Lage- und Streuungsmaße

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1 Statstk für SozologIe Lage- ud Streuugsmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschrebug quattatver Date Um de emprsche Vertelug ees quattatve Merkmals zu beschrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der Iformato des Datesatzes bzw. der Vertelug ermöglche. De wchtgste Parameter sd de sog. Lageparameter, de das absolute Nveau (de Größeordug) der Date beschrebe sowe de Streuugsparameter, de messe, we sehr de ezele Beobachtuge um das Zetrum kozetrere Lagemaße Allgemee Lagemaße: Mmum, Maxmum, Quatle Zetrale Lagemaße: Arthmetsches Mttel, Meda, (Modalwert) Streuugsmaße Spawete, Quartlsabstad, G-Koeffzet Varaz, Stadardabwechug, Varatoskoeffzet Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

2 Lagemaßzahle () Statstsche Maßzahle, welche de absolute Lage der Vertelug beschrebe Mmum Der kleste Wert ees quattatve Merkmals m(x,,x ) Maxmum Der größte Wert ees quattatve Merkmals max(x,,x ) Quatle Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt (sehe Kaptel ) 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Lagemaßzahle () Arthmetsches Mttel (mea) Mttelwert; Summe der Werte aller Beobachtuge (Merkmalssumme) getelt durch de Azahl der Beobachtuge(Fälle) Modalwert x = x = Der am häufgste auftretede Wert. Nur relevat be u-modale Verteluge bzw. auch be dskrete Date 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

3 Lagemaßzahle (3) Meda Der Meda oder Zetralwert ees (zumdest ordal-skalerte) Merkmals st der Wert jeer Beobachtug, de der ach desem Merkmal geordete Gesamthet der Mtte zu lege kommt. x( ( + ) /) = + + ~ x0,5 ( x + x ) ( / ) ( ( )/ ) x () sd de geordete Beobachtuge, ugerade, gerade 5 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttelwert oder Meda? Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Ee statstsche Methode st robust, we se be Vorlege fehlerhafter Date verüftge Ergebsse lefert Robusthet muss ma der Regel durch Ebuße be der Präzso erkaufe 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3

4 Bespel =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 8, 6 Summe = 30 arth. Mttel = 6 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 8 Meda=6 =5 Beobachtuge 7, 5, 4, 80, 6 Summe = 0 arth. Mttel = 0,4 Geordete Beobachtuge: 4, 5, 6, 7, 80 Meda=6 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttelwert versus Meda Das arthmetsche Mttel reagert sehr sesbel auf ezele Extremwerte Der Meda erwest sch gegeüber extreme Beobachtuge als relatv robust Rchter Note Rchter Note Rchter Note A 9 A A B 8,5 B 8,5 B C 9,5 C 9,5 C 9,5 D 9 D 9 D 9 E 9 E 9 E 9 Arth. Mttel 9 Arth. Mttel 7,6 Arth. Mttel 6,3 Meda 9 Meda 9 Meda 9 Trmmed Mea 9 Trmmed Mea 8,83 Trmmed Mea 6,67 8 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4

5 α-trmmed Mea Grudgedake: etfere vor der Mttelug de extreme Beobachtuge, de das Ergebs stark beeflusse köe Der Datesatz wrd um *α Beobachtuge reduzert. Es werde de *(α/) kleste ud de *(α/) größte Beobachtuge vo der Mttelwertsbldug ausgeschlosse Allgemees Przp umfasst ee Famle vo Lagemaßzahle: α=0 ergbt das Arthmetsche Mttel α 00% ergbt de Meda 9 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel zu α-trmmed Mea Bespel: =40 α-trmmed Mea mt α=0% Ausgeschlosse werde de ver extreme Beobachtuge: x (), x (),x (39), x (40) ud x = 0, = α x( ) = 3 I Excel Fukto: GESTUTZTMITTEL 0 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5

6 Awedugsbespel für Trmmed Mea EURIBOR: Euro Iterbak Offered Rate; wrd täglch um Uhr Brüsseler Zet als ugewchteter Durchschtt aus Brefsätze vo Iterbakelage erstklassger Isttute auf Bass der Trasaktoe vo 57 Bake, daruter 47 aus dem Euroraum, 4 aus sostge EU- Läder ud aus 6 teratoale Bake, berechet. Dabe werde de jewels 5% höchste ud tefste Werte elmert. Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Lagemaße (4) Quatl Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, so dass e bestmmter Prozetsatz darüber ud e bestmmter Prozetsatz daruter legt Quartl (0%, 5%, 50%, 75%, 00%) Dezl (0%, 0%, 0%, 30%,... 90%,00%) Zwe Kozepte a) Emprsches alpha-quatl x(k) (sehe Kaptel ) wobe (k-) < α* k b) Alpha-Quatl: Iterpolato (z.b. Excel) ~ x Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 6

7 Bespel mt Excel Schüler Wochezet für Hausaufgabe h x Wochezet für Hausaufgabe h x () 4,5 () 0,75,50 () 3,5 3 3,75 (3) 45 4,5 4 3,75 (4) 5,50 5 6,75 (5) 6,75 <=== emprsches.quartl 6 3,5 (6) 9,5 7,00 (7) 0,5 8 3,50 (8),75 9 0,75 (9) 3,50 0 3,75 (0) 3,50 9,5 () 3,75,75 () 3,75 3 5,75 (3) 3,75 4 3,5 (4) 5,75 5 5,50 (5),00 <=== emprsches 3.Quartl 6,00 (6),00 7 0,5 (7),50 8 3,50 (8),00 9 3,50 (9) 3,5 0,00 (0) 3,50 Summe = 69,00 Mttelwert = 3,45 Meda = 3,65 Mmum = 0,75. Quartl = 8,65 Maxmum = 3,50 3.Quartl =,000 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel mt SPSS (Deskrptve Statstke) Deskrptve Statstk Zet für Hausaufgabe h pro Woche Gültge Werte (Lstewese) N Mmum Maxmum Mttelwert 0,75 3,50 3, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 7

8 Bespel mt SPSS (Häufgkete) Statstke Zet für Hausaufgabe h pro Woche N Mttelwert Meda Modus Mmum Maxmum Perzetle Gültg Fehled ,4500 3,650 3,75,75 3,50 7,3750 3,650 75, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Ee falsche Beobachtug alpha Trmmed Mea 0%,90 Trmmed Mea 0% 3,74 Trmmed Mea 99% 3,63 Bem Trmmed Mea (gestutztes Mttel) werde de größte ud de kleste α/- Wochezet für Hausaufgabe h Schüler x 4,5,50 3 3,75 4 3,75 5 6,75 6 3,5 7 0,00 8 3,50 9 0,75 0 3,75 9,5,75 3 5,75 4 3,5 5 5,50 6, ,50 9 3,50 0,00 Summe = 458,00 Mttelwert =,90 Meda = 3,63 Prozet abgeschtte 7 0,5 ud das Mttel der verblebede -α Prozet berechet. 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8

9 4 Egeschafte des arthmetsche Mttels ) (x x ) = 0 = Summe der Abwechuge st glech Null! ) Przp der ( x c ) = m! fürc = x Kleste Quadrate = 3) y = a + bx y = a + bx Leartät 4) Te lg esamthete A,B : A x,x,,x mt x B y A,y,,y mt y B Arthmetsche Mttel der Grudgesamthet A B : A x + B y z = A + B bzw. z = h A x + h B y falls z = (x + y)/ A = B 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespele: ad 3) Leartät Das Durchschttsekomme eer bestmmte Gruppe vo Arbeter beträgt.000,- Im Zuge eer Tarfverhadlug wrd ee 4% Loherhöhug beschlosse. Glechzetg wrd beschlosse, dass vom eue Gehalt vo jedem Arbeter 0 für ee Soldartätsfod ebehalte werde. We hoch st das eue Durchschttsekomme? X... Ekomme bsher Y... Ekomme eu Y=,04*X-0 Neues Durchschttsekomme y = a + bx = 0 +,04 x = = Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9

10 Bespele ad 4) I eem Uterehme sd 0 Persoe beschäftgt. De Lohsumme beträgt Das Durchschttsekomme der 40 mälche Agestellte se.400. We hoch st das Durchschttsekomme der weblche Agestellte? Gesamtmttelwert: =(40* *X)/0 X= Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Geometrsches Mttel Awedugsbespele: Wachstumsprozesse Beobachtuge x, x,..., x + Wachstumsfaktore: x+ w = bzw. x = x w + x Verhälts vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge Wachstumsrate: x+ x r = bzw. r = w bzw. w = r+ x Relatve Äderug vo zwe aufeaderfolgede Beobachtuge 0 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 0

11 Mttleres Wachstum Der Wert der ächste Perode ergbt sch durch de aktuelle Wert multplzert mt dem Wachstumsfaktor x = x + w Wedet ma dese Überlegug wederholt a, so ergbt sch für das Wachstum vo x bs x + x = x w = x w w = = x w w w + Das durchschttlche Wachstum st durch jee kostate Wachstumsfaktor charaktersert, der ausgehed vo x zum selbe Edwert x + führt Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Geometrsches Mttel x = x w = x w w = +... = x w w w x = x w w w + geom geom geom geom = = = w w w w w w geom = w = Bespel zum geometrsche Mttel Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +5%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

12 Korrekte Mttelug Bespel zum geometrsche Mttel Startkaptal ,00 Verzsug 3 Jahre: +5%, +40%, -40% Was st de durchschttlche Verzsug? Redte (Wachstumsrate) Wachstumsfaktor Edkaptal Probe 5,00%, , ,64 40,00%, , ,6-40,00% 0, , ,00 FALSCH 8,33%,064,064 RICHTIG,64% 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Wachstumsprozess über mehrere Perode Bestmmug des Durchschtts auf der Bass vo Afags- ud Edwertes x = x w w w + x + w = = x w x + geom = w = = x 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

13 Bespel aus der Sozalgeschchte Jahr Bevölkerug Wes Geometrscher Mttelwert jährlche Wachstumsrate jährlche Wachstumsrate ,0569,0 00 0,0 %,% ,903,034 0,034,34% Proberechug Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Logartmere Durch Logarthmere köe Wachstumsprozesse learsert werde. Awedug des arthmetsche Mttels auf der logarthmsche Skala ud daach Rücktrasformato w geom = = w log(w geom ) = log( w ) = log( w ) = log(w ) = = = w geom = exp log(w ) = 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3

14 Bespel zum Geometrsche Mttel Arthmetsches Mttel der Wachstumsfaktore exp(0,096) 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Sehe Bespel mt Excel Jahr Umsatz Mo DM Wachstumsfaktor Wachstumsrate l(w.-faktor) ,4,00 0,0% 0,83 978,9,08 0,8% 0,89 979,7 0,93-6,9% -0, ,,48 4,8% 0,38 Produkt,550 0,096 4.Wurzel,6,6%,6 Afagspopulato: Wachstumsratfaktor Wachstums- Reale Fktves l(reale l(wachstums- l(fktves Jahr Etwcklug Wachstum Etwcklug) Dfferez faktor) Wachstum) ,03 9,03 0,05, ,59 0, , ,84 0,05, ,3079 0, , , ,05, ,3567 0, , , ,05, ,4055 0, , , ,05, ,4543 0, , , ,05, ,503 0, , , ,05, ,559 0, , , ,05, ,6007 0, , , ,05, ,6495 0, , , ,05, ,698 0, , ,9308 0,0, ,7936 0,0953 0,0953 0,009 0,0, ,8889 0,0953 0,0953 0, ,0, ,984 0,0953 0,0953 0, ,0, ,0795 0,0953 0,0953 0,90 5 0,0, ,748 0,0953 0,0953 0,9 6 0,0, ,70 0,0953 0,0953 0, ,0, ,3654 0,0953 0,0953 0, ,0, ,4607 0,0953 0,0953 0, ,0, ,5560 0,0953 0,0953 0, ,0, ,653 0,0953 0,0953 0,653 Durchschttlches Wachstum, ,47% 0,07050, , Bevölkerugsetwcklug Reale Etwcklug Fktves Wachstum Bevölkerugsetwcklug mt logarthmerter y-achse 0,8000 0,6000 0,4000 0,000 0,0000 9,8000 9,6000 9,4000 9,000 9,0000 l(reale Etwcklug) l(fktves Wachstum) Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4

15 Testaufgabe Se fahre staubedgt ee Strecke vo 50km mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 0km/h De ächste 50 km erzele Se ee durchschttlche Resegeschwdgket vo 5km/h. We hoch st de Durchschttsgeschwdgket für de gesamte Fahrt? 9 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Testaufgabe Se plae ee Autofahrt auf der Autobah vo We ach Salzburg ud reche mt eer durchschttlche Resegeschwdgket vo 00km/h Auf der erste Hälfte der Strecke komme Se ee Stau, so dass Se für de halbe Weg ur ee Durchschttsgeschwdgket vo 50km/h erreche. We schell müsse Se de zwete Hälfte der Strecke zurücklege, damt Se och de geplate Geschwdgket vo 00km/h erreche? 30 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5

16 Harmosches Mttel x = bzw. w W = w = x W x = = Das utersuchte Merkmal se e Quotet: Dmeso-A/Dmeso-B Azahl (Gewchte) der Merkmalsträger: Dmeso-B: Mttelug durch arthmetsches t h Mttel Dmeso-A: Mttelug durch harmosches Mttel 3 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel zum Harmosche Mttel Geschw. Strecke 30 km/h 60km 90 km/h 60km Ugewchtetes Harmosches Mttel 80 = = = 45 (ur zulässg, da bede /*4/90 4 /*( + ) x = = x = = /0*40 40/90 /0*( + ) Strecke glech lag sd) Gewchtetes Harmosches Mttel (Gewchte sd Strecke) x = W w w = = W x = Marcus Hudec 6

17 Bespel zum Harmosche Mttel Berechug der Durchschttsgeschwdgket: Geschw. Dauer 30 km/h h 90 km/h /3h Berechug mttels gewogeem arthmetsche Mttels: Gewchte sd Zetdauer (30* +90*/3)/(+/3)=3*0/8=45 W = = x = wx W = w 33 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Perodscher Kauf vo Wertpapere Ver Käufe vo Wertpapere mt kostatem Budget vo Akauf Kurse 5.000, ,00??? Durchschttskurs des Käufers??? , ,00 Arthmetsches Mttel 6.50,00 st atürlch cht glech dem durchschtlche Akaufskurs Harmosches Mttel 5.58,40 st glech dem durchschtlche Akaufskurs Akauf Kurse /x 5.000,00 0,0000 0, ,00 0, , ,00 0, ,00 0,0005 0,0007 x = = x Akauf Kurse Mege Budget 5.000,00 0, , ,00 6, , ,00 0, , ,00 5, ,00 SUMME 7, ,00 Gewogees Arthm. Mttel 5.58,40 Cost Average Effect 34 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 7

18 Streuugsmaße Statstsche Maßzahle, welche de Varabltät oder de Streubrete de Date messe. Se beschrebe de Abwechug vom Zetrum eer Häufgketsvertelug We eg lege de Merkmalsauspräguge ees quattatve Merkmals beeader? Maßzahle: Dfferez vo Quatle Summe der Abstäde aller Merkmalsauspräguge vo eem Lagemaß 35 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel: Altersverteluge mt glechem Mttel Gruppe A Gruppe B Durchschtt 37, 37, Gruppe A Gruppe B Mmum,0, Maxmum 57,0 57, Spawete 36,0 36, Varaz 44,6 37, Std.Abw.,0 6, VC 3% 6% Quartl 8,5 35, Quartl 34,0 37, Quartl 5,5 38,3 36 Meda 34,0 37, IQ-Dstaz 3,0 3, bs 9 30 bs 39 bs bs 59 bs 36 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8

19 Verschedee Verteluge Alle 3 Verteluge sd umodal, symmetrsch ud wese de selbe Mttelwert auf 0.8 N(0; 0,5) N(0; ) N(0; 4) Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Streuugsmaße () Spawete (rage) Dfferez zwsche größtem ud klestem Wert eer umersche Varable; Werteberech, dem alle Merkmalswerte lege R = x ( ) x() 38 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9

20 Streuugsmaße () Quartlsabstad (IQ-rage) Dfferez zwsche drttem ud erstem Quartl; Ierhalb des Quartlsabstades lege 50% der Werte; uempfdlch gegeüber Extremwerte ~ x ~ 0,75 x0, 5 39 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Abstäde vom arthmetsche Mttel Arthmetsche Mttel De postve ud egatve Abwechuge vom arthmetsche Mttel kompesereeader eader ud summere sch mmer zu ull. 40 (x x) = 0 x = x = = Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 0

21 Mttlere Absolutabstäde vo eem Lagemaß Mttlere absolute Abwechug vom Meda (mea absolute devato (from the meda) - MD) = MD = x x Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel (MAA) (mea absolute devato (from the mea) - MAD) MAA = x x = Meda der absolute Abwechuge vom Meda (meda absolute devato - MAD) MAD = meda( x x ) 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Mttlerer quadrerter Abstad vom Mttelwert Varaz (varace) s = x x ( x x ) = De mttlere quadrerte Abwechug vom arthmetsche Mttel Häufg wrd der Praxs auch statt durch durch - dvdert. Des st v.a. da svoll, we ma auf der Bass eer Stchprobe Aussage für de Grudgesamthet treffe möchte (Erklärug folgt m.semester) 4 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

22 Berechug vo Streuugsmaße Nr. Gruppe A Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel Nr. Gruppe B Abwechug vom Mttel Absolute Abwechug vom Meda Quadraterte Abwechug vom Mttel 4-3, 0,0 70,3-6, 6,0 57,6 34-3, 0,0 9,3 35 -,,0 4, , 0,0 9, , 3,0 9, ,,0 4, ,0 0,0 0, ,,0 97, ,,0 4, 6 3-5,,0 5, ,,0, 7-6, 3,0 57, ,0 0,0 0, ,,0, , 3,0 9, , 4,0 49, ,,0 4, 0 3-5,,0 5,5 0 39,0,0 3,8 34-3, 0,0 9,3 57 0,0 0,0 398,0 38,0 4,0 0,9 37 0,0 0,0 0,0 3-5,,0 6, ,,0, ,0 9,0 54,4 4 38,0,0 0, ,0 0,0 87, ,0 0,0 0, ,0 7,0 94, , 3,0 9, ,,0 97,4 7 38,0,0 0, ,0 3,0 398,0 8 39,0,0 3, ,0 0,0 87, ,0 3,0 8, ,0 0,0 87, ,0 5,0 4,5 Summe: 0,0 9,0 893,0 Summe: 0,0 67,0 74,0 9,55 44,6 3,35 37,0 MD Varaz MD Varaz 43 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Abgeletete Streuugsparameter Stadardabwechug (stadard devato) s = s = ( x x ) = Quadratwurzel aus der Varaz Ist weder derselbe Dmeso we de Beobachtuge ud st somt oft aschaulcher als de Varaz Varatoskoeffzet (coeffcet of varace) s s v = bzw. v = 00 x x 44 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec

23 Stadardabwechug & Itervalle De Stadardabwechug bldet de Ausgagspukt für Kofdezaussage (sehe WS) Itervalle sd relabler als puktuelle Aussage Falls de Date eer Normalvertelug folge (Glockekurve) lege etwa 95% der Date dem Itervall zwsche Mttelwert mus bzw. Mttelwert plus zwefacher Stadardabwechug; jedefalls aber 75%. 45 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bedeutug des Varatoskoeffzete Ee Stadardabwechug vo 300,- bem moatlche Ekomme st eer Gesellschaftsschcht mt eem Durchschttsekomme vo.500,- vo wesetlch größerer Bedeutug als eer Gruppe vo Ekommesbezeher, de m Moatsdurchschtt.400,- verdee. I der erste Gruppe st der Varatoskoeffzet 0%, währed er der zwete Gruppe ur,5% beträgt, obwohl de Stadardabwechug bede Gruppe glech groß st. 46 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3

24 Volatltät De Volatltät glt als Eschätzug des küftge Rskos eer Akte. Als Maß für de Volatltät verwedet ma häufg de Varatoskoeffzete Bespel: Im Durchschtt über 50 Hadelstage betrug der mttlere Kurs eer Akte A 50,59 be eer Stadardabwechug vo 36,8. Über de selbe Verglechszetraum betrug der mttlere Kurs eer Akte B 396,0 be eer Stadardabwechug vo 8,96. Obwohl de Stadardabwechug der Akte A deutlch gerger st, muss e Ivestor her mt eem größere Rsko reche als be der Akte B, des wrd durch de Varatoskoeffzete quatfzert: VK A =36,8/50,59*00=7% VK B =8,96/396,0*00=46% 47 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Rechebespel: Reaktoszete x x -xq abs(x -xq) abs(x -med) (x -xq)² 0,30 0,04 0,04 0,035 0,0076 0, -0,05 0,048 0,055 0, ,9-0,07 0,068 0,075 0, ,7 0,0 0,0 0,005 0, , ,06 0,0606 0, , ,30 0,04 0,04 0,035 0, ,6 0,00 0,00 0,005 0, , -0,04 0,038 0,045 0, ,3 0,05 0,05 0,045 0, ,0-0,06 0,058 0,065 0,00336 Summe,58 0,00 0,44 0,40 0,096 Arthmetsches Mttel (xq) Meda (med): 0,58 0,65 MD: 0,040 Mttlere absolute Abwechug vom Meda MAA: 0,044 Mttlere absolute Abwechug vom arthmetsche Mttel MAD: 0,0450 Meda der absolute Abwechuge vom Meda Varaz: 0,0096 Stadardabwechug: 0,04686 Varatoskoeffzet: 8,% 48 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 4

25 Iterpretato De Agabe der Stadardabwechug erfolgt oft der Form x ±σ Im Bespel: 0,58±0,047 Uter der Aahme eer Normalvertelug (Form der Häufgketsdchte etsprcht eer Glockekurve) [Detals m WS] lege ca. 95% der Datepukte eem Berech vo x± σ 49 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Alteratve Berechugsformel () () (3) s x x x x s ( ) = = = = = x = = s = = x x x 50 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 5

26 Alteratve Berechugsformel m Bespel x x ² 0,30 0,09 0, 0,04 ( ) x x x = = 3 0,9 0,04 x , ,07 =(/0)*0 0,69-0,58² 5 0,3 0,0 0, ,30 0,09 7 0,6 0,07 8 0, 0,05 x s = = x 9 0,3 0,0 = 0 0,0 0,04 Summe,58 0,69 =(/0)*(0,69-,58²/0) Arthmetsches Mttel (xq) 0,58 0, s = x x = =(/0)*(0,69-0*0,58²) 0, Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Egeschafte der Varaz "Steer scher Verschebugssatz" ( x a ) = ( x x ) + ( x a ) = = Auswrkug learer Trasformatoe ( ) ( ) y= a+ bx s y = b s x Verschebugs-Ivaraz 5 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 6

27 Varazermttlug aus Telpopulatoe Te lg esamthete A, B : A x,x,,x mtx,s B x,x,,x mtx,s s p = A A A A A B B ( ) + ( ) s s x x + x x A A + B B A A B B A A = + A B B p B B = + A B A B ( ) ( ) s = p s + p s + p x x + p x x A A B B A A B B x Gesamtmttelwert = + Gesamte Varaz st das gewchtete Mttel der Telvaraze plus dem gewchtete Mttel der quadratsche Abwechuge der Gruppemttel vom Gesamtmttel (V total = V wth +V betwee ) A B 53 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Bespel: Ermttlug des Mttelwertes aus Telgesamthete Es lege Date aus Betrebe A ud B vor: 400 Agestellte aus Betreb A verdee moatlch m Mttel.90, Agestellte aus Betreb B verdee moatlch m Mttel.0,7 Da beträgt der Gesamtmttelwert ach dem Przp des gewogee arthmetsche Mttels:.959, , ,7 μ = Marcus Hudec 7

28 Bespel: Ermttlug der Varaz aus Telgesamthete Das Ekomme der 400 Agestellte aus Betreb A hat ee Stadardabwechug vo 0,3 Das Ekomme der 300 Agestellte aus Betreb B hat ee Stadardabwechug vo 4,98 Da beträgt de Stadardabwechug der Agestellte beder Betrebe zusamme: 30, ,3² ,98² s² = (90,84 959,98)² (0,7 959,98)² + = = 050,76 s = 050,76 = 30,9 Stadardserug (z-trasformato) Gegebe see Beobachtuge x,..., x mt Mttelwert x ud Varaz s Gesucht st ee leare Trasformato z=a+bx a+bx, so dass für de trasformerte Date das arthmetsche Mttel 0 ud de Varaz wrd. x x x z = = + s s s x x x x a b x z = + s s x = 0 s s s z = x = x x Uterschede: x -x () /(x () -x () ) bldet x [0,] ab x 56 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 8

29 Bespel zur Stadardserug x x -xq z =(x -xq)/s z ² 0,30 0,04 0,8963 0, , -0,05 -,043, ,9-0,07 -,45, ,7 0,0 0,56 0, ,3 0,06,330, ,30 0,04 0,8963 0, ,6 0,00 0,047 0, , -0,04-0,809 0, ,3 0,05,097, ,0-0,06 -,377, Summe,58 0,0000 0,0000 0,0000 Arthmetsches Mttel (xq): 0,58 Varaz(z): Stadardabwechug (x): 0,04686 Stadardabwechug (z): 57 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle SPSS 58 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 9

30 Ergebsse vo Descrptves Deskrptve Statstk Zet für Hausaufgabe h pro Woche Gültge Werte (Lstewese) N Spawe Mmum Maxmum Mttelwert Stadard Varaz Stadardf Statstk Statstk Statstk Statstk Statstk ehler Statstk Statstk 0,75,75 3,50 3,4500, , ,54 0 De Stadardabwechug msst de Varabltät vo Ezelbeobachtuge De Varabltät des Mttelwertes eer Gruppe vo Beobachtuge wrd durch de Stadardfehler df quatfzert: t S.E. = σ 59 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Stadardabwechug vs. Stadardfehler Scorewerte zwsche 0 ud 00 be =00 Persoe gemesse Arthmetsches Mttel 49,6 Stadardabwechug 3,8 Varabltät der Ezelwerte Wr zehe 0 mal ee zufällge Stchprobe vo 9 Beobachtuge Sample Sample Sample 3 Sample 4 Sample 5 Sample 6 Sample 7 Sample 8 Sample 9 Sample arthm. Mttel 38,9 47,3 4,4 44,9 55,6 53,9 3,6 63,9 46,3 5,6 Stadardfehler 0,6 Std.Abw. der 0 Stchprobemttelwerte 0,4 Varabltät des Mttelwertes 60 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 30

31 Arthmetsches Mttel be dskrete Date Aus vorgem Bespel ergebe sch folgede Formel: k... Azahl der verschedee Auspräguge k x = x = k = = hx 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Arthmetsches Mttel Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. 6 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3

32 Bespel Würfelwurf Das Ergebs des Würfelwurfs lässt sch auch eer Häufgketstabelle zusammefasse: x h x h x / / k k / / x = 3 / 6/ 6 x = = = 4 / 8/ / 5/ 5 6 / / Summe 45/ 45 45/ = 3,75 hx 63 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Varaz be dskrete Date Trete ur k uterschedlche Werte x,..., x k mt zugehörge absolute Häufgkete,..., k bzw. relatve Häufgkete h,..., h k auf, so ergbt sch de Varaz als: σ σ k ( ) k = x x = ( x x) h = = k k ² = x x² = h x x² = = 64 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 3

33 Berechug Varaz dskrete Date Be Würfe mt dem Würfel wurde folgedes Ergebs beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 De Summe der Augezahle st 45. Der Durchschtt (das Arthmetsche Mttel) deser Augezahle st 3,75. De Summe der quadrerte Augezahle beträgt =03 Demach st de Varaz: s x x s = = = /(03 *3,75²) =,85 65 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Berechug mttels Häufgkete x h x h x x ² x -xq (x -xq)² (x -xq²)h (x -xq²) 0,7 0,7 -,75 7,56,6 5,3 0,08 0,7 4 -,75 3,06 0,6 3,06 3 0,7 0, ,75 0,56 0,09,3 4 0,7 0, ,5 0,06 0,0 0, ,5,5 5 75,5,56 0,39 4,69 6 0,7,00 7,5 5,06 0,84 0,3,00 3, ,85 34,5 Arthmetsches Mttel 3,75 Varaz,85 Alteratv: 03/-3,75²=,85 k = s² = x x² s x x x x h k ( ) k = = ( ) = = 66 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 33

34 Arthmetsches Mttel be klasserte Date Sd de ezele Merkmalswerte cht mehr bekat, so ka ma das arthmetsch Mttel ur mehr äherugswese bereche, dem ma als Approxmato de Klassemtte m verwedet k... Azahl der Klasse x = k = m = k = h m 67 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Arthmetsches Mttel be klasserte Date Bldet ma de Summe der 00 Ezelbeobachtuge so ergbt sch 7440 ud für das arthm. Mttel 74,4 cm. Legt ur och de Tabelle mt Häufgkete auf der Bass der Klasseetelug vor so verwedet ma de Klassemtte (sehe Rechug). Es ergbt sch ee klee Abwechug: 74,3 cm Beachte Wahl der Klassemtte! Klasse m m * (50-55] (55-60] (60-65] (65-70] (70-75] (75-80] (80-85] (85-90] (90-95] (95-00] ,3 68 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 34

35 Berechug be klassfzerte Date σ Sd de Date k Klasse egetelt, ka ma auch de Varaz ur äherugswese bereche, dem ma mt de Klassemttelwerte m,..., m k arbetet. k ( ) k = m x = ( m x) h = = bzw. σ k k = m x = m h x = = 69 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Rechebespel:Varaz be klassfzerte Date Vo Bs Azahl m h m *h m ² *h 0 0, 0, 0, , ,96 88, ,3,9, ,6, ,08,8 0,48 SUMME 00 5,88 5 Varaz 6,4 =(5-5,88²) Stadardabwechug 4,05 Varatoskoeffzet 0,69 70 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Marcus Hudec 35

36 Bespel Körpergröße vo 00 Studete Klasse h m m h m ²h bs ,00 (50-55] 3 0, ,59 70,7 (55-60] 4 0, ,3 998,56 (60-65] 0 0,0 63 6,30 656,90 (65-70] 6 0,6 68 6,88 455,84 (70-75] 3 0, , ,67 (75-80] 0 0, , ,80 (80-85] 0, 83 0,3 3683,79 (85-90] 0 0,0 88 8, ,40 (90-95] 0,0 93,93 37,49 (95-00] 0,0 98 3,96 784, , ,80 Mttelwert= 74,30 Varaz= ,8-74,3²=88,3 Korrektur 86,3 Stadardabwechug= 9,40 9,9 Exakte Berechuge auf Bass der Urlste = 00 Summe x = Summe x² = Arthmetsches Mttel = 74,4 Varaz= 83,78 Stadardabwechug= 9,5 7 Statstk - Lage- ud Streuugsmaßzahle Sheppard-Korrektur Es lässt sch theoretsch zege, dass be eer umodale Vertelug de auf der Bass der klassfzerte Date berechete Varaz größer st als de aus de Orgaldate. Be eer Klasseetelug mt kostater Brete Δ ka der Fehler mt der sog. Sheppard-Korrektur aäherd ausgeglche werde: Δ σ² korr. = σ² 5 σ ² korr. = 88,3 = 86, 3 Marcus Hudec 36

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