Netzwerke bei zeitabhängiger Erregung

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1 Netzwerke bei zeitabhängiger Erregung Eine Einführung H. D. Gellißen D:\ehre aid D\TM - GET\WS-Netzanalyse\WS-Netzwerke.doc :44

2 H. D. Gellißen, Juni 5

3 nhaltsverzeichnis QASSTATONÄE VOGÄNGE.... EÄTENGEN ND DEFNTONEN..... DEFNTONEN..... SNS- ND KOSNSSCHWNGNG MSCHGÖßEN SCHEBWESE VON FOMEECHEN... 7 KOMPEXE EBENE.... EGEDASTENG DE SNSFNKTON.... DE EGE....3 TANSFOMATON DE SNSSCHWNGNG AF DE KOMPEXE EBENE TANSFOMATONSEGEN ÖSEN VON NTEGO-DFFEENTAGECHNGEN DCH TANSFOMATON MPEDAN ND ADMTTAN MPEDAN ADMTTAN BEECHNNG DE OPEATOEN MPEDAN ND ADMTTAN VON, ND C MPEDAN ND ADMTTAN DES WDESTANDES MPEDAN ND ADMTTAN DE NDKTVTÄT MPEDAN ND ADMTTAN DE KAPATÄT SCHATNGSANAYSE EHENSCHATNG WDESTAND N EHE MT NDKTVTÄT DAS EGEDAGAMM DE EHENSCHATNG PAAESCHATNG EGEDAGAMME EGE AM WDESTAND EGE AN DE NDKTVTÄT EGE AN DE KAPATÄT MEKEGEN AFBA DES EGEDAGAMMS ENE GÖßEEN SCHATNG GNDSCHATNGEN NETMWANDNG MWANDNG PAAE- N EHENSCHATNG MWANDNG EHEN- N ENE PAAESCHATNG STEN-DEECK-MWANDNG... 38

4 5. STOMTEE SPANNNGSTEE C-TEE KAPATVE TEE HMME- ND BOCHEOTSCHATNG WECHSESTOMPAADOXON BÜCKENSCHATNGEN BÜCKENGNDSCHATNG SCHENG-BÜCKE MAXWE-BÜCKE WEN-BÜCKE MAXWE-WEN-BÜCKE WEN-OBNSON-BÜCKE MPEDAN-MESSBÜCKE PHASENSCHEBE SCHATNGEN ESTNG M WECHSESTOMKES ABET, ESTNG ND WKNGSGAD ESTNG M GECHSTOMKES ESTNG BE ETABHÄNGGEN GÖßEN, DE EFFEKTVWET ESTNG M WECHSESTOMSYSTEM BE SNSFÖMGEN VOGÄNGEN MOMENTANESTNG, WKESTNG, PENDEESTNG ESTNG M KOMPEXEN DEFNTON DE ESTNGSBEGFFE SAMMENFASSNG DE BEGFFE KOMPEXE ESTNG DE BAEEMENTE ESTNGSBEEHNGEN AN ENE MPEDAN VEENGSESTNG ND GNDSCHWNGNGSESTNG ESTNGSANPASSNG MESSEN DE EEKTSCHEN ESTNG MESSNG DE WKESTNG MESSNG DE BNDESTNG BESTMMNG DE SCHENESTNG BESTMMNG DES ESTNGSFAKTOS ETESCHEFE ND TANSFOMATO ETESCHEFE ETESCHEFE, DE VON ENEM FEMDEN MAGNETFED DCHSETT WD TANSFOMATO DE DEAE TANSFOMATO DE EAE TANSFOMATO Die Transformatorgleichungen Selbstinduktivitäten und Gegeninduktivität TANSFOMATON VON SPANNNG ND STOM TANSFOMATON ENES WDESTANDES MPEDANEN DES TANSFOMATOS AS MESSNGEN Kurzschlussimpedanz... 78

5 7..5. eerlaufimpedanz nduktivitäten und Gegeninduktivität ENSCHATEN DES EEAFENDEN TANSFOMATOS VEENG VON STOM ODE SPANNNG AM TANSFOMATO BESTMMNG DE WNDNGSAH ENE SPE STOMWANDE SPANNNGSWANDE EN- ND MEHPHASENNETE DAS ENPHASENNET DAS MEHPHASENNET DAS DEPHASENNET SYMMETSCHE SPANNNGEN ND STÖME M DEPHASENSYSTEM DAS -, -, 3-SYSTEM ODE DAS DEHSTOMSYSTEM ANAYSE DES SYMMETSCHEN DEHSTOMSYSTEMS ANAYSE ENES NSYMMETSCHEN DEHSTOMSYSTEMS ESTNG M DEPHASENSYSTEM ÜBEGANG KOMPEXEN GÖßEN ESTNGSMESSNG M DEHSTOMSYSTEM Wirkleistungsmessung im 3-eitersystem Blindleistungsmessung im Drehstromsystem KOMPENSATON... 9 NETE BE SPESNG MT VAABE FEQEN OTSKVEN ENFÜHNG NVESONSEGEN FÜ OTSKVEN OTSKVE ENE NDKTVTÄT N EHE MT ENEM VAABEM WDESTAND BODE-DAGAMM ND ÜBETAGNGSFNKTON ÜBETAGNGSFNKTON BODE-DAGAMM NEAE DASTENGEN EA- ND MAGNÄTE BETAG ND PHASE OTSKVE DE GENFEQEN... 9 VEPO, WETO ND FTE.... C- ND -SCHATNGEN, FTE..... TEFPASS HOCHPASS BANDPASS BANDSPEE APAß... 3

6 SCHWNGKESE DE SCHWNGKES DEAE SCHWNGKES EAE SCHWNGKES eihenschwingkreis Parallelschwingkreis C-FTESCHATNGEN TEFPASS HOCHPASS BANDPASS BANDSPEE DE EAEN BAEEMENTE WDESTAND NDKTVTÄT KONDENSATO... 5 NCHTSNSFÖMGE VOGÄNGE PEODSCHE VOGÄNGE ND FOE-EHE BDNG DE FOE-EHE DCH SNS- ND KOSNSSCHWNGNGEN DE DSKETSENG DE FOE-EHE DAS GBBS'SCHE-PHÄNOMEN ODE DAS VEHATEN DE APPOXMETEN FNKTON AN SPNGSTEEN BDNG DE FOE-EHE DCH KOSNSNSSCHWNGNGEN ND PHASENWNKE (AMPTDEN-PHASEN-FOM) DASTENG DE FOE-EHE DCH KOMPEXE KOEFFENTEN MECHNNG DE KOEFFENTEN VON DE SCHWNGNG M MPS - FOE- ND APACE- TANSFOMATON ANWENDNG DE APACE-TANSFOMATON AF DE SCHATNGSANAYSE STOß- ND SPNGFNKTON APACE-TANSFOMATON DE EEMENTE, ND C Der Widerstand Die nduktivität Die Kapazität ANAYSE ENES NETES MT DE APACE-TANSFOMATON NETWEKE MT ENEM SPECHEEEMENT Aufladen eines Kondensators Entladen eines Kondensators Aufladen eines Kondensators aus einem Netzwerk Einschalten einer nduktivität an eine Spannungsquelle Ausschalten einer nduktivität Ein einfacheres Verfahren NETWEK MT WE SPECHEEEMENTEN wei gekoppelte,c-tiefpaßschaltungen wei entkoppelte,c-tiefpaßschaltungen Ausblick in die Systemtheorie Die Übertragungsfunktion Die Ortskurve... 95

7 Das Bode-Diagramm Die Übergangsfunktion Übertragungsfaktor Sprungantwort und Übergangsfunktion Die Anstiegszeit Grenzfrequenz und Anstiegszeit Sprungantwort des idealen Parallelschwingkreises... 3 SCHATVOGÄNGE BEM SCHWNGKES FEE SCHWNGNG ODE EGENSCHWNGNG EWNGENE SCHWNGNGEN FEE ND EWNGENE SCHWNGNGEN... 9

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9 Netzwerke bei zeitabhängiger Erregung Quasistationäre Vorgänge Bei den bisherigen Betrachtungen elektrischer Vorgänge wurde zunächst davon ausgegangen, dass die adung Q zeitlich konstant ist und sich immer am selben Ort befindet, das führte auf das elektrostatische Feld. n einem nächsten Schritt wurde zugelassen, dass sich die adung mit konstanter Geschwindigkeit in einem eiter bewegt. Das führte auf das stationäre Strömungsfeld, also auf Gleichströme und Gleichspannungen. n Folgenden sollen die Betrachtungen auf adungen ausgedehnt werden, deren Geschwindigkeit sich mit der eit sinusförmig ändert, wobei jedoch Amplitude, Frequenz und Phasenlage zeitlich konstant bleiben. Vorgänge dieser Art werden als quasistationär bezeichnet.. Erläuterungen und Definitionen.. Definitionen Der Ausdruck Funktion bezeichnet einen usammenhang zwischen einer Eingangsgröße x und einer Ausgangsgröße, der mit f(x) bezeichnet wird. f(x) wird auch als Funktionswert und x als Argument der Funktion bezeichnet. nnerhalb der Elektrotechnik treten vor allem Funktionen in Abhängigkeit von der eit t auf. Die graphische Darstellung einer Funktion wird als eitlinie bezeichnet. Eine Funktion wird periodisch genannt, wenn jeder Funktionswert sich in Abhängigkeit vom Argument in einem ganzzahligen Abstand wiederholt. Eine Funktion ist periodisch bezüglich der eit, wenn für den Funktionswert f(t ± kt) = f(t) für k =,, 3.., n gilt. Der zeitliche Abstand zwischen zwei wiederkehrenden Funktionswerten wird als Periodendauer T bezeichnet.

10 QASSTATONÄE VOGÄNGE Eine periodische Funktion beginnt im negativen nendlichen, also bei t und endet im positiven nendlichen, also bei t +. Bei einer periodischen Funktion ist es sinnvoll, den Kehrwert der Periodendauer, die Frequenz f = /T einzuführen. Die Einheit der Frequenz ist das Hertz: [f] = Hz. Weiterhin wird der mit dem Faktor π versehene Wert der Frequenz f benötigt, der als Kreisfrequenz ω = πf bezeichnet wird. Die Einheit der Kreisfrequenz ist [ω] = s. Das folgende Bild zeigt als Beispiel einer periodischen Funktion die eitlinie der Sinusfunktion f(t) â f(t) = â sin(ωt). T/ 7T/ T/3 3T/4 5T/6 T/ T/ T/6 T/4 T/3 5T/ T t -â eitliniendarstellung der Sinusfunktion Der Funktionswert zu einer beliebigen eit t wird als Augenblickswert bezeichnet. Bei einer Sinusschwingung wird der größte Funktionswert als Amplitude bezeichnet. ur seiner Kennzeichnung wird über das Formelzeichen das "^"-eichen gesetzt, z.b. wird die Amplitude einer sinusförmigen Spannung so geschrieben: û... Sinus- und Kosinusschwingung n der Elektrotechnik stellen Sinus- und Kosinusfunktionen die am häufigsten verwendeten Funktionen dar. Die Funktionsdarstellung der Spannung lautet: u = û sin(ϕ). û bezeichnet die Amplitude der Spannung, ϕ ist das Argument der Funktion und stellt einen Winkel dar. Ebenso gilt für die Kosinusfunktion: u = û cos(ϕ) Der Winkel ϕ ist in der Technik eine zeitabhängige Größe. Er wird durch die Periodendauer oder Frequenz und durch den Nullphasenwinkel ϕ bestimmt ist. Es gilt π ϕ = t+ ϕ = π f t+ ϕ = ωt+ ϕ T

11 Der Winkel ϕ wird mit zunehmender eit immer größer. Die Spannung hat zur eit t = den Wert QASSTATONÄE VOGÄNGE 3 u(t) = û sin(ωt + ϕ ) u() = û sin(ϕ ). Das für t = verbleibende Argument ϕ wird als Nullphasenwinkel bezeichnet. Bestimmung des Nulldurchgangs der Sinusfunktion: Die Sinusfunktion hat den Wert null, wenn ihr Argument null ist, also wenn ϕ = ist. Damit folgt Dies ist bei der eit ϕ = = ωt + ϕ o. t = ϕ /ω. der Fall. Bei der negativen eit (der gegenüber t = zurückliegenden eit) t = ϕ /ω, geht die Sinusfunktion durch Null bzw. liegt der Funktionswert null. Ausgehend von diesem eitpunkt setzt sich die Sinusschwingung nach beiden Seiten periodisch fort. Das führt zu folgender Feststellung: st der Nullphasenwinkel ϕ positiv, wird die Funktion nach links zu negativen eiten verschoben. st der Nullphasenwinkel ϕ negativ, wird die Funktion nach rechts zu positiven eiten verschoben. f(t) Cosinusschwingung T/4 T T 3T 4T Sinusschwingung t Sinus- und Kosinusfunktion Die Kosinusfunktion kann als Sinusfunktion aufgefaßt werden, die um 9 nach links verschobenen ist. Daher kann die Kosinusfunktion durch die Sinusfunktion ausgedrückt werden. cos(ϕ ) = sin(ϕ + 9 ) Die Sinusfunktion kann also als Kosinusfunktion aufgefaßt werden, die um den Winkel ϕ = 9 nach rechts verschoben ist. Daher kann die Sinusfunktion durch die Kosinusfunktion ausgedrückt werden. sin(ϕ ) = cos(ϕ 9 )

12 ..3 Mischgrößen QASSTATONÄE VOGÄNGE 4 Spannungen und Ströme sind im allgemeinen zeitabhängig. Einen Sonderfall stellen Gleichspannung und Gleichstrom dar. Beide Größen sind von der eit unabhängig. m strengen Sinne bedeutet das, dass sie sich nie ändern dürfen, also zur eit t beginnen und zur eit t + enden. Dies ist natürlich nicht realistisch. Eine Gleichspannungsquelle wird zu irgendeiner eit an das Netz geschaltet. Das Netz erfährt dann aufgrund des plötzliche uschalten der Energiequelle einen Energiestoß. Als Folge davon beginnt im Netz ein Strom zu fließen, der bei null beginnt und dann stetig seinem Endwert entweder monoton oder gedämpft schwingend zustrebt. Die eitspanne vom Beginn des Stromflusses bis zum Erreichen des Endzustandes wird als Übergangszeit oder transienter eitbereich bezeichnet. nnerhalb dieser eit, in der sich das Netz in einem Übergangszustand befindet, gelten nicht die Gesetze des Gleichstromkreises. (Dieser eitbereich liegt im Millisekunden- bis Sekundenbereich.) Erst wenn das Netzwerk sich beruhigt hat, liegen stationäre Bedingungen vor und es gelten die Gesetzmäßigkeiten des Gleichstromkreises. Werden reale Spannungsquellen wie Primärelemente (umgangssprachlich als Batterien bezeichnet) oder Sekundärelemente (umgangssprachlich als Akkumulatoren bezeichnet) an das Netz geschaltet, stellt man fest, dass auch sie keine wirklichen Gleichspannungsquellen darstellen, da ihre Spannung vom Entladezustand abhängt. Die Spannungsänderung dieser Quellen erfolgt aber so langsam, dass das Netz der Änderung mühelos folgen kann. nter diesen mständen gelten zu jeder eit die Gesetze des Gleichstromkreises. Häufig liegen Spannungen und Ströme vor, die sich aus der Überlagerung einer Gleichspannung oder eines Gleichstroms mit einer Wechselspannung oder einem Wechselstrom ergeben. Solche Größen werden als Mischgrößen bezeichnet. Mischgrößen bestehen aus Gleichgrößen und Wechselgrößen. Ein Beispiel für eine Mischgröße stellt die im Bild dargestellte Spannung dar. u u s u_ u ss û û u ~ t Es gilt für die Mischspannung u = u_+ u ~. Eine Mischspannung u ist das Formelzeichen für die Mischspannung (bzw. allgemein für die Spannung). u_ ist das Formelzeichen für den Gleichanteil der Spannung. u ~ ist das Formelzeichen für den Wechselanteil der Spannung. û ist die Amplitude der Wechselspannung u ss ist der Spitze-Spitze Wert der Wechselspannung u s ist der Spitzenwert der Spannung u

13 QASSTATONÄE VOGÄNGE 5 Die Gleichgröße oder den Gleichanteil erhält man durch Mittelwertbildung der Mischgröße: t + T u_ = ut () = ut () dt T. t Den Wechselanteil erhält man aus der Differenz der Mischspannung mit dem Gleichanteil: u ~ = u u_. Der Wechselanteil hat keinen Mittelwert: t + T u = u dt = ~ ~ T t Als Spannungsangabe der Mischgröße wird der Effektivwert angegeben: t + T = u () t dt T t Das Formelzeichen eines Effektivwertes von Spannung und Strom wird immer groß geschrieben! Der Effektivwert der Gleichspannung bzw. des Gleichspannungsanteils u_ stimmt mit dem Wert der Gleichspannung überein: t + T = u () t dt = u_ T. t Hat eine Gleichspannungsquelle den Wert u_= 4 Volt, so ist ihr Effektivwert ebenfalls 4 Volt: Effektivwert der Wechselgröße t + T T (4V) (4V) = u_ = (4V) d t = = dt = T = 4V T T T. t t + T = u~ () t dt T. t Effektivwert der sinusförmigen Spannung Mit u = ûsin(ω t) folgt t + T t + T ~ ˆ T ω t t = u () t d t = ( usin( t)) dt T t+ T t+ T t+ T uˆ uˆ ~ = ( uˆ sin( t) ) dt sin( t) d t ( cos( t)) dt T ω = ω ω T = T t t t mit sin (α) =,5,5cos(α) folgt t T t T t T uˆ uˆ uˆ T uˆ = dt cos(ωt) dt = dt = = T T T t t t

14 (Das ntegral t + T cos( ω t) d t ist null.) t QASSTATONÄE VOGÄNGE 6 Damit ergibt sich der Effektivwert der sinusförmigen Spannung zu û =. mgekehrt erhält man aus dem Effektivwert die Amplitude durch Multiplikation des Effektivwertes mit Wurzel. Das öffentliche elektrische Energienetz hat eine Spannung von = 3 V. Die Amplitude der Netzspannung beträgt dann û = 3 V = 35,3 V. Effektivwert einer Mischgröße Hinweis: Wenn es zu Klarstellung erforderlich ist, wird für den Effektivwert einer Gleichspannung das Formelzeichen _ und für den Effektivwert einer Wechselspannung das Formelzeichen ~ verwendet. T T T = ~ ~ ~ T = T + = T + + u d t ( u_ u ) d t ( u u u u )dt T T T u ~ ~ ~ T T T, = u dt+ u dt+ u dt = + + dann das ntegral über eine volle Periode einer Wechselgröße ist null. Also ist ~ = +. Gleichrichtwert Bei einer weiweg-gleichrichtung wird der negative Anteil einer Funktion in einen positiven Anteil umgewandelt. Aus der Funktion f(t) wird die Funktion f(t). Der Mittelwert dieser Funktion wird als Gleichrichtwert bezeichnet: t + T f() t = f() t dt T Formfaktor und Scheitelfaktor Effektivwert der Wechselgröße Formfaktor = Gleichrichtwert der Wechselgröße t und Scheitelwert der Wechselgröße Scheitelfaktor = Effektivwert der Wechselgröße Der Scheitelfaktor wird auch als Crestfaktor bezeichnet. Amplitude und Spitzenwert iegt eine zur Nullinien symmetrische, periodische Funktion vor, werden die Maximal- und Minimalwert als Amplitude bezeichnet. st die Funktion nicht symmetrisch muss zwischen positiven und negativen Scheitelwerten unterschieden werden. Bespiele: Amplitude der Spannung û. Scheitelwert der Spannung u S.

15 QASSTATONÄE VOGÄNGE 7..4 Schreibweise von Formelzeichen Die Schreibweise zeitabhängiger Größen ist in den Normen DN 34 "Allgemeine Formelzeichen", DN 5483 "eitabhängige Größen" und DN 4 "Wechselstromgrößen" festgelegt. st eine Größe zeitlich veränderlich, so kann das für sie übliche Formelzeichen ohne zusätzliche Kennzeichnung verwendet werden. Soll eine besondere Abhängigkeit hervorgehoben werden, so sind folgende egeln zu beachten: Für Spannung und Strom gibt es als Formelzeichen sowohl einen Groß- als auch einen Kleinbuchstaben. Der Großbuchstabe oder dient zur Kennzeichnung des Effektivwertes, der Kleinbuchstabe u oder i dient zur allgemeinen Kennzeichnung von Spannung oder Strom. Die Kennzeichnung einer eitabhängigkeit erfolgt durch Anhängen von (t) unmittelbar hinter dem Formelzeichen: z.b. für die Spannung u(t), für den Strom i(t) oder für die elektrische Feldstärke E(t). Ein Gleichspannung wird durch das Formelzeichen, ein Gleichstrom das Formelzeichen angegeben. Der Gleichspannungsanteil u_ einer Mischspannung wird durch das Anhängen des Strichs an das Formelzeichen der Spannung u angegeben. Soll besonders auf den Effektivwert verwiesen werden, dann wird _ verwendet. (Die ahlenwerte sind gleich: u_ = _ = 4V). Analoges gilt für den Strom. Die Kennzeichnung einer Wechselgröße erfolgt durch das Anhängen einer Tilde an das Formelzeichen z.b. bei einer Wechselspannung: u ~. u beachten ist, dass u ~ immer eine zeitabhängige Spannung ist, die keinen Mittelwert aufweist. hre Stärke wird durch den Effektivwert ~ angegeben. st es erforderlich, den Effektivwert besonders hervorzuheben, geschieht dies durch Anhängen von eff an das Formelzeichen: eff. Der Mittelwert Mittelwerte werden durch einen Überstrich über die Funktion gekennzeichnet. Es gilt: t + T f() t = f() t dt T. t Der Mittelwert einer Spannung stellt den Gleichanteil der Spannung dar, daher gilt u( t) Mittelwert eines Produktes: = u. Beachten: P u i. t + T P = u i = u( t) i( t) dt T, t Beispiele für die Spannung u ist die zeitabhängige Spannung u_ ist der Gleichwert, der dem Mittelwert u entspricht u ~ ist der Wechselanteil der Gleichspannung. ist der Effektivwert der Spannung _ ist der Effektivwert des Gleichspannungsanteils (_ = u_) ~ ist der Effektivwert des Wechselspannungsanteils

16 QASSTATONÄE VOGÄNGE 8 Tabelle einiger Funktionen mit ihren charakteristischen Werten Nr. Wechselspannungen Effektivwert Gleichwert Scheitelfaktor u û 3 -û T t u(t) = û für t < T / u(t) = û für T / t < T u û -û T t u(t) = û + ût / T u û - û T t u(t) = û sin(ω t) = û u_ = û 3 u_ = 3 û u_ = Gleichwert Nr. Mischspannungen Teil Effektivwert Scheitelfaktor Formfaktor u 4 û T / T t û û = u_ = π π u(t) = û sin(ω t) u 5 û T / T t û = û u_ = π π u(t) = û sin(ω t) für t < T/ u(t) = für T / t < T u 6 u S T / T t u s u = u_ = s u(t) = u s für t < T / u(t) = für T / t < T

17 QASSTATONÄE VOGÄNGE 9 u 7 u S T T t u(t) = u s für t < T T = u s u_ = u T T s T T T T T u(t) = für T t < T u 8 us T T 3 T t u s u = u_ s u(t) = u s t / T u u S 9 t T / T u(t) = u s t / T für t <T / u(t) = für t < T u s u = u_ = s u u S T T t = u s T 3 T u T u_ = s T 3 T T T 3 T u(t) = u s t / T für t < T u(t) = für T t < T Nr. Mischspannungen Teil Wechselanteil Gleichanteil u _ u u m a x u m i n û u ~ = û sin(ω t) u_ = u min + û T / T t u _ u u m a x u m in u S u ~ = u s + u s t / T u_ = u min + u s T T t 3 u u m a x u _ u m in u S für t < T / : u ~ = u s u_ = u min + u s T / T t für T / t <T: u ~ = u s

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19 Komplexe Ebene. eigerdarstellung der Sinusfunktion Neben der eitliniendarstellung kann eine Sinus- oder Kosinusfunktion durch einen eiger in der x, y-ebene dargestellt werden. y z sin(ϕ) z ϕ z cos(ϕ) x Darstellung eines Sinusschwingung durch einen Vektor in der x, y-ebene Die Funktion z sin(ϕ) kann als Projektion auf die y-achse des unter dem Winkel ϕ in der x, y-ebene dargestellten Vektors z aufgefaßt werden. Die Funktion z cos(ϕ) kann als Projektion des Vektors z auf die x-achse aufgefaßt werden. Sinus- und Kosinusfunktion können also auch als Projektion eines Vektors auf die x- oder y- Achse der kartesischen Ebene gedeutet werden.. Der eiger Es ist sinnvoll, die kartesische Ebene für die Vektorrechnung zu reservieren und für die Darstellung von Sinus- und Kosinusfunktionen eine andere rechtwinkelige Ebene zu wählen. Es bietet sich an, dazu die Gaußsche-Ebene heranzuziehen, in der komplexe ahlen dargestellt werden.. Die komplexe ahl z besteht aus dem ealteil e[z] und dem maginärteil m[z], so dass gilt z = e[z] + jm[z]. mit j =. Komplexe ahlen stellen eine Erweiterung der reellen ahlen dar. n einer Formeldarstellung werden die komplexwertigen Formelzeichen durch nterstreichen besonders hervorgehoben. Komplexe Größen werden in der Gaußschen-Ebene oder komplexen Ebene durch zwei senkrecht zueinander stehende Komponenten dargestellt: jm jm[z] = z sin(ϕ) z ϕ e[z] = z cos(ϕ) e Darstellung der komplexen ahl z = e[z] + jm[z] in der komplexen Ebene

20 KOMPEXE EBENE Auf der senkrechten Achse, sie wird mit jm bezeichnet, wird der imaginäre Wert oder der maginärteil der komplexen ahl markiert. Auf der horizontalen Achse, sie wird mit e bezeichnet, wird der reelle Wert oder der ealteil der komplexen ahl markiert. Durch die Markierung der imaginären Achse wird eine Gerade parallel zur reellen Achse und durch die Markierung der reellen Achse eine Gerade parallel zur imaginären Achse gezeichnet. Der Schnittpunkt beider Geraden liefert in der komplexen Ebene den Punkt z = e[z] + jm[z]. Graphisch wird die Distanz zwischen zwei komplexen ahlen durch einen eiger oder Phasor (engl.) dargestellt. m obigen Bild ist dies der eiger vom rsprung z = + j zur komplexen ahl z = e[z] + jm[z]. Der eiger zwischen dem rsprung + j zum Punkt z berechnet sich zu z z = e[z] + jm[z] ( + j) = e[z] + jm[z] = z. Der eiger vom rsprung zur komplexen ahl z ist also gleich der komplexen ahl z. Die änge des eigers wird als Betrag bezeichnet. änge bzw. Betrag lassen sich aus dem Satz des Phytagoras bestimmen: [ ] [ ] z = z = e z + m z Der Betrag wird durch Betragsstriche um das Formelzeichen, also z, oder durch Fortlassen des nterstriches beim Formelzeichen, also z, gekennzeichnet.. Der Winkel ϕ des eigers gegenüber der reellen Achse wird als Phasenwinkel (kurz Phase) oder phase angle (engl.) bezeichnet. Er wird mittels der Arcus-Tangens-Funktion berechnet: Nach dem Satz von Euler oder dem Satz von Moivre = arctan m[ z] ϕ e[ z ] z = z j e ϕ = zcos(ϕ) + jzsin (ϕ) z n = z n e jnϕ = z n cos(nϕ) + j z n sin (nϕ) lassen sich komplexe ahl durch ihren Betrag und einen Drehzeiger e jϕ darstellen: z = z j e ϕ = z exp(jϕ) = z/_ϕ. Wird der maginärteil der ahl z mit multipliziert, erhält man die konjugiert komplexe ahl: z* = e[z] jm[z] = z e j ϕ = z /_ ϕ. Multiplikation der komplexen ahl mit ihrer konjugiert komplexen ahl liefert usammenfassung Komponentenform eigerform z z* = z = e[z] + m[z]. z = e[z] + jm[z] z = z j e ϕ = z exp(jϕ) = z/_ϕ. Betrag z = e [ z] + m [ z ] Phase ealteilbildung maginärteilbildung = arctan m[ z] ϕ e[ z ] e[z] = z cos(ϕ) m[z]= z sin(ϕ)

21 KOMPEXE EBENE 3.3 Transformation der Sinusschwingung auf die komplexe Ebene n der Elektrotechnik werden vorwiegend sinusförmige Vorgänge in Abhängigkeit von der eit betrachtet. Dazu bedient man sich der komplexen Darstellung der Sinusschwingung. Die Sinusschwingung z(t) = ẑ sin(ωt + ϕ ) wird in der komplexen Ebene durch den drehenden eiger z(t) abgebildet, der gegenüber der reellen Achse um den Nullphasenwinkel ϕ nach links verdreht ist. Dieser eiger dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω im mathematisch positiven Sinn, also nach links bzw. gegen den hrzeigersinn. Es handelt sich bei dieser Darstellung um die Transformation einer zeitabhängigen, sinusförmige Schwingung auf die komplexe Ebene. jm[z] ω t z ϕ e[z] Darstellung der Sinusschwingung z(t) = ẑ sin(ωt + ϕ ) durch einen Drehzeiger in der komplexen Ebene ur Veranschaulichung wird die Transformation der sinusförmige Spannung u(t) = ûsin(ωt + ϕ ) auf die komplexe Ebene erläutert. Sinus- und Cosinusschwingung werden in der komplexen Ebene durch den komplexen eiger dargestellt. Nach Euler gilt u(t) = û ej(ωt + ϕ) u(t) = û e j(ωt + ϕ) = û ( cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) ) u(t) = û cos(ωt + ϕ ) + j û sin(ωt + ϕ ). Der maginärteil des komplexen eigers u(t) stellt die Sinusschwingung dar, der ealteil die Kosinusschwingung. Der komplexe Spannungszeiger u(t) hat die änge û und dreht sich mit der Kreisfrequenz ω in der komplexen Ebene um den rsprung. Da sich der eiger immer mit der selben Kreisfrequenz dreht, ist damit keine besondere nformation verbunden, man kann man das Drehen des eigers vernachlässigen, ohne einen nformationsverlust befürchten zu müssen. Wird die eigerlänge bzw. die Amplitude durch dividiert, entspricht die änge dem Effektivwert. nter diesen mständen kann der drehende eiger u(t) in einen ruhenden, komplexen eiger und in den Drehzeiger u(t) = ûe j(ωt + ϕ) = e jωt aufgespalten werden: uˆ ( + ) uˆ e = e e = e j ω t ϕ j ϕ j ω t j ω t

22 KOMPEXE EBENE 4 Der komplexe eiger = e jϕ = ϕ hat die eigerlänge, die dem Effektivwert der Schwingung entspricht. Seine Verdrehung gegenüber der reellen Achse entspricht dem Nullphasenwinkel ϕ. (m Folgenden wird sowohl von der Exponentialschreibweise = e jϕ als auch von der Winkelschreibweise ϕ Gebrauch gemacht!) Während der Berechnungen wird nur mit komplexen, ruhenden eigern gearbeitet. Erst wenn die Sinus- oder Kosinusschwingung gebraucht wird, wird der komplexe eiger mit dem Faktor e jωt multipliziert und damit wieder in den komplexen, zeitabhängigen eiger überführt. Durch maginärteilbildung erhält man die dazu korrespondiere die Sinusschwingung oder durch ealteilbildung die dazu korrespondiere Kosinusschwingung. Beispiel: Bestimmung der eitfunktion aus einem komplexen, ruhenden eiger Es sei der komplexe eiger gegeben. Er wird mit eiger î = e = e jϕ jϕ erlegung in eal- und maginärteil liefert: Der maginärteil stellt die Sinusfunktion dar: e jωt multipliziert, und es entsteht der zeitabhängige, komplexe j t î j () j t j ( t it = e ω = e ϕ e ω = ˆi e ω + ϕ ). [ ] [ ] ˆ ( ω ϕ ) ˆ ( ω ϕ ) it () = e it () + jm it () = icos t+ + jisin t+ i(t) = m[i(t)] = î sin(ωt + ϕ ). Der ealteil stellt die Cosinusfunktion dar: i(t) = m[i(t)] = î sin(ωt + ϕ ). wei sinusförmige Spannungen unterschiedlicher Frequenz Was passiert, wenn zwei sinusförmige Spannungen mit unterschiedlichen Frequenzen als eiger in der komplexen Ebene dargestellt werden? Dazu folgende Diskussion: Gegeben sind zwei Spannungen mit ihren eigern u(t) = û e j(ωt + ϕ ) = u (t) = û sin (ω t + ϕ ) u (t) = û sin (ω t + ϕ ) û jϕ jωt jω t e e = e u(t) = û e j(ωt + ϕ ) û = jϕ jωt jω t e e = e. Beide eiger drehen sich ständig in der komplexen Ebene, wobei ihre Drehzahl durch ihre Kreisfrequenz bestimmt ist. Je nach gewähltem eitaugenblick t haben sie eine Stellung zueinander, die durch den Differenzwinkel ϕ = ϕ ϕ

23 KOMPEXE EBENE 5 bestimmt ist. Der Differenzwinkel ϕ (phase difference) ist eine zeitabhängige Größe, da die Frequenzen beider Schwingungen nicht übereinstimmen. Dies ist im folgenden Bild dargestellt. Wird nun gefordert, dass die Frequenzen der beiden Schwingungen übereinstimmen ω = ω = ω folgt u (t) = û sin(ωt + ϕ ) und u (t) = û sin(ωt + ϕ ) jm ϕ ϕ = ϕ - ϕ ϕ e eigerbild der Spannungen u und u mit den komplexen eigern und Aus den letzten beiden Gleichungen folgen die beiden komplexen Drehzeiger u(t) = jϕ jωt ϕ ωt e e j j u(t) = e e Da die Kreisfrequenzen beider eiger übereinstimmen, ist ihre Drehzahl und damit der Differenzwinkel ϕ = ϕ ϕ immer konstant. n der komplexen Ebene bleibt daher der Differenzwinkel immer konstant und stellt somit keinen besonderen nformationsgehalt dar. Daher kann die Drehbewegung der eiger ganz außer acht gelassen werden. Dazu wird e jωt = gesetzt und es folgen die beiden komplexen, ruhenden eiger j = e ϕ = e jϕ j Durch Multiplikation der komplexen, ruhenden eiger mit e ωt erhält man dann wieder die komplexen, drehenden eiger aus denen durch maginärteil- oder ealteilbildung die Sinus- oder Cosinusschwingung gewonnen wird. u(t) = m[u(t) ] = û sin(ω t + ϕ ) oder u(t) = m[u(t) ] = û sin(ω t + ϕ ) u(t) = e[u(t) ] = û cos(ω t + ϕ ) u(t) = e[u(t) ] = û cos(ω t + ϕ ) Die Darstellung von sinusförmigen Wechselströmen und Wechselspannungen als eiger in einer komplexen Ebene setzt voraus, dass alle Ströme und Spannungen die gleiche Frequenz aufweisen.

24 .4 Transformationsregeln KOMPEXE EBENE 6 m vorigen Abschnitt wurde gezeigt, dass ein sinusförmiger Vorgang auf die komplexe Ebene übertragbar ist und sich die Verhältnisse dann besonders einfach gestalten, wenn die Frequenzen aller Schwingungen übereinstimmen. m folgenden wird dies vorausgesetzt und die damit verbundenen egeln zur Übertragung sinusförmiger Vorgänge auf die komplexe Ebene und wieder zurück in den eitbereich hergeleitet. Mathematisch stellt der Vorgang eine Transformation zur Behandlung periodischer, sinusförmiger Vorgänge dar. Aus dem Originalbereich, dem eitbereich, wird der Vorgang in den Bildbereich, also in die komplexe Ebene (kürzer: ins Komplexe) transformiert. Von dort kann der Vorgang wieder in den Originalbereich zurück transformiert werden. Es sei die Spannung u = û sin(ωt + ϕ ), gegeben. hre komplexe Darstellung ist j( ωt+ ϕ ) j j j ( ) û ˆ ϕ ωt ωt u t = u e = e e = e. Da e jωt unberücksichtigt bleibt, wird aus der zeitabhängigen Spannung u(t) = û sin(ωt + ϕ ) der komplexe eiger = e jϕ. n Kurzschreibweise, die der Notation der aplace- oder Fourier-Transformation entspricht, gelten folgende egeln zur msetzung bzw. Transformation sinusförmiger eitgrößen in komplexe eiger: u = û sin(ωt + ϕ u ) = ejϕ u Analog gilt u = û sin(ωt + ϕ u ) = ejϕ u Transformation einer Kosinusschwingung: u 3 = û 3 cos(ωt + ϕ u3 ) = û 3 sin(ωt + 9 +ϕ u3 )= 3 = 3 ej(ϕ u3 + 9 ) Weitere Transformationen: i = î sin(ωt + ϕ i ) = ejϕ i i = î sin(ωt + ϕ i = ejϕ i i 3 = î 3 cos(ωt + ϕ i3 ) = î 3 sin(ωt + 9 +ϕ i3 )= 3 e= 3 ej(ϕ i3 + 9 ) Sollen zwei Sinusschwingungen gleicher Frequenz überlagert werden, so ergibt das eine neue Schwingung gleicher Frequenz. Da sich die Frequenz nicht ändert, kann die Überlagerung auch im Komplexen durchgeführt werden. Es gilt daher u = u + u = û sin(ωt + ϕ u ) + û sin(ωt + ϕ u ) = + Mit = e[ ] + jm[ ] und = e[ ]+jm[ ] folgt = + = e[ ] + e[ ] + j(m[ ]+m[ ]) Betrag und Phase berechnen sich zu + = e +e m +m

25 KOMPEXE EBENE 7 ϕ m[ ]+m[ ] =arctan e[ ]+e[ ]. Die ücktransformation in den eitbereich liefert die Schwingung u = û sin(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ). Werden zwei sinusförmige Vorgänge mit gleicher Frequenz im eitbereich multipliziert, gilt u = u u = û sin(ωt + ϕ u ) û sin(ωt + ϕ u ) = û û sin (ωt) u = û û (,5,5sin(ωt 9 )). Die Frequenz ist also auf das doppelte gestiegen. Da bei der Überlagerung der eiger in der komplexen Ebene die Frequenz nicht geändert wird, entspricht die Multiplikation zweier eiger in der komplexen Ebene nicht der Multiplikation zweier sinusförmiger Vorgänge im eitbereich. Dies ist auch aus anderen Gründen verständlich: Die Transformation F = T[f(t)] ins Komplexe ist eine lineare Transformation, denn sowohl Homogenität af = T[a f(t)] als auch Additivität F +F = T[f(t ) + f(t )] sind gegeben. Da bei linearen Transformationen die linearen Operationen gegenüber der Transformation invariant sind, also erhalten bleiben, entspricht der Überlagerung zweier Sinusschwingungen im eitbereich auch die Überlagerung ihrer komplexen eiger. Die Multiplikation ist jedoch eine nichtlineare Operation. Daher folgt F F T[f(t ) f(t )]. Also gibt es zur Multiplikation zweier Sinusschwingungen im eitbereich keine entsprechende Operation im Komplexen. Wird ein sinusförmiger Vorgang im eitbereich differenziert, ergibt sich wieder ein sinusförmiger Vorgang derselben Frequenz mit einer um 9 voreilenden Phase. Also d(sin(ωt))/dt = ωcos(ωt) = ωsin(ωt + 9 ) Übertragen auf die komplexe Ebene bedeutet das, dass der eiger von d(sin(ωt))/dt um 9 gegenüger dem eiger von sin(ωt) voreilend ist. Sein ursprünglicher Betrag wird mit der Kreisfrequenz multipliziert. Somit gelten folgende Transformationsregeln: u = û sin(ωt + ϕ) [ û ω t ϕ ] d sin( + ) dt u jϕ = e u j9 =j j( ϕu+ 9 ) ω e ω = ω e Wird ein sinusförmiger Vorgang im eitbereich integriert, folgt als Ergebnis wieder ein sinusförmiger Vorgang der selben Frequenz, jedoch mit einer um 9 nacheilenden Phase. sin( ω t)d t= cos( ω t) = cos( ω t)= sin( ωt+ 9 )= sin( ωt 9 ) ω ω ω ω Übertragen auf die Transformation ins Komplexe folgt, dass der eiger von sin( ωt)dt um 9 gegenüber dem eiger von sin(ωt) nacheilend ist. Sein ursprünglicher Betrag wird durch die Kreisfrequenz dividiert. Somit gilt folgende Transformationsregel: u = û sin(ωt + ϕ) jϕ = e u

26 KOMPEXE EBENE 8 û sin( ω t+ ϕu ) dt j9 e = = e ω jω ω j( ϕu 9 ) Mit Hilfe der Transformation periodischer, sinusförmiger Vorgänge in die komplexe Ebene lassen sich Addition und Subtraktion von sinusförmigen eitvorgängen auf die Addition und Subtraktion ihrer komplexen eiger übertragen. Differentiation eines sinusförmigen eitvorganges lässt sich im Komplexen durch Drehung des entsprechenden eigers um 9 voreilend und durch Multiplikation des ursprünglichen eigers mit der Kreisfrequenz ω nachbilden, während die ntegration eines sinusförmigen eitvorganges durch Drehung des komplexen eigers um 9 nacheilend und Division des ursprünglichen eigers durch die Kreisfrequenz ω nachgebildet wird. Die Transformationen periodischer, sinusförmiger Vorgänge sind in folgender Tabelle zusammen gefasst: û sin(ωt + ϕ u ) = e jϕ u u = u + u = + d( ûsin( t+ u) j( ϕ j ω = ω e u + 9 ) dt ut () = uˆ sin( ωt+ ϕu) dt j( ϕ - 9 ) = u jω ω e.5 ösen von ntegro-differentialgleichungen durch Transformation n der Technik treten besonders häufig lineare ntegro-differential-gleichungen mit konstanten Koeffizienten und inhomogener Funktion auf. Ein Beispiel stellt folgende Gleichung dar: d f() t a f() t d t + b + c f() t = k ut () dt Die Mathematik lehrt, dass derartige Gleichungen mit dem ösungsansatz eλt gelöst werden können, wobei zunächst die homogene ösung und anschließend die inhomogene ösung bestimmt wird. etztere gewinnt man aus der homogenen ösung, die mit einer partiellen ösung überlagert wird. Das Ergebnis enthält noch unbekannte Konstante, die erst durch Einbeziehen der Anfangsbedingung bestimmbar ist. Besonders einfach ist die ösung der ntegro-differential-gleichung dann, wenn die inhomogene Funktion k u(t) eine periodische, sinusförmige Funktion darstellt. nter diesen mständen kann die Gleichung durch Anwendung der im vorigen Abschnitt hergeleiteten Transformationsregeln aus dem eitbereich, dem Originalbereich, auf die komplexe Ebene, den Bildbereich, transformiert werden. Durch die Transformation wird die Gleichung algebraisiert und ist anschließend einfach zu lösen. Die im Komplexen gewonnene ösung wird dann wieder in den eitbereich rücktransformiert und man erhält die gesuchte, zeitabhängige ösung der ntegro-differential-gleichung.

27 Tabelle der Transformationsschritte KOMPEXE EBENE 9. Schritt Gegeben im Originalbereich: ntegro-differential-gleichung mit periodischer, sinusförmiger, inhomogener Funktion d f() t a f() t d t + b + c f() t = k uˆ sin( ωt+ ϕu ) dt. Schritt Einführen der komplexen Größen 3. Schritt Die erforderlichen Transformationen 4. Schritt Transformation in den Bildbereich, also in die komplexe Ebene 5. Schritt Auflösen nach der unbekannten Funktion F f()d t t d () dt f t f(t) F u(t) F j ω j ω F a F b j ω F c F k jω + + = = e ( jω jω ) F a + b + c = k e jϕ k e F = = F e a jω+ b jω+ c jϕu jϕf jϕu 6. Schritt ücktransformation in den eitbereich a) Ergänzen um den Drehzeiger jωt e b) eal- oder maginärteilbildung liefert sinusförmige Schwingung jϕf jωt j( ωt+ ϕf) F = F e e = F e F = F cos( ωt+ ϕ )+j F sin( ωt+ ϕ ) F f(t) = e[f] = F cos( ωt+ ϕ ) oder f(t) = m[f] = F sin( ωt+ ϕ ) F F F

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29 3 mpedanz und Admittanz 3. mpedanz n ähnlicher Art und Weise wie im Gleichstromfall wird für den Wechselstromfall im Komplexen ein Bauelement definiert, das man als mpedanz bezeichnet. Die mpedanz stellt das Verhältnis der komplexen Spannung zum komplexen Strom dar: jϕ e j( ϕ ϕ ) jϕ jϕ = = = e = e = e = ϕ. jϕ e ~ m Strom- und Spannungszeiger an der mpedanz Aus mathematischer Sicht stellt dieses Verhältnis bzw. die mpedanz einen Operator dar, der die komplexe Spannung mit dem komplexen Strom verknüpft. Wie jede komplexe ahl, läßt sich auch die mpedanz in Komponentenform oder Polar- bzw. eigerformform angeben: = e[] + jm[] = e jϕ = ϕ. Der ealteil wird als esistanz bezeichnet, das Formelzeichen ist. Der maginärteil wird als eaktanz bezeichnet, das Formelzeichen ist X. Also gilt weiter esistanz: eaktanz: = + jx = e[] + jm[] = cos(ϕ) + j sin(ϕ) = cos(ϕ) = e[] X = sin(ϕ) = m[] Betrag der mpedanz = = + X wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Für den Scheinwiderstand gilt die einfache Beziehung =. 3. Admittanz Der Kehrwert der mpedanz wird als Admittanz bezeichnet: Y = /. Y = G + jb = e[y] + jm[y] Der ealteil wird als Konduktanz bezeichnet: G = e[y], der maginärteil wird als Suszeptanz bezeichnet: B = m[y].

30 3.3 Bezeichnung der Operatoren SCHATNGSANAYSE = + jx mpedanz komplexer Widerstand Y = G + j B Admittanz komplexer eitwert = Scheinwiderstand esistanz Wirkwiderstand G Konduktanz Wirkleitwert X eaktanz Blindwiderstand B Suszeptanz Blindleitwert 3.4 mpedanz und Admittanz von, und C 3.4. mpedanz und Admittanz des Widerstandes Am Widerstand gilt im eitbereich die Spannungs-Strom-Beziehung u = i Die Spannung am Widerstand sei sinusförmig. Dann ergibt die Transformation ins Komplexe: u = û sin(ωt) = Strom durch den Widerstand: u i = = = Somit folgt für die mpedanz des Widerstandes = = =. Der Widerstand weist in der komplexen Ebene nur einen ealteil, also nur eine esistanz auf. Der Wert der esistanz stimmt mit dem Wert des Widerstandes überein. Die Transformation des Widerstandes auf die komplexe Ebene ist invariant: =. Die Admittanz des Widerstandes lautet Y = G = =, sie weist ebenfalls nur einen ealteil auf, der dem eitwert G = / entspricht. Aus = ist ersichtlich, dass bei einem Widerstand Spannung und Strom die gleiche Phase aufweisen mpedanz und Admittanz der nduktivität m eitbereich gilt für die nduktivität di =. u dt Spannung u an der nduktivität u(t) = û sin(ωt + ϕ) = j e ϕ.

31 Strom i durch die nduktivität aus der Beziehung di = u dt di = u dt SCHATNGSANAYSE 3 ω =. j Daraus bestimmt sich die mpedanz der nduktivität mit = = = jω = jx jω = zu jω mit X = ω. Die mpedanz der nduktivität weist nur einen maginärteil auf, der sich aus der Multiplikation der nduktivität mit jω ergibt. Die Admittanz der nduktivität bestimmt sich zu Y = = j = jω ω. Aus = = jω = ω e j ist ersichtlich, dass die Spannung an der nduktivität gegenüber dem Strom um 9 voreilend ist mpedanz und Admittanz der Kapazität m eitbereich gilt für die Kapazität ic d t C =. u Spannung u C an der Kapazität C 9 u(t) C = û C sin(ωt + ϕ) C = C e ϕ. Strom i C durch die Kapazität aus der Beziehung i C = u C d C t i Cd t = C u C jω C = C Daraus bestimmt sich die mpedanz der Kapazität zu C C C = = j = jωc = jωc ωc = jx C C C mit X C = /ωc. Die mpedanz der Kapazität weist nur einen negativen maginärteil auf. Die Admittanz der Kapazität bestimmt sich zu YC = = jωc. C j9 Aus = j C C C = C C = e ωc ωc ist ersichtlich, dass die Spannung C an der Kapazität gegenüber dem Strom C um 9 nacheilend ist. C j

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33 4 Schaltungsanalyse m Komplexen behalten die Netzwerksätze der Gleichstromtechnik ihre Gültigkeit, sie werden lediglich von der reellen echnung auf die komplexe echnung übertragen. Die Netzwerksätze lauten die Summe aller komplexen Ströme an einem Knoten ist Null, die Summe aller komplexen Spannungen einer Masche ist Null, die Gesamtimpedanz der eihenschaltung ist gleich der Summe der Einzelimpedanzen, die Gesamtadmittanz der Parallelschaltung ist gleich der Summe der Einzeladmittanzen. Es gilt der Überlagerungssatz, 4. eihenschaltung eihenschaltung zweier mpedanzen n der eihenschaltung ist der Strom konstant und die Spannung an den Bauelementen addieren sich: Es sei = + jx und = + jx = + = + = dann ist = + jx + + jx = + + j(x + X ). e[] = + m[] = X + X Die ealteile addieren sich Die maginärteile addieren sich ebenfalls = e jϕ ( ) mit = ( + ) + ( X + X ) und arctan X+ X arctan m[ X] ϕ = = + e[ X ] 4.. Widerstand in eihe mit nduktivität ösung im eitbereich m eitbereich gilt u = u + u An den Elementen gelten folgende Spannungs- und Strombeziehungen:

34 SCHATNGSANAYSE 6 Widerstand: u = i nduktivität di u = d t i u u u Widerstand in eihe mit nduktivität Da eine eihenschaltung vorliegt gilt für die Ströme durch die Elemente: i = i = i. Somit ergibt sich folgende Spannungsgleichung u di = i +. d t ösung der Gleichung im eitbereich geschieht unter Beachtung folgender Sätze: Wird ein System periodisch erregt, befindet es sich in einem stationären ustand. Das bedeutet, dass alle Übergangsvorgänge, die nach dem Einschalten der Erregung aufgetreten waren, sind abgeklungen. Die Antwort eines lineares System auf eine sinusförmige Erregung ist ebenfalls sinusförmig mit gleicher Frequenz, im allgemeinen jedoch mit einer Phasenverschiebung zur Erregung. Die Anwendung der Sätze: Das System stellt die eihenschaltung eines Widerstandes mit einer nduktivität dar. Die Erregung ist die Spannungsquelle, die Antworten sind sowohl der Strom als auch die Spannungen an den beiden Elementen. Daher gilt Netzwerkerregung u = uˆ sin( ω t) Netzwerkantwort i = î sin(ω t + ϕ i ) Mit d i = ωî cos( ωt+ ϕi ) dt d folgt aus der Gleichung u i = i +. d t ûsin( ωt) = i ˆsin( ωt+ ϕ )+ ωi ˆcos( ωt+ ϕ ) oder ûsin( ωt) = ˆi( sin( ωt+ ϕ )+ ωcos( ωt+ ϕ )) Dies ist eine goniometrische Gleichung, bei der Betrag und Argument auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen müssen. unächst wird die Klammer auf der rechten Gleichungsseite umgeformt: i sin( ωt+ ϕ )+ ωcos( ωt+ ϕ ) = sin( ωt+ ϕ + ϕ) i i i i i i

35 Es gilt = + ( ω) ω und ϕ = arctan Damit folgt die Spannungsgleichung Aus der Betragsbedingung folgt für den Strom Aus der Phasenbedingung SCHATNGSANAYSE 7 û sin( ωt) = ˆisin( ωt+ ϕ + ϕ) û î = ˆi = û ω t = ω t + ϕ + ϕ i folgt für den unbekannten Stromwinkel ω ϕi = ϕ = arctan Damit ist der unbekannte Strom bestimmt û i = sin( ωt-ϕ ) Die Spannungen an den einzelnen Bauelementen sind dann am Widerstand = = u i uˆ sin( ω t- ϕ ) an der nduktivität i di ω ω π u = = uˆcos( ωt ϕ) = uˆsin( ωt ϕ + ) dt ösung durch Transformation der Gleichung in die komplexe Ebene Der Aufwand ist bei einer Berechnung im eitbereich sehr groß. Dies wird umgangen, wenn die ntegro-differential-gleichung nicht direkt sondern durch Transformation gelöst werden. Dazu werden zunächst die transformierten Größen bestimmt: u = uˆ sin( ωt) = (reell, Spannung weist keinen Phasenwinkel auf) i di d t jω Die transformierte Gleichung lautet = + j ω = + u dieser Gleichung kann auch das im Bild dargestellte Ersatzschaltbild angegeben werden. Es gilt X = ω. Die komplexe Gleichung = + j ω = + ( ) j j X = j X e j ϕ = + ω = + + =

36 SCHATNGSANAYSE 8 mit ( ω ) = + = + X ω X und ϕ = arctan = arctan wird nach dem Strom aufgelöst: = = e jϕ e = - jϕ X Ersatzschaltbild der eihenschaltung aus Widerstand und nduktivität im Komplexen Die ücktransformation in den eitbereich liefert den Strom û i = sin( ωt ϕ ) Die Spannungen an den Bauelementen Widerstand m Komplexen = = e - jϕ und im eitbereich = u uˆ sin( ω t- ϕ ) nduktivität m Komplexen ω ω = j X =j ω = e e = e ω und im eitbereich u = uˆ sin( ω ϕ t +9 ) j9 jϕ j(9 ϕ ) Es ist offensichtlich, dass der Aufwand zur ösung der Netzwerkgleichung über die Transformation ins Komplexe bedeutend geringer ist als bei einer direkten ösung. Da die ösung im Komplexen schon sehr anschaulich ist, erübrigt sich im allgemeinen die ücktransformation in den eitbereich, so dass dadurch der Aufwand nochmals bedeutend verringert wird. ösung durch direkte msetzung in die komplexe Ebene Das im eitbereich gültige Schaltbild wird direkt ins Komplexe übertragen, wobei folgende egeln zu beachten sind: Aus den sinusförmigen Spannungen und Strömen wird u i Die Grundzweipole haben folgende mpedanzen:

37 SCHATNGSANAYSE 9 Widerstand nduktivität = = jω = jx i u u u = X Die Schaltung links im eitbereich und rechts im Komplexen Durch Anwendung des Maschensatzes ergibt sich die Gleichung = + Mit und = = jx = jω folgt Die mpedanz ist Dann ist der Strom = + jω = = + jω = + jω. = / Beispiel Eine eihenschaltung eines Widerstandes mit = 4 Ω und einer nduktivität mit der eaktanz X = ω = 3 Ω wird von der Spannung u = V sin(ωt) mit der Frequenz f = 5 Hz gespeist. Gesucht sind die Spannungen und der Strom. Die Transformation ins Komplexe ergibt Die mpedanz: V sin(ωt) = V/ = 4,4 V (Spannung ist reell) = 4,4 V (Spannungszeiger hat nur einen ealteil) = + jx = 4 Ω +j3 Ω mit und folgt Dann folgt für den Strom = Ω= 5Ω 3 ϕ = arctan = 36, 9 4 = 5 Ω e j36,9 = / = 4,4 V / (5 Ω e j36,9 ) =,83 A e j36,9 =,83 A e -j36,9 =,83 A (cos(-36,9 ) +j sin(-36,9 )) =,83 A (cos(36,9 ) j sin(36,9 )) =,6 A j,7 A Andere Form der Berechnung durch konjugiert komplexe Erweiterung des Nenners: jx jx X = = = + jx X + X + X + X j j

38 SCHATNGSANAYSE 3 44V, 4Ω e[ ] = = = 6A, ( 4 3 ) + X + Ω X 44V, 3Ω m[ ] = = = 7A, + X + Ω ( 4 3 ) Der gegenüber der Spannung nacheilende Strom ist charakteristisch für eihenschaltung mit induktiver Komponente, man sagt die Schaltung ist induktiv. Spannung am Widerstand = = 4 Ω,83 A e j36,9 =,3 V e j36,9 e[ ] = 9,5 V m[ ] = 6,8 V Der Spannungszeiger hat die gleiche Phase wie der Stromzeiger. Spannung an der nduktivität = jω = X e j9 = 3 Ω e j9,83 A e -j36,9 = 8,49 V e j53, e[ ] = 5, V m[ ] = 6,8 V Der Spannungszeiger der Spannung ist gegenüber dem Stromzeiger um 9 voreilend. jm 53, -36,9 e Die eiger in der komplexen Ebene 4.. Das eigerdiagramm der eihenschaltung Die graphische Darstellung einer komplexe ahl z ist in der komplexen Ebene ein eiger, dessen Neigung durch den Phasenwinkel ϕ und dessen änge durch seinen Betrag bestimmt wird. jm[z] z ϕ e[z] Darstellung der komplexen ahl z in der komplexen Ebene durch einen eiger

39 SCHATNGSANAYSE 3 Da die komplexen Größen in komplexen Gleichungen sich als eiger darstellen lassen, ist die eigerdarstellung eine vorteilhafte Veranschaulichung der Komponenten der Gleichung. Oftmals lassen sich mit Hilfe der eiger ösungen von komplexen Gleichungen auch auf graphisch Weg gewinnen. unächst muss aber das für den eitbereich gegebene Beispiel auf die komplexe Ebene transformiert werden. Dazu diene folgende Überlegung. Die eihenschaltung bestehe aus dem Widerstand und der nduktivität. Als Beispiel diene die im Bild dargestellte eihenschaltung. = X Es gilt = +. Spannungen und Strom in der eihenschaltung Diese komplexe Gleichung wird durch das im Bild dargestellte eigerdiagramm graphisch veranschaulicht. Der erste eiger ist der Spannungszeiger der Eingangsspannung. Er liegt in der reellen Achse. Der Stromzeiger ist gegenüber dem Spannungszeiger der Eingangsspannung um den Winkel von 36,9 nacheilend. n Phase mit dem Stromzeiger liegt der Spannungszeiger der Spannung am Widerstand. An diesen eiger schließt sich der eiger an der nduktivität an. Er hat einen Phasenwinkel von 53,. Das Ende des eigers ist der Schnittpunkt mit der reellen Achse. Die Verbindung vom rsprung bis zum Schnittpunkt des eigers mit der reellen Achse stellt den Spannungszeiger der Eingangsspannung dar. j m ϕ = 36,9 ϕ = 53, e Das eigerdiagramm der eihenschaltung von Widerstand und nduktivität 4. Parallelschaltung Bestimmung der Admittanz aus der mpedanz Y = / = G + jb jx jx X Y = = = = = j + jx + jx j X + X + X + X

40 SCHATNGSANAYSE 3 X Y = G + jb = j + X + X G = + X B X = + X ist der Widerstand in der eihenschaltung, X ist die eaktanz in der eihenschaltung: X = ω oder X = /(ωc). Admittanzen der Grundzweipole Widerstand Y = / = G nduktivität Kapazität Y = / = /(jω) = j/(ω) Y C = / C = jωc Y Y Parallelschaltung zweier Admittanzen Da bei einer Parallelschaltung die Spannung konstant ist und die Ströme sich addieren, folgt = = = 3 = const. = Mit = Y bzw. = Y, = Y... gilt = Y + Y + Y 3 = (Y + Y + Y 3 ) oder = /Y = /(Y + Y + Y 3 ) Bei der Parallelschaltung addieren sich die Admittanzen Mit Y = / = G + jb und Y = / = G + jb folgt Y = Y + Y = G + jb + G + jb = G + G + jb + jb und weiter Y = G + G + j(b + B ) e[y] = G + G m[y] = B + B Die ealteile addieren sich Die maginärteile addieren sich ebenfalls oder Y = Y e jϕ

41 mit Y = ( G + G ) + ( B + B ) SCHATNGSANAYSE 33 ( ) m[ ] und arctan Y arctan B + ϕ = = B e[ Y] G + G Beispiel Widerstand parallel zur nduktivität u i Y = / Y = j/ω = j/x ϕ X jm ϕ e Widerstand parallel zur nduktivität, Schaltbild und eigerdiagramm Eine Parallelschaltung eines Widerstandes mit = 4 Ω und einer nduktivität mit der eaktanz X = 3 Ω wird von der Spannung u = V sin(ωt) mit der Frequenz f = 5 Hz gespeist. Gesucht sind die Ströme. Die Transformation ins Komplexe ergibt Die Admittanz Mit und V sin(ωt) = V/ = 4,4 V (Spannung ist reell) Y = Y + Y = / j/x = (/4 j/3 ) S Y = + = + S=,466667S ϕ = arctan = arctan = 533, 4 3 folgt Y =, S e -j53,3 Dann folgt für den Strom = Y =, S e -j53,3 4,4 V = 5,89 A e j53,3 = e[] = 5,89 A cos(-53,3 ) = 5,89 A cos(53,3 ) = 3,535 A = m[] = 5,89 A sin(-53,3 ) = 5,89 A sin(53,3 ) = 4,733 A

42 SCHATNGSANAYSE 34 Einfacherer ösungsweg: Strom durch den Widerstand (Spannung ist bekannt = 4,4 V) Strom durch die nduktivität = / = / = 4,4 V / 4 Ω = 3,535 A = /(jω) = /jx = j/x = j4,4 V / 3 Ω = j4,733 A Also ist der Gesamtstrom = + j = 3,535 A j4,74 A = j(arctan(-4733, 3535)), j(-53,3 ) 3535, , A e = 589A, e Beide Ergebnisse stimmen überein. m vorhergehenden Bild ist rechts das eigerdiagramm dargestellt. Der Spannungszeiger liegt in der reellen Achse. Bei der Parallelschaltung sind Spannung und Strom durch den Widerstand in Phase. Der Strom in der nduktivität ist gegenüber der Spannung um 9 nacheilend. Die eigeraddition des Stroms durch den Widerstand mit dem Strom durch die nduktivität ergibt den Gesamtstrom. 4.3 eigerdiagramme Strom und Spannungen lassen sich in einem Wechselstromnetz durch eigerdiagramme anschaulich darstellen. Dazu wird einer Spannung der komplexe Spannungszeiger = e[] +jm[] und einem Strom der komplexe Stromzeiger = e[] + jm[] zugeordnet. Alle eiger werden dann in der komplexen Ebene dargestellt. Wichtig ist: Ein Spannungs- oder Stromzeiger wird als Bezugszeiger ausgewählt. Dieser Bezugszeiger liegt in der reellen Achse, er hat also keinen maginärteil eiger am Widerstand Es gilt = oder =/ Der Spannungszeiger am Widerstand weist gegenüber dem Stromzeiger keinen Phasenunterschied auf. Beide sind, wie man sagt, in Phase eiger an der nduktivität Es gilt = jω = ω e j9 Der Spannungszeiger eilt dem Stromzeiger um 9 voraus. Es gilt = /(jω) = j /(ω) = e j( 9 ) /(ω) Der Stromzeiger eilt dem Spannungszeiger um 9 nach eiger an der Kapazität Es gilt C = C /(jωc) = j C /(ωc) = e j( 9 ) C /(ωc) Der Spannungszeiger eilt dem Stromzeiger um 9 nach. Es gilt C = jωc C = ωc e j9 C Der Stromzeiger eilt dem Spannungszeiger um 9 voraus.