Analyse diskreter Auswahlentscheidungen Discrete Choice Analysis

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1 Analyse diskreter Auswahlentscheidungen Discrete Choice Analysis Dr. Sven Müller 27. Oktober 2012 Institut für Verkehrswirtschaft Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Verkehr Schwerpunkt: Operations & Supply Chain Management 1 / 70

2 Begriffe und Vorbemerkungen Zufallsnutzenmodell Stochastische Nutzenkomponente Mittelwert der stochastischen Nutzenkomponente Varianz der stochastischen Nutzenkomponente Verteilung der stochastischen Nutzenkomponente Multinomiales Logit Modell Deterministische Nutzenkomponente Schätzverfahren Fallstudien Dresdner Schülerverkehr Bay Area Rapid Transit (BART) Bestimmung aggregierter Größen Literatur 2 / 70

3 Begriffe und Vorbemerkungen 3 / 70

4 Verkehrsnachfragemodellierung Verkehrserzeugung: Ermittlung des Quell- und Zielverkehrsaufkommens (z.b. Wegezahl) eines in sich möglichst homogenen Gebietes (Verkehrszelle) innerhalb einer Zeiteinheit Verkehrsverteilung: Verteilung der erzeugten Quell- und Zielverkehre auf korrespondierende Ziel- und Quellgebiete Verkehrsaufteilung: Aufteilung des ermittelten Verkehrsaufkommens zwischen einer Quelle und einem Ziel auf unterschiedliche Verkehrsmittel Verkehrsumlegung: Umlegung des verkehrsmittelspezifischen Verkehrsaufkommens auf eine oder mehrere Routen zwischen Quelle und Ziel (z.b. schnellste Route) 4 / 70

5 Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Bestimmung der Verkehrsnachfrage Aufteilung der Personen zwischen einer Quelle und einem Ziel auf verschiedene Verkehrsmittel, insb. Aufteilung in ÖV-Nutzer und Nicht-ÖV-Nutzer Sequenziell (nach der Verkehrsverteilung) oder simultan (gleichzeitig bei der Zielwahl) Generelle unterscheidung in ÖV-, IV- und ungebundene Verkehrsteilnehmer Hier: Spezifikation eines diskreten Auswahlmodells (individuelle Auswahlentscheidungen) Hochrechnung auf die Masse der Verkehrsteilnehmer 5 / 70

6 Diskrete (Aus-) Wahlentscheidung Entscheidungsträger - Individuum (Person, Haushalt) - Sozio-ökonomische Eigenschaften (z.b. Alter, Geschlecht, Einkommen) Alternativen - Entscheidungsträger wählt genau eine Alternative aus einer gegebenen Menge von Alternativen Attribute der Alternativen (z.b. Preis/Kosten, Reisezeit) Entscheidungsregel (Auswahlregel) - Dominanz, Bedürfnisbefriedigung, Nutzen, u.v.m. nominal skalierte endogene Variable (Wahlentscheidung) 6 / 70

7 Warum brauche ich überhaupt ein Modell? 1. Ich will aus einem großen Datensatz übersichtliche Informationen gewinnen, z.b. Wie groß sind die Unterschiede in der Bewertung der Reisezeit hinsichtlich Wartezeit und tatsächlicher Reisezeit? Wie hoch sind die bevölkerungssegmentspezifischen Opportunitätskosten der Reisezeit (Wieviel mehr sind Angestellte bereit für eine Minute weniger Reisezeit zu zahlen im Vergleich zu Arbeitern)? Welchen Einfluß haben Wohnumfeldcharakteristika auf die Verkehrsmittelwahl? 2. Ich möchte Prognosen für andere (Zeit-) Räume bzw. Szenarien erstellen, z.b. Wie hoch ist der erwartete Einnahmegewinn bei einer Tarifsteigerung von 2%? Welchen Marktanteil erreicht eine neu eingeführte Buchungsklasse auf ausgewählten Relationen? Welchen Effekt hat die Markteinführung von Elektroautos auf den Modal-Split? 7 / 70

8 Zufallsnutzenmodell 8 / 70

9 Nutzendefinition Entscheidungsregel: Nutzenmaximierung - Individuum n wählt die Alternative mit dem für sie höchsten Nutzen U ni aus allen ihr zur Verfügung stehenden Alternativen C n zufälliger Nutzen: U ni = V ni + ɛ ni deterministische Nutzenkomponente V ni ist eine Funktion in Abhängigkeit von k beobachtbaren Variablen x nik und k Gewichtungsfaktoren (Schätzkoeffizienten) β k. V ni = β X nik = k β kx nik zufällige Nutzenkomponente: ɛ ni 9 / 70

10 Nutzenmaximale Auswahlentscheidung Wähle Alternative i C n, wenn U ni U nj Auswahlwahrscheinlichkeit j C n P n (i C n ) = P (U ni U nj j C n ) (1) ( ) = P U ni = max U nj j C n (2) j Aus U ni = V ni + ɛ ni folgt P n (i C n ) = P (V ni + ɛ ni V nj + ɛ nj j C n ) (3) = P (ɛ nj ɛ ni V ni V nj j C n ) (4) J 1 Differenzen der Fehlerterme (stochstische/zufällige Nutzenkomponente)! 10 / 70

11 Rekapituliere! Nutzen U ni = V ni + ɛ ni Individuum n wählt die Alternative i C n mit dem größten Nutzen U ni Nur Wahrscheinlichkeitsaussage möglich, ob i C n gewählt wird: P n (i C n ) = P (ɛ nj ɛ ni V ni V nj j C n ) (5) Drei entscheidende Fragen: 1. Was ist ɛ ni? 2. Was ist C n? 3. Was ist V ni? 11 / 70

12 Stochastische Nutzenkomponente 12 / 70

13 Wichtige Fragen bezüglich ɛ ni 1. Mittelwert? 2. Varianz? 3. Verteilung? Vereinfachende Annahmen: C n = {Auto, Bus} Nutzenfunktionen: U A = β 1 T A + ɛ A U B = β 1 T B + ɛ B mit T i Reisezeit für Alternative i Auswahlwahrscheinlichkeit: P (A {A, B}) = P (U A U B ) (6) = P (β 1 T A + ɛ A β 1 T B + ɛ B ) (7) = P (β 1 T A β 1 T B ɛ B ɛ A ) (8) = P (ɛ β 1 (T A T B )) (9) 13 / 70

14 Mittelwert von ɛ Mittelwert des Ausdrucks ɛ B ɛ A unbekannt. Wir nehmen an das E [ɛ] = β 0 und definieren Dann gilt E [ɛ ] = 0 und somit ɛ = ɛ + β 0 bzw ɛ = ɛ β 0 P (A {A, B}) = P (ɛ β 1 (T A T B )) (10) = P ( ɛ ) β 1 (T A T B ) β 0 (11) = P ( ɛ ) (β 1 T A β 0 ) β 1 T B (12) = P ( ɛ β 1 T A (β 0 + β 1 T B ) ) (13) 14 / 70

15 Mittelwert von ɛ in V ni Mittelwert von ɛ als Koeffizient in deterministischer Nutzenkomponente (V ni ) berücksichtigen Nur der Mittelwert der Differenz der Fehlerterme (ɛ) ist von Interesse! U A = β 1 T A +ɛ A U B = β 1 T B +β 0 +ɛ B Bzw. U A = β 1 T A β 0 +ɛ A U B = β 1 T B +ɛ B β 0 ist die alternativen-spezifische Konstante (ASC) 15 / 70

16 Mittelwert von ɛ und Konstanten in V ni Die Berücksichtigung derselben Konstanten in sämtlichen Nutzenfunktionen hat keinen Einfluß auf die Auswahlwahrscheinlichkeiten: P (U A U B ) = P (U A + K U B + K) K R n Wenn in V ni genau J 1 (J Alternativen) alternativen-spezifische Konstanten enthalten sind, dann nehmen wir an, dass der Erwartungswert der Fehlerterme gleich null ist. 16 / 70

17 Varianz von ɛ Die Multiplikation sämtlicher Nutzenfunktionen mit einer strikt positiven Zahl hat keinen Einfluß auf die Auswahlwahrscheinlichkeiten: P (U A U B ) = P (αu A αu B ) α > 0 Hinsichtlich der Varianz gilt: Var (αu A ) = α 2 Var (U A ) (14) Var (αu B ) = α 2 Var (U B ) (15) Zusammenhang zwischen Varianz der Nutzenfunktion U i und α: a α = Var (U i ) Demnach gilt: Var(αU i ) = a Merke: Eine beliebig festgelegte Varianz der Störterme (und damit der Nutzenfunktion) führt zu einer beliebigen Skalierung der Nutzenfunktion! 17 / 70

18 Verteilung von ɛ ni Annahmen: 1 ɛ A und ɛ B sind die Summe vieler Zufallszahlen, die Messfehler, Spefizikationsfehler und nicht beobachtete Attribute (z.b. Geschmack, persönliche Präferenzen) beinhalten. Zentraler Grenzwertsatz Die Summe vieler identisch und unabhängig verteilter Zufallsvariablen folgt approximativ einer Normalverteilung: ɛ ni N (0, 1) Oder 2 ɛ A und ɛ B sind das Maximum vieler Zufallszahlen, die Messfehler, Spefizikationsfehler und nicht beobachtete Attribute (z.b. Geschmack, persönliche Präferenzen) beinhalten. Gumbel Theorem: Das Maximum vieler identisch und unabhängig verteilter Zufallsvariablen folgt approximativ einer Extremwertverteilung: ɛ ni EV (0, µ) 18 / 70

19 Wenn ɛ ni als normalverteilt angenommen wird... Normalverteilung: Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = 1 2π e 1 2 x2 P (c ɛ) = F (c) = c f(x)dx 19 / 70

20 ... weißt das zugehörige Zufallsnutzenmodell keine geschlossene Form auf! P (A {A, B}) = P (ɛ β 1 (T A T B ) β 0 ) (16) = F (β 1 (T A T B ) β 0 ) (17) P (A {A, B}) = β1 (T A T B ) β 0 f(x)dx Binäres Probability Unit Model / Probit Model 20 / 70

21 ɛ ni sei extremwertverteilt... Extremwertverteilung (EV(η, µ), mit µ > 0): Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = µe µ(x η) e e µ(x η) P (c ɛ) = F (c) = c f(x)dx = e e µ(x η) 21 / 70

22 ... wie sind dann Mittelwert und Varianz definiert? Wenn dann gilt E [ɛ] = η + γ µ ɛ EV (η, µ) und Var [ɛ] = π2 6µ 2 wobei γ die Euler sche Konstante ist (γ ) 22 / 70

23 Was heißt das für unser Model? P (A {A, B}) = P (ɛ β 1 (T A T B ) β 0 ) mit ɛ = ɛ B ɛ A. P (A {A, B}) = P (ɛ B ɛ A β 1 (T A T B ) β 0 ) (18) = P (ɛ B β 1 (T A T B ) β 0 + ɛ A ) (19) = = β1 (T A T B ) β 0 +ɛ A β1 (T A T B ) β 0 +ɛ A Durch algebraische Umformungen folgt: P (A {A, B}) = e µv A + e µv B f(x)d(x) (20) µe µ(ɛ A η) e e µ(ɛ A η) d(ɛ A ) e µv A Binäres Logit Modell µ ist nicht identifizierbar und wird normalisiert (z.b. µ = 1) 23 / 70

24 Rekapituliere! Zusammenhang E [ɛ] und alternativen-spezifischer Konstante Zusammenhang von Var[ɛ] bzw. Var[U i ] und Skalierung der Nutzenfunktion Annahme, dass Störterme (unabhängig) identisch extremwertverteilt sind, führt zu geschlossener Modellformulierung für die Auswahlwahrscheinlichkeiten (d.h. kein Integral). 24 / 70

25 Multinomiales Logit Modell 25 / 70

26 Allgemein: P n (i C n ) = P (U ni U nj j i) (21) = P (V ni + ɛ ni V nj + ɛ nj j i) (22) = P (ɛ nj V ni V nj + ɛ ni j i) (23) = e e µ (V ni V nj +ɛ ni) µe µɛ ni e e µɛni d (ɛ ni ) j i daraus folgt P n (i C n ) = e µv ni j C n e µv nj Multinomiales Logit Modell (MNL) µ wird auch als Skalierungsparameter (Scale Parameter) bezeichnet und überlicherweise = 1 gesetzt (Normalisierung). 26 / 70

27 Modelleigenschaften Auswahlwahrscheinlichkeiten liegen immer im Intervall (0, 1) Konstantes Verhältnis der Auswahlwahrscheinlichkeiten: P n (i C n ) P n (k C n ) = e µv ni j Cn eµv nj e µv nk j Cn eµv nj = eµv ni e µv nk Auch: Unabhängigkeit irrelevanter Alternativen (IIA: Independence of irrelevant Alternatives) Auswahlwahrscheinlichkeiten verlaufen S-förmig 27 / 70

28 IIA und das roter Bus - blauer Bus Paradoxon Annahme: C n = {Auto, Bus} mit V A = V B = V D.h.: P n (A C n ) = P n (B C n ) = 0.5 Jetzt: Ein zweiter Busservice wird eingeführt, der exakt dem bestehenden entspricht, aber beide Busse haben unterschiedliche Farben (rot und blau) Also: C n = {Auto, roterbus, blauerbus} mit V rb = V bb = V Auswahlwahrscheinlichkeiten MNL: P n (A C n ) = P n (rb C n ) = P n (bb C n ) = Wir würden aber erwarten: P n (A C n ) = 0.5 und P n (rb C n ) = P n (bb C n ) = / 70

29 Rekapituliere! MNL ist eines von vielen Zufallsnutzenmodellen: da folgt P n (i C n ) = P (ɛ nj ɛ ni V ni V nj j C n ) ɛ ni i.i.d. EV (0, µ) P n (i C n ) = e µv ni j C n e µv nj Unterschiedliche Annahmen bzgl. ɛ führen zu unterschiedlichen Zufallsnutzenmodellen Noch zu klären: C n und V ni 29 / 70

30 Universelle und individuelle Alternativenmenge Universelle Alternativenmenge (C): Alternativenmenge oder Choice Set Sämtliche denkbaren zur Auswahl stehenden Alternativen einer Population Hier: nur die relevanten Alternativen Verkehrsmittelwahl: Pkw-Fahrer, Pkw-Beifahrer, Motorrad, Taxi, Bus, Tram, Bahn, Flugzeug, Fahrrad, zu Fuß, Skateboard, Pferd,... Individuelle Alternativenmenge (C n ): Fahrerlaubnis Pkw-Verfügbarkeit Informationen bzw. Bewußtsein über ÖPNV-Service Erreichbarkeit von Haltestellen (natürliche und anthropogene Hindernisse) / 70

31 Eigenschaften der Alternativenmenge Alternativen müssen sich gegenseitig ausschließen Sämtliche für n verfügbaren (available) Alternativen müssen enthalten sein Alternativenmenge muß endlich sein Die Generierung der Alternativenmenge kann unter Umständen sehr kompliziert sein (hier: deterministische Regeln) 31 / 70

32 Deterministische Nutzenkomponente 32 / 70

33 Deterministische Nutzenkomponente Generell: V ni = V (z ni, S n ) mit z ni Vektor von Attributen der Alternative i für Individuum n S n Vektor von sozio-demographischen und sozio-ökonomischen Eigenschaften des Individuums n Wie sehen z ni und S n konkret aus? Gehen wir von einer Nutzenfunktion aus, die eine Linearkombination von (Schätz-) Koeffizienten und Attributen bzw. Eigenschaften darstellt (linear-in-parameters) V ni = V (z ni, S n ) = β X nik = k β k x nik 33 / 70

34 Kontinuierliche exogene Variablen: Attribute der Alternativen Kontinuierlich heißt: x nik R für alle n, i, k x nik sind mit einer konkreten Einheit verbunden. Beispiele: Fahrzeit in Minuten Fahrtkosten in Euro Distanz in Metern Jedoch: V ni besitzt keine Einheit (ebenso wenig U ni ) Demnach stehen die β k in Verbindung mit der Einheit des zugehörigen Attributes 34 / 70

35 Kontinuierliche exogene Variablen: Attribute der Alternativen Beispiel: V ni = β 1 TT ni +... V ni = β 1TT ni +... Wenn TT ni Fahrzeit in Minuten, dann ist die Einheit von β 1 1/min Wenn TT ni Fahrzeit in Stunden, dann ist die Einheit von β 1 1/h Equivalente Spezifikationen - aber Werte der Koeffizienten (β s) sind unterschiedlich β 1 TT ni = β 1TT ni TT ni TT ni = β 1 β 1 = / 70

36 Kontinuierliche exogene Variablen: Attribute der Alternativen Generische und alternativen-spezifische Spezifikation Generisch: Alternativen-spezifisch V Auto = β 1 TT Auto V Bus = β 1 TT Bus V Auto = β 1 TT Auto V Bus = β 2 TT Bus Annahme: Eine Minute Reisezeit hat bzw. hat nicht denselben Einfluß auf die Auswahl von Auto und Bus 36 / 70

37 Kontinuierliche exogene Variablen: Sozio-ökonomische Eigenschaften Beispiele: Jahreseinkommen in Euro Alter in Jahren Distanz in Metern Achtung: Diese Variablen sind nicht abhängig von i: x nk! 37 / 70

38 Kontinuierliche exogene Variablen: Sozio-ökonomische Eigenschaften x nk können nicht in sämtlichen Nutzenfunktionen verwendet werden. Beispiel: V Auto = β 1 TT Auto + β 2 Einkommen V Bus = β 1 TT Bus + β 2 Einkommen V Rad = β 1 TT Rad + β 2 Einkommen Prinzipiell: alternativen-spezifische Spezifikation V Auto = β 1 TT Auto + β 2 Einkommen + β 4 Alter V Bus = β 1 TT Bus + β 3 Einkommen + β 5 Alter V Rad = β 1 TT Rad + 38 / 70

39 Kontinuierliche exogene Variablen: Nichtlineare Zusammenhänge Vergleiche: Fahrt 1: 5 Minuten; Fahrt 2: 10 Minuten Fahrt 3: 120 Minuten; Fahrt 4: 125 Minuten 39 / 70

40 Kontinuierliche exogene Variablen: Nichtlineare Zusammenhänge Statt verwende V i = β 1 Fahrzeit i + β 2 Fahrtkosten i V i = β 1 lnfahrzeit i + β 2 Fahrtkosten i V i ist weiterhin eine Linearkombination hinsichtlich der Koeffizienten! Allgemein: V ni = V (h (z ni, S n )) = k β k h (x nik ) Linearkombination, obwohl h nicht linear ist! 40 / 70

41 Diskrete exogene Variablen Hauptsächlich verwendet bei qualitativen Attributen der Alternativen: Fahrplanzuverlässigkeit Bequemlichkeit Farbe, Form etc oder Eigenschaften der Individuuen Geschlecht Bildungsniveau Beruf... Was ist zu tun? Alle möglichen Merkmalsausprägungen definieren (z.b. männlich, weiblich oder Anbindung ist sehr gut, gut, befriedigend, schlecht Referenzausprägung definieren Numerische Konvention (z.b. 1-0 im Falle weiblich-männlich) 41 / 70

42 Diskrete exogene Variablen Beispiel: x g x b x s sehr gut gut befriedigend schlecht Wenn eine qualitative exogene Variable (Attribut) n Merkmalsausprägungen hat, dann führen wir n 1 zugehöhrige Variablen in unser Modell (Nutzenfunktion) ein. 42 / 70

43 Interaktionen zwischen exogenen Variablen Individuuen in der Population sind unterschiedlich und bewerten Alternativen und deren Attribute unterschiedlich Sozio-ökonomische Eigenschaften definieren Segmente in der Bevölkerung Wie kann die Unterschiedlichkeit (Heterogenität) im Modell abgebildet werden? 43 / 70

44 Interaktionen zwischen Attributen und Eigenschaften Beispiel: Die Bewertung der Kosten variiert mit dem verfügbaren Einkommen: V ni = β Fahrtkosten i Einkommen n Demnach ist die Bewertung der Fahrtkosten der Alternative i unterschiedlich über alle Individuuen n hinsichtlich ihres Einkommens: β n β = Einkommen n Also V ni = β nfahrtkosten i 44 / 70

45 Einfaches Beispiel für die Spezifikation der Nutzenfunktion C = {Auto, Bus, Rad} Exogene Variablen (Attribute): Reisezeit (RZ), Fahrtkosten (K) Exogene Variablen (Eigenschaften): Einkommen (E), Alter (Al) Spezifikationstabelle β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 β 6 β 7 β 8 β 9 β 10 K Auto lnrz A A En Al n K Bus lnrz B B En Al n K Rad lnrz R R En Al n 45 / 70

46 Einfaches Beispiel für die Spezifikation der deterministischen Nutzenfunktion Zugehörige Nutzenfunktion: K V A = β 1 + β 4 lnrz A + β A 7 En + β 8 Al n K V B = β 2 + β 5 lnrz B + β B 7 En + β 9 Al n K V R = β 3 + β 6 lnrz R + β R 7 En + β 10 Al n 10 Koeffizienten β k. Allerdings sind nur 8 davon identifizierbar! D.h. zwei von β 1 β 3 und β 8 β10 müssen =0 (oder irgend ein anderer Wert) gesetzt werden. Merke: Nur die Unterschiede in den Nutzen zwischen den Alternativen beeinflußen die Wahlentscheidung 46 / 70

47 Rekapituliere! Alternativenmenge muß gewisse Eigenschaften aufweisen (z.b. Alternativen müssen sich gegenseitig ausschließen) Deterministische Nutzenfunktion kann Attribute der Alternativen als auch Eigenschaften der Entscheidungsträger beinhalten Oft ist die Nutzenfunktion eine Linearkombination hinsichtlich der Koeffizienten Nichtlinearitäten der Variablen können in einer Linearkombination abgebildet werden Frage: Wie kommen wir an die Werte der Koeffizienten (β)? 47 / 70

48 Schätzverfahren 48 / 70

49 Maximum-Likelihood-Schätzung y ni =1, falls Individuum n tatsächlich die Alternative i wählt (0, sonst) Sei y ni = 1 und y nj = 0 für j i: P n (i C n ) = Likelihood-Funktion J (P n (j C n )) ynj j=1 N J L(β) = (P n (i C n )) yni n=1 i=1 Log-Likelihood-Funktion: ( N ) J N J l(β) = ln L(β) = ln (P n (i C n )) yni = y ni ln P n (i C n ) n=1 i=1 n=1 i=1 49 / 70

50 Maximum-Likelihood-Schätzung Ersetze P n (i C n ) durch l(β) = N n=1 i=1 e V ni j ev nj J y ni ln P n (i C n ) l(β) = = = N n=1 i=1 N n=1 i=1 N n=1 ( J y ni ln e Vni j evnj J N y ni V ni J i=1 y ni ( k n=1 i=1 ) J y ni ln j β ik z nik ) N n=1 i=1 e Vnj J y ni ln j e ( k β jk z njk) 50 / 70

51 Maximum-Likelihood-Schätzung Zielsetzung: Maximiere l(β) Start: ˆβ = 0 l(0) = 0 N ln J. ˆβ Parametervektor, bei dem die Log-Likelihood-Funktion ihr Maximum annimmt Log-Likelihood-Index (Pseudo-R 2, McFadden-R 2 ): LR = 1 l( ˆβ )/l(0). 51 / 70

52 Fallstudien 52 / 70

53 Fallstudie Dresdner Schülerverkehr / 70

54 Fallstudie: Dresdner Schülerverkehr Alternativenmenge 1 zu Fuß zur Schule 2 mit dem Fahrrad zur Schule i = 3 mit dem ÖV zur Schule 4 mit dem MIV zur Schule Exogene Variablen Grundnutzen [Alternativen-spezifische Konstante] (k = 0) Distanz [km] vom Wohnort zur Schule (k = 1) PKW-Verfügbarkeit [Dummy-Variable] (k = 2) Jahreszeit [Dummy-Variable] (k = 3) 54 / 70

55 Schätzergebnisse Dresdner Gymnasialschüler (N = 9300) Modus Erklärende Variable (Koeff.) Wert Std-Err. t-wert zu Fuß Konstante (β 10) 10,774 0,234 46,042 (i = 1) Distanz (β 11) -4,376 0,183-37,008 PKW-Verfügbarkeit (β 12) -5,279 0,1634-3,609 Jahreszeit (β 13) -0,591 0, ,129 Fahrrad Konstante (β 20) 6,570 0,190 34,596 (i = 2) Distanz (β 21) -0,904 0,033-27,365 PKW-Verfügbarkeit (β 22) -4,772 0,184-22,599 Jahreszeit (β 23) -2,081 0,147-14,160 ÖV Konstante (β 30) 4,477 0,171 26,210 (i = 3 Distanz (β 31) -0,052 0,017-2,966 PKW-Verfügbarkeit (β 32) -5,553 0,143-38,870 Jahreszeit (β 33) -0,489 0,135-3,621 Null log-likelihood: ,50 Final log-likelihood: -4792,14 Likelihood ratio test: 16200,80 Rho-square: 0, / 70

56 Geschätzte lineare Nutzenfunktionen Schüler n steht PKW stets zur Verfügung steht (z ni2 = 1) Sommerschulhalbjahr (z ni3 = 0) 56 / 70

57 Geschätzte lineare Nutzenfunktionen Schüler n mit eingeschränkter PKW-Verfügbarkeit (z ni2 = 0) Sommerschulhalbjahr (z ni3 = 0) 57 / 70

58 Nutzenwerte (im Vergleich zum MIV) Distanz zur Schule 0,5 km Schüler n steht PKW stets zur Verfügung steht (z ni2 = 1) Sommerschulhalbjahr (z ni3 = 0) V 1q = 10, 774 4, 376 0, 5 5, = 3, 307 V 2q = 6, 570 0, 904 0, 5 4, = 1, 346 V 3q = 4, 477 0, 052 0, 5 5, = 1, 102 V 4q = 0 58 / 70

59 Auswahlwahrscheinlichkeiten Distanz zur Schule 0,5 km Schüler n steht PKW stets zur Verfügung steht (z ni2 = 1) Sommerschulhalbjahr (z ni3 = 0) P 1q = P 2q = P 3q = P 4q = e 3,307 e 3,307 + e 1,346 + e 1,102 = 0, 841 = 84, 1% + e0 e 1,346 e 3,307 + e 1,346 + e 1,102 = 0, 118 = 11, 8% + e0 e 1,102 e 3,307 + e 1,346 + e 1,102 = 0, 010 = 1, 0% + e0 e 0 e 3,307 + e 1,346 + e 1,102 = 0, 031 = 3, 1% + e0 59 / 70

60 ÖV Auswahlwahrscheinlichkeit 60 / 70

61 Fallstudie Bay Area Rapid Transit (BART) 61 / 70

62 Fallstudie: Bay Area Rapid Transit (BART) 1970-er Jahre Bau eines neuen Eisenbahnsystems im Küstengebiet von San Francisco Studie von Daniel MacFadden Prognose des Marktanteils Befragung von 771 Pendlern Modi 1. Fahrt mit eigenem Auto 2. Fahrt mit dem Bus und zur Haltestelle gehen 3. Fahrt mit dem Bus und zur Haltestelle fahren 4. Fahrgemeinschaft 62 / 70

63 Schätzergebnisse zur BART-Fallstudie Erklärende Variable a Koeffizient t-statistik Kosten/Nettoarbeitslohn, cents/minute (1-4) -,0284 4,31 Auto-Fahrtzeit, Minuten (1,3,4) -,0644 5,65 Bus-Fahrtzeit, Minuten (2,3) -,0259 2,94 Fußwegzeit, Minuten (2,3) -,0689 5,28 Bus-Wartezeit, Minuten (2,3) -,0538 2,30 Anzahl Fahrten (2,3) -,1050,78 Taktzeit erster Bus, Minuten (2,3) -,0318 3,18 Haushaltseinkommen, max. $7500 (1) 4,54e-06,05 Haushaltseinkommen -$7500, min. $0 max. $3000 (1) -5,72e-05,43 Haushaltseinkommen -$10500, min. $0 max. $5000 (1) -5,72e-05,91 Anzahl Pkw-Fahrer im Haushalt (1) 1,0200 4,81 Anzahl Pkw-Fahrer im Haushalt (3),9900 3,29 Anzahl Pkw-Fahrer im Haushalt (4),8720 4,25 Arbeiter ist Haushaltsvorstand (1),6720 3,37 Beschäftigungsrate am Arbeitsplatz (1) -,0016 2,27 Wohnort nahe dem Stadtzentrum/CBD (1) -,5020 4,18 63 / 70

64 Schätzergebnisse zur BART-Fallstudie, Forts. Erklärende Variable a Koeffizient t-statistik Pkw/Fahrer, max. 1 (1) 5,0000 9,65 Pkw/Fahrer, max. 1 (3) 2,3300 2,74 Pkw/Fahrer, max. 1 (4) 2,3800 5,28 Nur Pkw, dummy (1) -5,2600 5,93 Park-and-Ride, dummy (3) -5,4900 5,33 Carpool, dummy (4) -3,8400 6,36 Likelihood ratio index,4426 Log likelihood des vollständigen Modells -595,8 Anzahl Beobachtungen 771 Zeitersparnis in % des Lohns: Auto-Fahrtzeit 227 3,20 Bus-Fahrtzeit 91 2,43 Fußwegzeit 243 3,10 Bus-Wartezeit 190 2,10 a Variable wird nur für die Alternativen in Klammern berücksichtigt Alternativen: 1 nur Pkw, 2 Bus, 3 Park-and-Ride, 4 Carpool 64 / 70

65 Was ist so besonders an der Studie? Zwei weitere Modi zur Prognose des Marktanteils des neuen Eisenbahnsystems Tatsächlicher Prognostizierter Anteil Anteil nur Pkw 59,900% 55,840% Bus 10,780% 12,510% Park-and-Ride 1,426% 2,411% BART mit Bus-Zubringer 0,951% 1,053% BART mit Pkw-Zubringer 5,230% 5,286% Carpool 21,710% 22,890% Prognostizierter Marktanteil: 6,3% Tatsächlicher Marktanteil: 6,2% 65 / 70

66 Bestimmung aggregierter Größen 66 / 70

67 Enumeration einer Stichprobe Sei w n die Anzahl der Entscheidungsträger in der Population, die ähnlich zum Individium n sind, so liefert ˆN i = n w n P n (i C n ). einen konsistenten Schätzwert für die erwartete Anzahl an Individuen in der Population, die die Alternative i wählen. 67 / 70

68 Segmentierung Segmentierung z.b. nach Geschlecht (männlich, weiblich) und nach Schuljahr (Sommer, Winter) 2 2 = 4 Segmente P si w s Auswahlwahrscheinlichkeit, dass ein Entscheidungsträger des Segmentes s die Alternative i wählt (entspricht P n (i C n )). Anzahl der Individuen in der Population, die zum Segment s gehören Konsistenter Schätzwert für die Anzahl an Individuen in der Population, die die Alternative i wählen ˆN i = s w s P si 68 / 70

69 Literatur 69 / 70

70 Koppelmann, F. und Bhat, C. (2006): A Self Instructing Course in Mode Choice Modeling: Multinomial and Nested Logit Models. Train, K. (2003): Discrete Choice Methods with Simulation. Cambridge. Ben-Akiva, M. und Lerman, S. (1985): Discrete Choice Analysis: Theory and Applications to Travel Demand. MIT Press. 70 / 70