Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

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1 Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Matrikelnummer Platz Name Vorname Punkte Note Hinweise zur Prüfungsdurchführung Tragen Sie Ihre persönlichen Angaben bitte in leserlicher Druckschrift auf diesem Titelblatt ein! Legen Sie Lichtbild und Studentenausweis auf Ihrem Arbeitsplatz zur Kontrolle bereit! Ihre Lösungen tragen Sie bitte in sauberer Reinschrift und ausschließlich in den dafür vorgesehen Platz auf dem jeweiligen Aufgabenblatt ein. Falsch platzierte Lösungsbestandteile werden grundsätzlich ignoriert. Falls Sie weitere Blätter benötigen, wenden Sie sich bitte an eine(n) Aufsichtsführende(n). Weisen Sie bitte bei der entsprechenden Aufgabe auf das Zusatzblatt hin und lassen Sie dieses an die Arbeit heften. Titelblatt und Lösungsblätter verbleiben während der gesamten Prüfung zusammengeheftet! Nur diese zusammengehefteten Blätter sind am Ende der Klausur abzugeben. Mit Anfragen und Problemen zur Klausur wenden Sie sich bitte an eine(n) Aufsichtsführende(n). Eventuelle Antworten werden dann für alle sichtbar an der Tafel gegeben. Die Klausuraufgaben können Sie mit Hilfe der erlaubten sechs beschriebenen A4-Blätter bearbeiten. Die Verwendung von Taschenrechnern sowie von kommunikationsfähigen Geräten (Handys, PDAs, Notebooks, Laptops,... ) ist jedoch nicht gestattet. Alle Aussagen sind zu begründen! Bei Verwendung von nicht in der Vorlesung behandelten Formeln und Sachverhalten sind die Quellen genau anzugeben. Der Lösungsweg und die Nebenrechnungen sollen deutlich erkennbar dargestellt und weder mit Bleistift noch mit Rotstift aufgeschrieben werden. Die Lösungsterme vor allem die Werte der Winkelfunktionen für spezielle Argumente sollen weitgehend vereinfacht werden, eine Dezimalberechnung ist jedoch nicht erforderlich. Insbesondere können Endergebnisse in Abhängigkeit von e, π, 2, ln 2 u.ä. angegeben werden. 0 / 4

2 Aufgabe 1 (2 Punkte) Sie betrachten eine Bakterienkultur mit Anfangsgewicht M(0) = 1g, die sich mit einer kontinuierlichen Rate von (ln 2)/min reproduziert. Das heißt, das Gewicht der Kultur folgt dem Gesetz M(t) = 1g e t (ln 2)/min. Zu welchem Zeitpunkt t beträgt das Gewicht der Kultur 8g? Lösung Aufgabe 1: Wir lösen 8 = 1 e t ln(2) und erhalten ln(8) = t ln(2) und folglich t = ln(8) ln(2) = 3. Nach 3 Minuten hat die Kultur also das Gewicht 8g. Aufgabe 2 (2 Punkte) Berechnen Sie die Umkehrfunktion der Funktion f(x) = x Lösung Aufgabe 2: Wir stellen y = x nach x um und erhalten x = 3 y 1, was überall auf R definiert ist. Aufgabe 3 (4 Punkte) Finden Sie ein Polynom p(x), das durch die Punkte ( 1, 5), (1, 1) und (3, 5) geht. Lösung Aufgabe 3: Wir machen den Ansatz y = ax 2 + bx + c und erkennen a b + c = 5 a + b + c = 1 9a + 3b + c = 5 Aus der ersten und der zweiten Gleichung folgt 2b = 4, also b = 2. Dies setzen wir in die erste und die dritte Gleichung ein und erhalten a c = 5 9a 6 + c = 5 Daraus folgt 8a = (5 2) = 8, also a = 1 und daraus folgt schließlich c = 2. Das gesuchte Polynom ist also y = x 2 2x + 2. Aufgabe 4 (3 Punkte) Bestimmen Sie den Grenzwert bei n der Folge a n = 2n(2n2 + 5)(3n 3 + n) n 6 + 7n Lösung Aufgabe 4: Wir klammern die größte Potenz von n im Zähler und Nenner aus und erhalten lim a 12n 6 + 4n n n 2 n = lim n n n 6 + 7n 1 / 4 n 6 ( /n /n 4 ) = lim n n 6 (1 + 7/n 5 ) = 12

3 Aufgabe 5 (8 Punkte) Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = xe x 1 a) den maximalen Definitionsbereich, b) die Nullstelle(n), c) die erste Ableitung und ihre Nullstelle(n), d) die zweite Ableitung, e) die Extremstelle(n) (ggf. angeben, ob lokales Minimum, globales Minimum, lokales Maximum oder globales Maximum vorliegt). Berechnen Sie außerdem das Integral 2 1 f(x)dx Lösung Aufgabe 5: Der maximale Definitionsbereich ist D(f) = R, die einzige Nullstelle ist x = 0, die erste Ableitung ist f (x) = e x 1 + xe x 1. Die einzige Nullstelle der ersten Ableitung ist x = 1. Die zweite Ableitung ist f (x) = 2e x 1 + xe x 1. Die zweite Ableitung ist an der Stelle x = 1 positiv, so dass hier ein lokales Minimum vorliegt. Wegen lim x = und lim x = 0 ist dies auch ein globales Minimum. Das Integral lässt sich mit partieller Integration leicht berechnen. Wir wählen u (x) = e x 1 und v(x) = x. Dies ergibt u(x) = e x 1 und v (x) = 1 und folglich f(x)dx = xe x 1 e x 1 dx = xe x 1 e x 1 Damit folgt 2 1 f(x)dx = e Aufgabe 6 (4 Punkte) Berechnen Sie das Integral durch Substitution von u = sin(x). π/2 0 (sin(x)) 2 cos(x)dx Lösung Aufgabe 6: Die vorgeschlagene Substitution ergibt du dx (sin(x)) 2 cos(x)dx = u 2 du = 1 3 u3 = 1 3 sin3 (x) = cos(x) und damit Damit folgt π/2 0 (sin(x)) 2 cos(x)dx = / 4

4 Aufgabe 7 (4 Punkte) Gegeben sei die Funktion f(x) = e 3x. a) Berechnen Sie die erste Ableitung von f im Punkt x = 0. b) Berechnen Sie die zweite Ableitung von f in Punkt x = 0. c) Geben Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von f zum Entwicklungspunkt x = 0 an. Lösung Aufgabe 7: Es gilt f (x) = 3e 3x und damit f (0) = 3. Außerdem gilt f (x) = 9e 3x und damit f (0) = 9. Das Taylorpolynom zweiter Ordnung ist deswegen p(x) = f(0)+f (0)x+ 1 2 f (0)x 2 = 1 + 3x x2. Aufgabe 8 (4 Punkte) Seien a, b R und E = span{(a, 3, 2), (b, 6, 5), (0, 0, 1)}. Man gebe a) ein Paar (a, b) so an, dass die Dimension vom Unterraum E gleich 2 ist. b) ein Paar (a, b) so an, dass die Dimension vom Unterraum E gleich 3 ist. Lösung Aufgabe 8: Für a) kann man beispielsweise a = 1 und b = 2 wählen. Dann gilt offensichtlich 2(a, 3, 2) (b, 6, 5) = (0, 0, 1) und die drei Vektoren spannen einen Unterraum von Dimension 2 auf. Für b) genügt a = 0 und b = 1, denn aus λ 1 (0, 3, 2) + λ 2 (1, 6, 5) + λ 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) folgt dann sofort λ 2 = 0 und daraus λ 1 = 0 und schließlich λ 3 = 0, also lässt sich kein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen. Aufgabe 9 (5 Punkte) Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem: x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 2x 1 3x 2 3x 3 = a Diskutieren Sie, für welche Werte von a das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, unendlich viele Lösungen hat oder gar keine Lösung besitzt. Lösung Aufgabe 9: Wir verwenden den Gauß-Algorithmus und erhalten a a a + 6 Für a 6 gibt es offensichtlich keine Lösung. Für a = 6 gibt es unendlich viele Lösungen, da man x 3 frei wählen kann. Der Fall einer eindeutigen Lösung kommt nicht vor. 3 / 4

5 Aufgabe 10 (2 Punkte) Geben Sie 5 Zahlen an, deren Mittelwert 10 ist und wobei eine der Zahlen 0 ist. Lösung Aufgabe 10: Man kann die Zahlen 0, 0, 0, 25, 25 wählen. Aufgabe 11 (4 Punkte) Gegeben seien die Punkte (1, 1), (2, 4) und (3, 10). a) Man berechne zu diesen drei Punkten die Regressionsgerade f. Geben Sie bitte sowohl die Formel, die Sie benutzen, als auch die Rechnung an. Das richtige Ergebnis reicht nicht. b) Man bestimme f(0). c) Man bestimme z so, dass f(z) = 5 ist. Lösung Aufgabe 11: Wir suchen eine Gerade f(x) = a + bx. Es gilt x = 2 und y = 5. Daraus folgt b = (1 2)(1 5) + (2 2)(4 5) + (3 2)(10 5) (1 2) 2 + (2 2) 2 + (3 2) 2 = 9 2 und a = y bx = = 4. Die gesuchte Regressionsgerade ist deshalb f(x) = 9 x 4. Es folgt 2 2 f(0) = a = 4 und f(z) = 5 für z = 2. 4 / 4

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