Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

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1 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

2 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist)

3 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen:

4 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen:

5 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen

6 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität?

7 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Wicht Bsp: und Lemma 1: benutzen

8 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: und Lemma 1: benutzen

9 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: benutzen

10 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen

11 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist

12 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist

13 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2

14 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5

15 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2

16 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung

17 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren,

18 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2

19 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph

20 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2,

21 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2, r r 2 = r 3,

22 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2, r r 2 = r 3,

23 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2, r r 2 = r 3,

24 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2, r r 2 = r 3, r r 4 = r 0 )

25 Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) (G2) ist einfach nachzuweisen: irgendeine Zeile muß die 0-Zeile wiederholen (G3) ist einfach nachzuweisen: In jeder Spalte muß e stehen Wie beweist man Assoziativität? Mann kann Satz 2: Untergruppe einer Gruppe ist eine Gruppe Wicht Bsp: (S M, ) ist eine Gruppe, und Lemma 1: It eine Gruppe (G, ) zu (H, ) isomorph, so ist (H, ) eine Gruppe benutzen Mann muß eine Untergruppe vom geeigneten S M finden, die zu (H, ) isomorph ist Bsp Wir beweisen, dass die zyklische Gruppe aus 5 Elementen Assoziativ ist Setze M = E 2 r k sei die Drehung um den Punkt O um den Winkel k 2π 5 r k S E2 Die Menge von solche Drehungen ist geschlossen bzg Verkettung und Invertieren, und ist deswegen eine Untegruppe von S E2 Diese Gruppe ist zur zyklische Gruppe aus 5 Elementen isomorph (tatsächlich, r 1 r 1 = r 2, r r 2 = r 3, r r 4 = r 0 ) Also, zyklische Gruppe aus 5 Elementen ist tatsächlich eine Gruppe

26 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1):

27 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge

28 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M

29 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation

30 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2

31 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)

32 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation,

33 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z

34 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),

35 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N,

36 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0

37 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt:

38 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b

39 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b

40 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b,

41 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z

42 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp

43 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist

44 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2

45 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7

46 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12

47 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2,

48 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) )

49 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2

50 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation

51 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q Beweis ist eine Äquivalenzrelation

52 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q Beweis (Reflexivität): ist eine Äquivalenzrelation

53 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0

54 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0

55 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0 (Symmetrie):

56 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0 (Symmetrie): Zz: Ist a mod q b,

57 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0 (Symmetrie): Zz: Ist a mod q b, so ist b mod q a

58 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0 (Symmetrie): Zz: Ist a mod q b, so ist b mod q a In der Tat, a b = q k

59 Wiederholung (Vorlesung 1, LAAG1): Sei M eine Menge Relation R ist einer Teilmenge von M M (Oft benutzt man die Bezeichnungen, für eine Relation In dem Fall schreibt man in m 1 m 2 bzw m 1 m 2 statt (m 1,m 2 ) R)Eine Relation heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist Es sei M = Z (Die Menge von ganzen Zahlen),q N, q 0 Definiere die Relation mod q wie folgt: a mod q b q : a b, dh a b = q k für irgendein k Z Bsp Sei q = 5 Dann ist 3 mod 5 2 mod 5 7 mod 5 12 (Eigentlich, für jedes k Z ist 2 mod 5 5k + 2, weil 5 : 5k = 2 (5k + 2) ) Lemma 2 Die Relation mod q ist eine Äquivalenzrelation Beweis (Reflexivität): a mod q a, weil a a = 0 = q 0 (Symmetrie): Zz: Ist a mod q b, so ist b mod q a In der Tat, a b = q k = b a = q ( k)

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

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