Vorkurs Mathematik 2014

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1 Dr. Mario Helm et al. Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Fakultät für Mathematik und Informatik Vorkurs Mathematik 4 Winkelmessung und trigonometrische Funktionen Winkel und Winkelmessung Winkel... Teil der Ebene, der von zwei Strahlen ( Schenkeln ) mit gleichem Anfangspunkt ( Scheitel ) begrenzt wird Winkelmessung... Quantitative Erfassung der Öffnungweite, d. h. lediglich der relativen Lage der Strahlen zueinander Vorkurs TU Bergakademie Freiberg Bogenmaß Die Winkelmessung im Bogenmaß erfolgt unter Beachtung des Drehsinns am Einheitskreis: Die Größe des Winkels im Bogenmaß entspricht der Länge des ausgeschnitten Bogens auf dem Einheitskreis. Der Vollkreis entspricht einem Winkel von (Umfang des Einheitskreises). Einheit: Zur Identifikation als Winkel verwendet man mitunter den Radiant: rad= m m =. Mathematisch gesehen ist das verzichtbar. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg

2 Gradmaß Beim Gradmaß wird die Größe des Vollkreises auf 6 normiert. Damit entspricht dem Winkel im Bogenmaß die Gradangabe 8. Für beliebige Winkel gelten die Umrechnungsformeln Winkel in Grad = 8 Winkel in Radiant = Winkel in Radiant Winkel in Grad 8 Wie groß ist der rechte Winkel (9 ) im Bogenmaß? Wieviel Grad entspricht rad? Vorkurs TU Bergakademie Freiberg Winkelmesser mit Grad und Radiant Prägen Sie sich einige Werte auch im Bogenmaß ein. Achten Sie beim Rechnen mit Winkeln auf korrekte Taschenrechnereinstellung ( /rad). Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 4 Bogenminuten und Bogensekunden Im Zusammenhang mit der Gradskala sind neben der üblichen Dezimaldarstellung auch kleinere Einheiten in Gebrauch: Eine Bogenminute ( ) ist der 6-te Teil eines Grads. Eine Bogensekunde ( ) ist der 6-te Teil einer Bogenminute bzw. der 6-te Teil eines Grades. Angaben mit Grad, Bogenminuten und Bogensekunden verwendet man vor allem in der Geographie und in der Astronomie. In Google Earth kann man für den Hörsaal WIN 5 die geografischen Koordinaten 5 55 N und O ablesen. Wie lauten die Angaben in Grad mit den gewohnten Nachkommastellen? Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 5

3 Geographische Längen und Breiten Positionen auf der Erdoberfläche lassen sich immer mittels zweier Winkel (geogr. Länge (links) und Breite (rechts)) angeben: Welchem Weg entspricht (, ) Breite auf der Erdoberfläche, wenn man sich entlang eines Meridians bewegt? Gehen Sie von einer kugelförmigen Erde mit 4 km Umfang aus. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 6 Schätzen Sie Blickwinkel In der Astronomie erfasst man Durchmesser und Abstände von Objekten an der Himmelskugel ebenfalls über Winkelgrößen. Schätzen Sie: den Winkel, den die gespreizte Hand (Ringfinger- bis Daumenspitze); der Handrücken; der Zeigenfinger bei gestrecktem Arm überdeckt, die Länge des Großen Wagens, den Durchmesser der Sonne (des Mondes), den Abstand Mizar-Alkor (mittlerer Deichsel(doppel)stern des Großen Wagens), die Auflösung des menschlichen Auges / die minimale Distanz zweier getrennt sichtbarer Sterne, den maximale Abstand des Gallileischen Jupitermondes Ganymed zum Jupiter, den Durchmesser des Jupiterscheibchens. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 7 Gon und Strich Neben Grad und Radiant sind vereinzelt noch weitere Einheiten in Gebrauch. Insbesondere wären zu nennen: das Gon ist der 4-te Teil eines Vollkreises, ein rechter Winkel entspricht also gon. Gebrauch vor allem im Vermessungs- und Markscheidewesen. der nautische Strich ist der -te Teil eines Vollkreises. Gebrauch vor allem in der Seefahrt zur Grobpeilung. Kompassrose mit Strichteilung Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 8

4 Winkelfunktionen und Trigonometrie Unter dem Begriff Winkelfunktionen fasst man die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens zusammen. Wir erinnern uns zunächst an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis. sin cos Durch Skalieren der Skizze erhält man die klassischen Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck doch dazu später. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 9 Betrachtet man Sinus und Kosinus in Abhängigkeit vom Winkel x, entstehen zwei -periodische Funktionen, deren Graphen lediglich um gegeneinander verschoben sind: Sinus Kosinus Vorkurs TU Bergakademie Freiberg Eigenschaften von Sinus und Kosinus sin(x + ) = sin(x), cos(x + ) = cos(x), d. h. Sinus und Kosinus sind -periodisch, sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), d. h. der Sinus ist ungerade, der Kosinus gerade, sin(x) = cos(x /) und cos(x) = sin(x + /), d. h. die Graphen sind um / gegeneinander verschoben, sin (x) + cos (x) = (Satz des Pythagoras), sin(x) = x = k mit k Z und cos(x) = x = (k +.5) mit k Z, sin(x) ist auf [ /, /] streng monoton wachsend und cos(x) ist auf [, ] streng monoton fallend. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg

5 Markante Funktionswerte Es ist empfehlenswert, sich wenigstens einige Funktionswerte für Sinus und Kosinus einzuprägen: / 6 / 4 /45 /6 /9 sin x cos x Aufgrund von Periodizität, Symmetrien usw. kann man daraus auf eine Reihe weiterer Werte schließen. Zum Beispiel ist sin = sin 6 =. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Gleichungen sin(x + ) = und cos( x) =. Nutzen Sie die die Eigenschaften von Seite wie auch die Funktionswerttabelle auf Seite. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f(x) = sin(x + ) = und g(x) = cos( x). Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus dem vorigen Beipiel graphisch. Was ändert sich am Graphen einer Funktion y = f(x), wenn man x durch kx (k > ), x bzw. x c ersetzt? Was ändert sich wenn man y = kf(x) (k > ) statt y = f(x) betrachtet? Vorkurs TU Bergakademie Freiberg Tangens und Kotangens Der Tangens von x ist definiert durch f : R \ {( k + ) } sin(x) : k Z R, x tan(x) := cos(x). Der Kotangens von x ist definiert durch f : R \ {k : k Z} R, Im Gebrauch ist vor allem der Tangens. Wichtige Eigenschaften: x cot(x) := cos(x) sin(x). tan und cot sind -periodische Funktionen, tan( x) = tan(x) und cot( x) = cot(x), d. h. beide Funktionen sind ungerade, tan ist auf ( /, /) streng monoton wachsend und cot ist auf (, ) streng monoton fallend. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 4

6 Graphische Darstellung Tangens Kotangens 4 cot(x) x sin(x) cos(x) tan(x) 4 Dargestellt sind die Graphen von Tangens und Kotangens sowie die graphische Interpretation am Einheitskreis. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 5 Seiten-Winkel-Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck Im rechtwinkligen Dreieck sollten Sie zumindest folgende Beziehungen (auswendig!) kennen: Satz des Pythagoras: a + b = c. Winkelbeziehungen: sin β = b c cos β = a c, tan β = b a Flächeninhalt: A = ab c α b β a Machen Sie sich klar, dass die Winkelbeziehungen unmittelbar aus der Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis folgen. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 6 Seiten-Winkel-Beziehungen im allgemeinen Dreieck Allgemein gelten in Dreiecken die folgenden Beziehungen: Kosinussatz: Sinussatz: Flächeninhalt: c = a + b ab cos γ a sin α = b sin β = c sin γ A = ch c = ab sin γ b α γ h c c a β Man leite Sinus- und Kosinussatz unter Rückführung auf die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken her. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 7

7 Arkusfunktionen Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen nennt man Arkusfunktionen. Da die trigonometrischen Funktionen auf R nicht eineindeutig sind, muss man Einschränkungen auf bestimmte Intervalle vornehmen. Man schränkt Kosinus und Kotangens auf [, ] sowie Sinus und Tangens auf [, ] ein, und erhält die Umkehrfunktionen arcsin : [, ] [, ], y = arcsin(x) : x = sin y, y [, ], arccos : [, ] [, ], y = arccos(x) : x = cos y, y [, ], arctan : R [, ], y = arctan(x) : x = tan y, y [, ], arccot : R [, ], y = arccot(x) : x = cot y, y [, ]. mit Namen Arkussinus, Arkuscosinus, Arkustangens und Arkuskotangens. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 8 Graphische Darstellung arccos arccot / / arcsin arctan / / 4 4 Graphen sämtlicher Arkusfunktionen. Vorkurs TU Bergakademie Freiberg 9 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und einen guten Start ins Studium an der TU Bergakademie Freiberg! Originalfoto: Regi5 Vorkurs TU Bergakademie Freiberg