wird nicht berücksichtigt; Φ ist überall konstant. Für ferromagnetisches Material konzentriert sich das B-Feld auf den Kern. (3) B-H-Zusammenhang der Hysteresekurve ist zu approximieren B = f (H) ist gegeben. p H k l k = i n k=1 H i l i = U mi (magnetische Spannung) Ha l a = Θ (Durchflutung) µ 0 µ rk H k = B k Φ = B k A k 27

28 Einfluss des Luftspalts auf die Hysterese. i n = H k l k = H kf e l kf e + H Luft l Luft maximal zulässiges i n wird grösser, Sättigung wird erst bei grösseren Strömen erreicht. Berechnung der magnetischen Kreise mit Hilfe der Netzwerktheorie (magn. Widerstand) Analogien zum el. Stromkreis: Knotenregel. ik = 0 Φ = konstant S da = 0 B da = 0 Maschenregel. UMasche = 0 H k l k = i n Rk i k = U q Magnetischer Widerstand. R m = H kl k Φ = H Al k B k A k = l k µ 0 µ k A k Charakteristische Gleichung der idealen Spule. u = L i t i = 1 udt L Schwingkreis. t u = t u = u L + u R + u C u = L i t + R i + 1 idt C ( L i t + R i + 1 C u t = L 2 i t 2 + R i t + 1 LC i ) idt 1 L u t = 2 i t 2 + R L i t + 1 LC i Das charakteristische Polynom dieser Gleichung lautet s 2 + R L s + 1 LC = 0. 28

29 Damit gibt s: s 1, 2 = R R L ± 2 4L 2 1 LC Die Wurzel selbst kann nun entweder reell, 0 oder imaginär werden: Reell: i (t) = K 1 e s1t + K 2 e s2t ; Kurve flacht ziemlich schnell ab. Null: i (t) = K 1 e s1t + t K 2 e s1t ; s 1 = s 2. Auch diese Kurve flacht schnell ab. Imaginär: i (t) = K 1 e ( σ+iω)t + K 2 e ( σ iω)t ; Schwingung. Dabei ist σ = R 2L. Für den Schwingungsfall gilt ausserdem: Im verlustlosen Fall ist R = 0, σ = 0, s 1, 2 = ± ungedämpfte Schwingung. 1 LC Berechnung der Induktivität. Example. Langer, gerader Leiter Example. Ringkern L = µ 0l 8π Ψ = L i H (r) = i n 2πr Φ = B (r) = µ 0 µ r i n 2πr B da = = h µ 0µ r i n ra 1 2π r i r dr Example. Sehr lange Spule Ψ = n Φ =... ( ) n 2 r h µ 0 µ r ln a ri L = 2π Annahme: Das Feld ausserhalb der Spule ist vernachlässigbar. i n H l Φ = i n µ 0 µ r A l Ψ = n Φ = n2 µ 0 µ r A i l L = n2 µ 0 µ r A l Example. Korrektur für einlagige Luftspulen 29

30 L = k µ0 n 2 A l k = 7.6 log ( ) d l π 2 (1 ) d l k ist empirisch ermittelt; d bezeichnet den Spulendurchmesser, l die Spulenlänge. Example. Koaxial-Kabel Φ = µ ( ) 0 l i ra ln = Ψ 2π r i ( ) µ 0 l ln ra r i L = 2π Example. Parallele Zweiader-Leitung H = i 2πr Φ = µ ( ) 0 i l a r0 ln 2π Φ total = 2Φ r 0 Ψ = Φ total = 2... ( ) a r µ 0 l ln 0 r 0 L = π Die Induktivität des Leiters ist nicht berücksichtigt und über den Energiesatz zu berechnen. Example. Spulen mit ferromagnetischem Kern L µ r Hysteresekurve verzerrt Signalverläufe Gegeninduktivität M. M 12 i 1 = Ψ 2 Daraus folgt: Ebenfalls: M 21 i 2 = Ψ 1 i 1 U 1 = L 1 t + M i 2 t i 2 U 2 = L 2 t + M i 1 t Ψ total1 = Ψ 11 + Ψ 21 Ψ total2 = Ψ 12 + Ψ 22 Ψ 11 = L 1 i 1 ; Ψ 22 = L 2 i 2 30

31 Ψ 12 = M 12 i 1 ; Ψ 21 = M 21 i 2 i 1 u 1 = L 1 t + M i 2 21 t u 2 = t (Ψ i Ψ 12 ) = L 2 t + M i 1 12 t M ist vorzeichenbehaftet. +M gilt für gleichgerichtete magn. Flüsse im Verbraucherpfeilsystem. M maximal = L 1 L 2 = Ψ11 Ψ22 i 1 i 2 Die Gegeninduktivität M beschreibt die gegenseitige Beeinflussung zweier Induktivitäten. Kopplungsfaktor: k = M M max. Streufaktor: σ = 1 k Berechnung von M. Example. Zwei parallele Zweidraht-Leitungen [H] M = Ψ i = Φ total i = µ 0l π ln ( r2 r 1 ) ( ) = µ 0l π ln a2 + h 2 h Energie der Induktivität. W = L i2 (t) Energiedichte in der Spule. w = µ 0µ r H 2 2 = B H 2 = B2 2µ 0 µ r Teil 3. Älterer Kram Spannungsteiler U = R 1,2 R 1 + R 1,2, wobei R 1,2 den Ersatzwiderstand für R 1 und R 2 meint. U b 31

32 R 1,2 U b = U R 1 + R 1,2 16. Wirkungsgrad η η = P out P in 17. Spulen d m = d a + d i 2 l Draht = N d m π 18. Arbeit, Leistung etc. Mechanik Elektrik Wärmelehre Arbeit W = F s und W = m g h W = P t = U I t W = m c ϑ Leistung P = W t = F S t = F v und P = m g h t P = U I P = W t F = m a und F G = m g K = k W und C = 500 kw h Einheit 1N m 1W s 1J U = R I 32

33 P = U I W = P t = U I t P = I 2 R P = U 2 R 19. Magnetismus Magnete. Ein Magnet ist ein Körper, der Eisen-, Nickel- und Kobaltteile anzieht und festhält. Dauermagnete sind alle Magnete, die ihre magnetischen Eigenschaften beibehalten. Elektromagnete sind stromdurchflossene Spulen. Weichmagnetische Stoffe sind Stoffe, die nur während der Zeit des Stromflusses einen grösseren Magnetismus haben. Hartmagnetische Werkstoffe sind Stoffe, die nach einmaligem Magnetisieren den Magnetismus beibehalten. Die Feldlinien verlaufen ausserhalb des Magneten vom Nordpol zum Südpol und innerhalb des Magenten umgekehrt Magnetische Durchflutung. Θ = I N Θ ist die Durchflutung in Ampere, I die Stromsärke in Ampere und N die Anzahl der Windungen auf der Spule Magnetische Feldstärke. H = Θ l l bedeutet hier die mittlere Feldlinienlänge in m Magnetische Flussdichte. B = Φ A B ist die magnetische Flussdichte in T, Φ ist der magnetische Fluss in Wb (Vs), A die Querschnittsfläche in m Magnetischer Widerstand. 1T = 1 V s m 2 R m = I µ A µ 0 = V s Am µ = µ 0 µ r Beziehung zwischen magnetischer Flussdichte und Feldstärke. B = µ 0 H 33

34 19.7. Kraftwirkungen zwischen parallelen Leitern. Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben. Elektrodynamische Kräfte wirken senkrecht auf den Leiter. Parallele Leiter mit gleicher Stromrichtung ziehen sich an. Parallele Leiter mit entgegengesetzter Stromrichtung stossen sich ab Wärmemenge Elektrowärme. 20. Wärmeprobleme Q = m c ϑ Q = P t η 34