Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe

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1 Fall 3: Mehrere Kapazitätsengpässe ei Vorliegen mehrerer Engpässe ist zunächst zu prüfen, ob ein Engpass die anderen Engpässe dominiert. Ist dies der Fall, reduziert sich das Optimierungsproblem auf den Fall mit einem Engpass. nderenfalls ist es nicht möglich, eine einfache Rangordnung der Produkte nach dem relativen Deckungsbeitrag zu bilden. Um das optimale Produktionsprogramm zu finden, müssen die eziehungen zwischen den Engpassbelastungen, den Deckungsbeiträgen und den Kapazitäten gleichzeitig betrachtet werden. Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms simultan anhand eines linearen Optimierungsmodells Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 88 eispiel (/4) Ein Unternehmen stellt die Produkte und in zwei Fertigungsstufen her. In der ersten Fertigungsstufe stehen für beide Produkte maximal 3.5 Stunden, in der zweiten Fertigungsstufe maximal. Stunden zur Verfügung. Kapazitätsbeanspruchung der Produkte: Stufe Produkt 5 Produkt Die maximale bsatzmenge im Planungszeitraum beträgt bei Produkt 5 Stück und bei Produkt Stück. Die erwarteten bsatzpreise sind 4 bzw.. Die variablen Kosten pro Stück belaufen sich bei beiden Produkten auf jeweils. Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 89

2 eispiel (/4) Produkt Preis Variable Kosten D absolut D relativ, Stufe Rangfolge, Stufe D relativ, Stufe Rangfolge, Stufe 4 4,8 5 5 ei isolierter etrachtung der beiden Engpässe ergibt sich keine eindeutige Präferenzfolge, so dass keiner der Engpässe den anderen dominiert. Die Zielfunktion D = x x + x x muss unter simultaner etrachtung beider Engpässe maximiert werden. Im Folgenden wird zunächst eine grafische Lösung präsentiert. Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 9 eispiel (3/4) Restriktionen: x 5 x 5 x x + x x 3.5 x x + x x. chsenschnittpunkte: 5 x x + x = 3.5 x = 3.5/5 = 4 5 x + x x = 3.5 x = 3.5/ = 75 x x + x =. x =./ = x + x x =. x =./ = Isodeckungsbeitragslinie: D = x x + x x x = D x x x = D/, x x Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 9

3 eispiel (4/4) x 5 Optimales Produktionsprogramm: x = Stk. x = 5 Stk. D = x + x 5 = 7. 5 Restriktionen zulässiger Lösungsraum Isodeckungsbeitragslinien 5 5 x Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 9 Simplexverfahren als Lösungsmethode (/) Zielfunktion: D = d x max Nebenbedingungen: n i= mit n i i i= b x j Kapazitätsrestriktionen für i =,..., m ji i j x x i (Nichtnegativitätsbedingung, Höchstmengen) i i x i d i b ji j i x = Produktionsmenge des Produktes i = Deckungsbeitrag des Produktes i = Produktionskoeffizient = Kapazität des Fertigungsaggregats j = bsatzobergrenze des Produktes i Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 93

4 Simplexverfahren als Lösungsmethode (/) Umwandlung der Ungleichungen in Gleichungen durch Einführung von Schlupfvariablen, zum eispiel: x x x + s = x i i i i n n b x b x + s = ji i j ji i j i= i= mit: s k wobei k =,, K und K = nzahl der Restriktionen Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 94 blaufschema Simplexverfahren estimmung der Spalte mit kleinstem Zielkoeffizienten (Pivotspalte) Welche Restriktion greift zuerst (wenn überhaupt)? (Pivotzeile) keine Es existiert keine optimale Lösung! ja Existiert mindestens eine Variable mit negativem Zielkoeffizienten? estimmung des nächsten Tableaus durch Zeilenaddition bzw. -subtraktion nein Optimale Lösung liegt vor! Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 95

5 eispiel (/3) usgangsdaten Produktart absoluter Deckungsbeitrag Kapazitätsbeanspruchung Maschine Kapazitätsbeanspruchung Maschine bsatzhöchstmenge 5 5 Gesamtkapazität Maschine Gesamtkapazität Maschine 3.5. Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 96 eispiel (/3) Maximierung der Zielfunktion: max D = x + x Nebenbedingungen: () 5x + x 3.5 (Kapazitätsrestriktion) () x + x. (Kapazitätsrestriktion) (3) x 5 (bsatzrestriktion) (4) x (bsatzrestriktion) (5) x, x (Nichtnegativitätsbedingung) Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 97

6 eispiel (3/3) Umwandlung der Ungleichungen in ein Gleichungssystem: 5x + x + s = 3.5 x + x + s =. x + s = 5 3 x + s = 4 x + x D = Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 98 usgangstableau (Erstes Simplextableau) asis x x s s Lösung s s. 5 D - - Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 99

7 Zweites Simplextableau asis x x s s Lösung x,8,4 4 s -,4 6 -,8 -,4 D -4 4,8 68 Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 Optimaltableau asis x x s s Lösung x,67 -,67 x -,33,83 5 -,67,67 5 -,33 -,83 5 D 4,67,33 7. Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9

8 Übungsaufgabe 8 Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm und den entsprechenden Deckungsbeitrag grafisch! Zielfunktion: max D = x x + x X Nebenbedingungen: X X 8 x x + 4 x x 3 6 x x + 5 x x 7.6 bsatzrestriktionen Kapazitätsrestriktionen: 3 kg Material bzw. 7.6 ZE Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 Übungsaufgabe 9 Ein Unternehmen stellt zwei Produkte her, die die Fertigungsstufen und durchlaufen. Die Fertigungsstufe hat eine Kapazität von 8 Std./Monat und die Fertigungsstufe weist eine Kapazität von Std./Monat auf. Die bsatzhöchstgrenze des Produktes beträgt 5 ME/Monat. Es liegen folgende Daten vor: Produkt Preis ( /ME) var. Kosten ( /ME) Produktionskoeffizient estimmen Sie das optimale Produktionsprogramm, welches zu einer Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags führt mit Hilfe des Simplexverfahrens! Prof. Dr. Nils Crasselt Grundlagen und operatives Controlling Wintersemester 8/9 3