Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeiten INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Neues Manuskript. Datei Nummer 32111

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1 Stochastik Bedingte Wahrscheinlichkeiten Neues anuskript Datei Nummer Stand 9. uni 008 INTERNETBIBIOTHEK FÜR SCHUTHETIK

2 Inhalt Definitionen und Hinführung Einführungsbeispiel: Karten ziehen Bedingte Wahrscheinlichkeit Totale Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel (Carnaugh-Diagramm) Übersicht 0 Zwei leichte Trainingsaufgaben ufgabe : Tanzkreis ufgabe : Brillenträger rundaufgabe : Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit Beispiel : ädchen und athematik Satz von Bayes () 8 Beispiel : Basketballspieler Beispiel : Krankenkassen Satz von Bayes () Einen Baum stürzen Beispiel : ädchen und athematik Beispiel : Tanzkreis 8 rundaufgabe : estürzte Pfade berechnen 0 Beispiel : Krankenkassen 0 Beispiel : aschine defekt rundaufgabe : Bedingte Wahrscheinlichkeit über die totale Wahrscheinlichkeit berechnen Beispiel : Fehlersuche Beispiel : aschine defekt 7 7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten zu komplizierteren Bäumen 9 Beispiel : Ein remium 9 Beispiel : Schwarzfahrer

3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführungsbeispiel: Karten ziehen Definitionen und Hinführung In einem Stapel mit Spielkarten befinden sich rote und schwarze Karten: Sie liegen verdeckt im Stapel auf einem Tisch. Hans zieht eine Karte, notiert deren Farbe und legt die Karte beiseite. Dann zieht er eine zweite Karte und notiert auch deren Farbe. Hier liegt ein zweistufiges Experiment vor. Es hat insgesamt mögliche Ergebnisse, die in der Ergebnismenge S gelistet werden: S= { rr;rs;sr;ss} edem Ergebnis entspricht ein Pfad im gezeigten Baumdiagramm. Daran sind Wahrscheinlichkeiten angeschrieben, g die man durch p = aus dem m vorhandenen Kartenbestand berechnet, der vor jedem Zug als Zahlenpaar angeschrieben ist. ( ) bedeutet, dass vor dem folgenden Zug noch rote und schwarze Karten zur Verfügung stehen. ( ) P( r ) = P( s ) = Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Karte beim. Zug ist daher p r = und für eine schwarze beträgt sie p s =. Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man bedingte Wahrscheinlichkeiten r ( ) s ( ) Pr ( r ) = Pr ( s ) = Ps ( r ) = Ps ( s ) = r ( 0 ) s ( ) r ( ) s ( ) Statt p r kann man auch Pr () schreiben. Statt p s ist auch P(s) möglich. Diese beiden Wahrscheinlichkeiten gehören zum. Zug, bei dem noch alle Karten im Stapel liegen, also m = ist. Beim zweiten Zug liegen veränderte Bedingungen vor, denn zuvor kann entweder schon eine rote oder eine schwarze Karte gezogen worden sein. eder Zug ändert den Inhalt des Kartenstapels und damit auch die daraus zu berechnende Wahrscheinlichkeit. Daher heißen die Wahrscheinlichkeiten für die. Stufe bedingte Wahrscheinlichkeiten. Dies schauen wir uns ausführlich an.

4 Bedingte Wahrscheinlichkeit it P(s) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit für schwarz beim. Zug. it Pr ( s ) bezeichnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit für schwarz beim. Zug, wenn zuvor rot gezogen worden ist. (Das ist eine Vorbedingung.) it Ps ( s ) bezeichnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit für schwarz beim. Zug, wenn zuvor schwarz gezogen worden ist. (Das ist die Vorbedingung.) Diese beiden sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeiten liest man so: Pr ( s ) = heißt Die Wahrscheinlichkeit für schwarz unter der Bedingung, dass zuvor rot gezogen worden ist, ist. Ps ( s ) = liest man so: Die Wahrscheinlichkeit für schwarz unter der Bedingung, dass zuvor schwarz gezogen worden ist, ist. Beim. Zug hatten wir Fünftel, weil m = war, nachdem die erste Karte gezogen worden ist, sind nur noch Karten auf dem Tisch, also ist m = und wir erhalten Viertel, nämlich Pr ( s ) = (weil unter den Karten noch schwarze sind) und s ( ) Karten noch schwarze sind). P s = (weil unter den uch für rot gibt es diese drei Wahrscheinlichkeiten, von denen hier zufällig zwei gleich groß sind: it Pr () bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit für rot beim. Zug. bezeichnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit für rot beim. Zug, wenn zuvor rot gezogen worden ist. it Ps () r bezeichnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit für rot beim. Zug, wenn zuvor schwarz gezogen worden ist. it Pr () r usführliche Untersuchung der Pfade des Baumdiagramms Kennt man nun alle Wahrscheinlichkeiten für den. und. Zug, dann kann man die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse (Pfade) gemäß den Pfadregeln berechnen:. Pfad: r r P { rr} = = = = 0, ( ) 0 0 ( ). Pfad: r s P { rs} = = = = 0, 0 0 ({ }). Pfad: s r P sr = = = = 0, 0 0. Pfad: s s P( { ss} ) = = = = 0, 0 0 Kontrollsumme: 0,+ 0, + 0, + 0, =

5 Bedingte Wahrscheinlichkeit Der Begriff der totalen Wahrscheinlichkeit m Ende des zweistufigen Experimentes gibt es zwei usgänge: rot oder schwarz. r Pr () r = r ( 0 ) Oftmals will man wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese auftreten, und zwar ungeachtet dessen, was davor beim. Zug passiert ist. ( ) P( r ) = ( ) Pr ( s ) = s ( ) () an kann auf zwei rten so zu einer roten Karte gelangen: Der. und der. Pfad führen zu einer roten Karte. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beim. Zug erhält man rot, nennt man die totale Wahrscheinlichkeit für rot. an berechnet sie P( s ) = s ( ) Ps () r = Ps ( s ) = r ( ) s ( ) nach der. Pfadregel als Summe der Wahrscheinlichkeiten des. und. Pfades und schreibt: Pr () = 0,+ 0,= 0,. () Und es gibt zwei öglichkeiten, nach dem. Zug eine schwarze Karte zu erhalten: Beim. und. Pfad. Deren Wahrscheinlichkeit zusammen ist die totale Wahrscheinlichkeit für schwarz: P ( s) = 0, + 0, = 0,.

6 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel In der ahrgangsstufe des Internatsgymnasiums Schloss Torgelow befanden sich 00 0 Schüler, darunter nämlich 0 ungen und 0 ädchen. Den eistungskurs athematik besuchten davon ungen und ädchen. Ein hervorragendes Hilfsmittel zum ewinnen einer Übersicht für die uswertung der Daten ist eine Vierfeldertafel (Carnaugh-Diagramm). F = F = F = F 9 = Die genannten Daten (0 und 0 ) wurden am rechten Rand eingetragen. Die ungen des K athe () stehen im. Feld, das die Schnittmenge beschreibt, die ädchen des K athe stehen darunter im. Feld. Daraus kann man jetzt alle weiteren Daten berechnen, sie wurden blau umrandet eingetragen: ddiert man die erste Spalte, erfährt man, dass es + = Schüler im K athe gibt. In der ersten Zeile stehen die 0 ungs dieser Klassenstufe. Weil davon im K athe () sind, besuchen die restlichen 0 = den rundkurs athe (). In die. Zeile wurden die 0 ädchen eingetragen. an errechnet, dass 0 = von ihnen den rundkurs athematik besuchen. etzt kann man die rechte Spalte addieren und weiß danach, dass es + = 9 rundkursschüler gibt. us diesen absoluten Häufigkeiten der vier Schnittmengen kann man im nächsten Schritt die relativen Häufigkeiten berechnen, die man oft als Prozentzahlen angibt. ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) h = = = 0, = 0% h = = 0,=,% h = = 0,7=,7% h = = = 0,= 0% 0 Diese Zahlen wurden mit rot eingetragen. an kann sie als empirische Wahrscheinlichkeiten verwenden und sagen: F = F = F = F = Wählt man per os einen Schüler dieser ahrgangsstufe, dann ist er mit der Wahrscheinlichkeit: ( ) ( ) ( ) ( ) p = ein männlicher eistungskursschüler, p = ein männlicher rundkursschüler, p = eine weibliche K-Schülerin, p = eine weibliche K-Schülerin.

7 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die uswertung kann wesentlich weiter gehen. (a) (b) Unter den 0 ungen (die jetzt den rundwert bilden) gibt es K-Schüler, das sind = 0, = 0% der 0 ungen, und folglich besuchen = 0, = 0% den 0 K athematik. Unter den 0 irls (die jetzt den rundwert bilden), gibt es K-Schülerinnen, das sind = = 0, = % 0 0 der ädchen und = = 0,7 = 7% K-Schülerinnen. 0 F = F = F = F = (c) Unter den K-Schülern befinden sich ungen, das ergibt einen nteil von 0, =,% ungen und die ädchen führen zu 0, =,%. (d) Unter den 9 K-Schülern befinden sich ungen und ädchen, das ergibt einen nteil von 0, =,% ungen und 0,789 = 78,9% ädchen. 9 9 Hieraus erhält man bedingte Wahrscheinlichkeiten für das Zufallsexperiment osen eines Schülers. () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen K-Schüler, wenn man weiß, dass der Schüler männlich ist? an weiß aus (a), dass der ungen den K besuchen, also ist P()= 0 die bedingte 0 Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgeloste Schüler den K athe besucht, wenn man weiß, dass es ein unge ist. () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen K-Schüler, wenn man weiß, dass der Schüler männlich ist? an weiß aus (a), dass der ungen den K besuchen, also ist P()= 0 die bedingte 0 Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgeloste Schüler den K athe besucht, wenn man weiß, dass es ein unge ist. () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen K-Schüler, wenn man weiß, dass der Schüler weiblich ist? an weiß aus (b), dass der ädchen den K besuchen, also ist P()= 0 die bedingte 0 Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgeloste Schüler den K athe besucht, wenn man weiß, dass es ein ädchen ist. () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen K-Schüler, wenn man weiß, dass der Schüler weiblich ist?

8 Bedingte Wahrscheinlichkeit an weiß aus (b), dass der ädchen den K besuchen, also ist P()= 0 die bedingte 0 Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgeloste Schüler den K athe besucht, wenn man weiß, dass es ein ädchen ist. Die nächsten bedingten Wahrscheinlichkeiten solltest du selbst in gleicher Form aufschreiben. Die ösung steht auf der Folgeseite: () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen ungen, wenn man weiß, dass der Schüler den K athe besucht? () it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man ein ädchen, wenn man weiß, dass der Schüler den K athe besucht? (7) it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man einen ungen, wenn man weiß, dass der Schüler den K athe besucht? (8) it welcher Wahrscheinlichkeit erhält man ein ädchen, wenn man weiß, dass der Schüler den K athe besucht?

9 Bedingte Wahrscheinlichkeit 7 Hier die Ergebnisse: uf der athe-cd

10 Bedingte Wahrscheinlichkeit 8 ls nächstes zeichnen wir zwei Baumdiagramme für zwei Zufallsexperimente zu dieser Situation. Ein Schüler dieser Klassenstufe wird nun zufällig ausgelost. Da zwei erkmale vorliegen, kann man für ein Baumdiagramm wählen, ob man / für die. Stufe nimmt und dann / oder umgekehrt. Im. Experiment sei die uswahl / P ( ) = 0 die erste Stufe und / die. Stufe. Die ganzen Daten wurden der Vierfeldertafel entnommen, 0 P ( ) = 0 ( ) P ( ) = 0 die bedingten Wahrscheinlichkeiten der. Stufe kann man entweder ( 0 0) den Zahlenpaaren entnehmen, die unter und stehen, oder den zuvor durchgeführten Berechnungen. 0 P ( ) = 0 ( ) P ( ) = 0 P ( ) = 0 Dazu die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade:. Pfad:. Pfad:. Pfad:. Pfad: Kontrollsumme: ( ) P = = ( ) P = = ( ) P = = = ( ) P = = = = = = 0 0 Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man bedingte Wahrscheinlichkeiten Und hier die totalen Wahrscheinlichkeiten für : P ( ) P ( ) P ( ) = + = + = = und für : P ( ) P ( ) P ( ) = + = + = = 9 0 Kontrollsumme: + = = 0 0 0

11 Bedingte Wahrscheinlichkeit 9 Im. Experiment sei die uswahl / P ( ) = die erste Stufe und / die. Stufe. Die ganzen Daten wurden der Vierfeldertafel entnommen, P ( ) = 0 ( ) P ( ) = die bedingten Wahrscheinlichkeiten der. Stufe kann man entweder ( 9) den Zahlenpaaren entnehmen, die unter und stehen, oder den zuvor durchgeführten Berechnungen. 9 P ( ) = 0 ( ) P ( ) = 9 P ( ) = 9 Dazu die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade:. Pfad: P( ) = = = Pfad: P ( ) = = = Pfad: P( ) = = = Pfad: 9 P ( ) = = = Kontrollsumme: = = = 0 0 Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man bedingte Wahrscheinlichkeiten Und hier die totalen Wahrscheinlichkeiten für : P ( ) P ( ) P ( ) + = + = + = = = und für : P ( ) P ( ) P ( ) + = + = + = = = Kontrollsumme: + = = Nachwort: Hier wurde gezeigt, was man aus so einer ufgabenstellung alles berechnen kann. an sollte erkennen, welche Bedeutung die bedingten Wahrscheinlichkeiten haben und dass man auch totale Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. In den folgenden ufgaben sind dann immer nur Teilaspekte zu berechnen. Dazu sind immer wieder Überlegungen anzustellen, wie sie hier gezeigt worden sind.

12 Bedingte Wahrscheinlichkeit 0 Übersicht In diesem Baumdiagramm sind nach der zweiten Verzweigung die bedingten Wahrscheinlichkeiten eingetragen. P( ) P P ( C) ( D) C D P (C) ist die Wahrscheinlichkeit für C, wenn zuvor eingetreten war, P (D) ist die Wahrscheinlichkeit für D, wenn zuvor eingetreten war, usw. Die totalen Wahrscheinlichkeiten für und B PB ( ) B PB ( C) PB ( D) C D sind P() bzw. P(B). Hier ist keine Vorbedingung gestellt worden. Die totalen Wahrscheinlichkeiten für C und D errechnet man mit der. Pfadregel: Diese Wahrscheinlichkeiten nennt man bedingte Wahrscheinlichkeiten us dem. und. Pfad folgt: P(C) = P() P (C) + P(B) P B(C) us dem. und. Pfad folgt: P(D) = P() P (D) + P(B) P B(D)

13 Bedingte Wahrscheinlichkeit ufgabe : Tanzkreis Zwei eichte Trainingsaufgaben In einem neu zusammengestellten Tanzkreis befinden sich 8 Paare, die älter als 0 ahre sind und Paare, die höchstens 0 ahre alt sind. Von den älteren Paaren tanzen bereits auf höherem Niveau, während dies bei den jüngeren nur bei Paaren der Fall ist. a) Fülle die Vierfeldertafel aus, und zwar sowohl mit den absoluten, wie auch mit den relativen Häufigkeiten. H N Ä b) Übertrage dann die Werte in ein Baumdiagramm, wobei Ä (älter) und (jünger) die erste Stufe bilden sollen. c) Trage dann die Wahrscheinlichkeiten ein. d) Berechne dann die Wahrscheinlichkeiten für die vier Pfade und die totalen Wahrscheinlichkeiten für H (höheres Niveau) und N (niedrigeres Niveau). ufgabe : Brillenträger In einer Klasse mit 0 Schülern sind 0% ungen. Die Hälfte von ihnen trägt eine Brille, während dieser nteil bei den ädchen nur ein Drittel ist. Führe die ufgabenteile a) bis d) der ufgabe analog durch. Die ösungen findet man auf den nächsten Seiten.

14 Bedingte Wahrscheinlichkeit rundaufgabe : Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit Beispiel : ädchen und athematik In der ahrgangsstufe des Internatsgymnasiums Schloss Torgelow sind 00 ein Drittel ungen. 0% aller Schüler sind männlich und besuchen den K athematik. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unge den K athe besucht? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ädchen den K athe besucht, wenn man weiß, dass aller Schüler weiblich ist und den K besucht? ösung P ( ) = x P ( ) = 0, an beginne mit einem Baumdiagramm! Diese ufgaben enthalten diese Schwierigkeit: an muss erkennen, dass die 0% der P( ) = P ( ) = y ungen im K zur Schnittmenge gehören, dass also die Wahrscheinlichkeit des. Pfades 0,0 ist. Das nutzt man so aus (. Schritt): Einerseits ist P( ) = 0, und andererseits gilt nach der Pfadregel: ( ) P( ) = P = x. P ( ) = z P ( ) = w ( ) P = lso folgt: 0, x = 0, x = = 0, = 0,. Schritt: Entsprechend stellt die Wahrscheinlichkeit des. Pfades, also der Schnittmenge dar. Wir wissen also: Einerseits ist P ( ) = andererseits gilt ( ) lso folgt: P = z (Pfadregel) z = z = = = 0, Ergebnis: Die gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeiten sind: P() = x= 0,= 0% P() = z= 0,= %. Zusatzaufgabe: Berechne noch die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten dieses Baums, P. also ( ) P und ( )

15 Bedingte Wahrscheinlichkeit ösung der Zusatzaufgabe P( ) = 0, P ( ) = 0, Dies ist einfach, wenn man erkennt, dass man nur die Wahrscheinlichkeiten der egenereignisse sucht: P( ) = P ( ) = y P ( ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unge den K besucht, also 0%. lso besucht einer mit 0% P( ) = P ( ) = 0, ( ) P = Wahrscheinlichkeit der rundkurs! P = P (blaues Oval). ( ) ( ) P ( ) = w Entsprechend gilt: ( ) ( ) P = P = 0, = 0,7 = 7%

16 Bedingte Wahrscheinlichkeit uswertung und Hintergrund der gelernten ethode: WICHTI!. Teil Vom. Pfad kennen wir die. Wahrscheinlichkeit P ( ) und die x Wahrscheinlichkeit des ganzen Pfades (also der Schnittmenge ): Das ist P( ). Die Wahrscheinlichkeit der. Stufe des. Pfades, die mit x bezeichnet worden ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P ( ) Diese Wahrscheinlichkeit war zu berechnen!, also die Wahrscheinlichkeit für, wenn zuvor eingetreten war. Nach der. Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades multipliziert, also gilt: P ( ) = P ( ) P ( ) egeben egeben esucht Diese leichung stellt man nach der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit um und erhält: ( ) P ( ) P ( ) P = () enau so haben wir auf der Seite zuvor x berechnet, also: Wahrscheinlichkeit des ganzen Pfads geteilt durch die Wahrscheinlichkeit des. Teilpfads = Wahrscheinlichkeit des. Teilpfads (also eine bedingte Wahrscheinlichkeit) Die Formel ist der Satz von Bayes (die Bayes-Formel). Eine gründliche Übersicht dazu steht auf Seite xxx ufgabe: Stelle auf analoge Weise die Formeln für die anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten P. auf, also für ( ) P, P ( ) und ( ) Zwei davon kann man auch kürzer berechnen, entdeckst du die ethode?

17 Bedingte Wahrscheinlichkeit. Teil Vom. Pfad kennen wir die. Wahrscheinlichkeit P P() ( ) = und die Wahrscheinlichkeit des ganzen Pfades (der Schnittmenge ), also P( ). Nach der. Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades multipliziert, also gilt: P ( ) = P ( ) P ( ) egeben egeben esucht Diese leichung stellt man nach der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit um und erhält: ( ) ( ) P ( ) P P = () Usw.

18 Bedingte Wahrscheinlichkeit erke auch: an kann eine bedingte Wahrscheinlichkeit einfacher berechnen, wenn man die Wahrscheinlichkeit des egenereignisses kennt. P( ) = 0, P ( ) = 0, P( ) = P ( ) = y P( ) = P ( ) = 0, ( ) P = P ( ) = w Vereinfachte Berechnung: Im blauen Oval: us P( ) + P( ) = kann man etwa P( ) P( ) wenn man P ( ) schon kennt. = bekommen, Im roten Oval: us P( ) + P( ) = folgt P( ) P( ) wenn man P ( ) schon kennt. =,

19 Bedingte Wahrscheinlichkeit 7 Beispiel : Basketballspieler Ein Basketballspieler erhält einen Doppelfreiwurf. Er weiß aus Erfahrung, dass er mit 0% Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf trifft. Dies gilt auch für den. Wurf. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer nacheinander liegt jedoch nur bei 8%. Trage diese Werte in ein Carnaugh-Diagramm ein (Vierfeldertafel) und erkläre die Bedeutung der vier Felder. Zeichne dann ein Baumdiagramm und berechne daraus die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beim. Wurf je nachdem, ob der. Wurf sitzt oder nicht. ösung auf der athe-cd

20 Bedingte Wahrscheinlichkeit 8 Beispiel : Krankenkassen Von den itgliedern einer Krankenkasse wohnen im Schnitt 0% auf dem and. % nahmen im Kalenderjahr 00 die Kasse in nspruch, darunter waren % andbewohner. a) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein KK-itglied, das die Kasse in nspruch nimmt, andbewohner? ösung (jetzt ohne Vierfeldertafel) Vorbereitung:. Definition von Ereignissen: = Das itglied wohnt auf dem and. = Das itglied nimmt die Krankenkasse in nspruch.. Erstellung eines Baumdiagramms: us der Fragestellung entnimmt man, dass das Ereignis die erste Stufe bildet, es geht um Personen, welche die Krankenkasse in nspruch nehmen.. Erkunden, welche Wahrscheinlichkeiten in der ufgabenstellung gegeben sind und in das Baumdiagramm eintragen. () % nahmen im Kalenderjahr 00 die Kasse in nspruch bedeutet??? () 0% sind andbewohner. Diese Wahrscheinlichkeit kommt wohin? () Darunter waren % andbewohner. Dies ist welche Wahrscheinlichkeit??? Trage diese Wahrscheinlichkeiten ins Baumdiagramm ein!

21 Bedingte Wahrscheinlichkeit 9 Hier die vollständige uswertung des Textes: () % nahmen im Kalenderjahr 00 die Kasse in nspruch bedeutet: P() = 0,. () 0% sind andbewohner. Die ist die totale Wahrscheinlichkeit für und ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten des. und. Pfades. () Darunter waren % andbewohner. Dies bezieht sich auf die Schnittmenge : P( ) = 0, und beschreibt den. Pfad. 0, x P() = 0, 0, 8 y () Nun zur Frage in der ufgabe: a) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein KK-itglied, das die Kasse in nspruch nimmt, andbewohner? Für den. Pfad gilt nach der. Pfadregel: P( ) = P( ) x, woraus folgt: ( ) ( ) P 0, x = P ( ) = = 0,. P 0, Ergebnis: % der itglieder, welche die Kasse in nspruch genommen haben, sind also andbewohner. Daraus folgt, dass der Rest, also 8% in der Stadt wohnen. Diese ufgabe wird ab Seite 0 durch b) und c) fortgesetzt.

22 Bedingte Wahrscheinlichkeit 0 Verallgemeinerung dieser ethode: Der Satz von Bayes Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten gesucht, also die Wahrscheinlichkeiten für die. Stufe, muss man die nfangs-wahrscheinlichkeiten P() P(B) P(B) B B B B und die Wahrscheinlichkeit des ganzen Pfads kennen. Stellt man die leichung der. Pfadregel P() P(B) P(B) B B B B um, folgt die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: us P( ) und P( B) folgt: ( ) ( ) us ( ) P und P( B) folgt: ( ) ( ) us P( ) und P( B) folgt: ( ) ( ) us P( ) und P( B) folgt: ( ) ( ) P P B = P P (B) P( B) = ( B) P( ) ( B) P P B = P P (B) P( B) = P P P B = P P (B) P( B) = P P B = P P (B) P( B) = ( ) ( B) P( ) ( B) P( ) Diese Berechnungsformeln nennt man den Satz von Bayes. Hinweis dazu: Viele Schüler lernen die erste Formel ( B) P( ) P P(B) = auswendig und verwenden sie dann in den Bezeichnungen angepasst in allen möglichen Situationen. Davon rate ich eigentlich ab. Denn dies ist erfahrungsgemäß oft eine Fehlerquelle, die ihren rund einfach darin hat, dass man Bezeichnungen (Ereignisse) verwechselt. Ich empfehle so vorzugehen, wie in Beispiel : an schreibt die Pfadregel-Formel an und stellt sie nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit um. Dann hat man die ufgabe eher verstanden, als wenn man eine unverstandene, auswendig gelernte Formel versucht, irgendwie anzuwenden.

23 Bedingte Wahrscheinlichkeit rundidee Einen Baum stürzen Wenn ich aus unserer ahrgangstufe die Kinder haben will, die weiblich sind und den eistungskurs athematik besuchen, dann kann ich dies auf zwei verschiedene rten zweistufig durchführen:. öglichkeit: Ich bitte zuerst die ädchen, sie mögen nach vorne treten: nschließend wähle ich diejenigen aus, die eine K athe besuchen.. öglichkeit: Ich lasse zuerst alle eistungskursschüler nach vorne kommen, und davon wähle ich diejenigen aus, die weiblich sind. Das bedeutet, dass ich diese Schnittmenge der K-Schülerinnen durch zwei unterschiedliche Pfade erzeugen kann:. öglichkeit:. öglichkeit:. an sagt auch, der.pfad ist gegenüber dem ersten Pfad gestürzt worden. Es soll hier erklärt werden, wie man einen ganzen Baum stürzt. Beispiel (von Seite ) In der ahrgangsstufe des Internatsgymnasiums 0, ( ) = P 0 Schloss Torgelow sind ein Drittel ungen. 0% aller Schüler sind männlich und 0, ( ) = P 0 besuchen den K athematik, der Schüler ist weiblich und besucht den K. Daraus wurde auf Seite 8 dieser Baum erstellt, der hier etwas vereinfacht abgebildet ist. 0, 0,7 ( ) = P ( ) = P 0 Wir wollen diesen Baum stürzen. Dann heißt die. Stufe nicht oder sondern oder. x ( ) = P 0 Die Wahrscheinlichkeit P() ist die totale Wahrscheinlichkeit für, die man als Summe P() y ( ) = P der Wahrscheinlichkeiten von Pfad und des oberen Baumdiagramms erhält (blau). P() ist die totale Wahrscheinlichkeit von, also die Summe der Wahrscheinlichkeiten P( ) z w ( ) = P 0 ( ) = P 0 von Pfad und des oberen Baumes. UFBE: Berechne diese Wahrscheinlichkeiten!

24 Bedingte Wahrscheinlichkeit rundaufgabe : estürzte Pfade berechnen Beispiel (von Seite ) Von den itgliedern einer Krankenkasse wohnen im Schnitt 0% auf dem and. % nahmen im Kalenderjahr 00 die Kasse in nspruch, darunter waren % andbewohner. a) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein KK-itglied, das die Kasse in nspruch nimmt, andbewohner? Neu sind diese Fragen zur ufgabe: b) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein itglied, das die Kasse nicht in nspruch nimmt, andbewohner? c) it welcher Wahrscheinlichkeit nimmt ein andbewohner die Kasse in nspruch? d) it welcher Wahrscheinlichkeit nimmt ein Stadtbewohner die Kasse nicht in nspruch? ösung auf der athe-cd

25 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel : aschine defekt (Siehe auch Beispiel im folgenden bschnitt ) Eine aschine stellt 0% defekte Teile her. Davon bleiben bei der Endkontrolle 0% unentdeckt. 0% aller eräte werden nicht ausgeliefert. it welcher Wahrscheinlichkeit a) kommt ein defekter rtikel in den Handel? b) kommt ein beliebiger rtikel in den Handel? c) wird ein rtikel nicht ausgeliefert, obwohl er gut ist? (ösung in bschnitt ) d) ist ein in den Handel kommender rtikel defekt? (Das ist unser Thema hier!) ösung Vorbereitung:. Definition von Ereignissen: 0,0 D 0,0 0, 90 D = Das erät ist defekt. = Das erät wird ausgeliefert.. Erstellung eines Baumdiagramms: 0,70 D y z P() = 0, us der Fragestellung entnimmt man, dass das Ereignis D die erste Stufe bildet, es geht um defekte und nicht defekte rtikel.. uswertung des Textes: () 0% sind defekt: P(D) = 0,0. () Davon bleiben 0 % unentdeckt, also werden sie verkauft! Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein defekter rtikel ausgeliefert wird ist also 0,: P() D = 0,.. ösung der Teilaufgaben: a) it welcher Wahrscheinlichkeit kommt ein defekter rtikel in den Handel? Fortsetzung auf der athe-cd

26 Bedingte Wahrscheinlichkeit rundaufgabe : Bedingte Wahrscheinlichkeit über die totale Wahrscheinlichkeit berechnen Es folgt eine Reihe von Beispielen, in denen es erforderlich wird, Pfade zu stürzen. Beispiel : Fehlersuche Ein erät ist mit der Wahrscheinlichkeit 8,8% unbrauchbar. Beim Test wird ein brauchbares erät versehentlich mit % Wahrscheinlichkeit ausgesondert. Insgesamt werden 0% aller eräte ausgesondert. a) it welcher Wahrscheinlichkeit wird ein unbrauchbares erät ausgesondert? b) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes erät unbrauchbar? ösung Vorbereitung:. Definition von Ereignissen: U: Das (zufällig ausgewählte) erät ist unbrauchbar. B: Das erät ist brauchbar. : Das erät wird ausgesondert. N: Das erät wird nicht ausgesondert. ( N= ).. uswertung des Textes: egeben ist: P( U) = 8,8% = 0,088 Beim Test wird ein brauchbares erät versehentlich mit % Wahrscheinlichkeit ausgesondert. d. h. PB ( ) = % = 0,0 egeben ist ferner: P( ) = 0% = 0,. Herausfinden, was gesucht ist a) it welcher Wahrscheinlichkeit wird ein unbrauchbares erät ausgesondert? D. h. PU ( ) ist zu berechnen. b) it welcher Wahrscheinlichkeit ist ein ausgesondertes erät unbrauchbar? D. h. U ist gefragt. P ( ). ösungsstrategie finden Da man P( U) = 8,8% = 0,088 kennt, kann man ( ) ( ) P B = P U = 0,088 = 0,9 berechnen. Nimmt man B und U als. Stufe für das Baumdiagramm, dann passt PB ( ) = % = 0,0 direkt als erste Wahrscheinlichkeit für die. Stufe dazu. Dazu passt auch, dass P ( ) gesucht ist. U Damit ist klar, wie man den Baum erstellen muss, und man kann jetzt rechnen. Versuche nun, das Baumdiagramm selbst zu erstellen!!!!!

27 Bedingte Wahrscheinlichkeit In dieses Baumdiagramm wurden alle gegebenen Werte eingetragen. Dazu wurde für das grüne Feld B P ( ) = 0,0 B B noch eine bedingte Wahrscheinlichkeit als egenereignis berechnet. PB ( ) = 0,9 ( ) PB N = 0,9 N B N ( ) P = 0, Berechnung für a): In der Frage a) ist die Wahrscheinlichkeit x = PU ( ) zu berechnen. P( U) = 0,088 U x N U U N Dies geschieht mit einem TRICK: Und den gibt es auf der athe-cd

28 Bedingte Wahrscheinlichkeit 7 Bedingte Wahrscheinlichkeiten zu komplizierteren Bäumen ufgabe : Ein remium us den Klassen 0a, 0b und 0c wird ein remium gebildet, das eine bestimmte ufgabe durchführen soll. Dabei stammen 0% der Schüler aus der Klasse 0a, und je % aus 0b und 0c. Unter den Schülern aus 0a sind gleich viele ungen und ädchen, unter den 0b-Schülern sind 0% ädchen. Über die Zusammensetzung der bordnung aus 0c ist nichts bekannt. Beim ersten Treffen des remiums stellt man fest, dass 0% der ädchen aus der 0c stammen. a) Zeichne ein Baumdiagramm für diese Situation. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person aus 0c ein ädchen ist? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Person weiblich ist? d) it welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein unge aus der 0a, 0b bzw. 0c? e) Wenn die Schüler der 0b wegen Verweigerung ausgeschlossen werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dann ein ädchen aus 0a bzw. 0c? ösung auf der athe-cd

29 Bedingte Wahrscheinlichkeit 7 ufgabe : Schwarzfahrer uf der athe-cd

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten "bedingten Wahrscheinlichkeit".

Tipp III: Leiten Sie eine immer direkt anwendbare Formel her zur Berechnung der sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeit. Mathematik- Unterrichts- Einheiten- Datei e. V. Klasse 9 12 04/2015 Diabetes-Test Infos: www.mued.de Blutspenden werden auf Diabetes untersucht, das mit 8 % in der Bevölkerung verbreitet ist. Dabei werden

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