Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

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1 Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen mit Ergebnissen Version 4.5. Bearbeitung unter Mitwirkung von Dipl.-Math. Ulrich Sonn Dipl.-Ing. Rolf Kröner-Naumann Dipl. Math. Kerstin Webel 7. April 6 Hochschule für Technik und Wirtschaft Fachbereich Elektrotechnik Studiengang Biomedizinische Technik

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung Mathematik. Vektorrechnung Ungleichungen Determinanten und Lineare Gleichungssysteme Funktionen Komplexe Zahlen Mathematik 44. Differentialrechnung Grenzwerte Integrale Taylorreihen Fourierreihen Gewöhnliche Differentialgleichungen Mathematik 7 4. Laplacetransformation Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation Funktionen mehrerer Variabler Eigenwerte und Eigenvektoren Lösungen Mathematik 5 5. Vektorrechnung Ungleichungen Determinanten und Lineare Gleichungssysteme Funktionen Komplexe Zahlen Lösungen Mathematik 4 6. Differentialrechnung Grenzwerte Integrale Taylorreihen Fourierreihen Gewöhnliche Differentialgleichungen Lösungen Mathematik 6 7. Laplacetransformation Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation Funktionen mehrerer Variabler Eigenwerte und Eigenvektoren Formelsammlung 5 9 Abbildungen 5 Abbildungsverzeichnis 7

3 Kapitel Einleitung Die Aufgaben sind den Mathematik - Klausuren von Prof. Dr. W. Langguth im (alten) Fachbereich Elektrotechnik und dem Bachelor - Studiengang Biomedizinische Technik seit etwa dem Jahr entnommen worden und sollen den Studierenden zur eigenständigen und zielgerichteten Vorbereitung auf die Klausuren dienen. Lösungen in Form von Endergebnissen sind zur Kontrolle, Musterlösungen jedoch prinzipiell nicht angegeben, da sie von den Studierenden selbst im Rahmen der Klausurvorbereitung erarbeitet werden sollen. Eigene Lösungen oder Lösungswege und Probleme, die bei der Lösung auftreten, können in den Übungsstunden zur Mathematik besprochen werden. Auch in der Vorlesung besteht Gelegenheit zur Diskussion offener Fragen. Die vorliegende Version 4.5. beinhaltet alle bis WS 5/6 erstellten Klausuren und Midterms. Zukünftige Klausuren werden fortwährend eingearbeitet. Bis zum WS / war die Benutzung von Taschenrechnern und Formelsammlungen in den Klausuren erlaubt. Seither sind den Klausuren die benötigten Formeln und Werte beigefügt, weitere Hilfsmittel, Unterlagen oder Formelsammlungen dürfen nicht verwendet werden. Zur Bearbeitung der ab SS gestellten Aufgaben sind daher die den Klausuren beigefügten Formeln und Werte zusammengestellt und in Kapitel 8 beigefügt. Diese Aufgaben lassen sich also nur mit Hilfe der beiliegenden Formelsammlung und ohne weitere Hilfsmittel lösen. Sollten Sie Fehler oder Unklarheiten entdecken oder aber Fragen haben, bitte schicken Sie mir eine oder nehmen Sie mit mir Rücksprache. Tel Saarbrücken, den 7. April 6 gez. Wolfgang Langguth c Wolfgang Langguth

4 Kapitel Mathematik. Vektorrechnung. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte P = (,,), Q = (,5,6), R = (,,), S = (5,,) des R in einer Ebene liegen. (b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P,Q, und R aufgespannt wird. (..). Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π 4 ein. Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren a b und 4 a+ b aufgespannt wird, wenn a = b = 9 gilt.. (a) Spannen folgende Vektoren ein rechtwinkliges Dreieck auf? a = 6, b = Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks., c = 4. (9.8.) (b) Finden Sie die allgemeine Form des Vektors u, der folgende Gleichung erfüllt: u a = b a mit a =, b =. (4..) 4. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren a = 6, b =, c = 4 Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. (b) Finden Sie die allgemeine Form des Vektors u, der folgende Gleichung erfüllt: ( u c) a = b a mit a = 5. (a) Untersuchen Sie, ob die vier Punkte, b =., c = P = (,,), Q = (,5,7), R = (,,9), S = (5,,) des R in einer Ebene liegen.. (.8.)

5 (b) Berechnen Sie die Fläche des Dreicks, das von den Punkten P,Q, und R aufgespannt wird. 6. (a) Gegeben seien drei Eckpunkte eines Würfels O = (,,), A = (6,7,6), B = (,6, 9). (..) Diese Punkte sind die Eckpunkte der KantenOA undob. Bestimmen Sie das Volumen des Würfels und den Endpunkt C der dritten, vom Ursprung ausgehenden Kante OC. (b) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten O, A, und B aufgespannt wird. (6..) 7. Gegeben seien die Eckpunkte einer Pyramide O =, A = 4, B = (a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche ABC. (b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. 4, C = 4 (c) Berechnen Sie die Höhe der Pyramide in Bezug auf die Grundfläche ABC. 8. Die Vektoren a, a = 4 und b, b = 5 schließen einen Winkel von φ = π/ ein.. (4..4) (a) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Vektoren u = a 4 b und v = a+ b aufgespannt wird. (b) Wie groß ist das Volumen des Körpers, das von diesem Dreieck und dem Vektor c, c = aufgespannt wird, der mit der ( u, v) - Ebene einen Winkel von δ = π/4 einschließt? (.7.4) 9. Die Vektoren a = (,5,7) und b = (,,4) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen Sie (a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms. (b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor c = (,,) und der von den Vektoren a und b aufgespannten Ebene? (8..5). Die Vektoren a = (,,) und b = (,5,7) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen Sie (a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms. (b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor c = (,,) und der von den Vektoren a und b aufgespannten Ebene? (9.8.5). Die Vektoren a = (,,4) und b = (,6,8) spannen ein Parallelogramm auf. Berechnen Sie (a) die Länge der beiden Diagonalen des Parallelogramms, den Schnittwinkel der Diagonalen und die Fläche des Parallelogramms. 4

6 (b) Wie groß ist der Winkel zwischen dem Vektor c = (,,) und der von den Vektoren a und b aufgespannten Ebene? (..6). Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π 4 ein und haben die Beträge a = und b = 4. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren a und b und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren c = a+ b und d = a 4 b aufgespannt wird. (8..7). Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von 5π 4 ein und haben die Beträge a = 4 und b =. Bestimmen Sie zwei solche Vektoren a und b und berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren c = a+ b und d = a b aufgespannt wird. 4. (a) Liegen die folgenden vier Punkte des R in einer Ebene? A = (,,4), B = (,,5), C = (,7,), D = (,,5) (.8.7) (b) Sind die Punkte A,B und D die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks? (c) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das von den Punkten A, B, und C aufgespannt wird. (9..8) 5. (a) Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch die Ortsvektoren A = 5 7, B = 7, C = 5 Ist das Dreieck rechtwinklig? Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. (b) Finden Sie die allgemeine Form des Vektors u, der folgende Gleichung erfüllt:. ( u+ d) ( a b) = c ( a b)mitã =, b =, c =, d = (6..8) 6. Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π 8 ein und haben die Beträge a = und b =. Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren a und b. Bestimmen Sie dann den reellen Parameterλso, dass die Vektoren c = a+λ b und d = a λ b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks. (5.8.8). 7. Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π 5 und b = 4. ein und sind vom Betrag a = (a) Bestimmen Sie zunächst zwei solche Vektoren a und b. (b) Bestimmen Sie dann den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren c = a λ b und d = a+λ b ein gleichschenkliges Dreieck aufspannen. (c) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Welchen Winkel schließen die beiden gleichen Schenkel miteinander ein? Wie groß sind die beiden anderen Winkel des Dreiecks? (6..9) 5

7 8. Gegeben seien die Ortsvektoren der Punkte A,B,C,D: A =, B = +, C = 4 5, D =. 5 5 (a) Bilden die Punkte A,B,C,D die Eckpunkte eines Parallelogramms? (b) Sind die Punkte A, B, C die Eckpunkte eines gleichseitigen oder eines gleichschenkligen Dreiecks? (c) Berechnen Sie die Winkel und die Fläche des Dreiecks ABC. (8..9) 9. Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π ein und haben die Beträge a = und b =. Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass der Summenvektor der Vektoren c = a+λ b und d = a λ b die Länge 8 hat. Welchen Winkel schließen die Vektoren c und d ein? Bestimmen Sie einen Vektor e der Läge, der senkrecht auf c und d steht. Wie groß ist der Rauminhalt des Spats, der von den Vektoren c, d und e aufgespannt wird? (4.8.9). Die Vektoren a und b schließen einen Winkel von π 4 und b =. ein und sind vom Betrag a = (a) Bestimmen Sie den reellen Parameter λ so, dass die Vektoren c = a λ b und d = a+ λ b ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen. (b) Berechnen Sie explizit den Flächeninhalt, die Länge der drei Seiten und die beiden restlichen Winkel des Dreiecks. (c) Liegt der Vektor e = π 6 a+ π b in der gleichen Ebene wie das Dreieck?. (a) Gegeben seien die Vektoren: a =, b =, c =, d = 5 4 Berechnen Sie ( a b) ( c d) und ( a b) ( c d).. (7..) (b) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, dessen Diagonalen gegeben sind durch die Vektoren m n und 4 m 5 n. Dabei sind m und n zwei Einheitsvektoren die einen Winkel von π/4 miteinander einschließen.. (a) Gegeben seien die Vektoren: a =, b =, c =, d = Berechnen Sie ( a b) ( c d) und (( a b) c) d. (8..) (b) Die beiden Einheitsvektoren m und n schließen einen Winkel von π/ ein. Die Diagonalen einer Schar von Parallelogrammen sind gegeben durch die Vektoren m λ n und 4 m 5 n, λ sei ein reeller Parameter. Für welche Werte von λ hat das zugehörige Parallelogramm einen Flächeninhalt von FE? (.8.). (a) m und n seien zwei Einheitsvektoren, die einen Winkel von π 4 miteinander einschließen. c = m λ n und d = m+ n seien die Diagonalen eines Parallelogramms. i. Für welche(n) Wert(e) von λ haben die Diagonalen einen Schnittwinkel von π 4? 6

8 ii. Berechnen Sie allgemein für alle und speziell für diese(n) Wert(e) von λ den Flächeninhalt des Parallelogramms. (b) Berechnen Sie für beliebige Vektoren a, b und c des R den Ausdruck ( a+ ) [( b c a ) ( b a )] b c Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich! (5..) 4. (a) Für welche(n) Wert(e) von λ liegen die drei Vektoren a = λ, b =, c = 4 in einer Ebene? Berechnen Sie dafür die Darstellung (Linearkombination) des Vektors a durch b und c. (b) Die (neuen!) Vektoren a und b schließen einen Winkel von π ein. Berechnen 4 Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren c = a b und d = a + b aufgespannt wird, wenn a = b = 5 gilt. (5.7.) 5. Gegeben seien die Punkte P (,, ), P (,,5), P (,4,). Berechnen Sie anhand elementarer Überlegungen und ohne eine fertige Formel zu verwenden, den Abstand des Punktes P von der Geraden, die durch die Punkte P und P geht. 6. (a) Vereinfachen Sie die beiden folgenden Ausdrücke so weit wie möglich: i. ( a+5 b c) ( a b 4 c) ii. ( a+5 b c) ( a b 4 c) (..) (b) Zerlegen Sie den Vektor a in Komponenten senkrecht und parallel zum Vektor b a =, b = 5 4 (c) u und v seien zwei Einheitsvektoren mit ( u, v) = π 6. Berechnen Sie die Länge der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren a = u+ v und b = u v aufgespannten Parallelogramms. Hinweis: cos( π 6 ) =, sin( π 6 ) = (..) 7. (a) Gegeben seien die drei Vektoren a =, b = und c = Stellen, falls möglich, den Vektor c als Linearkombination der beiden anderen Vektoren dar. (b) Gegeben seien die Vektoren a = und b = k, k R sowie die Gleichung k r a = b (.) i. Bestimmen Sie alle Werte von k, für denen die Gl. (.) Lösungen haben kann ii. Berechnen Sie für jeden Wert von k die entsprechende Lösungsmannigfaltigkeit r 7

9 (9..) 8. (a) Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Abstand zwischen einer Ecke eines Einheitswürfels (Würfel der Kantenlänge ) und einer seiner Diagonalen, die nicht durch diese Ecke geht. (b) Gegeben seien die drei Punkte P, Q und R mit den Ortsvektoren p, q, r, die die Ebene E definieren. i. Zeigen Sie, dass der Vektor s = p q + q r+ r p (.) senkrecht auf der Ebene E steht. ii. Finden Sie mit Hilfe des Vektors s einen Ausdruck für den Abstand der Ebene E vom Ursprung. (.7.) 9. (a) Ausgehend vom Punkt C wird ein Dreieck von den beiden Vektoren a und b mit dem Zwischenwinkel γ aufgespannt. Berechnen Sie die Länge der Seitenhalbierenden vom Punkt C zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks, c. (b) u und v seien zwei Einheitsvektoren mit ( u, v) = π, λ ein reeller Parameter. 4 Berechnen Sie die Länge der Diagonalen sowie die Fläche des von den Vektoren a = u+λ v und b = u v aufgespannten Parallelogramms. Für welchen Wert von λ hat die Fläche den Wert? ( π Hinweis: cos = 4) ( π, sin = 4) (c) Welche geometrischen Eigenschaften die die Vektoren a, b, c, d zueinander haben können Sie jeweils aus den beiden folgenden Gleichungen ableiten? i. ( a b) ( c d) = ii. ( a b) ( c d) = (..). (a) u und v seien zwei beliebige Vektoren des R. Zeigen Sie allgemein, dass die Vektoren u+ v und u v genau dann senkrecht zueinander stehen, wenn u = v gilt. (b) Die Punkte A, B und C haben die Ortsvektoren a =, b =, c = 4 5 i. Zeigen Sie, dass der Punkt P = ( λ,+λ,4+λ), λ R auf der Geraden durch A und B liegt. Berechnen Sie den Abstand von P zu C als Funktion von λ. Wie groß ist der kürzeste Abstand, und in welcher geometrischen Situation tritt er ein? ii. Finden Sie einen Vektor senkrecht zu AB und AC, wie lautet die Gleichung der Ebene ABC? iii. Zeigen Sie, dass der Punkt D = (,,) in einer zur Ebene ABC senkrechten Ebene liegt und dass AD senkrecht zu AB steht. Berechnen Sie das Volumen der schiefen Pyramide (Tetrahedron), die (das) von ABCD aufgespannt wird. (..). (a) Gegeben sind zwei Punkte A(,, 5) und B(,,). Bestimmen Sie die Menge alller Punke C(x, y, z), so dass das Volumen der durch den Koordinatenursprung O, A, B und C aufgespannten Pyramide gleich 4 ist. 8

10 (b) Bestimmen Sie die Zahlen r,s,t und einen Vektor c so, dass die drei Vektoren a = r, b = s und c t paarweise orthogonal sind und den Betrag haben. (c) Gegeben sind die Vektoren a = und b =. Bestimmen Sie einen 5 Vektor c mit der Länge, der normal zu a ist und für den der Absolubetrag des Vektorprodukts b c maximal ist. (d) Alterativ- oder Zusatzaufgabe (pro Teilaufgabe,5 Punkte) i. Eine Gerade g : x = a+λ u ist parallel zur Ebene e : n x n b = wenn: A) u n = B) u n = C) u b = ii. Die Ebene e : x = a+λ u+µ v steht senkrecht auf die Ebene e : n x n b = wenn: A)( u v) n = B) ( u v) n = iii. der Punkt P( ) hat von der Ebene A) B) C) x = den Abstand: D) E) keinen der genannten Abstände. (a) Gegeben sind die Vektoren a, b R \{ } mit a = b und a b. Es seien: x = a+β b y = b+α a (9.7.) mit α,β R Welcher Zusammenhang muss zwischen α und β bestehen, damit x orthogonal zu y ist? (b) In einem kartesischen Koordinatensystem sind das Quadrat ABCD mit den Eckpunkten A (6 -), B ( ), C ( 7 -), D (4 5-7) und die Gerade: gegeben. g : x = +λ 7 i. Bestimmen Sie alle Punkte S der Geraden g so, dass die Pyramide ABCDS mit der Spitze S das Volumen mit der Maßzahl 7 besitzt. Bestimmen Sie dazu zuerst den Kantenvektor AS. ii. Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung, dass die Pyramide ABCDS mit der Spitze S (- -5) eine senkrechte Pyramide ist. ( senkrecht bedeutet: Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt) (c) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) Betrachtet werden die Vektoren a, b und c des Vektorraums R. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? i. Sind a und b linear unabhängig, so auch die drei Vektoren a, b und c. 9

11 ii. Sind sowohl a und b als auch b und c linear unabhängig, so auch die Vektoren a, b und c. iii. Sind die Vektoren a und b linear unabhängig und ist der Vektor c nicht Linearkombination von a und b, so sind auch die drei Vektoren a, b und c linear unabhängig.. (a) Es seien a und b Vektoren des R mit folgenden Eigenschaften: a b = a b = a = (..4) Berechnen Sie den Winkel zwischen a und b sowie den Betrag von b. (b) Gegeben sind die Ebene e : 4x +x +6x = 4 und der Punkt P( 5). i. Vom Punkt P aus fällt ein Kügelchen parallel zur x -Achse auf die Ebene e. Bestimmen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes R des Kügelchens auf die Ebene e. ii. Berechnen Sie die Schnittgerade der Ebene e mit der x x -Ebene (Spurgerade). iii. Nach dem Auftreffen des Kügelchens auf die Ebene e rollt es auf kürzestem Weg zur x x -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten des Auftreffpunktes in der x x -Ebene. (8..4) 4. (a) Ein Lichtstrahl verläuft durch den Punkt A ( - ) und wird an der Ebene mit der Gleichung e: x +x x = reflektiert. Der reflektierte Strahl verläuft durch den Punkt B (4 4). Bestimmen Sie eine Gleichung der Gerade, die den reflektierten Strahl beschreibt. (b) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (5 -), B ( 6 ) und D ( - ) gegeben. i. Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und AD orthogonal sind und gleiche Beträge haben. ii. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass ABCD ein Quadrat wird. Bestimmen Sie die Koordinaten des Quadratmittelpunktes M. iii. Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S (6 6). Zeigen Sie, dass MS die Höhe der Pyramide ist. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. iv. Zeigen Sie, dass die Ebene e : x + x +4x = 48 die Pyramide aus iii) in einer Trapezfläche schneidet. Ist dieses Trapez gleichschenklig? Zeigen Sie zunächst, dass die Ebene e die Punkte A und B enthält. (4.8.4) 5. (a) Es seien a und b zwei Einheitsvektoren, die aufeinander senkrecht stehen, und es sei c = a + b und d = a +λ b. Für welches λ R gilt ( c; d) = 45? (b) Berechnen Sie die Länge der Höhe h b des Dreiecks mit den Eckpunkten A( ), B(4 ) und C(5 4 ). (c) Zusatzaufgabe

12 i. Für welche Werte von k R sind die folgenden Vektoren komplanar? a = k b = k c = ii. Gegeben seien die beiden Folgen: < a n >=,8,,8,,... < b n >= 4,, 4, 6, 64,... Wie nennt man diese Folgen? Geben Sie das Bildungsgesetz für die Folge < a n > und < b n > an. (5..4) 6. (a) Prüfen Sie, ob es Parameter a,b R gibt, so dass die Gerade g und die Ebene e parallel sind und den Abstand haben. g : x = a +λ a b und e : x 9 = (b) Ein Würfel hat die Eckpunkte A( ), B(5 ), C, D( 6 ), E( 4), F, G, H. Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten der Eckpunkte des Würfels sowie jeweils die Eckpunkte seines Schattens in der x x -Ebene, wenn der Würfel von parallelem Licht der Richtung v = ( ) beleuchtet wird. (..5) 7. (a) Gegeben ist die Ebene e : x +x x =. Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar: g k : x = +λ k parallel zur Ebene e sind. Bestimmen Sie diejenige Gerade der Schar, welche in e liegt. (b) Ein Stahlblock hat die Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt 8 cm, diejenige der Deckfläche beträgt 4 cm, die Höhe beträgt 8 cm. Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt der Grundfläche. Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke mit P(,5 9,5 6) und Q( 6 6 8) erzeugt wird, durchbohrt man den Stahlblock. i. Wo liegen Ein- und Austrittspunkt des Laserstrahls? ii. Wie lang ist der Bohrkanal? (7.9.5) 8. (a) Bestimmen Sie b so, dass die Punkte A( b), B( b 4), C(5 6 7) auf einer Geraden liegen. (b) Gegeben sind die Gerade g: x = 7 +λ 4 4 und der Punkt M( 4 ). i. Wie lautet die Gleichung in Koordinatenform der Ebene e, die g und M enthält?

13 ii. Fällen Sie von M das Lot auf g. Geben Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes L an. Berechnen Sie die Länge des Lotes. (c) Zusatzaufgabe: Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig oder linear abhängig? a = 5 b = 4 c = (..6) 9. (a) Gegeben sind die Geradeg : x = e : x +x = λ und die Ebene mit der Gleichung i. Begründen Sie, dassg undenicht parallel sind und berechnen Sie den Schnittpunkt. ii. Berechnen Sie eine Spiegelgerade von g zu e. (b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebenen, die zur Ebene e : 7 4 x 8 = 4 parallel verlaufen und den Abstand vom Nullpunkt haben. Wie viele solcher Ebenen gibt es? (..6)

14 . Ungleichungen Gegeben sind die folgenden Ungleichungen. Führen Sie für die Funktionen auf beiden Seiten der Ungleichung eine erste allgemeine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Polstellen, asymptotisches Verhalten, keine Ableitungen) und skizzieren Sie beide Funktionen. Bestimmen Sie die reelle Lösungsmenge der Ungleichung.. x +x 4x+ (..). x +x 5 5x+ (9.8.). x 5x+ 6x+5 (4..) 4. x 5x+ 6x+5 (.8.) 5. x +x 5x+ (..) 6. x x+ 5x+ (6..) 7. x +5 > x +5 x+ (4.4.4) 8. x +7 > x +7 x+ (.7.4) 9. x+ > x+8 x (8..5). x +6 > x +6 4x+ (9.8.5). x +4 > 9x + 6x (..6). x 5 > 4x + x (8..7). x 5 > x +5 x ((.8.7) 4. x < 4x +x 6 x+ (9..8) 5. x x x +x+6 x (6..8) 6. x x > x 5x+6 x (5.8.8) 7. x x < x +5x+ x (6..9) 8. x x+ x > x 4x+ x (8..9) 9. x x > x x ). x x x +8x+ x (7..). x x 4 x x+ (8..). x x 4 x x+6 (..) x x. x x < x+5 4 x (5..) Gibt es Bereiche, in denen Sie eventuell relative Extrema oder Wendepunkte erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort! 4. x +5 x +5 x+ +6x (..) 5. x x x+ x + 6x (5.7.) x 4 4x 6. x+ 5 4x 4 (..) 7. x +x 4 x 4 x+ +6x (9..) 8. x 5x 5 x 4 4 x (.7.) 9. x+ x +x + x x+ (..)

15 . (x+5) (x ) (x +6x+5)(x+5) x+ +x (..). x x x +x+ x +x x+ (9.7.). f(x) = x + x < x x = g(x) (..4). f(x) = (x 6x+9) (x+) < 4 x x+ 9 4 = g(x) (8..4) 4. (a) Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion f(x) = (x+) (x +x ) x +5x +6x Untersuchen Sie dabei die Funktion auf Definitionslücken, Null- und Polstellen, Asymptoten und den Schnittpunkt mit der y-achse. (b) Für welche Werte von x R gilt: f(x) x + (4.8.4) 5. Betrachten Sie die Ungleichung f(x) = (x+) (x ) x +7x +5x+9 +x = g(x) x+ (a) Untersuchen Sie die Funktionen f(x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstelle. (b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x). (c) Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. 6. Betrachten Sie die Ungleichung f(x) = 5x +x x +x x 6 < x x = g(x) (5..4) (a) Untersuchen Sie die Funktionen f(x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen. (b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x). (c) Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. 7. Betrachten Sie die Ungleichung f(x) = x 4x x x x+ + > x +x = g(x) x (..5) (a) Untersuchen Sie die Funktionen f(x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen. (b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x). (c) Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. (7.9.5) 4

16 8. Betrachten Sie die Ungleichung f(x) = x +4x+4 (x +x )(x+) + x x+ = g(x) (a) Untersuchen Sie die Funktionen f(x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstelle. (b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x). (c) Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. 9. Betrachten Sie die Ungleichung f(x) = x+ x +x + x x+ = g(x) (..6) (a) Untersuchen Sie die Funktionen f(x) und g(x) auf ihre Definitionsmengen, Nullstellen, Polstellen, y-achsenabschnitte. Betrachten Sie ebenfalls die Annäherung an die Asymptote und gegebenenfalls die Annäherungen an die Polstellen. (b) Bestimmen Sie die Schnittstellen der Funktionen f(x) und g(x). (c) Skizzieren Sie die Funktionen f(x) und g(x) in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie die wesentlichen Bestimmungsmerkmale in die Skizze ein. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung. (..6) 5

17 . Determinanten und Lineare Gleichungssysteme. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS) a x y = 4 z (a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit Begründung an. (b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend gewählten Wert des Parameters a. (..). (a) Entwickeln Sie folgende Determinante durch geeignete Rückführung auf einfachere Determinanten A = (b) Untersuchen Sie folgendes Gleichungssystem auf seine eindeutige Lösbarkeit..x.9y+.5z =.4.8x.5y+.5z =.8.6x.y+.z =. Je nach Lösbarkeit geben Sie an: Die Lösung, die Anzahl der von einander abhängigen Gleichungen, oder die Anzahl der Gleichungen, die zueinander in Widerspruch stehen. (9.8.). (a) Zeigen Sie durch elementare Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, dass die folgende Determinate verschwindet: A = (b) Untersuchen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat: x+y+z = x 4y z = 7 4x 5y z = 7 (4..) 4. (a) Überprüfen Sie mittels elementarer Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, ob die folgende Determinante verschwindet. Dokumentieren und begründen Sie die, von Ihnen vorgenommenen Umformungen nachvollziehbar! A =

18 (b) Überprüfen Sie, ob das folgende inhomogene lineare Gleichungssystem eine Lösung hat: x+y +z = x 4y z = 7 4x 5y 4z = 7 (.8.) 5. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGLS) mit dem reellen Parameter a: a x y = 4 z (a) Gibt es Werte des reellen Parameters a, für den das Gleichungssystem lösbar oder unlösbar ist? Gibt es Werte von a, für die es eindeutig lösbar ist oder für die es unendlich viele Lösungen hat? Geben Sie ggf. die entsprechenden Werte mit Begründung an. (b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGLS für einen von Ihnen passend gewählten Wert des Paramters a. (..) 6. (a) Untersuchen Sie die Lösungsstruktur des folgenden linearen Gleichungssystems und bestimmen Sie alle Lösungen: x 5y +z = x+4y z = x 8y+z = (b) Berechnen Sie die Determinante: A = a b c d (6..) 7. (a) Untersuchen Sie das Lösungscverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +x +x = b 4x +5x +6x = b 7x +8x +9x = b Welche Beziehung muß zwischen den Größen b,b und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen Sie die allgemeine Lösung. (b) Berechnen Sie den Rang der Matrix C: C = (4..4) 7

19 8. (a) Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +4x +5x = b 6x +7x +8x = b 9x +x +x = Welche Beziehung muß zwischen den Größen b und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen Sie dafür die allgemeine Lösung. (b) Für welche reellen oder komplexen Werte von t verschwindet die Determinante der folgenden Matrix B: t+ t B = t t t (.7.4) 9. (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b: x +x +9x = 4x +6x +8x = x +7x +bx = 4 Für welchen Wert von b ist dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar? Geben Sie eine allgemeine Lösung an. (b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig vom Wert des Parameters b? C = b 7 8 (8..5). (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b: x +x +x = 4x +5x +6x = 7x +8x +bx = Welche Bedingung muß b erfüllen, damit dieses Gleichungssystem überhaupt lösbar ist? Geben Sie eine allgemeine Lösung an. (b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig vom Wert des Parameters a? 5 C = a 7 8 (9.8.5) 8

20 . (a) Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters b: x +x +4x = 5x +6x +7x = 8x +9x +bx = 4 Welche Bedingung kan man an b stellen, so daß dieses Gleichungssystem lösbar ist? Geben Sie sämtliche Lösungen an. (b) Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig vom Wert des Parameters b? 4 6 C = b 7 8. Betrachten Sie folgendes Lineares Gleischungssystem (LGS): ax +x +x = x +ax +x = x 4x x = (..6) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur dieses inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a. (b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = 4 und die Lösung des homogenen LGS für a =.. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS): ax +x +x = x +ax x = x 4x +x = (8..7) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a. (b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = und des homogenen LGS für a =. (.8.7) 4. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +x +x = a x +x +x = b 4x +x +5x = Welche Beziehung muss zwischen den Größen a und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie dementsprechende Werte und berechnen Sie die allgemeine Lösung. (9..8) 5. Betrachten Sie das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS) a x x = b x (a) Diskutieren Sie die Lösbarkeit und die Lösungsstruktur des LGS in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b. 9

21 (b) Bestimmen Sie die eindeutige Lösung des LGS für einen von Ihnen passend gewählten Satz von Werten der Parameter a und b. (6..8) 6. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig von den Werten der Parameters a und b? 4 C = 5 6 a 5 b Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS): x+ay +z = 4x+6y +az = 6 x+y +6z = (6..8) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a. (b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = und für a =. (5.8.8) 8. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig von den Werten der Parameter a und b? a 4 C = a b a 5 a 7 4 Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b! (5.8.8) 9. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +ax +x = x +ax +6x = ax +x +x = (a) Gibt es Werte des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat? (b) Bestimmen und wählen Sie für jeden Fall - sofern möglich - die entsprechenden Werte für a und berechnen Sie die jeweils zugehörige Lösung, bzw. bestimmen Sie den Wert von a für den es ggf. keine Lösung gibt. (c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS): x +x +5x = a 9x +6x +x = a x +x +x = a (6..9) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des zugehörigen homogenen LGS sowie die des inhomogenen LGS in Abhängigkeit der reellen Parameter a,a,a.

22 (b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für einen geeignet gewählten Parametersatz, für den das LGS lösbar ist. (8..9). Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig von den Werten der reellen Parameter a und b? a a C = a a 4 4 b 8 Erläutern und begründen Sie die Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b. Betrachten Sie folgendes lineares Gleichungssystem (LGS): x +x +4x = 4x +x +ax = x +ax +x = 5 (8..9) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur diese inhomogenen und des zugehörigen homogenen LGS in Abhängigkeit des reellen Parameters a. (b) Berechnen Sie die Lösung des inhomogenen LGS für a = und für a = 8. (4.8.9). Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. Wie groß ist der Rang von C abhängig von den Werten der Parameter a und b? a 4 C = a b a a a Begründen Sie die Art der Abhängigkeit der Determinante vom Parameter b! (4.8.9) 4. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +ax +x = ax +x +x = ax +x +x = (a) Gibt es Wertemengen des reellen Parameters a für die das Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat? Bestimmen Sie für jeden dieser Fälle die entsprechenden Wertemengen von a. (b) Berechnen Sie - falls möglich - für jeden Fall, für den es genau eine oder mehrere Lösungen gibt, die entsprechende Lösungsmenge des LGS. Wählen Sie dazu je einen repräsentativen Wert für a aus der jeweiligen Wertemenge von a. (c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems. (7..) 5. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +x +x = a 4x +5x +x = b x +x +x = a,b R Welche Beziehung muss zwischen den Parametern a und b bestehen, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Wählen Sie einen dementsprechenden Parametersatz und berechnen Sie die zugehörige Lösung. (8..)

23 6. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. C = +a +b +c +d (8..) 7. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +x +x = 4x +5x +ax = ax +x +x = a R Berechnen Sie für jeden Fall, für den das Gleichungssystems lösbar ist, die, eine oder die allgemeine Lösung. (.8.) 8. Berechnen Sie die Determinante der Matrix C. +a C = +b +b +c +d (.8.) 9. Untersuchen Sie das Lösungsverhalten das folgende lineare inhomogene und das zugeordnete homogene Gleichungssystem: ax x +x = ax x +x = x +ax +x = x +ax +x = x x +x = x x +x = (a) Diskutieren Sie die möglichen Lösungsmannigfaltigkeiten der Gleichungssysteme in Abhängigkeit vom Wert des reellen Parameters a. (b) Berechnen Sie für alle möglichen Fälle je eine exemplarische Lösung für einen von Ihnen gewählten Wert von a. (c) Begründen Sie in jedem Fall möglichst detailliert das Lösungsverhalten des Systems. (5..). Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x +x +x = 4x 8x x = 7 x 5x x = a a R Bestimmen Sie die Lösung des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems. Gibt es Werte für a, für die das inhomogene Gleichungssystem Lösungen hat? Wie viele Werte können dies maximal sein? Begründen Sie Ihre Antwort. Bestimmen Sie ggf. diese Lösungen. (..). Berechnen Sie die folgende Determinante durch elementare Umformungen ohne die explizite Berechnung von (,) - oder (,) - Unterdeterminanten: 5 C = π (..)

24 . Untersuchen Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems: x + x + x = a x + (+a)x + x = a, a,b R x + x + (+a)x = b Bestimmen Sie die Lösungen des inhomogenen und des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b. (5.7.). Zeigen Sie: x +x x x y +y y y x y = x y x y (5.7.) 4. (a) Gegeben seien die Matrizen A = ( ) p, B = q ( ) p q q Für welche Werte der Parameter p und q gilt AB = BA? (b) Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite b : A =, b = u v 4 9 w i. Welcher Bedingung müssen u, v und w genügen, damit das Gleichungssystem A x = b lösbar ist? ii. Es sei u = und v =. Für welchen Wert von w ist das Gleichungssystem lösbar und wie lautet die Lösung? 5. (a) Berechnen Sie die Matrizen X = (..) ( ) ( ) x y mit der Eigenschaft X z u = (b) Bestimmen Sie die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit der reellen Parameter a und b. a x + 5x + x = b ax + (a+)x + x =, a,b R x + x + x = (9..) 6. Berechnen Sie für alle Werte der reellen Parameter a, b R den Rang der Matrix 4 A = 4 a 4 4 b (9..)

25 7. (a) Gegeben seien die Matrizen 8 A = 7 9 und B = A E mit der Einheitsmatrix E. Berechnen Sie A und auf möglichst einfache Art und Weise AB und B (b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, a und a so, dass das die Parabel y(x) = a +a x+a x durch die Punkte mit den Koordinaten (x, y) = (, ), (9, 4) und (t, 4) verläuft. Finden Sie die Lösungen für alle t R 8. Bestimmen Sie die Nullstellen von x +x 6 4x 8 4 D(x) = x x 5 7 x x 6 9. Gegeben sei die Koeffizientenmatrix A und die rechte Seite b : A =, b = a (.7.) (.7.) (a) Diskutieren Sie die Lösungsstruktur des homogenen A x = und des inhomogenen A x = b Gleichungssystems in Abhängigkeit des reellen Parameters a. (b) Bestimmen Sie die nichttriviale Lösung des homogenen, sowie je eine Lösung für die verschiedene Lösungstypen des inhomogenen Systems. 4. (a) Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: x+y +z = 5 y +z = a by +z = (..) i. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem keine Lösung? ii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem genau eine Lösung? iii. Für welche Werte von a und b hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen? (b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem x +x +x x 4 4x 5 = x +x +x 4 5x 5 = x x 5x 4x 4 +5x 5 = x +x +7x x 4 7x 5 = 4. (a) Bewerten Sie folgenden Aussagen mit richtig oder falsch: Sie brauchen keine Begründungen anzugeben! i. det((a) (A T )(A T )) = det(a) für alle regulären Matrizen A. ii. Gilt: det(ab ) = det(a B), so gilt auch: A = B. (..) 4

26 iii. Die quadratischen Matrizen A und A T haben immer den gleichen Rang. iv. A = (a ij ) sei die Matrix mit {, für i j, a ij =, für i > j. Dann besitzt A eine Inverse. (b) Von der Matrix A und ihrer Inversen A sind folgende Elemente bekannt, x,y und z sind unbekannt: A = z z 4, A = x y 4 z z Bestimmen Sie die Matrix X so, dass gilt: A XA = A +A (..) 4. (a) Gegeben ist das Gleichungssystem A x = b mit A = 4 5 Für welche rechte Seiten b ist das Gleichungssystem lösbar? (b) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem 5x +x +x x 4 = x x +x 4 = x +4x = 4 x +x +7x 7x 4 = Ist das Gleichungssystem auch für beliebige rechte Seiten lösbar? (c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe Bestimmen Sie jene Zahlen λ R für die das Gleichungssystem x+y+z = λx+λy +9z = 6 x+y+λz = i. eindeutig lösbar ist, ii. keine Lösung besitzt, iii. unendlich viele Lösungen besitzt. (9.7.) 4. (a) Bewerten Sie folgenden Aussagen mit richtig oder falsch : Sie brauchen im Teil a) keine Begründungen anzugeben! i. A sei eine Matrix mit der Determinante A =. A. A x = hat eine nichttriviale Lösung. B. A x = b hat mindestens eine Lösung für jedes b R. C. Für jede Matrix B gilt A+B = B. D. Für jede Matrix B gilt AB =. E. Es gibt einen Vektor b R so, dass für die erweiterte Koeffizientnmatrix [A, b] gilt [A, b] > A. ii. Die n n Matrizen A und B sind regulär und besitzen beide eine Inverse. Welche der folgenden Matrizen muss keine Inverse besitzt? 5

27 A. A+B B. ABA C. B D. AB E. Die Einheitsmatrix F. A iii. Alternativ- oder Zusatzaufgabe Gegeben sei die Marix A =. Dann ist die erste Zeile der inversen Matrix A gegeben durch: A. (,, ) B. (,, ) C. (,,) D. (,,) E. (,,) F. (,, ) (b) Zeigen Sie, dass für die Matrix P = gilt: P = P. 44. (a) Man bestimme alle a und b, für die weder A noch B invertierbar sind. ( ) a+b A = ( ) 5 B = a b 7 (b) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem: (9.7.) x +x +x = x +x +bx = bx +x +4x = Diskutieren Sie das Lösungsverhalten in Abhängigkeit vom Parameter b. Geben Sie alle möglichen Lösungen an. (c) Bekannt sei, dass: a b c d e f g h i = 6 Man berechne damit die folgenden Determinanten: d e f i. g h i a b c ii. a b c d e f 4g 4h 4i 6

28 a b c iii. d e f g 4d h 4e i 4f (d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) i. Wahr oder falsch? Ist A schiefsymmetrisch und invertierbar, so ist auch A invertierbar. ii. Sei A eine (x)-matrix mit Einträgen in R. Welche Werte für den Rang von A sind möglich? A. B. C. D. E. 4 F. 5 (..4) 45. (a) Man bestimme alle a,b und c, für die A symmetrisch ist. a b+c a+b+c A = 5 a+c 7 (b) Wie müssen die Koeffizienten a, b und c gewählt sein, damit das Gleichungssystem ax+by z = x by +cz = ax+y cz = die Lösung x =, y = und z = hat? (c) Begründen Sie (kurz), warum die folgenden Determinanten verschwinden: 4 5 i. 6 ii (d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) i. Welche Aussagen über Determinanten sind richtig? A. Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert. B. Ist det(a) =, so ist die Matrix A invertierbar. C. Bei zwei Matrizen A und B gilt: det(a B) = det(a) det(b) D. Matrix B entsteht durch A durch Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten. Es gilt: det(b) = ( ) i+j det(a) ii. Welche Aussagen über lineare Gleichungssysteme (LGS) sind richtig? A. Ein homogenes lineares Gleichungssystem mit mehr Unbekannten als Gleichungen besitzt nur die triviale Lösung. B. Wenn det(a), so ist das lineare Gleichungssystem A x = b eindeutig lösbar. 7

29 C. Wenn det(a) =, so hat das homogene lineare Gleichungssystem A x = nur die triviale Lösung. D. Die Cramersche Regel eignet sich eher für größere LGS, die Gaußsche Elimination eher für kleinere. 46. (a) Welche Lösung besitzt die Gleichung λ λ λ =? (b) Zusatzaufgabe Berechnen Sie die folgende 4-reihigen Determinanten (8..4) (8..4) 47. (a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter t. x +4x +x = t x +x +7x = t+7 x +x +6x = 7t+8 Wann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, unendlich viele Lösungen, genau eine Lösung? Berechnen Sie alle möglichen Lösungen. (b) Gegeben sei die folgende Matrix A = Berechnen Sie A. Was schließen Sie daraus? Was können Sie über die Determinante aussagen? (c) Zeigen Sie, dass a b c a b c = (b a)(c a)(c b) 48. (a) Man bestimme alle reellen Zahlen a, für die A invertierbar ist. a+ a a A = a+ 8 a a a 5 a (b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a,b und c so, dass die Parabel f(x) = ax +bx+c (4.8.4) durch die Punkte P( k), Q(4 ), und R(6 5) verläuft. Finden Sie die Lösungen für alle k R. 8

30 (c) Bekannt sei, dass: a b c A = d e f g h i = 7. Man bestimme: i. det(a) ii. det(a ) iii. det(a T ) iv. det((a) ) (4.8.4) 49. (a) Durch die Punkte P( ) und Q( ) verlaufen unendlich viele Parabeln. i. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten a,b,c der Parabelgleichung y = ax +bx+c auf. ii. Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems. (b) Berechnen Sie die Determinante durch Reduktion der gegebenen Matrix auf Zeilenstufenform (c) Man zeige ohne direkte Berechnung der Determinante: sin(α) cos(α) sin(α + δ) sin(β) cos(β) sin(β + δ) sin(γ) cos(γ) sin(γ + δ) = (d) Zusatzaufgabe Welche der folgenden Aussagen ist falsch? Sei A eine (n, n) -Matrix mit Rg(A) =. i. Ist n =, dann ist det(a). ii. Ist n <, dann ist det(a) =. iii. Ist n >, dann ist det(a) =. (..5) 5. Lösen Sie das folgende System mit der Cramerschen Regel 4x+5y = x+y +z = x+5y +z = (..5) 5. (a) Diskutieren Sie das Lösungsverhalten des folgenden linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit vom Parameter t. x x +x = x +5x 6x = 4x +x x = 6x x +x = t (b) Berechnen Sie die Nullstellen von: x +x 6 4x 8 4 D(x) = x x 5 7 x x 6 9

31 (c) Man zeige, dass unabhängig von α, β und γ die Matrix A nie invertierbar ist.: A = sin (α) sin (β) sin (γ) cos (α) cos (β) cos (γ) 5. Lösen Sie das folgende System mit der Cramerschen Regel x+z = 6 x+4y+6z = x y+z = 8 (7.9.5) (7.9.5) 5. (a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t R die Lösungsmenge des Gleichungssystems x x +x +( t)x 4 = tx (t+)x t x 4 = t x +x +(t+)x +(+t)x 4 = t. (b) Berechnen Sie die Inverse der folgenden Matrix a a a Für welche Werte von a R existiert die Inverse? (c) Zusatzaufgabe: Gegeben sei die Matrix A = Welche der folgenden Aussagen ist richtig? i. A ist regulär ii. Es gilt Rg(A) < iii. A existiert iv. Es gilt det(a) 54. (a) Gegeben sei die Matrix B = 6 4 i. Gibt es eine Lösung der Gleichung B x = b mit b = b? b b (..6) ii. Wie lautet die Lösung für b = 4? 7 (b) Gegeben sind die folgenden Matrizen A = und M = t t s Bestimmen Sie die reellen Zahlen s,t, so dass M = A gilt. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem A x = b für b =.

32 (c) Zusatzaufgabe i. Die Matrizen A und B seien über R definiert. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Man kann jede Matrix mit sich selbst multiplizieren. Man kann das Produkt A B bilden, wenn die folgenden Zahlen gleich sind: B. Die Anzahl der Zeilen von A und die Anzahl der Spalten von B. C. Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Zeilen von B. D. Die Anzahl der Spalten von A und die Anzahl der Spalten von B. E. Die Anzahl der Zeilen von A sowie die Anzahl der Zeilen und Spalten von B. ii. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung. B. Jedes homogene lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung. C. Jedes homogene lineare Gleichungssystem hat mindestens zwei Lösungen. D. Jedes homogene lineare Gleichungssystem über R, dass mindestens zwei Lösungen hat, hat unendlich viele. E. Jedes inhomogene lineare Gleichungssystem hat höchstens eine Lösung. (..6) 55. (a) Man zeige mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes (ohne die Verwendung der Regel von Sarrus), dass für x,y R gilt: x y A = y x x y = (x +y +) y x (b) Sei A eine x Matrix mit A =. Man bestimme: i. det( A) ii. det(a ) iii. det(a T ) iv. det(a )

33 .4 Funktionen. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x) sin(x) = cos(x) (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen cosh (x)+sinh (x) = cosh(x) (..). (a) Lösen Sie die Gleichung cos(x) cos(x) = cos(x) (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen cos(x)+sin (x) = cos (x) (9.8.). Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen cos (x) = (+cos(x)) (4..) 4. Zeigen Sie unter Verwendung der Eulersch en Beziehung die Richtigkeit folgender Beziehung cos(x) = sin (x) 5. (a) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte von x der Gleichung sin(x) sin(x) = cos(x) (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen 6. (a) Lösen Sie die Gleichung sinh(x) = sinh(x) cosh(x) ln(x )+ln(x ) ln(x) = (.8.) (..) (b) Bestimmen Sie die reellen Lösungswerte der Gleichung sin(x) = cot(x) im Intervall x [ π, π] (6..) 7. (a) Lösen Sie die Gleichung tan(x) = sin(x) für alle reelle Werte von x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der Hyperbelfunktionen cosh(x) = sinh (x)+cosh (x) = cosh (x). 8. (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x) = cos(x)+ für alle reelle Werte von x. (4..4) (b) Zeigen Sie entweder unter Verwendung der Eulerschen Relation oder der Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sin(x) = sin(x) 4sin (x). (.7.4)

34 9. (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(x) + ) = sin(x) für alle reelle Werte von x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel sin(x) = sin(x) 4sin (x). (8..5). (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(x) + ) = sin(x) für alle reelle Werte von x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen coth(x) = +coth (x). coth(x) (9.8.5). (a) Lösen Sie die Gleichung sin(x)(cos(4x)+) = sin(4x) für alle reelle Werte von x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen coth(6x) = +coth (x). coth(x) (..6). (a) Lösen Sie die Gleichung cot(x)sin(x) = cos(x) für alle reellen Werte von x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen coth(x) tanh(6x) = +coth (x) (8..7). (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung: tan(x) cos(x) = sin(x). (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen, dass gilt: ( x tanh = ) sinh(x) +cosh(x). (.8.7) 4. (a) Lösen Sie für alle reellen Werte von x die Gleichung: ln(x 4 )+ln(x ) (ln(x)) =. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Relation, dass gilt: cos(x) = 4cos (x) cos(x). (6..8) 5. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung: e 4x e x + ( e x) =. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel: 4sin(x) +sin(x) sin(x) =. (5.8.8)

35 6. (a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung: sinh(x) exp(x) cosh(x) =, mit exp(x) = e x. (b) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel: cos(x) 4cos(x) +cos(x) =. (8..9) 7. (a) Lösen Sie die Gleichung: 4 x x = x+ x (b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung: sin (x)+sin (x) =. (4.8.9) 8. (a) Lösen Sie die Gleichung: x 6 x+ 6 x + x+ = (b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung: cos (x) = sin (x). (8..) 9. (a) Lösen Sie die Gleichung: 4x 6 x+ 6 x+ +a x+ =, a R Ist die Gleichung für alle Werte von a lösbar? (b) Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung: sin (x)+cos (x) = (.8.). Lösen Sie die Gleichung: a x x+5 x +a x+ =, a >. (a) Vereinfachen Sie durch entsprechende Umformungen: i. f(x) = x ln(ln(x)) ln(x). Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f(x). ii. f(x) = sin(arctan(x)) (b) Lösen Sie die Gleichung a α+x +ba β x = c, a,c > (..). (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung cos (x)+sin (x) = (5.7.) 4

36 (b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen (ab) r =, a r =, a r = 6 die drei positiven Zahlen a, b, r R +. (9..). Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen der Gleichungen (a) ( ) ln(x) + 4 ( ) ln(x) 4 = 5 (b) tan(x)+tan(x) = (.7.) 4. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen (i) log 9 ( x ) = (ii) ln( x) = ln( ) ln() (b) Berechnen Sie aus den drei Gleichungen (ab) r = 5, a r =, a r = 6 die drei positiven Zahlen a, b, r R +. (..) 5. (a) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck und bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich. f(x) = ( x 8)( x+ ) x+ x+ (b) Bestimmen Sie die reellen Lösungen der Gleichungen (i) ae x be x =, a,b > + (x +) 8x (ii) e x +e x ln(e ) = (iii) Zusatzaufgabe ( Punkt) cosh(x) +sinh(x) ln(e ) = (c) Beweisen Sie: 6. (a) Die Funktion sinh ( x ) = cosh(x) y = ( ) +x ln x (..) mit x < ist Umkehrfunktion welcher Funktion? (b) Welche Lösung besitzt die folgende trigonometrische Gleichung? (sin(x)+cos (x)) = sin(x) sin(x) (c) Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass für jedes x R gilt: cosh (x) sinh (x) = (8..4) 5

37 7. (a) Zeigen Sie, dass für jedes x gilt, dass ln(x+ x )+ln(x x ) = (b) Zeigen Sie, dass cosh (x) = (cosh(x)+) (4.8.4) 8. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung: (b) Zeigen Sie, dass für jedes x gilt: ( ) ln(x) +() ln(x) = ln(x+ x )+ln(x x ) = (c) Lösen Sie die folgenden Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an. sin(x) sin (x) = (d) Zusatzaufgabe : Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Eine reelle Funktion f ist an der Stelle x stetig, wenn... i.... es für jedesδ > einǫ > gibt, so dass aus x x < δ folgt f(x ) f(x) < ǫ. ii.... es für jedesǫ > einδ > gibt, so dass aus x x < δ folgt f(x ) f(x) < ǫ. iii.... jede Folge < f(x n ) > von Funktionswerten konvergiert. (e) Zusatzaufgabe : Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis? Geben Sie gegebenenfalls den Mittelpunkt und den Radius an. i. x +y 4x 8y 5 = ii. x +y +x 4y + = iii. x +y 4x+6y = iv. x +y 6x+y = 8 9. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung: x lg(x) +x lg(x) = (..5) (b) Lösen Sie die folgende Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an: 9 x x + = (7 x ) x (c) Lösen Sie die folgenden Gleichung und geben Sie alle möglichen Lösungen an. cos (x)+sin (x) = (d) Zusatzaufgabe : Welche Kegelschnitte werden durch die folgenden algebraischen Gleichungen dargestellt? i. x +y x 4y = ii. x y 4 = (e) Zusatzaufgabe : Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der unendlichen Folge: < a n >= ; 4 ; 9 4 ;... (7.9.5) 6

38 . (a) Bestimmen Sie die Lösungen für x R der Gleichung e x+4 e x e =. (b) Bestimmen Sie die Lösungen für x R der Gleichung: ln(x) +ln( x ) =. (c) Zeigen Sie unter Verwendung der Eulerschen Formel: sin(4x) = 4sin(x)cos (x) 4sin (x)cos(x) (..6) 7

39 .5 Komplexe Zahlen. Bestimmen Sie Betrag und Phase sowie alle Quadratwurzeln der komplexen Zahl z = j j +(j ) (..). (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt: < z 7 und π 4 < arg(z) π 4 (b) Bestimmen Sie alle Werte von 4 8+8j, j =. (9.8.). (a) z und z seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt: z = z z. (b) Bestimmen Sie alle Werte von z ( j ) /6, j =. (4..) 4. (a) z und z seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass gilt: z z = z z. (b) Bestimmen Sie durch explizite Rechnung alle Werte von (+j) /4, j =. in Polarform und kartesischer Form. (.8.) 5. (a) Geben Sie die Bereiche in der komplexen Zahlenebene an, in denen ein Punkt z liegen kann, der folgende Ungleichungen erfüllt: < z und < arg(z) π 4 (b) Bestimmen Sie alle Werte von +j j, j =. (..) 6. (a) Bestimmen Sie alle Werte von (+j) j, j = in kartesischer Form. (b) Welche Bedingungen muss ein Punkt z = x + jy der komplexen Zahlenebene erfüllen, um sich innerhalb eines Kreises mit dem Mittelpunkt z = a +jb und dem Radius r zu befinden? (6..) 7. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z = ( ) 5 j, j =. +j 8

40 (b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von ( π ) z = cot 4 jln(), j =. Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x). (4..4) 8. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 4 = (b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von ( ) 9 j, j =. +j z = tan( j), j =. Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x). (.7.4) 9. (a) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 6 +z + =, j =. (b) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von ( π ) z = tan 4 jln(), j =. Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x). (8..5). (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von ( π ) z = sin +jln(), j =. Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x). (b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 5 = ( ) 6 4 4j, j =. 4+4j (9.8.5). (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von z = sin(π +jln()), j =. Hinweis: Benutzen Sie die Eulersche Formel für sin(x) und cos(x). (b) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 6 = ( ) 4j, j =. +4j (..6). Betrachten Sie die komplexe Zahl a = j j +(j +), j =. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase von a. (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = a und geben Sie diese in kartesischer Darstellung an. 9

41 (8..7). (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl a, j a = j +(j +), j =. (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 5 = b = j, j =. Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. (.8.7) 4. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl a, 4 j a = 4j +(j +) + +j, j =. (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = b = +j, j =. Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. (6..8) 5. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl a, 4 j a = 4j 5 +(j +) + j +j, j =. (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 5 = b = j, j =. Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage der Zahl b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. (5.8.8) 6. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl z a, j z a = j +( j ) j, j =. (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = z b = 8 4j, j =. Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage der Zahl z b und aller Lösungen in der Gauß schen Zahlenebene. (8..9) 7. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl a: a = j j +(+j) 4 + j j, j = (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z = b = + +j Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. (8..) 4

42 8. (a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Phase der komplexen Zahl a: a = +j j 5 +( j) + j j, j = (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z = b = +j j Geben Sie die Lösungen in Polarkoordinaten und in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. 9. (a) z, z C seien zwei komplexe Zahlen. Zeigen Sie, dass allgemein gilt: z = z z (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z z = b = +j (.8.) Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lage von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene. (..). (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch { M = z z <, π 4 arg(ϕ) < π 4 } beschrieben? (b) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z = b = +j + j +j Geben Sie die Lösungen in kartesischer Darstellung an. Skizzieren Sie die Lagen von b und aller Lösungen der Gleichung in der Gauß schen Zahlenebene.. (a) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch (5.7.) M = {z = x+jy C 4z 5j Im(4z j) z +j 4}, j = beschrieben? Bilden Sie dazu die Durchschnitssmenge der Mengen M = {z C 4z 5j Im(4z j)} und M = {z C z +j 4}, (b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy: i. z = ( + j ) 7 ii. z = +j 4 5j iii. z = +j (9..). (a) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy: ( ) 5 i. z = j ( j ) 4

43 ii. z = ( +j +j) 4 6j iii. z = ( j) (b) Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung z ++j = z j?. (a) Welche Figur in der komplexen Ebene wird durch { M = z = x+jy C z = t } π ej t,t [,4π], j = beschrieben? Skizzieren Sie die Figur. (.7.) (b) Bestimmen Sie die Real- und Imaginärteile folgender komplexer Zahlen z = x+jy: i. z = (+j) 7 ii. z = j 4+5j iii. z = +j 4. (a) Welche Punktmenge in C wird durch folgende Ungleichungen festgelegt: zz < (z +z )+ und R(z) > Skizzieren Sie die Punktmenge in der Gauß schen Zahlenebene (..) (b) Berechnen Sie Realteil, Imagnärteil und Betrag von z C, sowie z und z. ( j +j + 6 j ) z = 6j +j +j (c) Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung ( z 4 +j ) +j z =, z C 5. (a) Lösen Sie die quadratische Gleichung z 4 +4z +6 = Wie lassen sich die Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene deuten? (b) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von sin( π 6 +jln(4)) (9.7.) (8..4) 6. (a) Die Polynomfunktion f(z) = z 4 + 6z + z z 5 besitzt an der Stelle z = j eine komplexe Nullstelle. Wo liegen die restlichen Nullstellen? Wie lautet die Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren? (b) Für welchen reellen Wert a gilt die folgende Gleichung? 7j z +z = a+5j Geben Sie alle komplexen Zahlen z an, für die diese dann gilt! (c) Geben Sie eine komplexe Zahl an, für die gilt. z +z = und z z = 4

44 (d) Welche Werte nimmt die folgende Funktion f(z) mit dem komplexen Argument z an? f(z) = z z + z z 7. (a) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung: z = ( +j) (b) Welche Menge in der komplexen Ebene wird durch (c) Zeigen Sie: M = {z C z +j, π arg(φ) π 4 } sin(x jy) = sin(x)cosh(y) jcos(x)sinh(y) (d) Zusatzaufgabe : Wie viele komplexe Zahlen z i gibt es, für die z 4 = gilt? i. Keine, da alle Lösungen reell sind ii. Die einzigen Lösungen sind + und - iii. Es gibt mehr als zwei Lösungen iv. Es gibt vier verschiedene Lösungen (e) Zusatzaufgabe : Bestimmen Sie a,b R. (+j) (a+bj) = (..5) 8. (a) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung: (b) Zeige, dass z = (4 + j) z = j j 9 j = +j (c) Zusatzaufgabe Bestimmen Sie a,b R so, dass (+j) (a+bj) = 8j (7.9.5) ( ) 4 +j 9. (a) Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil von z =. j (b) Skizzieren Sie folgende Teilmengen der komplexen Ebene. Begründen Sie Ihre Skizze. i. M = {z C z j = z +j = } ii. M = {z C z +z } (c) Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z 4 = +j Geben Sie die Lösung in der trigonometrischen Form an und zeichnen Sie die Lösungen in die Gaußsche Zahlenebene ein. Was fällt Ihnen auf? (d) Zusatzaufgabe i. Welche Aussage ist richtig? Die Abbildung z jz ist A. eine Spiegelung an der reellen Achse. B. eine Spiegelung an der imaginären Achse. C. eine Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. D. eine Drehung um π. E. eine Drehung um π. ii. Welches ist das Argument der komplexen Zahl (sin( π 6 )+jcos(π 6 ))8? A. π 6 B. π C. 4π D. 8π (..6) 4

45 Kapitel Mathematik. Differentialrechnung Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen nach der Variablen x. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich.. f(x) = cos(x)x cos(x) + x ln(x) (7.8.). f(x) = sin(x)x sin(x) + x exp(x) (4.4.). f(x) = x 4 cot(x 4 )+x arctan( x ) (9.8.) 4. f(x) = x cot(x 5 )+x arccot( x ) (7..) 5. f(x) = sinh(x )ln (ax)+cos(x )tan(x ), a reell (..) 6. f(x) = x 5 coth(x)ln(bx) sin(x 4 )cot(x 4 ), b reell (7.4.4) 7. f(x) = x a sinh(4x)exp(ax) cos (x )tan(x ), a reell (6.8.4) 8. f(x) = x a cosh( ax)exp( x) sin (x 4 )cot(x 4 ), a reell (7..5) 9. f(x) = x b cos(4ax)exp( ax) sinh (x )coth(x ), a, b reell (6.7.5). f(x) = x b tan(x ) x 4 arccot( x ), b reell (..6). f(x) = x b sin(4bx)exp( ax ) sinh (x 4 )coth(x 4 ), a,b reell (5..7). f(x) = exp( ln(ax))+sin(bx)x tan(x), a,b reell (.6.7). f(x) = exp((ln(ax)) )+cot(xsin(x )), a reell (.8.7) 4. f(x) = cos(x)ln(x) sin(x) +cos(e x cos(x )) (..8) 5. f(x) = sin(x)arctan(x) xn +e cos(x)ex (6.6.8) 6. f(x) = cos(x )(x) cos(x) +cos(tan(x )cos(x )) (8.7.8) 7. f(x) = cos(x)e cos(bx) +sin(sin(sin(x) )) (5..9) 8. f(x) = cos(x)(tan(x)) ln(x) +e sin(x)cot(x ) (6.7.9) 9. f(x) = sin(x ) sin(x ) cos(x ) + sinh(x) cosh(x)e sinh(x) (5.8.9). f(x) = sin(x )e cos(ax)ln(bx) bx +sin(cos((e x ) )) (9..). f(x) = cos( sin(ax))+cos(bx)e en ln(c x )) (.6.). f(x) = sin( x) cot(x )e xn +cos(e sin(x) ) (6.8.). f(x) = sin(x )a sin(bx)ln(cx) +cos(ln((e x ) )), a,b,c R + (..) 44

46 4. f(x) = sinh(tanh(ln(x)))+ acos ( a x+e ax), a R (5.6.) Hinweis: Prüfen Sie, ob Vereinfachungen möglich sind. 5. f(x) = cosh(ln(atanh(bsin(x)))) +cos ( sin (x) ) b cos(bx) a,b R + (.8.) 6. Berechnen Sie die zweite Ableitung der Funktion f(x) nach der Variablen x: f(x) = e x +ln(x) Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich! (..) 7. Betrachten Sie die Funktion f(x) = tan ( arcsin ( x )) Bestimmen Sie die Tangente t(x) an die Funktion f(x) im Punkt x =. Welchen Wert hat f(x ) an der Nullstelle von t(x) : t(x ) =? Schätzen Sie diesen Wert ab. (5.6.) 8. Betrachten Sie die Funktion ( ( )) x f(x) = sin arctan, x > x (a) Bestimmen Sie die Sekante, die durch die Kurvenpunkte bei x = und x = geht. (b) In welchem Punkt berührt die Tangente mit der gleichen Steigung wie diese Sekante die Funktion f(x)? (c) In welchen Punkten schneidet diese Tangente die x- und die y-achse? 9. Betrachten Sie die Funktion y = f(x) = e aln(x)+b, a,b R (.8.) Bestimmen Sie die Parameter a und b so, dass die Steigung der Funktion bei x = e den Wert hat und ihre Krümmung dort verschwindet. Skizzieren Sie die Funktion und finden Sie eine Erklärung für Ihr Ergebnis. (8..). (a) Betrachten Sie den Kreis mit dem Radius R = um den Koordinatenursprung y +x = 4 Bestimmen Sie im ersten Quadranten die vier regelmäßig angeordneten Tangenten an den Kreis, die, fortgesetzt auf alle vier Quadranten, den Kreis durch ein regelmäßiges -Eck approximieren. Wie groß ist die maximale radiale Abweichung des -Ecks von der Kreislinie? (Hinweis: Skizzieren Sie zunächst zum Überblick den Kreis mit dem ihn umschreibenden -Eck. Beginnen Sie dazu das Zeichnen des Polygons mit der waagerechten Tangente durch den Punkt P( ). Betrachten Sie dann für die Rechnung nur noch den. Quadranten.) (b) Zusatzaufgabe Sei f(x) = arcsin(x). Was ist der Wert von f ()? a) π b) c) d) e) keiner von diesen (.6.) 45

47 . (a) Bestimmen Sie die Zahlen a, b und c so, dass für die Funktion gilt: f(x) = (+x)ln(a+bx +cx ) f() =, f() =. f()+f () =. (b) Betrachten Sie die Wurzelfunktion f(x) = +x im II. Quadranten der (x,y)- Ebene (x <,y > ). Bestimmen Sie den Auflagepunkt P(x,y ) der Tangenten an f(x) so, daß die Strecke zwischen der Nullstelle der Tangenten und ihrem Schnittpunkt mit der y-achse minimal wird. Hinweise: a) Statt der Länge der Strecke können Sie auch deren Quadrat minimieren b) Beachten Sie, dass die x-werte möglicher Extrema im Definitionsbeeich von f(x) liegen müssen. (c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass für x > gilt: x +x < ln(x+ +x ) < x Hinweis: Nutzen Sie den. Mittelwertsatz der Diffentialrechnung im Intervall (,x). (a) Gegeben ist die Funktionenschar f(x) = a ( x) e b ( x) (.8.) mit a,b R Bestimmen Sie Parameter a und b so, dass die Funktion im Punkt P( 6e ) eine horizontale Tangente hat. (b) Gegeben ist die Funktion g : [; [ R g(x) = 4 x x+ Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C auf dem Graphen von g so, dass die Normale des Graphen von g parallel zur. Winkelhalbierenden ist. (c) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) Sei f(x) = e x. Bestimmen Sie die 5. Ableitung: a) f (5) (x) = e x b) f (5) (x) = e x c) f (5) (x) = e x d) f (5) (x) = e x (..4). (a) Gegeben sei die durch a parametrisierte Funktionenschar f a (x) = ax + x mit a R. An diese Kurvenschar werden in deren Schnittpunkten mit der Geraden x = x die Tangenten gelegt. Zeigen Sie, dass sich alle Tangenten der Kurvenschar im gleichen Punkt schneiden. (b) Für welche reellen Werte vonaschneiden sich die Graphen vony = x a und y = a x rechtwinklig? (c) Zusatzaufgabe : Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) = tan(x) (.6.4) 4. wie 8. (.8.4) 46

48 5. (a) Wo besitzt die Funktion f(x) = ln(,5 cos (x)) waagerechte Tangenten? Geben Sie 4 Kurvenpunkte an. (b) An den Graphen der Funktion f(x) = 4 x+ wird die Tangente im Punkt P(u f(u)) gelegt. Sie schneidet die y-achse im Punkt Q. Die Punkte P,Q und der Ursprung O bilden ein Dreieck. Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt einen maximalen Inhalt hat. (c) Zusatzaufgabe : Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = cos(x)e cos(bx) +sin(sin(sin(x ))) (..5) 6. (a) Bestimmen Sie alle Punkte des Graphen der Funktion f(x) = x+ x Tangente den Winkel 5 mit der x-achse bildet. (b) Zeigen sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes in welchen die für alle x >. ln(x) < x (c) Gegeben sei die nichtlineare Funktion y = ( u). Zeichnen Sie zunächst die Funktion im Intervall u = [;]. Linearisieren Sie die Funktion im Punkt u = und zeichnen Sie die linearisierte Funktion in den obigen Graphen ein. Berechnen Sie für u =, den Wert von y mit Hilfe der nichtlinearen und der linearisierten Funktion. Wie groß ist der Fehler? (d) Zusatzaufgabe: Berechnen Sie explizit die erste Ableitung von 7. (a) Linearisieren Sie die Funktion y = f(x) = cos(x)ln(x) sin(x) +cos(e x cos(x )) (.6.5) π sin(x) x in der Umgebung der Stelle x = π (b) Gegeben ist die Funktionenschar f a : R R; x ax e ax mit a R\{}. i. Bestimmen Sie den Parameter so, dass der Graph von f a im Ursprung die Steigung e hat. ii. Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte der Schar auf einer Hyperbel liegen und geben Sie deren Funktionsgleichung an. iii. Zeigen Sie, dass der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen jeder Scharfunktion f a und der x-achse über dem Intervall [, [ endlich ist und nicht von a abhängt. (c) Gegeben ist die Funktion g : [; [ R g(x) = 4 x x+ Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C auf dem Graphen von g so, dass die Normale des Graphen von g parallel zur. Winkelhalbierenden ist. (d) Zusatzaufgabe i. Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion nach der Variablen x, a,b,c R +. f(x) = sin(x ) a sin(bx)ln(cx) +cos(ln((e x ) )) ii. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion von f(x) = x für x >. (.9.5) 8. (a) Sei f(x) = ae bx mit a,b >. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an f(x) bei x = mit der x-achse. 47

49 (b) Bestimmen Sie die Zahlen a,b und c so, dass für die Funktion: f(x) = (+x)ln(a+bx +cx ) gilt: f() =, f() =, f()+f () = (..6) 48

50 . Grenzwerte Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: ( ). lim cos(x) x x ln(x) + ( ). lim sin(x) x x x ln (x) + (7.8.) (4.4.) sin(x) ln( x ) x +. lim cos(x) (9.8.) 4. lim x + sin(x) x x(cos(x) ) (7..) 5. Für welche reellen Werte von a existiert der Grenzwert ( lim x(cos(x) ) x sin(4x) ax ), ln(x) + und für welche(n) Wert(e) existiert er nicht? ( x x sin(x) + 6. lim ) (..) (7.4.4) 7. lim x + ln( cos(x)) ln(x) (6.8.4) ln(sin(x)) 8. (a) lim x ln(x) + (b) lim x π (sin(x)) sin(x) (7..5) 9. lim x + ln(x sin(x)) ln(x) (6.7.5). lim x + sin(x ) x sin(x) (..6). lim x + ln(x sin(x)) ln(x) (5..7). lim x + xsin(ax) cos(bx) (.6.7). lim x x( cos(ax)) sin(bx ), a,b reell (.8.7) 4. lim x x(x sin(ax)) cos(bx), a, b reell (..8) 5. lim x cos(ax) x(x e bx +e bx ), a,b reell (6.6.8) 6. Für welchen Wert des reellen Parameters a existiert der folgende Grenzwert? Berechnen ( Sie den Grenzwert ) für diesen Wert von a., a reell (8.7.8) lim x x cos(ax) ( 7. lim ln( cos(x)) x ln(ax) ), a reell (5..9) x(x tan(ax)) 8. lim x cos(b x), a, b,reell. (6.7.9) ) 9. lim x sin(x) cot (x) (5.8.9) x (. lim cos(x) cos(x)+ (9..) x π. lim x cos(x) sin(ax ), a, reell. (.6.). lim x x ( x cot(x)) (6.8.) 49

51 ( x. lim sin(x) sin ) x π 4. Berechnen ( Sie den ) Grenzwert: lim x ( x 5. lim x + cos(x) sin(x) + ln( x) ) (..) (5.6.) (.8.) 6. lim [ln(x) ln( x)] (..) x ( ( )) ax+ 7. lim x ln x ax, a R (5.6.) sin(x+x ) x x 8. lim sin(x )cos(x ) (.8.) 9. Bestimmen Sie auf geeignete Weise den Grenzwert tanh(cln(x)), c R in Abhängigkeit des Parameters c. (8..) lim x. Berechnen Sie den Grenzwert lim (+ x f(x) )f(x) mit i) f(x) = x, ii) f(x) = e x, iii) f(x) = coth(x) (.6.) cos(x). lim x cos( x) ( x ln(x) + x. lim ) (.8.) (..4). (a) lim e ax (+x) a x x ( x+ ) x x (b) lim x (.6.4) 4. wie 8. (.8.4) 5. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: e x x lim x (e x )x (..5) 6. (a) Die Tangentensteigung der Kardiode r = +cos(φ), mit φ π wird nach der Formel y (φ) = cos (φ) cos(φ)+ sin(φ) + sin(φ) berechnet. Wie verläuft die Tangente an der Stelle φ = π bzw. wie groß ist dort ihre Steigung? (b) Berechnen Sie den Grenzwert lim x ( x+ ) ln( x ) (c) Zusatzaufgabe : Bestimmen Sie a,b R so, dass die Funktion { x + f(x) = 4 x falls x ax+b falls x > differenzierbar ist. (.6.5) 5

52 7. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x (ln(x))x (.9.5) 8. Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim (x π)tan(x x π ) (..6) 5

53 . Integrale. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = cosh 5 (x)dx, B = x ln(x)ln(b)dx, C = x +x+9 x +4x +9x dx (7.8.). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = sinh 5 (x)dx, B = x ln(x)ln(4a)dx, C = x +x+8 x +6x +8x dx (4.4.). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = dx, B = x 9+6ln (x) x ln(ln(x))dx, C = x +x (x +)(x ) dx (9.8.) 4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = dx, B = x ln (x)dx, C = x 4 8ln (x ) x +x (x 4)(x+) dx (7..) 5. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = cos(x)dx cos(x), B = sin(ln(x))dx, C = x +x +x+ x +x +x dx (..) 6. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = exp( 4x +ln(x))dx, B = xln (4x)dx, C = +x dx (7.4.4) 7. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = π/ sin(x) cos(x) +sin(x) dx, B = sin(x)ln(cos (x))dx, C = 6x +8x+4 (x +6)(x +6) dx (6.8.4) 5

54 8. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = x x +x dx, B = exp( δt) cos(ωt)dt, C = x+5 (x )(x+5)(x+7) dx (7..5) 9. Berechnen Sie explizit folgende Integrale, A = (exp(x) + ) exp(x) (exp(x)+6)(exp(x)+) dx, B = C = x dx sin(x)+cos(x) (x+)(x+)(x +6) dx (6.7.5). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = x x 4x+7 dx, B = exp( δt) sin(ωt)dt, C = x+4 (x+)(x+)(x +6) dx (..6). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = dx sin(x)+cos(x), B = x cos (x) dx, C = x (x+)(x+4)(x +9) dx (5..7). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = sin(x)dx cos(x)+sin(x), B = x sin (x) dx, C = x x + (x )(x )(x +x+) dx. Berechnen Sie explizit folgende Integrale dx A = sin(x)+cos(x)+ dx, B = cos(ln(x))dx, C = (.6.7) x +x +x+ x +x +x dx (.8.7) 4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale cos(x) A = sin(x) cos(x) dx, B = x (tan(x)) dx, C = x (x )(x+)(x +4) dx (..8) 5. Berechnen Sie explizit folgende Integrale π/ A = x cos(x )sin(x )dx, B = cos(x)ln(sin(x) n )dx π/4 (6.6.8) 5

55 6. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = xsin(x ) cos(x ) dx, B = C = π/ π/4 sin(x)ln((+cos(x)) )dx x (x 4)(x+)(x +9) dx (8.7.8) 7. Berechnen Sie explizit folgende Integrale x cos(x ) ln() A = sin(x )+ dx, B = cosh(x)ln((+sinh(x)) )dx x x + C = (x +x+4)(x )(x 9) dx 8. Berechnen Sie explizit folgende Integrale (5..9) A = π xsin(x )cos(x )dx, B = x arctan(x) +x dx (6.7.9) 9. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = x +4 x cos(x) x dx, B = sin dx C = (x) x 4 + x x +x dx (5.8.9). Berechnen Sie explizit folgende Integrale cos(x)+7sin(x) A = 5cos(x)+sin(x) dx B = ln ( x+ +x ) dx C = x x +4 x 5 4x 4 +4x dx (9..). Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = π/ sin(x) cos(x) +cos(x) dx, B = ln() sinh(x)ln ( +cosh(x) ) dx Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden. (.6.). Berechnen Sie explizit folgende Integrale cos(x) A = cos(x)+sin(x) dx B = ln (x+ ) x 5 +x + dx C = x 6 +x 4 dx Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden. (6.8.). Berechnen Sie explizit folgende Integrale tan(x) A = +tan(x) dx B = cosh(x)ln(+e x )dx C = x x + x 5 x 4 +x x dx Es dürfen nur die Grundintegrale aus dem Skript verwendet werden. (..) 54

56 4. Berechnen Sie explizit (nur die Rückführung auf Grundintegrale ist erlaubt, keine Formelsammlung) folgende Integrale A = sinh(x)+cosh(x) dx, B = x sinh (x) dx Bevor Sie das Integral A berechnen, überlegen Sie, was das Ergebnis sein könnte. Skizzieren Sie Ihre Überlegungen. (5.6.) 5. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = a sin (x)+b cos (x) dx, B = x sin(ax)e bx dx,c = x +x +x x x +4x dx a, b R (.8.) 6. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = tan (x)dx, B = x sin(x) cos (x) dx C = 7. Berechnen Sie die Integrale A = x + x dx, x x x 5 5x 4 +9x 9x +8x 4 dx (..) B = x ( ln ( x )) dx Begründen Sie das numerische Ergebnis von B mathematisch exakt! (5.6.) 8. Berechnen Sie die Integrale A = 4x x (+x ) dx B = x ln( 4 x +)dx 9. Berechnen Sie das uneigentliche Integral C =. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = e x +e x dx x cot (aln(bx))dx, a,b R, B =. Berechnen Sie explizit das folgende Integral x 4 +5x +6x +6x+ C = x +x dx +7x+5 x +6 5 x+ dx und als Alternative oder als Zusatzaufgabe ( Punkte) berechnen Sie: C = +x 4 dx (.8.) (.8.) (8..) Hinweis und Vorschlag: Bestimmen Sie hier zunächst die komplexen Nullstellen des Nenner und faktorisieren Sie ihn dann in zwei reelle Polynome. Grades als Grundlage für die PBZ. (8..) 55

57 . (a) Berechnen Sie die Integrale A = B = sin(x) cos(x) dx cos( x)dx (b) Zusatzaufgabe i. Sei f(x) = arcsin(x). Was ist der Wert von f ()? a) π b) c) d) e) keiner von diesen ii. f(x) sei eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften: f (x) = cos(x), f (π) = und f() = 4. Welchen Wert hat f(π)? a) b) π c) π+ d) 6+π e) iii. Welcher der folgenden Ausdrücke liefert die Fläche zwischen den Kurven y = x und y = x? a) d) (x x)dx b) (x x)dx (x x )dx c) e) keiner von diesen (x x)dx+ iv. Es sei F(x) = x f(t)dt mit f(t) aus der nebenstehenden Abbildung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (x x )dx x 5 4 I. F( ) > F( 4) II. F() > F() III. F() > IV. F( ) = y 4 a) nur I. ist richtig b) nur II. ist richtig c) nur III. ist richtig d) nur I. und II. sind richtig e) nur II. und IV. sind richtig f) keine ist richtig v. Welches der folgenden Integrale berechnet den Rauminhalt des Körpers, der durch Rotation des durch die Kurven y = x und y = x im Intervall [,] begrenzten Gebiets um die x-achse entsteht? a) d) π(x x 4 )dx b) π( y y)dx e) π(x x ) dx c) π(y y )dx π(x x 4 ) dx vi. Das Integral ln e x +e x dx hat den Wert a) ln b) c) π d) π 4 e) 56

58 (.6.). (a) Berechnen Sie die Integrale A = 9 4 xdx B = x e x (+x ) dx (b) Alternativ- oder Zusatzaufgabe i. Gegeben seien folgende Integrale: () xdx () xdx () x dx (4) x dx In welchen Fällen entspricht der Wert des Integrals dem Flächeninhalt der vom Funktionsgraphen und der x-achse über dem Integrationsbereich eingeschlossenen Fläche? A. in allen Fällen B. nur in () C. in () und () D. in () und () E. in (), () und (4) ii. Welche Stammfunktion hat das Integral J = cos( x) x dx a) sin(x/ ) x / +C b) cos( x )+C c) sin( x )+C d) cos( x)+c e) sin( x)+c (.8.) 4. Berechnen Sie das Integral C = 4 +x x 4 +x + dx (.8.) 5. (a) Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = cos (x) tan(x) dx B = x cos(x) sin (x) dx C = 5x 7x+ x x +x dx (b) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) Für welchen Wert von b > gilt: b ( x x) dx =? a) b) c) d) 6 6. (a) Berechnen Sie die Integrale A = 4 x x dx (..4) B = ( x )cot(x)sin(x)x dx 57

59 (b) Zusatzaufgabe : Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = 4 und g(x) = x über dem Intervall I = [;4] Fläche um die x Achse rotiert. (.6.4) 7. wie 8. (.8.4) 8. wie 9. (.8.4) 9. Berechnen Sie explizit folgende Integrale. Lösen Sie dabei das Integral A mit Hilfe von Substitution und das Integral C mit Partialbruchzerlegung. x 5 A = +x 4 dx B = e x+ dx C = x 5 +x 4 dx (..5) 4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale A = π x sin(x ) cos(x ) dx x cos(x) B = sin (x) dx (.6.5) 4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale x arcsin(x ) A = dx x 4 B = artanh(x) dx C = x x x 5 5x 4 +9x 9x +8x 4 dx (.9.5) 4. Berechnen Sie explizit folgende Integrale. A = π 6 sin(x) sin(x) +sin(x) B = x ln (8x ) dx dx C = x 4 +x ++x dx (..6) 58

60 .4 Taylorreihen. Entwickeln Sie für die Funktion f(x) = cos(x) x durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall x kleiner als. ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.. Entwickeln Sie für die Funktion f(x) = x sin(x) x (7.8.) durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall x.5 kleiner als. ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden.. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion f(x) = +x 5 (4.4.) um die Funktion an der Stelle x =.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten. 4. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion (9.8.) f(x) = +x 5 um die Funktion an der Stelle x =.5 auf sechs Dezimalstellen genau auszuwerten. Berechnen Sie damit den Wert von f(x) an dieser Stelle mit dieser Genauigkeit. 5. Entwickeln Sie für die Funktion f(x) = cos(x) x (7..) durch Reihenentwicklung eine Näherungsformel, deren Fehler im Intervall x.7 kleiner als.5 4 ist. Sie können zur Lösung bekannte Taylorreihen verwenden. (..) 6. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur vierten Dezimale genau: π/6 ( ) sin(x) I = dx. x Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (7.4.4) 7. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur dritten Dezimale genau: I =.6 xexp( x )dx. Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (6.8.4) 59

61 8. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf sechs Dezimalen genau:.9 sin( x ) I = dx. x Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (7..5) 9. Entwickeln Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur vierten Dezimale genau: I =.9 xtanh( x )dx. Sie können bekannte Taylor-Reihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen Fehler.????. Bestimmmen Sie genügend viele Glieder der Taylor-Reihe der Funktion f(x) = x (+x 4 ) / (6.7.5) um die Funktion an der Stelle x =.6 auf fünf Dezimalstellen genau zu berechnen. Wie viele Terme der Taylor-Reihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen Fehler. (..6). Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden bis zur vierten Dezimale genau: I =.5 x tanh( x )dx Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung und vergleichen Sie die Fehlerabschätzung mit dem tatsächlichen Fehler. (5..7). Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine Genauigkeit von 9 : I =.5 cos(x ) x 4 dx Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viel Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (.8.7). Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine Genauigkeit von 7 : I = π/ xsin( x )dx Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr 6

62 Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals und vergleichen Sie es mit Ihrem Ergebnis. Wie groß ist der wirkliche Fehler? (.5 Zusatzpunkte). (..8) 4. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine Genauigkeit von 9 : I = π/4 x ( cos( x ))dx Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung.Wie groß ist der exakte Fehler? Vergleichen Sie ihn mit Ihrem Ergebnis und kommentieren Sie! (8.7.8) 5. Berechnen Sie das folgende Integral durch Reihenentwicklung des Integranden auf eine Genauigkeit von 7 : I =.5 x 4 +x dx Sie können bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der dort angegebenen Formel benutzen. Wie viele Terme der Taylorreihe benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (5..9) 6. Berechnen Sie die Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen: e x I(x) = x dx Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral I =.. e x x dx auf eine Genauigkeit von 4. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Fehlerabschätzung. (5.8.9) 7. Berechnen Sie die ersten 5 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen: I(x) = cos(x)dx Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral I = π/6 cos(x)dx auf eine Genauigkeit von. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung. (9..) 8. Berechnen Sie die ersten 6 Terme der Reihenentwicklung des folgenden unbestimmten Integrals unter Benutzung bekannter Taylorreihen: I(x) = x +x 5 dx 6

63 Berechnen Sie nun das das bestimmte Integral I =.4 x +x 5 dx auf eine Genauigkeit von. Wie viele Terme der Reihenentwicklung des Integrals benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte Fehlerabschätzung. (6.8.) 9. Berechnen Sie ein Polynom P n (x) als Näherungsfunktion für die Funktion f(x) = sin(x) +cos(x), die diese im Intervall I = [, ] mit einer absoluten Genauigkeit von ǫ =. approximiert. Wie viele Terme der Reihenentwicklung benötigen Sie? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine möglichst exakte, zumindest mit einer heuristischen Fehlerabschätzung. Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der Quelle und der verwendeten Formel verwenden. (..). Berechnen Sie das Integral J = cos(x)e x dx mit Hilfe einer Reihenentwicklung auf eine Genauigkeit von 5 Dezimalstellen. Führen Sie eine Fehlerabschätzung durch und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem tatsächlichen Fehler. Sie dürfen dazu bekannte Taylorreihen unter Angabe der verwendeten Formel verwenden. (.8.). Berechnen Sie ein Polynom P 4 (x) vom Grad 4 als Näherungsfunktion für die Funktion f(x) = (+x) ln(+x) Zeigen Sie, dass der Fehler ǫ(x) = f(x) P 4 (x) des Polynoms im Intervall x [,.] kleiner ist als 6. (..). Berechnen Sie das Taylor sche Näherungspolynom. Ordnung, P (x), der Funktion f(x) = ln ( +sin(x) ) um den Entwicklungspunkt x = und zeigen Sie, dass gilt f(x) P (x) 4 für x [,.] Bemerkung: Sollten Sie das Leibnitz-Kriterium verwenden wollen, so müßten Sie zunächst zeigen, dass die Taylorreihe von f(x) alternierend ist. (.8.). Betrachten Sie die Funktion f(x) = 4+x (a) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Mac Laurin schen Reihe (Taylor Reihe um x = ) von f(x) und berechnen Sie deren Konvergenzradius. (b) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von f(x) um x = und berechnen Sie deren Konvergenzradius. (c) Bestimmen Sie die allgemeine Form der Taylor Reihe von g(x) = ln(x + 4) um x = und berechnen Sie deren Konvergenzradius. (d) Gibt es für die von Ihnen gefundenen Konvergenzradien eine gemeinsame Erklärung? Wenn ja, welche? 6

64 4. Betrachten Sie die Funktion f(x) = +x (8..) (a) Berechnen Sie explizit (ohne Formelsammlung) die allgemeine Form der beiden Taylorreihen um die Entwicklungspunkte x = und x = und bestimmen Sie deren Konvergenzradien. (b) Beide Reihen sollen approximiert werden durch die ersten vier Terme der jeweiligen Taylorreihe. Schätzen Sie dazu nur die Fehler der beiden Approximationen ab, die am Punkt x = zu erwarten sind. (Berechenen Sie nicht den Wert der Approximation!). Erklären Sie ihr Ergebnis. (c) Berechnen Sie die allgemeine Form der McLaurin schen Reihe der Funktion ln(+ x) (d) Alternativ- oder Zusatzaufgabe i. Welche der folgenden Potenzreihen stellt die Funktion f(x) = x x dar? a)+x +x 4 +x 6 +x b) x +x +x 4 +4x c)x +x +x 4 +x d)x +x 4 +x 6 +x e) x x 4 +x 6 x ii. Welche der folgenden Funktionen hat die Taylorreihen- Entwicklung x 4! + x5! + x6 xn ! (n+)! +... a) sin(x)+x b) cos(x )+ c) x cos(x)+x d) e x x e) x e x x x (.8.) 5. Berechnen Sie von f(x) = x sin(x) das Taylorpolynom um die Stelle x = π bis zur dritten Ordnung. (..4) 6. wie. (.8.4) 7. (a) Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = x (+e x ) die ersten vier zum Entwicklungspunkt x = gehörenden Taylor-Polynome. Skizzieren Sie ihre Graphen und den Graphen von f(x) über dem Intervall x 4. Welche Abschätzung für f() T () erhält man aus der Restgliedformel von Lagrange? (b) Zusatzaufgabe In der Taylorreihe um x = der Funktion ist der Koeffizient vor x 6 : e x dx x i) 4 ii) 6 iii) 8 iv) 8 v) 6 oder vi) 48? (..5) 8. (a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades um die Entwicklungsstelle x = für die Funktion f(x) = x, x (,5;,5). (b) Schätzen Sie den Betrag des Restgliedes R 4 (x,x ) für x = durch ab. (.9.5) 6

65 9. (a) Um den Wert, zu berechnen, verwendet Ihr Taschenrechner ein Taylor- Polynom von f(x) = +x für x =. Machen Sie es ihm nach, indem Sie das Taylor-Polynom von f(x) bis zur 4. Ordnung berechnen und dann, einsetzen. Genügen die Terme aus, um den Wert auf 5 Dezimalen genau zu berechnen? (b) Zusatzaufgabe In der Taylorreihe um x = der Funktion cos(x) dx ist der Koeffizient vor x : x i) 4 ii) 6 iii) 7 iv) 8 v) 6 oder vi) 48? (..6) 64

66 .5 Fourierreihen. Zeichnen Sie die folgende Funktion der Periode T = 8 und berechnen Sie ihre Fourier- Reihe: { t für 4 t f(t) = t 6 für t 4. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion der Periode T = π: f(t) = Aexp(t), t [,π] (4..998) Geben Sie das Amplitudenspektrum bis f = 5ω an. (xx.xx.xxxx). Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden der Periode T = 6: f(t) = { t 4 für t 4+t für t Fertigen Sie zunächst eine Zeichnung der Funkton an und geben Sie das Linienspektrum (erste 5 Spektrallinien) an. (Sept. ) 4. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = 4: f(t) = { t 4 für t 8 4+t für t Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an. 5. Berechnen Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion mit der Periode T = : f(t) = { t für t 4 +t für t Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie explizit das Linienspektrum der ersten vier Spektrallinien an. 6. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion f(t) = π (t π), t < π, (7..) die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird. Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die ersten vier Fourierkoeffizienten? 7. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion f(t) = (t ), t <, (.8.7) die periodisch mit der Periode T = auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird. Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der Fourierkoeffizienten a n und b n und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die ersten vier Fourierkoeffizienten von a n und b n? (8.7.8) 65

67 8. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion f(t) = t cos(t), π t < π, die periodisch mit der Periode T = π auf die die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird. Fertigen Sie eine Skizze der Funktion an, berechnen Sie die allgemeine Form der Fourierkoeffizienten a n und b n und geben Sie die Fourierreihe an. Welche Werte haben die ersten vier Fourierkoeffizienten von a n und b n? (5.8.9) 9. Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion f(x) = sinh(ax), π x < π, a R, die periodisch auf die Menge der reellen Zahlen fortgesetzt wird. Fertigen Sie eine Zeichnung der Funktion an, berechnen Sie die Fourierkoeffizienten und geben Sie die Fourierreihe an. Skizzieren Sie das Spektrum der periodischen Funktion für die ersten fünf Fourierkoeffizienten. (6.8.). Gegeben sei die periodische Funktion f(t) der Periode T = π f(t) = π 4 sin(t), t π Bestimmen Sie die zugehörige Kreisfrequenz ω und berechnen Sie die Fourierreihe von f(t) Berechnen und vergleichen Sie die Integrale J = π J = π π π f (t)dt { } a 5 f(t) + a n cos(nωt)+b n sin(nωt) dt n= Kommentieren und erklären Sie die unterschiedlichen Werte der beiden Integrale! Bemerkung: Sie dürfen Integraltafeln benutzen! (.8.) 66

68 .6 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x) y (x) = (x+)exp(x)+sin(x) Wie lautet die Lösungsschar, die durch den Punkt P(x =, y = ) geht?. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x) y (x) = (x+)exp(x)+cos(x) (7.8.) Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt P(x =,y = ) geht? Wenn ja, geben Sie diese an!. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x) y (x)+y(x) = (x+)exp(x)+sin(x)+cos(x) Wie lautet die Lösungsschar, die die Bedingung y () = erfüllt? 4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x) y (x)+y(x) = cos(x)exp(x)+x exp( x). Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =,y () =? 5. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung (4.4.) (..) (7.4.4) y (x)+y (x) 4y(x) = x exp(x)+sin(x). Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =,y () =? (6.8.4) 6. Bestimmen Sie die homogene und die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x)+y (x)+y(x) = x+exp( x)sin( x). Wie lautet die Lösungsschar zu den Anfangsbedingungen y() =,y () = beliebig? (7..5) 7. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x)+4y (x)+y(x) = sin(x)+sinh(x). Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =,y () =? (6.7.5) 67

69 8. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y (x) 6y (x)+5y(x) = sin(x)+exp(5x). Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =? (..6) 9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung y y +y = cos(x)+sinh(x) Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y () =,y() =? (5..7). Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y (x)+y (x)+y(x) = (x+)sin(x) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =,y () =.. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl) y (t)+y (t) = (t+)e t +sin(t) (..8) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Lösung der DGl zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =. Gibt es eine Lösungsschar, die durch den Punkt y(t = ) = geht? Wenn ja, bestimmen Sie sie. (6..9). Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl) y (t)+y (t)+y(t) = (t )e t +cos(t) sin(t) Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der DGl zu den Anfangsbedingungen y() =, und y () =. Gibt es eine Lösungsschar, die die Anfangssteigung y () = besitzt? Wenn ja, bestimmen Sie diese. (7..9). Berechnen Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y (x)+y (x)+y(x) = e x cos(x) Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = und y () =. (5..9) 4. Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (DGL) y (t)+y (t)+y(t) = (t+)e t cos( t) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGL. Wie lautet die spezielle Lösung der DGL zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =. Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y (t = ) = gehen? Wenn ja, bestimmen Sie diese. (5..) 68

70 5. Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl) y (t) y (t) y(t) = 5(t )e t/ +68cos(t) Bestimmen Sie mittels geeigneter Ansätze für die Lösungsfunktion die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen DGl. Wie lautet die spezielle Lösung der DGl zu den Anfangsbedingungen y() =, und y () =. Gibt es Lösungen, die die zur Zeit t = die Steigung y () = besitzen? Wenn ja, bestimmen Sie diese. 6. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl) (..) y (x) y (x)+5y(x) = e x (cos(x)+) Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen y() =,y () =? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y() = geht? Wenn ja, bestimmen Sie diese. 7. Betrachten Sie die Differentialgleichung y (x) tan(x)y(x)+ sin(x) = (a) Bestimmen und diskutieren Sie die allgemeine Lösung. (9..) (b) Bestimmen und diskutieren Sie die speziellen Lösungen zu y() = und y() =. 8. Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl) y (x)+y (x)+y(x) = e x ( ( x cos(x)+cos )) (5..) Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl zu den Anfangsbedingungen y() = 6, y () =? Gibt es Lösungen, die durch den Punkt y () = gehen? Wenn ja, bestimmen Sie diese. (..) 9. Betrachten Sie die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten y +y + ( +ω ) y = e kt cos(ωt), k, ω R (a) Bestimmen Sie für k = und jeweils für ω = und ω = die allgemeine Lösung y h (t) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und geben Sie die jeweiligen Ansätze für die speziellen Lösungen y sp (t) an. (b) Es sei nun k =. Geben Sie für beliebiges ω einen Ansatz für die spezielle Lösung y sp (t) an. Berechnen Sie eine spezielle Lösung und geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an. (c) Berechnen Sie die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = +4ω und y () =. (..). Gegeben ist die Differentialgleichung (DGl) tan(x)y (x)+ ( +tan (x) ) y(x) = tan(x) für x (, π ) Bestimmen Sie die allgemeine Losung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. Wie lautet die spezielle Losung der DGl mit lim y(x) =? (..) x + 69

71 . Betrachten Sie die Differentialgleichung (DGl) d dt y(t)+a dt y(t)+a y(t) = s(t) (.) d mit zunächst unbekannten Koeffizienten a und a und unbekannter Inhomogenität s(x). Die beiden Funktionen seien Lösungen dieser DGl. y (t) = sin(t)+e t y (t) = sin(t)+e t e t (a) Bestimmen Sie mit dieser Information die unbekannten Größen der Differentialgleichung (.), (b) die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und (c) die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = und y () =.. (a) Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ty = y +, y() = Für welche Werte von t ist die Lösung definiert? (b) Betrachten Sie das folgende Anfangswertproblem mit dem reellen Parameter a y y +y = e at, y() =,y () = i. Bestimmen Sie die Lösung für a ii. Bestimmen Sie die Lösung für a = iii. Zeigen Sie, dass sich die Lösung aus (ii) sich als Grenzfall der Lösung aus (i) ergibt.. (a) Betrachten Sie die Differentialgleichung y (t) ty(t) = (8..) i. Lösen Sie die Differentialgleichung zur Anfangsbedingung y() =. ii. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Polynoms P 4 (t) 4. Grades in t als Lösungsansatz die Koeffizienten der Potenzreihe der Lösung der DGl bis zur Ordnung t 4. iii. Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Taylorreihe der exakten Lösung aus Teilaufgabe (i). (b) Lösen Sie das Anfangswertproblem. (c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe y (t) 5y (t)+6y(t) = te t, y() =, y () = i. Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y (x)+y(x) = e x ist: a)ae,5x +e x b)ae,5x +xe x c)ae,5x +e x d)ae,5x +xe x ii. Die Bewegung einer an einer Feder aufgehängten Masse werde beschrieben durch das Anfangswertproblem y +γy +y = y() =, y () = und werde gelöst durch eine aperiodische Schwingung der Quasi-Frequenz. Welchen Wert hat γ? 5 4 a) b) c) d) 4 e) 5 f) 7

72 iii. Für welchen Wert von ω schwingt das System y + 6y = cos(ωt) in Resonanz? a) 8 b) c) 8 d) 4 e) f) 8 iv. y(t) sei die Lösung des Anfangswertproblems y = y +e t, y() =. Dann ist der Wert von y() a) e++e b) e++e c) e++e d) +e e) e f) e++e 4. Gegeben ist die folgende Differentialgleichung: y (x)+y(x) = cos(x)+x (.8.) (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und inhomogenen Differentialgleichung. (b) Wie lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y(π) = π und y (π) = π? (..4) 5. wie. (.8.4) 6. (a) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung. y (x)+ x y(x) = e x ln(x) x Geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an. Wie lautet die Lösung der inhomogenen Gleichung, für die y() = gilt? (b) Lösen Sie das folgende Schwingungsproblem: y +6y +8y = cos(t) 8sin(t) mit y() = und y () =. Wie lautet die sogenannte stationäre Lösung, die sich nach Ablauf der Einschwingphase einstellt? 7. (a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y +4y = x+6 x e 4x (b) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung y (t)+8y (t)+7y(t) = 8t e 7t +cos(t) (..5) i. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und inhomogenen Differentialgleichung. ii. Wie lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y() = und y () = 5? (c) Zusatzaufgabe i. Gegeben ist eine lineare und homogene Differentialgleichung, welche y : x sin(x) als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. x cos(x) ist ebenfalls eine Lösung. B. x sin(x) ist ebenfalls eine Lösung. C. x sin(x) ist ebenfalls eine Lösung. D. x sin(x) + x ist ebenfalls eine Lösung. 7

73 ii. Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear? A. (y ) = y B. y + y x + y +x = x C. y = xy x +y D. y +y +y = E. y = xy +(y ) (.9.5) 8. (a) Gegeben ist die folgende Differentialgleichung: y (x)+x y(x) e x = x Geben Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an. Wie lautet die Lösung der inhomogenen Gleichung, für die y() = gilt? (b) Lösen Sie die folgende Differentialgleichung y (x)+y (x) = x e x mit y() = und y () =. (..6) 7

74 Kapitel 4 Mathematik 4. Laplacetransformation. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktionen f(t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen) { sin(t) für t π a) f(t) = b) f(t) = t t für t π exp( t). Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten in a) und b)? (4..998). Berechnen Sie unter Anwendung geeigneter Sätze zur Laplace - Transformation die inverse Laplacetransformierte der Funktion F(s) = s+ s s+5. (4..998). Berechnen Sie die Faltung f(t) = t e t und deren Laplacetransformierte F(s) = L{t e t }. (4..998) 4. Berechnen Sie explizit aus der Definitionsgleichung der Lapacetransformation die Laplacetransformierte F(s) der Funktionen f(t) (Sie dürfen Integraltafeln benutzen) a) f(t) = { sin(t) für t π/ für t π/ b) f(t) = t exp( 5t). Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s existieren die Laplacetransformierten in a) und b)? (..) 5. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen f(t) = t cosh(t) exp( t) Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (.8.7) 6. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): s F(s) = (s +4)(s ) (.8.7) 7

75 7. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen f(t) = { tcos(t+π) für t π t für t π Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F(s) definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (8..8) 8. Bestimmen Sie mit geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): 4s 6 F(s) = s +4s+ e 4(s ) (8..8) 9. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen f(t) = t cosh(t+b) exp(t), b reell Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (..8). Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): s F(s) = (s +4)(s ) (..8). Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen f(t) = t sinh(t b) exp(at b), a,b reell Für welchen Wertebereich der Laplacetransformierten s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (5.8.8). Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = +s+s +s (s +9)(s ) (5.8.8). Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen. f(t) = { tsin(πt) für t für t Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F(s) definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (6..9) 74

76 4. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): s+ F(s) = (4s +6)(4s 9) (6..9) 5. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation oder unter der Verwendung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F(s) der folgenden Funktion f(t). f(t) = t cosh(at b)e at+b, a,b R. Sie dürfen bei der expliziten Berechnung Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen, bei der Verwendung von Sätzen sind diese anzugeben. Für welchen Wertebereich der Laplace- variablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort nachvollziehbar! (7..9) 6. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t): f(t) = t sin (ω t), ω R. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen. (8.8.9) 7. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s s (s+) (s +) (8.8.9) 8. Berechnen Sie explizit ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) folgender Funktion f(t). Sie dürfen Integraltafeln unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel und / oder Sätze zur Laplacetransformation unter deren Angabe benutzen. f(t) = { tcos(πt) für t < te t für t Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte F(s) definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! (5..) 9. Bestimmen Sie mit geeigneten Sätzen der Laplacetransformation die Laplacetransformierte F(s) der Originalfunktion f(t): f(t) = t(t )e (t 5) sin(t)cos(t) Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich. (5..) 75

77 . Berechnen Sie explizit, ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und ohne die Verwendung bekannter Sätze zur Laplacetransformation, die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t): f(t) = cos (t) sinh(t). Führen Sie die Berechnung durch Rückführung des Laplaceintegrals auf Grundintegrale der Integralrechnung durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort im Verlauf der Rechnung ausführlich, nachvollziehbar und nicht nur formal an den entsprechenden Stellen! (..). Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t): f(t) = t sinh(at+b)e at b, a,b R unter Verwendung geeigneter Sätze, sowie durch Rückführung der Integrale auf Grundintegrale der Integration durch. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen existiert die Laplacetransformierte? Begründen Sie wiederum Ihre Antwort inhaltlich und nachvollziehbar im Verlauf der Rechnung! (..). Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t): f(t) = t cos (ωt)e t, ω R. Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen. (.8.). Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s 4 (s+) (s +s+) (.8.) 4. Bestimmen Sie mit geeigneten Methoden und Sätzen der Laplacetransformation die Originalfunktion f(t) der Bildfunktion F(s) = s + s+ s (s+) e s Geben Sie die von Ihnen benutzten Sätze an der entsprechenden Stelle an. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis so weit wie möglich. (5..) 5. Betrachten Sie die Bildfunktion F(s) = (s )(s+) (a) Welches Zeitverhalten der Originalfunktion erwarten Sie, ohne dass Sie eine Rücktransformation durchgeführt haben? Welchen Definitionsbereich D F C erwarten Sie daher für die Bildfunktion? (b) Berechnen Sie das Verhalten der Zeitfunktion f(t) bei t = und im limes t? (c) Erscheinen Ihnen Ihre Ergebnisse glaubwürdig, plausibel und konsistent? Begründen Sie Ihre Antworten ausführlich. (5..) 76

78 6. Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t): f(t) = ωt cos(ωt+φ)e (ωt+φ), ω R +,φ R. Stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort! Hinweis: Sie dürfen Integraltafeln (aber keine Tafeln zu Laplace-Transformation) unter Angabe der Quelle und der benutzten Formel benutzen. (5.8.) 7. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s +s (s +)(s +s+5) (5.8.) 8. Berechnen Sie explizit und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F(s) von f(t) = e (t ) t sin(ω(t ))Θ(t ) mit Θ(t) = { für t > für t < Für welche Werte von s ist F(s) definiert? Begründen Sie dies mathematisch nachvollziehbar und stichhaltig. (..) 9. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion von F(s) = (b) Betrachten Sie die Laplacetransformierte s+ (s+)(s +4s+) F(s) = s s +s Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten der Originalfunktion f(t) bei t = und für t im Bild- und im Originalraum. Kommentieren und erklären Sie Ihre Ergebnisse. (..). Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F(s) der Funktionen: f(t) = cos(ωt), ω R + g(t) = cos(ωt) e t Erläutern Sie Ihre Rechnung und stellen Sie das Ergebnis so geschlossen wie möglich dar. (..) Sie dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten der, von sin(ωt) und cos(ωt). deren Verwendung ist jeweils anzugeben! die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt 77

79 . Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = a+bs s 4 ω 4, a,b R, ω R + (..). Berechnen Sie ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und/oder unter der Benutzung geeigneter Sätze die Laplacetransformierte F(s) der Treppenfunktion: A für < t < a A für a < t < a f(t) = A für a < t < a... usw.... (.8.). Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = a s +a, a R (.8.) 4. Berechnen Sie die Laplacetransformierte von f(t) = cos (t) sowohl über die Definitionsgleichung der Laplacetransformation als auch mit Hilfe des Satzes für periodische Funktionen. Sind beide Ergebnisse gleich? Bestimmen und begründen Sie in beiden Fällen den Konvergenzbereich der Laplacetransformation. (..) 5. Berechnen Sie explizit 4 und/oder unter Benutzung von geeigneten Sätzen 5 zur Laplacetransformation einen geschlossenen Ausdruck für die Laplacetransformierte F(s) von f(t) = πt e at ( at) Hinweis: Φ(x) = x π e t dt, lim Φ(x) = (..) x 6. (a) Berechnen Sie die Originalfunktion 6 von F(s) = (s ) (s +s+) Begründen Sie den Zusammenhang der Struktur Ihrer Lösung mit dem Polstellenplan von F(s). (b) Zusatzaufgabe (+ Punkte): Betrachten Sie die Laplacetransformierte F(s) = s +e s s ( e s ) und bestimmen Sie die zugehörige Originalfunktion. (..) 4 Sie dürfen die beigefügten Grundintegrale verwenden, ansonsten nur die Laplacetransformierten der, von sin(ωt) und cos(ωt). 5 deren Verwendung ist jeweils anzugeben! 6 die Verwendung der oben angegebenen Laplacetransformierten und von Sätzen zur Laplacetransformation ist wie oben erlaubt 78

80 7. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der Funktion { für t < f(t) = e e t für t > Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich von F(s). (b) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f(t) in der Form: L{t f(t)} = s(s +). Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e t f(t)}. 8. Gegeben sei das Anfangswertproblem (t π) y (t)+4y(t) = g(t) = 4π + t < π, sin(t)+ t π y () =, y() = (7..) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) = L{y} von y(t). Berechnen Sie nicht die Lösung y = y(t)! (7..) 9. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s+ (s ) (s 4s+5) 4. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) Die Rücktransformation von ist (a) f(t) = e t (cos(t) sin(t)) (b) f(t) = e t (cos(t) sin(t)) F(s) = (c) f(t) = cos((t+)) sin((t+)) (d) f(t) = cos((t )) sin((t )) s+ s +4s+ 4. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der Funktion { t für t < f(t) = te e t für t > (7..) (7..) Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich von F(s). (b) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f(t) in der Form: L{t f(t)} = s (s ). Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e t f(t)}. (c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s s 8a, a R 79

81 (d) Alternativ-/ Zusatzaufgabe Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): F(s) = s +s 5 (s +) (s +4s+5) (e) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) i. Die Laplacetransformation der Funktion {, < t < f(t) = t, < t ist gleich: A. s +e s ( s s ) B. s + e s s C. s +e s ( s + s ) D. s e s s ii. Für die Rücktransformation der Funktion (s+)(s ) ergibt sich in t = : A. B. C.,5 D. keins von diesen (.8.) 4. (a) Berechnen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t). f(t) = sin(a(t b)) t b e δ(t b) θ(t b) (b) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der folgenden Funktion f(t). Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich. f(t) = { für t < t e t e für t > (c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten. F(s) = s s + (s +4s+6) (s ) [i] ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung [ii] mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung ( Zusatzpunkt) 8

82 (d) Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) A) Für die Rücktransformation der Funktion ergibt sich in t = der Wert F(s) = 4s s + s i) ii) iii) iv) keiner von diesen B) Sei f(t) eine periodische Funktion der Periode T. Ihre Laplacetransformierte ist gegeben durch für F(s) = T e st f(t)e st dt i) e st < ii) e st < iii) e st > iv) e st > C) Seienf (t) undf (t) zwei Originalfunktionen. Welche der Aussagen ist richtig? i) f (t) f (t) = f (τ)f (t τ)dτ ii) f (t) f (t) = t f (τ)f (t τ)dt iii) f (t) f (t) = t f (τ)f (t τ)dτ iv) f (t) f (t) = t f (t τ)f (τ)dτ (4..4) 4. (a) Berechnen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t). f(t) = t (sin(at)+atcos(at)) e δt (b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichung der Laplacetransformation die Bildfunktion der folgenden Funktion: f(t) = { Asin ( π a t ) für t a für t a (c) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten F(s) = s +s 7 (s +s+7) (s+) 8

83 [i] ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. [ii] mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. ( Zusatzpunkt) (4..4) 44. a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte von f(t) = sin(ωt) sowohl über die Definitionsgleichung der Laplacetransformation als auch mit Hilfe des Satzes für periodische Funktionen. Bestimmen und begründen Sie in beiden Fällen den Konvergenzbereich der Laplacetransformation. b) Zeigen Sie, dass beide Ergebnisse gleich sind. c) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f(t) in der Form: L{tf(t)} = 4 s +. Bestimmen Sie die Laplacetransformierte L{e(t) f(4t)} (9.7.4) 45. a) Bestimmen Sie mit einem geeignetem Verfahren die Orginalfunktion f(t) der Laplacetransformierten F(s): 5s s+ (s )(s s+5) b) Beschreiben Sie kurz die Methode der Ableitung nach dem Parameter. Wann und warum ist diese Methode hilfreich? c) Wenden Sie diese Methode bei der Rücktransformation von F(s) = Ks+M (s +s+4) an. (9.7.4) 46. (a) Wie lautet die Laplacetransformierte der folgenden Funktion? Fassen Sie das Ergebnis soweit wie möglich zusammen. t > T t+t f(t) = t T t+t t > T (b) Was können Sie über den Konvergenzbereich der Laplacetransformierten der periodischen Funktion f(t) = sin (ωt) aussagen? (..5) 47. (a) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten (b) Zusatzaufgabe F(s) = s5 +s +s +s+ s 5 +s i. Welchen Anfangswert f() besitzt die zugehörige Originalfunktion f(t)? F(s) = s s +8 + s ii. Berechnen Sie aus der gegebenen Bildfunktion F(s) den Endwert f( ) der zugehörigen Originalfunktion F(s) = es s s 8

84 (..5) 48. (a) Bestimmen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F(s) der folgenden Funktion ( f(t) = t cosh(at)+ sin(t) ) e t t (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes für periodische Funktionen die Laplacetransformation die Bildfunktion der folgenden Funktion f(t) = sin(kt) Skizzieren Sie zuerst die Funktion und bestimmen Sie die Periode. (..5) 49. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten F(s) = 4s s 7k mit k R. (..5) 5. (a) Berechnen Sie die Laplacetransformierte F(s) der Funktion: f(t) = { sin(πt) für t für t (b) Bestimmen Sie durch eine explizite Betrachtung den Konvergenzbereich von F(s). (c) Gegeben sei die Laplacetransformierte einer Zeitfunktion f(t) in der Form L{tf(t)} = s +4. Bestimmen Sie Laplacetransfomierte L{e4t f(t)}. (Sep. 5) 5. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten. F(s) = (s ) (s +s+) a) Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. b) Zusatzaufgabe: mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. ( Zusatzpunkt) (Sep. 5) 5. (a) Berechnen Sie explizit, ausgehend von der Definitionsgleichung der Laplacetransformation und ohne die Verwendung bekannter Sätze zur Laplacetransformation, die Laplacetransformierte F(s) der Funktion f(t) : f(t) = sin (t) cosh(t) Für welchen Wertebereich der Laplacevariablen s ist die Laplacetransformierte definiert? Begründen Sie Ihre Antwort im Verlauf der Rechnung ausführlich, nachvollziehbar. Vereinfachen Sie den Ausdruck soweit wie möglich. (b) Wie ändert sich die Laplacetransformierte, wenn wir f(t) und f (t) betrachten? Welche Sätze werden hier angewendet? (5..6) 8

85 5. (a) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten. F(s) = s(s +6) s 6 4s 4 +64s 56 i. Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. Hinweis: (s 4 +a 6 ) = ((s+a) +a ) ((s a) +a ) ii. Mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung ( Zusatzpunkt). (b) Zusatzaufgabe i) Bestimmen Sie unter Benutzung des Faltungssatzes die zugehörige Originalfunktion f(t). F(s) = s (s +)s ii) Berechnen Sie aus der gegebenen Bildfunktion F(s) den Anfangswert der zugehörigen Originalfunktion F(s) = s (s 4)(s 5) (5..6) 54. (a) Bestimmen Sie unter Anwendung entsprechender Sätze explizit die Laplacetransformierte F(s) der folgenden Funktion f(t) = t b { cos(a(t b))} e (t b) (b) Berechnen Sie das folgende Faltungsprodukt: t e t (8..6) 55. Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren die Originalfunktion zu der Laplacetransformierten mit k R. F(s) = (s ) (s +s+) (a) Ohne die explizite Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. Zusatzaufgabe (b) Mit Berechnung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung. ( Zusatzpunkt) (8..6) 84

86 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation. Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung y (t) y (t)+y(t) = e t mit y() =, y () =. (4..998). Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung y (t) y (t)+y(t) = exp(t)sin(t) für die Anfangsbedingungen y() =, y () =. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung? (.8.7). Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung y (t)+y (t) y(t) = e t cos(t) für die Anfangsbedingungen y() =, y () =. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung. 4. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung y (t)+4y (t)+5y(t) = exp( t)sin(t) (8..8) für die Anfangsbedingungen y() =, y () =. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung? 5. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung y (t) y (t)+6y(t) = exp( t)cosh(t) (..8) für die Anfangsbedingungen y() =, y () =. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung? 6. Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Differentialgleichung y (t) y (t)+5y(t) = e 4t sinh(t) (5.8.8) für die Anfangsbedingungen y() =, y () = 9 4. Wie lauten die allgemeinen Lösungen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung? (7..9) 7. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung von y (t)+y (t)+y(t) = e t cos(t) Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() = und y () = 4? (8.8.9) 8. Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemeine homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung y (t) y (t)+y(t) = e t sin(t) Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =? (..) 85

87 9. Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung y (t)+y (t) y(t) = e t sin(t) Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =? (.8.). Bestimmen Sie mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der homogenen und der inhomogenen Differentialgleichung y (t) y (t)+y(t) = e t sin( t) Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =? (5.8.). Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeinen Lösungen der inhomogenen und der zugeordneten homogenen Differentialgleichung { für t < y (t) y (t) y(t) = e t für t Wie lautet die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =, y () =? (..). Gegeben ist die Differenzialgleichung ẍ(t)+κẋ(t)+5x(t) = f(t) (4.) (a) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die homogene Differenzialgleichung für κ = und den Anfangsbedingungen x() =, ẋ() =. (b) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung für κ = und den Anfangsbedingungen x() =, ẋ() = für i. f(t) = cos(t) ii. f(t) = cos(5t) Warum sind in den beiden Fällen die Lösungsfunktionen verschieden, obwohl jeweils eine harmonische Anregung f(t) vorliegt? (c) Lösen Sie mittels Laplace-Transformation die inhomogene Differenzialgleichung für κ = und den Anfangsbedingungen x() =, ẋ() = für f(t) = { für t [,T] für t (T, ),T >, fest (4.) Kann man die Dauer des Anregungsimpulses so wählen, dass das System nach Ende der Anregung (t > T) nicht mehr schwingt? Wie müsste T dann gewählt werden? (.8.). Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung { sin(t) für t < π y (t)+y(t) = für t π zu den Anfangsbedingungen y() = a, a R,y () =. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters a. (7..) 4. Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung mit den Methoden der Laplacetransformation y (t)+y (t)+ky(t) = e t sin(t), k > 86

88 (a) Berechnen Sie die allgemeine und die spezielle Lösung zu den Anfangsbedingungen y() =,y () = für k 5. (b) Welche Lösungen ergeben sich für k = 5? Wie kann man diese Lösungen verstehen? (.8.) 5. Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung. y (t) y (t)+y(t) = e t cos(t) Wie lautet die spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y() = und y () =? 6. Gegeben sei das Anfangswertproblem für y(t) y +4y 5y = f(t), y() = y () = (4..4) (a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und die inhomogene Lösung für f(t) = e at. (b) Wie lauten die Lösungen für a = und a =? Wie unterscheiden sich die Ergebnisse und warum? (c) Zusatzaufgabe Berechnen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die allgemein homogene und inhomogene Lösung der Differentialgleichung. y +y +y = te t, y() =, y () = (4..4) 7. Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die allgemeine homogene Lösung und inhomogene Lösung der Differentialgleichung { y e t t < π (t)+y(t) = t π zu den Anfangsbedingungen y() = und y () = a. Wie lautet die sogenannte stationäre Lösung? (9.7.4) 8. (a) Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die folgende Schwingungsgleichung.. x +ω x = a cos(ω t) für die Anfangswerte x() und ẋ () =. (b) Was können Sie über den zeitlichen Verlauf dieser Schwingung aussagen? (c) Alternativ- oder Zusatzaufgabe Das Verhalten eines DT -Regelkreisgliedes der Regelungstechnik lässt sich als lineare Differentialgleichung T.v +v = K.u darstellen. Dabei sind T, K positive Konstanten, u = u(t) das Eingangssignal und v = v(t) das Ausgangssignal. Bestimmen Sie das zeitabhängige Ausgangssignal v(t) für das periodische Eingangssignal u = E sin(ωt) und den Anfangswert v() =. (..5) 87

89 9. (a) Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die folgende Differentialgleichung y (t)+4y (t)+5y(t) = e t cos(t) für die Anfangswerte y() = und y () =. (b) Zusatzaufgabe Lösen Sie die folgende Differentialgleichung x 6x +x 8x = e t mit den Anfangsbedingungen x() = x () = x () =. (..5). Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen y() = a, a R, y () =. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters a. y +y(t) = { t für t π für t π (Sep. 5). Bestimmen Sie ausschließlich mit der Methode der Laplacetransformation die Lösung der Differentialgleichung {.. cos(t) für t < π y +y = für t π. zu den Anfangsbedingungen y() =, a R, y () = a. Diskutieren Sie die Zusammensetzung und den zeitlichen Verlauf der Lösung in Abhängigkeit vom Wert des Parameters a. (5..6). (a) Gegeben ist ein System, das durch folgende Differentialgleichung beschrieben wird: y (t)+y (t)+y(t) = u(t) Es weist die Anfangsbedingungen y() = und y () = auf und wird mit einem Eingangssignal u(t) = θ(t ) angeregt. Bestimmen Sie die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung. (b) Zusatzaufgabe Lösen Sie die Differentialgleichung x +9x +7x +7x = e t zu den Anfangsbedingungen x() = x () = x () = (8..6) 88

90 4. Funktionen mehrerer Variabler. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = x y ( x y). Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y) für positive x und y.. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = (x y)(xy 4). (4..998) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y).. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = (x y)(xy 8). (.8.999) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y). 4. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = xy( x 5y). (.4.) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y). 5. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = xy( x 6y). (7.7.) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y). 6. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = x y ( x+y). (..) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y). 7. Gegeben sei die Funktion zweier Variablen z = f(x,y) = x y +xy +x 6y+. (8.8.) Welche Definitionsbereiche besitzt diese Funktion und ihre ersten partiellen Ableitungen? Bestimmen Sie die Extremwerte von f(x,y). (..) 89

91 8. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen a) f(x,y) = x x+y y b) f(x,y) = e x (x+y ) 9. Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktionen a) f(x,y) = +x+y +x +y b) f(x,y) = x +y axy,a > (6..5). Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktionen a) f(x,y) = 4(x )(y +y)+x b) f(x,y) = +x+y +x +y (7.8.5). Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = 4(x 4)(y +y)+y (7..6). Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = 4(x 4)(y 4)+y (..7) (.8.7). Skizzieren Sie das Gebiet B im. und 4. Quadranten der (x,y)-ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = und r = und die Kurven y = x und y = x 4. Berechnen Sie für die Funktion f(x,y) = x +y das Doppelintegral über das Gebiet B 4. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = 4x(x )(y 4)+y (.8.7) (..8) 5. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B im. und. Quadranten der (x,y)-ebene, das begrenzt wird durch die Kreise um den Ursprung mit dem Radius r = und r = 5 und die Kurven y = πx und y = π x. (b) Berechnen Sie für die Funktion f(x,y) = x y das Doppelintegral über das Gebiet B 6. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = 4x (x )(y 4)+y (..8) (5.8.8) 9

92 7. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x,y)-ebene, das begrenzt wird durch die Funktionen y = 6 (x ) und y = (x ) 4 (b) Berechnen Sie für die Funktion f(x,y) = x y das Doppelintegral über das Gebiet B. Vereinfachen Sie ihr Ergebnis so weit wie möglich. 8. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = 4x (x )(y ) 5y (5.8.8) (7..9) 9. (a) Skizzieren Sie das Gebiet A in der (x,y)-ebene, das begrenzt wird durch die Funktionen y = x 4 und y = 4x 4 (b) Berechnen Sie für die Funktion f(x,y) = x y das Doppelintegral über das Gebiet A. I =. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion A f(x,y)da f(x,y) = (a x)(a y)(x+y a) (7..9) (8.8.9). (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x,y)-ebene, das durch die Ungleichung x + y x beschrieben wird. (b) Berechnen Sie mit der Funktion f(x,y) = ( x y ) das Doppelintegral B f(x,y)dxdy durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals. (8.8.9). Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = (x +y )e xy. Berechnen Sie die lokalen Extrema der Funktion f(x,y) = (x ) +y (x )y 4. (a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der (x,y)-ebene } B = {(x,y) x 9 + y <, x y x 9 (..) (.8.) (b) Berechnen das Doppelintegral f(x,y)dxdy, mit f(x,y) = xye x y B durch eine geeignete Parametrisierung des Integrals. (.8.) 5. (a) Berechnen Sie die Punkte, in denen die Tangente an die Kurve f(x,y) = x 4 +4y x y = parallel oder senkrecht zur x-achse verläuft 9

93 (b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Flächen, die durch die Funktionen xy = a, xy = a y = x, y = x eingeschlossen werden (5.8.) 6. Gegeben sei die Funktion f(x,y) = xye y x, x,y R (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f(x,y). (b) Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert von f(x,y) im Gebiet A = { (x,y) x y }. (..) 7. (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie das Doppelintegral { J = xyds mit B = (r,ϕ) ϕ π } 4, r acos (ϕ). B (b) Gegeben sei das Doppelintegral { } x x J = f(x,y)dy dx x Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und formulieren Sie das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge. 8. (a) Gegeben sei die Funktion f(x,y,z) = x +xy +sin (xyz) (..) Berechnen Sie das vollständige Differential von f(x, y, z) im Punkt P = (,, π) (b) Berechnen Sie die Tangente an die Kurve im Punkt P = (,) (c) Welcher Punkt der Fläche f(x,y) = x +y 9xy = z(x,y) = +(x y) hat den kleinsten Abstand zum Punkt P = (,,)? (.8.) 9. Berechnen Sie die Integrale (a) der Funktion f(x,y) = xy über das Gebiet, das von den Funktionen und der x-achse begrenzt wird. y = 6x, y = 6 x, y = x (b) der Funktion f(x,y) = x+y x über das Gebiet, das von den Funktionen +y und der x-achse begrenzt wird. r = x +y =, r(ϕ) = ϕ π, ϕ [π,π] 9

94 (.8.). (a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und berechnen Sie das Doppelintegral J = B ds = x/ dydx x Wie groß ist die Fläche, die von den beiden Funktionen, die das innere Integral begrenzen, eingeschlossen wird? Ist sie gleich dem Wert des Doppelintegrals J? Formulieren Sie weiterhin das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge. (b) Berechnen Sie das Doppelintegral { } J = ln(x +y +)dx dy y Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und berechnen Sie zur Kontrolle dessen Fläche, bevor Sie das Doppelintegral J berechnen.. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge im folgenden Doppelintegral Was ist q? (a) 4y (b) 6y (c) x (d) 8 8 x/4. (a) Gegeben sei die Funktion f(x,y)dydx = s q r p f(x,y)dxdy f(x,y,z) = x +xy +sin (xyz ) (7..) (7..) Berechnen Sie das vollständige Differential vonf(x,y,z) im PunktP = (,, π 4 ) (b) Berechnen Sie bei x = 4 die Tangenten an die Kurve (x +y +6) = 44x +96 (c) Welcher Punkt der Fläche z(x,y) = + 6 (x y) hat den kleinsten Abstand zum Punkt P = (,,)? (.8.). (a) Das Integrationsgebiet B des nachfolgenden Doppelintegrals sei gegeben durch die Fläche, die von den beiden Funktionen y(x) = sinh(x) und y(x) = e x 5 eingeschlossen wird. Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B und berechnen Sie das Doppelintegral J = xdxdy Wie groß ist die Fläche des Integrationsgebiets B? B 9

95 (b) Berechnen Sie das Doppelintegral J = B ( xy ) y x +y dxdy über den Bereich B : y x x, x. Beachten Sie, dass es sich hier um ein uneigentliches Integral handelt! (c) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) i. Gegeben sei folgendes Integral: x f(x, y)dydx Wie sieht das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge aus? A. 5 B. C. D. +y f(x, y)dxdy y f(x, y)dxdy y f(x, y)dxdy y f(x,y)dxdy ii. Im Punkt ( ) gilt für die Funktion f(x,y) = xy x y : >. Welche Aussage ist richtig? A. Die Funktion hat im Punkt ( ) ein Minimum B. Die Funktion hat im Punkt ( ) ein Maximum C. Die Funktion hat im Punkt ( ) weder ein Minimum noch ein Maximum. 4. (a) Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt P = ( ) der Fläche z = (x +y ) e y (b) Berechnen Sie die Extrema der Funktion f(x,y) = x 4xy +xy + (.8.) (4..4) 5. (a) Ein Flächenstück wird durch die Kurvenx =, y = x und y = a x +a berandet. (a > ) i. Zeichnen Sie die Funktionen für a = 4 in ein Koordinatensystem ein. Skizzieren Sie das beschriebene Flächenstück. ii. Berechnen Sie den Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Parameter a. (b) Berechnen Sie das folgende Integral: ( x +y +4) da A Das Integrationsgebiet A wird durch die Kreise um den Ursprung mit den Radien r = und r = begrenzt. (c) Zusatzaufgabe: Berechnen Sie die von den Kurven y = x, y = x, y = und x = eingeschlossene Fläche A. Skizzieren Sie das Integrationsgebiet und geben Sie das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge an. (4..4) 94

96 6. Es sei f(x,y) = x y und B : {x,y, x +y,y x }. a) Skizzieren Sie das Integrationsgebiet B. b) Berechnen Sie f(x,y) db B c) Wie lautet das Integral mit vertauschter Integrationsreihenfolge? Welches Ergebnis erwarten Sie? (9.7.4) 7. (a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f(x, y) = x y x y im Punkt ( z). (b) Gegeben ist das Gebiet G = {(x y) R x +y < }. Berechnen Sie (x +xy +y )e (x +y ) dxdy (c) Gegeben sei das folgende Gebietsintegral x= x y= G x y +5 dydx + x x= y= x y +5 dydx Erstellen Sie eine Skizze des Integrationsgebietes und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge. (d) Zusatzaufgabe Berechnen Sie das Integral aus Aufgabenteil c). (..5) 8. (a) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der folgenden Funktion f(x,y) = x y +xy 9xy (b) Gegeben ist das Gebiet G = {(x y) R x +y 4, y }. Berechnen Sie x 4 x y dxdy (c) Gegeben sei das folgende Gebietsintegral G x= x y= x f(x,y) dydx Erstellen Sie eine Skizze des Integrationsgebietes und vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge. (Sep. 5) 9. (a) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f(x,y) = x 4+ 4 y im Punkt ( z). (b) Gegeben ist das folgende Gebietsintegral: h(x) g(x) y x dydx Dabei sind g und h gegeben durch: { x für x g(x) = sonst { 4 x für x h(x) = sonst Skizzieren Sie zunächst das Integrationsgebiet und berechnen Sie das Gebietsintegral. 95

97 (c) Für die Funktion y = e x ist keine elementare Stammfunktion bekannt. Daher kann das Integral y e x dxdy in der Form nicht berechnet werden. Berechnen Sie es durch Umkehrung der Integrationsreihenfolge. (8..6) 96

98 4.4 Eigenwerte und Eigenvektoren. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: A = Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = 4 4 (4..998) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis.. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = (.8.999) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. 4. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = (.4.) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. 5. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = (7.7.) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. 6. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = (..) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. (8.8.) 97

99 7. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = 4 Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. 8. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix: A = 4 (6.7.) Müssen die Eigenvektoren von A zueinander orthogonal sein? Wenn ja, warum? Überprüfen Sie unter diesem Gesichtspunkt Ihr Ergebnis. 9. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Matrix: A = a 4 (7.4.) (a) Wählen Sie für a einen geeigneten Wert, damit A orthogonale Eigenvektoren besitzt. Begründen Sie Ihre Wahl. (b) Berechnen Sie mit diesem Wert von a die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren von A.. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems: A = 9+j j 9+j 4j j 4j 9+j (8.8.4) Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben. (6..5). Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems: A = j j Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben. Warum sind die Eigenwerte reell? Stehen die Eigenvektoren senkrecht aufeinander? Begründen Sie Ihr Ergebnis.. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems: A = 4+j j 4+j 6j j 6j +j (7.8.5) Die Eigenvektoren sind in normierter Form anzugeben. (7..6) 98

100 . Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems: A = Geben Sie die Eigenvektoren in normierter Form an. Was können Sie über die Eigenschaften der Eigenvektoren aussagen? Begründen und überprüfen Sie Ihre Aussage! (..7) 4. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: A = Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage! (.8.7) 5. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = j, j =. j Normieren Sie die Eigenvektoren. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage! (..8) 6. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix A = j j j, j =. j Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren. (5.8.8) 7. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix A = 4. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte, bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren. (7..9) 8. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix a a A = a, a R. a Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an. (8.8.9) 99

101 9. Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix A = 4. Welche Eigenschaften haben die Eigenvektoren? Begründen und verifizieren Sie Ihre Aussage! Im Fall mehrfacher Eigenwerte bestimmen Sie, falls möglich, einen zugeordneten Satz orthonormaler Eigenvektoren. (..). Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix A = Welche Eigenschaften haben die Eigenwerte, welche die Eigenvektoren? Gibt es dafür Begründungen? Wenn ja, geben Sie diese an. (.8.). Zeigen Sie, dass λ = j Eigenwert der Matrix 6 6 A = ist. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. (5.8.). Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A, geben Sie die zugehörigen Eigenräume an und kommentieren Sie Ihr Ergebnis: A = Gibt es einen Vektor v, der die Gleichung A v = v erfüllt? (..). Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A, A = und geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. Berechnen Sie eine Orthornormalbasis von Eigenvektoren und geben Sie eine orthornormale Matrix B und eine Diagonalbasis D an, so dass B T AB = D gilt. (.8.) 4. Bestimmen Sie eine orthornormale Basis des R, die aus Eigenvektoren der folgenden Matrix besteht: A = Können Sie schon vor der Eigenwert- und -vektorberechnung Aussagen über die zu erwartenden Eigenwerte und die Struktur der Eigenvektoren machen? Finden Sie eine Matrix Q derart, daß mit einer Diagonalmatrix D gilt: A = QDQ T 5. Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) (7..) Es seien A eine n n - Matrix und λ, µ R, λ µ zwei verschiedene Eigenwerte von A. Was ist richtig? (a) λ ist Eigenwert von A T

102 (b) λ ist Eigenwert von A (c) u sei Eigenvektor zum Eigenwert λ und v sei Eigenvektor zum Eigenwert µ. Dann sind u und v linear unabhängig. (7..) 6. (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die normierten Eigenvektoren der Matrix A = Berechnen Sie zudem A. Was kann man aus dem Ergebnis schließen? ( (b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix C = (AB) T) mit A = ( ), B =. (c) Die reelle ( )-Matrix A hat die Eigenwerte λ = und λ = sowie die Eigenvektoren ( ( x =, x ) = ) Bestimmen Sie A. (d) Alternativ- und Zusatzaufgabe (Antworten Sie ohne Begründung) i. Eigenwerttheorie A. Sei λ = ein Eigenwert der Matrix A. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A: deta = A: deta A: deta ist reell A4: keine Aussage ist richtig B. Sei A eine x Matrix mit dem charakteristischen Polynom p(λ) = λ(λ )(λ ) Welche der folgenden Aussagen ist richtig? B: A ist invertierbar B: Es gibt Eigenvektoren, welche eine Basis des R bilden. B: Jeder Eigenraum von A ist eindimensional B4: Das lineare System (A E) x = b mit b R hat genau eine Lösung C. Sei A = 4 4 Welche der folgenden Vektoren ist der Eigenvektor zum Eigenwert λ =? a) b) c) d) (.8.) 7. (a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Geben Sie die zugehörigen Eigenräume an. A = 4 4

103 (b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und geben Sie eine orthonormale Matrix P an, die A diagonalisiert. Wie sieht die Matrix P AP aus? (c) Man bestimme eine x- Matrix B so, dass,, die Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ =, λ = und λ =. (d) Zusatzaufgabe i. Was sind die Eigenwerte der Matrix A.,4,7 B.,4 C. -,,4 D. -,, ii. Sei A = 4. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix A? A. v = C. v = B. v = D. v = 4 (4..4) 8. Gegeben sei die folgende Matrix A = a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der Matrix A. b) Berechnen Sie die dazugehörigen Eigenvektoren und geben Sie diese in normierter Form an. c) Konstruieren Sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus u = (,,), u = (,,) und u = (,,) eine Orthogonalbasis { v, v, v } des R. Normalisieren Sie diese Vektoren danach zu einer Orthonormalbasis. d) Berechnen Sie die Eigenwerte von B 9 für 7 B = 8 4 e) Ist die Matrix B invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort. (9.7.4)

104 9. (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der folgenden Matrix 5 4 (b) Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren und geben Sie die Eigenräume an. (c) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf die Vektoren v = v = 7 v = an. (d) Zusatzaufgabe i. Sei A eine x Matrix mit reellen Einträgen. Das charakteristische Polynom lautet p(λ) = (λ )(λ + ). Welches der folgenden Polynome könnte ein mögliches charakteristisches Polynom für A T sein? A. p(λ) = (λ )(λ+) B. p(λ) = (λ+)(λ ) C. p(λ) = (λ )(λ+ ) D. keins der oberen (,5 Punkte) ii. Sei A eine x Matrix mit reellen Einträgen und dem Eigenwert λ = 4 j. Welcher der folgenden Eigenwerte ist ein weiterer Eigenwert von A? A. λ = 4+j B. λ = 4 j C. λ = 4+j D. keiner der oberen. (a) Gegeben ist die Matrix A = +j j 4 (..5) i. Welche Eigenschaften können Sie aus der Gestalt der Matrix ableiten? Berechnen Sie das charakteristische Polynom und zeigen Sie, dass λ = und λ = 4 Eigenwerte sind. ii. Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren und geben Sie die Dimension der Eigenräume an. iii. Finden Sie eine eine unitäre* Matrix S, so dass S AS eine Diagonalmatrix ist. Wie sieht diese Diagonalmatrix aus? (*: komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind) (b) Zusatzaufgabe i. Die Eigenwerte einer 4x4 Matrix A sind gegeben als ; -; und 7. Der Betrag der Determinante von A, det(a), ist dann: A. 546 B. 9 C. 5 D. kann nicht berechnet werden. ii. Wenn 4,5 4 ein Eigenvektor der Matrix ist, dann ist der 4 zugehörige Eigenwert:

105 A. B. 4 C. -4,5 D. 6 (Sep. 5). (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der folgenden Matrix +6j 6j A = +6j 6j 6j 6j 9+6j Berechnen Sie die zugehörigen normierten Eigenvektoren. (b) Man bestimme zu der folgenden Matrix B eine Matrix P, die B diagonalisiert, und man berechne P BP: B = (c) Zusatzaufgabe Kreuzen Sie die richtige Antwort an. i. Für eine diagonalisierbare Matrix gilt für einen Eigenwert, dass A. algebraische Vielfachheit < geometrische Vielfachheit B. algebraische Vielfachheit > geometrische Vielfachheit C. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit ii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. iii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. iv. Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar (8..6) 4

106 Kapitel 5 Lösungen Mathematik 5. Vektorrechnung. (a) ( q p) {( r p) ( s p)}. (b) A = 5.. A = (a) a b = c, a b, a c, b c, A = 5. (b) u = +λ, λ R. 4. (a) ( b a) ( c a), ( b a) ( c b), ( c a) ( c b), A = 5. (b) u = 5 +λ, λ R. 5. (a) ( q p) {( r p) ( s p)}. (b) A = (a) V =, C = ( 9,6,). (b) A =. 7. (a) A = 9. (b) V =. (c) h =. 8. (a) A = 5. (b) V = (a) d = 8, d = 6, γ 4.89, A P =. (b) δ (a) d = 65, d = 9, γ 75.94, A P = 6. (b) δ (a) d = 4 4, d = 6, γ 68.5, A P = a = (b) δ.58., b =, A = 8. 5

107 . a = 4, b =, A = (a) ( b a) {( c a) ( d a)} = (b) ( b a) ( c a), ( b a) ( d a) = (c) A = (a) ( b a) ( c a) =, A = 4 7 (b) u = +λ, λ R 6. (a) a =, b = cos(π 8 ) sin( π 8 ) (b) λ = (c) A = 4 sin( π 8 ) 7. (a) a = (b) λ = 8cos(ϕ), b = 4 cos(ϕ) sin(ϕ) mitϕ = π 5 (c) A = 7 4 tan(ϕ),77; α = ( c, d) 9,46 o ; β = γ 44,7 o 8. (a) nein (D / Ebene(ABC)) (b) nein (alle Seitenlängen verschieden) (c) α = ( AB, AC), o ; β = ( AB, BC) 6,89 o ; γ = ( AC, BC) 9,79 o A = 4+8,66, b =, λ = +, γ = ( c, d) 6,64 o 9. a = e =. a =, b =,V Spat = ( ) 45, (a) λ = (b) A =, c = +, d =, β = ( d, f) = 67,5 o (c) ja [in (x,x )-Ebene]. (a) ( a b) ( c d) = ( a b) ( c d) = 4 7 (b) F =. (a) ( a b) ( c d) = 76 (( a b) c) d = f =, α = ( c, f) =,5 o, 6

108 (b) λ = 5. (a) λ =, λ = 5 8 A allg = λ+ A λ = A λ = 8 (b) 4 a ( b c) 4. (a) λ =, a = 5 b c) (b) A = 5 5. keine Lösungsangabe 6. (a) i. a 5 b + c a b a c b c ii. a b 5 a c 9 b c (b) a b = b; a b = (c) d = ; d = + ; A = 5 F.E. 7. (a) c = 4 a b (b) 8. (a) d = i. Gleichung lösbar für k = ii. r = +λ (b) i. zu zeigen: PQ PR = s ii. d = s p s 9. (a) s = a +b + a b cos(γ) (b) i. d = 4+ (λ )+(λ ) ; d = λ+; ii. A = (λ+) F.E. iii. A = λ = (c) Die von den Vektoren a und b aufgespannte Ebene E liegt zu der von den Vektoren c und d aufgespannte Ebene E i. senkrecht ii. parallel. (a) Ansatz: ( u+ v) ( u v) =... (b) i. d(λ) = λ +λ+7 = (λ+) +6 ; d min = d( ) = 6 ; P(4,,) ist Lotfußpunkt des von C auf die Gerade gefällten Lotes ii. n = 4 ; Ebene ABC : 4 x = 7 7 iii. AD = n D in Ebene senkrecht zu ABC ; AD AB = ; V Tetraeder = 4. (a) C(x,y,z) = +λ 9 +µ 8 (b) a = oder ; b = oder b = ; c = 7

109 a = (c) c = (d) i. B) ii. A) iii. C) ; b = oder b = ; c =. (a) α = β (b) (c) i. S ( 5), S ( ) ii. keine Lösungsangabe i. falsch ii. wahr iii. wahr. (a) α = π 4, b = (b) i. R( 5 ) ii. g s : x = 6 +λ 6 8 iii. A( ) 4. (a) g refl. : x = 6 5 +λ 6 6 (b) i. Zu zeigen: AB AD = und AB = AD ii. C (- 5), M ( ) iii. Zu zeigen: SM orthogonal zur Ebene ABCD ; V = 7V.E. iv. Das Trapez ist gleichschenklig 5. (a) λ = ; λ = (b) h b = 6. (c) Zusatzaufgabe i. k = ; k = ii. < a n >: arithmetrische Folge, a n = a +n d mit a = und d = 5 < b n >: geometrische Folge, b n = b q n mit b = 4 und q = 4 6. (a) a = 4,b = oder a =,b = 5 (b) C(5 6 ), F(5 4), G(5 6 4), H( 6 4) Schattenpunkte in der x x -Ebene: E ( 6 ), F ( 6 ), G ( ), H ( ) 7. (a) Zu zeigen: Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden sind orthogonal. Gerade in Ebene für k =. (b) E( 4); A( 7 ); EA = 8. (a) b = (b) i. e: x +x +x = ii. L( 6 ) ; ML = (c) linear unabhängig 8

110 9. (a) i. e : g und e nicht parallel; Schnittpunkt S(- - 6). ii. g s : x = λ 5 4 (b) e : 7 4 x 7 = e : 7 4 x+7 = Ungleichungen. L = ], ] [ +, [. L = ], 7 ] [ + 7, [. L = 4. L = ] 5. L = [ ] 5, + 5 ], 7, ] [ + [ 7, ] [ +, 6. L = [ ( ), ( + )] 7. L = ], [ ], [ 8. L = ] ] [, [, L = ] 4, [ ], [. L = ], 4[ ], [. L = ], [ ]xs, [. L = ], [ ],. L = ], 5 [ ], [ ], [ 4. L = ], 5 [ ],+ 5 [ 5. L = 6. L = [ ], ], [ ], ],+ [ [ ], [ ] [ ] +, 7. L = ], 6 [ ],+ 6 [ 8. L = ],[ ], [ 5 ], [ ] 9. L =,. L = ], ] {} ],4] [ ],[ [ ], + [. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 5 (b) L = ] [ [, [ [ [ [,, + [,. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 5 [ (b) L = ], [ [ [ [ [ 5,, + [ 5,. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 5 (b) L = ] 5, [ [,[ ],[ ], [ 9

111 4. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 5 (b) L = ],] [ 6,+ 6 ] 5. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 5 [ ] ] ] (b) L =, 9 4, (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 54 (b) L = ],[ [, [ 7. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 54 ] ] [ (b) L =, ],] [ 6, 8. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 54 (b) L = ], [ ],[ [, [ 9. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 55 [ (b) L = [ ] ],, +. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 55 (b) L = ], 5[ ] 5, [ [,]. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 55 [ (b) L = ], [ [ ] ],, +. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 55 (b) L = ] 7, [ ] + 7, [. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 56 (b) L = ], [ ] +, [ ],+ [ 4. (a) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 56 (b) L = ], [ ], ] [,[ 5. (a) siehe (c) (b) siehe (c) (c) Skizze ] siehe Kapitel ] [ Abbildungen, Abschnitt, Seite 56 L =, + [, 6. (a) siehe (c) (b) siehe (c) (c) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 56 L = ], [ ], [ ], [ 7. (a) siehe (c) (b) siehe (c) (c) Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 57 L = ],[ ],[ ], [ 8. (a) siehe (c) (b) siehe (c) (c) Skizze [ siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 57 L = [ ] ] 5,, (a) siehe (c) (b) siehe (c) (c) Skizze [ siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 57 L = [ ] ],, +

112 5. Determinanten und Lineare Gleichungssysteme. (a) Unlösbar gdw. a =. Eindeutig lösbar gdw. a. (b) Für a = : x = 7 6, y = 5 6, z =.. (a) A = 766 (b) viele Lösungen; Gleichung ist das 4/-fache von Gleichung.. (a) A = (b) Eindeutig lösbar. 4. (a) A = (b) Eindeutig lösbar. 5. (a) Unlösbar gdw. a = 7. Eindeutig lösbar gdw. a 7. (b) Für a = : x = 7, y = 5, z =. 6. (a) viele Lösungen; x = 4 (b) A = abcd+4ab+4ad+4cd+6. +λ 7 8 8, λ R. 7. (a) Lösbar gdw. b = b b. Für b = b = b = : x = (b) Rg(C) = +λ, λ R. 8. (a) Lösbar gdw. b = b. Für b = und b = : x = (b) t = ; t / = ±j (a) Lösbar b R; +λ, λ R. x = fuer b 4 +λ 9 4,λ R fuer b = 4 (b) C = 6b; Rg(C) = { fr b = 4 fr b. (a) Lösbar b R; x = fr b 9 +λ,λ R fr b = 9

113 (b) C = a 4; Rg(C) = { fr a = /5 4 fr a /5. (a) Lösbar b R; x = 4 4 fr b +λ,λ R fr b = (b) C = b 4; Rg(C) = { fr b = 4 fr b. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a {,4}. In diesem Fall hat das hom. LGS viele Lösungen. Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a R\{,4}. In diesem Fall hat das hom. LGS nur die triviale Lösung. (b) L inhom = {} für a = 4 und L hom = für a =.. (a) Inhom. LGS unlösbar gdw. a {,}. In diesem Fall hat das hom. LGS viele Lösungen. Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a R\{,}. In diesem Fall hat das hom. LGS nur die triviale Lösung. (b) L inhom = für a = und L hom = λ 4. Lösbar gdw. a = b. Für b =, a = : x = +λ, λ R. 5,λ R für a =. 5. (a) eindeutig lösbar gdw. a b. viele Lösungen, wenn a = b. (b) Für a = und b = : L =. 6. C = b ( a); Rg(C) = { 4 fr b a fr b = a = 7. (a) Inhom. LGS hat viele Lösungen, wenn a = ; unlösbar gdw. a =. In beiden Fällen hat das hom. LGS viele Lösungen. Inhom. LGS eindeutig lösbar gdw. a R\{,}. In diesem Fall hat das hom. LGS nur die triviale Lösung.

114 (b) L inhom für a = : x = L inhom = für a =. 7 +λ 7, λ R 8. C = 6a +6a+8; d.h. C unabhängig von b { fr a { Rg(C) =, + } 4 fr a R\{, + } 9. (a) deta = gdw. a { 4 5 ;} i. a = : Inhom. LGS hat viele Lösungen; hom. LGS hat viele Lösungen. ii. a = 4 5 : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat viele Lösungen. iii. a R\{ 4 5 ;} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die triviale Lösung. (b) i. a = : x = +λ ii. a = 4 5 : L inhom = {} iii. a = : x = 4. (a) deta = , λ R i. hom. LGS hat viele Lösungen; inhom. LGS hat viele oder keine Lösungen ii. inhom. LGS ist lösbar, wenn a a +a = (b) gewählt: a = a =,a = x = +λ 4, λ R. C = a +a+; d.h. C und Rang C unabhängig von b { fr a { 5 Rg(C) =, + 5 } 4 fr a R\{ 5, + 5 }. (a) deta = gdw. a { ;8} i. a = 8 : Inhom. LGS hat viele Lösungen; hom. LGS hat viele Lösungen. ii. a = : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat viele Lösungen. iii. a R\{ ;8} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die triviale Lösung. (b) i. a = 8 : x = +λ, λ R ii. a = : x = 5. C = a +6a 7; d.h. C und Rang C unabhängig von b { fr a { ; + } Rg(C) = 4 fr a R\{ ; + }

115 4. (a) deta = gdw. a { ;} i. a = : Inhom. LGS hat viele Lösungen; hom. LGS hat viele Lösungen. ii. a = : Inhom. LGS hat keine Lösung; hom. LGS hat viele Lösungen. iii. a R\{ ;} : Inhom. LGS hat genau eine Lösung; hom. LGS hat nur die triviale Lösung. (b) i. a = : x = ii. a = : L inhom = {} iii. a = : x = +λ, λ R 5. LGSlösbar, wenn a+b = ; allgemeine Lösung für a = und b = : x = +λ 6. C = abcd+abc+acd+abd+bcd 7. deta = gdw. a {;8} (a) a = : LGS hat viele Lösungen; x = +λ, λ R ist eine allgemeine Lösung (b) a = 8 : LGS ist unlösbar (c) a R\{; 8} : LGS hat genau eine Lösung; Lösung für a = : x = 8. C = cd bcd+ac+abc 9. (a) wenn deta =, d.h. a { 9 ; + 9 } i. hom. LGS hat viele Lösungen: ( + + 9) ( ) x = λ ( ) ( 5+ +, λ R 9) 4 ii. inhom. LGS hat keine Lösungen, da Rg(A) = < Rg(A b) = (b) wenn deta, d.h. a R\{ 9 ; + 9 } i. hom. LGS hat genau eine Lösung, die triviale. ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung; für a = : x = det(a) = homogenes LGS: Lösungen, inhomogenes LGS: Lösungen oder unlösbar 4 Lösungen homogen: x = λ, λ R Lösungen inhomogen: (a) a 6 Rg(A) = < Rg(A b) = unlösbar 4

116 (b) a = 6 x = 4 5 +λ 4, λ R. Durch elementare Umformungen (i.w. Gauß-Algorithmus) auf Dreiecksform bringen; det(c) = 6π+4. deta = a (a) wenn deta =, d.h. a = : i. hom. LGS hat viele Lösungen : x = λ µ λ, λ,µ R µ ii. inhom. LGS : wenn b = : hom. LGS hat viele Lösungen (wie hom. LGS) wenn b : hom. LGS hat keine Lösung, da Rg(A) Rg(A b) (b) wenn deta, d.h. a i. hom. LGS hat genau eine Lösung: den Nullvektor ii. inhom. LGS hat genau eine Lösung: x = a b a b a a. Determinante vereinfachen und nach den bekannten Regeln umformen 4. (a) L = {(p,q) (,),(,)} (b) i. x = x 6 7 x = u+ 7 9 v 4 7 w 7 7 u+ 5 9 v + 7 w x 9 u v + 9 w ii. x = +w ( ) ( ) 5. (a) X =, X = ( ) ( ) x x X = z u u, X 4 = z z x z u ( ) ( ) x x X 5 = z u u, X 6 = z z x z u ( ) X 7 = z z für alle w R (b) det(a) = a a 4a+ = (a )(a+)(a ) det(a) = gdw. a {,,}. a = : nur lösbar, wenn b= ; x = λ a = : nur lösbar, wenn b= ; x = λ a =, b beliebig: x = +λ a = det(a) ; x = b b

117 6. det(a) = 5(a )(b ) a b Rg(A) = 4 a b = Rg(A) = a = b Rg(A) = a = b = Rg(A) = 7. (a) A = A ; A B = ; B = A+E (b) det(a) = 7(t t+8) t = : keine Lösung t = 9 : x = 5 +λ t t 9 : x = 8. det(a) = (x )(x )(x ) 9. (a) det(a) = a 8 5t+8 t t+9 t t i. wenn det(a) =, d.h. wenn a = : hom. LGS hat viele Lösungen inhomogenes LGS hat viele Lösungen oder keine Lösung ii. wenn det(a), d.h. wenn a : hom. LGS hat nur die triviale Lösung x = inhomogenes LGS hat genau eine Lösung (b) i. a = : homogen: x = inhomogen: x = ii. a (z.b. a = ): homogen: x = inhomogen: x = +λ 4. (a) b, a beliebig : genau eine Lösung b =, a = : viele Lösungen b =, a : keine Lösung (b) x = λ 4. (a) i. richtig ii. falsch iii. richtig +µ 5 4 6

118 iv. richtig (b) X = 4 4. (a) lösbar für rechte Seite b = (b) Lösungsvektor x = λ λ b b b b 4 (c) i. eindeutig lösbar für λ R \{ ;} ii. keine Lösung für λ = iii. viele Lösungen für λ = 4. (a) i. A. richtig B. falsch C. falsch D. richtig E. falsch ii. A. Inverse nicht zwingend existent B. Inverse existent C. Inverse existent D. Inverse existent E. Inverse existent F. Inverse existent (b) zu zeigen: P P = E 44. (a) a =, b = (b) A = 6 b (c) (d) wenn b = 4: x = wenn b = 4: x = +λ wenn b = 4: x = i. 6 ii. 7 iii. 8 mit 6b b +b +b 4 = ; nicht für beliebige rechte Seiten lösbar +λ i. wahr ii. mögliche Werte für den Rang sind und 45. (a) a =, b = 9, c = (b) a =, b =, c = (c) (d) i. Spalte und Spalte linear abhängig ii. Spalte = Spalte i. A. wahr B. falsch C. wahr D. falsch ii. A. falsch 7

119 B. wahr C. falsch D. falsch 46. (a) λ =, λ =, λ = (b) A = (a) unendlich viele Lösungen, wenn t = ; Lösungsmenge: x = kein Lösung, wenn t genau eine Lösung: nie +λ (b) A = E A = A, A = ; A = (c) Berechnung Determinante und Vergleich 48. (a) L = {a a R\{,,}} (b) a = 8 (k 9), b = 4 ( 5k +), c = k. (c) i. det(a) = 89 ii. det(a ) = 7 iii. det(a T ) = 56 iv. det((a) ) = (a) x = a b c (b) det(a) = 9 = 6 +λ 9 (c) Anwendung Additionstheorem in Spalte, Umformungen Spalten und als Summe Spalte (d) ii. 5. x = ; y = ; z = 5. (a) nur lösbar, wenn t = 4 x =, x = 4, x = (b) x = x = x = (c) Zu zeigen: det(a) = A nicht invertierbar (Addition Zeile zu Zeile ergibt Zeile ) 5. x = ; y = 8 ; z = 8 5. (a) nur lösbar für t {, } Lösungsmenge für t = : x = Lösungsmenge für t = : x = (b) A = (a+)(a ) (c) a+ +λ +λ a+ a+ Inverse existiert, wenn a R\{, } i. richtig ii. falsch iii. richtig iv. richtig +µ +µ 8

120 b +b 54. (a) i. x = b 9 8 b + 8 b b 5 8 b 8 b +λ ii. x = +λ 4 4 (b) t = ;s = ; x = 8 5 (c) Zusatzaufgabe i. Antwort C ii. Antwort B und D 55. (a) keine Lösungsangabe (b) i. det( A) = 6 ii. det(a ) = 8 iii. det(a T ) = 54 iv. det(a ) = 5.4 Funktionen. (a) L = { } (n+)π n Z (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x { }. (a) L = (n+)π n Z (b) Verwendung von cos(x) = sin (x).. Verwendung von cos(x) = ejx +e jx. 4. Verwendung von cos(x) = ejx +e jx und sin(x) = ejx e jx 5. (a) L = { } (n+)π n Z { (m+)π 4 m Z } j.. (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x. 6. (a) x = /8 e 5/4 (b) L = { } ± π 4,±π,±π 4,±5π 4,±π,±7π 4 { } 7. (a) L = {nπ n Z} (m+)π 4 m Z (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x. 8. (a) L = { nπ n Z} (b) Verwendung der Additionstheoreme cos(α±β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) und sin(α±β) = sin(α) cos(β)±cos(α) sin(β) 9. (a) L = { nπ n Z} (b) Verwendung von sin(x) = ejx e jx j.. (a) L = { nπ n Z} (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x.. (a) L = { nπ 4 n Z} (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x. 9

121 { } { } { }. (a) L = (n+)π n Z (6m+)π m Z (6m+5)π m Z (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x. (a) L = {n π n Z} { } (6m+) π m Z. { (6l+4) π l Z (b) Verwendung von cosh(x) = ex +e x und sinh(x) = ex e x { } 4. (a) L = e4 6 8ln(), e4+ 6 8ln(). (b) Verwendung von cos(x) = ejx +e jx und sin(x) = ejx e jx { } 5. (a) L = ln(+ ) j. (b) Verwendung von cos(x) = ejx +e jx und sin(x) = ejx e jx j. 6. (a) L = { ln(+ 5) } (b) Verwendung von cos(x) = ejx +e jx und sin(x) = ejx e jx } 7. (a) L = { (b) L = 8. (a) x = { (n )π n Z ln( ) ln( ) (b) L = {nπ n Z} 9. (a) x = { (b) L = } { } (m )π 4 m Z j. { } (+8m)π 4, (+8m)π 4, (5+8m)π 4, (7+8m)π 4 m Z ln( a ) ln() a R + \{} arcsin( 5++k π,arcsin(. x = ln() ln() ln(+a) ln(a) ln(). (a) i. f(x) = ln(x) ii. f(x) = x +x (b) L = { ln(c c 4ba α+β ln() αln(a) ln(a) { }. (a) L = {kπ,k Z} (l+)π 4,l Z (b) r =, a = 4, b = 9 4. (a) L = { e,e } (b) L = { kπ,k Z} 4. (a) i. L = {,} ii. L = {9} (b) r = 5 ; a = 4; b = 4 5. (a) f(x) = x +x, D max = R + (b) i. x = ln( b a ), ln(c+ ii. x = iii. x = ln(+ ), x = ln( ) (c) keine Lösungsangabe 6. (a) y = ex e x + } 5++k π k Z } c 4ba α+β ln() αln(a) ln(a) (b) L = { kπ π 4,k Z} (c) Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktionen cosh(x) und sinh(x). }

122 7. (a) Anwendung ln(a)+ln(b) = ln(a b) und (a+b)(a b) = a b (b) Verwendung der Definition der hyperbolischen Funktion cosh(x) = ex +e x 8. (a) x, = (b) wie 7 (a) (c) L = { π +kπ, π 6 +kπ, 5π 6 (d) i., iii. +kπ,k Z} (e) i.: M(,4),r = 5 iv.: M(, 5),r = 4 9. (a) L = { } ; { (b) L = } ; + { } (c) L = {kπ,k Z} (k+) π 4,k Z (d) i. Kreis um M( ) mit Radius r = 5 ii. Hyperbel mit Halbachsen a = und b = (e) a n = n n+,n N. (a) x = ; x = ln() (b) x = e 5 ; x = e + 5 (c) Einsetzen von sin(z) = ejz e jz j 5.5 Komplexe Zahlen und cos(z) = ejz +e jz liefert Behauptung.. z = 5, arg(z) = arctan(). Für w = z: w.7+.45j und w = w.. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8 (b) z = +j; z = +j ; z = j; z 4 = j. (a) Verwendung der Polarform von z und z. (b) z.87+.7j; z.8+.8j; z j; z 4 = z ; z 5 = z ; z 6 = z ; z j; z j; z j; z = z 7 ; z = z 8 ; z = z 9 4. (a) Verwendung der Polarform von z und z. (b) z.7+.j; z.+.7j; z = z ; z 4 = z 5. (a) Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8 (b) z.9+.6j; z = z ; z.95.86j; z 4 = z 6. (a) z j; z.8+.9j; z.9.8j (b) (x a) +(y b) < r Zeichnung: siehe Abbildungung in Kapitel 8 7. (a) z = j; z = j; z = j (b) z = j 8. (a) z.8+.9j; z.9+.8j; z = z ; z 4 = z ( ) (b) z = sin()cos() cos ()+sinh () sinh()cosh() j cos ()+sinh () 9. (a) z j; z.8 +.9j; z.9.8j; z j; z j; z 6.8.9j (b) z = j. (a) z = 5 4 (b) z j; z. +.95j; z = ; z 4..95j; z j;

123 . (a) z = 4 j (b) z.99 +.j; z.9 +.9j; z =.6 +.8j; z 4 = z ; z 5 = z ; z 6 = z ;. (a) a = 5 j; a = ; arg(a) 5,7 9,6o (b) z.9+.96j; z = j z ; z = z ; z 4 = z. (a) a = 4 j; a = 4 ; arg(a) = π (b) z,48 +,6j; z = j; z,48 +,6j; z 4,9,4j;z 5,9,4j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 4. (a) a = j; a = 6 6 ; arg(a),944 68,7o (b) z,7+,j; z = j z ; z = z ; z 4 = z Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 5. (a) a = j; a = 65 5 ; arg(a),9 7,o (b) z,6+,j; z,76+,88j; z,8,47j; z 4,,7j; z 5,5,6j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 6. (a) z a = 7 + j; z a = ; arg(a), 7,9o (b) z b,+,7j; z b,7+,j;z b,,7j;z b4,7,j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 7. (a) a = j; a = 8 4 ; arg(a),895 6,9 o (b) z b,8+,4j; z b,8,4j;z b,94,58j; z b4,94+,58j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 8. (a) a = j; a = 7 5 ; arg(a),8 (b) z b,6+,97j; z b,6,97j;z b,7,9j; z b4,7+,9j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang 9. (a) keine Lösungsangabe (b) z = (cos( π 9 )+jsin(π 9 )),8+,4j; z = (cos( 7π 9 )+jsin(7π 9 )),96+,8j; z = (cos( π 9 )+jsin(π 9 )),,4j; Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang. (a) Menge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang (b) b,46+,j; z,,8,4j; z, +,8+,4j b,55,j; z, +,94,55j; z,,94+,55j Lage der Lösungen: siehe Zeichnung im Anhang. (a) M : y x + ; M : ( x 4 ) +( (y+) 4 ) Schnittmenge in der komplexen Ebene siehe Zeichnung im Anhang (b) i. R(z) = 64 ; I(z) = 64 ii. R(z) = 7 4 ; I(z) = 4 iii. z = 4 (cos( π 8 )+jsin(π 8 )),99+j,455 z = 4 ( cos( π 8 ) jsin(π 8 )),99 j,455. (a) i. R(z) = 64 ; I(z) = 64 ii. R(z) = ; I(z) = 8 iii. z : Re(z ) = 6 cos 7π,9 ; Im(z ) = 6 sin 7π z : Re(z ) = 6 cos 5π,79 ; Im(z ) = 6 sin 5π z : Re(z ) = 6 cos π,8 ; Im(z ) = 6 sin π (b) z = y +jy = x jx,8,79,9. (a) Spirale um Ursprung; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 6

124 (b) i. R(z) = 8 7 = 7496 ; I(z) = R(z) ii. R(z) = 4 ; I(z) = 4 iii. z = 4 (cos( π 8 )+jsin(π 8 )),99+j,455 z = 4 ( cos( π 8 ) jsin(π 8 )),99 j, (a) Schnittmenge zwischen dem Bereich R(z) > und dem Kreis um M( ) mit Radius r = ; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 6 (b) R(z) = 75 5 ; I(z) = 45 6 ; z = 6; z = j75 7 ; z = 5 44 (c) z = ; z = j ; z = ( j); z 4 = ( j) 5. (a) z = +j ; z = j ; z = j ; z 4 = +j Die Lösungen z und z 4 sind jeweils konjugiert komplex zu z und z ; sie liegen also zu diesen spiegelsymmetrisch zur x-achse. (b) R(z) = 7 6 ; I(z) = (a) (z ++j)(z + j)(z +)(z ) (b) a = x ( 7 x + 5)j; Bedingung: x = R(z),y = I(z) beliebig; für a R : a = 5 7, x = R(z) = 7 ; y = I(z)beliebig; (c) z = 5±5 j (d) f(z) = R(z) z = x x +y 7. (a) z = +j ; z = j (b) Bereich zwischen der y-achse, der Geraden y = x und dem Kreis um M( -) mit Radius r = ; Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 6 (c) Verwendung der Beziehungen sin(z) = ejz e jz e y e y und cosh(y) = ey +e y (d) Es gibt 4 verschiedene Lösungen (, -, j, -j) (e) a =,b = 8. (a) z = +j ; z = +j ; z = 4j (b) Mit Einsetzen von j = und j 9 = j folgt Behauptung (c) a = b = 9. (a) R(z) =,I(z) = j, cos(z) = ejz +e jz, sinh(y) = (b) i. z j = : Kreis um M( ) mit r = z +j = : Kreis um M( ) mit r = M = Schnittpunkte beider Kreise = {( ),( )} ii. M = {z C R(z) <,I(z) beliebig} (. und. Quadrant der komplexen Ebene) (c) z = 8 [cos( π 6 )+jsin(π 6 )] = R(z )+j I(z ); mit sin(φ+ π ) = cos(φ),cos(φ+ π ) = sin(φ),, folgt: z = I(z )+j R(z ), z = R(z ) j I(z ), z 4 = I(z ) j R(z ); (d) Skizzen zu b) und c): siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 6 i. richtige Antwort: D ii. richtige Antwort: B

125 Kapitel 6 Lösungen Mathematik 6. Differentialrechnung. f (x) = sin(x) x cos(x) + cos(x) x cos(x) ( sin(x)ln(x) + cos(x) x ) + x ln(x) ( ln(ln(x)) x + x ln(x) ). f (x) = cos(x) x sin(x) +sin(x) x sin(x) (cos(x)ln(x)+ sin(x) x ). f (x) = 4x cot(x 4 ) 4x7 sin (x 4 ) +xarctan( x x ) x + 4. f (x) = x (cot(x 5 )+arccot( x )) 5x7 sin (x 5 ) + + x 4 5. f (x) = x cosh(x )ln (ax)+sinh(x ) ln(ax) x +xcos(x ) 6. f (x) = 5x 4 coth(x)ln(bx) x5 ln(bx) sinh (x) +x4 coth(x)+4x sin(x 4 ) 7. f (x) = x a e ax [ asinh(4x) x +4cosh(4x)+asinh(4x)]+x(sin (x ) cos (x )) 8. f (x) = xa e x [ acosh(ax) x +asinh(ax) cosh(ax)] 4x (cos (x 4 ) sin (x 4 )) 9. f (x) = xb e ax [ bcos(4ax) x 4asin(4ax) acos(4ax)] 4xsinh(x )cosh (x ) xsinh (x ). f (x) = bxb x tan(x )+ x(b+) cos (x ) 4x arccot( x ) x + x 4. f (x) = xb e (ax) [bsin(4bx) x +4bcos(4bx) axsin(4bx)] 8x sinh(x 4 )cosh (x 4 ) 4x sinh (x 4 ). f (x) = x ln(ax) e ln(ax) +bcos(bx)x tan(x) +sin(bx)x tan(x) ( ln(x) cos (x) + tan(x) x ). f (x) = x (ln(ax)e(ln(ax)) ) sin(x )+x cos(x ) sin (xsin(x )) 4. f (x) = sin(x)ln(x) sin(x) +cos(x)ln(x) sin(x) (cos(x)ln(ln(x))+ sin(x) xln(x) ) ex sin(e x cos(x )) (cos(x ) x sin(x )) 5. f (x) = cos(x)arctan(x) (xn) +sin(x)arctan(x) (xn) ( nxn ln(arctan(x)) x + x n arctan(x) (+x ) )+ e (x) (x cos(x) sin(x)) e cos(x) e(x ) 6. f (x) = xsin(x )(x) cos(x) +cos(x )(x) cos(x) [ cos(x) x sin(x)ln(x)] xsin(sin(x ))cos(x ) 7. f (x) = sin(x)e cos(bx) bcos(x)cos(bx)sin(bx)e cos(bx) +cos(sin(sin(x) ))cos(sin(x) )sin(x)cos(x) 8. f (x) = sin(x)tan(x) ln(x) +cos(x)tan(x) ln(x) ( x ln(tan(x))+ ln(x ) sin(x)cos(x) ) +cot(x )(cos(x) xsin(x) sin (x ) )esin(x)cot(x ) 4

126 9. f (x) = ( xsin(x ) ln(sin(x ))+ xcos (x ) sin(x ) ) sin(x ) cos(x) + sinh(x) e sinh(x) (sinh(x)+cosh (x)) (cosh(x)e sinh(x) ) cosh(x) cosh(x)e sinh(x). f (x) = xcos(x )e cos(ax) ln(bx) bx +sin(x )( asin(ax)ln(bx)+ cos(ax) x b)e cos(ax)ln(x) bx cos(cos((e x ) )) sin((e x ) ) e x. f (x) = acos(ax) sin( sin(ax)) b sin(bx)e (cx ) n +cos(bx)e (cx ) n n(cx ) n sin(ax) x [. f (x) = e (xn ) cos( x) cot(x ) x sin( x) x sin (x ) +sin( ] x) cot(x ) nxn x x sin(e sin(x) )e sin(x) cos(x ) [. f (x) = xcos(x ) ) asin(bx)ln(cx) + sin(x ) ln(a) sin(x sin(x) 4. f (x) = 6x (4x +) cosh( 4x 4x + ) 4 a sin(a x+e ax )(+a e ax ) acos(a x+e ax ) x+e ax bcos(bx)ln(x)+ sin(bx) x ] a sin(bx)ln(cx) 5. f (x) = bcos(x)sinh(ln(atanh(bsin(x)))) sinh(bsin(x))cosh(bsin(x)) +b cos(bx)[ sin(cos (x))cos(x)sin(x) cos(cos (x))bln(b)sin(bx) ] 6. f (x) = xe x (x +) x ; f (x) = xe x (4x 4 +8x ) 4 x 7. t(x) = x 5 9 x = 5 6 ; f(x ), 8. (a) s(x) = x+ (b) t(x) = x+ (c) P = ( ; ) ; P = ( ; ) 9. a =, b = ln(); f(x) = x. (a) Maximale radiale Abweichung = 4 (b) f () =. (a) a = e, b = e 4, c = e 4 (b) P( ) (c) Anwendung des. Mittelwertsatzes der Diff.-Rechnung auf die Funktion f(t) = ln(t + +t ) mit f (t) = +t und Nutzung der (fallenden) Monotonie der Funktion g(ξ) = für < ξ < x +ξ. (a) a =, b = (b) C( ) (c) f (5) (x) = e x. (a) a = 4, a = 4 (b) Schnittpunkt aller Tangenten an der Stelle x ist x s = x, unabhängig vom Wert für a. (c) Anwendung des Satzes über den Zusammenhang zwischen Ableitung einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion φ (y) = f (x) 4. wie (a) P ( π ln), P ( π ln ), P ( ln), P 4 ( π ln ), P5 (π ln) (b) Dreiecksfläche in einem vorgegebenen Intervall [, b] maximal, wenn u = b. (c) f (x) = e cos(bx ) [ sin(x) bxcos(x)sin(bx ) ] + + x cos(x )cos(sin(x ))cos(sin(sin(x ))) 6. (a) P ( ), P (4 ) 5

127 (b) da f (x) monoton fallend, folgt für < ξ < x: f () = > f (ξ) > f (x) und daraus mit f (ξ) = f(x) f() x die Behauptung. (c) = f(,) t(,) = 5 [ ] (d) f (x) = sin(x)ln(x) sin(x) +cos(x)ln(x) sin(x) cos(x)ln(ln(x))+ sin(x) xln(x) sin(e x cos(x )) [ e x cos(x ) x e x sin(x ) ] 7. (a) t(x) = x π (b) i. a = 4 ii. f Ortskurve (x) = e x (Hyperbel) iii. ax e ax dx = e (c) P( 6 6 ) (d) i. df dx = xcos(x ) sin(x ) asin(bx)ln(cx) + ln(a) sin(x ) a sin(bx)ln(cx) [bsin(bx)ln(cx)+ sin(bx) sin(x) df da = sin(x ) sin(bx)ln(cx) asin(bx) ln(cx) a df db = sin(x ) a sin(bx)ln(cx) x cos(bx)ln(cx)ln(a) df dc = sin(x ) a sin(bx)ln(cx) sin(bx)ln(a) c ii. Anwendung g (y) = f (g(y)) = f (x) x ] 8. (a) x s = b (b) a = e ; b = e 4 ; c = e 4 6. Grenzwerte. GW =. GW =. GW = 4. GW = GW definiert, wenn a 4 6. GW = 7. GW = 8. GW = 9. GW =. GW =. GW =. GW = a b. GW = a b 4. GW = a b 5. GW = a 4b 4 6. für a = : GW nicht definiert für a : GW = 7. für a = : GW nicht definiert für a : GW = 8. GW = a b 6

128 9. GW = 5 6. GW =. GW = a. GW =. GW = 4. GW = 6 5. GW = 6. GW = 7. GW = a, a 8. GW = GW =. GW =. GW =. GW =. (a) GW = (b) GW = e 4. wie GW =, wenn c <, wenn c =, wenn c > e, wenn f(x) = x e, wenn f(x) = e x, wenn f(x) = coth(x) 6. (a) Zeichnung ( Kardiode: siehe) Kapitel Abbildungen, Abschnitt, Seite 6; lim cos (φ) cos(φ)+ x π sin(φ)+sin(φ) = ; die x-achse ist Tangente im Punkt P( ). (b) GW = (c) a = 5 4, b = 4 7. GW = 8. GW = 6. Integrale. A = 5 sinh5 (x)+ sinh (x)+sinh(x)+c = 5 cosh4 (x)sinh(x)+ 4 5 sinh(x)cosh (x)+ 8 5 sinh(x)+c B = 4 ln(b) x4 ln(x) 6 ln(b) x4 +c C = 5 arctan(x+ 5 )+ln( x )+c. A = cosh5 (x) cosh (x)+ cosh(x)+c = sinh4 (x)cosh(x) 5 cosh(x)sinh (x)+ 4 5 cosh(x)+c B = ln(4a) x ln( x ) 9 ln(4a) x +c C = 4 9 arctan( x+ 9 )+ln( x )+c. A = 4 arsinh(4 ln( x ))+c B = ln(ln( x )) ln( x ) ln( x )+c C = C = x+ ln( x )+ 4 ln(x +)+ arctan(x)+c 7

129 4. A = 8 arcsin( ln(x ))+c B = 4 x4 ln ( x ) 8 x4 ln( x )+ C = x+ 4 x4 +c ln( x ) 4 ln( x+ )+ln( x+ )+c 5. A = sin(x) cot(x) x+c = tan( ) x+c x B = x (sin(ln( x ) cos(ln( x ))+c C = x+ln( x ) (ln( x +x+ ) arctan( x+ )+c 6. A = 8 B = x ln ( 4x ) x ln( 4x )+ 4 x +c C = ln( x+ ) 6 (ln( x x+ )+ arctan( x )+c 7. A = ln() B = cos(x) ln(cos (x))+cos(x)+c C = arctan(x 4 ) 5 (ln(x +6) arctan(x 6 6 )+ 5 (ln(x +6)+c 8. A = x +x ln( x+ + x +x )+c B = δ δ +ω exp( δt) cos(ωt)+ ω δ +ω exp( δt) sin(ωt)+c C = 48 ln( x )+ 5 ln( x+5 ) 7 6 ln( x+7 )+ x+7 +c 9. A = 64 arctan( 4 ex )+ 9 8 arctan( 4 ex )+c B = 5 5 artanh( tan(x ) ) )+c 5 C = 4 ln( x+ )+ 7 5 ln( x+ ) 45 ln(x +6)+ 4 7 arctan(x 4 )+c. A = x 4x+7+arsinh( x )+c = x 4x+7+ln(x + (x ) +)+c B = δ δ +ω exp( δt) sin(ωt) ω δ +ω exp( δt) cos(ωt)+c C = 45 ln( x+ ) 45 ln(x +6)+ 45 arctan(x 6 )+c. A = 4 sin(x)+ 8 ln( sin(x) )+ 8 ln( sin(x)+ )+c B = xtan(x)+ln( cos(x) )+c C = 5 6 ln( x+ )+ 9 5 ln( x+4 )+ 5 ln(x +9) arctan(x )+c. A = ln( sin(x)+ ) 6 ln( sin(x) ) ln( sin(x)+ )+c B = xcot(x)+ln( sin(x) )+c C = ln( x ) 5 ln( x )+ 7 ln( x +x+ ) arctan(x+)+c. A = ln( tan( x )+ )+c B = xcos(ln( x ))+ xsin(ln( x ))+c C = x+ln( x ) ln( x+ )+ x+ +c 4. A = ln( sin(x) ) ln(sin(x)+)+c B = xcot(x) x +ln( sin(x) )+c C = 5 ln( x+ ) 5 x+ 5 ln(x +4) 5 arctan(x )+c 5. A = 6 cos(x ) 8 cos(x )+c = 9 cos (x )+c B = ln() ln()+n ln( ) n n,,48n 6. A = 4 artanh( cos(x ))+c B = ln(+cos(x)) cos(x)ln(+cos(x))+cos(x)+; B( π ) B(π 4 ).676 C = 5 ln( x )+ 5 ln( x+ ) 6 ln(x +9)+ 9 arctan(x )+c 7. A = ln(sin(x )+)+c 8

130 B = 7 ln(7) 7ln() C = ln(x +x+4) arctan(x+ ) ln( x+ ) ln( x )+c 8. A = [ cos (x )+ cos(x )] = π B = +x arctan(x) arsinh(x)+c { x A = x artanh(x + x +4)+c, wenn x < x +4 x arcoth(x + x +4)+c, wenn x > x B = sin (x) xcot(x)+ln(sin(x))+c C = x +x ln(x +) arctan(x)+ln(x ))+c. A = ln(tan (x)+) ln(5+tan(x))+x+c B = xln( x+ +x)+ arcsin(x) x+c C = 4 ln(x) x x 4 ln x. A = ln(),86 x +c B = 5 4 ln(4 6 ) ln() π +arctan(5 4 ),44. A = ln(tan(x)+) 4 ln(tan (x)+)+ x+c B = x arsinh(x) x ++c C = x x + ln(x +)+arctan(x)+c. A = ln(tan(x)+)+ 4 ln(tan (x)+)+ x+c B = sinh(x)ln(+e x ) ex + x+c C = ln(x)+ x +ln(x )+ x +c 4. A = 4 π arctan( ),45 B = xcoth(x)+ln(sinh(x))+c 5. A = ab arctan(atan(x) b )+c [ [ B = e bx bx sin(ax) a +b b a (a +b ) ]+e bx cos(ax) 6. A = ln(cos(x))+ x cos (x) +c B = cos (x) xtan(x) ln(cos(x))+c ax a +b + ab C = ln(x )+ 5 ln(x )+ 5 ln(x +) 5 arctan(x)+c 7. A = x+ 4 x 4 9 ln(+ x)+c B = (a +b ) ]+c 8. A = artanh( x )+c = ln( x ) ln( x +) B = x ln(x +) 8 x + 6 x 6 arctan(x)+c 9. C = π. A = a cot (aln(bx)) a ln(sin(aln(bx)))+c B = 5 (x+) 4[ 5 (x+) 6 (x+) ] 65 (x+)+ 7. C = x +x+ln(x+)+ ln(x +x+5)+ arctan(x+ )+c Zusatzaufgabe: C = 8 ln(x +x + x x + )+ 4 arctan(x )+ 4 arctan(x +)+c. (a) A = 5 (cos(x) )5 (cos(x) ) +c B = xsin( x)+cos( x)+c (b) Zusatzaufgabe i. b) 9

131 ii. d) iii. c) iv. f) v. a) vi. c). (a) A = 88 5 e x x + +c B = (b) Zusatzaufgabe i. D. ii. e) 4. C = arctan(x)+ x x + +c 5. (a) A = tan(x)+c B = x+sin(x) cos(x) sin (x) +c C = ln(x )+ ln(x x+)+arctan( x )+c (b) Zusatzaufgabe: Antwort d) 6. (a) A = 7 ( 4 x) 7 ( 4 x) 4 +c B = sin(x) [ 7x x ] +cos(x) [ 7 x ] +c (b) Zusatzaufgabe: V = 9π 7. wie wie A = x /arctan(x )+c B = e x+ [ x+ ] +c C = x /arctan( x )+/arctan( x+ )+c 4. A = B = x sin (x) xcot(x)+ln(sin(x)) 4. A = 4 arcsin (x )+c B = x artanh(x)+ ln( x )+c C = 5 ln(x ) ln(x )+ 5 ln(x +) 5 arctan(x)+c 4. A = 4 +ln() ln() B = x ln(8x ) x ln(8x )+ 9 4 x +c C = ln(x+) 7 ln(x+) 4 ln(x x+)+ 4 arctan(x )+c 6.4 Taylorreihen. f(x) = x! x 4! + x5 6! +R 4(x 7 ). f(x) =! x 5! +R (x 4 ). f(x) = x5 + 4 x x5 +R 5 (x ) 4. f(x) = x5 + 9 x 4 8 x5 +R 5 (x ) 5. f(x) = 4 x 48 + x4 44 +R 4(x 6 ) 6. I = π/6 (4 6 x x x6 )dx,86... R 5 (x) T 5 = 4 8! (π 6 )9, I =.6 (x x! + x5! x7! )dx,5... T 4 =.68 48,5

132 8. I =.9 ( x! + x5! x9 5! + x 7! )dx, T 5 = !, 8 ;I exakt =, ; =, I =.9 ( x + x7 5 x x x9 )dx, T 6 = ,7 5 ;I exakt =, ; =,4 5. f(x) = x x5 + 9 x9 4 8 x x7 +R 6 (x ), T 5 = 4 7 4!.6 7,4 5 ;f 5 exakt (.6) =, ; =, 5. I =.5 ( x x x x6 +R 5 (x )dx,9... T = ,4 4 ; I,I 6. I =.5 (! 4! x ! x8 8! x +R 5 (x 6 )dx, T 4 = 8!.5,. I = π (! x +! x7 5! x + 7! x5 9! x9 +R 6 (x ))dx, T 6 = π4 4 4!, 8 ;I exakt =, ; = I = π 4 (! x8 4! x4 + 6! x 8! x6 +R 5 (x ))dx T 4 ( π 4 ), 9 > F ; T 5 ( π 4 ),8 < F ; 4Terme erforderlich ; I exakt =, ; T4,exakt 5. I =.5 (x 4 x6 + 5 x9 5 8 x x5 +R 6 (x 8 ))dx,56... T 5 = I =.. (x x +! x! x + 4! x 5! x + 6! x +R 7 (x 4 ))dx,85... T 6 = 5! ( ), 5 7. I = x x 48 x5 +R(x 7 ), T = 48 (π 6 ) I 6 = x 4 x8 + 7 x 7 79 x x 96 x8 +R(x ), T 4 = 7 79 (,4)8 6,6 F T 5 = (,4) 4,4 F ; I 4 =, P 4 (x) = x+ 4 x + 4 x x7 +R(x 9 ) f() =,5574 ; f() P 4 () =,6 < F; f() P () =,9 < F ; f() P () =, > F ; Terme erforderlich.. I T5 = ( x+ x 6 x4 + x5 x 6 +R 6 (x 7 ))dx, I exakt =, ; T5,exakt,67 5 < F. P 4 (x) = x+ x + x x4 +R(x 5 ); R 5 (x) = 6. P (x) = x x +R(x ). (a) T a (x) = 4 4 x + 4 x 4 x + +( ) n+ 4 4 x n + ; n Konvergenzradius: 4 < r < 4 (b) T b (x) = 5 x 5 + (x ) 5 (x ) 5 + +( ) n (x ) n ; n+ Konvergenzradius: 4 < r < 6 (x ) 5 + (c) T c (x) = ln(5)+ x 5 Konvergenzradius: 4 < r 6 (x ) 5 (x ) ( ) n+ 4 n (x 5 )n + ; (d) Konvergenzradius in allen drei Fällen durch die Polstelle in den Ableitungsfunktionen bei x p = 4 nach unten beschränkt. 4. (a) T (x) = x + x x + x 4 + = n= ( )n x n ; Konvergenzradius: < x < T (x) = x 9 + (x ) 7 (x ) 8 + = n= ( )n (x ) n ; Konvergenzradius: n+ < x < 5 (b) Fehlerabschätzung: T (x) : F Term 4 x T (x) : F Term 4 = 8 (x = liegt außerhalb des Konvergenzradius)

133 (c) T (x) = x x + x 4 x4 + = n= ( )n+ xn n (d) i. d) ii. e) 5. T(x) = π(x π) (x π) + π 6 (x π) +R 4 (x) 6. wie. 7. (a) i. Skizze siehe Kapitel Abbildungen, Abschnitt 4, Seite 6 ii. R() = e (b) Antwort v. ( 6 ) 8. (a) T 4 (x,) = (x )+(x ) (x ) +(x ) 4 (b) ξ = x +θ(x x ), x ( ; ), θ (;) ξ ( ; ) ξ=,x= {}}{ R 4 (x,) = ξ (x ) 5 6 q.e.d. 9. (a) T 4 (x) = + x 8 x + 6 x 5 8 x4 +R(x 5 ) Die Terme reichen zur Einhaltung der geforderten Genauigkeit von < 5 aus. (b) richtig: iii. 6.5 Fourierreihen {. a = ; a n = f(t) = 6, n gerade 6 n π, n ungerade ; b n = [ (n ) π cos((n )π t)+ 4 n= {, n gerade, n ungerade 6 n π (n )π sin((n )π t)] 4 f(t) = 6 π cos( π 4 t) 6 π sin(π 6 4t) π cos( π 4 t) 6 π sin(π 6 4 t) 5 π cos( 5π 4 t) 6 5π sin(5π 4 t). a = A π (eπ ); a n = A π (eπ +n ); b n = n A π ( eπ +n ) f(t) = A π (eπ )+ n=: + A π (eπ )[cos(t) sin(t)] n=: + A 5π (eπ )[cos(t) sin(t)] n=: + A π (eπ )[cos(t) sin(t)] n=4: + A 7π (eπ )[cos(4t) 4sin(4t)] n=5: + A 6π (eπ )[cos(5t) 5sin(5t)]+ {. a = 5; a n =, n gerade n π, n ungerade ; b n =, da f(t) gerade f(t) = 5 n= (n ) π cos((n )π t) f(t) = 5 π cos( π t) π cos( π t) 5 π cos( 5π t) 7 π cos( 7π t) 9 π cos( 9π t) { 4. a = 4 ; a, n gerade n = n π, n ungerade ; b n =, da f(t) gerade f(t) = 8 n= (n ) π cos((n )π t) f(t) = 8 π cos( π t) π cos( π t) 5 π cos( 5π t) 7 π cos( 7π t) { {, n gerade, n gerade 5. a = 5 8 ; a n = n π 6 n 4 π 4 nπ, n ungerade ; b n = f(t) = π π cos(πt) 4 π sin(πt)+ 8π cos(πt)+ π cos(4πt)+, n ungerade 4 9π 8π cos(πt) 4 6π sin(πt)+ nπ

134 6. a = π ; a n = 4 πn ; b n =, da f(t) gerade f(t) = π + n= 4 n π cos(nt) a = 4 π ;a = π ;a = 4 9π ;a 4 = 4π f(t) = π + 4cos(t) π 7. a = ; a n = 4 π n ; + cos(t) π cos(t) π + 4 cos(4t) π + b n =, da f(t) gerade f(t) = 6 + a = 4 π ;a = π ;a = 4 9π ;a 4 = 4π f(t) = 6 + 4cos(πt) π + cos(πt) π a = ; a n =, da f(t) ungerade n= cos(πt π n π cos(nπt) cos(4πt) π + b = ;b = 4 ;b = 4 ;b 4 = 8 5 f(t) = sin(t)+ 4 sin(t) 4 sin(t)+ 8 5 sin(4t) 9. a = ; a n =, da f(t) ungerade b = ( ) eaπ +e aπ π(a +) ;b = eaπ +e aπ π(a +4) ;b = ( ) eaπ +e aπ π(a +9) ;b 4 = 4 eaπ +e aπ π(a +6) b 5 = ( 5) eaπ +e aπ π(a +5) ; f(t) = b sin(t)+b sin(t)+b sin(t)++b 4 sin(4t)+b 5 sin(5t) Skizze der Fourier-Koeffizienten: siehe Abbildung in Kapitel 8. a = ; b n =, da f(t) achsensymmetrisch a n = 4n ; S(t) = n= 4n cos(nt) J =,685; J =,67; Fehler Gewöhnliche Differentialgleichungen. y(x)= 7 8 C + 8 cos(x) 8 sin(x)+ex ( x + x+c ). y(x)= 69 7 C +C e x +e x ( x 9 ) cos(x) 9 sin(x). y(x)= e x ( 59 5 C +C x+ x +x )+cos(x) 5 cos(x) 5 sin(x) 4. y(x)= 5 ex ( 8cos(x)+sin(x)(56+5x))+ 5 e x (5x+4) 5. y(x)= 4 5 e 4x 4 cos(x) 5 4 sin(x)+ 5 ex (5x x+7) 6. y(x)= 9 + x+e x (C sin( x)+cos( x)( 9 4 x)) 7. y(x)= C e ( + )x +C e ( )x 4 cos(x)+ 6 ex + 6 e x mit C = , C = y(x)= 6 ex + 6 cos(x)+ sin(x)+ 8 e5x (5x ) 9. y(x)= 5 ex cos(x) sin(x) 4 e x + 8 ex (4x ). y(x)= 5 5 e x sin(x)+ 5 e x cos(x)+ 5 (5x+)sin(x)+ 5 ( x+4)cos(x). allgemeine Lösung homogen: y (t) = C +C e t allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (t) = C +e t (C 4 t 4 t ) 8 cos(t) 8 sin(t) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C = 8, C = spezielle Lösung zu y() = : C = 8 C.. allgemeine Lösung homogen: y (t) = C e t +C e t allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (t) = C e t +C e t t e t +sin(t) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C = C = spezielle Lösung zu y () = : C = C +.

135 . allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (t) = C x e x +C e x + ex sin(x) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C =, C = y ispez (t) = x e x + e x + ex sin(x) = x e x +cosh(x) sin(x) 4. allgemeine Lösung homogen: y (t) = C e t +C e t allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (t) = C e t +C e t e t (t +t)+cos(t) sin(t) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C = 9, C = 8 spezielle Lösung zu y () = : C = C 5. allgemeine Lösung homogen: y (t) = C e t +C e t allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (t) = C e t +C e t +e t ( 5t +6t) 5 cos(t) sin(t) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C = 6 5, C = 4 5 spezielle Lösung zu y () = : C = 4 C 6. allgemeine Lösung homogen: y (x) = e x (C sin(x)+c cos(x)) allgemeine Lösung inhomogen:y inhom (x) = e x (C sin(x)+c cos(x)+ 4 xsin(x)+ 4 ) spezielle Lösung zu y() =, y () = : C =, C = 4 spezielle Lösung zu y () = : C = 4 7. allgemeine Lösung: y allg (x) = cos(x)+ +C cos(x) spezielle Lösung zu y() = : C =, y spez (x) = cos(x) cos(x) spezielle Lösung zu y() = : C =, y spez (x) = cos(x)+ cos(x) 8. allgemeine Lösung homogen: y (x) = e x (C sin( x )+C cos( x )) allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (x) = e x (C sin( x ) + C cos( x ) cos(x) + xsin(x )) spezielle Lösung zu y() = 6, y () = : C =, C = spezielle Lösung zu y () = : C = C 9. (a) i. k =,ω = : y (t) = e t (C t+c ) Ansatz y sp (t) = t Ae t ii. k =,ω = : y (t) = e t (C sin(t)+c cos(t)) Ansatz y sp (t) = te t (Acos(t)+Bsin(t)) (b) k =,ω, beliebig : Ansatz y sp (t) = Acos(ωt)+Bsin(ωt) y allg (t) = e t (C sin(ωt)+c cos(ωt))+ cos(ωt)+ωsin(ωt) 4ω + (c) y sp (t) = e t ωsin(ωt)+cos(ωt)+ωsin(ωt) 4ω +. allgemeine Lösung homogen: y (x) = C tan(x) allgemeine Lösung inhomogen: y inhom (x) = ln(cos(x))+c tan(x) spezielle Lösung: y speziell (x) = ln(cos(x)) tan(x). (a) a = ; a = ; s(t) = sin(t) (b) allg. Lösung inhomogen: y inhom (t) = C e t +C e t +sin(t) (c) spez. Lösung: C = ; C =. (a) y(x) = ± + t x, definiert für t (b) i. y i (t) = a+ e t a et + a+ ii. y ii (t) = 9 e t 9 et + t et iii. zu zeigen: lim a (y ia (t)) = y ii (t). (a) i. y i (t) = e t a eat ii. y ii (t) = a +a t + a t 4 mit a = iii. Potenzreihenentwicklung von e t bis 4. Ordnung liefert y iii (t) = + t + t4 +O(t 6 ) (b) y spez (x) = (t t+) e t e t 4

136 (c) i. a) ii. c) iii. c) iv. c) 4. (a) i. allg. Lösung homogen: y hom (t) = C sin(x)+c cos(x) ii. allg. Lösung inhomogen: y inhom (t) = C sin(x)+c cos(x)+xsin(x)+x (b) spez. Lösung: C = π+; C = π y spez (t) = (x π+) sin(x) π cos(x)+x 5. wie. 6. (a) i. allg. Lösung homogen: y hom (t) = C x e x ii. spez. Lösung inhomogen: y spez (t) = ( ln (x) + e) x e x (b) y spez (t) = e 4x 6 e x +cos(x) stationäre Lösung: y stat (t) = cos(x) 7. (a) y allg (t) = (x+8ln(x )+C) e 4x (b) (c) i. allgemeine Lösung: y allg (t) = C e 7t +C e } {{ t } 9 t (t+) e 7t + 5 cos(t)+ 5 sin(t) homogene Lösung ii. spezielle Lösung: y spez (t) = e 7t 7 e t 9 t (t+) e 7t + 5 cos(t)+ 5 sin(t) i. richtig: Aussagen A und C ii. richtig: B 8. (a) allgemein homogen: y h (x) = Ce x speziell inhomogen: y s (x) = ( ex +x+ )e x (b) y s (x) = 4 e x + ( x+ 4 )e x 5

137 Kapitel 7 Lösungen Mathematik 7. Laplacetransformation. a) F(s) = (πs +s +πs+)e sπ +s s (s +), Re s > b) F(s) = 6 (s+) 4, Re s >. f(t) = e t[ cos(t)+ 5 sin(t)]. f(t) = e t t, F(s) = s (s ) 4. a) F(s) = s+e s(π/) s(s +), Re s > b) F(s) = 6 (s+5) 4, Re s > 5 5. F(s) = s +4s+8 s (s+4), Re s > 6. f(t) = 8 cos(t) 8 sin(t) 8 e t 7. F(s) = e ( πs) ( πs s +4 + s 4 (s +4) + πs+ s ) s 4 (s +4), Re s > 8. f(t) = e( t) (6cos(t ) 7sin(t )) 9. F(s) = e( b) s + e(b) (s ), Re s >. f(t) = cos( t) sin( t) 4 e( t) e(t). F(s) = e ( b) (s a ) (s a+), Re s > a+. f(t) = 8 9 cos(t) sin(t)+ 8 cosh( t)+ 8 sinh( t). F(s) = e s ( s +sπ +s π Re s > lim a (s +π ) s a e st dt < )+ πs (s +π ) 4. f(t) = cos(t) sin(t)+ 6 e t + e t = cos(t) sin(t)+ cosh( t)+ 5 sinh( t) 5. F(s) = e(b) (s+a) + s, Re s > und Re s > a 6. F(s) = 4ω s(s +5ω ) (s +ω ) (s +9ω ), Re s > 7. f(t) = (sin(t)+tcos(t)) t e t 6

138 8. F(s) = e s ( s sπ s +π )+s π + e s (s+) (s +π ) (s+) a lim te (s+)t dt <, wenn Re s > a 9. F(s) = 6e5 (s +s+7) (s +s+7). F(s) = s (s )(s +s+5)(s s+5). F(s) = e b (s+a) + s Re (s) > a Re (s) >. F(s) = s4 +4s +6s +4s++ω s +4ω s+ω +8ω 4 (s+) (s +s++4ω ) Re (s) >. f(t) = e t ( +4cos(t) sin(t) 4. f(t) = (+e t+ ) 5. (a) da s p = > lim t f(t) = Re(s) > ansonsten Widerspruch zu Grenzwertsatz:lim t f(t) = = lim s s F(s) (b) f(t) = 9 et 9 e t t e t lim t f(t) = (= lim s s F(s)) lim t f(t) = ( lim s s F(s), da s / D F ) 6. F(s) = ω e φ [(s +sω)cos(φ) sωsin(φ) ω sin(φ)] (s +sω+ω ) ; Re (s) > 7. f(t) = 5 cos(t) sin(t) 5 cos(t)e( t) + 9 sin(t)e( t) 8. F(s) = ω e s s +6s+ω +8 (s +4s+4+ω) ; Re (s) > 9. (a) f(t) = et + et (cosh( t)+ sinh( t)) (b) lim t f(t) = (= lim s s F(s)) lim t f(t) = ( lim s s F(s), da s / D F ; Re(s) > ). F(s) = e sπ ω ωe sπ ω se sπ ω +s s +ω G(s) = e (s+)π ω ωe (s+)π ω (s+)e sπ ω +s+ (s+) +ω. f(t) = (a+bω )sinh(ωt)+sin(ωt)( a+bω ) ω. F(s) = A s e as e as +. f(t) = e ( a t) +e ( a t)[ ] sin( a t) cos( a t) 4. in beiden Fällen: F(s) = s + s (s +4), Re(s) > 5. F(s) = s (s+a) / 6. (a) f(t) = 5 {et (5t 6)+e t [(6 t)cost+(+5t)sint]} { t wenn t < (b) f(t) = ; Kippschwingung mit der Periode wenn t = 7. (a) F(s) = e s +s+ s(s+), Re(s) > (b) F(s) = 4 ln(+ 4 (s+) ) 8. F(s) = e πs (π s +s +) π s 4 +πs s +πs π s (s +)(s +4) 9. f(t) = 4 et (t+5) 4 et [cos(t)(t+5) +sin(t)(t 4)] 7

139 4. richtig: Antwort b) 4. (a) F(s) = se s e s s s+ s +e (s+), Re(s) > (b) L{e t f(t)} = 4 ln(s+4 s ) s+ (c) f(t) = e at + e at cos(a t) (d) f(t) = 6 cos(t) 6 sin(t)+ 4 t[cos(t)+sin(t)] 6 e t [cos(t) sin(t)] (e) i. B ii. A 4. (a) F(s) = e s b arctan( a s+δ ) (b) F(s) = e s s s s 8 +e (s ), Re(s) > (c) i. f(t) = Ae t +e t [cos( t) (B 4 t(e D))+sin( t)( B + 4 t+ 8 (E D)) ] ii. A = 4, B = 4, C = 5 54, D = 7 8, E = 9 (d) A) iii) B) ii) C) iii) 4. (a) F(s) = a(s+δ) ((s+δ) +a ) + a(s+δ) 6a (s+δ) ((s+δ) +a ) (b) F(s) = A π a (e as +) a s +π (c) f(t) = A e t B t e t + C e t cos( 6t) + ( D C 6 + F E ) 6 e t sin( 6t) + E t 6 e t sin( 6t) F E t e t cos( 6t) Koeffizienten: A = 4, B = 49, C = 4, D = 49, E = 55 49, F = a) mit Def.-gleichung: L{sin(ωt)} = e jωt e jωt j mit Satz period. Fkt.: L{sin(ωt)} = e πs ω Re(s) > b) siehe a) c) L{e (t) f(4t)} = π arctan(s 4 ) e st dt = ω s ω, Re(s) > ; e jωt e jωt j e st ω dt = s ω, 45. a)f(t) = e t +e t cos(t) et sin(t) b) mit ((s a) +b ) = d b db (s a) +b einfache Rücktransformation, danach Ableitung c)f(t) = e t ( K 6 tsin( t) M K 8 (t cos( t) sin( t))) 46. a) F(s) = est +e st s T b) Re(s) > 47. a) f(t) = Dirac(t) +t+t +cos(t) sin(t) b) i. lim t f(t) = ii. lim t f(t) = 48. (a) f(t) = (s+)((s+) +a ) ((s+) a ) +arctan( s+ ) (b) F(s) = k +e πs s +k k e πs k 49. f(t) = 4 ekt + 8 e kt cos( kt) = k s +k coth( πs k ) 5. a) F(s) = e( s ) ( s π )+πs s (s +π ) b) Re(s) > c) L{e 4t f(t)} = (π arctan(s 4 6 )) 5. a) f(t)) = A t e t +B e t +C e t cos(t) +(D C) e t sin(t) + E t e t sin(t) (F E) t e t cos(t)+ (F E) e t sin(t) b) A = ; B = 5 ; C = 5 ; D = 9 5 ; E = 5 ; F = 7 5 ; πs ω 8

140 s(s 5. (a) F(s) = +6) s(s (s 4)((s+) +4)((s ) +4)) = +6) (s 4)((s +8) 6s ), Re(s) > unter Nutzung des Hinweises aus Aufgabe 5: F(s) = s(s +6) (s 4)(s 4 +64) s ( s 9 +6) (b) f(t) 9 ( s 9 4)((s 9 +8) ) 6s 9 ) f (t) s F(s) 5. (a) i)f(t) := e t[ A+Ccos(t)+( C + D +E + F)sin(t)] +e t [B +Ecos(t)] ii)a = B = 4 ; C = E = 4 ; D = ; F = f(t) = sin (t)cosh(t) (b) i) f(t) = cos( t) ii) f( + ) = 54. (a) F(s) = e bs ln(+ a (s+a) ) (b) t e t = t +e t 55. (a) f(t) = Ae t +Bte t +Ccos(t)e t +(D C)sin(t)e t + E tsin(t)e t + F E e t [sin(t) tcos(t)] (b) A = 5 ; B = ; C = 5 ; D = 9 5 ; E = 5 ; B = Gewöhnliche Differentialgleichungen und Laplacetransformation. y(t) = 6. y(t) = e t sin(t) ( e t +8e t 5 ) e t allg. Lösung hom.: y (t) = t e t (y()+y ())+e t y(). allg. Lösung hom.: y h (t) = [ y()+ y ()] et + [ y() t y ()] e allg. Lösung inhom.: y i (t) = [ y()+ y () cos(t)+ 6 sin(t)] et + [ y() y ()+ spezielle Lösung: y s (t) = [ cos(t)+ 6 sin(t)] et e t 4. y(t) = e t [ ( t)cos(t)+ sin(t)] allg. Lösung hom.: y (t) = e t [y()cos(t)+( y()+y ()) sin(t)] allg. Lösung inhom.: y i (t) = e t [ (y() t)cos(t)+( y()+y ()+ ) sin(t)] 5. y(t) = e t ( 5 sin(t 5)+ 9 cos(t 5))+ 6 e 4t + ] e t allg. Lösung hom.: y (t) = y() e t cos(t 5)+[y () y()] e t 5 5 sin(t 5) allg. Lösung inhom.: y i (t) = e t cos(t 5) [y () ] +e t sin(t { 5 5) 5 [y () y()]+ } e 4t + 6. y(t) = 79 8 et cos(t) 8 e 5t + 4 e t allg. Lösung hom.: y (t) = e t ( y () y() sin(t) + y() cos(t)) allg. Lösung inhom.: y i (t) = e t ( 8 sin(t) 8 cos(t)) 8 e 5t + 4 e t +y (t) 7. spezielle Lösung inhom.:y(t) = 9 e t sin( t)+ e t cos( t) 4 e t cos(t) allg. Lösung hom.: y (t) = e t {y() cos( t)+ y()+y () sin( t) } allg. Lösung inhom.: y i (t) = e t {y() cos( t)+ y()+y () sin( t) } 8. spezielle Lösung inhom.: y(t) = et (( t) cos(t)+sin(t)) allg. Lösung hom.: y (t) = e t {y()cos(t)+(y () y()) sin(t)} allg. Lösung inhom.: y i (t) = et {(y() t)cos(t)+[ (y () y())+]sin(t)} 9. spezielle Lösung inhom.: y(t) = 7 et (4cos(t)+sin(t)) allg. Lösung hom.: y (t) = e [ t 4 y() 4 y () ] +e [ t 4 y()+ 4 y () ] allg. Lösung inhom.:y i (t) = e t[ 4 y() ] 4 y () [ 68 +e t 4 y()+ 4 y () cos(t) 7 sin(t)] 5 e t 9

141 . allg. Lösung hom.: y (t) = y() e t cos( t)+(y () y()) e t sin( t) allg. Lösung inhom.: y i (t) = y (t)+ 4 et (sin( t) tcos( t)) spezielle Lösung: y(t) = 4 et (sin( t) tcos( t))+e t cos( t). allg. Lösung hom.: y (t) = y() ( 4 et + 4 e t )+y () ( 4 et 4 e t ) allg. Lösung inhom.: y i (t) = 6 et+ 6 e t [4t+]+y (t) spezielle Lösung: y(t) = 6 et+ 6 e t [4t ]+e t. (a) x a (t) = e t (cos(4t)+sin((4t)) (b) x bi (t) = 6 cos(5t)+ 6 cos(t) x bii (t) = { t sin(5t) (c) x c (t) = 5 cos(5t)+ 5 wenn t < T [cos(5t) cos(5 (t T))] wenn t > T 5 Für T = π: Ausklingen der Schwingung bei t = π. { (a π) cos(t) wenn t > π. y(t) = (a t) cos(t)+ sin(t) wenn t < π Wenn a = π: Ausklingen der Schwingung bei t = π. 4. (a) allg. Lösung: [ f a (t) = e {y() t cos(t k ) sin(t k ) k ]+y () sin(t k ) k + k 5 spezielle Lösung: [k f s (t) = e t sin(t ] k ) k 5 k k 5 sin(t) [ sin(t k ) k (b) k = 5 : Resonanz mit Störfunktion (λ, = ±j ist Lösung der charakt. Gl.) allg. Lösung: f a (t) = e t[ cos(t) (y() 4 t)+sin(t)( y()+ y ()+ 8 )] spezielle Lösung: f s (t) = e t[ 5 8 sin(t) 4 tcos(t)] 5. f(t) = 4 et [sin(t)+cos(t)]+ 4 et [ cos( t) 5 sin( t) ] 6. (a) y(t) = A e 5t +B e t +C e at mit A = (a+5), B = ( a), C = (a+5)(a ) (b) a = : y(t) = 4 e 5t et + 7 et a = : y(t) = e 5t et + t et (doppelte Nullstelle im Nenner für a = ) (c) hom. : y(t) = e t cos(t) inhom. : y(t) = e t cos(t) e t sin(t)+t e t 7. allgemein hom. : y(t) = y()cos(t)+y ()sin(t) = asin(t) spez. inhom. : y(t) = 5 e t 5 cos(t)+ 5 sin(t) y(t) = { 5 e t 5 cos(t)+ 5 (5a+)sin(t) t < π asin(t) t π ]} sin(t) 8. (a) x(t) = atsin(ωt) ω (b) Schwingung mit p = π ω und um den Faktor a t ω (c) v(t) = K E ω +ω T ( e t T +cos(ωt)+tωsin(ωt))) 9. (a) y spez (t) = t e t sin(t) (b) x spez (t) = 6 t e t zunehmender Amplitude 4

142 . y(t) = { acos(t)+t sin(t) t < π acos(t) sin(t) πcos(t) t π Start der Schwingung mit Amplitude a, bis t = π abnehmend, ab t π mit konstanter Amplitude (a π). y(t) = { (a+ t)sin(t) (a+π)sin(t) t < π t π Schwingung mit T = π, Amplitude im Intervall t [,π] um den Faktor (a+ t)) ansteigend, ab t π mit konstanter Amplitude (a + π). (a) y(t) = e t sin(t)+ { e (t ) [sin(t )+cos(t )] } Θ(t ) (b) x(t) = 6 t e t 7. Funktionen mehrerer Variabler. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = x y (y 6+4x); f y = x y(y 4+x); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {x = x,} {,y = y} {6,4} Extrema: lokales Maximum in P(6;4). Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = xy 4 y ; f y = xy+4+x ; Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {, } Extrema: keine. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = xy 8 y ; f y = 4xy +6+x ; Lösungsmenge für f x = f y = : L = {4,} { 4, } Extrema: keine 4. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = y(5y +4x); f y = x( 5+x+5y); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {,} {5,} { 5, } ; lokales Maximum in P( 5 ; ) 5. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = 4y(y 5+x); f y = x( +x+y); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} { {, } 5 {,}, 9} 5 ; lokales Maximum in P( ; 5 9 ) 6. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = x y ( y +4x); f y = x y ( 4y +x); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,y = y} {x = x,} { 7 7}, ; lokales Minimum in P( 7 ; 7 ) 7. Definitionsbereich D: x, y R; partielle Ableitungen: f x = x+ +; f y = 6y+x 6; Lösungsmenge für f x = f y = : L = { 5 5, } ; kein Extremum 8. (a) partielle Ableitungen: f x = (x )(x+); f y = (y )(y +); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {, } {,} {, } ; lokales Minimum in P (;); lokales Maximum in P ( ; ) (b) partielle Ableitungen: f x = e x (x+y +); f y = e x y; Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} ; lokales Minimum in P( ;) 9. (a) partielle Ableitungen: f x = y xy x+ (+x +y ) ; f y = x xy y+ ; (+x +y ) Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} ;lokales Maximum in P(;) 4

143 (b) partielle Ableitungen: f x = x ay; f y = y ax; Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {a,a} ; lokales Minimum in P(a;a). (a) partielle Ableitungen: f x = 4y +4y +9 ; f y = 8(x )(y +5); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {, } {, 9} {, 5} {, 5} ;lokales Minimum in P ( ; 5), lokales Maximum in P ( ; 5) (b) partielle Ableitungen: f x = y xy x+ (+x +y ) ; f y = x xy y+ ; (+x +y ) Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} ; lokales Maximum in P(;). partielle Ableitungen: f x = 8xy(y +); f y = 8x y +4x { y 6+9y } { ; Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {,}, { { 5 }, in P (; ), } 5, } ; lokales Maximum in P (; ), lokales Minimum. partielle Ableitungen: f x = 8x(y )(y +); f { y = y(4x ); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} { } {, }, lokales Maximum in P(; ). (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang (b) (r cos (φ)+r sin (φ))rdrdφ 54.4 }{{} (B), } {, } 4. partielle Ableitungen: f x = 8(y )(y +)(x ); f y = y(x )(x ); Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {,} {, } {,} {, } ; lokales Maximum in P(; ) 5. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang (b) (r cos(φ)sin(φ))rdrdφ }{{} (B) 6. partielle Ableitungen: f x = 6x(y )(y+)(x )(x+);f y = y(x x )(x + x ); { Lösungsmenge für f x = f y = : L = {,} {,} {,} }, { { { { }, + }, + { }, }, }, { { + }, + };, lokale Maxima in P (;) und P ( ;) ; lokales Minimum in P (;) 7. (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang (b) + 5 x= 5 x +4x+ x ( y=x 4x y dy )dx = partielle Ableitungen: f x = 6x(x )(y ); f y = y(4x 4 8x 5); lokale Maxima in P (;) und P ( ;) 9. (a) Gebiet A: s. Zeichnungen im Anhang (b) I = 4 4x 4 x= y=x 4. a > : Maximum in P( a; a) x y dy dx = (a) Gebiet B: s. Zeichnungen im Anhang (b) Parametrisierung: x = rcos(ϕ)+, y = rsin(ϕ) π I = (r 5 4r 4 cos(ϕ)+4r cos (ϕ)) dr dϕ = 4π ϕ= r= 4

144 . Minimum in P(, ). Minimum in P(, ) 4. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 64 (b) Parametrisierung: x = rcos(ϕ), y = rsin(ϕ) 5,76 I = sin(φ) cos(φ) (r e r ) dr dφ = 4 4 e 9 ϕ= π 4 r= 5. (a) P = (, 4, 9 4 ) ; P = (, 4, 4 ) ; P = (, 4, 4 ) (b) A = a ln() 6. (a) Minimum in P(, ), Maximum in P(, ) (b) f(x,y) maximal (minimal), wenn x = (x = ) 7. (a) I = a4 6 ; Gebiet B: s. Zeichnung Seite 66 (b) I = { } y + y f(x,y)dx dy; Gebiet B: s. Zeichnung Seite (a) df = dx+dy (b) y(x) = x+ 5 (c) S( 6,, 6 6 ) 9. (a) J = 54ln()+ 7 (b) J =. (a) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 67 J = Fläche zwischen den Funktionen A = 9 8 Vertauschung Integrationsreihenfolge: J = (b) Gebiet B: s. Zeichnung Seite 67 J = π (ln() ). q = 4y. (a) df = (4+ π 4 ) dx+(+ π 4 ) dy + π dz (b) t (x) = 5 x+ 6 5 ; t (x) = 5 x 6 5 (c) S( 7, 7, + 6 ( 7 ) y. (a) B = ln(5+ 6) 4 6 Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 67 J = (b) J = (c) i. Antwort B ii. Antwort B 4. (a) z = x y (b) Minima an den Stellen ( 8 9 ) und ( 8 9 ) 5. (a) i. Skizze siehe Zeichnung Seite 68 ii. A = a (b) A = 84π (c) Skizze siehe Zeichnung Seite 68 A = x dxdy + x dxdy = +ln() vertauschte Integrationsreihenfolge: A = y dydx+ y y dydx y y dxdy + dxdy 4

145 6. (a) Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 68 (b) (c) x xy dy dx+ y y xy dx dy = 5 4 x 7. (a) Ebenengleichung: t = 4x y (b) I = π( e ) xy dy dx = 5 4 (c) i. Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 69 ii. 4 y y= x= x y y+5 dx dy (d) 4 8. (a) Minima an den Stellen ( ) und ( ) Maxima an den Stellen ( ) und ( ) (b) I = 5 π (c) i. Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 69 ii. y= y x= y f(x,y) dx dy + y= y x= f(x,y) dx dy y 9. (a) t(x,y) = 5 5 x y (b) Skizze Integrationsgebiet siehe Zeichnung Seite 69; h(x) g(x) y x dy dx = π (c) y= x=y ex dx dy = x= 7.4 Eigenwerte und Eigenvektoren. charakteristische Gleichung: λ 4λ +5λ = (sin(φ) cos(φ))r dr dφ = 4 x y= ex dy dx = 6 e9 6 λ, = zweifacher Eigenwert; x = ; x = λ = einfacher Eigenwert; x = 6 A nicht symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal. x x = ; x x ; x x. charakteristische Gleichung: λ 8λ +λ 6 = λ, = zweifacher Eigenwert; x = ; x = λ = 4 einfacher Eigenwert; x = A nicht symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal. x x = ; x x ; x x. charakteristische Gleichung: λ 4λ +λ+ = λ =, x = x.56.8 ; λ = + 7, x.5.56 ; λ = 7, A symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. x x = ; x x = ; x x = ; 44

146 4. charakteristische Gleichung: λ λ 4λ+4 = ; λ =, x = λ =, x = ; λ =, x = 6 / / A symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. x x = ; x x = ; x x = ; 5. charakteristische Gleichung: λ λ λ+ = λ =, x = / ; λ =, x = +6 x = ; λ =, A symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. x x = ; x x = ; x x = ; 6. charakteristische Gleichung: λ 4λ +λ = λ =, x = ; λ = +, x = ; λ =, x = A symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. x x = ; x x = ; x x = ; 7. charakteristische Gleichung: λ 6λ +6λ = λ =, x = x = 6+ + ; λ = +, x = 6+ ; λ =, A symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. x x = ; x x = ; x x = ; 8. charakteristische Gleichung: λ 6λ +4λ = λ =, x = 4 ; λ = + 5, x = 5+ (+ ) 5, x = 5+ (+ ) + 5 ; λ = 5 A nicht symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal. x x ; x x ; x x ; 9. charakteristische Gleichung: λ 6λ +7λ+aλ 7a 4 = (a) Wenn a = : A symmetrisch, Eigenvektoren orthogonal (b) λ =, x = ; λ = 5, x = 6 x x = ; x x = ; x x = ; ; λ =, x = 45

147 . det(a λ E) = (9+j λ) 5 (9+j λ) = ; Substitution z = (9+j λ) z =,z = 5,z = 5 ; Rücksubstitution ergibt λ,λ,λ ; 4 λ = 9 + j, x = 5 ; λ = 4 + j, x = 5 j 4 5 j ; λ = 4 + j, x = 5 j 4 5 j. charakteristische Gleichung: λ λ λ+4 = λ =, x = 5 x = j 5 ; j ; λ = + 5, x = j 5 ; λ = 5, Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch A ist hermetisch (a) alle Eigenwerte sind reell (b) Eigenvektoren sind orthogonal x x = ; x x = ; x x =. charakteristische Gleichung: λ +( 9 6j)λ +( 8+6j)λ+8+4j = λ = 4+j, x = ; λ = 9+j, x = 5 5 j j ; λ = 4+j, x = 4 4 j 6 4 j. charakteristische Gleichung: λ 9λ 6λ+44 = λ = 4, x = ; λ = 4, x = ; λ = 9, x = 5 A symmetrisch (a) genau lin. unabh. Eigenvektoren (b) Eigenvektoren sind orthogonal x x = ; x x = ; x x = ; 4. charakteristische Gleichung: λ 4λ +λ+6 = λ =, x = 4 ; λ =, x = ; λ =, x = 6 ; A nicht symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal. x x ; x x ; x x ; 5. charakteristische Gleichung: λ λ λ+ = λ =, x = j ; λ =, x = j ; λ =, x = Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch A ist hermetisch (a) alle Eigenwerte sind reell (b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal j ; 46

148 x x = ; x x = ; x x = 6. charakteristische Gleichung: λ 6λ +9λ 4 = λ = λ =, x = j, x = j λ = 4, x = j ; Realteil symmetrisch, Imaginärteil schiefsymmetrisch A ist hermetisch (a) alle Eigenwerte sind reell (b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal x x = ; x x = ; x x nicht orthogonal 7. charakteristische Gleichung: λ 8λ +7λ = λ =,λ =,λ = 5, x =, x =, x = 6 Matrix ist symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal Verifizierung: x x = ; x x = ; x x = 8. charakteristische Gleichung: λ λ +(+a )λ a = λ =,λ = j a,λ = +j a, x =, x = j, x = j Matrix ist weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind nicht zwingend orthogonal Prüfung Orthogonalität: x x = ; x x = ; x x = 9. A = A T Matrix symmetrisch Eigenwerte reell, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal charakteristische Gleichung: λ ( λ+6) = λ = 6,λ = λ = doppelter Eigenwert;, x, = x = 6 Prüfung Orthogonalität:, x, = x x, = ; x x, = ; x, x, =. A A T Matrix asymmetrisch Eigenwerte nicht zwingend reell, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal charakteristische Gleichung: λ +λ 5λ+ 47

149 λ =,λ = +j, λ = j x =, x = j, x = Prüfung Orthogonalität: x x = ; x x = ; x x =. charakteristische Gleichung: λ 4 4λ +5λ 4λ+4 j λ = j,λ = j, λ = λ 4 = x, = 6 78 ± j j j, x = 7, x 4 =. charakteristische Gleichung: λ +9λ 4λ+6 λ =,λ = λ = 4 x =, x, = 5, x, = A A T Matrix asymmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten nicht zwingend orthogonal A v v. charakteristische Gleichung: λ +6λ 9λ+4 λ = 4,λ = λ = x =, x, = 6 B = 6 ; B T = 6 D = B T AB = 4 ;, x, = 6 A = BDB T A = A T Matrix symmetrisch Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, die Eigenwerte reell; Rg(A) = λ = λ = charakteristische Gleichung: λ ( λ) λ =,λ = λ = x = B =, x, = D = B T AB = ; 5. (a) richtig (b) falsch ; B T =, x, = 6 A = BDB T

150 (c) richtig 6. (a) λ = λ = ; x, = λ = λ 4 = ; x, = A = (b) C = (c) A = 5 = A ist orthogonal ( ( ) 4 (d) A richtig: A B richtig: B, B C richtig: a) 7. (a) λ = 6; x =, x, =, x, = = A = AT = A = A T A = A T A = E ) ; λ = ; λ = 7 λ = λ = ; x, = 5 Eig(A,λ = 6) = < >, x, = Eig(A,λ = ) = <, > (b) ṽ = P = ; ṽ = 6 6 (c) B = (d) i. richtig: C ii. richtig: A, B 4 ; ṽ = ; P A P = P T A P = 6 8. a) charakt. Polynom: λ +λ +5λ 6 ; λ = 4; λ = λ = (doppelter EW) b) Eig(A,λ = 4) = ; Eig(A,λ = ) = 5 c)ṽ = ; ṽ = 6 ; ṽ = d)λ = ; λ = 5 ; λ = ; λ 4 = 5 e)rang(b)< 4 det(b) = nicht invertierbar 9. (a) charakt. Polynom: p(λ) = (λ+)(λ+)(λ )(λ 4) 49

151 (b) Eig(A,λ = ) = 9 Eig(A,λ = ) = 5 (c) ũ = 5 4 (d) Zusatzaufgabe i. Antwort i) ii. Antwort iii) ; ũ = 5 4 ; Eig(A,λ = ) = 66 ; Eig(A,λ = 4) = ; ũ = (a) i. A = A Matrix ist hermitesch, selbstadjungiert Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal, die Eigenwerte reell, die Matrix ist diagonalisierbar, geometrische und algebraische Vielfachheit zu verschiedenen Eigenwerten sind identisch (b) charakteristische Gleichung: p (λ) = (λ ) (λ 4) (4 λ) +j ii. λ = : x = λ = λ = 4: x, = +j 6 x, = dim(eig(a,)) = µ(a,) = ; dim(eig(a,4)) == µ(a,4) = iii. S = i. Antwort A ii. Antwort B +j +j 6 6 ; S A S = 4 4. (a) charakteristische Gleichung: p (λ) = (+6j λ)(5+6j λ)( +6j λ) λ = +6j : x = λ = 5+6j : x = 6 6 j j λ = +6j : x = j j (b) P = 5 5 (c) Zusatzaufgabe ; P = 5 ; P B P = i. Für eine diagonalisierbare Matrix gilt für einen Eigenwert, dass A. algebraische Vielfachheit < geometrische Vielfachheit B. algebraische Vielfachheit > geometrische Vielfachheit C. algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit ii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. iii. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. iv. Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar 5

152 Kapitel 8 Formelsammlung Trigonometrische Funktionen: sin (x)+cos (x) = sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y) cos(x±y) = cos(x)cos(y) sin(x)sin(y) sin(x) = sin(x) cos(x) cos(x) = cos (x) = sin (x) Spezielle Werte x π 6 π 4 π π sin(x) cos(x) Umrechnungen mit τ = tan ( ) x sin(x) = τ +τ csc(x) = +τ τ cos(x) = τ +τ sec(x) = +τ τ tan(x) = τ τ cot(x) = τ τ 5

153 Grundintegrale: dx = C x a dx = a+ xa+ +C, a e x dx = e x +C sinx dx = cosx+c cos dx = tanx+c x sinhx dx = coshx+c cosh dx = tanhx+c x dx = arctanx+c +x x dx = ln +x x +C = dx = arcsin x+c, x < x dx = ln x +C x a x dx = lna ax +C, a >, a cosx dx = sinx+c sin dx = cotx+c x coshx dx = sinhx+c sinh dx = cothx+c x { Artanhx+C, x < Arcothx+C, x > x dx = Arcoshx+C = ln(x+ x )+C, x > +x dx = Arsinhx+C = ln(x+ x +)+C Laplace - Transformation f(t) = F(s) = s, R(s) > f(t) = e at F(s) = s a, R(s a) > f(t) = cos(ωt) s F(s) = s +ω, R(s) >, ω R f(t) = sin(ωt) ω F(s) = s +ω, R(s) >, ω R f(t) = cosh(at) s F(s) = s a, R(s a ) >, a R f(t) = sinh(at) F(s) = a s a, R(s a ) >, a R 5

154 Kapitel 9 Abbildungen. Ungleichungen x y Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen x 4 5 y 4 5 Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen x 5 5 y f(x) g(x) Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen 5

155 x y 5 Abbildung 9.4: Ungleichungen, Aufgabe 4: Skizze der Funktionen 5 y x Abbildung 9.5: Ungleichungen, Aufgabe 5: Skizze der Funktionen x y Abbildung 9.6: Ungleichungen, Aufgabe 6: Skizze der Funktionen x y 4 4 Abbildung 9.7: Ungleichungen, Aufgabe 7: Skizze der Funktionen 54

156 x y 6 Abbildung 9.8: Ungleichungen, Aufgabe 8: Skizze der Funktionen x 4 8 y Abbildung 9.9: Ungleichungen, Aufgabe 9: Skizze der Funktionen x 8 y 5 Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen x y 5 Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen 55

157 5 8 6 x y 5 Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen y x Abbildung 9.: Ungleichungen, Aufgabe : Skizze der Funktionen x y 6 8 Abbildung 9.4: Ungleichungen, Aufgabe 4: Skizze der Funktionen x y 6 8 Abbildung 9.5: Ungleichungen, Aufgabe 5: Skizze der Funktionen 56

158 x y 6 8 Abbildung 9.6: Ungleichungen, Aufgabe 6: Skizze der Funktionen x 4 5 y 5 Abbildung 9.7: Ungleichungen, Aufgabe 7: Skizze der Funktionen x 4 5 y 5 Abbildung 9.8: Ungleichungen, Aufgabe 8: Skizze der Funktionen x y Abbildung 9.9: Ungleichungen, Aufgabe 9: Skizze der Funktionen 57

159 . Komplexe Zahlen Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe a: Lage Bereich Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 a: Lage Bereich Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage im Kreis x.5 y.5 Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe b: Lage der Lösungen 58

160 x.5 y. Abbildung 9.4: Komplexe Zahlen, Aufgabe 4 b: Lage der Lösungen x.5 y. Abbildung 9.5: Komplexe Zahlen, Aufgabe 5 b: Lage der Lösungen x.4.8 y..6. Abbildung 9.6: Komplexe Zahlen, Aufgabe 6 b: Lage der Lösungen x y..5 Abbildung 9.7: Komplexe Zahlen, Aufgabe 7 b: Lage der Lösungen 59

161 x y..5 Abbildung 9.8: Komplexe Zahlen, Aufgabe 8 b: Lage der Lösungen x y..5 Abbildung 9.9: Komplexe Zahlen, Aufgabe 9: Lage der Lösungen Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe a: Menge in der komlexen Ebene 6

162 Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe b: Lage der Lösungen x 5 y 4 5 Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe a: Durchschnittsmenge der Mengen M und M 6

163 Abbildung 9.: Komplexe Zahlen, Aufgabe : Spirale Abbildung 9.4: Komplexe Zahlen, Aufgabe 4 Abbildung 9.5: Komplexe Zahlen, Aufgabe 7 6

164 (a) Aufgabe 9 b, Skizze M (b) Aufgabe 9 b, Skizze M x y.6.8. Abbildung 9.6: Komplexe Zahlen, Aufgabe 9c. Grenzwerte Abbildung 9.7: Kardiode r = + cos(phi) 4. Taylor-Reihen 6

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