Mathematik-Vorkurs für Informatiker 2011

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1 Mathematik-Vorkurs für Informatiker 2011 Christian Eisentraut Universität des Saarlandes 26. September 2011

2 Vorwort Endlich ist es soweit: Sie studieren Informatik! Endlich werden sie alles erfahren, was sie jemals über Hardware, Webbrowser und World of Warcraft wissen wollten. Aber leider scheint das nicht so ganz zu stimmen: Sie sitzen hier, im Mathematischen Vorkurs. Mathematik. Warum um alles in der Welt brauchen Sie jetzt einen mathematischen Vorkurs, wo sie doch mindestens 12 Jahre lang Mathematik in der Schule hatten, und vielleicht sogar direkt ohne Unterbrechung zu studieren beginnen? Ok, alles Wissen aus Stufe 11 und 12 ist nicht mehr ganz da, aber kann man das nicht im Studium lernen? Warum also dieser mathematische Vorkurs? Zuallerst deshalb, weil Informatik und Mathematik nicht getrennt werden können. Informatik benutzt nicht nur die Mathematik intensiv, so wie es z.b. auch die Physik und die Chemie tut, sondern die Informatik ist selbst nichts anderes als Mathematik. Ja, tatsächlich, Hardware, Webbrowser, World of Warcraft, das alles ist nichts anderes als Mathematik. Bevor wir anfangen, Mathematik zu betreiben, haben wir jedoch oft eine falsche Vorstellung davon, was man in der Mathematik eigentlich tut. Als Mathematiker beschäftigt man sich mit Objekten, die es in der echten Welt eigentlich nicht gibt, aber irgendwie doch in der Welt vorzukommen scheinen. Nehmen wir zum Beispiel Zahlen. Haben Sie schon jemals eine Zahl getroffen? Haben Sie sie angefasst, geschmeckt, oder gehört? Sagen Sie jetzt nicht, 10 ist eine Zahl, und ich kenne sie sehr gut. Schon millionenmal gesehen. 10 ist keine Zahl. Es ist ein Symbol, ein Wort, das für eine Zahl steht. Genau wie Liebe ein Wort für etwas ist, das sicherlich komplizierter und anders ist, als fünf Buchstaben in Folge. Sie halten 10 vielleicht für eine Zahl, weil wir in der Umgangssprache das gerne so machen. Aber 10 ist nur ein Symbol, nicht die Sache selbst. Schauen Sie jetzt einmal auf ihre beide Hände. Dort sehen Sie Finger. Und zwar zehn! Machen Sie unter der Dusche das Selbe mit Ihren Zehen. Wieder zehn. Zehn gibt es in unserer Welt ganz oft. Zehn Menschen, die sie zufällig treffen, zehn Stifte, die auf ihrem Schreibtisch liegen, und so weiter. Aber weder die Stifte, die Menschen, noch ihre Zehen und Finger sind die Zahl 10. Vielmehr ist 10 ein Konzept, das wir uns von der Welt machen, und es besagt, 10 ist das, was ist, wenn zehn Dinge in irgendeinem Sinne zusammen sind. Wenn das jetzt seltsam diffus klingt, dann liegt das daran, dass wir hier gerade versuchen, ein Konzept unseres Geistes abstrakt zu beschreiben. Und wie wir noch sehen werden, ist dies im Allgemeinen sehr schwer. Es ist auch der selbe Grund, weshalb Philosophen oft so scheinbar seltsame Gespräche führen, und man als Laie oft das Gefühlt hat, alles was dort gesagt wird, ist sehr wolkig und unklar. In der Philosophie geht es um Konzepte des Geistes und Objekte, die in unserem Geist entstehen, und die keine offensichtliche Widerspiegelung in der Realität finden, eben solche Konzepte wie 10 und Liebe. Wenn wir das Konzept in unserem Geist 2

3 haben, dann scheint uns ganz klar zu sein, was es bedeutet. Wenn wir jedoch genauer darüber nachdenken, und versuchen diese Konzepte anderen Menschen zu erklären, und sie damit exakt zu erfassen, wird es sehr schwierig. Was ich Ihnen zuvor darüber erzählt habe, was die Zahl 10 (nicht das Symbol!) eigentlich ist, ist auch wiederum nicht die ganze Wahrheit. Es ist nur der sogenannte kardinale Aspekt von Zahlen. Das meint nichts anderes, als dass Zahlen Vielfachheiten (sowas wie zehn gegenüber drei Zehen) beschreiben. Zahlen können aber auch noch mehr sein. Zahlen haben auch einen ordinalen Aspekt. Dabei geht es darum, das bei Zahlen die 1 vor der 2 kommt, und die 2 vor der 3 und so weiter. Es kommt uns dann nur auf die Ordnung der Zahlen an, und nicht auf ihre Eigenschaft Anzahl anzugeben. Aber das werden Sie im Studium noch genauer erfahren. Im Folgenden noch zwei weitere, weniger mathematische Beispiele, die verdeutlichen, wie häufig wir glauben, geistige Konzepte seien real, und für niemanden könnte es anders sein. Wissen Sie, was ein Baum ist? Ja, ich meine diese grünen Dinge im Wald und im Park. Vermutlich wissen Sie es. Irgendwo im Dschungel, wo es verdammt viele Bäume gibt, lebt ein Eingeborenenstamm, der nicht weiss, was Bäume sind. Das Konzept Baum existiert dort nicht. Jede Pflanze wird unterschieden, und hat auch einen Namen, aber diese Menschen kamen nie auf die Idee, all diese unterschiedlichen Lebewesen zur abstrakten Klasse Baum zusammenzufassen. Ähnlich interessant ist es, das manche Stämme nicht die Konzepte Links und Rechts kennen. Wenn Sie mit Ihrem Freund, oder Ihrer Freundin, bei einem romantischen Candle Light Dinner sich gegenübersitzen, dann wird die Kerze von Ihnen aus gesehen vielleicht links stehen, von Ihrem Partner aus gesehen rechts. Würden Sie beide aus dem eingangs erwähnten Stämmen stammen, würden dann beide einfach sagen, die Kerze steht im Norden. Dabei wird Lage immer nur nach Himmelrichtungen bestimmt. Aufgabe 0.1 Versuchen Sie den Menschen unserer Eingeborenenstämme die Konzepte Baum und Links und Rechts möglichst präzise und allumfassend zu erklären. Überlegen Sie sich, ob Ihr Erklärungsversuch sich für die Eingeborenen eventuell ähnlich diffus und seltsam anfühlen mag, wie unser Erklärungsversuch der Zahl 10 zuvor. Wie fühlt sich Ihr Erklärungsversuch für Ihren Kommilitonen an, der ja eigentlich genau weiß, was Baum und Links und Rechts bedeutet? Mathematik ist also eine Lehre von Dingen, die nur im Geiste existieren, und die meist auch keinen, oder nur sehr undurchsichtige direkte Entsprechungen mit Dingen aus der realen Welt haben. Genau das ist auch das Geheimnis ihrer Mächtigkeit. Als Mathematiker beschäftigen wir uns mit phantastischen Gebilden, die nicht den Gesetzen der realen Welt gehorchen müssen, ja in dieser noch nicht einmal existieren müssen. Mathematik ist Freiheit. Gleichzeitig ist die Mathematik aber weit davon entfernt, abstrus zu sein, unklar und beliebig. Mathematik zu betreiben bedeutet ja gerade, diszipliniertes, klares und deutliches Denken zu lernen. Diese Art zu denken, nennt sich logisches Denken. 3

4 Es ist ein Denken, dass klaren Gesetzmäßigkeiten folgt, und uns dadurch erlaubt, auf die Wahrheit und Richtigkeit dessen zu vertrauen, was wir mit logischem Denken erschlossen haben. Zugleich können alle anderen Menschen, die die Gesetzmäßigkeiten des logischen Denkens kennen, unseren Gedanken folgen und erkennen, dass sie richtig sind (sofern wir selbst keinen Fehler dabei gemacht haben). Als guter Mathematiker müssen wir also zwei Dinge erlernen: Einerseits ein sehr kreatives Denken, bei dem wir Spaß daran haben, neue Dinge in unserem Geist zu konstruieren, und mit diesen Dingen offen herumzujonglieren. Andererseits aber auch die Fähigkeit, diese tollen Wunderdinge, die wir uns erdacht haben, so präzise auszudrücken, und zugleich mit logischem Denken zu erkunden, dass ein jeder (mathematisch gebildete) Mensch diese Gedanken nachvollziehen kann. In diesem Vorkurs wollen wir genau diese beiden Dinge, die ein Mathematiker braucht, erlernen. Dies kann nicht in vier Wochen gelingen, jedoch können wir in dieser Zeit eine solide und stabile Basis schaffen, die uns hilft, diese Fähigkeiten während des Studiums immer weiter auszubilden. Beides sind übrigens Dinge, die Ihnen letzten Endes niemand beibringen kann. Nur Sie selbst können dies trainieren, durch beständiges Arbeiten mit mathematischen Ideen, und dem Versuch, diese korrekt aufzuschreiben. Genau das wollen wir gemeinsam beginnen. Sie fragen sich immer noch, weshalb Informatik eigentlich Mathematik sein soll? Hardware, Webbrowser und World of Warcraft sind Erfindungen unseres Geistes. Anders als elektrischer Strom und Atome in der Physik, waren CPUs und Softwareprogramme nicht da, bevor wir Menschen anfingen, sie zu erdenken. Innerhalb der Vorlesung Programmierung 1 an der Universität des Saarlandes, werden sie sehr schnell begreifen, dass sowohl Programmieren, als auch die Hardware, die diese Programme ausführt, nichts anderes ist als eine in mehr oder weniger materielle Form gegossene Mathematik. 4

5 Logik ist die Lehre des vernünftigen Schließens, Argumentierens und Beweisens. Es ist eben dieses vernünftige klare Denken, das für die Mathematik so wichtig ist. Alle Erkenntnis der Mathematik baut auf zwei Bausteinen auf: Exakte Definition von grundlegenden Objekten und Erschließen neuer Zusammenhänge oder Eigenschaften durch die Anwendung von logischem Denken. Logisches Denken ist an sich nichts ungewöhnliches. Es ist die Art, wie Menschen darüber nachdenken, wie Dinge zusammenhängen und auseinander hervorgehen. Alle von uns machen das jeden Tag. Die Sonne scheint, daher ist es warm. Wir schaffen eine logische Verbindung zwischen der Tatsache, dass die Sonne scheint, und es warm ist. Im Grunde macht mathematische Logik nun nichts anderes, als diese logischen Gedankengänge zu präzisieren. Dabei stellt man schnell fest, dass nicht alles, was wir im Alltag als gültigen logischen Schluss ansehen, auch wirklich zwingend richtig ist. Alle Kriminellen in meiner Stadt sind Ausländer. Mein Nachbar ist Türke. Deshalb schließe ich nachts die Türen lieber zweimal zu. Sogar unser harmloser logischer Schluss mit der Sonne war nicht korrekt. Der Satz erweckt den Eindruck, dass wenn die Sonne scheint, es auch warm ist. Wenn dies jedoch korrekt wäre, dann dürfte es niemals passieren können, dass es draußen hell ist, und trotzdem kalt. Genau diese Denkfehler eliminiert die mathematisch Logik, indem sie uns nur solche Schlüsse zu ziehen erlaubt 1, wenn sie wirklich richtig sind 2. Um dies zu erreichen, müssen wir die Sprache, in der wir mathematische Tatsachen beschreiben können, sehr einfach halten, und ihren Bestandteilen eine möglichst genaue Bedeutung geben. Die erste solche Sprache, die wir kennenlernen werden, ist die Aussagenlogik. Wir können mit ihr schon viele Dinge beschreiben, und auch wichtige gültige logische Denkregeln beschreiben. 1 Dies hindert uns natürlich weder daran, die Regeln der Logik unabsichtlich zu umgehen oder zu missbrauchen. Computerprogramme, sogenannte Beweissysteme, die diese Regeln beherrschen, und uns aufhalten, wenn wir nicht nach den Regeln denken, sind dabei eine große Hilfe. 2 Was dabei richtig und falsch ist, ist letzten Ende Auslegungssache, und es gibt da keine endgültige Wahrheit. Jedoch gibt es Regeln, auf die sich fast alle der schlausten Menschen dieser Erde seit vielen Jahrtausenden geeinigt haben. 5

6 1.1 Aussagenlogik Die Aussagenlogik ist eine Sprache, zusammen mit einer Sammlung von Regeln des gültigen Schließens (erst dadurch wird sie zur Logik!), bei der sich alles um Aussagen dreht Aussagen Definition 1.1 Eine Aussage ist ein Satz, der zweifelsfrei entweder wahr oder falsch ist. Es ist dabei nicht wichtig, ob wir, oder jemand anderes diesen Satz jetzt oder irgendwann später beantworten kann. Es muss nur sichergestellt sein, dass es nicht möglich ist, dass dieser Satz irgendetwas zwischen wahr und falsch ist, oder gar beides zugleich. Es geht auch nicht darum, ob dieser Satz phantastisch oder realistisch ist. Beispiel 1.1 Blau ist eine Farbe. Dies ist eine Aussage, und sie ist wahr. Alle Drachen können fliegen. Dies ist eine Aussage, obwohl sie nicht sehr realitätsnah ist. Aber entweder alle Drachen können fliegen, oder es gibt einen Drachen, der dies nicht kann. 1 > 0 ist eine wahre Aussage, und zugleich eine ganz klassische mathematische Aussage! Wenn ich dich nur umarmen dürfte! ist keine Aussage, sondern ein Wunsch. Ich darf Markus immer umarmen. ist wiederum eine Aussage. Entweder ich darf Markus immer umarmen, oder nicht. Stimmt es, dass Blau eine Farbe ist? Dieser Satz ist keine Aussage, es ist eine Frage. Fragen können niemals Aussagen sein. Nicht alles, was bisher jedoch wie eine Aussage aussah, ist auch wirklich eine Aussage. Erinnern wir uns daran, dass Aussagen immer prinzipiell eindeutig wahr oder falsch sein müssen. Schauen wir uns nochmal den Satz Ich darf Markus immer umarmen genauer an. Wer ist eigentlich Markus, und wer ist ich? Solange wir nicht wissen, auf welche Personen sich dieser Satz bezieht, können wir auch nicht sagen, ob er stimmt, oder nicht. Also ist dies eigentlich keine Aussage, außer wir wissen genau, wer gemeint ist. Auch unter den mathematischen Ausdrücken haben wir so ein ähnliches Phänomen. Betrachten wir den Satz x + 3 > 5. Er sieht ja fast so aus wie die Aussage 1 > 0 aus unseren Beispielen vorher. 1 > 0 ist eine Aussage, daran ist nichts zu rütteln. Aber obiger Satz ist keine Aussage, denn wir 6

7 wissen ja nicht, was genau x sein soll. Erst wenn wir eine Zahl für x festhalten, kann man überhaupt über Wahrheit oder Falschheit dieses Satzes reden. Ebenso wie vorher Markus für uns nur ein unbestimmter Platzhalter für eine Person war, so ist x ein Platzhalter für eine unbestimmte Zahl. Manchmal treffen wir auch Sätze, bei denen scheint alles eindeutig bestimmt zu sein, und sie sehen aus wie Aussagen, dennoch sind sie keine Aussagen. Beispiel 1.2 Erde > 0. Die Erde ist eindeutig ein bestimmter Planet, also kein Platzhalter. Ebenso ist die 0 eine ganz konkrete Zahl. Und dieser Satz sieht ansonsten fast so aus wie der Satz 1 > 0. Dennoch ist es keine Aussage. Er macht schlicht und ergreifend keinen Sinn. Man kann deswegen weder sagen, er ist wahr, noch kann man sagen, er ist falsch. Alle Aussagen, die wir bisher betrachtet haben, hatten eine sehr einfache Struktur, und bestanden aus einer einzigen Aussage. Man kann jedoch auch Aussagen bilden, die selbst aus mehreren Aussagen zusammengesetzt sind. Ein solches Beispiel ist Die Sonne scheint und es ist warm. Diese Aussage hat zwei Teilaussagen, Die Sonne scheint., und Es ist warm.. Diese beiden Aussagen verknüpfen wir durch das Wort und, und bilden somit eine neue Aussage. Diese neue Aussage ist wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind, und falsch, sobald eine von beiden falsch ist. Es gibt noch eine weitere Wörter, die Aussagen sinnvoll verknüpfen, so dass durch die Verknüpfung erneut eine Aussage entsteht, das heißt, ein Satz, den man eindeutig entweder mit wahr oder mit falsch beantworten kann. Aufgabe 1.1 Betrachten Sie die Konjunktionen der deutschen Sprache. Erhält man für jede Anwendung auf Teilaussagen tatsächlich wieder Aussagen (im mathematischen Sinne)? Wann genau sind die so gebildeten Aussagen jeweils wahr, und wann falsch? Durch die Einführung solcher Bindewörter, die wir in der Logik Junktoren nennen, können wir aus Aussagen neue Aussagen bilden, so dass diese beliebig komplex werden können. Im folgenden Abschnitt werden wir mathematisch genau versuchen zu erfassen, was wir alles als eine Aussage verstehen wollen, und wie genau komplexe Aussagen aus einfacheren Aussagen entstehen. Gleichzeitig werden wir jeder Aussage eine eindeutige Bedeutung zuweisen, sodass jeder Logiker dieser Welt genau das selbe versteht wie wir, wenn wir eine Aussage aufschreiben. Im Folgenden wollen wir die Logik, die eine mathematische Sprache ist, exakt definieren. Tatsächlich lieben Informatiker mathematische Sprachen viel mehr als richtige Mathematiker. Fast immer, wenn der Informatiker eine neue Struktur in seinem Kopf entstehen lässt, kommt dabei eine Sprache heraus. Sollten Sie jetzt so langsam bedenken überkommen, weil Sie in Ihrer Schulzeit am liebsten Französisch, Englisch, Latein, 7

8 Griechisch und Spanisch gleichzeitig und für immer abgewählt hätten, dann kann ich Sie beruhigen. Mathematische, oder fast besser informatische Sprachen sind anders als diese natürliche Sprachen. Ihre Grammatik ist sehr einfach und klar, und ihre Bedeutung ist so exakt festgelegt, wie es nur irgendwie geht. Seltsamerweise scheint dies ein Grund zu sein, weshalb Sprachenliebhaber mathematisch Sprachen nicht lieben, Informatiker aber um so mehr. Jede Programmiersprache ist übrigens eine mathematische Sprache. Ich hoffe, es geht Ihnen jetzt wieder besser! Eine Sprache besteht immer aus den zwei grundlegenden Aspekten Syntax und Semantik. Die Syntax einer Sprache beschriebt, wie die Sätze einer Sprache geformt sein dürfen, also wie sich komplexe Sätze aus einfacheren Sätzen bilden lassen 3. Die Semantik einer Sprache ist ihre Bedeutung. Jeder Satz einer Sprache muss eine eindeutig festgelegte Bedeutung haben. Im Falle der Aussagenlogik bedeutet das, jede Aussage muss eindeutig entweder wahr bedeuten, oder falsch Syntax Die grundlegenden Bestandteile der Syntax einer Sprache sind Wörter. Ein typisches Wort in einer Programmiersprache ist das Wort if. Wenn wir mehrere Worte sinnvoll, das heißt nach den Regeln einer Grammatik aneinander Reihen, dann erhalten wir einen Ausdruck. So ist z.b. in der Programmiersprache Pascal (Nein, ihr Tutor ist keine Programmiersprache!) folgende Folge von Wörtern ein Ausdruck if x > 0 then x := 5 else x := 3;. Er setzt sich aus vielen verschiedenen Wörtern zusammen, nämlich if, x, >, 0, then, x, :=, 5, else, x, :=, 3, ;. Genau genommen sind manche dieser Wörter nochmals aus kleineren Objekten, den Zeichen, zusammengesetzt. So besteht das if aus dem Zeichen i, und dem Zeichen f. Wenn wir über formale Sprachen reden, dann reden wir jedoch häufig nicht über die Zeichen, sondern nur über die Worte, und betrachten diese als die kleinste Einheit der Syntax einer Sprache. Nur wenn wir in Programmierung 1 über die Syntax von Programmiersprachen reden, dann werden wir uns auch intensiv mit Zeichen beschäftigen müssen. Kommen wir nun zu der Syntax der Aussagenlogik. Die Syntax setzt sich zusammen aus atomaren Aussagen, die nicht mehr weiter in kleinere Bestandteile zerlegt werden können. Eine solche Aussage wäre z.b. Es ist warm., oder Die Sonne scheint., aber eben nicht Es ist warm und die Sonne scheint. Die wichtigsten atomaren Aussagen sind übrigens Wahr. und Falsch. selbst 4. Die Menge der atomaren Aussagen wäre damit soetwas wie {Wahr, Falsch, Die Sonne scheint, Blau ist eine Farbe,... }. 3 In Programmierung 1 werden wir den Begriff Syntax genauer definieren 4 Dies sind natürlich keine korrekten deutschen Sätze. Aber sowas ist uns Informatikern natürlich egal, solange jeder weiß, was gemeint ist. 8

9 In dieser Menge finden dann alle erdenklichen Aussagen, die nicht aus anderen Aussagen zusammengesetzt sind. Da wir als Mathematiker und Informatiker immer bestrebt sind, unnötigen Balast beim Denken abzuwerfen, und uns auf die Essenz der Dinge zu konzentrieren, wollen wir diese etwas unhandliche Menge der atomaren Aussagen so vereinfachen, dass wir sie erstens leichter aufschreiben können, und zweitens wir uns keine Gedanken über die genaue natürlichsprachliche Bedeutung der einzelnen atomaren Aussagen machen müssen. Definition 1.2 (Atomare Aussagen) Die Menge der atomaren Aussagen Atom besteht aus den elementare Aussagen (steht für wahr) und (steht für falsch), sowie aus Aussagevariablen p, q, r, p 1, 2..., q 1..., r Beachten Sie, dass jede atomare Aussage ein Wort der Sprache Aussagenlogik ist. Aussagevariablen betrachten wir im Folgenden als Platzhalter für beliebige Aussagen. Sie können also stehen für und, aber auch für zusammengesetzte Aussagen, die wir im folgenden kennenlernen werden. In unserer Vorstellung (die wir Mathematiker und Informatiker gerne Intuition nennen), dürfen wir für die Variablen auch beliebige Aussagen der Art Die Sonne scheint einsetzen, und wir können damit herumspielen. Einzig in unserem formalen System, der mathematischen Sprache Aussagenlogik, gibt es solche Sätze wie Die Sonne scheint nicht, denn wir brauchen sie nicht, um zu verstehen, wie logisches Denken funktioniert, und kümmern uns nicht um sie. Jetzt wollen wir die Junktoren der Aussagenlogik näher kennenlernen. Auch diese werden wir als einfache mathematische Symbole aufschreiben, und uns nicht mit natürlichsprachlichen Wörtern herumschlagen, auch wenn es für alle diese Operatoren eine (zumindest ungefähre) Entsprechung in der natürlichen Sprache gibt. Zugleich mit der Einführung der Junktoren wollen wir auch beschreiben, wie genau wir sie verwenden dürfen, um kompliziertere Sätze in unserer Sprache Aussagenlogik zu bilden. Die Regeln, die uns sagen, wie wir aus einfachen Aussagen und Junktoren neue komplexere Aussagen bilden dürfen, nennt man die Grammatik der Sprache. Wir schreiben die Grammatik in der sogenannten Backus-Naur-Form (BNF) auf, die in der Informatik zum Beschreiben sehr vieler Grammatiken verwendet wird. Definition 1.3 Die Menge aller Aussagen A ist gegeben durch folgende Grammatik, wobei x Atom, A φ, ψ ::= x φ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ ψ φ Wir wollen jetzt erklären, was diese ominöse Zeile uns alles erzählt. Wir definieren mit dieser einen Zeile eine Menge A von Objekten, die wir Aussagen nennen wollen. Wir setzen dabei die gesamte Menge aller Aussagen fest. Also alles, was wir eine Aussage nennen wollen ist in A enthalten, und auch nur das! Der letzte Halbsatz ist dabei sehr wichtig. Wenn wir in der Mathematik nicht explizit sagen, dass etwas nicht in einer Menge enthalten ist, dann dürfen wir nicht annehmen, dass es dort nicht vielleicht doch 9

10 drinnen ist. Auch, oder gerade dann, wenn wir eigentlich denken zu wissen, was in einer bestimmten Menge sein soll. Halten wir also zuerst fest, dass die Backus-Naur Form einer Sprache die Menge aller Sätze (die unserem Fall Aussagen heißen) in einer Sprache exakt definiert. Mit dem Ausdruck A φ, ψ sagen wir, dass φ und ψ jeweils ein Element aus der Menge A bezeichnen soll. Das heisst nicht, dass nur φ und ψ in dieser Menge vorkommen, sondern φ und ψ sind jeweils nur ein Symbol, was für ein beliebiges Element aus dieser Menge steht. Man nennt hierbei φ und ψ auch Metavariablen. Sie sind variable Bezeichner für einen Ausdruck aus A, sie sind jedoch selbst kein Ausdruck! Normalerweise schreiben wir φ A um zu sagen, dass φ ein Element der Menge A ist, aber da es sich an dieser Stelle andersherum besser schreiben lässt, drehen wir die Sache einfach um. Solange jeder weiss, was eine Notation bedeuten soll, sind wir da gerne flexibel. Die Zeichen ::= besagen einfach, dass dies jetzt eine Syntaxdefinition in Backus-Naurform ist. Was danach kommt, ist eine Sammlung aller Ableitungsregeln für Wörter aus unserer Sprache. Jede Ableitungsregel wird von den anderen durch einen vertikalen Strich getrennt. Die Zeichen, die in einer Ableitungsregel dann auftauchen, sind entweder Konstanten-Symbole, bei uns hier und, Operator-Symbole, bei uns,,,,, und, Symbole, die für die Wörter stehen, die wir gerade eben definieren wollen, bei uns das φ und das ψ, oder Objekte, die wir bereits anderswo definiert haben, wie bei uns die Aussagevariable p. Hierbei steht p stellvertretend für alle Objekte aus Atom. Die Junktoren, die wir oben eingeführt haben, heißen Negation ( ), Konjunktion ( ), Disjunktion ( ), Ausschließendes Oder ( ), Implikation ( ) und Äquivalenz ( ). Negation, Konjunktion und Disjunktion nennt man auch einfach Nicht, Und und Oder. Die Art mit dir wir hier Worte bilden, nennt sich induktiv. Die BNF ist eine induktive Definition einer unendlichen Menge von Wörtern (hier: Aussagen). Induktiv bedeutet, dass wir komplizierte Ausdrücke aus einfacheren zusammensetzen. Dabei ist es wichtig, dass wir definieren, was die einfachsten Ausdrücke sind, die selbst nicht zusammengesetzt sind. In unserem Fall sind dies die Aussagenvariablen und die Konstanten und. Was die BNF knapp ausssagt, lässt sich mit relativ vielen Worten so ausdrücken: a: Jede Aussagenvariable und die Konstanten und sind Aussagen (atomare Aussagen). b: Sind φ und ψ Aussagen, dann sind auch φ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ Aussagen. 10

11 c: Die Sprache der logischen Ausrücke, also die Menge A, ist genau (also nicht mehr und nicht weniger als) die Menge mit den Eigenschaften (a) und (b). Induktive Definitionen sind in der Informatik allgegenwärtig. Jede Programmiersprache ist (syntaktisch betrachtet), induktiv definiert. Übrigens üblicherweise sogar mit Hilfe der Backus-Naur-Form. Sehr viele Datenstrukturen, die wir in Programmierung 1 kennenlernen werden, sind induktiv definiert, z.b. Listen und Bäume. Man sagt dann für Listen einfach 1. o ist eine Liste (atomare Ausdruck). 2. Wenn l eine Liste ist, dann ist auch l eine Liste (induktive Definition). Listen sind dann alle Objekte, die folgende Form haben: o, o, o, o,.... Die natürlichen Zahlen sind übrigens genauso aufgebaut. 0 entspricht dann o, 1 entspricht o und so weiter. Aber mehr dazu in Programmierung 1. Beispiel 1.3 Ausdrücke, die in A enthalten sind, und damit Aussagen, sind z.b. p ( ). (p q) ( ( q)) Die Klammern dienen dazu, um die Struktur des Ausdrucks zu verdeutlichen. Beispiel 1.4 Keine Aussagen sind z.b.. Es gibt keine Ableitungsregel, bei der zwei atomare Aussagen direkt nebeneinander stehen dürften. Jeder Regel bei der mehr als eine atomare Aussage entstehen kann, enthält auch einen Operator. φ. Dies ist keine Aussage, weil φ weder eine Konstante (, ), noch eine atomare Aussage ist. φ ist nur eine Metavariable, die jeden beliebigen Ausdruck repräsentieren kann. Syntaktisch ist das Symbol φ jedoch niemals Teil einer Aussage. Andersherum, wenn wir sagen: Sei φ A, dann ist auch φ A. Allerdings ist dann φ immer noch keine Aussage, sondern es steht nur für eine Aussage, die einer bestimmten Form genügt. Eine solche Aussage wäre z.b., oder (p q), aber nicht oder. 11

12 Strukturbäume Wir können die zuweilen recht komplizierten Strukturen von Aussagen graphisch darstellen, und uns damit klarer machen, wie sie induktiv aufgebaut sind. In der Programmierung (nicht nur in Programmierung 1) benutzen wir diese Darstellung als Baum dazu, um Algorithmen zu implementieren, die mit Aussagen, oder Ausdrücken anderer Sprachen arbeiten. Diese Algorithmen nennt man dann rekursiv. Sie beginnen ihre Arbeit ganz oben in der Struktur (der Wurzel des Strukturbaums), und rufen sich immer wieder selbst für die Teilstrukturen auf. Diesen Vorgang nennt man rekursiv (von lateinisch recurrere, zurücklaufen). Beispiel 1.5 a: Der Strukturbaum der Formel p ((q (r p)) s) ist p s q r p b: Der Strukturbaum der Formel (p q) ( (r (p s))) ist p q r p s Bemerkung 1.1 (Klammersparregeln) Die äußersten Klammern eines Ausdrucks können stets weggelassen werden. Ansonten können Klammern weggelassen werden, wann man sie anhand folgender Prioritätsregeln 12

13 über Operatorenbindungen wieder rekonstruieren kann. In folgender Liste bindet am stärksten, am schwächsten. 1. Negation 2. Und 3. Oder 4. exklusives Oder 5. Implikation 6. Äquivalenz Konjunktion und Disjunktion klammert linksassoziativ. Das bedeutet, dass wenn wir schreiben p q r wir (p q) r meinen. Entsprechend für Disjunktion. Die Implikation klammert rechtsassoziativ. Hier gilt, dass p q r für die Aussage p (q r) steht. Bemerkung 1.2 Achtung: p q r = (p q) r ist nicht das selbe wie p (q r)! Wie wir noch sehen werden, sind beide Ausdrücke zwar semantisch gleich, syntaktisch sind sie jedoch verschieden, da ihre syntaktische Struktur anders aufgebaut ist. Beispiel 1.6 p = ( p) ( ) p q r p q = (p q) (( r) p) q) Beispiel 1.7 a: Die Formel ((p q (r (p r)))) (r p) Lässt sich schreiben als: (p q (r (p r)) (r p) b: Die Formel ( p q) (p ( p q)) lässt sich darstellen als p q p p q. Da diese kurze Form recht unübersichtlich ist, würde man manche Klammern eventuell stehen lassen: ( p q) p ( p q) c: Die Formel (( ( p)) q) (p ( q)) lässt sich schreiben als ( p q) p q bzw. besser lesbar als ( p q) (p q). Manchmal ist es besser Klammern zu setzen, auch wenn sie nicht unbeding notwendig sind, um Aussagen besser lesbar zu machen. 13

14 1.1.3 Semantik Die Semantik einer Sprache ist ihre Bedeutung. Dabei weisen wir syntaktischen Ausdrücken ein mathematisches Objekt zu. Wir schreiben diese Zuweisung als eine mathematische Abbildung, die wir mit zwei eckigen Klammern bezeichnen. Tatsächlich sagt man zu diese Klammern gerne Semantikklammern. Wenn φ A, also φ eine syntaktische Aussage ist, dann bezeichnet fortan φ die Semantik von φ. Die mathematischen Objekte, die wir als Semantik für unsere Ausdrücke festlegen werden, sind einzig die beiden Wahrheitswerte w und f, die wir ab sofort als die Mathematik gewordenen Formen von wahr und falsch betrachten. Damit ist eine Abbildung von A, der Menge aller syntaktischen Aussagen, nach {w, f}, der Menge der Wahrheitswerte. Wir notieren dies prägnant mathematisch als : A {w, f} 5. Wir definieren die induktiv, dem syntaktischen Aufbau von Aussagen folgend. Auf diese Weise können wir sehr einfach jedem Element aus A einen Wert aus {w, f} zuweisen, obwohl A eine unendliche Menge ist. Um uns das Leben etwas einfacher zu machen, definieren wir zuerst auf Aussagen, die keine Variablen enthalten, und danach für beliebige Aussagen. Definition 1.4 (geschlossene und offene Ausdrücke) Wir nennen einen aussagenlogischen Ausdruck (sprich: eine Aussage) offen, wenn er (mindestens) eine Aussagenvariable enthält. Andernfalls (also wenn er keine einzige Variable enthält), nennen wir ihn geschlossen. Definition 1.5 (Semantik geschlossener Aussagen) Seien im folgenden φ, ψ A geschlossene Aussagen. Dann ist die semantische Abbildung : A {w, f} wie folgt induktiv definiert: 1. = w 2. = f { w wenn φ = f 3. φ = f wenn φ = w { w wenn φ = w und ψ = w 4. φ ψ = f ansonsten { f wenn φ = f und ψ = f 5. φ ψ = w ansonsten 5 Wir werden im Laufe des Vorkurs noch genaueres über Mengen und Abbildungen erfahren 14

15 w 6. φ ψ = w f { f 7. φ ψ = w f 8. φ ψ = f w wenn φ = w und ψ = f wenn φ = f und ψ = w ansonsten wenn φ = w und ψ = f ansonsten wenn φ = w und ψ = f wenn φ = f und ψ = w ansonsten Beispiel 1.8 TODO::::ODOT Wir wollen uns nun beliebigen Ausdrücken, also auch offenen Ausdrücken zuwenden. Bekanntermaßen können Aussagenvariablen intuitiv für beliebige Aussagen stehen. Aus der formalen Sicht interessiert uns an Aussagen ja nur, ob sie wahr, oder falsch sind, sprich, ob ihre Semantik w oder f ist. Wir können also offenen Termen erste eine Semantik geben, wenn wir Variablen entweder mit f oder mit w belegt haben. Sei ab sofort V die Menge aller Aussagenvariablen, sprich V = Atom \ {, }. Definition 1.6 (Belegung) Eine Belegung von Aussagenvariablen ist eine Abbildung b : V {w, f}. Wir nenen die Menge aller Belegungen B. Beispiel 1.9 TODO::::ODOT Wir können nun die Semantik beliebiger Ausdrücke in Abhängigkeit von einer Belgung b definieren. Wir schreiben daher b, um diesen Sachverhalt klarzumachen. Wir haben es also jetzt streng genommen nicht mehr mit einer Semantik zu tun, sondern mit einer ganzen Familie von Semantiken, nämlich einer Semantik b für jede Belegung b. Definition 1.7 (Semantik beliebiger Aussagen) Seien im folgenden φ, ψ A. Dann ist die semantische Abbildung b : A {w, f} wie folgt induktiv definiert: 1. b = w 2. b = f 3. p b = b(p), wobei p V 15

16 4. φ b = { w f wenn φ b = f wenn φ b = w (vollkommen analog zu Definition 1.5) Es folgen einige interessante Bemerkungen zu einigen Junktoren, zusammen mit ein paar Beispielen. Zur Erinnerung an die Semantik der Operatoren präsentieren wir sie hier nochmal in ein wenig informellerer Schreibweise als sogenannte Wahrheitstafel. Die Negation (Symbol ) p p W F F W Der Negationsoperator ist ein mächtiger Operator. Tatsächlich ist er, zusammen mit nur einem der Operatoren oder ausreichend, um alle anderen Operatoren nachzubilden. So können wir z.b. aus und wie folgt bauen. p q kann man darstellen als ( p q). Das heisst, egal welche Belegung ich für p und q wähle, die beiden Ausdrücke haben immer den selben Wahrheitswert. Die Implikation (Wenn-Dann-Verknüpfung; Symbol: ) p q p q W W W W F F F W W F F W Dieser Junktor repräsentiert die Grundidee jeglichens logischen Schließens: Eine Aussage folgt aus einer anderen!, oder mit Aussagenvariablen: q folgt aus p. Hierbei bezeichnen wir p als Prämisse oder Voraussetzung bzw. Hypothese und q als Folgerung bzw. Konklusion. Beachten Sie, dass also die Aussage, die gefolgert wird, rechts vom Junktor steht. Für den mathematisch Ungeübten gibt es hier jedoch die verwirrende Tatsache, dass obwohl dieser Junktor intuitiv soetwas bedeutet wie, wenn p wahr ist, dann ist auch q wahr, muss zwischen den Aussagen, für die p und q jeweils stehen, keinerlei sinnvoller Zusammenhang bestehen. Beispiel 1.10 Wenn rot eine Farbe ist, dann ist ein Kreis rund. Diese Aussage ist wahr. Und zwar nicht deshalb, weil rote Farbe und runde Kreise irgendeinen sinnvollen Zusammenhang hätten, sondern nur deshalb, weil beide Aussagen für sich genommen wahr sind, und deshalb nach unserer Semantik beide Aussagen, verknüpft mit wiederum eine wahre Aussage ergeben. 16

17 Weshalb um alles in der Welt haben dann die vielen schlauen Logiker der letzten Jahrhunderte die Bedeutung von so gewählt? Wir können uns versuchen, dies wie folgt zu erklären. Normalerweise verwendet man Implikationen als Teil eines Beweises, und sie repräsentieren sinnvolles Wissen, dass wir über die Welt haben. Betrachten wir die Tatsache, dass alle Männer rülpsen. 6. Diese Tatsache können wir als eine Implikation verstehen: Wenn ein Mensch ein Mann ist, dann rülpst dieser Mensch. Dies ist eine Implikation über zwei Aussageformen: (Mensch x ist Mann) (Mensch x rülpst). Erinnern Sie sich daran: wir glauben fest an diese Aussage 7. Nun nehmen wir einen Mann, nennen wir ihn Christian, und wir wollen beweisen, dass Christian rülpst. Wenn wir Christian in die Aussageform einsetzen, erhalten wir die Implikation Christian } ist {{ ein Mann} Christian rülpst. } {{ } p q Zur leichteren Verständigung nennen wir die beiden Teilaussagen der Implikation nun p bzw. q. Da wir wissen, dass Christian ein Mann ist, ist p wahr. Da wir auch an die Implikation glauben, muss also folgen, dass q auch gilt, also Christian rülpst. Aber halt! Wir waren hier wieder nur intuitiv, und wir haben über Implikation gesprochen, als wüssten wir, was sie genau bedeutet. Wir wollen daher nun versuchen zu verstehen, inwiefern dieser logische Schluss, den wir gerade gezogen haben, in der Semantik von versteckt ist. Zuerst wollen wir uns fragen, was es nun eigentlich semantisch bedeutet, dass wir fest daran glauben, dass die Implikation wahr ist. Nichts anderes als dass gilt p q = w! Wir wissen nun also, dass p wahr ist. Und wir wissen, dass p q wahr ist. Damit muss nach unserer Semantik von p q also auch folgen, dass q wahr ist, dann andernfalls, wenn q = f gelten würde, dann wäre auch p q = f, was ja ein Widerspruch wäre zu unserem festen Glauben in diese Implikation! Wunderbar! Wir haben soeben erklärt, weshalb die erste Zeile in der Wahrheitstafel, die zum Junktor gehört, Sinn ergibt. Wir versuchen nun, die dritte und vierte Zeile der Wahrheitstafel für uns zu erklären. Dort ist jeweils die Prämisse falsch. In unserem Beispiel bedeutet das, dass wir nun keinen Mann betrachten, sondern eine Frau. Nennen wir Sie Julia. Wir glauben immer noch an unsere anfängliche Implikation über männliche Menschen, die rülpsen. Können wir 6 Falls Sie daran Zweifeln, ist das kein Problem. Tun Sie die nächsten Minuten einfach so als ob. 7 Sie haben Recht, eigentlich ist das keine Aussage, da x ein Platzhalter ist, und wir daher nicht wissen, ob der Satz wahr oder falsch ist. Ignorieren Sie das bitte einmal kurzzeitig. Ohne Platzhalter werden die Beispiele fast immer sinnlos klingen. Zur Beruhigung: in Kapitel 1.2 werden wir sehen, wie wir sowas dann doch zu einer korrekten Aussage hinbiegen. 17

18 nun irgendetwas über Julias Verdauungstätigkeiten aussagen? Können wir also ebenfalls schließen, dass sie rülpst? Oder können wir vielleicht schließen, dass sie garantiert nicht rülpst? Tatsächlich sagt unsere Implikation nichts über Julia aus, da sie kein Mann ist. Also sollte unsere Semantik der Implikation ebenfalls keine Aussage über Julias Rülpsverhalten zulassen. Und tatsächlich ist das so! Nehmen wir an Julia rülpst tatsächlich. Dann wird die Konklusion unserer Implikation wahr. Wir befinden uns damit in Zeile drei der Wahrheitstafel, und wie wir sehen, ist die Semantik der Implikation dann w. Das bedeutet für uns, dass dies absolut konform ist mit unserem Glauben in unsere Implikation. Genau das selbe passiert in Zeile vier, im Falle, das Julia nicht rülpst. Dann ist die Semantik ebenfalls w, und ist damit konform zu unserem Glauben an unsere Implikation. Dies bedeutet also insbesondere, dass wir keinerlei Informationen aus einer Implikation ziehen können, wenn ihre Prämisse falsch ist (Julia ist kein Mann!). Bemerkung 1.3 Ein wichtiger Merksatz der Logik ist: Aus Falschem kann man alles Beliebige folgern! Beispiel 1.11 Nehmen wir eine Implikation, deren Prämisse offensichtlich falsch ist, ebenso wie ihre Konklusion: Wenn 1 = 5, dann ist 2 = 10. Wenn wir jedoch mit der falschen Prämisse anfangen zu arbeiten, dann können wir sogar zeigen, dass 2 = 10 gilt, und zwar wie folgt: 2 = 1 2 dies ist nach der Prämisse 5 2 und dies ist bekanntlich 10. Auch auf diese Art können wir uns erklären, weshalb es sinnvoll ist, Zeile vier der Wahrheitstafel von so zu definieren, wie sie definiert ist. Natürlichsprachlich hat eine Wenn - Dann Konstruktion oftmals einen kausalen Zusammenhang. Beim mathematischen Wenn - Dann ist das nicht zwingend der Fall. Beispiel 1.12 Wenn es regnet, werde ich nass. Natürlichsprachlich verstehen wir den Regen als Ursache dafür, das wir nass werden. In der Aussagenlogik bedeutet das nicht weiter als eine der drei Dinge: es regnet gerade und ich werde gerade nass (vielleicht weil ich keinen Schirm habe, vielleicht aber auch, weil mich gerade ein Hund anpinkelt) es regnet gerade nicht, und ich werde trotzdem nass (vermutlich weil mich ein Hund anpinkelt) es regnet gerade nicht, und ich werde auch nicht nass (der Hund hat rechtzeitig eine Laterne gefunden). Wichtige alternative Sprechweisen für p q sind 18

19 p impliziert q p ist hinreichend für q p ist hinreichende Bedingung für q. q ist notwendig für p. q ist notwendige Bedingung für p. p nur dann wenn q. p dann wenn q. Wir sollten sie uns unbedingt merken, und auch genau verstehen, in welche Richtung die Implikation jeweils dabei geht. Verwechselungsgefahr besteht dabei oft bei den Ausdrücken notwendige und hinreichende Bedingung. Eine Bedingung p ist hinreichend für q, wenn das Erfülltsein von p stets garantiert, dass auch q erfüllt ist. Dabei ist p alleine dafür vollständig ausreichend, und nichts anderes ist mehr nötig. Beispiel 1.13 Ein Streichholz in eine Kerzenflamme zu halten ist hinreichend dafür, dass das Streichholz sich enflammt. Für ein und die selbe Bedingung q kann es jedoch mehrere hinreichende Bedingungen p geben. Beispiel 1.14 Ein Streichholz in einen brennenden Hochofen zu werfen ist ebenfalls hinreichend dafür, dass das Streichholz sich entzündet. Beispiel 1.15 Ein Streichholz an der Reibefläche der Streichholzschachtel zu reiben, ist nicht hinreichend dafür, dass das Streichholz sich entzündet, denn oft genug brechen dabei Streichölzer einfach ab, ohne anzugehen. Daher kann dies nicht hinreichend sein. Notwendige Bedingungen sind solche Bedingungen, die vorhanden sein müssen, damit eine andere Bedinung überhaupt eintreten kann. Mit Variablen gesprochen: wenn q für p notwendig ist, dann muss q gelten, damit p gilt, aber alleine genügt q nicht. Im Allgemeinen genügen notwendige Bedingungen alleine nicht 8. 8 Eine Bedingung kann auch gleichzeitig notwendig und hinreichend sein. Dann genügt sie natürlich. Diesen Sachverhalt schreibt man logisch als Äquivalenz p q. 19

20 Beispiel 1.16 Um am Herd Wasser zum kochen zu bringen, ist es notwendig, den Topf mit Wasser auf den Herd zu stellen, da das Wasser neben dem Herd garantiert nicht kochen wird. Allerdings genügt es nicht, den Topf auf den Herd zu stellen, man muss ihn auch einschalten. Den Herd einzuschalten ist ebenfalls notwendig, aber nicht genug. Also ist sowohl Herd einschalten (ein) als auch den Topf auf den Herd zu stellen (topf) eine notwendige Bedingung um das Wasser zum kochen zu bringen (kochen). Formal können wir das schreiben als kochen ein und kochen topf Beachten Sie, dass die notwendigen Bedingungen auf der rechten Seite von stehen! Wenn wir den Topf mit dem Wasser sowohl auf den Herd stellen, als auch den Herd einschalten, dann wird das Wasser sicher zu kochen beginnen (in einer einfachen Welt). Beide Bedingungen zusammen sind dann auch hinreichend. Wir können dann schreiben kochen topf ein Das heisst, topf und ein zusammen sind hinreichend und notwendig für kochen. Ebenso ist kochen hinreichend und notwendig dafür, dass der Topf auf dem Herd steht und gleichzeitig der Herd ein ist. Beispiel 1.17 Das Streichholz an der Reibefläche der Schachtel zu reiben ist übrigens weder hinreichend noch notwendig. Das Streichholz muss nicht immer angehen, wenn man es dort reibt, daher ist diese Tätigkeit nicht hinreichend. Sie ist auch nicht notwendig, da man Streichhölzer auch anzünden kann, ohne sie jemals an der Reibefläche gerieben zu haben, nämlich z.b. an Kerzenflammen oder Hochöfen. Bemerkung 1.4 Wir bezeichnen die Aussage q p als die Umkehrung der Aussage p q, p q als ihr Inverses und q p als ihre Kontraposition. Die Äquivalenz ( Genau - Dann - Wenn - Verknüpfung; Symbol: ) p q p q F F W W F F F W F W W W Bemerkung 1.5 Andere Bezeichnungen für p q: p gilt dann und nur dann wenn q gilt 20

21 p ist hinreichend und notwendig für q q ist hinreichend und notwendig für p p gdw q (genau dann wenn) p iff q (if and only if) Beispiel 1.18 Sei p: 1 < 0 und q: Das Saarland liegt am Meer. Die Aussage p q, sprich 1 < 0 gilt genau dann, wenn das Saarland am Meer liegt. Sie ist also logisch richtig, da das Saarland nicht am Meer liegt, und auch 1 < 0 nicht gilt. Bemerkung 1.6 Wir sehen hier sehr schön, dass es nicht immer hilfreich ist, nach dem Sinn solcher Aussagen zu fragen. Schon gleich nicht, wenn wir diese Aussage aussprechen und etwas sagen wie, Dass das Saarland am Meer liegt ist notwendig und hinreichend dafür, dass 1 < 0. Dass 1 < 0 gilt oder nicht gilt, hat in der echten Welt rein gar nichts damit zu tun, wo das Saarland liegt. Umgekehrt genausowenig. Dennoch sind beide Aussagen logisch äquivalent, da beide den selben Wahrheitswert haben. Das Problem, das man als Nicht- Mathematiker mit solchen logischen Verknüpfungen hat, ist der, dass man meisst annimmt, dass Aussagen, die logisch äquivalent sind, irgendeinen inhaltlichen, oder kausalen Zusammenhang haben müssten. Dass aus 1 < 0 logisch folgt, dass das Saarland am Meer liegt, scheint keinen Sinn zu ergeben. Einfach deshalb, weil wir dann versuchen in 1 < 0 einen Grund dafür zu sehen, das vielleicht halb Europa überflutet wurde, und daher Frankreich plötzlich zu Meer wurde. Aber offensichtlich gibt es keinen Zusammenhang zwischen 1 < 0 und dem Anstieg des Meeresspiegels 9 Bemerkung 1.7 Wenn Aussagenlogik so sinnlos ist, warum betreiben wir sie dann? Zum einen, weil die Aussagen ja durchaus Sinn ergeben können. Wir müssen die Aussagen nur passend wählen. Zum anderen liegt in der Tatsache, dass die Aussagenlogik auch dann funktioniert, wenn die Aussagen, mit denen wir hantieren, scheinbar keinen Sinn ergeben, ihre große Stärke. Oft wissen wir gar nicht von vorne herein, ob irgendwelche Aussagen in einem aussagenlogischem Ausdruck zusammen Sinn ergeben. Und doch können wir mit Ihnen arbeiten, sie umformen. Solange bis wir sie auf eine Form begracht haben, so dass wir plötzlich wieder einen neuen Zusammenhang, einen neuen Sinn, in ihnen entdecken. Genau das ist es, was wir in der Mathematik immer wieder tun! 9 Zumindest schiene bisher die globale Erwärmung die plausibleste Ursache. Vielleicht werden wir aber irgendwann entdecken, dass dies alles tatsächlich nur an 1 < 0 liegt. 21

22 Wir haben nun die Semantik aller aussagenlogischen Ausdrücke formal definiert. Jeder Ausdruck, sprich jede Aussage, steht semantisch gesehen dabei entweder für wahr w oder für falsch f. Da wir nun wissen, was Aussagen bedeuten, ist es relativ einfach sich zu überlegen, dass zwei Aussagen semantisch, also von ihrer Bedeutung her, gleich sind, wenn sie beide wahr oder falsch sind. Wenn wir Aussageformen haben, also Ausdrücke, die noch Aussagevariablen enthalten, dann sind sie in ihrer Bedeutung gleich, genau dann wenn sie für jede Belegung von Aussagevariablen den selben Wahrheitswert repräsentieren. Definition 1.8 (logische Gleichheit ) Zwei Aussagen φ und ψ aus A sind genau dann logisch gleich, geschrieben, φ ψ, wenn für alle Belegungen b B gilt, dass φ b = ψ b. Erfüllbarkeit Ein Ausdruck heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung b B gibt, so dass φ b = w. Allgemeingültig - Tautologie Eine Ausdruck φ heißt allgemeingültig, tautologisch bzw. Tautologie, φ, dass heisst, φ für alle Belegungen wahr ist. Unerfüllbar - Kontradiktion Ein Ausdruck heißt unerfüllbar, kontradiktorisch bzw. Kontradiktion, wenn φ. Beispiel 1.19 In Beispiel haben wir: 1. p ist erfüllbar. 2. p (q r) ist erfüllbar, und zwar nur für p = q = r = w. 3. ist die einfachste Kontradiktion, und die einfachste Tautologie. 4. p p ist eine Kontradiktion. 5. p p ist eine Tautologie. 6. p q p ist eine Tautologie. 22

23 1.1.4 Gesetze der Aussagenlogik Satz 1.1 Seien φ, ψ und χ Ausdrücke im Aussagenkalkül. Dann gelten folgende Regeln bzw. Gesetze: Identität: Dominanz: φ φ φ φ φ φ Idempotenz: φ φ φ φ φ φ Assoziativität: φ (ψ χ) (φ ψ) χ φ (ψ χ) (φ ψ) χ Damit auch:(φ ψ) χ φ ψ χ bzw. (φ ψ) χ φ ψ χ Kommutativität: φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ φ ψ ψ φ Distributivität: Negation: φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) φ (ψ χ) (φ ψ) (φ χ) (φ ψ) φ ψ (Gesetz von de Morgan) (φ ψ) φ ψ (Gesetz von de Morgan) 23

24 ( φ) φ (Doppelte Negation) Definierbarkeit: φ φ φ ψ ( φ ψ) φ ψ ( φ ψ) φ ψ (φ ψ) (φ ψ) φ ψ φ ψ ψ φ φ ψ (φ ψ) (ψ φ) Alle diese Regeln lassen sich Beweisen, zum einen durch Wahrheitstabellen oder, teils schneller und kürzer, durch Herleiten aus bereits bekannten (d.h. bewiesenen Regeln). Wir können nun leicht neue Regeln herleiten. Beispiel 1.20 a: Es gilt: (φ ψ) φ ψ Beweis 1.1 (φ ψ) ( φ ψ) ( φ) ψ) φ ψ q.e.d b: Es gilt auch: (φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) Beweis 1.2 (φ ψ) ((φ ψ) (ψ φ)) (φ ψ) (ψ φ) ( φ ψ) ( ψ φ) (φ ψ) (ψ φ) (φ ψ) ( φ ψ) q.e.d Aufgabe 1.2 Machen Sie sich zu jeder Umformung oben klar, welches Gesetz angwandt wurde. Wenn wir Beweise schreiben (vorallem, wenn sie von anderen Menschen gelesen werden sollen, wie z.b. in Klausuren), dann müssen wir jeden Umformungsschritt durch Angabe des verwendeten Gesetz begründen. 24

25 1.2 Prädikatenlogik Im letzten Abschnitt haben wir Aussagen als Sätze kennengelernt, bei denen wir eindeutig entscheiden konnten, ob sie wahr oder falsch sind. Diese konnten wir durch Junktoren zu neuen komplexeren Aussagen verknüpfen. Obwohl wir damit bereits interessantere Zusammenhänge zwischen Aussagen kennengelernt haben, wie z.b. was es bedeutet, wenn eine Aussage logisch aus einer anderen folgt, waren die Aussagen selbst immer komplett unabhängig voneinander. Wir konnten z.b. sagen Um die Uni herum stehen viele Bäume und Christian ist ein Mann, oder auch Dass um die Uni herum viele Bäume stehen impliziert, dass Christian ein Mann ist, Diese Aussagen sind beide wahr, jedoch kommt ihre Sinnhaftigkeit sehr nahe an manche Schlagzeilen einer großen Zeitung mit vielen bunten Bildern heran. Das Problem, dass die Aussagen sinnlos erscheinen, liegt darin begründet, dass die beiden Teilaussagen inhaltlich keinerlei Zusammenhang besitzen, und jede der beiden durch eine beliebige andere wahre Aussage ersetzt werden kann, ohne am Wahrheitsgehalt der Aussagen etwas zu ändern. Mit der Prädikatenlogik lernen wir eine Erweiterung der Aussagenlogik kennen, bei der wir Aussagen, über ein und das selbe Objekt so zusammensetzen können, dass klar wird, dass es sich in jeder Teilaussage auch jeweils um das selbe Objekt handelt. Wir schaffen damit erstmals eine sinnvolle Verknüpfung zwischen Teilaussagen, so dass diese erst zusammen tatsächlich mehr aussagen als einzeln, und ihre Verknüpfung nicht mehr so willkürlich erscheint. Tatsächlich ist die Prädikatenlogik eine sehr mächtige Logik. Alles, was wir jemals innerhalb der Mathematik aussagen wollen, können wir in ihr aufschreiben. Diese Mächtigkeit hat aber auch ernsthafte Konsequenzen. Konnten wir z.b. bei der Aussagenlogik noch ein automatisches Verfahren suchen, dass uns erlaubt, festzustellen, ob eine Formel prinzipiell erfüllbar ist, oder nicht 10, ist dies jetzt im Allgemeinen nicht mehr möglich. Dies liegt unter anderem daran, dass ihre elementaren Bestandteile nun keine Aussagen mehr sind, sondern etwas viel Allgemeineres, so genannte Aussageformen. Beispiel 1.21 Betrachten wir zunächst einmal den Satz x > 0. Solange wir über x nichts Genaueres wissen bzw. x näher spezifiziert haben, können wir nicht entscheiden, ob der Satz wahr oder falsch ist. Somit ist der Satz nach unserer Definition auch keine Aussage. Ersetzen wir x jedoch durch eine Zahl, wird der Satz zu einer Aussage und wir können ihm einen Wahrheitswert zuweisen. Setzen wir für x zum Beispiel den Wert 1 ein, so erhalten wir eine wahre Aussage 1 > 0, die wir bereits im letzten Abschnitt kennengelernt haben. Für x = 3 2 erhalten wir aber die falsche Aussage 3 2 > 0. Wir nennen solche Sätze mit Loch eine Aussageform. Sätze, wie wir sie im letzten Beispiel gesehen haben, werden in der Mathematik sehr häufig verwendet: 10 durch Ausprobieren aller möglichen Belegungen 25

26 Definition 1.9 Ein Satz, der eine oder mehrere Variablen enthält und nach Einsetzen von konkreten Werten aus einer festgelegten Grundmenge, die Universum genannt wird, zu einer Aussage wird, nennt man eine Aussageform. In unserem Beispiel kann man als Universum alle Menge von Zahlen wählen, auf denen die Ordnung mit < bzw. > sinnvoll definiert ist, also z.b. die Menge der näturlichen, ganzen, rationalen oder rellen Zahlen. Man beachte dabei, dass wir keine Aussage erhalten, wenn wir statt dessen die Menge aller Menschen als Universum wählen, da dann der Satz Christian > 0 überhaupt keinen Sinn ergibt, und wir ihm damit nicht eindeutig einen Wahrheitswert zuordnen können Syntax Definition 1.10 Die Menge aller prädikatenlogischen Aussagen P ist gegeben durch folgende Grammatik: P φ, ψ ::= P (x 1,..., x k ) x : φ x : φ φ φ ψ φ ψ φ ψ φ ψ ψ φ Die Aussagenvariablen p der Aussagenlogik sind nun verschwunden. Stattdessen finden wir unter anderem die neue Phrase P (x 1,..., x n ) vor. Dies ist die sogenannte Aussagenform. Sie besteht aus zwei Teilen, dem Prädikt P, und den Individuenvariablen x 1 bis x n. Ein Prädikat kann beliebig viele Indiviudenvariablen besitzen, was wir durch die Punktschreibweise verdeutlichen. Wir wollen uns bald anschauen, was ein Prädikat formal genau ist. Merken wir uns aber soweit nur, dass ein Prädikat im Prinzip nichts anderes ist als ein Satz mit Löchern x 1 bis x n, den man durch Auffüllen der Löcher (Individuenvariablen) mit Werten aus dem Universum zu einer Aussage machen kann. Dafür verwendet man auch die folgende Notation: P : x > 0 bzw. P (x) := x > 0. Dabei ist x im Universum enthalten. Beispiel 1.22 Möchten wir von einer beliebigen Menge an Städten fragen, ob sie im Saarland liegen oder nicht, so können wir diese mit Hilfe einer Aussageform tun. Sei so zum Beispiel unser Universum U = {Saarbücken, Hanoi} und das dazugehörige Prädikat L(s) := Die Stadt s liegt im Saarland. Dann ist L(Saarbrücken) eine wahre Aussage und L(Hanoi) eine falsche Aussage. Die anderen beiden neuen Phrasen sind x : φ und x : φ. Diese erlauben uns, Aussageformen zu Aussagen zu machen. Dabei unterscheiden wir die folgenden beiden Arten: 1. Eine bestimmte Eigenschaft wird von allen Objekten des Universums erfüllt. ( ) 26