Wärmestrom in Hohlräumen

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1 Fakultät für Holztechnik und Bau Wärmestrom in Hohlräumen Studienarbeit im Modul Fachliche Vertiefung Wärme & Feuchte - Wärmebrücken im Master-Studiengang Holztechnik der Hochschule für angewandte Wissenschaften, Fachhochschule Rosenheim Stephanie Brückl Prüfer: Prof. Dr. Franz Feldmeier Datum der Abgabe: 30. September 2014

2 Symbolverzeichnis I Kurzfassung Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Berechnung des Wärmestroms durch Hohlräume in Fensterprofilen und Rollladenkästen gemäß einer vorgeschlagenen Revision [1] der ISO [2]. Die in der Revision dargestellte Methode wird näher betrachtet und erläutert. Zudem werden Vereinfachungen vorgestellt, die zur Implementierung der Berechnung in eine Excel-Anwendung benötigt werden. Die entsprechende Anwendung wird im Rahmen dieser Arbeit ebenfalls erstellt. Da die Berechnungen für komplizierte Geometrien höchst aufwendig sind, werden die Berechnungsmöglichkeiten des Excel-Programms auf rechteckige Hohlräume beschränkt. Zudem ermöglicht es den Vergleich mit den Ergebnissen der Berechnung gemäß ISO [2]. Konkret wird in dieser Arbeit ein Beispielrechteck näher betrachtet und für dieses die Ergebnisse der neue Berechnungsmethode mit denen der bisher verwendeten Methoden verglichen. Dies soll dazu beitragen festzustellen, ob der höhere Aufwand, den die neue Berechnungsart mit sich bringt, durch genauere Ergebnisse gerechtfertigt wird.

3 Symbolverzeichnis II Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis...III Abkürzungsverzeichnis... IV 1 Einleitung Vorgehen Berechnung des Wärmestroms Berechnung des Wärmestroms durch Konvektion und Wärmeleitung Berechnung des Wärmestroms durch Strahlung Wärmestrom zwischen Teilfläche und Knoten Wärmestrom zwischen zwei Knoten Implementierung in Excel Vergleich der Berechnungsmethoden Ergebnisse der Berechnung gemäß ISO Ergebnisse der Berechnung gemäß Revision Wärmestrom durch Konvektion Wärmestrom durch Strahlung Wärmestrom gesamt Zusammenfassung...17 Literaturverzeichnis...18 Abbildungsverzeichnis...18 Anhang A Berechnung des Sichtfaktors... A-1 Anhang A.1 1. Fall: Parallele Flächen gleicher Breite... A-1 Anhang A.2 2. Fall: Parallele Flächen beliebiger Breite... A-1 Anhang A.3 3. Fall: Flächen im rechten Winkel mit gemeins. Kante... A-2 Anhang A.4 4. Fall: Flächen im rechten Winkel... A-2

4 Symbolverzeichnis III Symbolverzeichnis Fläche in m² Fläche der Teilfläche i in mm² sehr kleine Teilfläche der Querschnittsfläche des Hohlraums in m² Breite des Hohlraums Sichtfaktor zwischen Teilfläche i und Teilfläche j Temperaturgradient in W/m Temperaturgradient zwischen den Teilflächen A n in W/m Wärmeübertragungskoeffizient zw. Teilfläche i und Knoten i in W /(m 2 K) Wärmeübertragungskoeffizient zwischen Konten i und Knoten j Nußelt-Zahl Wärmestrom in W Gesamter Wärmestrom in W Wärmestrom zwischen Teilfläche i und Knoten i in W Wärmestrom zwischen Knoten i und Knoten j in W Wärmestrom durch Strahlung in W Wärmestrom durch Konvektion in W (absoluter) Wärmewiderstand zwischen Teilfläche i und Knoten i in K/W (absoluter) Wärmewiderstand zwischen Knoten i und Knoten in K/W Vektorlänge in m absolute Temperatur des Knoten in K T sbj absolute Temperatur des Knoten j in K Temperatur der Teilfläche i in K. Temperaturdifferenz Emissionsgrad der Teilfläche i Temperatur des Knoten i in C Temperatur des Knoten j in C Temperatur der Teilfläche i in C. Wärmeleitfähigkeit von Luft, λ air = 0,025 W/(m K)

5 Abkürzungsverzeichnis IV Stefan-Boltzmann-Konstante, σ = 5, W/m 2 K 4 Abkürzungsverzeichnis ISO VBA Internationale Organisation für Normung Visual Basic for Applications

6 1 Einleitung 1 1 Einleitung Im Jahr 2011 wurde eine, bisher nur englischsprachig verfügbare, Revision [1] der ISO [2] vorgeschlagen. Die wichtigste Änderung gegenüber der bestehenden Norm bezieht sich dabei auf die Berechnung des Wärmestroms durch unbelüftete 1 Hohlräume in Fensterrahmenprofilen und Rollladenkästen. Bisher wird für unbelüftete Hohlräume eine äquivalente Wärmeleitfähigkeit berechnet, die Konvektion, Leitung und Strahlung einschließt. Sie hängt ab von der Geometrie des Hohlraums, sowie Emissionsgrad und Temperatur der Teilflächen. Im Vergleich dazu ist das neue Verfahren deutlich komplizierter. Strahlung und Konvektion bzw. Strahlung und Leitung werden separat berechnet. Die Berechnung der Strahlung geschieht durch eine auf Sichtfaktoren 2 basierende "Radiosity" Methode. Näher erläutert ist diese in Kapitel 3.2. Zum Zeitpunkt der Erstellung dieser Studienarbeit ist die Revision noch nicht beschlossen und es steht nicht fest, ob durch sie die Berechnung des Wärmestroms tatsächlich optimiert werden kann. Im Rahmen dieser Studienarbeit soll die neue Methode der Berechnung näher untersucht werden. Zudem wird ein Excel 3 -Programm erstellt, das die neuen Berechnungsregeln implementiert und dem Anwender erlaubt, unterschiedliche Wärmestromsituationen zu berechnen. 1 Lufthohlräume sind unbelüftet, wenn sie vollständig verschlossen oder durch einen Schlitz von höchstens 2 mm Breite mit der Außenseite oder der Raumseite verbunden sind, siehe [2, S. 11] 2 Der Sichtfaktor gibt an, welcher Anteil der von Fläche i abgehenden Strahlung, auf Fläche j trifft. 3 Microsoft Office Excel 2007, SP3 MSO, 64-bit Version

7 2 Vorgehen 2 2 Vorgehen Innerhalb des Textteils dieser Arbeit wird das Berechnungsverfahren laut Revision[1] näher betrachtet und Schritt für Schritt erläutert. Dabei werden auch Vereinfachungen aufgeführt, die nötig sind, um die vorgestellten Rechnungen in Excel zu implementieren. Aufgrund der sehr komplexen neuen Methode und um den Rahmen dieser Arbeit nicht zu sprengen, wird die Form des Hohlraums auf ein einfaches Rechteck reduziert. Die Implementierung geschieht unter Verwendung von "Visual Basic for Applications" (VBA), einer Programmiersprache zur Steuerung von Abläufen innerhalb von Microsoft Office-Programmen. Dies eröffnet weitere Möglichkeiten im Vergleich zu den herkömmlichen Excel-Funktionen und gestaltet besonders die Programmierung komplexer Abläufe übersichtlicher. Zudem wird für ein Beispielrechteck ein Vergleich der Ergebnisse des Verfahrens laut Revision [1] mit den Ergebnissen des bisher angewandten Verfahrens nach ISO [2] durchgeführt. Dies wird zeigen, ob durch die Revision entscheidende Unterschiede für die Genauigkeit der Berechnung erzielt werden können.

8 3 Berechnung des Wärmestroms 3 3 Berechnung des Wärmestroms Die Berechnung des Wärmestroms laut Revision [1] ist unterteilt in Wärmeleitung (conduction), Konvektion (convection) und Strahlung (radiaton) [1, S. 8]. Im Folgenden wird dies näher erläutert. 3.1 Berechnung des Wärmestroms durch Konvektion und Wärmeleitung Die Berechnungen von Konvektion (bei bewegter Luft) und Wärmeleitung (bei unbewegter Luft) werden analog ausgeführt. Dafür wird zunächst eine äquivalente Wärmeleitfähigkeit berechnet (equivalent thermal conductivity) mit Formel ( 1 ) berechnet. Die Formeln ( 1 )( 2 )( 3 ) sind der Revision [1] entnommen. ( 1 ) Dabei ist die Wärmeleitfähigkeit von Luft, = 0,025 W/(m K); die Nußelt-Zahl (dimensionslos). Die Nußelt-Zahl wir nach folgender Regel bestimmt: ( 2 ) Breite des Hohlraums in m; = 0,73 W/(m 2 K 4/3 ); maximale Oberflächentemperatur-Differenz im Hohlraum in K. Da die Berechnung von der Temperaturdifferenz abhängt, die unbekannt ist, ist die Berechnung laut Revision [1] iterativ. Für die Excel-Anwendung werden jedoch die Temperaturen im Voraus bestimmt.

9 3 Berechnung des Wärmestroms 4 Daraufhin wird die mittlere Wärmestromdichte mit Formel ( 3 ) berechnet. Die Wärmeleitfähigkeit ist hier negativ, da der Wärmestrom "rückwärts" von warm zu kalt fließt. Der Temperaturgradient ist also negativ, durch Multiplikation mit einer negativen Wärmeleitfähigkeit erhält man eine positive mittlere Wärmestromdichte. ( 3 ) Dabei ist mittlere Wärmestromdichte in W/m²; Querschnittsfläche des Hohlraums in m²; (äquivalente) Wärmeleitfähigkeit in W/(m K); Temperaturgradient in K/m. Integrale können mit Excel nur numerisch berechnet werden, die Formel hierzu lautet: ( 4 ) sehr kleine Teilfläche der Querschnittsfläche des Hohlraums in m². Temperaturgradient zwischen den Teilflächen Um mit Formel ( 4 ) ein hinreichend genaues Ergebnis zu erhalten, ist eine sehr große Anzahl an Teilflächen der Querschnittsfläche des Hohlraums (nicht Teilflächen der Randflächen!) und dazugehöriger Temperaturgradienten erforderlich. Dies würde den Rahmen des Programms sprengen, deshalb wird die Formel dafür weiter vereinfacht. Der Anwender gibt einen einzigen Temperaturvektor vor, dadurch werden die Teilflächen hinfällig. Es ergibt sich Formel ( 5 ): ( 5 ) Der Temperaturgradient beschreibt die Temperaturänderung über eine Strecke. Er kann also berechnet werden durch die Division des Temperaturunterschieds durch die Länge des Temperaturvektors. Multipliziert mit der Wärmeleitfähigkeit erhält man die Wärmestromdichte, siehe Formel ( 6 ).

10 3 Berechnung des Wärmestroms 5 ( 6 ) Vektorlänge in m Damit ist die Berechnung des Wärmestroms durch Konvektion abgeschlossen.

11 3 Berechnung des Wärmestroms Berechnung des Wärmestroms durch Strahlung Zur Berechnung des Wärmestroms durch Strahlung werden die Randflächen des Rechtecks in Teilflächen unterteilt. Diese können unterschiedliche Oberflächentemperaturen und Emissionsgrade besitzen. Die Berechnung findet mit Hilfe eines Modells aus diesen Teilflächen und zugehörigen virtuellen "schwarzen Teilflächen-Kontenpunkten" (black surface nodes) statt. Abbildung 1 zeigt dieses Modell. Es stellt ein Netzwerk aus Wärmewiderständen zwischen den Teilflächen und Knotenpunkten dar. Damit wird der Wärmestrom zwischen den einzelnen Teilflächen berechnet. Es wird jeweils der Wärmestrom von der Fläche zum Knoten und zwischen den Knotenpunkten berechnet. Da die Berechnung von der Temperatur der Knotenpunkte abhängt, die unbekannt sind, ist sie laut Revision [1] iterativ. Für die Excel-Anwendung werden jedoch die Temperaturen im Voraus bestimmt. Abbildung 1: Wärmewiderstands-Netzwerk [1]

12 3 Berechnung des Wärmestroms Wärmestrom zwischen Teilfläche und Knoten Die Berechnung des Wärmestroms zwischen Teilfläche i und dem zugehörigen Knoten i geschieht gemäß Revision [1] in drei Schritten mit den Formeln ( 7 )( 8 )( 9 ). 1. Berechnung des "schwarzen" Strahlungs-Wärmestromkoeffizienten (radiation heat transfer coefficient) : ( 7 ) Wärmeübergangskoeffizient zwischen Teilfläche i und Knoten i in W/(m 2 K); Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5, W/(m 2 K 4 ); absolute Temperatur des Knoten i in K; absolute Temperatur der Teilfläche i in K. 2. Berechnung des (absoluten) Wärmewiderstands : ( 8 ) (absoluter) Wärmewiderstand zwischen Teilfläche i und Knoten i in K/W; Emissionsgrad der Teilfläche i ; Fläche der Teilfläche i in mm². 3. Wärmestrom durch Strahlung : ( 9 ) Wärmestrom zwischen Teilfläche i und Knoten i in W; Temperatur des Knoten i in C; Temperatur der Teilfläche i in C.

13 3 Berechnung des Wärmestroms Wärmestrom zwischen zwei Knoten Die Berechnung des Wärmestroms zwischen zwei Knoten i und j geschieht laut Revision [1] in vier Schritten mit den Formeln ( 10 )( 11 )( 12 )( 13 ). 1. Berechnung des "schwarzen" Strahlungs-Wärmestromkoeffizienten (radiation heat transfer coefficient) : ( 10 ) Wärmeübergangskoeffizient zwischen Knoten i und Knoten j in W /(m 2 K) Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5, W/(m 2 K 4 ) absolute Temperatur des Knoten i in K absolute Temperatur des Knoten j in K 2. Berechnung des Sichtfaktors 2 : ( 11 ) Sichtfaktor zwischen Teilfläche i und Teilfläche j (dimensionslos); Fläche der Teilfläche i in mm². 3. Berechnung des (absoluten) Wärmewiderstands : ( 12 ) (absoluter) Wärmewiderstand zwischen Knoten i und Knoten i in K/W 4. Berechnung des Wärmestroms durch Strahlung : ( 13 ) Wärmestrom zwischen Knoten i und Knoten j in W; Temperatur des Knoten i in C; Temperatur des Knoten j in C.

14 3 Berechnung des Wärmestroms 9 Wie schon in Formel ( 3 ) kann auch das Integral aus Formel ( 11 ) mit Excel nur numerisch gelöst werden. Wiederum ist diese Lösung mit nur wenigen Teilflächen (hier Teilflächen der Randflächen!) zu ungenau, daher ist eine alternative Methode erforderlich. Das Integral allgemein zu vereinfachen ist nicht möglich, "für verschiedene geometrische Flächenanordnungen existieren jedoch bereits Lösungen" [3, S. 1097]. Auf der Internetseite [4] sind etwa 300 dieser Lösungen zu finden. Für ein Rechteck sind vier verschiedene geometrische Anordnungen der Teilflächen möglich, die berechnet werden müssen. Diese sind im Folgenden dargestellt. Screenshots der Website sind in Anhang A zu finden. Übertragen in die Terminologie der Revision [1] lauten die benötigten Fälle und Formeln wie folgt: 1. Fall: Zwei unendlich lange, parallele Flächen gleicher Breite, die einander direkt gegenüber stehen, werden berechnet nach Formel ( 14 ). ( 14 ) Abbildung 2: 1. Fall 2. Fall: Zwei unendlich lange, parallele Flächen beliebiger Breite werden berechnet nach Formel ( 15 ). ( 15 ) Abbildung 3: 2. Fall

15 3 Berechnung des Wärmestroms Fall: Zwei unendlich lange Flächen beliebiger Breite im rechten Winkel zueinander, mit einer gemeinsamen Kante werden berechnet nach Formel ( 16 ). ( 16 ) Abbildung 4: 3. Fall 4. Fall: Zwei Flächen beliebiger Breite im rechten Winkel zueinander, ohne gemeinsame Kante werden berechnet nach Formel ( 17 ). ( 17 ) Abbildung 5: 4. Fall

16 4 Implementierung in Excel 11 4 Implementierung in Excel Das Programm ist auf die Berechnung von rechteckigen Hohlräumen beschränkt, es können jedoch trotzdem verschiedene Situationen eingegeben werden. Der Anwender kann die Maße des Rechtecks bestimmen, sowie die Randflächen in insgesamt bis zu 100 Teilflächen unterteilen. Diese Teilflächen können jeweils unterschiedliche Längen, Temperaturen und Emissionsgrade besitzen, welche vom Anwender bestimmt werden. Der Anwender muss die Maße des Rechtecks durch Angabe der x- und y-koordinaten der Teilflächen festlegen. Die Skizze eines beispielhaften Rechtecks mit zehn Teilflächen (siehe Abbildung 6), die ins Excel Sheet eingefügt ist, dient hier als Hilfe zur richtigen Benennung. A 1 bis A 10 kennzeichnen die Teilflächen, die Koordinaten (x 1 /y 1 ) bis (x 10 /y 10 ) bezeichnen je die Enden der Teilflächen. Aus diesen Koordinaten werden automatisch Länge und Lage der Teilflächen berechnet. Auch welcher der vier Fälle aus Kapitel für welche Flächenkombinationen angewandt werden muss wird automatisch berechnet. Für jede dieser Teilflächen muss zudem ein Emissionsgrad sowie die Oberflächentemperatur angegeben werden. Zusätzlich muss für jede Fläche die Temperatur des "schwarzen Teilflächen- Knotenpunkts" (black surface node) angegeben werden. Das Flussdiagramm in Abbildung 7 zeigt die benötigten Eingaben. Abbildung 6: Rechteck mit 10 Teilflächen Abbildung 7: Benötigte Eingaben für die Excel-Anwendung

17 4 Implementierung in Excel 12 Abbildung 8 zeigt einen Teil der Eingabemaske mit den eingetragenen Koordinaten für ein exemplarisches, 15 mm hohes und 10 mm breites Rechteck mit zehn Teilflächen mit je 5 mm Länge. Dieses Rechteck dient auch zum Vergleich der alten und neuen Berechnungsmethode in Kapitel 5. Abbildung 8: Eingabemaske mit Koordinaten für 10 Teilflächen Zudem kann der Anwender zwischen verschiedenen vorgegebenen Temperaturvektoren wählen. Zur Auswahl steht ein senkrechter, waagerechter oder diagonaler Vektor sowie ein Vektor von einer frei wählbaren Teilfläche i zu einer anderen frei wählbaren Teilfläche j Abbildung 9 zeigt das Auswahlmenü der Excel-Anwendung. Abbildung 9: Wahl des Temperaturvektors in der Excel-Anwendung Abgesehen von den bereits genannten Werten muss nur noch die Tiefe des Rechtecks angegeben werden. Auf fehlende Werte wird der Anwender durch Mitteilungsfenster aufmerksam gemacht, und auch sich widersprechende Koordinaten werden zu einem großen Teil vom Programm erkannt. Alle weiteren benötigten Werte werden aus den eingegebenen Da-

18 4 Implementierung in Excel 13 ten berechnet, der Anwender muss nach Eingabe aller Daten lediglich die Schaltfläche "Berechnen" betätigen.

19 5 Vergleich der Berechnungsmethoden 14 5 Vergleich der Berechnungsmethoden Für ein Rechteck mit festgelegten Maßen und Eigenschaften wird ein Vergleich der Ergebnisse der Berechnungsmethode nach Revision [1] und ISO [2] durchgeführt. Zu diesem Zweck wird jeweils der Wärmestrom berechnet. Das Rechteck ist wie folgt definiert (siehe auch Abbildung 8): Höhe: 15 mm mit 3 Teilflächen mit je 5 mm Länge Breite: 10 mm mit 2 Teilflächen mit je 5 mm Länge Tiefe: 1 mm Emissionsgrad: 0,8 Temperaturvektor: waagerecht Temperaturen: siehe Abbildung 10 Die Temperaturen außerhalb des Rechtecks repräsentieren die Temperatur der Teilflächen. Die Temperaturen innerhalb des Rechtecks repräsentieren die Temperatur der Knoten. Abbildung 10: Temperaturen des Beispielrechtecks 5.1 Ergebnisse der Berechnung gemäß ISO Wie bereits in Kapitel 1 erwähnt, wird im Verfahren gemäß ISO [2] nur eine äquivalente Wärmeleitfähigkeit berechnet, die sowohl Konvektion wie auch Wärmeleitung und Strahlung einschließt. Sie ist abhängig von der Geometrie, dem Emissionsgrad und der Temperaturdifferenz, Teilflächen oder virtuelle Knotenpunkte gibt es nicht. Für das oben beschriebene Rechteck beträgt die äquivalente Wärmeleitfähigkeit:

20 5 Vergleich der Berechnungsmethoden 15 Der Wärmefluss wird mit Formel ( 18 ) nach [5] berechnet: ( 18 ) Wärmestrom in W Fläche in m² äquivalenter Wärmestrom in W/(m K) Temperaturdifferenz in K Vektorlänge in m In diesem Fall lautet die Rechnung für den Wärmefluss also: Das Ergebnis der Berechnung nach ISO [2] für das Beispielrechteck ist: 5.2 Ergebnisse der Berechnung gemäß Revision Das in der Revision [1] vorgeschlagene Berechnungsverfahren wurde bereits in Kapitel 3 ausführlich beschrieben, deshalb sollen hier nur die Ergebnisse für das Beispielrechteck dargestellt werden Wärmestrom durch Konvektion Für das beschriebene Rechteck beträgt die äquivalente Wärmeleitfähigkeit laut Formel ( 1 ): Daraus berechnet sich nach Formel ( 6 ) die Wärmestromdichte zu: Und daraus wiederum ergibt sich der Wärmestrom durch Konvektion zu:

21 5 Vergleich der Berechnungsmethoden Wärmestrom durch Strahlung Zur Berechnung des gesamten Wärmestroms durch Strahlung werden die Wärmestromanteile addiert, die die "kalten" Teilflächen des Hohlraums erreichen. Dadurch ergibt sich: Wärmestrom gesamt Um den Wärmestrom gemäß Revision [1] mit jenem gemäß ISO [2] zu vergleichen, muss nun noch der Wärmestrom durch Konvektion mit dem Wärmestrom addiert werden. Damit ergibt sich der gesamte Wärmestrom zu: Dies ist annähernd das 1,3-fache des Werts, der für dasselbe Rechteck gemäß ISO [2] in Kapitel 5.1 berechnet wird. Die beiden Methoden liefern in dem untersuchten Fall also merkbar unterschiedliche Ergebnisse. Abhängig von Geometrie, Temperaturen, Emissionsgrad und auch der Temperaturdifferenz zwischen Teilflächen und Knoten, kann die Abweichung der Ergebnisse jedoch sowohl stärker als auch schwächer ausfallen. Dies haben stichprobenartige Versuche mit anderen Situationen in der Excel-Anwendung gezeigt. Es muss zudem darauf hingewiesen werden dass, wie in Kapitel 3 bereits angesprochen, die hier beispielhaft verwendeten Temperaturen nicht auf iterativen Berechnungen basieren, sondern Schätzungen sind. Um ein exakteres Ergebnis zu erhalten sollten speziell die Temperaturen der Knoten genauer bestimmt werden.

22 6 Zusammenfassung 17 6 Zusammenfassung Im Zuge dieser Arbeit wurde eine Excel-Anwendung erstellt, mit der der Wärmestrom durch Hohlräume in Fensterprofilen entsprechend den Vorgaben der Revision [1] berechnet werden kann. Dies ist für Rechtecke verschiedener Größe, für unterschiedliche Emissionsgrade und Temperaturvektoren möglich. Zudem ermöglicht die Anwendung einen Vergleich mit den Ergebnissen gemäß ISO [2] für waagerechte und senkrechte Temperaturvektoren. Die in der Revision [1] dargestellte Berechnungsmethode ist deutlich aufwendiger als die bisher verwendete. Dies gilt bereits für einfache Formen wie Rechtecke, jedoch umso mehr für kompliziertere Formen. Für diese ist eine Berechnung ohne spezialisierte Software nicht sinnvoll. Jedoch hat der Vergleich der beiden Verfahren anhand eines Beispielrechtecks gezeigt, dass es einen relevanten Unterschied in den Ergebnissen gibt. Der Wärmestrom laut Revision [1] ist für das Beispielrechteck 1,3 mal so groß wie gemäß ISO [2]. Um jedoch zu überprüfen, ob die Ergebnisse der neuen Methode nicht nur anders, sondern tatsächlich präziser sind, müssen die Ergebnisse der Berechnungen mit praktischen Messungen verglichen werden. Nur falls diese belegen, dass die neue Berechnungsmethode in der Tat realistischere Werte liefert, wäre der erhöhte Rechenaufwand gerechtfertigt.

23 Literaturverzeichnis 18 Literaturverzeichnis [1]. ISO/WD , ISO/TC 163/SC 2/WG 9 N 284 rev. Thermal performance of windows, doors and shutters Calculation of thermal transmittance Part 2: Numerical method for frames. [2]. ISO : Wärmetechnisches Verhalten von Fenstern, Türen und Abschlüssen - Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten - Teil 2: Numerisches Verfahren für Rahmen. [3]. VDI-Wärmeatlas. Berlin : Springer Vieweg, [4]. Thermalradiation. [Online] [5]. Technische Universität Ilmenau. [Online] Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Wärmewiderstands-Netzwerk [1]... 6 Abbildung 2: 1. Fall... 9 Abbildung 3: 2. Fall... 9 Abbildung 4: 3. Fall...10 Abbildung 5: 4. Fall...10 Abbildung 7: Benötigte Eingaben für die Excel-Anwendung...11 Abbildung 6: Rechteck mit 10 Teilflächen...11 Abbildung 8: Eingabemaske mit Koordinaten für 10 Teilflächen...12 Abbildung 9: Wahl des Temperaturvektors in der Excel-Anwendung...12 Abbildung 10: Temperaturen des Beispielrechtecks...14

24 Anhang A Berechnung des Sichtfaktors A-1 Anhang A Berechnung des Sichtfaktors Anhang A.1 1. Fall: Parallele Flächen gleicher Breite Anhang A.2 2. Fall: Parallele Flächen beliebiger Breite

25 Anhang A Berechnung des Sichtfaktors A-2 Anhang A.3 3. Fall: Flächen im rechten Winkel mit gemeins. Kante Anhang A.4 4. Fall: Flächen im rechten Winkel

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