Grundwissen Mathematik 7I/1

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1 Grundwissen athematik 7I/ ultiplikation und Division in QI Rechenregeln a c a c a c a d : b d b d b d b c Vorzeichenregeln : ++ : + : + + : otenzgesetze. otenzgesetz n m n m a a a + 7 eispiel: + Ü: a) b) 5 0,5 0,5 0,5 c) ( ) ( ). otenzgesetz n m n m (a ) a eispiel: ( ) Ü: a) 5 5 (,5 ) b) [(k ) ] c) 7. otenzgesetz n n n a b (a b) eispiel: ( ) 6 Ü: a) 5 b) y z c) 7 7 (,5) ( ). otenzgesetz n a m a a n m eispiel: Ü: a) 7 7 :7 b) (,) :(,) c) 5 5. otenzgesetz n n a a n b b eispiel: 6 6 Ü: a) : b) 5 5 ( 8) : c) 9 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

2 Gleichungen Grundwissen athematik 7I/ Lösen von (Un)gleichungen durch Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen ahl multipliziert oder durch sie dividiert. eispiele: GI QI :(),5 IL {, 5} IL { 8} Ungleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen positiven ahl multipliziert oder durch sie dividiert, beide Seiten mit der gleichen negativen ahl multipliziert oder durch sie dividiert und das Ungleichheitszeichen umkehrt (Inversionsgesetz). eispiele: GI QI. < :() > 7 Inversion! IL { > 7}. 6 > 7 :6 >,5 IL { >,5}. + 5> 5 > 8 ( ) < Inversion! IL { < } Ü: Löse durch Äquivalenzumformungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI QI : a) b) 67< c) + < 8 d) > e) (77 0) + 96 f) + < 6 g) > Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

3 Indirekte roportionalität Grundwissen athematik 7I/ Entspricht bei einer uordnung von Größen das n-fache der einen Größe dem n-ten Teil der anderen Größe, so heißt diese uordnung indirekte roportionalität. eispiel: Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt cm². Wenn GI IN IN, ist dies für acht Rechtecke verschiedener Länge cm und reite y cm möglich y 8 6 : : :8 Eigenschaften: lle ahlenpaare ( y) einer indirekten roportionalität sind produktgleich. Das rodukt y hat immer den gleichen Wert. eispiel: y Sprechweise: und y sind zueinander indirekt proportional Schreibweise: y Der Graph einer indirekten roportionalität ist ein + + Hyperbelast. ( GI QI 0 QI 0) eispiel: y O Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

4 insrechnung Grundwissen athematik 7I/ Die insrechnung ist eine nwendung der rozentrechnung. Unter insen (kurz: ins) versteht man den Geldbetrag, den man nach einer bestimmten eit für geliehenes Geld bezahlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: rozentwert (W) rozentsatz (p) Grundwert (GW) Jahreszins ( J ) inssatz (p) Kapital (K) Die so berechneten insen J beziehen sich auf ein Jahr (Jahreszins). Wird ein anderer eitraum betrachtet, so muss der Jahreszins auf diesen eitraum umgerechnet werden. Ein Geschäftsjahr hat 65 Tage. ins für Jahr (Jahreszins) J K p ins für Tag t 00 K p ins für n Jahre n K p n ins für T Tage T 00 K p T eispiel: erechne die insen für 9 instage, wenn ein Kapital 5000,00 zu 8% verliehen wird. T T 960 Der ins für 9 Tage beträgt 960,00. Übungen:.0 uf einem Sparbuch, das mit,75% verzinst wird, sind 90,00.. erechne die insen nach einem Jahr.. erechne den insertrag für das zweite Jahr, wenn die insen des ersten Jahres dem Kapital zugerechnet werden. Herr aurer gibt 0000,00 zu 6,5% auf die ank und legt alljährlich die gewonnen insen wieder zu seinem Kapital. Damit erhöht sich sein Kapital Jahr für Jahr um den insertrag. erechne sein Endkapital nach 5 Jahren. Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

5 Die arallelverschiebung Grundwissen athematik 7I/5 v Eigenschaften: I ' ei allen arallelverschiebungen sind die Verbindungsstrecken von Urpunkt und ildpunkt ' parallel, gleich lang und gleich gerichtet. Sie bilden eine feilklasse. Jede feilklasse heißt Vektor. Durch jede arallelverschiebung ist umkehrbar eindeutig ein Vektor bestimmt. lle arallelverschiebungen haben keinen Fipunkt. lle arallelverschiebungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle arallelverschiebungen sind geraden- und kreistreu. D ' ' feilklasse Vektor v ' D'... v (Fußpunkt) ' (Spitze) Jeder Vektor v lässt sich im Koordinatensystem durch seine Koordinaten eindeutig festlegen. Die Koordinaten des feils ' und damit des Vektors v werden durch die Koordinaten des Fußpunktes ( y) und die Koordinaten der Spitze '(' y') festgelegt. an berechnet sie nach der Regel: ' ' y' y Spitze minus Fuß z.. ( ) und '( ) ( ) ' 6 ' eispiel: 6 v I ''' mit ( ), ( ) und ( ) y ' ' O ' + +6 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

6 Gesetze zur Vektorrechnung Grundwissen athematik 7I/5 Kommutativgesetz und ssoziativgesetz bei der ddition von Vektoren Kommutativgesetz a b b a ssoziativgesetz (a b) c a (b c) erechnung von Summenvektoren a b a b llgemein a ; b a b a y by ay by eispiel a ; a + b a b ay + by + ( ) b a b a b a b + Ortspfeil Ortspfeile sind feile, die vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem unkt im Koordinatensystem führen. Die Koordinaten des Ortspfeils sind dieselben wie die Koordinaten des unktes. z..: ( ) O y O O ( ) erechnung der Koordinaten von ildpunkten llg.: O ' O v ' v y' y vy z..: ( ) v + O ' O ' + 6 O ' '(6 ) ' + v y' y+ vy y ( ) '(+ v y+ v ) '(6 ) + + y O 5 erechnung der Koordinaten des ittelpunktes der Strecke [] llg.: ( y ), ( y ), ( y ) + y + y ( y ) z..: ( ), ( ) + + (0,5,5) Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule y O

7 Die Drehung Grundwissen athematik 7I/6 ; ϕ Eigenschaften: I ' Jede Drehung besitzt einen unkt als Drehzentrum und einen Winkel ϕ als Drehwinkel. Die Verbindungsstrecken [] von Urpunkt und Drehzentrum und ['] vom zugehörigen ildpunkt ' und Drehzentrum sind gleich lang und schließen den Winkel ' mit dem aß ϕ ein. lle Drehungen haben nur das entrum als Fipunkt. lle Drehungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle Drehungen sind geraden- und kreistreu. positive Drehrichtung negative Drehrichtung ' ' ' ' ' ϕ 5 ϕ -5 ϕ ; ϕ 5 I ' ; ϕ 5 I ' ; ϕ I '' ' Eine Drehung um 80 nennt man auch eine unktspiegelung am entrum. ' ; ϕ 80 I ''' ' ' ϕ erke: Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch Drehung an einem unkt um 80 auf sich selbst abgebildet werden kann. D D D D arallelogramm Rechteck Quadrat Raute Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

8 Regeln für Winkel Grundwissen athematik 7I/7 Neben- und Scheitelwinkel β Scheitelwinkel sind gleich groß: * * und β β β g Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 : +β 80 Winkel an arallelen ( g ). Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β g β β β β β. Wechselwinkel (-Winkel) g β g β g β g β β β β β Innenwinkelsummen. im Dreieck. im Viereck In jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkelmaße der drei Innenwinkel 80 : +β+γ 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmaße an und begründe. In jedem Viereck beträgt die Summe der Winkelmaße der vier Innenwinkel 60 : +β+γ+δ 60 δ g δ γ δ g 70 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

9 Der Kreis Grundwissen athematik 7I/8 Kreis k Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte E und F heißt Sehne s. Die Sehne s teilt die Kreislinie in zwei Kreisbögen EF und FE. Das von Kreissehne und Kreisbogen begrenzte Flächenstück ist ein Kreissegment. Ein von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenztes Flächenstück ist ein Kreissektor. Die beiden Radien schließen den ittelpunktswinkel mit dem aß ε ein. E Radius r Durchmesser d Sehne s Segment Sektor ε F Lagebeziehung von Kreis k und Gerade assante p: p k Tangente t: t k {} Tangente t assante p entrale z: z k {; } mit z Sekante s: s k {E;F} entrale z erührradius Sekante s E F erechnungen am Kreis Für den Kreisumfang u gilt: Für den Inhalt der Kreisfläche gilt: u r π r π r r Für die Kreiszahl π wird vorläufig der Wert π, oder π benutzt. 7 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

10 Geometrische Ortslinien Grundwissen athematik 7I/9 Kreis Der Kreis ist der geometrische Ort aller unkte, die von einem unkt die gleiche r Entfernung haben. k(; r) { r} k ittelsenkrechte Die ittelsenkrechte ist der geometrische Ort aller unke, die von zwei unkten die gleiche Entfernung haben. m { } [] m a a Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende ist der geometrische Ort aller unkte, die von beiden Schenkeln eines Winkels den gleichen bstand haben. w S ittelparallele Die ittelparallele zweier paralleler Geraden ist der geometrische Ort aller unkte, die von den beiden Geraden den gleichen bstand haben. a a g m h 5 arallelenpaar Das arallelenpaar zu einer Geraden ist der geometrische Ort aller unkte, die von einer Geraden den gleichen bstand a haben. a a g p p Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

11 Winkel am Kreis Grundwissen athematik 7I/0 Randwinkelsatz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Randwinkel über der Sehne []. lle Randwinkel über einer Sehne eines Kreises besitzen das gleiche aß und sind halb so groß wie der dazugehörige ittelpunktswinkel. Thaleskreis (Sonderfall des Randwinkelsatzes) Verbindet man die unkte n des Halbkreises über einer ittelsehne mit den Endpunkten und, so haben alle Winkel n bzw. n das aß 90. Umgekehrt gilt: Hat der Winkel bzw. das aß 90, liegt sein Scheitel auf dem Halbkreis über der ittelsehne [] 80 Tangentenkonstruktion Fall: Tangente im erührpunkt, der auf der Kreislinie k liegt. Fall : Tangenten von einem unkt aus an die Kreislinie k. eichne die Strecke [] oder die entrale durch und. eichne die Strecke []. eichne die Senkrechte zur Strecke [] oder zur entrale durch und. T T eichne einen Kreis (Thaleskreis), dessen ittelpunkt der ittelpunkt der Strecke [] ist. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bilden die erührpunkte und der beiden Tangenten. Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

12 7/ : a) : a) : a) : a) 5: a) 7 5 b) 5,5 b) Lösungen 8 0,5 c) 6 k c) 5 b) ( y z) c) 7 b) (,) 6 c) 9 b) 5 ( ) c) Grundwissen athematik 7I/L 0 ( ) 7 5 7/ a) IL {, 6} b) IL { > 0} c) IL { < 5, 5} d) IL { <, 5} e) IL {, 6} f) g) IL { < 0} IL { < } 7/.: Jahr 5,5.: Jahr 6,57 : Jahr5 K 700,87 7/7 δ 80 δ 68 (Nebenwinkel) δ 68 (Stufenwinkel) δ δ δ 68 (Scheitelwinkel) δ 70 (Wechselwinkel) γ γ (Innenwinkelsumme im Dreieck) Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

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