Interaktive Echtzeit-Simulation einer Wasseroberfläche

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1 Interaktive Echtzeit-Simulation einer Wasseroberfläche Peter Müller Universität Kassel, Deutschland 17. Oktober 2013 Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt das Problem der grafischen Darstellungen einer Wasseroberfläche und der dynamischen Wellenausbreitung in Echtzeit, so dass eine realistische Interaktion möglich ist. Einführend werden verschiedene Lösungsansätze vorgestellt, welche jeweils ihren geeigneten Anwendungsbeispielen zugeordnet werden. Ein Verfahren zur Simulation der Wellenausbreitung wird erläutert, ebenso wie die Grundlagen einer realistischen Lichtbrechung an der Wasseroberfläche. 1 Einführung Längst ist die Computergrafik nicht mehr nur im Paradebeispiel der Spielebranche vertreten, sondern gewinnt auch bei wissenschaftlichen Simulationen und in Bereichen der Filmindustrie an Bedeutung. Vergleicht man statische und dynamische Objekte liegt auf der Hand, dass Letztere wesentlich mehr Performance benötigen. Das zeigt sich am Besten an der Darstellung von Personen, deren Mimik anfänglich gar nicht animiert oder nur angedeutet werden konnte, heute jedoch in Kinofilmen 1 bereits fotorealistische Qualität erreicht hat. So haben sich mit der Zeit für die Einsatzzwecke dynamischer Objekte entsprechende Lösungsansätze ergeben, die jeweils für die Darstellung von menschlichen Gesichtszügen, Kleidung aber auch Feuer und Wasser geeignet sind - unter Berücksichtigung der vorhandenen Rechenpower. Bevor auf die verschiedenen Verfahren am Beispiel der SSimulation einer Wasseroberflächeëingegangen wird, sollen kurz die dafür wichtigsten Rahmenbedingungen erläutert werden, welche die zur Verfügung stehende Performance ergeben. 3D Computergrafik Mit dieser Rubrik ist das Rendern eines einzelnen Bildes oder einer Animation (Bildsequenz) gemeint. Hier gibt es prinzipiell webcard: peter.mueller@xfaera.net 1 bspw. in James Cameron s Avatar - Aufbruch nach Pandora 1

2 erstmal kein Zeitlimit, welches beachtet werden muss, da keine Interaktion nötig ist. So kann das Rendern eines Einzelbildes mehrere Minuten bis einige Stunden in Anspruch nehmen. Zudem ist die zur Verfügung stehende Rechenkapazität sehr variabel, welche von einzelnen Computern bis ganzen Computer-Netzwerken (so genannten Render-Farmen) bspw. für Aufwändigere Animationsfilme reichen kann. Konsolen und Gamer-PCs Die verbaute Hardware ist innerhalb einer Konsolengeneration fest gesetzt, bei Gamer-PCs jedoch beschränkt aufrüstbar. Diese Systeme sind für die Darstellung von Spielen gedacht, welche logischerweise eine Interaktion ermöglichen müssen. Im Gegensatz zum vorherigen Punkt müssen diese Inhalte daher in Echtzeit generiert werden, wobei vorgerenderte Szenen höchstens bei kleinen Filmsequenzen verwendet werden. Daraus ergibt sich die Bedingung für die Berechnung genau eines Frames nicht viel mehr als 30 Millisekunden benötigen zu dürfen. Das menschliche Gehirn kann bei Minimum 16 Bildern in der Sekunde flüssige Bewegungen erkennen. Tablets und Smartphones Mobile Endgeräte rücken immer stärker in den Fokus der Spielebranche, wobei im Vergleich zu den Konsolen und Desktop- Computern platz-bedingt sehr beschränkte Hardware verbaut ist. Die Rahmenbedingungen für Echtzeit um Interaktionen zu ermöglichen und damit einhergehende Frameraten sind die selben wie im vorherigen Punkt. Daher müssen Spiele-Entwickler noch auf ältere Verfahren bei der grafischen Darstellung zurück greifen, um diesem Mangel an Rechenkapaität gerecht zu werden. 1.1 Prozedurales Wasser Bei prozeduralem Wasser handelt es sich im wesentlichen um die selbe Technik wie Höhenfelder, welche in dieser Arbeit genauer erläutert werden soll. Man hat eine zweidimensionale (2D) Fläche, auf welcher in einem dreidimensionalen (3D) Raum eine Wellenausbreitung simuliert wird. Im Unterschied zum Höhenfeld ist diese Fläche quasi unbegrenzt in ihrer Abmessung und ist damit besonders gut für die Simulation von Ozeanen und offener See geeignet. Da zur Berechnung der Wellenausbreitung auf einer quasi unbegrenzten Fläche viel Rechenkapazität erfordert wird, ist diese Methode für Tablets und Smartphones nicht geeignet. Abbildung 1: Vergleichsszene - Links Foto und rechts Rendering. 2

3 1.2 Partikelsysteme Partikelsysteme stellen eine der aktuellsten Verfahren zur Simulation von dynamischen Objekten dar und findet neben der Wasser-Simulation auch Anwendung bei der grafischen Darstellung von Feuer, Rauch und Nebel. Die dynamischen Eigenschaften des Objektes werden dabei durch kleinste Partikel simuliert, welche man sich in diesem Zusammenhang wie einzelne Atome vorstellen kann. Jedes Partikel besitzt eine eindeutige Position und Geschwindigkeit, wobei im System definiert werden kann, wie sich die einzelnen Partikel untereinander beeinflussen. So werden unter anderem physikalisch a ußerst realistische Simulationen erzeugt. Die Simulation von Wasser mittels eines Partikelsystems kann daher mit einem Ba llebad verglichen werden, wenn auch nur in Ansa tzen. Die Verwendung eines Partikelsystems ist besonders fu r die Simulation von Gischt, Spritzwasser und gebrochenen Wellen geeignet was mit der Ho henfeldmethode nicht simuliert werden kann. Um ein realistisches Endresultat zu erzeugen ist jedoch eine große Menge an Partikeln no tig, deren Position und Interaktion in Echtzeit ablaufen muss. Auch diese Methode ist daher nicht fu r mobile Gera te zu verwenden. Abbildung 3: Simulation von Gischt, brechende Wellen und Beeinflussung durch Objekte. Abbildung 2: Links gerendertes Wasser und rechts sichtbar gemachte Partikel. 1.3 Ho henfelder Die Methode der Ho henfelder wird wie bereits erwa hnt auch auf prozedurales Wasser angewandt. Im Gegensatz dazu funktioniert sie jedoch auch fu r begrenzte Fla chen. Geeignete Anwendungsbeispiele sind Swimming-Pools, Teiche oder auch Flu sse. Die Berechnung ist dabei vergleichsweise einfach und muss nur fu r die Wasseroberfla che durchgefu hrt werden, statt beim Partikelsystem fu r jedes Partikel separat. Je nach der Gro ße der Fla che ist diese Methode am Besten geeignet fu r die Wasser-Simulation auf mobilen Endgera ten, da sie am Effizientesten von den vorgestellten Verfahren arbeitet. 3

4 Abbildung 4: 2D-Fläche mit Wellenausbreitung via Höhenfeld und realistischer Lichtbeugung und -brechung (siehe Ball am Boden des Pools). 2 Wellenausbreitung mittels Höhenfeld Ein Vorteil der Höhenfeld-Methode ist die Reduktion von 3D auf 2D. Die Wellenausbreitung kann demnach als 2D-Funktion u(x, y) betrachtet werden, welche jeder xy-koordinate eine bestimmte Höhe u zuordnet. Nachteil ist hierbei, dass eine Koordinate nicht mehrere Höhen erhalten kann was der Grund dafür ist, dass diese Technik keine gebrochenen Wellen simulieren kann. Davon abgesehen ist diese Methode jedoch sehr Effizient auch auf beschränkter Hardware. Abbildung 5: Identisches Wellenmuster - Links mit kontinuierlichem und rechts mit diskretem Höhenfeld. 2.1 Methode Die Fläche, auf welche die Höhenfeld-Methode angewendet wird, muss dazu in kleinere Polygone unterteilt werden. Je höher die Anzahl an Polygonen ist, umso weicher können die Übergänge der Wellenberge und -täler dargestellt werden; steigert jedoch auch die Berechnungszeit. Dies ermöglicht es das für das jeweilige Endgerät bestmögliche Verhältnis aus Qualität und benötigter Performance zu erzielen. Während der kompletten Animationsdauer wird nun in einer Endlosschleife immer wieder das neue Wellenmuster anhand der vorherigen Iteration berechnet und die neu berechnete Welle gerendert. Auf Code-Ebene wird die 2D-Fläche als 2D-Array aus float-variablen repräsentiert, welche die Höhe des jeweiligen 4

5 Polygon, bzw. dessen Eckpunkte als Fliekommazahl definiert. Zur Berechnung wird in einer weiteren Schleife über alle float-werte des Array iteriert. Die Veränderung v der Welle, ergibt sich aus dem arithmetischen Mittel der benachbarten Zellen, bzw. Eckpunkte subtrahiert mit dem eigenen Wert. Eine Dämpfung der Welle kann man zudem mit der Multiplikation eines beliebigen Wertes im Intervall [0, 1] erreichen, wobei 0.0 für eine 100-prozentige und 1.0 für gar keine Dämpfung steht. Ist keine Dämpfung definiert, breitet sich die Welle quasi endlos aus. Je höher die Dämpfung ist, umso schneller flacht die Welle ab und verebbt. So kann man über den Wert der Dämpfung sehr präzise die Eigenschaften der Flüssigkeit festlegen und bspw. definieren ob es sich um eine zähflüssige Substanz handelt. Legt man den Wert auf 0.0 fest, bereitet sich die Welle dabei logischerweise gar nicht aus, da der Wert v für die Veränderung der Welle selbst 0 wird. Zuletzt wird die berechnete Veränderung v noch auf den alten Höhenwert u der letzten Iteration addiert und kann danach auf dem Display aktualisiert, bzw. in die Bild-Datei gerendert werden. Abbildung 6: Wasseroberfläche als 2D-Array betrachtet, deren Zellen die Höhe an dieser Koordinate repräsentieren. 2.2 Pseudo-Code Oben erläuterte Methode sei hier auch als Pseudo-Code gegeben. [1] float u[50, 50], v[50, 50] // two 2d-arrays, with 50x50 float variables loop { v[i, j] += (u[i-1, j] + u[i+1, j] + u[i, j-1] + u[i, j+1]) / 4 v[i, j] -= u[i, j] v[i, j] *= 0.99 // damping } u[i, j] += v[i, j] draw(u[]) 5

6 2.3 Sonderfall: Flächenbegrenzung Einen Sonderfall in der Berechnung stellt die Flächenbegrenzung dar. Obiges Code-Beispiel lässt sich relativ einfach dahingehend erweitern, dass die Wellen an der Flächenbegrenzung reflektiert und weiter über die Fläche laufen. Dabei kommt es zudem zu physikalisch korrekten Interferenzen, beim Überlappen der einzelnen Wellenberge und -täler. Folgende Bedingungen sind dafür zu definieren: u[x, -1] := u[x, 0] u[x, 50] := u[x, 49] u[-1, y] := u[0, y] u[50, y] := u[49, y] // top border // bottom border // left border // right border Für die Berechnung des arithmetischen Mittels der umliegenden Felder, fehlen entlang der Flächenbegrenzung logischerweise ein Feld, bzw. an den Ecken sogar zwei Felder. Als Wert zur Berechnung wird in diesem Fall der eigene Wert herangezogen. Zu beachten ist, dass hier mit obigem Beispiel eines 50x50-Array gearbeitet wurde und für x, bzw. y beliebige Werte gelten können. 3 Lichtbeugung und -brechung Eine realistische Lichtbeugung, bzw. -brechung kann mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz und folgender Formel berechnet werden [3]. n 1 sin(δ 1 ) = n 2 sin(δ 2 ) (1) Darin sind δ 1 und δ 2 jeweils der Eintritts-, bzw. Austrittswinkel sowie n 1 und n 2 die Brechungsindizes der jeweiligen Materialien. 3.1 Brechungsindex Brechungsindex ausgewählter Stoffe [3]: Vakuum exakt 1 Luft 1, Wasser 1,33 Glas 1, ,14 Diamant 2,42 6

7 Abbildung 7: Der Brechungsindex gibt den Unterschied der Wellenlänge beim Übergang von einem Material in ein Anderes an. 3.2 Reflektion und Refraktion Die Lichtstrahlen, welche mittels Raytracing-Algorithmus vom Aug-, bzw. Kamerapunkt auf die Wasseroberfläche treffen, werden je nach Eintrittswinkel teilweise reflektiert und refraktiert (gebrochen). Beim Schnittpunkt des Lichtstrahls e mit einem Polygon der Wasseroberfläche, können mittels Vektorrechnung vergleichsweise einfach die sekundären Lichtstrahlen r berechnet werden. Dabei handelt es sich jeweils um den reflektierten, bzw. den gebrochenen Lichtstrahl, welcher vom Schnittpunkt aus weiter in die Szene gesendet wird. Zur Vereinfachung der Berechnung wird zunächst der Normalenvektor n berechnet, welcher senkrecht zur Fläche steht, die von dem Polygon aufgespannt wird. Der entsprechende Eintrittswinkel wird mithilfe des Skalarproduktes berechnet. Zu beachten ist, dass der sekundäre Lichtstrahl bei der Reflektion quasi von der Wasseroberfläche abprallt und zurück in die Szene reflektiert wird, während bei der Refraktion dieser Lichtstrahl die Oberfläche durchbricht und durch das angedeutete Wasser darunter läuft. Letzteres erzeugt genau die realistische Lichtbrechung, welche in Abbildung 4 (siehe Seite 4) den Ball auf dem Boden des Pools in der Wasseroberfläche erkennen lässt. Abbildung 8: Reflektion Abbildung 9: Refraktion 7

8 Literatur [1] MÜLLER-FISCHER, M., Fast Water Simulation for Games Using Height Fields, Game Developers Conference, February [2] MACKLIN, M., MÜLLER, M., Position Based Fluids, ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH 2013), 32(4), July [3] DE GREVE, B., Reflections and Refractions in Ray Tracing, November 13, Abbildungsverzeichnis 1 Rendering Natural Water (a paper by S. Premoze & M. Ashikhmin) 2 2 Position Based Fluid (by Matthias Müller-Fischer, NVIDIA) Position Based Fluid (by Matthias Müller-Fischer, NVIDIA) WebGL Water Simulation (Chrome Experiment by Evan Wallace) 4 5 Fast Water Simulation for Games Using Height Fields (by Matthias Müller-Fischer, NVIDIA) Fast Water Simulation for Games Using Height Fields (by Matthias Müller-Fischer, NVIDIA) Fast Water Simulation for Games Using Height Fields (by Matthias Müller-Fischer, NVIDIA)