Wärmeleitung. Stab. Abb. 1: Grundversuch zur Wärmeleitung

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1 LEI: Wärmeleitung. Physikalische Grundlagen. Wärmeleitung im Stab Der ransport von Wärme erfolgt durch Wärmestrahlung, Wärmeleitung und Wärmeströmung (Konvektion). Je nach Medium (Vakuum, Gas, Flüssigkeit, Feststoff) dominiert ein anderer Mechanismus. In diesem Versuch untersuchen wir das Wärmeverhalten in einem Metallzylinder. Wir betrachten dementsprechend nur die Wärmeleitung. Sie beruht darauf, dass Energie in Form von Schwingungsenergie von einem Molekül eines Körpers auf ein Nachbarmolekül übertragen wird, von diesem auf das nächste und so fort. Makroskopisch lässt sich die Wärmeleitung anhand des folgenden eindimensionalen Grundversuchs er läutern: 2 Stab 2 > 2 0 dx L x Abb. : Grundversuch zur Wärmeleitung Ein homogener Stab befindet sich zwischen zwei Wärmereservoiren und 2 der konstanten emperaturen und 2. Der Stab nehme an der Berührungsstelle die emperatur des Reservoirs an. Seitwärts zur Umgebung soll der Stab keine Wärme abgeben (vollständige Wärmeisolation zur Umgebung). Der Stab hat eine Querschnittsfläche A und eine Länge L. Wenn > 2 ist, geht ständig Energie (Wärme) vom Reservoir durch den Stab auf das Reservoir 2 über. Für das Folgende wird die wesentliche Annahme gemacht, dass sich die emperaturen und 2 trotz der Energieübertragung nicht verändern. Das ist möglich, wenn dem Reservoir so viel Energie von außen zugeführt wird, wie es durch den Stab verliert und dem Reservoir 2 so viel Energie entzogen wird, wie ihm durch den Stab zugeführt wird. Stellen Sie sich zur Veranschaulichung vor, dass die emperatur in Reservoir von einem emperaturregler mittels einer Heizung konstant gehalten wird. Aus Resevoir 2 könnte die überschüssige Energie zum Beispiel mittels eines Kühlers abgeführt werden, der von einem zweiten emperaturregler gesteuert wird.

2 P zu Grenze des Systems 2 P P ab 2 > 2 Abb. 2: Darstellung der Energieströme Die übergehende Wärme je Zeiteinheit bezeichnet man als Wärmestrom (Energiestrom). Der Wärmestrom ist eine Leistung, wie man z. B. aus seiner Einheit sehen kann: Wärme (Energie) Q [Q ] = J = Nm = Ws Wärme Zeit = Energie Zeit = Leistung P = Q [P ] = J t s = W Als Wärmestromdichte q (Energiestromdichte, Leistungsdichte; auch mit dem Formelzeichen j Q bezeichnet) bezeichnet man den Wärmestrom je Flächeneinheit: Wärmestromdichte = Energie Zeit Fläche P q = Q A = t A [q ] = J s m W =. m 2 2 Betrachtet man einen eil des Stabquerschnitts, z. B. ein Drittel der Querschnittsfläche, so fließt durch dieses Drittel auch nur ein Drittel der Energie, die durch den ganzen Querschnitt fließt. Die Wärmestromdichte bleibt dagegen gleich, das heißt: durch jedes Querschnittsflächenelement des Stabes wird die gleiche Leistung hindurchtransportiert. Im Stab stellt sich ein emperaturgefälle entlang der x-richtung ein: Schreitet man von einer beliebigen Stelle x um dx voran (siehe Abb. ), so nimmt die emperatur um d ab. Das emperaturgefälle ist negativ: d/dx < 0. d/dx heißt auch emperaturgradient. Es ist anschaulich einleuchtend, dass bei einer großen emperaturdifferenz zwischen Reservoir und Reservoir 2 das emperaturgefälle im Stab größer ist und mehr Energie durch den Stab transportiert wird als bei einem geringeren Unterschied zwischen und 2. Man findet als Ergebnis von Experimenten, dass die Wärmestromdichte q dem emperaturgefälle d/dx proportional ist: () q d = d x Gleichung () wird als Wärmeleitungsgleichung für den stationären Fall bezeichnet. Im stationären Fall verändern sich die emperaturen mit der Zeit nicht. Da die emperaturen und 2 konstant gehalten werden, ist auch der Wärmestrom zeitlich konstant: die Energie strömt völlig gleichmäßig von Reservoir nach Reservoir 2.

3 Der Proportionalitätsfaktor heißt Wärmeleitfähigkeit und ist eine Materialkonstante. Als Einheit erhält man aus () [ ] = W m K. Wärmeleitfähigkeit einiger Stoffe (bei 20 C) in W m K : Kupfer 384 Wasser 0,580 Aluminium 220 Styropor 0,036 Eisen 74 Luft 0,034 Bei Metallen verändern bereits geringe Beimengungen anderer Materialien die Wärmeleitfähigkeit erheblich. Für den homogenen Stab konstanten Durchmessers ist die Wärmestromdichte unabhängig von x, das heißt q = const. Dadurch lässt sich die Wärmeleitungsgleichung () lösen, also die emperatur an jedem Ort x des Stabes bestimmen. Aus () erhält man durch rennung der Variablen q (2) d = dx und durch Integration daraus q (3) d ' = dx' ; 0 x (4) q = x+. Gleichung (4) gilt für alle Punkte des Stabes (0 x L) und ist die Gleichung einer Geraden. Der emperaturverlauf entlang des Stabes ist linear. Er wird durch eine Gerade mit negativer Steigung beschrieben. An den Stabenden und jenseits davon sind die emperaturen und 2 konstant. Was versteht man unter einem stationären Zustand bei der Wärmeleitung? Wie ändert sich der emperaturverlauf im Stab (Abb. 3), wenn die emperatur erhöht wird? 2 0 L Abb. 3: emperaturverlauf entlang des Stabes 2 x

4 Schreibt man (4) um, so ergibt sich x (5) q = ( ) und damit für die gesamte Länge L des Stabes (6) q ( ) L = 2 = Δ = k Δ. L /L = k wird als Wärmeleitzahl ("k-wert") des Materials bezeichnet. Die Dimension ist: [k] = W K - m -2. Der k-wert spielt in der Praxis eine bedeutende Rolle, z. B. beim Vergleich der Wärmedämmwirkung verschiedener Dämmmaterialien angegeben. Da die Wärmestromdichte ("transportierte Energie pro Zeit und Fläche") proportional zum k-wert ist, spiegelt er unmittelbar die ransportfähigkeit für Energie wieder. Große k-werte bedeuten guten Wärmetransport, geringe k-werte lassen auf wärmedämmende Wirkung schließen. Der k- Wert ist keine Materialkonstante, da in ihm die Dicke L des verwendeten Materials enthalten ist. Wichtig in der Praxis ist der Fall der Wärmeleitung durch mehrere Materialien verschiedener Dicke und Wärmeleitfähigkeit hindurch, z. B. durch zwei aneinander gefügte Stäbe der Längen L und L 2 (s. Abb. 4): Stab mit k = /L und Stab 2 mit k 2 = 2 /L 2. Der emperaturunterschied zwischen den Energiereservoiren A und B sei Δ. Er setzt sich additiv zusammen aus den emperaturdifferenzen Δ im Stab und Δ 2 im Stab 2: (7) Δ = Δ + Δ 2 A Δ Δ 2 B 2 Für den zusammengesetzten Stab ist die gesamte Wärmestromdichte (8) q = k Δ Abb. 4: Wärmeleitung im zusammengesetzten Stab Da die Wärmestromdichte q an allen Stellen gleich groß ist - es geht ja keine Energie verloren, und es häuft sich im stationären Zustand auch nirgendwo Energie in den Stäben an - gilt für die einzelnen Stäbe (9) q = k Δ (0) q = k Δ 2 2

5 Mit (7) ergibt sich insgesamt () q k q q = + k k 2 oder (2) = +. k k k2 Man kann also statt der beiden verschiedenen Stäbe einen Ersatzstab mit dem neuen k-wert nach (2) verwenden. Der Fall mehrerer wärmeleitender Materialien hintereinander lässt sich analog behandeln. So berechnet man z. B. für eine Mauer aus Ziegel, Isolierung und Putz zunächst aus den drei k-werten k Z, k I und k P den Ersatz-k-Wert, um diesen dann zur Ermittlung der Wärmestromdichte zu verwenden. Analog der Elektrizitätslehre können Stäbe auch parallel angeordnet werden (z. B. Fenster in einer Wand). Die Rechenregeln ändern sich entsprechend. Zusätzlich zur Wärmeleitung im Material (charakterisiert durch die Wärmeleitzahlen k i ) müssen noch die Übergänge von den Energiereservoiren A und B zum Material beschrieben werden. Sie werdem durch die Wärmeübergangszahlen α A (A Material ) bzw. α B (Material 2 B) charakterisiert ([α] = W K m 2, Werte für die meisten Stoffe α 6 W K m 2 ). Der k-wert der gesamten Anordnung ist die Wärmedurchgangszahl: k i = K mit ki =. α A α B k k2 Li Daneben ist noch gebräuchlich, den Wärmewiderstand R ges ([R ges ] =K/W) einzuführen, wobei A die Fläche ist. Rges =. ka

6 .2 Analogie zu elektrischen Größen Fließt ein elektrischer Strom durch einen Leiter mit dem Widerstand R, so sind die Verhältnisse ganz analog zu den oben beschriebenen für den Wärmestrom (Energiestrom). ransportiert wird die elektrische Ladung Q. Der (elektrische) Strom ist definiert als "Ladung/Zeit": I = Q/t. Die Stromdichte j ist Ladung pro Zeit und Fläche: U U U R I U 2 (3) j = Q t A Die die Ladungen antreibende Kraft ist die elektrische Feldstärke, also das Gefälle der Spannung du/dx. Die zu () analoge Gleichung lautet U 2 0 L x Abb. 5: Spannungsabfall am Widerstand (4) j du = σ d x σ ("Sigma") heißt die spezifische Leitfähigkeit des Leiters. Bekannter ist der spezifische Widerstand ρ ("Rho") des Leiters: ρ= /σ. Fragt man nach dem Verlauf der Spannung entlang dem homogenen Leiter, so ergibt die Lösung von (4) analog zur Gleichung (4) j (5) U = x+ U σ Die Spannung nimmt demnach linear mit x ab, das Spannungsgefälle ist durch eine Gerade darstellbar (Nutzanwendung zum Beispiel: Potentiometer; Spannungsabfall entlang eines Widerstandes). Auch hier gibt es eine Reihenschaltung und Parallelschaltung einzelner elektrischer Widerstände.

7 2. Versuchsbeschreibung 2. Versuchsaufbau Gemäß der stationären Wärmeleitungsgleichung () q d = d x soll die Proportionalität zwischen der Wärmestromdichte und dem emperaturgefälle in einem homogenen Stab gezeigt und die Wärmeleitfähigkeit des Stabmaterials ermittelt werden. Einem zylindrischen Metallstab Ms kann an seinem oberen Ende mit einer elektrischen Heizplatte Hp Wärme zugeführt werden. An seinem unteren Ende kann ihm die Wärme durch eine Kühlplatte Kp entzogen werden. Der Metallstab ist durch einen Isoliermantel Is gegen Wärmeverluste zur Seite hin geschützt. Entlang des Stabes befinden sich Bohrungen Bo, in die der emperaturfühler f eines elektrischen hermometers m eingeführt werden kann. Kennt man die Lage der Bohrungen entlang des Stabes, so kann damit der emperaturverlauf längs des Stabes ermittelt werden. Zur Vermessung der Bohrungen ist der Isoliermantel zu öffnen. Die emperatur am oberen Ende des Stabes wird durch einen elektronischen Regler Re durch Steuerung der Heizleistung konstant gehalten. Sie kann auf verschiedene Werte eingestellt werden. Die emperatur am unteren Ende des Stabes wird konstant gehalten, indem die Kühlplatte von Wasser konstanter emperatur angeströmt wird. Das Wasser wird von einem hermostaten h umgepumpt und auf konstanter emperatur gehalten. Die anfallende Wärme wird durch eine von Leitungswasser durchflossene Kühlschlange Ks abgeführt. Die Energie fließt somit aus dem Regler über die Heizplatte durch den Stab in die Kühlplatte, von dort über das hermostatenbad und die Kühlschlange in das abfließende Leitungswasser. Die Messung der dem Stab zugeführten Leistung P erfolgt elektrisch durch Messung von Spannung U und Strom I (P = U I) im Heizplattenkreis. Die gleiche Leistung würde sich im erwärmten Abwasser wiederfinden, wenn man von den Verlusten an die Umgebung absieht.

8 Bo = Bohrungen Hp = Heizplatte Is = Isoliermantel Kp = Kühlplatte Ks = Kühlschlange Ms = Metallstab Re = Regler f = emperaturfühler m = elektrisches hermometer h = hermostat Up = Umwälzpumpe Wb = Wasserbad Abb. 6: Versuchsaufbau

9 2.2 Versuchsdurchführung Es wird bei verschiedenen Heizleistungen P, also für verschiedene Wärmestromdichten im Stab, der emperaturverlauf (x) entlang des Metallstabes bestimmt. Die Einstellung des thermischen Gleichgewichts und eines stationären Zustands im Stab benötigt für jede eingestellte Heizleistung 5 Minuten. Um die Arbeitszeit gut auszunutzen, sollten Sie unmittelbar nach Aufnahme einer Messreihe die Einstellung für die nächste Messreihe vornehmen und während der Wartezeiten zwischen den Messreihen die verschiedenen Auswertungen vornehmen. Die einzelnen abellen sollten Sie als "offene" abellen anlegen, so dass Sie weitere Werte im Verlauf des Versuches hinzufügen können. Eine übersichtliche Darstellung ist bei diesem Versuch besonders wichtig. Sie gehen folgendermaßen vor: Nachdem Sie mindestens 5 Minuten für die Einstellung eines stationären Zustands abgewartet haben, messen Sie mit dem elektronischen hermometer die emperatur an den verschiedenen Messstellen (Anzeigegerät in die linke Hand nehmen, emperaturfühler mit der rechten Hand vorsichtig (!) und ganz in die Bohrungen einschieben, emperaturausgleich abwarten. Bei Beschädigung des Fühlers (ca. 50 EUR) haftet die Gruppe). Außerdem notieren Sie die angezeigte Leistung zur späteren Bestimmung der Wärmestromdichte. Unmittelbar im Anschluss daran stellen sie einen neuen Sollwert am elektronischen Regler ein. Bis zur nächsten emperaturmessreihe müssen Sie wiederum mindestens 5 Minuten warten usw.

10 3. Aufgabenstellung. emperaturverlauf im Stab. Vermessen Sie die Lage der Bohrungen im Stab. Messlineal in der Schublade; bemaßte Skizze erforderlich. (Stabdurchmesser = 80,0 mm ± 0,5 mm)..2 Zeichnen Sie den elektrischen Schaltplan. Bauen Sie unmittelbar im Anschluss daran die Schaltung auf und lassen sie diese vom Betreuer überprüfen. Schalten Sie mit dem Betreuer zusammen hermostat und Heizung ein..3 Messen Sie bei vier verschiedenen Wärmestromdichten q den emperaturverlauf längs des Stabes. Die den verschiedenen Wärmestromdichten entsprechenden vorgegebenen Sollwerte für den Regler sind:,,, (Werte am Arbeitsplatz) Bearbeiten Sie während der Wartezeiten folgende Aufgaben:.4 Stellen Sie für jede Meßreihe den emperaturverlauf (x) längs des Stabes dar und beschriften Sie die Graphen mit der jeweiligen Wärmestromdichte. Hinweis zur Skalierung: Höchste emperatur: 0 C.5 Entnehmen Sie der grafischen Darstellung durch Extrapolation die emperaturen am Stabanfang und am Stabende und stellen Sie sie für die verschiedenen Wärmestromdichten in einer abelle zusammen..6 Ergänzen Sie die abelle durch die Angabe des emperaturgefälles d /dx für die jeweilige Wärmestromdichte q..7 Stellen Sie die Wärmestromdichte q als Funktion des emperaturgefälles dar: q = q(d /dx). 2. Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit des Stabs 2. Wenn Sie alle Punkte des Diagramms q = q(d /dx) ermittelt haben, bestimmen Sie aus der grafischen Darstellung die Wärmeleitfähigkeit des Metallstabes. 2.2 Berechnen Sie für die größte und die kleinste Wärmestromdichte q max bzw. q min die Unsicherheiten und zeichnen Sie diese in Form von Fehlerbalken in das Diagramm ein. 2.3 Ermitteln Sie unter Benutzung der Fehlerbalken die Unsicherheit von (Hinweis: AUS, Kap. 5). 2.4 Geben Sie das Ergebnis mit Unsicherheit an: ± Δ.

11 3. Wärmeleitung im Stab mit Isolierschicht (zuhause bearbeiten) Der Aluminiumstab sei vom unteren Stabende her um cm verkürzt gedacht und das fehlende Stück mit Styropor ausgefüllt. 3. Berechnen Sie die k-werte für den verkürzten Aluminiumstab (aus Ihrer Messung) und für den Styroporeinsatz (aus abellenwert). 3.2 Nehmen Sie für die Stabenden den größten emperaturunterschied an, den Sie bestimmt haben. Wie groß ist der Wärmestrom mit Isolierschicht? Vergleichen Sie mit dem gemessenen Wärmestrom. 3.3 Zeichnen Sie in ein Diagramm die emperaturprofile für die beiden verglichenen Fälle ein. 4. ransfer auf eine Zieglmauer mit Isolierschicht aus Styropor Stellen sie sich die Außenmauer eines modernen Hauses vor. Auf die Außenseite der Ziegelmauer ist eine dicke Isolierschicht aufgeklebt. 4. Wieviel Energie geht täglich durch eine 4 m 2,5 m große Zimmerwand aus 30 cm starkem Ziegelmauerwerk ( Ziege l = 0,75 W m K ) mit einer Isolierung aus 5 cm Styropor ( Styropor = 0,04 W m K ) verloren (Innentemperatur 22 C, Außentemperatur -0 C)? 4.2 Zeichen sie das emperaturgefälle maßstabsgetreu. 4.3 Zeichnen Sie den emperaturverlauf für den Fall, dass die gleiche Isolierung innen angebracht ist. 4.4 Machen sie sich mit dem Stichwort aupunkt und Dampfsperre vertraut. Der aupunkt bei 22 C und 60 % Luftfeuchte beträgt aupunkt = 4 C. Zeichnen sie diesen in beide vorherigen Zeichnungen ein. 4.5 Erklären sie, welche Dämmart bei der Hausdämmung zu bevorzugen ist und wann eine Dampfsperre nötig ist.

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