Numerische und experimentelle Ermittlung von instationären Luftkräften zum Nachweis der aeroelastischen Stabilität weitgespannter Brücken

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1 Numerische und experimentelle Ermittlung von instationären Luftkräften zum Nachweis der aeroelastischen Stabilität weitgespannter Brücken Dipl.-Ing. Lydia Thiesemann 1, Prof. Dr.-Ing. Uwe Starossek 1 KURZFASSUNG: Ein wesentlicher Teil des Standsicherheitsnachweises weitgespannter Hängebrücken ist der Nachweis der Flatterstabilität. Ein rechnerischer Nachweis setzt die Kenntnis der am Brückenhauptträger angreifenden instationären bewegungsinduzierten Kräfte voraus. Eine Methode zur rein rechnerischen Ermittlung dieser Luftkräfte für beliebige Querschnittsformen von Brückenhauptträgern wird vorgestellt. Dabei wird auf Hilfsmittel der numerischen Strömungsmechanik zurückgegriffen. Die numerischen Ergebnisse für die verschiedenen Querschnitte werden mit experimentellen Ergebnissen verglichen, welche in eigenen Untersuchungen gewonnen wurden. 1 Einleitung Wird eine Brücke vom Wind umströmt, bilden Wind und Brücke ein dynamischaeroelastisches Gesamtsystem. Bewegungsinduzierte Kräfte, ausgehend von einer anfänglichen Störung, können das aerodynamische Phänomen Flattern verursachen. Da Flattern große Schwingungsamplituden hervorrufen und sogar, wie im Fall der ersten Tacoma Narrows Brücke, zum Einsturz der Tragstruktur führen kann, ist der Nachweis der Flatterstabilität ein wesentlicher Nachweis der Standsicherheit weitgespannter Brücken. Weil sich die Flatteranfälligkeit mit zunehmender Spannweite und Schlankheit der Brücke vergrößert, werden insbesondere während der verschiedenen Entwurfsphasen von Großbrückenprojekten (wie beispielsweise für die Brücke über die Stretto di Messina, Italien (siehe u.a. [13])) intensive aerodynamische Untersuchungen zum Nachweis der aeroelastischen Stabilität durchgeführt. Die kritische Windgeschwindigkeit wird dabei als diejenige Windgeschwindigkeit definiert, welche die untere Grenze zu dem Geschwindigkeitsbereich darstellt, in dem Flattern auftreten kann. Ziel des aerodynamischen Entwurfs ist es daher, die Brücke so auszulegen, dass ihre kritische Windgeschwindigkeit größer ist als die Bemessungswindgeschwindigkeit. Ausgelöst durch den Zusammenbruch der Tacoma Narrows Brücke in Jahre 1940 wurden in den letzten sechs Jahrzehnten Berechnungsverfahren unterschiedlichster Komplexität entwickelt. Abgesehen einmal von der einfachen Selberg-Formel [2], die lediglich auf Strukturparametern beruht, benötigen alle Verfahren die funktionalen Verläufe der bewegungsinduzierten aerodynamischen Luftkräfte zur Berechnng der kritischen Windgeschwindigkeit. Diese Funktionen seien im folgenden in ihrer dimensionslosen Form als Flatterderivativa bezeichnet. Theodorsen [1] entwickelte eine 1 Arbeitsbereich Baustatik und Stahlbau, Technische Universität Hamburg Harburg, Denickestr.15, Hamburg, Tel. 040/ , Fax. 040/ , thiesemann@tuhh.de

2 auf Hankel-Funktionen basierende Lösung für eine unendlich dünne Platte, welche für plattenähnliche Querschnitte eine sehr gute Näherung der wirklichen Flatterderivativa darstellt. Ob ein Profil plattenähnlich ist oder nicht, muss vom entwerfenden Ingenieur beurteilt werden. Starossek nennt in [2] Kriterien für Plattenähnlichkeit. Üblicherweise werden aber in den fortgeschrittenen Entwurfsphasen Windkanalversuche zur Ermittlung der Flatterderivativa durchgeführt. Die in dieser Arbeit vorgestellte Berechnungsmethode ermittelt die kritische Windgeschwindigkeit auf Basis von Flatterderivativa, die mit Hilfe der numerischen Strömungsmechanik (CFD) berechnet wurden. Damit kann der finanzielle Aufwand besonders in den frühen Entwurfsphasen reduziert werden. Auch wird durch die Visualisierungsmöglichkeiten moderner CFD-Programme das Verständnis des komplexen aerodynamischen Phänomens Flattern erhöht. Die verschiedenen Berechnungsabläufe sind in Abbildung 1 dargestellt. Abbildung 1: Nachweisschema zur Ermittlung der kritischen Windgeschwindigkeit 2 Bewegungsgleichungen Oberhalb einer bestimmten Windgeschwindigkeit kann ausgehend von einer anfänglichen Störung Flattern auftreten. Unterhalb dieser Windgeschwindigkeit werden die bewegungsinduzierten Schwingungen gedämpft, oberhalb dieser steigen die Amplituden stetig an. Diese Grenzgeschwindigkeit, bei der harmonische Schwingungen konstanter Amplitude auftreten, bezeichnet man als kritische Windgeschwindigkeit ukrit. Typischerweise sind nur die Bewegungsfreiheitsgrade Biegung und Torsion an der Flatterschwingung beteiligt. Zumeist dominieren zwei Eigenformen, es können aber auch noch höhere Eigenformen beteiligt sein. Theodorsen [1] entwickelte eine vollständig analytische Berechnungsmethode, welche von Klöppel [4] und Starossek [2] in komplexer Formulierung und von Scanlan [5] in reeller Formulierung modifiziert worden ist. Diese Modifikation ermöglicht für den

3 Abbildung 2: links: Definition der Luftkräfte und Freiheitsgrade rechts: Darstellung des Flatterderivativums c hh in der komplexen Zahlenebene Flatternachweis die Verwendung sowohl experimentell als auch numerisch ermittelter Flatterderivativa. Unter Verwendung generalisierter Koordinaten lässt sich die Bewegungsgleichung für das Zweifreiheitsgradsystem einer Biege-Torsionsbewegung wie folgt formulieren: d h( t) m 0 d (1 + i g h ) K h 0 M x + K x = FL mit x =, M =, K = (1) α ( t) 0 θ 0 (1 + i gα ) Kα Der Verschiebungsvektor x setzt sich zusammen aus der generalisierten Vertikalverschiebung h(t) und der generalisierten Rotationsbewegung α(t). Die Massenmatrix M wird aus den Hauptdiagonalelementen m (Masse) und θ (Massenträgheitsmoment) gebildet. Die komplexe Feder-Dämpfungsmatrix K d beschreibt die elastischen Rückstellkräfte und Dämpfungskräfte des Systems mit den beiden Steifigkeitsparametern K h und K α und den Dämpfungsverlustwinkeln g h und g α. Hierbei bezeichnet der Index jeweils den zugehörigen Bewegungsfreiheitsgrad. Der komplexe Vektor der aerodynamischen Luftkräfte L( t) 2 2 chh b chα h( t) F L ( t) = = ρ π k u 2 (2) M L ( t) b cαh b cαα α ( t) wird aus dem Auftrieb L(t) und dem Luftkraftmoment M L (t) gebildet. Die komplexen Flatterderivativa c mn = c mn + i c mn repräsentieren die bewegungsinduzierten Luftkräfte in dimensionsloser Form. ρ ist die Dichte der Luft und b ist die halbe Breite des Querschnitts. u ist die ungestörte zeitlich gemittelte Anströmgeschwindigkeit des Windes. Die Flatterderivativa sind Funktionen der reduzierten Frequenz k = ω b/ u, welche der elementare Ähnlichkeitsparameter des gekoppelten Fluid-Struktur-Gesamtsystems ist. Der erste Index beschreibt die Wirkungsrichtung der Kraft und der zweite die Bewegung, die diese Kraft hervorruft. Mittels der reellen Koeffizienten c mn und c mn lassen sich die Phasenverschiebung und das Amplitudenverhältnis zwischen Luftkraft und Verschiebung einfach darstellen, wie aus Abbildung 2 (rechts) deutlich wird. Die in (1) und (2) benutzten Systemparameter sind generalisierte Größen, die mittels ausgewählter Eigenformen für Biege- und Torsionsschwingungen zu ermitteln sind. Gleichungen (1) und (2) gelten ebenso für ein ebenes Ersatzsystem mit den zwei physikalischen Freiheitsgraden h(t) und α(t).

4 3 Berechnung der kritischen Windgeschwindigkeit Fluid und Struktur werden getrennt modelliert. Zunächst werden die Funktionen der acht reellen Flatterderivativa analytisch, experimentell oder numerisch ermittelt. Die Brücke wird entweder durch ein beliebig komplexes Finite-Elemente-Modell [2], [3] oder einfacher durch ein Zweifreiheitsgrad-System mit generalisierten Systemeigenschaften beschrieben, siehe Gleichungen (1) und (2). Im folgenden wird der letztere Ansatz weiter beschrieben. Das aeroelastische Gesamtsystem lässt sich durch die komplexe Systemmatrix µ + chh chα 2 2 d 1 1 ωh (1 + i gh ) ωh (1 + i gh) A ( k) = K ( M + L( k)) = 2 (3) µ cαh µ r + cαα r ω (1 + ) (1 + ) α i gα r ωα i gα beschreiben [2]. Die Struktureigenschaften werden in zwei dimensionslosen Ähnlichkeitskennzahlen, dem bezogenen Trägheitsradius r = θ / m und der bezogenen Mas- 1 b 2 se µ = m /( πρb ) und den zwei Eigenfrequenzen (ω h = K h / m und ω α = K α / θ ) der ungekoppelten Bewegung beschrieben. Gesucht wird der Grenzzustand, in dem die Schwingung des Gesamtsystems harmonisch ist. Dies ist der Fall, wenn ein Eigenwert der Matrix A reell ist. Dafür muss die Eigenwertaufgabe 2 A λi = λ + a1λ + a0 = 0 (4) mit den komplexen Koeffizienten a 0 = det A und a 1 = sp A des charakteristischen 2 Polynoms gelöst werden. I ist die Einheitsmatrix, λ = 1/ ω der Eigenwert. Einige stumpfe Körper, wie beispielsweise H-Querschnitte oder gedrungene Rechteckquerschnitte zeigen ein deutlich anderes aerodynamisches Verhalten. Hier dominiert die Rotationsbewegung. Für derartige Querschnitte lässt sich das aerodynamische Verhalten auch durch ein einfaches Einfreiheitsgradmodell beschreiben, welches auf das folgende Stabilitätskriterium führt [2],[7]: θ c αα = g α ( + c αα ) (5) 4 πρb Querschnitte, deren c αα Funktion keinen Vorzeichenwechsel aufweist, neigen nicht zu ungekoppelten Torsionsschwingungen, können aber immer noch bezüglich des gekoppelten Biege-Torsionsflattern gefährdet sein. 4 Experimentelle Bestimmung von Flatterderivativa 4.1 Versuchsmethoden Zur experimentellen Untersuchung von Flatterschwingungen wurden verschiedene experimentelle Methoden entwickelt. In Japan vertraut man hauptsächlich Vollmodellversuchen, für die die Brücke als ganzes in sehr kleinem Maßstab modelliert wird. Für diese Modelle sind sehr große Windkanäle erforderlich, da sie zumeist eine Länge von mehreren Metern besitzen. Ansonsten werden zumeist Teilmodellversuche

5 Abbildung 3: Im Wasserkanal untersuchte Querschnitte durchgeführt, bei denen lediglich ein starrer Abschnitt des Brückenhauptträgers modelliert wird und auf die diskrete Modellierung der elastischen Eigenschaften der Brücke verzichtet wird. Einen umfangreichen Vergleich dieser Methoden findet man in [2]. Zur Überprüfung der numerisch ermittelten Flatterderivativa wurden sowohl Teilmodellversuche mit der Methodik der erzwungenen Schwingungen als auch mit der Methodik der freien Schwingungen durchgeführt. 4.2 Methode der erzwungenen Schwingungen Bei der Methode der erzwungenen Schwingungen wird der starre Querschnitt harmonischen Bewegungen mit kleiner Amplitude unterworfen. Die Bewegung erfolgt für jeden Freiheitsgrad separat. Die Bewegungsfrequenz wird variiert und die Geschwindigkeit konstant gehalten. Die resultierenden Luftkräfte werden gemessen. Die Auswertung der Zeitverläufe erfolgt mit der Fast-Fourier-Transformation. Es wurden insgesamt neun Querschnitte experimentell untersucht, von denen acht Abbildung 3 dargestellt sind. Außerdem wurde noch ein Trapezquerschnitt untersucht, der an dieser Stelle aber nicht dargestellt ist. Die Auswahl der Querschnitte erfolgte unter Hauptträgerquerschnitten realisierter Brückenprojekte unter dem Gesichtspunkt einer möglichst großen Bandbreite aerodynamischen Verhaltens. Letzteres bestätigt sich recht deutlich im Vergleich der Flatterderivativa c αα und c αα, welche in Abbildung 4 dargestellt sind. Die Experimente wurden in einem Wasserkanal mit einer gemessenen Turbulenzintensität von weniger als einem Prozent durchgeführt. Die Breite der Versuchskörper betrug 200 mm bei Wassergeschwindigkeiten von 0.3 bis 2.5 m/s. Die resultierenden Reynoldszahlen Re variieren zwischen 10 5 und 2.5*10 5. Sie liegen dabei etwa um den Faktor 10 unter der Reynoldszahl der Originalbrücke. Da der Einfluss der Turbulenz als klein und bezüglich der aerodynamischen Stabilität günstig wirkend angenommen wird, wird diese Verletzung der strömungsmechanischen Ähnlichkeitsgesetze im allgemeinen hingenommen. Reynoldszahlen wie unter natürlichen Bedingungen lassen sich im Windkanal nicht verwirklichen. Die Amplituden wurden ebenfalls variiert (0.01B < h < 0.04B und 2 < α < 8 ). 4.3 Methode der freien Schwingungen In diesem Versuchsabbau ist der Versuchsquerschnitt elastisch in acht Federn gelagert, wie in Abbildung 5 gezeigt. Das Modell hat eine Breite von 300 mm und eine Länge von 800 mm. Durch eine Abspannung in Windrichtung wird eine Bewegung in dieser Richtung verhindert.

6 Zur Aufbringung einer Störung wird eine Anfangsauslenkung in vertikaler Richtung aufgebracht. Mit Wegaufnehmern werden die Bewegungsverläufe in h und α aufgezeichnet. Die Flatterderivativa werden mit einer Zeitbereichsidentifikationsmethode, der modifizierten Ibrahim Time Domain Method (MITD), ermittelt [15]. Im Rahmen dieser Arbeit wurde dieser Versuch für den Querschnitt R (Rechteck H:B = 1:8) durchgeführt. Die Ergebnisse für c αα sind in Abbildung 9 im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen der Methode der erzwungenen Schwingungen und den numerischen Ergebnissen dargestellt. In Abbildung 6 ist ein typischer Zeitverlauf im überkritischen Geschwindigkeitsbereich dargestellt. Die reine Biegeschwingung ist in diesem Fall stark gedämpft. Die gekoppelte Biege-Torsionsschwingung besitzt eine komplexe Eigenfrequenz mit negativer Dämpfung. Abbildung 4: Vergleich der experimentellen Ergebnisse für das Luftkraftmoment infolge Torsionsbewegung für die untersuchten Profile (Re= , α = 5 ) Abbildung 5: Versuchsaufbau der Teilmodellversuchsmethode Freie Schwingung

7 1.6 Vertical M otion Frequency V ertical M otion Tim e History h: H(t) [mm] Frequency [Hz] Tim e [s] 12 Torsional M otion Frequency 0.08 Torsional M otion Tim e History α: Alfa(t) [rad] Frequency [Hz] Tim e [s] Abbildung 6: Leistungsspektrum und Zeitbereichsdarstellung einer typischen freien Schwingung im überkritischen Geschwindigkeitsbereich für den Querschnitt R 4.4 Vergleich In Tabelle 1 sind die wesentlichen Vor- und Nachteile der beiden vorgestellten Versuchsmethoden einander gegenübergestellt. Für die Ermittlung der kritischen Windgeschwindigkeit sind beide Methoden gleichermaßen geeignet, während für die Ermittlung der Flatterderivativa der Methode der erzwungenen Schwingungen der Vorzug gegeben werden sollte. Als weiterer Nachteil der Methode der erzwungenen Schwingungen sollte genannt werden, dass die Amplitudenabhängigkeit der Flatterderivativa nur durch sehr umfangreiche Messungen erfasst werden kann. Erzwungene Schwingungen vs. Freie Schwingungen Direkte und eindeutige Bestimmung der bewegungsinduzierten Luftkräfte Direkte und eindeutige Bestimmung der kritischen Windgeschwindigkeit Einfache Auswertung (FFT) Komplizierter Versuchsaufbau Einfacher Versuchsaufbau Indirekte und nicht eindeutige Auswertung durch Parameteridentifikation im Zeitbereich (MITD) Tabelle 1: Vergleich der beiden Teilmodell-Versuchsmethoden

8 p ( t) da FFT c ( k), c ( k) ik ik Abbildung 7: Auswertung der numerischen Ergebnisse 5 Numerische Berechnung von Flatterderivativa 5.1 Allgemeines Die numerischen Berechnungen wurden mit dem kommerziellen Programm COMET durchgeführt, welches auf der Finiten-Volumen-Methode basiert. Analog zur Methode der erzwungenen Schwingungen wird der Querschnitt einer harmonischen Bewegung unterzogen [12]. Dabei wird das gesamte Gitter bewegt. Die aus der Bewegung resultierenden Kräfte auf den Brückenquerschnitt werden durch Integration der Druckverteilung auf der Querschnittsoberfläche ermittelt. Der Zeitverlauf der Kräfte wird mit der Fast-Fourier-Transformation ausgewertet, siehe Abbildung 7. Die Turbulenz wird mit einfachen Zwei-Gleichungsmodellen, wie dem RNG k-ε Modell erfasst. Da Versuche mit geringem Turbulenzgrad nachgerechnet werden sollen, ist der Einfluss der Turbulenzmodellierung klein. Es konnte aber beobachtet werden, dass die zusätzliche Viskosität aus der Turbulenzmodellierung die Berechnungen stabilisiert, ohne sie signifikant quantitativ zu beeinflussen (Abweichung < 5%) [8]. Für die Zeitintegration wurde ein implizites Eulerverfahren verwendet. 5.2 Modellierung der Randbedingungen Die Geschwindigkeit im Fernfeld wird als konstant angenommen. Sie wird durch die Randbedingungen am Fernfeldrand modelliert. Da das gesamte Gitter bewegt wird, müssen die lokalen Einströmrandbedingungen für die Randelemente in jedem Zeitschritt neu berechnet werden. Abbildung 8 zeigt die Anordnung der Randbedingungen. Auf dem Querschnitt wird die tangentiale Geschwindigkeit durch die Haftbedingung zu Null gesetzt. Senkrecht dazu wird eine instationäre Randbedingung angegeben. Diese ergibt sich aus der Ableitung der Bewegungsfunktion. Diese instationären Wandrandbedingungen müssen ebenfalls in jedem Zeitschritt neu berechnet werden.

9 outflow boundary inflow boundary v = (u, 0) Τ inflow boundary v = (u, 0) Τ no slip v s = ẋ inflow boundary v = (u, 0) Τ 5.3 Diskretisierung Abbildung 8: Diskretisierung und Randbedingungen Die Strömung wird lediglich zweidimensional modelliert, um eine feine Element- Diskretisierung in der Ebene des Brückenquerschnittes zu ermöglichen. Um den Querschnitt herum wird das räumliche Gitter stark verfeinert, insbesondere die laminare Grenzschicht, welche anhand von Näherungsformeln [9] vorab berechnet wurde. Abhängig von der Querschnittsgeometrie wird der gesamte Bereich, in dem zeitabhängige Änderungen von Geschwindigkeit und Druck erwartet werden, stärker verfeinert. Die Zeitschrittlänge muss zwei Bedingungen erfüllen: Zum einen muss die Amplitudenlänge T = 2π/ω hinreichend stark aufgelöst werden ( t < T/1000), zum anderen muss die Courant-Zahl, welche das Verhältnis des Quotienten von Elementgröße und Zeitschritt zur Anströmgeschwindigkeit angibt, kleiner gleich eins sein. 6 Vergleich der Ergebnisse In Abbildung 9 ist der Verlauf der Funktion c αα (k) für den H-Querschnitt (Tacoma Brücke) und den Rechteckquerschnitt R dargestellt. Ist die Systemdämpfung vernachlässigbar klein, ergibt sich die Stabilitätsgrenze für reine Torsionsschwingungen an der Stelle, an der c αα (k) das Vorzeichen wechselt. Der Querschnitt der Tacoma Brücke hat einen frühen Nulldurchgang, so dass für diesen Querschnitt eine im Vergleich mit dem Rechteckquerschnitt niedrigere kritische Windgeschwindigkeit zu erwarten ist. Mit zunehmender Strukturdämpfung wird die kritische Windgeschwindigkeit größer.

10 In Abbildung 9 erkennt man eine starke Differenz zwischen den experimentell ermittelten Flatterderivativa und den numerisch ermittelten. Die Ergebnisse wurden deshalb zusätzlich mit den experimentellen Ergebnissen von Hortmanns [10] verglichen, dessen Versuche mit erzwungenen Schwingungen in einem Windkanal durchgeführt wurden. Die numerische Funktion zeigt gute Übereinstimmung mit der nach der Methode der freien Schwingung und der von Hortmanns ermittelten Funktion. Die Auswirkungen der Differenzen zu den eigenen Versuchen mit erzwungenen Schwingungen auf den Betrag der kritischen Windgeschwindigkeit sei im folgenden rechnerisch am durchgeführten Experiment mit der Methodik der freien Schwingung demonstriert. Das mit der Methode der freien Schwingung untersuchte Modell des Rechteckquerschnitts R besaß die folgenden dimensionslosen Systemeigenschaften: ε = 1.74; µ = 77.08; r = 0.957; g h = ; gα = ; Die kritische Windgeschwindigkeit lag im Experiment bei u krit = m/s. Bei dieser Geschwindigkeit zeigte das Modell harmonische Schwingungen konstanter Amplitude. Löst man das Eigenwertproblem nach Gleichung 4 unter Rückgriff auf alle acht Derivativa des Rechteckquerschnittes (hier nicht dargestellt), ergeben sich die kritischen Windgeschwindigkeiten auf Basis numerischer Derivativa zu u krit = m/s. Mittels der experimentellen Ergebnisse nach der Methode der erzwungenen Schwingungen erhält man dagegen eine kritische Windgeschwindigkeit von u krit = m/s. Diese Ergebnisse wurden in beiden Fällen für Amplituden von h = 0.04 B und α = 5 ermittelt. Die Reynoldszahl der experimentellen und numerischen Simulationen betrug Re = Wie aus den Ergebnissen zu sehen ist, ist die Abweichung der kritischen Windgeschwindigkeit, welche auf Basis der numerischen Ergebnisse gewonnen wurde kleiner als die eigenen mit der Methode der erzwungenen Schwingungen ermittelten. Hortmanns Flatterderivativa führen auf eine kritische Windgeschwindigkeit von u krit = m/s, welche weitaus besser mit den numerischen Ergebnissen übereinstimmt. Der ebenfalls in Abbildung 9 dargestellte Querschnitt der Tacoma Brücke (TC) besitzt die ungünstigsten aerodynamischen Eigenschaften aller untersuchten Querschnitte. Die Funktion c αα (k) des Querschnittes besitzt einen frühen Nulldurchgang und neigt somit schon bei relativ kleinen Windgeschwindigkeiten zum Torsionsflattern. Abbildung 9: Vergleich der aerodynamischen Dämpfung der Torsionsschwingung für den H-Querschnitt (TC; Tacoma Brücke) und den Rechteckquerschnitt (R; H:B=1:8), TH = analytische Lösung nach Theodorsen, exp S = erzwungene Schwingungen, exp HH = freie Schwingungen; Hort = Ergebnisse nach [10], U red = π/k

11 Wertet man Gleichung (5) für den Querschnitt TC ebenfalls mit den oben angegebenen Systemparametern aus, so führen die numerischen Flatterderivativa auf u krit = 9.1 m/s und die experimentellen Ergebnisse auf u krit = 8.2 m/s. Experimentell und numerisch ermittelte Flatterderivativa zeigen hier (mit einer Abweichung von 10% untereinander) eine gute Übereinstimmung. Mit den Flatterderivativa nach Theodorsen ergibt sich eine kritische Windgeschwindigkeit von 18.6 m/s, womit die kritische Windgeschwindigkeit, welche sich aus dem Versuch der freien Schwingung ergibt, bei beiden Querschnitten weit auf der unsicheren Seite überschätzt wird. Die Querschnitte R und TC sind wegen dieser Abweichung (>20 %) nach den Kriterien von [2] nicht als plattenähnlich einzustufen. In Abbildung 10 sind alle acht Flatterderivativa für zwei sehr unterschiedliche Querschnitte dargestellt. Hierbei werden die numerischen und experimentellen Ergebnisse verglichen. Der Querschnitt B ist der Brückenhauptträgerquerschnitt der Brücke über den Großen Belt in Dänemark und der Querschnitt C der der Chongquing Brücke in China. Der Querschnitt B ist wegen der guten Übereinstimmung mit den analytischen Flatterderivativa nach Theodorsen als plattenähnlich einzustufen, während der Querschnitt C ein von der analytischen Lösung abweichendes aerodynamisches Verhalten aufweist. Charakteristisch ist hier wieder der Vorzeichenwechsel der Funktion c αα (k). 7 Zusammenfassung und Ausblick Die numerischen Ergebnisse zeigen eine zufriedenstellende Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Diese Untersuchung soll ein Beitrag zur Einschätzung der Verlässlichkeit von Berechnungen mit modernen Werkzeugen der CFD sein, die im Bauwesen bisher kaum zum Einsatz kommen. Der spezielle Vergleich anhand des Versuches mit freien Schwingungen zeigt, dass die numerisch ermittelten Flatterderivativa mitunter sogar bessere Ergebnisse für die kritische Windgeschwindigkeit liefern können als experimentell ermittelte. So können numerische Berechnungen durchaus auch umgekehrt eine sinnvolle Kontrolle experimenteller Ergebnisse sein. LITERATUR 1 T. Theodorsen, General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter, Technical report No. 496, National Advisory Committee for Aeronautics, 1935, U. Starossek, Brueckendynamik, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, U. Starossek, Prediction of bridge flutter through use of finite elements, Structural Engineering Review, 1993, 5(4), K. Kloeppel and F. Thiele, Modellversuche im Windkanal zur Bemessung von Bruecken gegen die Gefahr winderregter Schwingungen, 1967, Der Stahlbau, 32, E. Simiu and R. Scanlan, Wind effects on structures, 3 rd ed., John Wiley and Sons, New York, U. Starossek, Complex notation in flutter analysis, ASCE, Journal of Structural Engineering, 1998, 124(8), U. Starossek, Simplified flutter prediction for bridges with bluff cross-section, Structural Engineering Review, 1994, 6 (1), L. Thiesemann and U. Starossek, Numerical evaluation of flutter derivatives, EURODYN 2002, Konferenzband, 2002, Swets & Zeitlinger, Lisse, H. Schlichting: Grenzschicht-Theorie, Springer Verlag, Berlin 10 M. Hortmanns, Zur Identifikation und Beruecksichtigung nichtlinearer aeroelastischer Effekte, Dissertation, Shaker Verlag, Aachen, D. Bergmann et al., Experimentelle Ermittlung der instationären aerodynamischen Beiwerte von Brückenprofilen im Wasserkanal, Institut für Aerodynamik und Gasdynamik, Universität Stuttgart, Gutachten im Auftrage des Arbeitbereiches Baustatik und Stahlbau, TUHH, 2002

12 12 L. Thiesemann, D. Bergmann, U. Starossek: Numerical and experimental evaluation of flutter derivatives by means of the forced vibration method, 11th ICWE, Lubbock, Texas, M. Belloli et al.: Forced and free motion aeroelastic tests on a new concept dynamometric section model of the Messina suspension bridge, 11th ICWE, Lubbock, Texas, Sarkar, P.P: New identification methods applied to the response of flexible bridges to wind, PhD thesis, The John Hopkins University, Batimore, Md., 1992 Abbildung 10: Flatterderivativa für den Querschnitt B ( Großer Belt Brücke, Dänemark) und den Querschnitt C ( Chongquing Brücke, China), experimentelle Flatterderivativa = gefülltes Symbol, numerische Flatterderivativa = leeres Symbol