Aufgaben- und Formelsammlung zur Lehrveranstaltung NICHTLINEARE ELEKTROTECHNIK

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1 Aufgaben- und Formelsammlung zur Lehrveranstaltung NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK Technischen Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Winter-Semester 2009/2010 ( )

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3 MEINEM LEHE HEN POFESSO D. SC. TECHN. D.MULT. EUGEN S. PHILIPPOW IN DANKBAKEIT GEWIDMET

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5 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK EINFÜHUNG 5 1 Einführung Aufgabe 1.1 Einführungsaufgabe, Besonderheiten der Nichtlinearität (a) Erläutern Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Bauelementen! Geben Sie die Schaltungssymbole an! (b) Worin besteht der Vorteil der Normierung der Netzwerksgleichungen? (c) Charakterisieren Sie ein nichtlineares resistives Netzwerk! (d) Begründen Sie die Ungültigkeit des Superpositionsprinzips! Aufgabe 1.2 Klassifikation nichtlinearer Bauelemente, Effektivwertkennlinie Die statische U-I-Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes werde durch die Funktion U = KI 3 mit K = 0, 1 mv (ma) 3 (a) Zeichnen Sie die Kennlinie im Bereich von 5mA I 5mA in ein geeignetes Koordinatensystem. Welche technischen Bauelemente haben diesen qualitativen Kennlinienverlauf? (b) Wie lautet der analytische Ausdruck für die Momentanwertkennlinie (u = f (i)) und den dynamischen Widerstand ( = (I p )), wenn es sich bei dem Widerstand um ein trägheitsloses Bauelement handelt (I p Strom im Arbeitspunkt)? (c) Berechnen Sie den Verlauf des dynamischen Widerstandes, wenn die Kennlinie zu einem sehr trägen Element gehört. (d) Ermitteln Sie grafisch und analytisch den zeitlichen Verlauf der Spannung am trägheitslos angenommenen Widerstand, wenn dieser von einem sinusförmigen Wechselstrom i = Î sin ωt (Î = 5mA) durchflossen wird. (e) Ermitteln Sie für den unter d) angenommenen Fall analytisch und durch Zerlegung in Harmonische Anteile den Effektivwert der Spannung! (f) Wie kann die Effektivwertkennlinie ermittelt werden? Aufgabe 1.3 statischer, differentieller Widerstand (a) Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen Zweipols ist durch die Beziehung I = a U + b U 3 gegeben. Bestimmen Sie den statischen und den differentiellen Widerstand dieses Zweipols im Arbeitspunkt U = 4 V mit a = AV 1 und b = AV 3. Stellen Sie Kennlinien stat (U 0 ) und d (U 0 ) grafisch dar! (b) Bestimmen Sie den statischen und differentiellen Widerstand eines nichtlinearen Zweipols bei einer Spannung von 225 V, wenn die Strom-Spannungs-Kennlinie durch die Beziehung I = A(U/V) 3/2 gegeben ist! Aufgabe 1.4 differentielle Kapazität, Ersatzmodelle Eine typische nichtlineare Kapazität wird durch die q-u-kennlinie { q = k(u/v) 3/2 : u 0 k( u/v) 3/2 : u < 0 charakterisiert, wobei k eine physikalische Konstante ist. An diese Kapazität wird eine Spannung u(t) = (1/4) V cos 2 (t/1s) angelegt. a) Bestimmen Sie die differentielle Kapazität C d (u)! b) Ermitteln Sie q(t) und i(t) = dq/dt! c) Berechnen Sie i(t) mit Hilfe der differentiellen Kapazität C d (u)! Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

6 6 KENNLINIENAPPOXIMATION NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK 2 Approximation und Interpolation Aufgabe 2.1 stückweise Geradenapproximation, nichtlinearer Ersatzzweipol Die Strom-Spannungs-Charakteristik eines nichtlinearen Zweipols ist experimentell bestimmt worden und liegt als Wertetabelle vor. U/V I/mA Der Arbeitspunkt dieses Zweipols liegt im Bereich von V. Bestimmen Sie den statischen und differentiellen Widerstand an den Grenzen des Arbeitsbereichs! Wie groß sind die EMK der Quelle und der Widerstand eines äquivalenten Ersatzzweipols, der den nichtlinearen Zweipol im Arbeitsbereich ersetzen kann? Aufgabe 2.2 Kennlinienapproximation, ektifikationsmethode Experimentell wurde die ψ-i-kennlinie einer nichtlinearen Induktivität ermittelt. Meßwerttabelle I/mA 0 0,86 1,73 2,6 3,47 5,2 6,84 8,67 13,0 17,33 ψ/mvs 0 17,9 29,6 36,4 39,4 43,3 45,5 47,3 49,1 50,9 a) Leiten Sie mit vernünftigen Näherungen den Zusammenhang zwischen der B-H-Kennlinie und der ψ-i-kennlinie ab, wenn die Induktivität einen bewickelten ingkern darstellt. b) Die ψ-i-kennlinie soll durch die Funktion I = a 1 ψ + a 3 ψ 3 mit der ektifikationsmethode approximiert werden α) im Anfangsbereich β) im Sättigungsbereich γ) im Bereich der größten Krümmung δ) für den Gesamtbereich c) Zeichnen Sie die Meßwertkurven und die Approximationen in ein Diagramm! Aufgabe 2.3 Kennlinienapproximation, Methode der kleinsten Fehlerquadrate Bestimmen Sie für das gleiche Problem, wie in Aufgabe 2.2 die Approximationsfunktion vom Typ I = a 1 ψ + a n ψ n (n = ganzzahlig, ungerade) nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Der Koeffizient a n und der Exponent n sind so zu bestimmen, daß die Approximation bei vertretbarem Aufwand optimal wird. Verwenden Sie daher zur Vereinfachung den in Aufgabe 6 ermittelten Wert für den Koeffizienten a 1. Stellen Sie die Meßkurve und die Approximationskurve in einem Diagramm dar. Aufgabe 2.4 Kennlinienapproximation, Methode der ausgewählten Punkte Die Q-U-Kennlinie eines nichtlinearen Kondensators ist durch folgende Wertetabelle gegeben: U/V 0 19,2 29,2 35,9 40, ,5 49,5 Q/mAs Bestimmen Sie K 1 und K 2 mit der Methode der ausgewählten Punkte, wenn die Kennlinie durch den Ausdruck U = K 1 Q 1/2 + K 2 Q approximiert werden soll. TU Ilmenau, EI/TET D. W.G. BÜNTIG Version WS 2009/2010

7 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK KENNLINIENAPPOXIMATION 7 Aufgabe 2.5 Kennlinienapproximation, ektifikationsmethode mit vier Koeffizienten Bestimmen Sie mit Hilfe der ektifikationsmethode die Koeffizienten der Approximationsfunktion y(x) = ae bx + ce dx. Aufgabe 2.6 Kennlinienapproximation, Bewertung Approximationsfunktion Meßwerttabelle U/V 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 I/A ,15 1,25 Die Kennlinie ist mit der ektifikationsmethode zu approximieren! Verwenden Sie die Approximationsfunktionen: a) I = a 1 U + a 3 U 3 b) I = α e βu Welche Approximationsfunktion ist für die vorliegende Kennlinie besser geeignet? Aufgabe 2.7 Kennlinienapproximation, Vergleich verschiedener Approximationsmethoden Die U-I-Kennlinie eines nichtlinearen resistiven Zweipols wird durch die Beziehung U = U 0 artanh(i/i 0 ), U 0 = 1 V, I 0 = 1 A, I/I 0 < 1 beschrieben. Diese Kennlinie soll durch das unvollständige Potenzpolynom approximiert werden. U = a 1 I + a 3 I 3 + a 5 I 5 (a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a 1, a 3 und a 5 durch Anwendung der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (5 Stützstellen). Wie groß ist die Fehlerquadratsumme? (b) Wenden Sie zur Koeffizientenbestimmung die Methode der ausgewählten Punkte an und berechnen Sie die Fehlerquadratsumme! (c) Durch welche unendliche eihe kann die Funktion y = artanh(x) ausgedrückt werden? Vergleichen Sie die von Ihnen berechneten Koeffizienten a 1, a 3 und a 5 mit den Koeffizienten der unendlichen eihe! Wie groß ist die Fehlerquadratsumme bei Berücksichtigung der ersten drei Terme der eihe? Hinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung der Fehlerquadratsumme die unter Punkt a) gewählten Stützstellen! Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

8 8 NETZWEKANALYSE NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK 3 Analyse nichtlinearer Netzwerke Aufgabe 3.1 nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse Gegeben ist ein nichtlinearer Zweipol, bestehend aus der eihenschaltung eines nichtlinearen Widerstand, dessen Kennlinie meßtechnisch bestimmt wurde, und einer Spannungsquelle U q. I U( I ) U z (I) Uq Meßwerttabelle I/A 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 U/V 0 1,75 3,85 6,25 9,0 12,0 Approximieren Sie die Kennlinie U(I) des nichtlinearen Zweipols mit einem geeigneten Verfahren unter Verwendung der Approximationsfunktion U = ai 2 + bi. (a) Wie lautet die Kennlinie des Gesamtzweipols U z (I)? (b) Zu diesem Zweipol werde ein Widerstand in eihe geschaltet. Wie lautet die Kennlinie des erweiterten Zweipols U Z (I)? Der erweiterte Zweipol wird kurzgeschlossen. Bestimmen Sie den Kurzschlußstrom in Abhängigkeit von U q : I k (U q )! (c) Wie groß sind der statische und dynamische Widerstand des als trägheitslos angenommenen Widerstands, des nichtlinearen Zweipols und des erweiterten nichtlinearen Zweipols, wenn folgende Größen gegeben sind: U q = 6 V, = 25 V/A, Arbeitspunkt I A = I 0 = 0, 5A? Aufgabe 3.2 Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse I 2 2 a I 1 1 I 3 3 U 1 U 2 Uab b Es ist die U-I-Kennlinie des gegebenen passiven Zweipols zu ermitteln. Kennlinie 1: I 1 = k 1 U 2 1 mit k 1 = 1mAV 2 Kennlinie 2: I 2 = k 2 U 3 2 mit k 2 = 1mAV 3 Kennlinie 3: 3 = 200 Ω I 3 = U 2 / 3 a) Wie groß ist der Spannungsabfall U 2 an der Parallelschaltung bei U ab = 4V? b) Wie groß ist dann der statische Widerstand der Schaltung? c) Unter welcher Bedingung kann die Schaltung zur Stabilisierung der Spannung am linearen Widerstand verwendet werden? Aufgabe 3.3 Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Dimensionierung Uq 1 ( I 1 ) I 1 I 2 I I I ( ) 1 3 ( I I 3 ) 3 Kennlinien für 1, 3, 4 I/mA ,25 U/V ,5 U q = 5 V und 2 = 225 Ω Wie groß ist der Widerstand 5 zu wählen, damit der Strom I 1 = 10mA wird? TU Ilmenau, EI/TET D. W.G. BÜNTIG Version WS 2009/2010

9 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK NETZWEKANALYSE 9 Aufgabe 3.4 Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Arbeitspunkt 1 4 Uq Uq5 Uq2 U q1 = 100V; U q2 = 35V; U q5 = 50V 1 = 40Ω; 2 = 40Ω; 4 = 30Ω; 5 = 330Ω Kennlinie für 3 I = ku 2 k = 0, 03A/V 2 Berechnen Sie den Arbeitspunkt des nichtlinearen Bauelementes 3 durch Zusammenfassen der übrigen Bauelemente zu einem aktiven Zweipol. Aufgabe 3.5 Nichtlineare resistive Netzwerke, Funktionsbewertung D D In der angegebenen Brückenschaltung ist der Brückenstrom I 5 als Funktion der äußeren Spannungsquelle U q darzustellen. In welchem Bereich arbeitet die Schaltung nahezu linear? Meßwerttabelle zur Diodenkennlinie: U/V 0,2 0,3 0,36 0,4 0,45 I/mA 0,25 2 5, ,5 ~ Uq 1 = 2 = 100Ω; 5 = 15Ω; 6 = 25Ω; U qmax = 1V Aufgabe 3.6 Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse U q1 = 5V, U q2 = 1V, U q3 = 2V Für das skizzierte Netzwerk sind alle Zweigströme auf halbgrafischem Wege zu ermitteln. Alle Dioden haben die gleiche Kennlinienapproximation I = ku 2 U 0, k = 1mA/V 2 I = 0 U < 0 Uq1 Uq2 Uq3 Aufgabe 3.7 nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Iteration Lösen Sie Aufgabe 3.6 mit Hilfe der Methode der schrittweisen Näherung. Aufgabe 3.8 Netzwerkanalyse, Dimensionierung von Gleichrichterschaltungen Es soll ein umschaltbares Batterieladegerät dimenu sioniert werden. Der Ladestrom soll bei E 06 = 6V und bei E 012 = 12V I d0 = 6A betragen. Primär I 1 I2 sei der Trafo an das Netz U 1 = 220V angeschlossen und seine sekundärseitige Spannung betrage 1 U 2 = 24V. Bei der echnung sollen die Wicklungsverluste des Trafos vernachlässigt und die Gleichrichter und EMK s als ideal angenommen werden. Bestimmen Sie die notwendigen Daten für Gleichrichter, Vorwiderstände und Typenleistung des Trafos! d6 d12 E 06 E 012 I d Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

10 10 NETZWEKANALYSE NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK Aufgabe 3.9 Netzwerkanalyse, Dimensionierung von Gleichrichterschaltungen Ermitteln Sie ausgehend von der Methode der Stromflußwinkel für den vorgegebenen Verlauf i 2 u 1 i b i cd u2 C b u b der Spannung u b (siehe Bild) praktikable Formeln zur Dimensionierung der Gleichrichterschaltung, wenn die Gleichspannung U b0 = 7V beträgt und die zugelassene Spannungsschwankung nicht größer als U b = (u max u min )/2 = 0, 5V sein soll. Der Maximalwert der Sekundärspannung des Trafos ist Û 2 = 10V und die Netzfrequenz 50Hz. Der Widerstand b hat einen Wert von 100kΩ! TU Ilmenau, EI/TET D. W.G. BÜNTIG Version WS 2009/2010

11 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK HAMONISCHE ANALYSE 11 4 Harmonische Analyse Aufgabe 4.1 harmonische Analyse Einführung, Bewertung der Nichtlinearität f ( t ) U T 2T 3T t a) Stellen Sie den skizzierten Funktionsverlauf durch eine Fourierreihe dar und zeichnen Sie das zugehörige Frequenzspektrum! Erläutern Sie dazu das Vorgehen bei der analytischen Berechnung! b) Berechnen Sie den Funktionsverlauf mit 10 eihengliedern und Gleichglied und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar! c) Erläutern Sie die Begriffe Verzerrungsfaktor, Klirrfaktor, Formfaktor und Scheitelfaktor! Aufgabe 4.2 Numerische Ausführung der harmonischen Analyse, Schemaverfahren Schreiben Sie einen Algorithmus zur numerische Ausführung des Schemaverfahrens! Ermitteln Sie mit diesem Verfahren numerisch die Fourierkoeffizienten unter Verwendung von 20 Stützwerten für die Funktion aus Aufgabe 4.1! Vergleichen Sie die Ergebnisse beider echnungen miteiander! Aufgabe 4.3 Harmonische Analyse, Methode der Stromflußwinkel Gegeben ist eine Verstärkerstufe mit Feldeffekttransistor. Mittels der Methode des Stromflußwinkels sollen die Harmonischen bzw. das Gleichglied des Stromes durch a ermittelt werden. u(t) n Kanal MOS FET G D S i D a C k u GS(t) = u(t) + U GS0 = Û GS cos ωt + U GS0 mit Û GS = 5V U GSo = 2V Von der dynamischen Übertragungskennlinie, die durch einen gebrochenen Geradenzug approximiert werden soll, sind zwei Wertepaare bekannt U GS0 U DS0 i D1 = 13, 5mA, u gs1 = 3V bzw. i D2 = 1, 2mA, u gs2 = 4V Aufgabe 4.4 Harmonische Analyse, Vergleich verschiedener Verfahren Eine öhrenkennlinie soll infolge ihrer ausgeprägten Sättigungserscheinungen durch die Funktion approximiert werden. Für I a = I a0 [1 + tanh(cu g )] I a0 = 5mA, c = 1/(2V) u g (t) = U g0 + Û g cos ωt mit U g0 = 2V, Û g = 1V soll die harmonische Analyse durchgeführt und der Klirrfaktor bestimmt werden a) mit dem Dreiordinatenverfahren b) mit der Methode des Stromflußwinkels c) durch Zerlegung der Approximationsfunktion. Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

12 12 HAMONISCHE ANALYSE NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK Aufgabe 4.5 Harmonische Analyse, Methode Stromflußwinkel, Dreiordinatenverfahren Gegeben ist ein einfacher Vierpol mit einer Vakuumdiode, der eine Gleichrichterschaltung realisiert. Die Kennlinie der Vakuumdiode ist durch folgende Wertetabelle gegeben: U e U D I D U a U/V I/mA Es sollen zwei Eingangssignale betrachtet werden: (α) u e (t) = 20V + 60V cos(1s 1 t) (β) u e (t) = 40V + 60V cos(1s 1 t) Schaltung zu Aufg. 5 = 2kΩ a) Bestimmen Sie die Leerlaufspannungsübertragungskennlinie U a (U e )! b) Konstruieren Sie u a (t) für die Eingangsspannungen α) und β)! Wie groß ist in beiden Fällen der Stromflußwinkel? Legen Sie eine sinnvolle Definition des Stromflußwinkels zugrunde und bestimmen Sie Gleich- und Grundwellenanteil der Ausgangssignale! c) Für den Fall β) ist der Klirrfaktor der Ausgangsspannung mit Hilfe des Dreiordinatenverfahrens zu berechnen! Weshalb würde das Dreiordinatenverfahren im Fall α) ein stark fehlerhaftes Ergebnis liefern? TU Ilmenau, EI/TET D. W.G. BÜNTIG Version WS 2009/2010

13 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK LÖSUNG NICHTL. GLEICHUNGEN 13 5 Lösung nichtlinearer Gleichungen bzw. Systeme Aufgabe 5.1 Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme Das nichtlineare algebraische Gleichungssystem u u2 2 1 = 0 u 1 u 2 = 0 soll durch die Anwendung des Newton-Verfahrens gelöst werden. a) Bestimmen Sie die Lösungen (u 1, u 2 ) analytisch oder grafisch! b) Geben Sie die vollständige Iterationsvorschrift für das vorgegebene Gleichungssystem an und führen Sie mit der Anfangsbedingung u 1 = u 2 = 2 zwei Iterationsschritte aus! c) Geben Sie einen kurzen Programmalgorithmus zur Lösung des vorgegebenen Gleichungssystems an. Überlegen Sie sich sinnvolle Kriterien für den Abbruch der Iteration! Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

14 14 DYNAMISCHE NETZWEKE NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK 6 Analyse nichtlinearer dynamischer Netzwerke Aufgabe 6.1 komplexe echnung und nichtlineare Netzwerke a) Geben Sie eine allgemeine kurze Übersicht unter welcher Voraussetzung die Methode der komplexen echnung auch auf nichtlineare Netzwerke angewendet werden kann. b) Erläutern Sie das Vorgehen bei der eihenschaltung bzw. der Parallelschaltung nichtlinearer Elemente! Aufgabe 6.2 komplexe echnung und nichtlineare Netzwerke Ein eihenresonanzkreis ist an eine Wechselspannungsquelle u(t) = Û sin(ωt) mit Û = 0, 707V und f = 800 Hz angeschlossen. Der Schwingkreis hat einen Dämpfungswiderstand = 500Ω. Die Induktivität L=L(I) ist nichtlinear. Ihre Effektivwertkennlinie ist bekannt. I/mA 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 U/V 0,2 0,5 0,725 0,85 0,92 0,96 1,0 1,025 1,07 I C L ( I ) U UC UL U Schaltung zu Aufg. 6.2 a) Wie muß die Kapazität C dimensioniert werden, damit sich ein eindeutiger Arbeitspunkt einstellt? b) Ermitteln Sie grafisch den instabilen C-Bereich! c) Bestimmen Sie für C=185 nf den Wert des Stromes I! Aufgabe 6.3 nichtlineare dynamische Netzwerke a) Geben Sie eine kurze Übersicht zur Klassifikation von Differentialgleichungen! b) Stellen Sie für die vier auf Bild 6.3(a) bis 6.3(c) angegebenen einfachen Schaltungen die Differentialgleichungen auf und normieren Sie sie! U q u (i) L U q Ψ (i) U q 01 u C (q) U q u (i) C Schaltungen zu Aufg. 6.3 Aufgabe 6.4 nichtlineare dynamische Netzwerke Eine Induktivität L=0,08 H und ein nichtlinearer resistiver Zweipol sind in eihe geschaltet und werden an eine Spannungsquelle E = 40 V angeschlossen. Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes ist in der folgenden Tabelle wiedergegeben. u/v 0,00 5,00 10,00 20,00 30,00 40,00 i/a 0,00 0,15 0,23 0,30 0,32 0,33 Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i mit dem Eulerverfahren (Zeitschrittweite h = 0,1 ms). TU Ilmenau, EI/TET D. W.G. BÜNTIG Version WS 2009/2010

15 NICHTLINEAE ELEKTOTECHNIK DYNAMISCHE NETZWEKE 15 Aufgabe 6.5 nichtlineare dynamische Netzwerke Eine Spule mit Eisenkern soll über einen Widerstand = 1, 6 kω an eine Gleichspannungsquelle U q = 24V angeschaltet werden. Ermitteln Sie den Verlauf des Flusses ψ(t) und des Stromes i(t) und stellen Sie beides grafisch dar! In der folgenden Tabelle ist der Strom/Fluß-Zusammenhang der Spule angegeben. U q Schaltung zu Aufg. 5 Ψ (i) I/mA 17,30 13,00 8,60 6,80 5,20 3,50 2,60 1,70 0,89 ψ/vs 50,90 49,10 47,30 45,50 43,30 39,40 29,6 29,60 17,90 Lösen Sie die Differentialgleichung a) mit der Isoklinenmethode b) mit der Methode von Frank c) mit der Methode der bereichsweisen Linearisierung. Vergleichen Sie die Ergebnisse der verschiedenen Methoden miteinander! Aufgabe 6.6 nichtlineare dynamische Netzwerke Lösen Sie die in der 6.5 Aufgabe abgeleitete Differentialgleichung mit der Methode von Wolinkin! Version WS 2009/2010 D. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET