Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 18

2 Wo sind wir? Vollständige Induktion Varianten vollständiger Induktion Induktive Definitionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 18

3 Eine Erinnerung Potenzen von Wörtern wurden so definiert für jedes Wort w A : w 0 = ε für jedes n N 0 : w n+1 = w n w Lemma. Für jedes Wort w A gilt: Für jedes n N 0 ist w n = n w. Wie beweist man das? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 18

4 Induktive Definitionen kann man zu Rechnen benutzen Definition w 0 = ε für alle n N 0 : w n+1 = w n w Was ist w 1? w 1 = w 0+1 = w 0 w = ε w = w Was ist w 2? w 2 = w 1+1 = w 1 w = w w Was ist w 3? w 3 = w 2+1 = w 2 w = (w w) w GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 18

5 Das Lemma über Wortlängen einfache Fälle n = 0: Das ist einfach: w 0 = ε = 0 = 0 w. n = 1: Man kann ähnlich rechnen wie bei w 1 = w: w 1 = w 0+1 = w 0 w = w 0 + w = 0 w + w siehe Fall n = 0 = 1 w weil für n = 0 richtig auch für n = 1 beweisbar n = 2: Wir gehen analog zu eben vor: w 2 = w 1+1 = w 1 w = w 1 + w = 1 w + w siehe Fall n = 1 = 2 w weil für n = 1 richtig auch für n = 2 beweisbar GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 18

6 Vollständige Induktion die Grundlage Wenn eine Menge M nur Zahlen aus N 0 enthält, 0 M ist und für jedes n N 0 gilt: wenn n M, dann n + 1 M dann ist M = N 0. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 18

7 Vollständige Induktion das Prinzip es sei für jedes n N 0 eine Aussage A n festgelegt Ziel: Für jedes n N 0 ist A n wahr. zeige N 0 = {n A n ist wahr} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 18

8 Vollständige Induktion das Prinzip es sei für jedes n N 0 eine Aussage A n festgelegt Ziel: Für jedes n N 0 ist A n wahr. zeige N 0 = {n A n ist wahr} Grundlage: wenn gilt A 0 für jedes n N 0 : wenn A n, dann A n+1 dann gilt auch für jedes n N 0 : A n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 18

9 Vollständige Induktion das Prinzip es sei für jedes n N 0 eine Aussage A n festgelegt Ziel: Für jedes n N 0 ist A n wahr. zeige N 0 = {n A n ist wahr} Grundlage: wenn gilt A 0 für jedes n N 0 : wenn A n, dann A n+1 dann gilt auch für jedes n N 0 : A n Beweisstruktur im einfachsten Fall: Induktionsanfang: zeige: A 0 gilt. Induktionsschritt: zeige für jedes n N 0 : wenn A n, dann A n+1 A n Induktionsvoraussetzung GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 18

10 Vollständige Induktion Beweis des Lemmas Idee: es sei M N 0 die Menge aller n N 0 mit w n = n w zeige: M = N 0 A n : die Aussage w n = n w Induktionsanfang n = 0: Zu zeigen: w 0 = 0 w. w 0 = ε nach Defintion von w 0 = 0 = 0 w. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 18

11 Vollständige Induktion Beweis des Lemmas Idee: es sei M N 0 die Menge aller n N 0 mit w n = n w zeige: M = N 0 A n : die Aussage w n = n w Induktionsanfang n = 0: Zu zeigen: w 0 = 0 w. w 0 = ε nach Defintion von w 0 = 0 = 0 w. Induktionsschritt n n + 1: Zeige: für jedes n gilt: wenn w n = n w, dann w n+1 = (n + 1) w. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 18

12 Vollständige Induktion Beweis des Lemmas es sei n N 0 zeige: wenn A n wahr, dann A n+1 wahr Induktionsvoraussetzung: A n ist wahr, also w n = n w. zu zeigen: A n+1 ist wahr, also w n+1 = (n + 1) w. w n+1 = w n w = w n + w = n w + w nach Ind.vor. = (n + 1) w GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 18

13 Wo sind wir? Vollständige Induktion Varianten vollständiger Induktion Induktive Definitionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 18

14 Vollständige Induktion: Varianten Induktionsanfang an späterer Stelle, z. B. für jedes n 1: A n Induktionsanfang: zeige A 1 Induktionsschritt: zeige, dass für jedes n N + gilt: wenn A n wahr, dann auch A n+1 im letzten Schritt Benutzung nicht nur von A n, sondern auch frühere Aussagen z. B. A n 1 (falls n groß genug!?) z. B. alle Aussagen A 0, A 1,..., A n manchmal mehrere Induktionsanfänge, z. B. Induktionsanfang: zeige A 0, A 1 und A 2 sind wahr diese Varianten kann man in das Originalschema pressen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 18

15 Verallgemeinerung vollständiger Induktion mit Rückgriff auf viele frühere Formeln für jedes n N 0 sei B n eine Aussage wollen beweisen: für jedes n N 0 ist B(n) wahr definiere Aussage A n so: Für jedes i N 0 mit i n ist B i wahr. beweise: für jedes n N 0 ist A n wahr das reicht, denn aus A n folgt B n GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 18

16 Eine Verallgemeinerung vollständiger Induktion Aussagen B n für n N 0 A n : Für jedes i N 0 mit i n gilt B i. Induktionsbeweis für Für jedes n N 0 ist A n wahr. Induktionsanfang n = 0: müssen zeigen: A 0, also für jedes i N 0 mit i 0 gilt B i, also B 0. Induktionsschritt n n + 1: es sei n N 0 so, dass die Induktionsvoraussetzung gilt: A n, also für jedes i N 0 mit i n gilt B i zeige A n+1, also für jedes i N 0 mit i n + 1 gilt B i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 18

17 Eine Verallgemeinerung vollständiger Induktion Aussagen B n für n N 0 A n : Für jedes i N 0 mit i n gilt B i. Induktionsschritt n n + 1: es sei n N 0 so, dass die Induktionsvoraussetzung gilt: A n, also Für jedes i N 0 mit i n gilt B i. zeige A n+1, also Für jedes i N 0 mit i n + 1 gilt B i. A n+1 ist: Für jedes i N 0 mit i n gilt B i und es gilt B n+1. Für jedes i N 0 mit i n gilt B i. : gilt nach IV B n+1 : hier muss man was tun, darf aber IV benutzen: Für jedes i N 0 mit i n gilt B i. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 18

18 Wo sind wir? Vollständige Induktion Varianten vollständiger Induktion Induktive Definitionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 18

19 Beispiel noch mal Potenzen von Wörtern Definition: w 0 = ε für jedes n N 0 : w n+1 = w n w sinnvolle Festlegung? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 18

20 Beispiel noch mal Potenzen von Wörtern Definition: w 0 = ε für jedes n N 0 : w n+1 = w n w sinnvolle Festlegung? wird für jedes n etwas festgelegt, was w n sein könnte? ist das immer eindeutig? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 18

21 Beispiel noch mal Potenzen von Wörtern Definition: w 0 = ε für jedes n N 0 : w n+1 = w n w sinnvolle Festlegung? wird für jedes n etwas festgelegt, was w n sein könnte? ist das immer eindeutig? vollständige Induktion: für jedes n N 0 wird w n festgelegt GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 18

22 Ackermann-Funktion auch induktiv definiert die Ackermann-Funktion A : N 0 N 0 N 0 ist so definiert (Fassung von Rósza Péter) für jedes y N 0 : A(0,y) = y + 1 für jedes x N 0 : A(x + 1, 0) = A(x, 1) für jedes x N 0, y N 0 : A(x + 1,y + 1) = A(x, A(x + 1,y)) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 18

23 Ackermann-Funktion auch induktiv definiert die Ackermann-Funktion A : N 0 N 0 N 0 ist so definiert (Fassung von Rósza Péter) für jedes y N 0 : A(0,y) = y + 1 für jedes x N 0 : A(x + 1, 0) = A(x, 1) für jedes x N 0, y N 0 : Vorsicht beim Rechnen! A(2, 2) = A(1, A(2, 1)) = A(1, A(1, A(2, 0))) A(x + 1,y + 1) = A(x, A(x + 1,y)) = A(1, A(1, A(1, 1))) = A(1, A(1, A(0, A(1, 0)))) = A(1, A(1, A(0, A(0, 1)))) = A(1, A(1, A(0, 2))) = A(1, A(1, 3)) = A(1, A(0, A(1, 2))) = A(1, A(0, A(0, A(1, 1)))) = A(1, A(0, A(0, A(0, A(1, 0))))) = A(1, A(0, A(0, A(0, A(0, 1))))) = A(1, A(0, A(0, A(0, 2)))) = A(1, A(0, A(0, 3))) = A(1, A(0, 4)) = A(1, 5) = GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 18

24 Ackermann-Funktion alles definiert? A : N 0 N 0 N 0 für jedes y N 0 : A(0,y) = y + 1 für jedes x N 0 : A(x + 1, 0) = A(x, 1) für jedes x N 0, y N 0 : A(x + 1,y + 1) = A(x, A(x + 1,y)) A(x,y) für jedes x N 0 und jedes y N 0 definiert? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 18

25 Ackermann-Funktion alles definiert? A : N 0 N 0 N 0 für jedes y N 0 : A(0,y) = y + 1 für jedes x N 0 : A(x + 1, 0) = A(x, 1) für jedes x N 0, y N 0 : A(x + 1,y + 1) = A(x, A(x + 1,y)) A(x,y) für jedes x N 0 und jedes y N 0 definiert? y = 0 y = 1 y = 2 y = 3 y = 4 x = 0 A(0, 0) A(0, 1) A(0, 2) A(0, 3) A(0, 4) x = 1 A(1, 0) A(1, 1) A(1, 2) A(1, 3) A(1, 4) x = 2 A(2, 0) A(2, 1) A(2, 2) A(2, 3) A(2, 4) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 18

26 Ackermann-Funktion alles definiert? A : N 0 N 0 N 0 für jedes y N 0 : A(0,y) = y + 1 für jedes x N 0 : A(x + 1, 0) = A(x, 1) für jedes x N 0, y N 0 : A(x + 1,y + 1) = A(x, A(x + 1,y)) A(x,y) für jedes x N 0 und jedes y N 0 definiert? zwei Induktionsbeweise ineinander geschachtelt außen Induktion über x innen Induktion über y zweimal im Induktionsanfang für x = 0 im Induktionsschritt für x x + 1 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 18

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