Horst Herr Falko Wieneke Bernd Mattheus. Technische Mechanik. Statik Dynamik Festigkeit

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1 Bibliothek des technischen Wissens Horst Herr alko Wieneke Bernd Mattheus Technische Mechanik Statik Dynamik estigkeit 0., völlig überarbeitete Auflage 04 mit sehr vielen Musteraufgaben (Lehrbeispielen), Übungsaufgaben (Aufgaben mit vollständigen Lösungswegen im Anhang) und Vertiefungsaufgaben (Aufgaben mit Ergebnissen im Anhang) VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 50X

2 Autor (Hrsg.): Horst Herr VDI, Dipl.-Ing., achoberlehrer Kelkheim im Taunus Mitautoren: alko Wieneke Dipl.-lng., Studiendirektor 4557 Essen Bernd Mattheus Dr.-Ing Essen Lektorat: alko Wieneke Lektor der. Auflage: Armin Steinmüller, Dipl. Ing., Verlagslektor, 05 Hamburg Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 4477 Radevormwald Umschlagfotos: alko Wieneke; Vektor-Illustration: amgun, otos: anekoho und 06photo shutterstock.com Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern Martina Schantz, Kelkheim im Taunus Petra Gladis-Toribio, Kelkheim im Taunus 0. Auflage 04 Druck Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. Diesem Buch wurden die neuesten DIN-Normen zugrunde gelegt. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass nur die DIN-Normen selbst verbindlich sind. Diese können in den öffentlichen DIN-Normen-Auslegestellen eingesehen oder durch die Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstraße 6, 0787 Berlin, bezogen werden. ISBN Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten älle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden 04 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 478 Haan-Gruiten http//: Satz: rkt, 4799 Leichlingen, Druck: Tutte Druckerei & Verlagsservice GmbH, 94 Salzweg / Passau

3 Vorwort Man teile jede einzelne der Schwierigkeiten, die man lösen will, in so viele Teile wie möglich, und so müsste es möglich sein, sie zu lösen. Descartes Wer Maschinen und Anlagen konstruiert, baut oder betreibt, benötigt Kenntnisse aus der Tech - nischen Mechanik. Innerhalb dieser Ingenieurwissenschaft, kurz mit TM bezeichnet, unterscheidet man die Teilgebiete Statik, Dynamik und estigkeitslehre. Als Grundlagenfächer sind sie die Basis für das Verständnis des Maschinen- und Anlagenbaus und des Bauwesens. Die Technische Mechanik, ein auf die Lösung technischer Probleme angewandtes Teilgebiet der Physik, gilt in ihrer Handhabung als besonders schwierig. ür viele Studenten ist sie neben der Mathematik das größte Hindernis für einen erfolgreichen Abschluss der Studien. Ziel dieses Buches ist es, dem Lernenden zu helfen, die unumgänglichen Schwierigkeiten zu bewältigen, indem er begreift, dass die vielen Einzelheiten durch einige wenige Prinzipien geordnet werden, deren wiederholte Anwendung vom Leichten zum Schweren fortschreitend ihn befähigen, selbständig Aufgaben zu lösen. Umfang, Auswahl und Darbietung der Lerninhalte orientieren sich an den Lehrplänen der achschulen für Technik (Technikerschulen), achrichtung Maschinenbau der Kultusministerien der Bundesländer. Da es sich um das Grundlagenwissen der Technischen Mechanik handelt, ist dieses Lehrbuch auch im Unterricht der Technischen Gymnasien, der achoberschulen Technik und für die berufliche ortbildung einsetzbar. Den Studenten der achhochschulen oder Technischen Universitäten erleichtert das Durcharbeiten dieses Buches das Verständnis ihrer Vorlesungen. ür sie und alle anderen, die im Selbststudium alte Kenntnisse erneuern oder neue erwerben wollen, sind die Lektionen nach einem einheitlichen, auf der folgenden Seite beschriebenen Schema aufgebaut. Der Beruf des Technikers verlangt es, in einer technischen Aufgabe das physikalische Problem zu erkennen und diesem eine mathematische orm zu geben, mit der gerechnet werden kann. Die Aufteilung des gesamten Stoffes in kurze, überschaubare Lektionen ermöglicht es, jeweils ein Problem in den Vordergrund zu stellen. Wo es sich anbietet, werden dabei Beispiele aus der Praxis des Maschinenbaus herangezogen. Eine Zeichnung stellt das Problem dar und aus den erkennbaren Zusammenhängen werden dann Berechnungsgleichungen und Grundlagenformeln entwickelt. Entsprechend der Zielsetzung dieses Buches wird auf die Methoden der höheren Mathematik verzichtet. Die ausgewählten Aufgaben variieren die Problemlösungsmöglichkeiten und führen zur estigung der erworbenen ertigkeiten und Kenntnisse. Die vorliegende 0. Auflage des Buches wurde im Vergleich zu 9. Auflage umfassend überarbeitet und aktualisiert. Die Gliederung der Hauptkapitel mit den Buchstaben A (Statik), B (Dynamik) und C (estigkeitslehre) spiegelt auch die Schwerpunktthemen der Technischen Mechanik wieder. Durch die im Buch vielfältig aufgeführten Verweise zu den verschiedenen Kapiteln wird für den Lernenden eine Querverbindung zwischen den Kapiteln geschaffen. Die 0. Auflage des Buches enthält eine Vielzahl an farbig gestalteten Bildern, die dem Lernenden die theoretischen Zusammenhänge anschaulich näher bringen. Zusätzliche Bilder aus der Praxis führen zu einem besseren Realitätsbezug. Angegebene Merksätze fassen die theoretischen Inhalte in einer kurzen orm zusammen. ormeln werden, wenn erforderlich, auch hergeleitet, damit ein besseres Verständnis für den Lernenden entsteht. Die hierbei verwendeten ormelzeichen richten sich nach den DIN-, EN- und ISO-Normen sowie der einschlägigen Literatur. Das vorliegende Buch bietet dem Lernenden eine Vielzahl an Musteraufgaben, Übungsaufgaben und Vertiefungsaufgaben mit entsprechenden Lösungen in unterschiedlicher Tiefe. Der Lernende wird somit zu einer guten Einübung des Gelernten geführt. Wir wünschen unseren Leserinnen und Lesern viel reude beim Einstieg in die Technische Mechanik und bei der Anwendung der speziellen Gesetze auf die moderne Technik. Hinweise, die zur Verbesserung und Weiterentwicklung dieses Buches beitragen, nehmen wir gerne unter der Verlagsadresse oder per entgegen. Sommer 04 Autoren und Verlag

4 IV Zur Arbeit mit diesem Buch Soll es unterrichtsbegleitend verwendet werden, findet der Lernende hier die im Unterricht erläuterten Erkenntnisse und Zusammenhänge und die daraus resultierenden ormeln in den thematisch ausgerichteten Lektionen. Während die Übungsaufgaben mit dem Lösungsanhang je nach Kenntnisstand der häuslichen Nacharbeit dienen, wählt der Dozent aus den Vertiefungsaufgaben diejenigen aus die seinen Intentionen entsprechen. Beim Selbststudium ist es möglich, einige Lektionen, die nicht weiterführend sind, auszulassen. Sinnvoll aber ist es, jede Lektion, deren Inhalt man sich aneignen will, vollständig und in der gegebenen Reihenfolge durchzuarbeiten. Die Informationen (I) befinden sich meist am Beginn der Lektionen, oft sind sie aber auch Innerhalb der Lektion aufgeteilt. Die Erläuterungen der physikalisch-technischen Zusammenhänge führen in der Regel zu einer oder mehreren ormeln oder Konstruktionsverfahren. Die Anwendung der erworbenen Kenntnisse erfolgt in Musteraufgaben (M). Hier werden exemplarisch Problemstellungen aufgezeigt und ausführliche Lösungen vorgestellt, die einen möglichen Weg aufzeigen. In vielen ällen sind alternative Lösungswege möglich. Gegebenfalls werden in den Musteraufgaben noch spezielle Kenntnisse vermittelt. Die darauf folgenden Übungsaufgaben (Ü) dienen der Wiederholung und Vertiefung sowie der Überprüfung des Gelernten durch den Studierenden. Deshalb befinden sich am Schluss des Buches ausführliche Lösungsgänge. Diese Buchseiten sind mit einem gelben Randdruck gekennzeichnet. Möchte der Lernende sein Wissen weiter vertiefen oder sich auf Prüfungen vorbereiten, löst er zweckmäßig die Vertiefungsaufgaben (V). Am Schluss des Buches befinden sich die Ergebnisse dieser Vertiefungsaufgaben. Diese Buchseiten sind mit einem grünen Randdruck gekennzeichnet. Der Zweck dieses pädagogischen Prinzips I, M, Ü, V innerhalb jeder Lektion besteht darin, dass der Lernende in mehreren Stufen, d.h. mit einem zunehmenden Grad an Selbständigkeit, zum Lehrziel geführt wird. Deshalb musste nach meinem pädagogischen Verständnis auch auf die Lösungs - gänge der Vertiefungsaufgaben zwingend verzichtet werden. Die Kombination aus Unterricht und Selbststudium, z. B in Abendkursen, findet in der Methodik dieses Lehrbuches eine Unterstützung durch die Verlegung von Unterrichtssequenzen in die Hausarbeit. Das Buch ist in die Abschnitte A (Statik) B (Dynamik C (estigkeitslehre) unterteilt, und die Bezeichnung der Lektionen besteht aus einem Buchstaben und einer Zahl, und zwar vor den Überschriften der Lektionen, z. B.: B7 Lektion 7 im Abschnitt B Diese Kennzeichnung ermöglicht die Verkettung der Sachverhalte in der Technischen Mechanik durch ein besonderes Hinweissystem, z. B.: ( C3): Weitere Informationen im Abschnitt C, Lektion 3 In das Buch ist also gewissermaßen ein ahrplan durch die Technische Mechanik eingebaut. Dieser ermöglicht eine optimale Lehrbuchnutzung und lässt den Lernenden eher begreifen, dass, die Physik und im Speziellen die Technische Mechanik trotz der vielen Teilgebiete und Richtungen eine zusammenhängende Wissenschaft ist, und wir hoffen, dass der pädagogische Wert seine Anerkennung findet. Wir gehen davon aus, dass die vielen über das gesamte Buch verteilten Praxisbilder bei den Lernenden einen zusätzlichen Motivationsschub bewirkt. Sommer 04 Autoren und Verlag

5 V A STATIK A Die Verknüpfung von Physik und Technik 3. Bedeutung der klassischen Physik für die Technik Zweige und Entwicklungszeiträume der klassischen Physik Bedeutung der Mechanik der festen Körper für technische Problemlösungen Teilgebiete der Technischen Mechanik Statik Kinematik Kinetik Dynamik estigkeitslehre Berechnungsmethoden der Statik Zustandsform der Werkstoffe und Werkstoffeigenschaften A Kraft und Kraftmoment 0. Basisgrößen und abgeleitete Größen Physikalische Größen der Statik Kraft und Kraftmoment als physikalische Größen Krafteinheit Gewichtskraft und die alte Krafteinheit Das Kraftmoment Wirkungen der Kraft auf einen Körper Kraft als Vektor und die Kraftmerkmale Erweiterungssatz Längsverschiebungssatz Richtung einer Kraft im rechtwinkligen Koordinatensystem A3 reiheitsgrade eines Körpers 7 3. reiheitsgrade eines Körpers in der Ebene reiheitsgrade eines Körpers im Raum A4 reimachen von Bauteilen 8 4. Wechselwirkungsgesetz reimachen Regeln für das reimachen von Bauteilen A5 Kräfte auf derselben Wirkungslinie 4 5. Hauptaufgaben der Statik Die erste Hauptaufgabe der Statik Die zweite Hauptaufgabe der Statik Die zwei Kräftesysteme der Statik Sonderfall des zentralen Kräftesystems: gemeinsame Wirkungslinie Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden Rechnerische Ermittlung der Resultierenden A6 Zusammensetzen von zwei Kräften, deren Wirkungslinien (WL) sich schneiden 8 6. Anwendung des Längsverschiebungssatzes Der Parallelogrammsatz

6 VI Inhaltsverzeichnis A7 Zerlegung einer Kraft in zwei Kräfte 3 7. Die Richtungen beider Kraftkomponenten sind bekannt Horizontal- und Vertikalkomponente Größe und Richtung einer Kraftkomponente sind bekannt Das Übertragen der Kraftrichtungen vom LP in den KP A8 Zusammensetzen von mehr als zwei in einem Punkt angreifenden Kräften Lösung der Aufgabe mit mehreren Kräfteparallelogrammen Lösung mittels Krafteck A9 Erste Gleichgewichtsbedingung der Statik 4 9. Das geschlossene Krafteck bei Kräftegleichgewicht Rechnerische Ermittlung der Resultierenden aus den Horizontal- und Vertikalkomponenten A0 Bestimmung unbekannter Kräfte im zentralen Kräftesystem Kräftegleichgewicht im Zentralpunkt Zeichnerische Ermittlung unbekannter Kräfte Rechnerische Ermittlung unbekannter Kräfte Die Vorzeichenregel A Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kräftesystem 49. Nochmalige Definition des allgemeinen Kräftesystems Wiederholte Konstruktion des Kräfteparallelogrammes Verwendung von Zwischenresultierenden A Zeichnerische Ermittlung der Resultierenden mit dem Seileckverfahren 5. Erforderlichkeit eines universellen Lösungsverfahrens zur zeichnerischen Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kräftesystem Zusammensetzen von zwei Kräften mit der Seileckkonstruktion Lösungsverfahren Konstruktionsbegründung Begriffe Zusammensetzen von mehr als zwei Kräften mit der Seileckkonstruktion Lösungsschritte Konstruktionsbegründung A3 Kräfte als Ursache einer Drehbewegung Kraftmoment der Resultierenden Drehrichtung und wirksamer Hebelarm Drehsinn und Vorzeichen des Drehmomentes Das resultierende Drehmoment Erzeugung von Drehmomenten durch Schrägkräfte Die zweite Gleichgewichtsbedingung der Statik Kräftepaar und der Parallelverschiebungssatz A4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden im allgemeinen Kräftesystem Der Momentensatz Bestimmung der Resultierenden mit Hilfe des Momentensatzes

7 Inhaltsverzeichnis VII A5 Bestimmung der Auflagerkräfte beim Träger auf zwei Stützen Rechnerische Bestimmung der Auflagerkräfte Zeichnerische Bestimmung der Auflagerkräfte A6 Bestimmung von Schwerpunkten mittels Momentensatz Der Schwerpunkt als Massenmittelpunkt Linienschwerpunkte Gerade Linie (Strecke) Gerader Linienzug Gekrümmte Linie lächenschwerpunkte Schwerpunktlage von Einzelflächen Schwerpunktlage von zusammengesetzten lächen Körperschwerpunkte A7 Bestimmung von Schwerpunkten mittels Seileckkonstruktion Zeichnerische Bestimmung von Linienschwerpunkten Zeichnerische Bestimmung von lächenschwerpunkten A8 Gleichgewicht und Kippen Die Gleichgewichtsarten Die Standfestigkeit der Körper Kippsicherheit A9 Regeln von Guldin Volumenberechnung Oberflächenberechnung (Mantelberechnung) A0 Statisch bestimmtes ebenes achwerk achwerkdefinition Das ideale achwerk Bedingung des statisch bestimmten achwerkes achwerkformen A Zeichnerische Stabkraftermittlung mittels Krafteck 95 A Zeichnerische Stabkraftermittlung mittels Cremonaplan 98 A3 Zeichnerische Stabkraftermittlung mittels Culmann schem Schnittverfahren 00 A4 Rechnerische Stabkraftermittlung mittels Ritter schem Schnittverfahren 0 A5 Die Reibungskräfte Äußere und innere Reibung Haft- und Gleitreibung Das Reibungsgesetz nach Coulomb Die Reibungszahl Die Einflussparameter der Reibungszahl

8 VIII Inhaltsverzeichnis A6 Reibung auf der schiefen (geneigten) Ebene 0 6. Bestimmung der Reibungszahlen Selbsthemmung Selbsthemmungskriterien Reibungsdreieck und Reibungskegel Wirkkräfte auf der schiefen Ebene Kraft parallel zur schiefen Ebene Zugkraft bei Aufwärtsbewegung Haltekraft bei Abwärtsbewegung Kraft parallel zur Grundfläche der schiefen Ebene Aufwärtsbewegung Abwärtsbewegung A7 Reibung an Geradführungen 9 7. lachführungen Prismenführungen Unsymmetrische Prismenführung Symmetrische Prismenführung Zylinderführungen A8 Reibung in Gleitlagern 3 8. Tragzapfen (Querlager) Spurzapfen (Längslager) A9 Gewindereibung 5 9. Bewegungsgewinde Schraube mit lachgewinde Schraube mit Spitzgewinde oder Trapezgewinde Befestigungsgewinde A30 Seilreibung 30 A3 Reibungsbremsen und Reibungskupplungen Reibungsbremsen Backenbremsen Bandbremsen Einfache Bandbremse Die Summenbandbremse Die Differentialbandbremse Scheibenbremsen Reibungskupplungen A3 Rollreibung Der Rollwiderstand Der ahrwiderstand Die Rollbedingung

9 Inhaltsverzeichnis IX B DYNAMIK B Gleichförmige geradlinige Bewegung 45. Bewegungskriterien und Geschwindigkeit Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit B Ungleichförmige geradlinige Bewegung 5. Merkmale einer ungleichförmigen Bewegung Definition der Beschleunigung Die ungleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung Beschleunigung aus dem Ruhezustand Gleichmäßige Beschleunigung bei vorhandener Anfangsgeschwindigkeit Verzögerte Bewegungen Die gleichmäßig verzögerte Bewegung reier all und senkrechter Wurf nach oben allbeschleunigung Weitere ormeln zur gleichmäßig beschleunigten (verzögerten) Bewegung Gleichmäßige Beschleunigung mit v 0 = 0 und gleichmäßige Verzögerung mit v t = Gleichmäßige Beschleunigung mit v 0 0 und gleichmäßige Verzögerung mit v t B3 Zusammensetzung von Geschwindigkeiten 6 3. Vektoren und Skalare Das Überlagerungsprinzip bei geradlinigen Bewegungen Das Überlagerungsprinzip bei kreisförmigen Bewegungen Die vektorielle Addition von Geschwindigkeiten ührungs-, Relativ- und Absolutgeschwindigkeit B4 reie Bewegungsbahnen Der Grundsatz der Unabhängigkeit Der schiefe Wurf Zerlegen eines Vektors in seine Komponenten Der waagerechte Wurf B5 Trägheit der Körper Das erste Newton sche Axiom Das zweite Newton sche Axiom Die Krafteinheit Die Gewichtskraft B6 Das Prinzip von d Alembert Erweitertes dynamisches Grundgesetz Bewegung auf horizontaler Bahn Bewegung auf vertikaler Bahn Bewegung auf der schiefen Ebene Die Steigung auf der schiefen Ebene Kräfte bei beschleunigter Aufwärtsbewegung auf der schiefen Ebene Kräfte bei beschleunigter Abwärtsbewegung auf der schiefen Ebene

10 X Inhaltsverzeichnis B7 Kurzzeitig wirkende Kräfte Die Bewegungsgröße (Impuls) Die Impulsänderung eines Körpers Die Impulserhaltung Der Stoß Der unelastische Stoß Der elastische Stoß Der halbelastische Stoß Der schiefe Stoß B8 Arbeit und Energie Die mechanische Arbeit Die zeichnerische Darstellung der mechanischen Arbeit Die Arbeitskomponente der Kraft Der physikalische Unterschied zwischen mechanischer Arbeit und Drehmoment Energiearten und Energiespeicherung Die Gleichwertigkeit der mechanischen Arbeit und der mechanischen Energie Hubarbeit und potentielle Energie Arbeit auf der schiefen Ebene und die goldene Regel der Mechanik Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie Der Energieerhaltungssatz und Beispiele der Energieerhaltung Energieerhaltung bei der Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie Energieerhaltung beim wirklichen Stoß Weitere ormen der mechanischen Arbeit Die Kolbenarbeit Die ederspannarbeit als ormänderungsarbeit ederspannarbeit bei der Verformung aus ungespanntem Zustand ederspannarbeit bei der Verformung einer eder mit Vorspannung B9 Mechanische Leistung Leistung als unktion von Energie und Zeit Leistung als unktion von Kraft und Geschwindigkeit B0 Reibungsarbeit und Wirkungsgrad, Reibungsleistung 0 0. Reibungsarbeit Energieumwandlung bei der Reibung Umwandlung von Reibungsarbeit in Wärmeenergie Umwandlung von Reibungsarbeit in Schwingungsenergie Der mechanische Wirkungsgrad Der Gesamtwirkungsgrad einer Maschinenanlage Die Reibungsleistung B Wirkungsgrad wichtiger Maschinenelemente und Baugruppen 6. Gerade ührungen lachführungen Symmetrische Prismenführung Unsymmetrische Prismenführung Zylinderführung

11 Inhaltsverzeichnis XI. Schraubenwirkungsgrad lachgewinde Spitz- und Trapezgewinde B Drehleistung. Rotationsbewegung Drehzahl und Umfangsgeschwindigkeit Berechnung der Drehleistung bei gleichförmiger Drehbewegung Berechnung der Drehleistung aus Drehmoment und Drehzahl B3 Rotationskinematik 7 3. Bewegungszustände der Rotation Gleichförmige Drehbewegung Winkelgeschwindigkeit Die Umfangsgeschwindigkeit als unktion der Winkelgeschwindigkeit Die Drehleistung als unktion der Winkelgeschwindigkeit Der Drehwinkel bei gleichförmiger Rotation Die gleichmäßig beschleunigte oder verzögerte Drehbewegung Die Winkelbeschleunigung Analogien zwischen Translation und Rotation B4 Rotationsdynamik Die liehkraft Berechnung der liehkraft Coriolisbeschleunigung und Corioliskraft B5 Kinetische Energie rotierender Körper Rotationsenergie als kinetische Energie Das Trägheitsmoment Das Trägheitsmoment einer Punktmasse Das Trägheitsmoment einfacher Drehkörper Trägheitsmomente weiterer technisch wichtiger Drehkörper Trägheitsmomente zusammengesetzter Körper Verschiebungssatz von Steiner Reduzierte Masse Der Trägheitsradius Dynamisches Grundgesetz der Drehbewegung Dreharbeit in Abhängigkeit von Drehmoment und Drehwinkel Drehimpuls und Drehstoß Die Drehimpuserhaltung (Drallerhaltung) B6 Übersetzungsverhältnis beim Riementrieb Einfacher Riementrieb Doppelter Riementrieb und Mehrfachriementrieb B7 Übersetzungen beim Zahntrieb und in Getrieben Einfacher Zahntrieb Doppelter Zahntrieb und Mehrfachzahntrieb Die Bedeutung des Zwischenrades

12 XII Inhaltsverzeichnis 7.3 Drehzahlen bei gestuften Schaltgetrieben Drehzahlen bei stufenlosen Antrieben Getriebewirkungsgrad in Abhängigkeit von Drehmoment und Übersetzungsverhältnis B8 Kurbeltrieb 6 8. Die Schubkurbel Der Kolbenweg Näherungsgleichung zur Berechnung des Kolbenweges Die Kolbengeschwindigkeit Die Kolbenbeschleunigung Die Kurbelschleife C ESTIGKEITSLEHRE C Aufgabe der estigkeitslehre 67. Die drei Hauptaufgaben der estigkeitslehre Ermittlung der Bauteilabmessungen Ermittlung der übertragbaren Kräfte und Momente Werkstoffwahl Der idealisierte Körper Gültigkeitsbereich der elementaren estigkeitslehre C Spannung und Beanspruchung 69. Äußere Kraft und die Beanspruchung durch innere Kräfte Das Schneiden des Bauteiles zur Ermittlung der inneren Kraft und des inneren Moments Begriff und Ermittlung der Spannung Normalspannungen Schubspannungen Elementarbeanspruchungen an stabförmigen Körpern Zusammengesetzte Beanspruchungen C3 Beanspruchung auf Zug oder Druck Die statische Beanspruchung Beanspruchung auf Zug Begriff der zulässigen Spannung Beanspruchung auf Druck und gefährdeter Querschnitt Beispiele für das Erkennen des gefährdeten Querschnitts Ketten Die Reißlänge Auf Zug und Druck beanspruchte Schrauben C4 lächenpressung und Lochleibung 8 4. lächenpressung an ebenen lächen lächenpressung an geneigten ebenen lächen lächenpressung bei Gewinden lächenpressung an gewölbten lächen und Lochleibung Einflussgrößen auf die zulässige lächenpressung

13 Inhaltsverzeichnis XIII C5 Beanspruchung auf Abscherung 88 C6 Das Hooke sches Gesetz für Zug und Druck 9 6. Die Kraft als Ursache von Verformungen Arten der ormänderung eines Körpers Die elastische Verformung Die plastische Verformung Das Gesetz von Hooke Die Messung von Kräften Kraftmessung aufgrund der beschleunigenden Wirkung Kraftmessung aufgrund der verformenden Wirkung Hooke sches Gesetz und Bauteildimensionierung Dehnung und Verlängerung Zusammenhang zwischen Dehnung und Spannung C7 Querkontraktion Definition der Querkontraktion Zusammenhang zwischen Längsdehnung und Querdehnung C8 Belastungsgrenzen Spannungs, Dehnungs-Diagramm Die Grenzspannungen im, -Diagramm Die drei verschiedenen Belastungsfälle Belastungsfall I Belastungsfall II Belastungsfall III Einfacher Sicherheitsbegriff und zulässige Spannungen Die zulässige Spannung bei statischer Beanspruchung Das estlegen der Sicherheitszahl ~ und Angaben über zulässige Spannungen Einige wichtige Zusammenhänge zwischen verschiedenen Spannungen C9 Wärmespannung und ormänderungsarbeit Wärmespannung Einfluss der Temperatur auf das Werkstoffverhalten Wärmedehnung metallischer Werkstoffe ormänderungsarbeit C0 Verformung bei Scherung und lächenpressung Das Hooke sche Gesetz für Scherbeanspruchung (Schub) Die Hertz schen Gleichungen Pressung zwischen zwei Zylindern (Linienpressung) Pressung zwischen zwei Kugeln (Punktpressung) C Auf Biegung beanspruchte Bauteile 39. Beanspruchungen, die oftmals in Verbindung mit der Biegung auftreten Der Träger Lagerung der Träger Trägerbezeichnungen Trägerbezeichnungen, von der Trägerlagerung bestimmt Trägerbezeichnungen, von der Bauart bestimmt Trägerbelastungen und Belastungssymbole Der statisch bestimmte oder statisch unbestimmte Träger

14 XIV Inhaltsverzeichnis C Die Biegespannung 33. Abhängigkeit der Biegespannung vom Biegemoment Abhängigkeit der Biegespannung von orm und Lage der Querschnittsfläche Innere Kräfte und innere Momente bei Biegebeanspruchung Vorzeichenregeln für Biegemomente und Querkräfte Biegemomente Querkräfte Verteilung und Berechnung der Biegespannung Zulässige Biegespannungen Bedingungen für die Gültigkeit der Biegehauptgleichung C3 Rechnerische Ermittlung von Trägheits- und Widerstandsmomenten Äquatoriale Trägheitsmomente Das polare Trägheitsmoment Der Verschiebungssatz von Steiner Trägheitsmomente und Widerstandsmomente einiger technisch wichtigen Querschnitte Rechteckquerschnitt Kreisquerschnitt Dreieckquerschnitt Trägheits- und Widerstandsmomente zusammengesetzter lächen C4 Schiefe Biegung Hauptachsen im biegebeanspruchten Querschnitt Ermittlung der Hauptachsen und der Hauptträgheitsmomente Rechnerische Ermittlung Zeichnerische Ermittlung der Hauptträgheitsmomente Ermittlung der Biegespannung Lastebene liegt in einer der Hauptachsen (einachsige Biegung) Die Biegespannung bei zweiachsiger Biegung Biegespannungen in symmetrischen Querschnitten Biegespannungen in unsymmetrischen Querschnitten C5 Biegemomenten- und Querkraftverlauf beim reiträger reiträger mit Einzellasten reiträger mit gleichmäßig verteilter Streckenlast reiträger mit gemischter Belastung C6 Biegemomenten- und Querkraftverlauf beim Träger auf zwei Stützen Stützträger mit Einzellasten Träger auf zwei Stützen mit vielen gleich großen Einzellasten Träger auf zwei Stützen mit gleichmäßig verteilter Streckenlast Träger auf zwei Stützen mit Mischbelastung C7 Träger gleicher Biegespannung Der Gedanke der wirtschaftlichen Konstruktion Berechnung von Trägern gleicher Biegefestigkeit reiträger mit einer Einzellast am Trägerende Rechteckquerschnitt mit konstanter Höhe und veränderlicher Breite Rechteckquerschnitt mit konstanter Breite und veränderlicher Höhe

15 Inhaltsverzeichnis XV C8 Verformung bei Biegebeanspruchung Die Verformung im elastischen Bereich Der Krümmungsradius der Biegelinie Berechnung der Durchbiegung und des Neigungswinkels reiträger mit einer Einzellast am Trägerende Träger auf zwei Stützen mit einer Einzellast in Trägermitte reiträger mit Streckenlast Resultierende Durchbiegung Resultierende Durchbiegung bei einachsiger Biegung Resultierende Durchbiegung bei schiefer Biegung C9 Torsionseanspruchung Drehmoment als Ursache der Torsion Ermittlung des Torsionsmomentes Berechnung der Torsionsspannung Polares Widerstandsmoment für den Kreisquerschnitt Polares Widerstandsmoment für den Kreisringquerschnitt C0 Verformung bei Torsion Analogie zwischen Zug und Torsion Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul und Gleitmodul Größe des Verdrehwinkels (Torsionswinkel) C Knickfestigkeit 388. Unterscheidung von Druckbeanspruchung und Knickbeanspruchung Schlankheitsgrad und Einspannungsfälle C Knickspannung 390. Definition der Knickspannung Ermittlung der Knickkraft bei elastischer Knickung C3 Unelastische Knickung (Tetmajerknickung) Grenzschlankheitsgrad Knickspannung bei unelastischer Knickung C4 Knickstäbe im Stahlbau Normenwerk Besonderheiten bei der Verwendung von ormelzeichen und Nebenzeichen Arten der Knickung gemäß DIN Tragsicherheitsnachweis mit dem Kappa-Verfahren (Δ-Verfahren) C5 Beanspruchung auf Biegung und Zug oder Druck 398 C6 Beanspruchung auf Zug und Schub, Druck und Schub, Biegung und Schub 40 C7 Beanspruchung auf Biegung und Torsion 404 C8 Dauerfestigkeit, Schwellfestigkeit, Wechselfestigkeit Dauerstandfestigkeit Schwellfestigkeit Wechselfestigkeit

16 XVI Inhaltsverzeichnis C9 Ermittlung der Dauerfestigkeit Gewalt- und Dauerbruch Ermittlung von Schwell- und Wechselfestigkeit Konstruktion des Dauerfestigkeitsschaubildes Zulässige Spannungen, erweiterter Sicherheitsbegriff C30 Gestaltfestigkeit Dauerfestigkeit und Bauteilgröße Dauerfestigkeit und Bauteiloberfläche Dauerfestigkeit und Bauteilform Kerbwirkung Berechnung der Kerbwirkung Gestaltfestigkeit in Abhängigkeit von Bauteilgröße, Bauteilform und Bauteiloberfläche C3 Experimentelle Spannungsanalyse Messung von Spannungen am fertigen Bauteil Spannungsanalyse mittels Dehnungsmessstreifen Spannungsanalyse mittels Spannungsoptik Spannungsanalyse mittels inite Elemente Methode Lösungsgänge und Lösungen zu den Übungsaufgaben 453 Ergebnisse der Vertiefungsaufgaben 49 Sachwortverzeichnis 5 Griechisches Alphabet 50 Römische Ziffern 50

17 6 A Statik STATIK V 7 V 8 V 9 V 0 V V V 3 V 4 An welchen Gegenständen des täglichen Gebrauchs wird die Wirkung a) durch ein Drehmoment, b) durch ein Biegemoment sichtbar? Nach welchem Kriterium wird Ihrer Meinung nach der Kräftemaßstab KM festgelegt? Nehmen Sie zwei Kräfte Ihrer Wahl aus dem System des nebenstehenden Bildes heraus, und fügen Sie zwei andere Kräfte hinzu, ohne das Kräftegleichgewicht zu verändern. Es ist ein KM: cm v 50 N vorgeschrieben. Welche Länge hat dann der Kraftpfeil einer Kraft = 37 N? A B Zeichnen Sie eine Kraft = 350 N mit dem Winkel å = 8 gegen 3 die Horizontale, und zwar nach rechts oben ansteigend. C 3 KM: cm v 00 N. Nennen Sie einige typische Teile von technischen Gerätschaften, die man von ihrer Konstruktion und von ihrem Verwendungszweck her gesehen als Kraftangriffspunkt bezeichnen kann. Erläutern Sie das Zustandekommen der Einheit Nm für das Kraftmoment. Ein Kraftmoment wird in einer Rechnung mit dem ormelzeichen M t bezeichnet. a) Wie heißt ein solches Kraftmoment, und was bewirkt es? b) Welches andere ormelzeichen lässt die DIN 304 ormelzeichen noch zu? c) Nennen Sie Maschinenteile oder Teile technischer Gerätschaften, die zwecks Aufnahme solcher Kraftmomente konstruiert sind. Großkugellager des Maschinenbauunternehmens INA-Schaeffler Thomas Otto otolia.com

18 A3 reiheitsgrade eines Körpers 7 A3 reiheitsgrade eines Körpers Verschiebt man mit Hilfe einer Kraft einen Körper, dann nimmt man Einfluss auf seine Lage, d. h. auf den Ort, an dem sich der Körper befindet. Dieser Sachverhalt wird im Teilgebiet Dynamik ( B bis B4) eingehend betrachtet. Dort lernen Sie, dass bei den Bewegungen wie folgt unterschieden wird: Translation geradlinige Bewegung Rotation Drehbewegung Voraussetzung für solche Bewegungen ist allerdings, dass es für den Körper Bewegungsmöglichkeiten gibt. Bei der im Bild dargestellten Prismenführung gibt es z. B. nur eine Bewegungsmöglichkeit, die Hin- und Herbewegung, also eine Translationsbewegung. Nur eine Bewegungsmöglichkeit liegt auch bei dem im Bild dargestellten Stirnrad vor. Dieses führt eine Rotationsbewegung aus, verursacht durch ein Drehmoment. Translation Prismenführung Stirnrad mit Zahnstange STATIK Jede Bewegungsmöglichkeit eines Körpers wird als reiheitsgrad bezeichnet. Ein Körper hat demzufolge ebensoviele reiheitsgrade wie er Bewegungsmöglichkeiten hat. In den beiden Bildern und liegt also jeweils nur ein reiheitsgrad vor. Translation und Rotation 3. reiheitsgrade eines Körpers in der Ebene Wenn man voraussetzt, dass der im Bild 3 dargestellte Körper die Ebene x-y (gerasterte läche) stets genau berührt, dann hat der Körper nur die Bewegungsmöglichkeiten T und T (Trans - lationen) sowie R (Rotation). Man kann sich also jede beliebige Bewegung in der Ebene aus den Einzelbewegungen T, T und R, die in verschiedenen Zeiten oder gleichzeitig ablaufen können ( B) zusammengesetzt denken. Bewegungsmöglichkeiten bestehen also in x- und y-richtung und um die z-achse. z T y R T T T x 3 In der Ebene hat ein Körper drei reiheitsgrade. y T T 3. reiheitsgrade eines Körpers im Raum Jede beliebige Bewegung eines Körpers im Raum kann man sich aus den Einzelbewegungen T, T, T 3 und R, R, R 3 (Bild 4) zusammengesetzt denken. Somit: T 3 z R 3 R R T x T 3 Im Raum hat ein Körper sechs reiheitsgrade. T 4 Ü Ü Ü 3 Wie kann die Lage eines Körpers verändert werden? Was wird vorausgesetzt? Wie viele reiheitsgrade hat der Planschlitten einer Spitzendrehmaschine, bezogen auf das Drehmaschinenbett? Nennen Sie die maximale Anzahl von Einzelbewegungen, auf die sich eine beliebige Bewegung zurückführen lässt. Wie viele reiheitsgrade können demzufolge vorliegen?

19 8 A Statik A4 reimachen von Bauteilen 4. Wechselwirkungsgesetz STATIK Viele Erfahrungen des täglichen und beruflichen Lebens zeigen, dass beim Wirken einer Kraft auf einen Körper von diesem eine gleich große Kraft in entgegengesetzter Richtung auf den Körper zurückwirkt. Beim Stehen auf dem ußboden oder beim Sitzen auf einem Stuhl wirkt das Körpergewicht, also die Gewichtskraft G auf eine Unterlage. Von dieser wirkt aber, gewissermaßen als Reaktion, eine gleich große Gegenkraft auf den Körper zurück. Dieser Sachverhalt ist im dritten Newton schen Axiom formuliert und wird auch als Wechselwirkungsgesetz bezeichnet. Begründet wird dies dadurch, dass zwischen der wirkenden Kraft (Aktionskraft) und der zurückwirkenden Kraft (Reaktionskraft oder Gegenkraft) eine Wechselwirkung besteht. Dies ist am Beispiel eines Pkw-Vorderrades (Bild ) gezeigt. Es ist zu erkennen: G = G Wirkung = Gegenwirkung Kraft = Gegenkraft Aktion = Reaktion Aktionskraft = Reaktionskraft Kraft und Gegenkraft wirken an verschiedenen Körpern. Das dritte Newton sche Axiom wird auch als Prinzip von actio und reactio bezeichnet. Es ist ein grundlegendes Prinzip der Statik und soll deshalb an einem weiteren Beispiel (Bild ) erläutert werden. Dieses Bild zeigt einen Läufer beim Tiefstart. Er wirkt mit einer Kraft auf den Boden der Laufbahn, und der Boden wirkt mit der gleich großen Kraft auf den Läufer zurück. Dabei ist eine Reibungskraft ( A5 bis A3), die z. B. auf einer Eisfläche kaum entstehen könnte. Der Vorgang im Bild ließe sich dann nur mit Hilfe von Spikes realisieren. Das Wechselwirkungsgesetz lautet also wie folgt: Wirkt von einem Körper eine Kraft auf einen zweiten Körper, dann wirkt gleichzeitig eine gleich große, aber entgegengesetzte Kraft vom zweiten Körper auf den ersten Körper zurück. 4. reimachen Das Wechselwirkungsgesetz ist auf alle sich berührenden Körper bei technischen Gerätschaften und Maschinen werden Körper meist als Bauteile bezeichnet anwendbar, und es ist bereits bekannt, dass der Konstrukteur die wirkenden Kräfte als Belastungskräfte und die Reaktionskräfte als Stützkräfte bezeichnet. Dies wurde bereits im Bild 4/7 gezeigt, und dieses Beispiel einer belasteten Brücke ist nochmals im Bild 3 dargestellt. Ausgehend von den bekannten Belastungskräften werden mit Hilfe der Gesetze der Statik die Stützkräfte (Bild 4) ermittelt, so wie dies bereits beschrieben wurde ( A.3). Am Beispiel der Brücke ist zu erkennen: A Belastungskräfte (bekannt) Stützkräfte (gesucht) B 3 Sowohl die Aktionskräfte (Belastungskräfte) als auch die Reaktionskräfte (Stützkräfte) greifen am Bauteil an und belasten dieses. Um eine Aussage über die Bauteilabmessungen machen zu können, müssen alle auf das Bauteil wirkenden Kräfte, also neben den Aktionskräften auch die Reaktionskräfte, bekannt sein. A B 4

20 A4 reimachen von Bauteilen 9 Bild soll nochmals den Unterschied zwischen Belastungskräften und Stützkräften verdeutlichen. Manchmal ist auch eine begrifflich eindeutige Zuordnung schwer möglich. Dies ist deutlich an der zweiten Stütze von rechts zu erkennen: Die ahrbahn erzeugt oben an der Stütze eine Belastungskraft, die Stütze reagiert mit einer Stützkraft von unten auf die ahrbahn zurück. Das von der Stütze aufgenommene ahrbahngewicht plus dem Stützengewicht wirken als Belastungskraft auf den Bogen und der Bogen wirkt mit einer entsprechenden Stützkraft zurück auf die Stütze. STATIK Sankt-Gallen ürstenlandbrücke Schlierner otolia.com Im Maschinen- und Anlagenbau sind die Belastungs- und Stützkräfte meist einfacher zu erkennen. Dies wird am Beispiel einer Wellenlagerung (Bild ) deutlich. Die Belastungskraft (Aktionskraft) ruft die Lagerkräfte A und B (Reaktionskräfte) hervor. Ein weiteres Beispiel zeigen die Bilder 3/8 und 4/8. Es ist zu erkennen, dass für die Berechnung des Bauteils nur alle angreifenden Kräfte, nicht aber die tragenden Bauteile erforderlich sind. Man ersetzt also die tragenden Bauteile durch die dort wirkenden Kräfte und bezeichnet dies als das reimachen der Bauteile. reimachen bedeutet, dass man alle das Bauteil tragenden Teile, wie Lager, Stützen, Einspannungen etc. durch die von diesen auf das Bauteil wirkenden Reaktionskräfte ersetzt. A freigemachte A Welle B B Dies wird im Bild 3 durch ein weiteres Beispiel verdeutlicht. Bild 4 zeigt, dass man beim reimachen am besten in mehreren Schritten vorgeht. Dabei ist es gleichgültig, in welcher Reihenfolge dies geschieht, z. B. könnte es wie folgt geschehen: Schritt : Hebel wird vom Lager freigemacht Schritt : Hebel wird von der Kette freigemacht Schritt 3: Zusammenfassung der Schritte und, d. h. dass der Hebel vollkommen freigemacht ist. freigemachter Wandarm 3 G ist eine Aktionskraft, K und L sind Reaktionskräfte. Es ist zu erkennen, dass Reaktionskräfte nur an den Stellen des freizumachenden Bauteils angreifen können, wo sich dieses mit anderen Bauteilen berührt. Dabei gilt als vereinbart: Beim reimachen wird der Angriffspunkt, die (ungefähre) Richtung der Wirkungslinie WL und der Richtungssinn (z. B. nach oben oder unten) der Reaktionskräfte, nicht (!!!) aber die Größe (Betrag) der Kraft ermittelt. Wichtige Regeln für das reimachen von Bauteilen sind auf der nächsten Seite zusammengefasst. Belastungssituation Kette Hebel G Last Lager Kette G Schritt L K K freigemachter Hebel G Schritt Lager G Schritt 3 L 4