(4.1) 1 Becquerel = 1 Bq = 1 s -1 (4.2)

Transkript

1 4 Das Zerfallsgesetz Dieses Kapitel befasst sich zunächst mit den verschiedenen Aktivitätsdefinitionen. Es folgt ein Abschnitt über das Zerfallsgesetz, also über das Zeitgesetz für die radioaktiven Umwandlungen. Der dritte Teil beschreibt ausführlich die Verfahren zur Aktivitätsanalyse und erläutert die Bedingungen für das radioaktive Gleichgewicht. Im vierten Teil werden die Verfahren und Möglichkeiten zur Halbwertzeitbestimmung erläutert. 4. Aktivitätsdefinitionen Die Aktivität einer radioaktiven Probe ist der statistische Erwartungswert des Quotienten aus der Zahl der radioaktiven Umwandlungen, die in einem Zeitintervall stattfinden, und dem Zeitintervall, in dem diese Umwandlungen erfolgen. A dn / dt (4.) Die SI-Einheit der Aktivität ist die reziproke Sekunde (s - ). Sie wird zu Ehren Henri Becquerels, des Entdeckers der Radioaktivität, Becquerel genannt. Becquerel = Bq = s - (4.2) Die genaue Definition der Aktivitätseinheit lautet ( 4 der Ausführungsverordnung zum Gesetz über Einheiten im Messwesen vom 26. Juni 97): () "Die abgeleitete SI-Einheit der Aktivität einer radioaktiven Substanz ist die reziproke Sekunde (Einheitenzeichen: s - )." (2) " reziproke Sekunde als Einheit der Aktivität einer radioaktiven Substanz ist gleich der Aktivität einer Menge eines radioaktiven Nuklids, in der der Quotient aus dem statistischen Erwartungswert für die Anzahl der Umwandlungen oder isomeren Übergänge und der Zeitspanne, in der diese Umwandlungen oder Übergänge stattfinden, bei abnehmender Zeitspanne dem Grenzwert /s zustrebt." Die historische Einheit der Aktivität war die Aktivität eines Gramms des Radionuklids 226 Ra 2. Sie wurde zu Ehren von Marie Curie 3, der Entdeckerin des Radiums und des Die reziproke Sekunde wurde 977 in der zweiten Auflage des zitierten Verordnungstextes in "Bq" umbenannt. 2 Nach heutiger Kenntnis hat g Radium-226 die Aktivität von,989 Curie = 3,66 Bq. 3 Marie Curie, geb. Sklodowska ( ), polnische Physikerin, Chemikerin und Mathematikerin, entdeckte zusammen mit ihrem Mann Pierre Curie ( ) die Elemente Radium und Polonium durch chemische Trennung aus natürlichem Uran, an dem Becquerel 896

2 4 Das Zerfallsgesetz 29 Poloniums, Curie genannt. Der Umrechnungsfaktor Curie-Becquerel wurde später gesetzlich festgelegt. Die Verwendung der Einheit Curie ist seit 986 nicht mehr zulässig. Die Umrechnung ist: Curie = Ci = 3,7 Bq = 37 GBq (4.3) Spezifische Aktivität: Eine weitere wichtige Aktivitätsgröße ist die spezifische Aktivität. Sie ist der Quotient aus der Aktivität A einer Substanz und ihrer Masse m. Für den Fall einer isotopenreinen Probe der Masse m mit N radioaktiven (instabilen) Kernen kann die spezifische Aktivität aus der Aktivität A, der molaren Masse M, der Avogadrozahl N A und der Zerfallskonstanten berechnet werden. a A m N m m N m M A N M A (4.4) Spezifische Aktivitäten haben die SI-Einheit (Bq/kg) oder dezimale Vielfache davon. Liegen Substanzen als Isotopengemische des radioaktiven mit den nicht radioaktiven Isotopen desselben Elements vor, wird als spezifische Aktivität dieses Gemisches der Quotient aus Aktivität und Gesamtmasse bezeichnet. A Atot (4.5) m tot Beträgt der relative (prozentuale) Gehalt an radioaktiven Nukliden in der Probe p, erhält man die spezifische Aktivität in Analogie zu Gl. (4.4) durch: A tot A N A p (4.6) m M tot Beispiel 4.: Berechnung der spezifischen Aktivität des natürlichen Radionuklids Kalium-4. Es kommt mit einer relativen Häufigkeit von,7% =,7 =,7-4 in der Natur vor. Die Zerfallskonstante berechnet man aus der Halbwertzeit T½ (nach Gl. 4.4) zu = ln2/t½. Die Halbwertzeit des 4 K beträgt T½ =,248 9 a. Da a = 3, s gilt, erhält man für den Wert: =,693/(, , ) s - =,76-7 s -. die Radioaktivität entdeckt hatte. Sie erhielt 93 zusammen mit ihrem Mann und zeitgleich mit Henri Becquerel den Nobelpreis für Physik "als Anerkennung des außerordentlichen Verdienstes, das sie sich durch ihre gemeinsamen Arbeiten über die von Henri Becquerel entdeckten Strahlungsphänomene erworben haben". M. Curie erhielt 9 einen zweiten Nobelpreis, diesmal für Chemie, "als Anerkennung des Verdienstes, das sie sich um die Entwicklung der Chemie erworben hat durch die Entdeckung der Elemente Radium und Polonium, durch die Charakterisierung des Radiums und dessen Isolierung in metallischem Zustand und durch ihre Untersuchungen über die Natur und die chemischen Verbindungen dieses wichtigen Elements".

3 3 4 Das Zerfallsgesetz Die molare Masse natürlichen Kaliums beträgt,39 kg/mol. Für die spezifische Aktivität erhält man nach Einsetzen dieser Zahlenwerte: a(tot) =,76-7,7-4 6,22 23 /,39 Bq/kg = 327 Bq/kg = 3,2 Bq/g. In jedem Gramm natürlichen Kaliums finden pro Sekunde also 3,7 4 K-Zerfälle statt. Der menschliche Körper enthält im Mittel etwa 2, g Kalium pro kg Körpermasse (vgl. Tab im Anhang). Für einen 7-kg-Menschen bedeutet das 4 g Kalium im Ganzkörper bzw. eine lebenslange Kalium-4-Aktivität von 444 Bq. Radionuklid T½ (a) (s - ) Häufigkeit p (%) spez. Aktivität(Bq/g) 4 K,28 9,76-7,8 3,2 232 Th 4,5 9, U, ,2-7, U*, ,2-7 * 8995* 238 U 4,468 9, , Tab. 4.: Zerfallsdaten einiger natürlicher Radionuklide. Die relativen Häufigkeiten p entsprechen natürlichen Nuklidzusammensetzungen. Die spezifischen Aktivitäten sind nach Gl. (4.6) berechnet (s. Beispiel 4.). (*): spez. Aktivität reinen 235 Urans (weitere Daten in Kap. 5). Aktivitätskonzentration: Der Quotient aus Aktivität A und Volumen V wird als Aktivitätskonzentration c A bezeichnet. Ihre SI-Einheit ist das (Bq/m 3 ) oder praktischer (Bq/cm 3 ) oder (Bq/l). Die Angabe der Aktivitätskonzentration ist bei Flüssigkeiten oder Gasen oft sinnvoller als die der spezifischen Aktivität. A c A (4.7) V Quellstärke: Die Quellstärke einer radioaktiven Probe ist der Erwartungswert des Quotienten der Anzahl der aus einem radioaktiven Präparat pro Zeitintervall dt austretenden Strahlungsteilchen einer bestimmten Art oder Photonen einer bestimmten Energie dn ex und diesem Zeitintervall dt. Die Quellstärke (dn/dt) wird auch als Präparatstärke oder Emissionsrate bezeichnet. Ihre Einheit ist die reziproke Sekunde (s - ). Die Quellstärke sollte nicht in der Einheit Becquerel angegeben werden, da sie sich nicht auf die Zerfälle sondern auf die austretende Strahlungsquantenzahl bezieht. Für den Fall der verschwindenden Absorption der Strahlungsquanten im Präparat bei hoher Strahlungsquantenenergie oder punktförmigen Präparaten und der Emission nur eines Strahlungsquants pro Zerfallsakt, sind die Zahlenwerte von Aktivität und Quellstärke gleich.

4 4 Das Zerfallsgesetz 3 Ausbeute: Die Ausbeute an Strahlungsquanten einer bestimmten Art oder Energie bei radioaktivem Zerfall ist die pro Zerfallsakt emittierte Zahl der Strahlungsquanten. Die relative Ausbeute wird auch als Häufigkeit bezeichnet. Relative Ausbeuten werden entweder auf die gesamte Ausbeute bei einem Zerfall oder auf die jeweils größte Ausbeute bezogen. Der Bezug ergibt sich oft aus dem Zusammenhang oder wird explizit angegeben. Bei Photonenstrahlung spricht man statt von Ausbeuten auch von Intensität oder relativer Intensität (s. Beispiele für Gamma-Umwandlungen in Kap. 3). Zusammenfassung Die mittlere Zerfallsrate bzw. Umwandlungsrate einer radioaktiven Substanz wird als Aktivität A bezeichnet. Die SI-Einheit der Aktivität ist das Becquerel (Bq), die historische Einheit war das Curie (Ci). Die spezifische Aktivität ist die auf die Masseneinheit bezogene Aktivität. Die Aktivitätskonzentration ist der Quotient aus Aktivität und Volumen der Probe. Quellstärke ist die Anzahl der aus einem Präparat austretenden Strahlungsteilchen pro Zeiteinheit. Sie ist im Allgemeinen nicht identisch mit der Aktivität des Präparats. Unter Ausbeute versteht man die Anzahl der pro Zerfallsakt emittierten Strahlungsteilchen einer bestimmten Art bzw. Energie. 4.2 Formulierung des Zerfallsgesetzes Spontane Kernumwandlungen wie auch die Übergänge angeregter Zustände eines Kerns oder einer Atomhülle in andere Niveaus unterliegen statistischen Gesetzen. Für einen bestimmten Kern lässt sich daher der exakte Zeitpunkt seiner Umwandlung oder seines Zerfalls nicht vorhersagen. Dagegen lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass ein Kern seinen Zustand in einem bestimmten Zeitintervall dt ändert. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Zerfallskonstante. Die Zerfallswahrscheinlichkeiten sind für ein bestimmtes Nuklid physikalisch wohl definierte und fast spezifische Größen und durch äußere Einflüsse kaum zu verändern 4. Für größere Kollektive lassen 4 Diese Aussage ist nur insoweit korrekt, als die Umwandlungsvorgänge Elektroneneinfang und Innere Konversion außer Acht gelassen werden, bei denen Hüllenelektronen beteiligt sind. Bei diesen beiden Umwandlungsarten hat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen am Kernort einen gewissen Einfluss auf die Einfangs- bzw. Konversionswahrscheinlichkeit. Dies führt zu einer von der "chemischen" Umgebung des Kerns geringfügig abhängigen Lebensdauer (vgl. auch die Ausführungen zum 99 Tc-Zerfall in Kap. 3.5). Die Spezifität experimentell ermittelter Halbwertzeiten für bestimmte Radionuklide hängt selbstverständlich von der Genauigkeit bei ihrer Bestimmung ab.

5 32 4 Das Zerfallsgesetz sich damit Gesetze ableiten, die das Verhalten dieses Kollektivs im Mittel beschreiben. Jede aus diesen Gesetzen hergeleitete Aussage über das Verhalten eines Kollektivs instabiler Zustände ist mit einem statistischen Fehler behaftet, der umso kleiner wird, je größer das Kollektiv ist. Zur Ableitung des Zerfallsgesetzes betrachtet man zunächst ein Kollektiv aus N identischen instabilen Kernen, die alle nur auf eine einzige Art zerfallen können. Die Abnahme der Zahl instabiler Kerne dn pro Zeiteinheit dt ist proportional zur Zahl der instabilen Kerne im Kollektiv und zur Zerfallskonstanten. Man erhält also: dn dt N (4.8) Dies ist die differentielle Form des Zerfallsgesetzes. Die Zerfallskonstante ist die mittlere relative Zerfallsrate der betrachteten radioaktiven Zerfallsart. Sie hat die Einheit einer reziproken Zeit (s -, min -, h -, a -, usw.). Für eine bestimmte Zerfallsart und ein bestimmtes Nuklid ist also die relative Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit konstant ebenso wie die relative Abnahme der radioaktiven Kerne im Zeitintervall. dn N dt const (4.9) Durch Integration dieses Gesetzes erhält man das Zerfallsgesetz in der exponentiellen Form. N( t ) N e t (4.) Dabei ist die Integrationskonstante so gewählt worden, dass zum Zeitpunkt t = gerade N aktive Kerne vorhanden sind. Betrachtet man nicht die Abnahme der Atomkerne des Mutterkollektivs sondern direkt die Zahl der Zerfälle aus diesem Kollektiv, erhält man die Aktivität A. Sie ist zahlenmäßig gleich der Abnahme der aktiven Kerne pro Zeiteinheit, hat aber das entgegengesetzte Vorzeichen. dn A N (4.) dt Das Zeitgesetz der Aktivität erhält man durch Multiplikation von Gleichung (4.) mit der Zerfallskonstanten. Da das Produkt (N) gerade die Aktivität A und (N ) gleich der Anfangsaktivität A ist, erhält man: A( t ) A e t (4.2)

6 4 Das Zerfallsgesetz 33 Die Zahl e ist die Basis der natürlichen Logarithmen 5. Aktivität A und Anzahl der aktiven Mutterkerne N zeigen also die gleiche zeitliche Abhängigkeit. Durch beidseitiges Logarithmieren der Gleichungen (4.) und (4.2) erhält man, da der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion Umkehrfunktionen sind, linearisierte Darstellungen, die vor allem für grafische Auswertungen vorteilhaft sind (Fig. 4.). N( t ) A( t ) ln t N und ln t A (4.3) Das Verhältnis der Aktivität A(t) zum Zeitpunkt t und der Anfangsaktivität A ist in halblogarithmischer Auftragungsweise also eine Gerade mit negativer Steigung. Die Zeit, in der die Aktivität einer Probe auf die Hälfte der Anfangsaktivität abgenommen hat, heißt Halbwertzeit T /2 des radioaktiven Zerfalls. Zur Unterscheidung von anderen Halbwertzeitdefinitionen (z. B. in der Strahlenbiologie oder der Physiologie) wird sie genauer auch als physikalische Halbwertzeit bezeichnet. Der Zusammenhang von Halbwertzeit und Zerfallskonstante ergibt sich aus folgender Gleichung 6. ln2 (4.4) T / 2 Der Kehrwert der Zerfallskonstanten wird als mittlere Lebensdauer des Zerfalls bezeichnet. Sie ist ebenso charakteristisch für ein bestimmtes Nuklid wie die Halbwertzeit oder die Zerfallskonstante. T / 2 (4.5) ln2 Setzt man in Gl. (4.) die mittlere Lebensdauer ein, erhält man (wegen e(-) = e(- )=e(-) = /e,37) als Aktivität gerade noch den (/e)-ten Anteil (etwa 37%) der Anfangsaktivität. Die schon in ihrem Namen enthaltene statistische Bedeutung der mittleren Lebensdauer zeigt auch die folgende Überlegung. Kerne, die im Zeitintervall (t, t+dt) zerfallen, haben eine Lebensdauer von t Sekunden. Ihre Zahl ist nach Gleichung (4.2) gerade dn(t). Die mittlere Lebensdauer aller Kerne erhält man durch Mittelwertbildung über alle Zeitintervalle (t, t+dt) und Zahl der Kerne im Intervall dn(t) für Zeiten zwischen t = und t =. Die Auswertung der Mittelungsintegrale liefert direkt die Beziehung (4.5). 5 Die Zahl e ist eine irrationale, d. h. nicht periodische Zahl und definiert als Grenzwert des Ausdrucks ( + /x) x für x. Ihr Zahlenwert beträgt e = 2, (s. auch Tab. 2.2.). 6 Zerfallskonstante und T½: Einsetzen der Halbwertzeit in Gleichung (4.2) ergibt zusammen mit der Definition der Halbwertzeit: A(T½) = /2 A = A exp(-t½) bzw. /2 = exp(-t½). Logarithmieren beider Seiten liefert ln(/2) = - T½ bzw. ln2 = T½. Der natürliche Logarithmus von 2 hat etwa den Wert ln2 =,6935,7.

7 34 4 Das Zerfallsgesetz Fig. 4.: Darstellung des exponentiellen Zeitgesetzes für den radioaktiven Zerfall als Funktion der Zeit in Einheiten der Halbwertzeit (nach Gln. 4.2, 4.2). Links: doppeltlineare Darstellung, rechts: halblogarithmische Darstellung. Beide Kurven sind universell für beliebige Nuklide verwendbar, da die Zeiten in Einheiten der Halbwertzeit aufgetragen sind. Aktivitäten für Zwischenzeiten können grafisch interpoliert werden. t t dn( t ) t N e dt t (4.6) t dn( t ) N e dt t t t Mit mittlerer Lebensdauer und Halbwertzeit T /2 kann man das Zeitgesetz der Radioaktivität für die Zahl der Restkerne N oder die Aktivität A auch folgendermaßen schreiben:

8 4 Das Zerfallsgesetz 35 t ln2t τ T /2 e N e N(t) N (4.7) A( t ) t ln2t T / 2 e A e A (4.8) Eine für die praktische Arbeit gut geeignete Darstellung des Zerfallsgesetzes erhält man, wenn man den Exponentialausdruck nach den Regeln der Potenzrechnung als Doppelpotenz umformt. e ln 2t t T / 2 ln 2 T/ 2 ( e ) (4.9) Da zudem e -ln2 = /2 gilt, erhält man als weitere mathematische Formen des Zerfallsgesetzes: N( t ) t N T / 2 N t 2 T / 2 A / 2 und A( t ) A t 2 (4.2) T / t T Zeit (n T½) Aktivität (2 -n ) prozentuale Restaktivität % /2 5% 2 /4 25% 3 /8 2,5% 4 /6 6,25% % 5 /32 3% 6 /64,5% 7 /28,7% % 8 /256,4% 9 /52,2% /24,% Promille Tab. 4.2: Abnahme der Restaktivität mit der Anzahl n der Halbwertzeiten (nach Gl. 4.2). Näherungsweise gelten folgende grobe Faustregeln: Nach 3-4 Halbwertzeiten verbleiben %, nach 6-7 Halbwertzeiten % und nach Halbwertzeiten Promille der Anfangsaktivität.

9 36 4 Das Zerfallsgesetz Diese Schreibweise des Zerfallsgesetzes ist besonders für grobe Abschätzungen der Restaktivität nützlich, wenn die Zeiten in Einheiten der Halbwertzeit gemessen werden. Beträgt die Zeit t gerade n Halbwertzeiten, vereinfacht sich die rechte Seite in Gl. (4.2) zu: A A( n T / 2 ) (4.2) n 2 Die Restaktivität nach n Halbwertzeiten erhält man also durch n-faches Halbieren der Anfangsaktivität, was wegen der Definition der Halbwertzeit natürlich nicht verwunderlich ist. Diese Darstellung ist auch günstig für die Konstruktion einer universellen, für alle Nuklide verwendbaren Zerfallskurve, da die Zeitachse ja in Einheiten der Halbwertzeit geteilt wird (Tab. 4.2, Fig. 4.). Zerfallskonstante und Halbwertzeit bei konkurrierenden Zerfällen*: Gibt es für einen angeregten oder radioaktiven Kern alternative Zerfallsmöglichkeiten, muss man die Zerfallskonstanten dieser Zerfallsarten addieren. Die Gesamtzerfallswahrscheinlichkeit tot ist dann die Summe der n Einzelwahrscheinlichkeiten i. n tot i (4.22) Für die Halbwertzeit und die mittlere Lebensdauer ergibt diese Beziehung zusammen mit den Gleichungen (4.4) und (4.5): i T tot 2 / ln 2 n i i (4.23) tot (4.24) n i i Bei konkurrierenden Zerfallskanälen und bekannten partiellen Zerfallskonstanten kann die Halbwertzeit bzw. die mittlere Lebensdauer also aus dem Kehrwert der Summe der partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten berechnet werden. In Tabellen oder Nuklidkarten angeführte experimentelle Halbwertzeiten oder mittlere Lebensdauern beziehen sich immer auf die totale Zerfallswahrscheinlichkeit. Zur Berechnung der Restaktivität eines Präparates muss daher immer die totale Zerfallskonstante, die Lebensdauer oder die Halbwertzeit verwendet werden. Bei einer gegebenen Halbwertzeit ist es für die zeitliche Aktivitätsänderung unwichtig, ob gleichzeitig mehrere partielle Zerfallskanäle existieren. Für die Ausbeute der Zerfallsprodukte ist es dagegen von erheb-

10 4 Das Zerfallsgesetz 37 licher Bedeutung, welche Zerfallsalternativen bestehen, und welche Tochternuklide vorherrschend oder ähnlich wahrscheinlich sind. Typische Alternativzerfälle desselben Radionuklids sind Elektroneneinfang und - Zerfall bzw. - und -Zerfälle, die häufig bei schweren Kernen miteinander konkurrieren. Selbst konkurrierende - und -Zerfälle sind bei einigen Radionukliden zu beobachten. Solche konkurrierend zerfallenden Betastrahler erkennt man in der Nuklidkarte leicht an ihrer Farbenpracht. Kombinierte + - und -Strahler sind gleichzeitig blau und rot gekennzeichnet (Beispiele: 38 Lanthan, 2 Indium, 86 Rubidium). Ein besonders "vielseitiges" Radionuklid ist 242 Americium, das alternativ über Elektroneneinfang, + -Zerfall, -Zerfall, Innere Konversion, -Zerfall und spontane Spaltung zerfallen kann. Beispiel 4.2: Zerfallswahrscheinlichkeiten des Jod I zerfällt mit einer Halbwertzeit von 25 min ((tot) =,2773 min - ) zu p() = 94% über einer -Zerfall in Xenon-28, zu p(2) =,3% über + -Zerfall und zu p(3) = 6% über Elektroneneinfang in Zustände des Tellur- 28. Die partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten berechnet man aus (i) = p(i) (tot). Ihre Werte sind daher: ( ) = 2,66-2 min -, (EC) =,66-3 min - und ( ) = 8,32-8 min -. Beispiel 4.3: Partielle Zerfallswahrscheinlichkeiten für Wismut Bi zerfällt mit einer Halbwertzeit von 6,6 min zu 36% über -Zerfall in Zustände des Thallium-28 und zu 64% über -Zerfall in Zustände des Polonium-22. Die totale Zerfallswahrscheinlichkeit beträgt deshalb nach Gl. (4.22) (tot)=,43-2 min -. Die partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten betragen () =,42-3 min - und ( ) =,732-3 min -. Wismut-22 ist ein Glied der natürlichen Thoriumzerfallsreihe (s. Kap. 5). Biologische Halbwertzeit: Neben der physikalischen Halbwertzeit spielt in Biologie und Medizin auch die so genannte biologische Halbwertzeit eine wichtige Rolle. Biologische Halbwertzeiten können immer dann angegeben werden, wenn die Verstoffwechselung und Ausscheidung einer Substanz nach einer Exponentialfunktion stattfinden, also die ausgeschiedene Menge ein konstanter prozentualer Anteil der Restsubstanz im Körper ist. Die mathematische Form der Ausscheidungsfunktion ist dann identisch mit der des Zerfallsgesetzes. Werden radioaktive Substanzen inkorporiert, kommt es außer zur Ausscheidung auch zum Zerfall des Nuklids mit der physikalischen Lebensdauer. Die radioaktive Restsubstanz im Körper wird also durch Zerfall und Ausscheidung vermindert. Die Summe der radioaktiven Stoffmengen innerhalb und außerhalb des Organismus verändert sich allerdings nach wie vor ausschließlich mit der physikalischen Lebensdauer. Wenn Ausscheidung und Zerfall also nach Exponentialfunktionen verlaufen, können in formaler Anlehnung an die partiellen physikalischen Halbwertzeiten physikali-

11 38 4 Das Zerfallsgesetz sche und biologische Halbwertzeit definiert werden. Die resultierende oder effektive Halbwertzeit wird aus der reziproken Summe der partiellen Halbwertzeiten berechnet. Man erhält: T eff bzw. T T ph biol T eff Tph Tbiol (4.25) T T ph biol Bei gleicher physikalischer und biologischer Halbwertzeit vereinfacht sich diese Gleichung zu: T eff Tph Tbiol (4.26) 2 2 Beispiel 4.4: Effektive Halbwertzeit von Jod-3 bei der nuklearmedizinischen Schilddrüsen-Therapie. Jod-3 wird in der Nuklearmedizin zur Therapie von Schilddrüsenerkrankungen verwendet (Autonome Adenome, Überfunktionen, Karzinome). Dazu wird das radioaktive Jod in flüssiger Form oder als Kapseln dem Patienten verabreicht. 3 I ist ein -Strahler mit nachfolgender harter Gammastrahlung des Tochternuklids 3 Xe. 3 * 3 * 53 I78 54Xe77 2,249 MeV (4.27) 3 * Xe77 Xe (4.28) Die physikalische Halbwertzeit des Jod-3 beträgt 8,228 d, die Energie des intensivsten Gammaüberganges 364 kev. Für den lokalen therapeutischen Effekt sind vor allem die Betateilchen verantwortlich, da sie in einer etwa 2-3 mm langen Strecke noch innerhalb der Anreicherungszone der Schilddrüse abgebremst werden und dabei ihre Energie auf das erkrankte Gewebe übertragen. Die harte Gammastrahlung verlässt zu über 9% die Schilddrüse und stellt deshalb neben dem Kontaminations- und Inkorporationsrisiko ein erhebliches zusätzliches Strahlenschutzproblem für das medizinische Personal dar. Die typische biologische Halbwertzeit von Schilddrüsenkranken für Jod-3 beträgt bei Überfunktionen 24 Tage. Für die effektive Halbwertzeit ergibt Gl. (4.25) den Wert T eff = (l/8,3 + /24) - d 6 d. Diese Halbwertzeit muss der therapeutischen Dosisberechnung und den Strahlenschutzberechnungen zugrunde gelegt werden. Bei sehr ausgeprägter Überfunktion der Schilddrüse oder versehentlicher Gabe von jodhaltigem Kontrastmittel verkürzen sich die effektiven Halbwertzeiten auf Werte um 4 Tage. Dies bedeutet nach Gleichung (4.26) biologische und physikalische Halbwertzeiten von je 8 Tagen 7. 7 Typische empirische Referenzwerte für effektive Halbwertzeiten bei SD-Erkrankungen sind 6,3 d bei multifokaler Autonomie und Verkleinerung einer blanden (gutartigen) Struma, 5 d bei unifokaler Autonomie, 5,5 d bei Morbus Basedow (Immunhyperthyreose) und etwa d bei Struma m (SD-Krebs). Oft zeigen die klinischen Ausscheidungsfunktionen mehrere zeitliche Komponenten, sie folgen also i. a. keiner einfachen Exponentialfunktion.

12 4 Das Zerfallsgesetz Aktivitätsanalyse und radioaktives Gleichgewicht* Die Tochterprodukte radioaktiver Zerfälle sind in der Regel nicht stabil, sondern zerfallen über weitere radioaktive Umwandlungen. Das Zeitgesetz der Radioaktivität für eine solche Serie von Zerfällen gilt dann nicht mehr in der bisher beschriebenen einfachen Form. Bei der Frage nach der zu einem Zeitpunkt vorhandenen Zahl einzelner Zerfallsprodukte müssen Be- und Entvölkerung jedes einzelnen Tochternuklids bzw. angeregten Zustands im Tochternuklid berücksichtigt werden. Nuklidmengen, Halbwertzeiten, Lebensdauern und Zerfallskonstanten der aufeinander folgenden Generationen sollen dazu mit Indizes,,2,...,n bezeichnet werden. Dann bedeutet n = das Mutternuklid, n = das Tochternuklid, usw.. Zur Zeit t = soll außerdem nur das Mutternuklid mit N Kernen existieren. Für die Bildung und den Zerfall der Nuklide jeder einzelnen Generation lässt sich die nachfolgende Bilanz (Gln. 4.29) aufstellen. Dabei entsprechen alle negativen Glieder einer Abnahme der jeweiligen Nuklidzahl (Zerfall) und alle positiven Glieder einer Bildung radioaktiver Kerne der jeweiligen Folgegeneration (Bevölkerung). Zur Analyse sei außerdem vorausgesetzt, dass das Mutternuklid in reiner Form vorliegt, nur über einen Zerfallskanal mit einer Halbwertzeit in das Tochternuklid zerfallen kann und sämtliche Nuklide der Tochtergenerationen ebenfalls nur eine einzige Zerfallsmöglichkeit in den unmittelbaren Nachfolger haben.. Generation: dn /dt = - N. Generation: dn /dt = + N - N 2.Generation: dn 2 /dt = + N - 2 N 2... n. Generation: dn n /dt = + n- N n- - n N n (4.29) Die Nuklide jeder Generation werden also mit der Zerfallskonstanten des Vorgängers gebildet und zerfallen mit ihrer eigenen Lebensdauer. Dabei ist zu beachten, dass der Ausdruck (dn i /dt) auf der linken Seite dieses Gleichungssystems die zeitlichen Änderungen der Zahl der aktiven Kerne der Generation i bedeutet. Diese können größer oder kleiner sein als Null, wenn mehr Kerne zerfallen oder mehr Kerne gebildet werden. Die zeitliche Änderung der aktiven Kerne ist also im Allgemeinen nicht identisch mit den Aktivitäten A i (t), die ja ausschließlich die Zahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne angibt. Zerfallen alle Tochterzustände (, 2,..., n) prompt, also ohne messbare Lebensdauer, bestimmt offensichtlich ausschließlich die Zerfallsrate des Mutternuklids (n = ) den radioaktiven Zerfall. In diesem Fall gilt das Zerfallsgesetz in der bisher beschriebenen einfachen Form. In allen anderen Fällen muss eine so genannte Aktivitätsanalyse durchgeführt werden. Zur Lösung der Gleichungen (4.29) wählt man folgenden Lösungsansatz für die Nuklidzahlen:

13 4 4 Das Zerfallsgesetz. Generation:. Generation: 2. Generation: N ( t ) K N ( t ) K 2 N ( t ) K 2 e e t t t K e e t t 2 t K 2 e K 22 e... n. Generation: N ( t ) K n n e t t n t Kn e... Knn e (4.3) Für die Konstanten K vor den Exponentialgliedern erhält man die Rekursionsformel (4.3). Sie enthält die Anfangsbedingungen und die Verhältnisse von Zerfallskonstanten und ist nur für ungleiche Indizes (ij) definiert. K ij K i i j (für i j) (4.3) i j Die aktuellen Werte der Konstanten K ii für gleiche Indizes (i = j) muss man in jedem Einzelfall aus den Anfangsbedingungen berechnen. Unter Anfangsbedingungen versteht man die Nuklidzahlen-Verhältnisse zum Zeitpunkt t =. Unter den oben gemachten Voraussetzungen sind zum Zeitpunkt t = alle Nuklidzahlen Null außer der des Mutternuklids, das aus N Kernen besteht (alle N i = außer N zur Zeit t = ). Ähnliche Anfangsbedingungen erhält man für die Aktivitäten aller Generationen. Auch hier gilt wieder, dass die Aktivitäten aller Tochter-Generationen zu Beginn alle Null sind (A i (t = ) =, i > ), die Aktivität der N Kerne der Muttergeneration zum Zeitnullpunkt betrage A. Wie dieser Lösungsansatz und die Anfangsbedingungen praktisch angewendet werden, zeigen die folgenden Beispiele für einfache Zerfallssituationen. Aktivitätsanalyse für ein instabiles Tochternuklid: Das wichtigste Beispiel einer Aktivitätsanalyse ist der Fall n = 2, d. h. eine Zerfallsfolge mit einem instabilen Tochternuklid ohne die Möglichkeit alternativer Zerfallskanäle. In diesem Fall erhält man folgendes Gleichungssystem: N ( t ) K e t (4.32) N ( t ) K e t K e t (4.33) Die Konstanten K, K und K erhält man durch folgende Überlegung aus den Anfangsbedingungen. Zur Zeit t ist die Zahl der Mutternuklide N. Es gilt also K = N. Die Zahl der Tochternuklide für t ist Null, da zu Beginn noch kein Mutterkern zerfal-

14 4 Das Zerfallsgesetz 4 len ist (N () = ). Da die beiden Exponentialfunktionen in den Gleichungen (4.32, 4.33) für t = den Wert haben, erhält man für die beiden Konstanten K und K die Bilanz: = K + K bzw. K = -K (4.34) Es ist also ausreichend, eine der beiden Konstanten, z. B. die Konstante K, mit Hilfe der Rekursionsformel (4.3) zu berechnen. Gleichung (4.3) liefert K = K ( - ) = N /( - ). Als Lösungen der Gleichungen (4.32, 4.33) für den Zeitverlauf der Nuklidzahlen erhält man also nach Einsetzen der Konstanten und leichten Umformungen: N ( t ) N e N ( t ) N t ( e t t e ) (4.35) (4.36) Gleichung (4.35) ist die altbekannte Exponentialform für den radioaktiven Zerfall des Mutternuklids. Der Zeitverlauf für die Bevölkerung und den Zerfall der Tochterkerne wird dagegen durch eine mit den Zerfallskonstanten gewichtete Differenz zweier Exponentialfunktionen beschrieben (Gl. 4.36). Die Gleichungen (4.35) und (4.36) geben zwar die zeitliche Veränderung der Nuklidanzahlen an, die Aktivitäten eines Radionuklidensembles werden aber nur durch deren Zerfallsraten bestimmt. Diese erhält man aus den Zeitfunktionen N i (t) durch Multiplikation mit der jeweiligen Zerfallskonstanten i (s. Gleichung 4.). A ( t ) t N ( t ) A e (4.37) t t A ( t ) N( t ) N ( e e ) (4.38) Gleichung (4.37) ist wieder die vertraute Formel für die Aktivität eines einzelnen mit der Zerfallskonstanten A zerfallenden Mutternuklids. Gleichung (4.38) enthält dagegen einen Bevölkerungsterm mit der Zerfallskonstanten des Mutternuklids und einen Zerfallsterm mit negativem Vorzeichen und der Zerfallskonstanten der Tochterkerne. Zur Vereinfachung des Gleichungssystems klammert man das erste Exponentialglied in Gl. (4.38) aus und stellt etwas um. t ( ) t A ( t ) N e ( e ) (4.39)

15 42 4 Das Zerfallsgesetz Die ersten drei Faktoren in dieser Gleichung sind gerade die Aktivität A (t) (vgl. Gl. 4.37). So erhält man schließlich für die Aktivität des Tochternuklids: A ( t ) A ( t ) ( e ( ) t ) (4.4) Schon die Aktivitätsanalyse eines einfachen Zweinuklidsystems ist also recht umständlich und erfordert bereits eine ganze Serie mathematischer Umformungen. Zerfallsreihen mit mehreren radioaktiven Tochtergenerationen erfordern eine noch wesentlich kompliziertere Aktivitätsanalyse, insbesondere wenn neben den Hauptzerfallszweigen auch alternative Zerfallsmöglichkeiten mit unterschiedlichen partiellen Zerfallskonstanten bestehen. Beispiel 4.5: Aktivitätsverhältnisse am nuklearmedizinischen Technetiumgenerator. In den Gleichungen (3.35) und (3.36) sowie Fig. (3.5) wurde der Betazerfall des Mo-99 ausführlich dargestellt. Seine Halbwertzeit beträgt 65,976 h. Das hier interessierende isomere Tochternuklid 99m Tc zerfällt über eine Gammaumwandlung mit der Halbwertzeit von 6,7 h in seinen extrem langlebigen Grundzustand (Halbwertzeit 2,4 5 a), der für dieses Beispiel wegen der sehr kleinen Zerfallskonstanten vereinfachend als stabil betrachtet werden soll. In nuklearmedizinischen Technetiumgeneratoren liegt das Molybdän in einer unlöslichen Form, das Tochternuklid in einer wasserlöslichen Form vor. Letzteres kann deshalb z. B. durch eine physiologische Kochsalzlösung ausgespült (eluiert) und für die Diagnostik verwendet werden. Die Zerfallskonstanten für die beiden Zerfälle sind ( 99 Mo) = =,56 h - und ( 99m Tc) = =,539 h -. Die Differenz der Zerfallskonstanten beträgt demnach - =,4884 h -. Der Zerfall des Mutternuklids 99 Mo bevölkert nur zu ungefähr 4% direkt den Grundzustand des Technetiums und zu 86% den angeregten isomeren Zustand. Die Ausbeute des Generators vermindert sich deshalb um 4%. Die Zahlenwertgleichung für den Aktivitätsverlauf des Tochternuklids in diesem speziellen Fall lautet, falls alle Zeiten bzw. Zerfallskonstanten in den Einheiten h bzw. h - sowie der obige Wert der partiellen Bevölkerungswahrscheinlichkeit von,86 eingesetzt werden, entsprechend Gl. (4.4):,5t,5t A ( t ),9463 A e ( e ) (4.4) Für t = hat der Klammerausdruck den Wert. Zu Beginn ist also, wie zu erwarten war, keinerlei Tochteraktivität vorhanden. Der Technetiumgenerator enthält daher auch kein Tc-99m. Mit zunehmender Zeit wird der Exponentialausdruck in der Klammer immer kleiner, für große Zeiten strebt der Klammerausdruck gegen den Sättigungswert. Nach etwa 4 Halbwertzeiten ( 24 h = d) hat der Klammerausdruck bereits den Wert,92 erreicht. Die Aktivität des 99m Tc im Generator nimmt also ständig zu. Sie könnte ohne die auf 86% reduzierte Übergangswahrscheinlichkeit sogar größer als die aktuelle Aktivität des Mutternuklids werden. Ist die Sättigung erreicht, führt weiteres Abwarten zu keiner weiteren Erhöhung der Bevölkerung des isomeren Zustands sondern zur Abnahme mit der Halbwertzeit des Mutternuklids 99 Mo.

16 4 Das Zerfallsgesetz 43 Fig. 4.2: Zeitliche Aktivitätsverläufe von Mutternuklid 99 Mo und Tochternuklid 99m Tc am Technetiumgenerator. Am Generator wird alle 24 h, d. h. nach jeweils 4 Halbwertzeiten eluiert. Dadurch nimmt die Tochteraktivität jeweils nach einem Tag auf Null ab und muss danach durch Bevölkerung wieder neu aufgebaut werden. Die strichpunktierte Linie zeigt den Verlauf der 99m Tc-Aktivität, falls nicht eluiert würde. Sie verläuft nur so knapp oberhalb der maximalen Eluierungsaktivitäten (schwarz gefüllte Kreise), dass sie in dieser Figur nicht getrennt dargestellt werden kann (vgl. auch Tab. 4.3). Die Bevölkerungsrate nimmt von Anfang an wegen des Exponentialgliedes vor der Klammer mit der Halbwertzeit des Mutternuklids von 66 h ab. Hat die Bevölkerung des isomeren Zustands ihre Sättigung erreicht, zerfällt das isomere Tochternuklid nur noch mit der Halbwertzeit von 66 h. Der Mutterzerfall bestimmt damit auch die Aktivität des Tochternuklids. Längeres Warten als etwa einen Tag erhöht also die Ausbeute eines Technetiumgenerators nicht, sondern führt sogar zu einer Verringerung der Aktivität des isomeren Tochternuklids. Nach der Entleerung des Generators muss die Sättigungs-Zeitspanne von etwa 4 Halbwertzeiten abgewartet werden, bevor wieder ausreichend Technetium eluiert werden kann.

17 44 4 Das Zerfallsgesetz Zeit A(Mo) A(Tc) A'(Tc),,, 6,939,44,44 2,882,597,597 8,828,664,664 24,777,676,676 48,64,568,525 72,47,444,49 96,365,345,37 2,284,268,257 44,22,29,92 68,7,62,49 Tab. 4.3: Relative zeitliche Aktivitätsverläufe am Technetium-Generator nach Gleichung (4.4). A(Tc): Aktivität ohne Eluierung. A'(Tc): Aktivität nach regelmäßiger 24 h Eluierung (berechnet ausgehend von den jeweiligen täglichen Mo-Restaktivitäten für eine 24-h-Bevölkerung des Tc-99m). Das radioaktive Gleichgewicht: Radioaktives Gleichgewicht in einer Zerfallskette liegt vor, wenn die Aktivität der Radionuklide aller Generationen gleich ist, also von jedem Nuklid pro Zeiteinheit genauso viel gebildet wird, wie von ihm zerfällt. Die Nuklidzahlen aller Generationen sind im radioaktiven Gleichgewicht konstant, die zeitlichen Änderungen der Nuklidanzahlen sind alle Null und die Aktivitäten der Nuklide der einzelnen Generationen sind gleich. dn (t)/dt = dn (t)/dt = dn 2 (t)/dt =... = dn n (t)/dt = (4.42) A (t) = A (t) = A 2 (t) =... = A n (t) (4.43) Der Zustand des perfekten radioaktiven Gleichgewichts tritt in der Natur niemals auf, da nach der dazu erforderlichen unendlich langen Wartezeit alle Aktivitäten Null würden. Insbesondere ist es nicht möglich, dass das Nuklid der ersten Generation, das Mutternuklid, gleichzeitig zerfällt und dabei die Tochternuklide bevölkert und dennoch eine zeitlich konstante aktive Kernanzahl besitzt. Befindet sich in der Zerfallskette aber mindestens ein im Vergleich zu den anderen Nukliden sehr langlebiges Nuklid, wird der Gleichgewichtszustand nach ausreichender Zeit doch in sehr guter Näherung erreicht. Die Zahl der radioaktiven Atomkerne dieses langlebigen Nuklids darf sich dabei kaum verändern, was bei ausreichend großer Halbwertzeit, d. h. bei sehr kleiner Zerfallskonstante auch näherungsweise gegeben ist (s. Beispiel 4.6).

18 4 Das Zerfallsgesetz 45 Fig. 4.3: Experimenteller Zeitverlauf der Aktivität des metastabilen Zustands 37m Ba im Eluat in doppeltlinearer Auftragungsweise. Die Halbwertzeit ist im Diagramm mit T bezeichnet und hat den Literaturwert T = 53 s = 2,55 min. Die Messwerte während der ersten 2 Sekunden sind durch den Präparationsablauf beeinflusst und deshalb für die Bestimmung der Halbwertzeit nicht verwendet worden. Punkte: Messwerte, durchgezogene Linie: Ausgleichskurve an die Messwerte zur Bestimmung der Halbwertzeit, also der Zeit, die zur Halbierung der Aktivität benötigt wird. Beispiel 4.6: Radioaktives Gleichgewicht beim Zerfall des Cäsium Cs zerfällt mit einer Halbwertzeit von 3,8 a zu 94,4% in einen isomeren Zustand des Bariums 37m Ba, der wiederum mit einer Halbwertzeit von 2,55 min über Gammazerfall in den stabilen Grundzustand des 37 Ba übergeht (vgl. Beispiel 3.5). Barium und Cäsium zeigen ein unterschiedliches chemisches Verhalten, so dass mit verhältnismäßig einfachen Mitteln ihre chemische Trennung gelingt. Mit Salzsäure der Äquivalentkonzentration,4 (,4-normale Lösung), die mit NaCl gepuffert ist, lassen sich die beim -Zerfall entstehenden Bariumatome vom Cäsium, das an die Oberfläche eines geeigneten Absorbers gebunden ist, abwaschen und als Lösung (Eluat) separieren. Dieser Vorgang ähnelt den Verhältnissen am oben besprochenen Technetiumgenerator. Wegen der für Laboruntersuchungen angenehm kurzen Halbwertzeit des isomeren Bariumzustands lassen sich die Bevölkerung und das radioaktive Zeitgesetz bequem über mehrere Halbwertzeiten studieren. Bei dem in den Figuren (4.3) und (4.4) dargestellten Experiment wurde das bariumhaltige Eluat so dicht wie möglich vor ein Auslösezählrohr gebracht und jeweils über Sekunden die Zahl der Zählrohrimpulse registriert. Zwischen den Messungen lag ein Pausenintervall von 5

19 46 4 Das Zerfallsgesetz Sekunden. Die Messwerte der ersten 2 s müssen, wie in den Figuren deutlich sichtbar ist, verworfen werden, da sie während des Eluierens erfasst wurden und daher von den Zufälligkeiten der Präparation beeinflusst sind. Die Messungen erstrecken sich über etwa 7 Halbwertzeiten des Tochterzustands. Der von der Höhenstrahlung und der Umweltaktivität verursachte Untergrund (der so genannte Nulleffekt: je 8 Ereignisse in s bei dem verwendeten Aufbau) wurde von allen Messwerten abgezogen. Fig. 4.4: Linearisierte Darstellung der gemessenen Zählraten im Cäsium-Barium-Generator und im Eluat in halblogarithmischer Darstellung. (a): Zählratenverlauf für das metastabile 37m Ba im Eluat. Die Halbwertzeit ergab sich aus der Steigung der abfallenden Geraden über den Zeitbereich von 6 Halbwertzeiten zu (57 5) s. Der Literaturwert beträgt 53 s. (b): Anstieg der Gamma-Zählrate im Cs-37-Präparat durch Bevölkerung des isomeren Bariumniveaus bis zur Sättigung bzw. zum Erreichen des radioaktiven Gleichgewichts nach Gl. (4.44) nach etwa 4-5 Halbwertzeiten. Die Aktivitäten des 37 Cs und des 37m Ba sind dann identisch. Der statistische Fehler bei Zählexperimenten wie diesem (die einfache Standardabweichung) ist gerade die Quadratwurzel aus der Zählrate. Er macht sich vor allem bei geringen Messwerten als Streuung der Messwerte bemerkbar. Weil mit der einfachen verwendeten Anordnung nicht energiespezifisch gemessen werden konnte, wurde durch eine geeignete Abschirmung des Cäsiumpräparates die Betastrahlung des 37 Cs absorbiert. 37m Ba ist ein monoenergetischer Gammastrahler, so dass die nach der Abschirmung verbleibende Zählrate eindeutig dem Zerfall des metastabilen Bariumzustands zugerechnet werden konnte. Zur Aktivitätsanalyse des Cs-Ba-Zerfalls beachtet man die lange Halbwertzeit des 37 Cs-Zerfalls. Sie ist etwa um den Faktor 2 5 größer als die Halbwertzeit des metastabilen Bariumni-

20 4 Das Zerfallsgesetz 47 veaus; die Zerfallskonstante des 37 Cs ist also um mehr als das 5 -fache kleiner. In der Aktivitätsformel (Gl. 4.4) kann die Zerfallskonstante des 37 Cs daher weggelassen werden. Die Gleichung für die Aktivität des 37m Ba vereinfacht sich deshalb zu: A Ba ( t ) A Cs ( t ) ( e Ba t ) (4.44) Die Bariumaktivität steigt also mit der Zerfallskonstanten des metastabilen Bariumzustands bis zur Sättigung an. Sie nimmt dann mit der Halbwertzeit des 37 Cäsium-Zerfalls allmählich ab. Da dessen Halbwertzeit mit 3 Jahren aber vergleichsweise lang ist, ist das System 37 Cs- 37m Ba trotz der kurzen Lebensdauer des Tochternuklids so langlebig, dass es über Jahre mit nahezu unverminderter Aktivität strahlt. 4.4 Experimentelle Bestimmung von Halbwertzeiten Zur Bestimmung der Halbwertzeit einer radioaktiven Probe gibt es prinzipiell mehrere Möglichkeiten. Bei nicht zu großen Halbwertzeiten (maximal bis zu einigen Jahren) kann man den Zeitverlauf der Aktivität unmittelbar beobachten. Aus den Messwerten kann durch grafische oder rechnerische Methoden wie im oben gezeigten Beispiel des Cs-Ba-Zerfalls die Halbwertzeit bestimmt werden. Die absolute Aktivität des Präparats spielt dabei keine Rolle, da nur die Steigung der linearisierten Aktivitätskurve ausgerechnet werden muss. Der Detektor muss daher auch nicht die gesamte vom Präparat emittierte Strahlung nachweisen. Es können auch experimentelle Aufbauten verwendet werden, die nur einen eingeschränkten Raumwinkelbereich und damit nur einen Bruchteil der Strahlungsquanten erfassen. Die einzige Beschränkung ist durch die Zählstatistik gegeben, da bei zu kleinen Zählraten die statistischen Messfehler zu großen Fehlern bei der Halbwertzeitbestimmung führen können. Bei sehr großen Halbwertzeiten ist die direkte Beobachtung des zeitlichen Aktivitätsverlaufs nicht mehr möglich, da sich während halbwegs vernünftiger Messzeiten die Aktivität der Probe wegen der kleinen Zerfallskonstanten praktisch nicht ändert. Zur Bestimmung der Zerfallskonstanten ist man dann auf die Definitionsgleichung der Aktivität angewiesen (s. Beispiel 4.7 und Gl. 4.). Die vom Detektor in einem begrenzten Raumwinkelbereich nachgewiesene Strahlung muss zur Bestimmung der Lebensdauer des Nuklids mehrfach korrigiert werden. Zum einen muss die Umrechnung auf die in den vollen Raumwinkel emittierte Strahlung durchgeführt werden. Zum anderen muss durch geeignete experimentelle Anordnung dafür Sorge getragen werden, dass Strahlungsquanten nicht versehentlich im Präparat, seiner Umhüllung oder der Detektorwand absorbiert werden (s. dazu die unterschiedlichen Definitionen von Aktivität und Quellstärke in Abschnitt 4.). Ist dies dennoch der Fall, müssen Korrekturrechnungen durchgeführt werden, die die Strahlungsabsorption berücksichtigen. In der Regel müssen auch isotopenselektive Detektoren verwendet werden, damit sowohl die Energie und Art der emittierten Strahlung unterschieden werden können, als auch die Zuordnung der Strahlungsquanten zu be-

21 48 4 Das Zerfallsgesetz stimmten Nukliden eindeutig gemacht werden kann. Die Zahl der aktiven Kerne muss durch Wägung bestimmt werden. Ist das Präparat nicht isotopenrein, muss außerdem seine quantitative Isotopenzusammensetzung ermittelt werden. Je nach Isotopengemisch kann dazu eine massenspektrometrische Untersuchung notwendig sein. Letztlich beeinflusst die geringe Zahl der Zerfälle bei großen Lebensdauern auch die Zählstatistik und damit die Genauigkeit bei der Bestimmung der Zerfallskonstanten. Beispiel 4.7: Bestimmung der Halbwertzeit aus der Aktivität einer Uran-238-Probe. Eine Probe 238 U habe (vereinfacht) die molare Masse von 238 g. Die Zahl der Atome ist dann gerade die Avogadrozahl N A = 6,22 23 Mol -. Die Aktivität betrage 2,95 MBq = 2,95 6 Bq. Die Zerfallskonstante erhält man direkt aus Gleichung (4.) für die Definition der Aktivität A (A = N) zu = A/N A = 2,95 6 Bq/(6,22 23 ) = 4,899-6 s -. Für die Halbwertzeit erhält man nach Gl. (4.4) T½ = ln2/ =,693/(4,889-6 ) s =,42 5 s = 4,49 9 a Der Literaturwert für die Halbwertzeit des Uran-238 beträgt T½ = 4,468 9 a. 4.5 Aktivierungsanalyse, Fluoreszenzanalyse* Von den oben besprochenen Aktivitätsanalysen z. B. zur Halbwertzeitbestimmung sind die Aktivierungsanalysen zu unterscheiden. Darunter versteht man die Untersuchung von Substanzen über die aus den Atomkernen emittierte charakteristische Strahlung. Aktivierungsanalysen mit Hilfe von Atomkernstrahlungen erfordern die Anregung der Kerne über Kernreaktionen. Bei einer Aktivierungsanalyse kann aus der Art und Intensität der Strahlungen quantitativ auf die Zusammensetzung von Proben geschlossen werden. Sehr große Empfindlichkeiten erhält man wegen der großen Einfangquerschnitte nach thermischem Neutroneneinfang in (n,)-reaktionen (s. Kap. 8.3). Werden besonders hoch auflösende Gammaspektrometer mit Halbleitersonden verwendet, kann die Empfindlichkeit so gesteigert werden, dass sogar Massen von weniger als -3 kg nachgewiesen werden können. Allerdings werden dazu auch erhebliche Neutronenflüsse benötigt, die in der Regel nur in Kernreaktoren zur Verfügung stehen. Die Untersuchung von Substanzen über die emittierte Hüllenstrahlung nach Anregungen der Atomhüllen wird als Fluoreszenzanalyse bezeichnet. Atomhüllen werden dazu in der Regel mit Elektronen angeregt, so dass sie zur Emission von charakteristischer Photonenstrahlung oder von Augerelektronen veranlasst werden. Zusammenfassung Der zeitliche Verlauf radioaktiver Umwandlungen wird mit dem Zerfallsgesetz beschrieben. Es stellt eine Exponentialfunktion dar, deren bestimmender Parameter die Zerfallskonstante der radioaktiven Umwandlung ist.

22 4 Das Zerfallsgesetz 49 Die Zerfallskonstante ist eine charakteristische Größe für das zerfallende Radionuklid. Ihre Spezifität hängt von der Genauigkeit bei ihrer Bestimmung ab. Statt der Zerfallskonstanten wird auch ihr Kehrwert, die mittlere Lebensdauer oder die Halbwertzeit T /2 verwendet, die die mittlere Zeitspanne bis zur Halbierung einer Aktivität angibt. Bestehen mehrere partielle Zerfallskanäle, müssen die partiellen Zerfallskonstanten addiert werden. Ihre Summe ergibt die totale Zerfallskonstante. Die partiellen Halbwertzeiten müssen in solchen Fällen reziprok addiert werden. Aufgaben. Geben Sie den amtlichen Umrechnungsfaktor Curie-Becquerel an. 2. Mit einem Strahlungsmessgerät (z. B. einem Geigerzähler) messen Sie pro Sekunde eine bestimmte Anzahl von Ereignissen (Impulse/s). Ist diese Zählrate gleich der Aktivität des Präparats? 3. Wie viele Zerfälle macht ein 99m Tc-Präparat mit einer Anfangsaktivität von kbq innerhalb der ersten Halbwertzeiten und bis zum endgültigen Abklingen, also bis zur Restaktivität A = Bq? 4. Ein Patient habe eine biologische Halbwertzeit für ein 99m Tc-Medikament von,5 h. Wie groß ist in diesem Fall die effektive Halbwertzeit? 5. Ein Mutternuklid zerfällt mit einer Halbwertzeit von h und bevölkert dabei ausschließlich (zu %) ein Isomer im Tochternuklid, das selbst mit einer Halbwertzeit von h zerfällt. Ist es möglich, dass das Tochternuklid eine höhere Aktivität als das Mutternuklid aufweist? 6. Unter welchen Bedingungen sind die Zerfallsraten von Mutter- und Tochternuklid identisch? Wie nennt man diesen Zustand? 7. Bei einem instabilen Nuklid gebe es mehrere Zerfallsmöglichkeiten des Mutternuklids. Für jeden Prozess sei die Zerfallskonstante bekannt. Wie berechnen Sie die totale Zerfallskonstante und wie die Halbwertzeit des vorliegenden Zerfalls? Müssen die betrachteten Umwandlungsmöglichkeiten dazu identisch sein, dürfen also beispielsweise nur Alphazerfälle oder nur Beta-minus-Zerfälle für die Berechnung herangezogen werden?