15. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

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1 5. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 5.. Eiführug Ereigisse sid oft icht geau vorhersagbar. Ma weiß vorher icht sicher, ob sie eitrete werde. Solche Ereigisse et ma zufällig. Beispiele: Müzwurf (Kopf oder Zahl) Roulette Bredauer eier Glühbire Wettervorhersage Ufälle i eiem bestimmte Zeitraum Ufälle auf eiem bestimmte Streckeabschitt Das Maß für die Erwartug, mit der ei beliebiges Ereigis E eitritt, et ma Wahrscheilichkeit P(E). (P... probability, egl.) Die Agabe eier kokrete Zahl für die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses ist problematisch, da es bis jetzt keie eideutige mathematische Defiitio vo Wahrscheilichkeit gibt. Es gibt ur für gewisse Fälle Regel, wie ma Ereigisse sivolle Wahrscheilichkeite zuorde ka. Das Agebe vo Wahrscheilichkeite ist daher am eheste mit dem physikalische Messe eier Größe vergleichbar. Der Meßwert ist immer mit eiem bestimmte Meßfehler behaftet ud hägt immer vo de Meßmethode bzw. vom Iformatiosstad ab. Es ist sogar umstritte, ob es überhaupt eie objektiv existierede geaue Wert für die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses gibt. Somit ist die Aahme eies Wertes für die Wahrscheilichkeit eie ützliche Fiktio, um damit weitere Aussage bereche zu köe. Ausgagspukt für die Wahrscheilichkeitstheorie war die Theorie der Glückspiele, die vo Blaise PASCAL begrüdet ud vo Jakob BERNOULLI ( ) sowie vo Pierre Simo de LAPLACE ( ) weiteretwickelt wurde ud schließlich zur achstehede Wahrscheilichkeitsdefiitio führte

2 Laplace Wahrscheilichkeit für ei Ereigis E (klassische Wahrscheilichkeit, Wahrscheilichkeit als relativer Ateil): PE ( ) Azahl der für E güstige Fälle Azahl der mögliche Fälle Diese Defiitio gilt ur uter bestimmte Voraussetzuge ud für ur für bestimmte Ereigistype. Sie ist aber für ei erstes Verstädis für de Begriff der Wahrscheilichkeit sehr zweckmäßig. Auf die geauere Radbediguge wird im Verlauf der weitere Abschitte och im Detail eigegage. Beispiel: Ermittel Sie die Wahrscheilichkeit, beim Würfel eie ugerade Zahl zu erhalte. Ermittel der güstige Fälle: G { 35 ; ; }; z( G) 3 Ermittel der mögliche Fälle: M { ; ; ; ; ; }; z( M) 6 Berechug der Wahrscheilichkeit: 3 PE ( ) 05, 6 Die Wahrscheilichkeit ist 0,5; das etspricht 50%. Das Ergebis im obige Beispiel ist leicht ohe mathematische Mittel achvollziehbar. I viele Fälle - ma deke a das Zahlelotto 6aus 45 - ist es icht oder ur mit großem Aufwad möglich, die Azahl der güstige ud mögliche Fälle zu ermittel, z.b. die Azahl der richtige Dreier. Daher beschäftigt sich der erste Abschitt i diesem Kapitel mit dem Ermittel derartiger Azahle, mit der sogeate Kombiatorik. Die Kombiatorik ist die Kust des Zähles ohe tatsächlich zu zähle ud ist somit ei Hilfsmittel für die Wahrscheilichkeitsrechug. Vor allem bei mehrstufige Versuche - d.h. Versuche, die aus mehrere Teilversuche bestehe, die acheiader oder gleichzeitig durchgeführt werde - trete oft verschiedee Ereigisse auf mit jeweils gleicher Wahrscheilichkeit. Für die Agabe der Wahrscheilichkeit ist die Ketis der geaue Zahl aller mögliche Ereigisse ötig. Das Aufschreibe ud Abzähle aller Ereigisse ist aber besoders bei großer Versuchszahl überaus mühsam ud ka wesetlich eifacher durch kombiatorische Formel ersetzt werde

3 5.2. Kombiatorik (a) Der Begriff Faktorielle Da Berechuge im Rahme der Kombiatorik immer wieder zu eier bestimmte Produktbildug führe, soll die folgede vereifachte Schreibweise am Begi dieses Abschitts stehe. Das Produkt ( 2) ( ) i! i heißt Faktorielle oder Fakultät. Beispiel: 6! Tascherecher mit x! - Taste köe üblicherweise bis 69! reche; 70! ist bereits eie so große Zahl, daß sie auch uter Zuhilfeahme der Expoetialschreibweise auf Tascherecher icht mehr ausgegebe werde ka. Defiitio: 0! Satz: ( )!! Beweis des Satzes: l.s.: ( )! 2...( 2) ( ); ( )! 2...( 2) ( ) r.s.:! 2...( 2) ( ) ud daher l.s. r.s. Beispiel: Zeige Sie, daß ( + )!! ( + )! +! + 2 gilt. ( + )! ( + )! ( + )!! ( + )! +! [ ] [ ]! +! Beispiel: Bereche Sie 95! 93! ! 93!

4 (b) Permutatioe Permutatioe (permutare, lat.... vertausche) sid Vertauschuge vo Elemete. Abhägig davo, ob die Elemete alle uterschiedlich sid oder icht, spricht ma vo Permutatioe mit oder ohe Wiederholug.. Fall: Permutatio vo verschiedee (d.h. uterscheidbare) Elemete Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, 0 Persoe i eier Reihe aufzustelle? Für de erste Platz stehe 0 Persoe zur Verfügug 0 Möglichkeite Für de zweite Platz stehe 9 Persoe zur Verfügug 9 Möglichkeite Für de dritte Platz stehe 8 Persoe zur Verfügug 8 Möglichkeite... Für de zehte (letzte) Platz steht ur och Perso zur Verfügug Möglichkeit Isgesamt ! verschiedee Möglichkeite Es gibt0! Möglichkeite Die Tatsache, daß es sich um Permutatioe lauter verschiedeer Elemete hadelt, bezeichet ma als Permutatio ohe Wiederholug. Die Azahl der Permutatioe vo Elemete ohe Wiederholug ist P! 2. Fall: Permutatio vo Elemete, vo dee jeweils k, k 2,... k m icht uterscheidbar sid Beispiel: 7 Mäer, 4 Fraue ud 5 Kider solle uterschiedlich i eier Reihe aufgestellt werde, wobei icht zwische de eizele Mäer, Fraue ud Kider uterschiede werde soll Bei dieser Aufgabe sid icht alle 6! 2, Möglichkeite der Aordug wirklich verschiede, de es gibt 7! Möglichkeite, bei dee ur die Mäer utereiader Plätze tausche ud somit icht die Gesamtaordug vo Mäer i Platzbezug auf Fraue ud Kider geädert wird. Aaloges gilt für 4! Möglichkeite der Fraueplatzwechsel ud 5! Möglichkeite des Kiderplatzwechsels

5 Es gibt also ur 6! 7! 4! 5! mögliche Aorduge vo Mäer, Fraue ud Kider, die i dieser Aufgabe wirklich als verschiede azusehe sid. Gilt k + k k, so gibt es also 2 wiederhole. m! k! k2!... k m! verschiedee Permutatioe, we sich Elemete Die Azahl der Permutatioe vo Elemete mit Wiederholug ist k k km P, 2,...,! 2 k! k!... k! m mit k + k k 2 m Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Permutatioe typisch: - Aus Elemete werde alle Elemete eibezoge aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist etscheided Reihefolge: ja - Abhägig vo der Uterscheidbarkeit der Elemete gibt es Permutatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei (c) Variatioe Will ma aus eier Gesamtheit vo verschiedee Elemete geordete Stichprobe bestehed aus k Elemete etehme, so spricht ma vo Variatioe. Abhägig davo, ob die eizele Elemete zwische de Ziehuge zurückgelegt werde, spricht ma vo Variatioe mit oder ohe Wiederholuge.. Fall: Variatioe ohe Wiederholug Beispiel: I eiem Verei solle aus 20 Persoe die Ämter des Obmas, des Stellvertreters, des Schriftführers ud des Kassiers besetzt werde. Wieviele Möglichkeite gibt es? Für de Obma gibt es afags 20 Möglichkeite aus de 20 Persoe zu wähle. Da es keie Doppelbesetzuge gebe ka, gibt es für de Stellvertreter u ur och 9 Möglichkeite, da weiterführed für de Schriftführer ur och 8 Möglichkeite ud letztedlich für das Amt des Kassiers - 0 -

6 stehe och 7 Persoe zur Verfügug. Es gibt als Möglichkeite zur Besetzug der Poste. 20! Verwedet ma die Fakulätsschreibweise, ergibt sich: ! 20! ( 20 4)! Will ma aus eier Gesamtheit vo verschiedee Elemete geordete Stichprobe bestehed aus k (k<) Elemete etehme ud legt die Etommee icht zurück, so gibt es also! ( )...( k+ ) verschiedee geordete Stichprobe vom Umfag k. ( k)! Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete ohe Wiederholug ist: V k! ( k)! 2. Fall: Variatioe ohe Wiederholug Beispiel: Aus eier Gruppe vo 0 Persoe solle für 3 kleiere Aufgabe eizele Persoe ausgewählt werde. Wieviele Möglichkeite gibt es dafür, we theoretisch auch ei ud dieselbe Perso alle 3 Aufgabe überehme ka? Für die erste Aufgabe gibt es 0 Möglichkeite aus de 0 Persoe zu wähle. Für die zweite Aufgabe ka wieder aus alle 0 Persoe gewählt werde, es gibt es wieder 0 Möglichkeite. Da jede der erste 0 Möglichkeite mit de zweite 0 Möglichkeite kombiiert werde ka, gibt es bis hierher also Möglichkeite. Da es für die dritte Aufgabe wieder 0 Möglichkeite gibt, köe die 00 bisherige Fälle mit jeder dieser 0 letzte Möglichkeite kombiiert werde. Isgesamt gibt es also Möglichkeite. Es gibt 000 Möglichkeite. Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete mit Wiederholuge ist: w V k k - -

7 Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, eie Totoschei auszufülle? 3 Elemete Tips: Tip ; Tip 2; Tip X; 3 2 Stichprobe Spiele; k Möglichkeite Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Variatioe typisch: - Aus Elemete werde k Elemete eibezoge k aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist etscheided Reihefolge: ja - Abhägig vo der Möglichkeit des mehrmalige Vorkommes der Elemete gibt es Variatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei (d) Kombiatioe Bei ugeordeter Stichprobe kommt es icht auf die Reihefolge der ausgewählte Elemete a, d.h. die Auswahl a-b-c ist idetisch mit der Auswahl b-a-c oder a-c-b usw. Eie Stichprobe dieser Art bezeichet ma als Kombiatio. Abhägig davo, ob die eizele Elemete zwische de Ziehuge zurückgelegt werde, spricht ma vo Kombiatioe mit oder ohe Wiederholuge.. Fall: Kombiatioe ohe Wiederholug Die Zahl der Variatioe vo k Elemete aus Elemete ist durch V k gegebe. Ist u die Reihefolge der Aordug der k Elemete icht wesetlich, so sid all jee Variatioe idet, die aus deselbe k Elemete bestehe. Bei k ausgewählte verschiedee Elemete gibt es k! Möglichkeite, diese Elemete zu vertausche (permutiere). Daher bestimme jeweils k! geordete Stichprobe ei ud dieselbe ugeordete Stichprobe. Dividiert ma also die Zahl der Variatioe durch k!, so erhält ma die! Zahl der etsprechede Kombiatioe ud daher. ( k)! k! Die Zahl der Kombiatioe vo k Elemete aus Elemete ohe Wiederholug ist: K k! ( k)! k! - 2 -

8 Beispiel: 6 Persoe sitze bei eier Tischrude ud trike Sekt. Wie oft klige die Gläser, we sie eiader alle zuproste? Es werde jeweils Stichprobe vom Umfag 2 ohe Wiederholug ausgewählt, da je zwei Persoe miteiader astoße, aber iemad mit sich selbst. Außerdem gilt a-b ist b-a ud es hadelt sich daher 2 um eie ugeordete Stichprobe mit 6, k 2: K 6! 6 7! 4! 5 Die Gläser klige 5 mal. De Bruch! ( k)! k! schreibt ma der Kürze wege oft auch als (gesproche: über k ) ud et k diese Ausdruck Biomialkoeffiziet, worauf im Abschitt Biomischer Lehrsatz äher eigegage wird. Biomialkoeffiziet:! ( k)! k! k Satz: k k Beweis des Satzes: l.s.: k! ( k)! k! ; r.s.:!! ; l.s. r.s. k ( ( k))!( k)! k!( k)! Beispiel: Wieviele Möglichkeite gibt es, eie 6 aus 45 -Lottoschei auszufülle? Die Reihefolge der 6 gezogee Kugel ist egal (ugeordete Stichprobe). Die eizele Kugel werde icht zurückgelegt (ohe Wiederholug). Daher ist 45, k6: K ! 39! 6! Es gibt Möglichkeite. Beispiel: Wieviele richtige Dreier ka es ach eier Lottoziehug gebe? Es stellt sich also vorerst die Frage, auf wieviele Arte ma 3 Zahle aus de 6 richtige ziehe ka. Diese Azahl ka ma mit alle Möglichkeite kombiiere, die es gibt, um die weitere 3 Zahle aus de 6 39 verbleibede 39 urichtige Zahle. Die gesuchte Azahl ist daher: Es gibt mögliche Dreier

9 2. Fall: Kombiatioe mit Wiederholug De Fall eier ugeordete Stichprobe aus eier Gesamtheit vo Elemete mit Zurücklege ka ma auf de Fall eier ugeordete Stichprobe aus eier größere Gesamtheit ohe Zurücklege zurückführe. Zieht ma ämlich aus eier Gesamtheit vo Elemete k mal mit Zurücklege, so muß ma k Mal das gezogee Elemet wieder zurücklege, um dieselbe Ausgagsgesamtheit wieder herzustelle. Es ist daher gedaklich sivoll, vo Afag a k zusätzliche Elemete der Gesamtheit hizuzufüge ud k Mal aus dieser eue Gesamtheit ohe Zurücklege zu ziehe. Die eue Gesamtzahl beträgt da +k. Die Zahl der Kombiatioe vo k Elemete aus Elemete mit Wiederholug ist: w K k + k ( + k )! k ( )! k! Beispiel: Wieviele Wurfkombiatioe sid beim Würfel mit zwei gleichartige Würfel möglich? Ermittlug durch Aufzähle: Berechug als ugeordete Stichprobe mit 6, k 2 mit mit Wiederholug: w K Zusammefassed sid folgede Eigeschafte für das Awede der Formel für Kombiatioe typisch: - Aus Elemete werde k Elemete eibezoge k aus - Die Reihefolge der Aordug der Elemete ist icht etscheided Reihefolge: ei - Abhägig vo der Möglichkeit des mehrmalige Vorkommes der Elemete gibt es Kombiatioe mit ud ohe Wiederholuge Wiederholug: ja / ei - 4 -

10 (e) Biomischer Lehrsatz Der Biomische Lehrsatz befaßt sich mit de Poteze vo Biome, d.h. dem Ausreche des Ausdrucks (a+b) ud de dabei auftretede Koeffiziete. Es gilt: (a+b) 0 (a+b) a + b (a+b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a+b) 3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a+b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4... Schreibt ma u ur die Koeffiziete uter Weglasse der Ausdrücke a i b k utereiader, so erhält ma das sogeate Pascalsche Dreieck (ach Blaise Pascal ): Es ergebe sich dabei die eizele Zahle der jeweils folgede Zeile als Summe der zwei darüber stehede Zahle. Die Produkte a i b k bestehe aus Faktore, ämlich i Faktore vom Wert a ud k Faktore vom Wert b: ab a2 4 a a b2 4 b b i mal k mal i k Die Koeffiziete vor diese Produkte gebe die Azahl der verschiedee Möglichkeite a, bei dee der Faktor a i-mal ud der Faktor b k-mal auftritt, z.b. bedeutet 6a 2 b 2, daß es die 6 Möglichkeite aabb, abba, abab, baba, baab, bbaa gibt. Die Azahl dieser Möglichkeite ist die Azahl eier Permutatio mit Wiederholug; d.h. 4 Elemete, wobei jeweils 2 ud 2 Elemete icht uterscheidbar sid, also k 2 ud k 2 2. Daher gilt i diesem Fall: 4! ! 2! 2-5 -

11 Allgemei gilt daher, daß es im Falle a i b k mit i+k die Zahl! i! k! a mögliche Produkte gibt. Da i k gilt, läßt sich diese Azahl (also der Koeffiziet vo a i b k ) auch umforme zu:! k!( k)! k De Ausdruck (gesproche: über k ) et ma Biomialkoeffiziet, weil er zum Bereche der k Koeffiziete beim Poteziere eies Bioms diet. Das Pascalsche Dreieck ka daher auch mit Hilfe der Biomialkoeffiziete ageschriebe werde: Auf diese Art läßt sich leicht eie allgemeie Formel für (a+b) agebe: Biomischer Lehrsatz: ( a+ b) ab a b... ab ab 0 0 k a k k k 0 b Es gilt immer 0 ud k. Daher ist das Pascalsche Dreieck symmetrisch. k Beispiel: Eie Müze hat zwei Seite: Kopf (K) ud Zahl (Z). Wieviele Möglichkeite gibt es, bei 20 Müzwürfe geau 3 mal die Zahlseite zu werfe? Es ist somit die Azahl der Ergebisse mit 3 mal Z ud 7 mal K, also die Produkte Z 3 K 7, gesucht. Daher ist 20, k 7 ud es ergibt sich: ! 7! 3! Es gibt 40 Möglichkeite

12 5.3. Begriff der Wahrscheilichkeit (a) Begriff der Laplacesche Wahrscheilichkeit I der Eileitug zu diesem Kapitel wurde bereits die klassische Defiitio der Wahrscheilichkeit ageführt. Laplace Wahrscheilichkeit für ei Ereigis E (klassische Wahrscheilichkeit, Wahrscheilichkeit als relativer Ateil): PE ( ) Azahl der für E güstige Fälle Azahl der mögliche Fälle Aders formuliert bedeutet das: Es sei M eie edliche Mege (Grudmege) ud G M (G Teilmege vo M). Als Wahrscheilichkeit dafür, daß ei aus M zufällig ausgewähltes Elemet zu G gehört, ka ma de relative Ateil vo G i M ehme. P (das zufällig ausgewählte Elemet gehört zu M) zg ( ) zm ( ) z(g)... Azahl der Elemete vo G; z(m)... Azahl der Elemete vo M Da z(g) kleier als z(m) folgt daraus: 0 P(E) Für die Wahrscheilichkeit P(E) eies beliebige Ereigisses E gilt: 0 P(E) Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, mit eiem übliche Spielwürfel eie 2er oder 6er zu würfel? Ermittel der güstige Fälle: G { 26 ; }; z( G) 2 Ermittel der mögliche Fälle: M { ; ; ; ; ; }; z( M) 6 Berechug der Wahrscheilichkeit: 2 PE ( ) 033, 6 Die Wahrscheilichkeit ist 0,33; das etspricht 33%. Die obige Wahrscheilichkeits- Defiitio gilt jedoch ur uter eier gaz bestimmte Voraussetzug, ämlich, daß alle Eizelereigisse gleichmöglich ud daher also gleichwahrscheilich sid

13 Solche gleichwahrscheiliche Ereigisse trete i sogeate Laplace-Experimete auf ud werde üblicherweise mit Zufallsgeräte (Laplace-Geräte) erzielt, wie sie bei Glücksspiele verwedet werde; z.b. Würfel; Roulette; gleichartige Zettel i eier Losure; gleichartige Kugel beim Lotto 6 aus 45 ; Glücksrad usw. Bei eiem Laplacesche Experimet tritt jedes der ( 2; N) mögliche Versuchsergebisse E mit der gleiche Wahrscheilichkeit P( E) auf. Beispiele: Würfel mit 6 mögliche Ergebisse. P( ) P( 2) P( 3) P( 4) P( 5) P( 6) 6 Lotto mit 45 Kugel P( ) P( 2)... P( 44) P( 45) 45 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, eie Totoschei richtig (Totozwölfer) auszufülle, we ma vo Fußball keie Ahug hat? Es gibt (siehe vorige Abschitt) Möglichkeite eie Totoschei auszufülle, die alle gleich wahrscheilich sid. Da ur eie Möglichkeit richtig ist, gilt: 6 P(Totozwölfer) 88676, 0 0, Jemad hat eie schwarze Socke a ud versucht im fistere Zimmer aus eier Lade, i der völlig durcheiader 9 schwarze, 8 blaue ud 0 braue Socke liege, de richtige herauszuehme. Mit welcher Wahrscheilichkeit wird ihm das gelige? Jede Wahl (Zug) eies der 27 Socke ist gleich wahrscheilich; 9 schwarze Socke sid güstige Fälle. 9 P(schwarz) 03, & $ 333, & %

14 (b) Begriff der statistische Wahrscheilichkeit I de meiste Versuche ud Wahrscheilichkeitsprobleme liege keie symmetrische Zufallsgeräte vor ud es ist somit meist keie Gleichwahrscheilichkeit gegebe. I solche Fälle machte scho Beroulli de Vorschlag, Versuchsreihe durchzuführe ud aus der relative Häufigkeit eies Ereigisses (siehe Kapitel Statistik) auf die Wahrscheilichkeit vo diesem Ereigis zu schließe. Tritt ei Ereigis E uter Versuche eier Versuchsreihe (Zufallsversuch mehrmals uter gleiche Bediguge durchgeführt) k-mal ei, so gilt für die relative Häufigkeit des Ereigisses E uter diese k Versuche: h ( E) A Laplace-Experimete läßt sich zeige, daß mit wachsedem, d.h. bei eier sehr große Versuchszahl, gilt: h( E) zg ( ) zm ( ) PE) ( So läßt sich z.b. durch eie große Azahl vo Versuche überprüfe, ob ei Würfel gezikt ist oder ei Rouletterad urud läuft (alle gefallee Zahle pro Roulettetisch werde gespeichert ud regelmäßig per Computer ausgewertet. Jede Zahl muß dabei mit der Wahrscheilichkeit /37 auftrete). Aus dieser Erfahrug läßt sich aus der relative Häufigkeit die Wahrscheilichkeit äherugsweise für große bestimme: P(E) h (E) Beroulli kote diese Regel durch das Gesetz der große Zahle mathematisch utermauer. Es gilt: lim Ph ( [ P ε; P+ ε]) Obiger Satz bedeutet, daß die Wahrscheilichkeit dafür, daß die relative Häufigkeit eies Ereigisses i eier beliebig kleie Umgebug vo P, der Wahrscheilichkeit des Ereigisses, liegt, mit wachsedem gege strebt, d.h. 00%ig wird. Die relative Häfigkeit eies Ereigisses stabilisiert sich mit zuehmeder Versuchszahl um de Wert P. Beispiel: Eie Befragug vo Autofahrer ergab, daß 5248 bisher ufallfrei uterwegs ware. Mit welcher Wahrscheilichkeit ist ei zufällig auf der Straße ausgewählter Autofahrer bisher ufallfrei? 5248 h 0000 (ufallfrei) , 5248 P(ufallfrei) 0,5248 $ 52,48%

15 (c) Begriff der Wahrscheilichkeit als subjektives Vertraue I der Praxis ergibt sich oft das Problem, daß eie Wahrscheilichkeit agegebe werde soll, ohe daß ma sich auf eie relative Ateil oder eie relative Häufigkeit berufe ka. Beispiel: Ei Medikamet wurde bisher ur i Tierversuche getestet, u soll eie Wahrscheilichkeit dafür agegebe werde, daß dieses Medikamet auch dem Mesche hilft. Ma ka sich dabei ur auf bisherige Erfahruge ud Eischätzuge diverser Experte stütze ud selbstverstädlich auf die Testergebisse aus de Tierversuche. Trotzdem ka die daraus gestellte Progose sich schließlich als völlig falsch herausstelle (sowohl im positive wie auch im egative Si). I diesem Fall wird als Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E der Grad des subjektive Vertraues i das Eitrete vo E heragezoge. (d) Axiomatische Wahrscheilichkeitsdefiitio Wie scho aus de Defiitioe der Wahrscheilichkeit als relativer Ateil oder als relative Häfigkeit ersichtlich ist, ist die Wahrscheilichkeit immer eie Zahl zwische 0 ud. Es zeigt sich somit, daß es trotz des Fehles eier eideutige Wahrscheilichkeitsdefiito eiige allgemeigültige Gesetze für Wahrscheilichkeite gibt. Der Russe Adrej Nikolajewitsch KOLMOGOROW ( ) veröffetlichte 933 eie sehr allgemeie Wahrscheilichkeitsdefiitio, die sich auf drei Axiome (Vorschrifte) stützt. Kolmogorow erklärt die Wahrscheilichkeit als Fuktio P: E P(E), welche folgede Axiome geügt (Ω ist diesem Zusammehag der sogeate Ergebisraum bzw. die Ergebismege, also die Mege aller mögliche Versuchsausgäge): Wahrscheilichkeitsaxiome vo Kolmogorow:. P(E) 0 (Nichtegativität) 2. P(Ω) 3. We E E 2 { }, da folgt P(E E 2 ) P(E )+P(E 2 ) Aus diese Axiome lasse sich fast alle wesetliche Regel für das Reche mit Wahrscheilichkeite leicht herleite

16 5.4. Reche mit Wahrscheilichkeite (a) Begriffserklärug Die Mege Ω aller Ausfälle bzw. Ergebisse eies Zufallsexperimets (Versuchs) heißt Ergebismege bzw. Ergebisraum bzw. Ausfallsmege. Beispiele: Würfel: Ω{ ; ; ; ; ; } Roulette: Ω{ 02 ; ; ;...; 3536 ; } Müzwurf: Ω { K; Z } Köpergröße eies Neugeboree i cm: Ω [ 40; 60 ] (d.h. uedlich viele Möglichkeite, falls ma icht auf cm rudet) Aus eier Lade mit 9 schwarze, 8 blaue ud 0 braue Socke wird gezoge: Ω {schwarz; blau; brau} Die Ergebismege hägt davo ab, was ma als Ergebis eies Versuchs asieht. Im letzte Beispiel köte die Ergebismege auch folgedermaße als gewählt Ω {schwarz; icht schwarz} werde, we ämlich im spezielle ei schwarzer Socke beötigt würde. Ei Ereigis wird durch eie Teilmege E des Ergebisraumes Ω beschriebe. Umgekehrt etspricht auch jeder Teilmege vo Ω ei Ereigis. Die Azahl der Teilmege vo Ω ist daher die Zahl aller mögliche Ereigisse. Ethält Ω k Elemete (d.h. k verschiedee Ausfälle), da gibt es 2 k Ereigisse. Besitzt die Teilmege ur ei Elemet, d.h. das Ereigis tritt ur bei eiem Ausfall ei, da heißt es Elemetarereigis. Ist die Teilmege die leere Mege, d.h. das Ereigis tritt bei keiem Ausfall ei, da spricht ma vo eiem umögliche Ereigis ud es gilt: P({ }) 0 Ist die Teilmege die gesamte Ergebismege Ω, so tritt das Ereigis bei jedem Ausfall des Versuchs ei ud ma spricht vo eiem sichere Ereigis. Es gilt (siehe auch 2. Axiom vo Kolmogorow): P(Ω) - 2 -

17 Beschreibt das Ereigis E eie Teilmege vo Ω ud ist die Teilmege E 2 eies adere Ereigisses gleich der Komplemetärmege vo E, da heißt E 2 das Gegeereigis vo E, bzw. E das Gegeereigis vo E 2. Es gilt: E 2 E ; E E 2 Ω; E E 2 { } Das Gegeereigis tritt geau da ei, we das Ereigis icht eitritt; Ereigis ud Gegeereigis köe iemals gleichzeitig eitrete. Aus dem 3. Axiom vo Kolmogorow läßt sich die Wahrscheilichkeit für das Gegeereigis herleite. E, E seie Ereigis ud Gegeereigis mit E E { }: P(E E ) P(E)+P(E ) Aus E E Ω ud P(Ω) folgt da P(E)+P(E ) ud somit: P(E ) P(E) Die Wahrscheilichkeit des Gegeereigisses E zum Ereigis E beträgt: P(E ) P(E) Statt E ka für das Gegeereigis auch E (gesproche: o E ) geschriebe werde. Beispiel: Gebe Sie die Ergebismege beim Würfel, sowie alle Elemetarereigisse a. Nee Sie dazu ei umögliches Ereigis bzw. ei sicheres Ereigis. Wie lautet das Gegeereigis zum Ereigis Es kommt eie Zahl kleier als 3 ud welche Wert habe die Wahrscheilichkeite vo E ud E? Ergebismege Würfel: Ω{ ; ; ; ; ; } Elemetarereigisse: E { }; E { 2}; E { 3}; E { 4}; E { 5}; E { 6} umögliches Ereigis: Es kommt die Zahl 7 sicheres Ereigis: Es kommt eie gaze Zahl größer als Null ud kleier als Siebe Gegeereigis: E Es kommt eie Zahl 3 ; E {;2}; E {3;4;5;6} Wahrscheilichkeite: 2 PE ( ) ; PE ( )

18 (b) Ereigisalgebra Da Ereigisse durch Teilmege der Ergebismege Ω beschriebe werde, ka ma Recheregel für Mege auch auf Ereigisse awede. Die achfolgede Sätze köe daher aus der Megealgebra abgeleitet werde. Das Ereigis E E 2 tritt geau da ei, we E ud E 2 eitrete. Ereigisse, die icht gleichzeitig eitrete köe, heiße uvereibar; sie schließe eiader aus ud es gilt: E E 2 { }, we E ud E 2 uvereibar. Gegeereigisse sid daher uvereibar. Uvereibare Ereigisse: E E 2 { } Das Ereigis E E 2 tritt geau da ei, we E oder E 2 eitrete (midestes eies tritt ei). We E E 2 (Ereigis E zieht Ereigis E 2 ach sich, d.h. we E eitritt, tritt automatisch auch E 2 ei), da gilt: P(E ) P(E 2 ) Beweis: We E E 2, da gibt es ei E 3 mit E E 3 E 2 ud E E 3 { }; E 3 ist also das Gegeereigis zu E i Bezug auf E 2. Nach dem 3. Axiom vo Kolmogorow gilt da: P(E )+P(E 3 ) P(E 2 ) ud ach dem. Axiom: P(E 3 ) 0; P(E 2 ) P(E ) ud somit: P(E ) P(E 2 ) Beispiel: Ma betrachtet Ergeigisse beim Würfel: E : Es kommt oder 3 ; E 2 : Es kommt eie Zahl kleier 4 ; E 3 : Es kommt eie ugerade Zahl. Beschreibe Sie sowohl mit Worte als auch mit Hilfe vo E, E 2, E 3,, ud die folgede Ereigisse ud gebe Sie alle Wahrscheilichkeite a. Gebe Sie weiters a, welches Ereigis welches adere ach sich zieht. - Alle drei Ereigisse trete ei - Keies der Ereigisse tritt ei - E ud E 2 trete ei, E 3 aber icht - Midestes ei Ereigis tritt ei - E ud E 3 trete icht ei, E 2 tritt ei

19 Alle drei Ereigisse E, E 2, E 3 sid Ereigisse des Ergebisraumes Ω {;2;3;4;5;6}. E { 3 ; }; E2 { 23 ; ; }; E3 { 35 ; ; } PE ( ) ; PE ( 2) ; PE ( 3) Alle drei Ereigisse trete ei: E E2 E3 E PE ( E E) Keies der Ereigisse tritt ei: ( E E2 E3) { 235 ; ; ; } { 46 ; } Es kommt die Zahl 4 oder PE ( E2 E3) ; P([ E E2 E3] ) E ud E 2 trete ei, E 3 aber icht: E E2 E3 {}; umögliches Ereigis PE ( E E ) Midestes ei Ereigis tritt ei: E E2 E3 { 235 ; ; ; } 4 PE ( E2 E3) E ud E 3 trete icht ei, E 2 tritt ei: E E2 E3 { 2} PE ( E E ) Da E E 2 ud E E 3, zieht E sowohl E 2 als auch E 3 ach sich. Das Erreche vo Wahrscheilichkeite zusammegesetzter Ereigisse ist ur da ach allgemeie Formel relativ eifach, we der Durchschitt der Ereigisse leer ist (siehe 3. Axiom vo Kolmogorow) bzw. we die Ereigisse voeiader uabhägig sid. Da es icht immer möglich ist, alle Ereigis-mege (wie im vorige Beispiel) azugebe, ist ma bestrebt, die Wahrscheilichkeite zusammege-setzter Ereigisse aus de Wahrscheilichkeite der eizele Ereigisse zu bereche

20 (c) Bedigte Wahrscheilichkeit Wahrscheilichkeite vo Ereigisse köe durch zusätzliche Iformatioe geädert werde. Sie häge vom Iformatiosstad ab. Somit ka sich die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E äder, we bekat ist, daß ei Ereigis E 2 bereits eigetrete ist. Die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses E uter der Voraussetzug (Bedigug) eies adere Ereigisses E 2 heißt bedigte Wahrscheilichkeit P(E E 2 ) ud es gilt: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 Die Berechug vo P(E E 2 ) ist aus der Laplace-Wahrscheilichkeit erklärbar, de durch die Voraussetzug des Eitretes vo E 2, sid ur och die Elemete vo E 2 mögliche Elemete ud die güstige Fälle liege i E E 2. Beispiel: 250 Studetie ud 330 Studete besuchte eie Vorlesug. Isgesamt habe 55% aller Studierede die zugehörige Prüfug bestade. 85 davo ware Studete. Bereche Sie folgede Wahrscheilichkeite: - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist mälich - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder hat icht bestade - Eie beliebig herausgegriffee Studeti hat bestade - Ei beliebig herausgegriffeer erfolgreicher Absolvet ist weiblich - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist ei icht erfolgreicher Studet - Ei beliebig herausgegriffeer Studiereder ist weiblich Zur Ermittlug der gesuchte Wahrscheilichkeite legt ma folgede Elemetarereigisse fest: E : mälich ; E 2 : weiblich mit E 2 E E 3 : bestade ; E 4 : icht bestade mit E 4 E

21 Um eie Verküpfug mehrer Ereigisse zu veraschauliche ka ma eie Vierfeldertafel zu Hilfe ehme. Hierbei gilt: 55% vo 580 sid 39 erfolgreiche Studierede. Studet Studeti gesamt bestade icht bestade gesamt Allgemei beihaltet eie Vierfeldertafel folgede Felder: E E 2 E gesamt E 3 z(e E 3 ) z(e 2 E 3 ) z(e 3 ) E 4 E 3 z(e E 4 ) z(e 2 E 4 ) z(e 4 ) gesamt z(e ) z(e 2 ) z(e E 2 ) z(e 3 E 4 ) oder statt der Mächtigkeite der Mege auch die Wahrscheilichkeite: E E 2 E gesamt E 3 P(E E 3 ) P(E 2 E 3 ) P(E 3 ) E 4 E 3 P(E E 4 ) P(E 2 E 4 ) P(E 4 ) gesamt P(E ) P(E 2 ) Daraus erhält ma die Zeile- bzw. Spaltesummeregel (mit E 2 E ud E 4 E 3 ): P(E E 3 )+ P(E E 3 ) P(E 3 ) ud P(E E 3 )+ P(E E 3 ) P(E ) Somit ergibt sich für das Beispiel: Studiereder ist mälich: P(mälich) P(E ) Studiereder hat icht bestade: P(icht bestade) P(E 4 ) , , Studeti hat bestade: P(bestade uter der Bedigug Studeti ) 34 P(E 3 E 2 ) 250 0,

22 Erfolgreicher Absolvet ist weiblich: P(weiblich uter der Bedigug bestade ) 34 P(E 2 E 3 ) 39 Studiereder ist ei icht erfolgreicher Studet: P(icht bestade ud Studet) 45 P(E 4 E ) 580 Studiereder ist weiblich: P(weiblich) P(E 2 ) , 025, 0, 43 Aus de Beispiele erket ma, daß P(E 3 E 2 ) P(E 2 E 3 ). Es gilt: Satz vo BAYES PE ( E ) 2 PE ( E ) PE ( ) 2 2 PE ( ) Beweis: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 ud P( E E ) P( E E ) P( E ) PE ( 2 E) PE ( E2) PE ( E2) PE ( 2) PE ( 2 E) PE ( ) PE ( ) PE ( ) Abhägig vo de Wahrscheilichkeite spricht ma davo, daß ei Ereigis ei aderes begüstigt oder beachteiligt. E 2 begüstigt E : P(E E 2 ) > P(E ) E 2 beachteiligt E : P(E E 2 ) < P(E ) We P(E E 2 ) P(E ) ud P(E 2 E ) P(E 2 ) gilt, da sid die Ereigisse E ud E 2 voeiader uabhägig. Regel vo der totale Wahrscheilichkeit: P(E E 2 )+ P(E E 2 ) Beweis: PE ( E2) PE ( E2) PE ( ) 2 PE ( E2) ud P( E E2) PE ( ) 2 PE ( E2) + PE ( E2) PE ( 2) PE ( E2) + PE ( E2) PE ( ) PE ( )

23 (d) Multiplikatiossatz Aus der bedigte Wahrscheilichkeit folgt die Produktregel der Wahrscheilichkeitsrechug: P(E E 2 ) P(E 2 E ) P(E ) P(E E 2 ) P(E 2 ) Die Wahrscheilichkeit dafür, daß sowohl E als auch E 2 eitritt, ist also das Produkt aus der bedigte Wahrscheilichkeit ud der Wahrscheilichkeit für die Bedigug. Multiplikatiossatz: Die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe der Ereigisse E ud E 2 ist gegebe durch: P(E E 2 ) P(E 2 E ) P(E ) P(E E 2 ) P(E 2 ) Sid E ud E 2 voeiader uabhägige Ereigisse, d.h. P(E E 2 ) P(E ) bzw. P(E 2 E ) P(E 2 ), da hat die Multiplikatiosregel die Form: P(E E 2 ) P(E ) P(E 2 ) Beispiel: Aus eier Ure mit 3 blaue ud 5 rote Kugel wird zweimal gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit dafür, im zweite Zug eie blaue Kugel zu ziehe mit Zurücklege der erste gezogee Kugel ud ohe Zurücklege dieser erste Kugel. Die Ereigismege E ist: E {blau-blau; rot-blau} Ziehug mit Zurücklegug: 3 5 Für die. Ziehug gilt: Pblau ( ) ; Prot ( ) 8 8 Für die 2. Ziehug gilt, da wieder alle Kugel zur Verfügug stehe: 3 3 P( blau blau) ; P( blau rot ) 8 8 Hierbei ist P(blau blau) bzw. P(blau rot) die Wahrscheilichkeit für das Ziehe eier blaue bzw. rote Kugel bei der 2. Ziehug, uter der Bedigug, daß im erste Versuch auch eie blaue gezoge wurde. Wahrscheilichkeit für des Ereigis E: P( E ) P( blau blau oder rot blau) P( blau blau) + P( rot blau) P( blau) P( blau blau) + P( rot ) P( blau rot )

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