Planung von Zuverlässigkeitstests mit weitreichender Berücksichtigung von Vorkenntnissen

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1 UNI STUTTGART Berichte aus dem Institut für Maschinenelemente Antriestechnik CAD Dichtungen Zuverlässigkeit Anna Krolo Planung von Zuverlässigkeitstests mit weitreichender Berücksichtigung von Vorkenntnissen Bericht Nr.

2 D 93 ISBN Institut für Maschinenelemente Antriestechnik CAD Dichtungen Zuverlässigkeit Universität Stuttgart Pfaffenwaldring Stuttgart Tel. (7) Prof. Dr.-Ing. B. Bertsche, Ordinarius und Direktor

3 Planung von Zuverlässigkeitstests mit weitreichender Berücksichtigung von Vorkenntnissen Von der Fakultät Maschinenau der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte Ahandlung Vorgelegt von Dipl.-Ing. Anna Krolo georen in Bruchsal Haupterichter: Miterichter: Prof. Dr.-Ing. B. Bertsche Prof.Dr.rer.nat.U.Jensen Tag der Einreichung: Tag der mündlichen Prüfung: Institut für Maschinenelemente 24

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5 Meinen Eltern gewidmet

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7 Vorwort Die vorliegende Areit entstand während meiner Tätigkeit als Wissenschaftliche Mitareiterin am Institut für Maschinenelemente (IMA) der Universität Stuttgart. Mein esonderer Dank gilt meinem Doktorvater Herrn Prof. Dr.-Ing. Bernd Bertsche, Leiter des Instituts für Maschinenelemente, für die Ermöglichung der Areit, die ständige Förderung der Areit und das mir stets entgegengerachte Vertrauen. Herrn Prof. Dr. rer. nat. Uwe Jensen, Institut für Angewandte Mathematik und Statistik der Universität Hohenheim, danke ich für die Üernahme des Miterichts, die kritische Durchsicht der Areit und die konstruktiven Hinweise. Bei allen aktiven und ehemaligen Mitgliedern des Zuv-Teams edanke ich mich recht herzlich für das menschlich äußerst angenehme und fachlich produktive Areitsklima. Insesondere gilt mein Dank allen Kolleginnen und Kollegen, Studien- und Diplomareitern sowie wissenschaftlichen Hilfskräften, die zum Gelingen dieser Areit eigetragen haen. Allen Mitareiterinnen und Mitareitern des Instituts danke ich für die sehr kollegiale und freundschaftliche Zusammenareit. Stuttgart, im Mai 24 Anna Krolo

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9 i Inhalt Bezeichnungen und Formelzeichen...iv Astract...ix Einleitung.... Prolemstellung Ziele der Areit Aufau der Areit Stand der Forschung und Technik Begriffe und Definitionen Begriffe und Definitionen in der Zuverlässigkeitstechnik Begriffe und Definitionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie Statistische Verteilungen Hypergeometrische Verteilung Binomialverteilung Poissonverteilung Betaverteilung Gleichverteilung Exponentialverteilung Weiullverteilung Berücksichtigung statistischer Streuereiche Der Vertrauensereich Aussagewahrscheinlichkeit in Ahängigkeit von der Zufallsgröße Nachweis von Zuverlässigkeitsvorgaen durch Leensdauertests Planung von Tests für den Zuverlässigkeitsnachweis Leensdauertests mit aweichender Prüfzeit Zeitraffende Leensdauertests Diskrepanzen ei den Ansätzen zur Testplanung Verfahren zur Berücksichtigung von Vorkenntnissen Anwendung der Bayes-Formel eim Zuverlässigkeitsnachweis Gleichverteilung als Vorinformation Betaverteilung als Vorinformation Verfahren nach Beyer/Lauster Prüfteile mit konstanter Ausfallrate Prüfteile mit zeitahängiger Ausfallrate Verfahren nach Kleyner et al Verfahren nach Savchuk/Martz Verfahren nach Kececioglu...5

10 ii 3.8 Verfahren nach Guida/Pulcini Zusammenhang und Vergleich der Verfahren Bestimmung der a priori-verteilung Ermittlung aus vorangegangenen Versuchen Versuche mit keinen oder wenigen Ausfällen Versuche mit ausreichend vielen Ausfällen Ermittlung aus dem Ausfallverhalten eines ähnlichen Produkts Gesamtetrachtung der gegeenen Ausfalldaten Unterteilung der gegeenen Ausfalldaten in Einzelstichproen Ermittlung aus Berechnungsergenissen Entwicklung eines neuen Verfahrens Beschreiung der Vorkenntnisse anhand einer Betaverteilung Einführung des Transformationsfaktors Vorgehensweise zur Berücksichtigung von Berechnungsergenissen Aweichende Randedingungen eim Zuverlässigkeitstest Berücksichtigung verschiedener Testzeiten und Raffungsfaktoren Berücksichtigung der Ausfallzeiten schadhafter Teile Berechnung der a posteriori-dichte Testplanung nach der Binomial- und der Betaverteilung im Vergleich Intervallangae für den notwendigen Stichproenumfang Möglichkeiten zur Bestimmung des Transformationsfaktors Transformationsfaktor ei ähnlichen Produkten oder Vorgängermodellen Bewertung des Produkts nach Topfunktionen Bestimmung der Üertragarkeit von Topfunktionen Gewichtung der Topfunktionen Bestimmung des Transformationsfaktors Transformationsfaktor ei Vorversuchen Einflüsse von Umweltedingungen auf die Zuverlässigkeit Bewertung der Umweltedingungen Bestimmung des Transformationsfaktors Verifizierung des Transformationsfaktors Verifizierung des Transformationsfaktors durch Tests Verifizierung des Transformationsfaktors durch Feldeoachtung Beispielhafte Anwendung Synthetisches Beispiel Analyse eines fiktiven Vorgängermodells Vorversuche am fiktiven Produkt unter erhöhter Beanspruchung Betriesfestigkeitsrechnung für das fiktive Produkt...95

11 iii 7.2 Testplanung unter Berücksichtigung der Vorkenntnisse Testplanung für eine Prüfung unter normalen Betriesedingungen Testplanung für eine Prüfung mit üerhöhter Beanspruchung Zusammenfassung der Ergenisse zur Testplanung Zusammenfassung und Auslick... Literatur...2

12 iv Bezeichnungen und Formelzeichen a A A F Apot Averif A F p verif Parameter der Betaverteilung ei Guida/Pulcini, untere Intervallgrenze der stetigen Gleichverteilung Auftretenswahrscheinlichkeit, Parameter der Betaverteilung Parameter der Betaverteilung aus Feldeoachtung für Nachweis des Transformationsfaktors möglicher Ausfall Parameter der Betaverteilung aus Versuch für Nachweis des Transformationsfaktors Parameter der a priori-betaverteilung Formparameter der Weiullverteilung, Parameter der Betaverteilung ei Guida/Pulcini, oere Intervallgrenze der stetigen Gleichverteilung Formparameter der Weiullverteilung aus Feldeoachtung Formparameter der Weiullverteilung ei Prüfedingungen Formparameter der Weiullverteilung aus Nachweistest, 2 Grenzwerte für Formparameter ei Guida/Pulcini B Bedeutung, Parameter der Betaverteilung BF Parameter der Betaverteilung aus Feldeoachtung für Nachweis des Transformationsfaktors Bp γ Leensdauer ei einer Ausfallwahrscheinlichkeit von γ% unter Prüfedingungen Bverif Parameter der Betaverteilung aus Versuch für Nachweis des Transformationsfaktors B Parameter der a priori-betaverteilung B γ Leensdauer ei einer Ausfallwahrscheinlichkeit von γ% c Parameter der Betaverteilung ei Guida/Pulcini d Parameter der Betaverteilung ei Guida/Pulcini, Anzahl Einheiten in der Grundgesamtheit mit der Eigenschaft E E, E, E Entdeckungswahrscheinlichkeit, Ereignis k x E komplementäres Ereignis E () Erwartungswert von f () Dichtefunktion von, Funktion von f ( ) f() t edingte Dichte von Ausfalldichte

13 v F () Verteilungsfunktion von Fo Ft () F gt ( j ) gt ( ) i, i IT ( j ) j k K prüf l L v m m n ner nverif n n er N p pt ( j ) pt ( ) maximal zulässige Ausfallwahrscheinlichkeit Ausfallwahrscheinlichkeit Ausfallwahrscheinlichkeit des Vorgängers ei Guida/Pulcini Gewichtung einer Topfunktion Gewichtungsvektor Rangzahl, Zählvariale Indikator einer Topfunktion Zählvariale Wöhlerlinienexponent, Anzahl Einzelstichproen, Anzahl Topfunktionen, Zählvariale Prüfkriterium Anzahl möglicher Fehlerursachen Leensdauerverhältnis Anzahl Teilstichproen, Anzahl möglicher Ausfälle Anzahl möglicher Ausfälle eim Vorgänger Stichproenumfang, Anzahl der Merkmalswerte Stichproenumfang ei Berücksichtigung der Berechnung notwendiger Stichproenumfang für Nachweis des Transformationsfaktors durch Tests Stichproenumfang im Vorversuch Stichproenreduktion durch Berechnung Grundgesamtheit Anzahl der a priori-verteilungen, Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E, Zählvariale Üertragarkeit einer Topfunktion Üertragarkeitsvektor P () Wahrscheinlichkeit von P ( ) PA PAs Pauf PA q r edingte Wahrscheinlichkeit von Aussagewahrscheinlichkeit geforderte Aussagewahrscheinlichkeit Auftretenswahrscheinlichkeit einer Umweltedingung a priori-aussagewahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses E Raffungsfaktor rb γ Raffungsfaktor zgl. der Leensdauer B γ

14 vi rt Raffungsfaktor zgl. der ausfallfreien Zeit t rt Raffungsfaktor zgl. der char. Leensdauer T Rer () t erechnete Zuverlässigkeit Rmed Rpmed Rt () Rt ( s ) Ru R R RF RPZ RPZ Median der Zuverlässigkeit Median der Zuverlässigkeit unter Prüfedingungen Zuverlässigkeit geforderte Zuverlässigkeit Mindestzuverlässigkeit a priori-zuverlässigkeit ei Beyer/Lauster, Zuverlässigkeit des Vorgängers ei Guida/Pulcini Mittelwert der Zuverlässigkeit Mittelwert der Zuverlässigkeit aus Feldeoachtung Risikoprioritätszahl Risikoprioritätszahl des Vorgängers s 2 () Streuung von 2 sf S t t a ter t p t p ts t tf tverif Streuung der Zuverlässigkeit aus Feldeoachtung sicheres Ereignis Zeit Ausfallzeit erechnete Leensdauer Prüfzeit Prüfzeit im Vorversuch geforderte Leensdauer ausfallfreie Zeit der Weiullverteilung ausfallfreie Zeit der Weiullverteilung aus Feldeoachtung ausfallfreie Zeit der Weiullverteilung aus Nachweistest T charakteristische Leensdauer der Weiullverteilung, Topfunktion, Vektortransformation Ted Testedingung char. Leensdauer der Weiullverteilung aus Feldeoachtung TF Tp Tverif uu, med U pot UW char. Leensdauer der Weiullverteilung ei Prüfedingungen char. Leensdauer der Weiullverteilung aus Nachweistest Variale für Ausfallwahrscheinlichkeit mögliche Fehlerursache Umweltedingung

15 vii Var () Varianz von w Gewichtungsfaktor ei Savchuk/Martz X Realisierung der Zufallsgröße x Anzahl Ausfälle, Anzahl Einheiten mit Eigenschaft E in der Stichproe, Variale der Zufallsgröße x, x Intervallgrenze o xq x x β () Γ () δ φ φp φv u ϕ( u) λλ, ( t) λmax λ Quantil Anzahl Ausfälle im Vorversuch arithmetischer Mittelwert Betafunktion von Gammafunktion von Veresserungsfaktor (engl.: improvement factor) ei Guida/Pulcini, Vertrauensgrad (engl.: degree of elief) ei Kececioglu Transformationsfaktor Transformationsfaktor zgl. Vorgängerprodukt Transformationsfaktor zgl. Vorversuch Dichtefunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit Ausfallrate maximal zulässige Ausfallrate ei Beyer/Lauster a priori-ausfallrate ei Beyer/Lauster µ Parameter der Poissonverteilung ρ τ Ω Wissensfaktor (engl.: knowledge factor) ei Kleyner et al. Leensdauer Ereignisraum leere Menge Durchschnitt (Und-Verknüpfung) Vereinigung (Oder-Verknüpfung) konstant Element von

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17 ix Astract Planning of Reliaility Tests Considering Prior Information As technology advances, customers continually make high demands on a product performance and quality. Therefore, the companies are exposed to an increasing competition among manufacturers. An ever decreasing development time and increasing complexity of technical products make it increasingly difficult to maintain market position. Shorter development times contrasted with customer demands for higher reliaility and product life require a carefully thought-out and optimised product development process. This also pertains to the product test program. The higher the reliaility requirements on a product are, the more extensive is the test for proving the reliaility targets. The classical theory to determine sampling plans yields a large sample-size necessary to demonstrate the product reliaility. Aove all, the sample-size increases tremendously, if failures have to e taken into account. To use all information aout the product given through the development process the application of Bayes procedure is recommended. The reliaility demonstration test can e optimally planned regarding sample-size and test duration, if prior information from product development is utilised. Information aout the product lifetime and reliaility is often availale in early stages from fatigue damage calculations, preceding tests or the analysis of warranty data of a former product which can e treated similarly with regard to its failure ehaviour. To consider such information in the planning of susequent reliaility tests, it is necessary to transform the knowledge into a prior distriution. In this work it was suggested how to generate a prior distriution from fatigue damage calculations, preceding tests or the analysis of warranty data of a former product. The crucial point of this work is the development of a new method to consider prior knowledge within the planning of reliaility tests. When prior information is used, there is always the uncertainty to what extent the information aout the reliaility is valid for the actual product conditions. It is ovious that the information of a former product or preceding tests may not e totally transferale to the current product concerning reliaility. Therefore, the so-called "transformation factor" was introduced which artificially reduces the quality level of prior reliaility information. Additionally, eginnings of a solution for the quantification and verification of the transformation factor are shown.

18 x In a synthetic example a reliaility demonstration test was planned y using calculation results, results of a preceding test and the knowledge aout the failure ehaviour of a former product. It was shown that the sample-size necessary to demonstrate the reliaility requirements decreases with higher transformation factors. Compared with the classical method it was possile to reduce the sample-size. Further investigations should focus on additional methods for the quantification of the transformation factor. In this context the application of quality management methods is feasile. Furthermore, the practical verification of the procedure is necessary. Generally, previous knowledge is availale for components of a system. However, the reliaility is to e proven for the entire system. The prior information that is given y the components can e considered within the planning of a reliaility test for the system. The ojective for future work is to develop a reliaility test procedure for systems, considering prior information aout the several system components. The planning of the test regarding cost criteria would complete the investigations.

19 Einleitung Unternehmen der Maschinenau- und Fahrzeugindustrie sowie deren Zulieferer sind heutzutage mehr denn je verschärften Randedingungen unterworfen. Der Produktentstehungsprozeß ist geprägt von kürzeren Entwicklungszeiten, verringerten Entwicklungskosten, minimierten Fehlerkosten sowie gestiegener Produkthaftung. Gleichzeitig nehmen Komplexität und Funktionalität der technischen Erzeugnisse zu. Nicht zuletzt steht der Kunde mit seinen hohen Forderungen an Qualität und Zuverlässigkeit []. All diese Aspekte müssen miteinander in Einklang geracht werden, um zuverlässige Produkte auf den Markt zu ringen. Qualität ist insesondere für kleine und mittlere Unternehmen zu einem Üerleensfaktor geworden [2]. Aer auch große Konzerne haen unter Imageverlusten zu leiden, wenn Qualitätsmängel pulik werden. Erweist sich eim Kunden ein Produkt als unzuverlässig, wird er dieses mit großer Wahrscheinlichkeit fortan meiden. Hinzu kommt, daß er seinen Unmut anderen potentiellen Käufern mitteilt. Ein Rückgang des Käufervolumens ist vorprogrammiert [2]. Gerade der Automoilereich hat mit Qualitätsmängeln zu kämpfen, wie eine Statistik des Kraftfahrtundesamts zeigt, Bild.. Daei ist in den letzten zehn Jahren ein drastischer Anstieg der Rückrufaktionen aufgrund sicherheitsrelevanter Mängel zu verzeichnen. Anzahl Rückrufe Bild.: Statistik des Kraftfahrtundesamts üer die Anzahl der Rückrufaktionen wegen sicherheitsrelevanter Mängel an Fahrzeugen [3]

20 2 Einleitung. Prolemstellung Die Sicherstellung der Produktzuverlässigkeit ist durch ausgereifte Konstruktionsmethoden allein nicht gewährleistet. Es müssen vielmehr spezielle analytische Zuverlässigkeitsmethoden zum Einsatz kommen []. Owohl es in der Industrie oft an der durchgängigen Anwendung der vorhandenen Methoden mangelt, werden diese vor allem in der Entwicklungs- und Verifikationsphase eingesetzt [4]. Der Fokus der vorliegenden Areit richtet sich auf die Verifikationsphase. Den Aschluß vor Serieneinführung eines Erzeugnisses ildet dessen Erproung, die die tatsächlichen Feldedingungen möglichst gut ailden und somit eine statistisch agesicherte Aussage zur Zuverlässigkeit im Kundenetrie liefern soll. Eine gründliche Planung des Testalaufs ist unumgänglich. Die Planung und Durchführung von Leensdauertests stützt sich auf die an das Produkt gestellten Anforderungen zgl. Zuverlässigkeit und der damit verundenen Aussagesicherheit. Ohne diese Vorgaen lassen sich Versuche, zumindest vom statistischen Gesichtspunkt her gesehen, nicht durchführen. Die Forderung nach einer gewissen Zuverlässigkeit ei einer definierten Leensdauer reicht allein nicht aus. Aufgrund dessen, daß es sich ei der Zuverlässigkeit um eine Zufallsgröße handelt, ist die Festlegung einer estimmten Aussagesicherheit unadingar. Der klassische Zuverlässigkeitsnachweis erfolgt nach der Binomialverteilung. In der Regel wird von einem Testalauf ohne auftretende Ausfälle ausgegangen, einem sog. Success Run Test [5], [6]. Danach läßt sich unter Berücksichtigung der geforderten Zuverlässigkeit und Aussagewahrscheinlichkeit der erforderliche Stichproenumfang ermitteln. Dieser ist je nach Höhe der Zuverlässigkeitsanforderungen in der Praxis oft nicht realisierar. Beispielsweise edarf es einer Prüfung von 22 Teilen, um eine Zuverlässigkeit von 9% mit einer Aussagesicherheit von 9% azusichern, woei ein zuverlässigkeitsrelevanter Ausfall nicht auftreten darf. Eine Möglichkeit zur Reduktion des Versuchsaufwands esteht in der Nutzung von Vorinformationen. Diese werden mit den aktuellen Testedingungen verknüpft, woei als mathematisches Hilfsmittel die Bayes-Formel dient [7], [8]. Es ergit sich eine genauere Schätzung für das aktuelle Produkt. Die Bayessche Statistik geht von identischen Gegeenheiten aus, d.h. die Vorkenntnisse und die aktuellen Testedingungen etreffen genau die sele Grundgesamtheit. In der Praxis wird meist vernachlässigt, daß Vorkenntnisse und aktuelle Testedingungen unterschiedlichen Grundgesamtheiten entnommen sind, eispielsweise wenn Vorgängermodelle als Referenz verwendet werden. Aufgrund des reduzierten Stichproenumfangs esteht die Gefahr, daß die Zuverlässigkeit des Produkts für reale Betriesedingungen im Feldeinsatz unzureichend agesichert ist. Dennoch scheint die Verwendung von Vorkenntnissen gerecht-

21 .2 Ziele der Areit 3 fertigt zu sein. Selten handelt es sich ei Produkten um Neuentwicklungen. Meist wird auf Bewährtes zurückgegriffen. So liegt der Anteil an Neuentwicklungen ei nur 5%. Produktänderungen und -anpassungen werden zu 65% durchgeführt, Weiterentwicklungen zu lediglich 2% [9]..2 Ziele der Areit Das Hauptziel dieser Areit ist die Entwicklung einer neuen Methode zur Planung von Zuverlässigkeitstests, die allgemein anwendar ist und estehende Vorinformationen üer die Zuverlässigkeit des Produkts ei der Planung von Tests erücksichtigt. Daei soll es möglich sein, Vorinformationen aus Berechnungen, vorangegangenen Versuchen und konstruktiv ähnlichen Produkten azuleiten und in die Testplanung einzueziehen. Mittels eines Transformationsfaktors soll in Betracht gezogen werden, daß ereits vorhandene Informationen zur Zuverlässigkeit nur mit Einschränkungen auf eine neue Situation üertragar sind. In diesem Zusammenhang wird die Vorgehensweise zur Schätzung und nachträglichen Verifikation des Transformationsfaktors vorgestellt. Bei der Testdurchführung soll erücksichtigt werden, daß die Prüfteile unterschiedlichen Testedingungen unterzogen werden können. Dies einhaltet die Einindung unterschiedlicher Testzeiten und Raffungsfaktoren. Des weiteren sollen Ausfallzeiten der Prüfteile eachtet werden..3 Aufau der Areit Zur Lösungsfindung ergeen sich die in Bild.2 enthaltenen Areitsschwerpunkte. Im Kapitel Stand der Forschung und Technik werden die grundlegenden Begriffe und Definitionen aus der Zuverlässigkeitstechnik und Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt, sowie einige, im Rahmen der hier eareiteten Thematik, wichtige Verteilungen. Des weiteren wird auf den Vertrauensereich und die Aussagewahrscheinlichkeit eingegangen und anschließend der statistische Nachweis von Zuverlässigkeitsvorgaen eschrieen. Das Kapitel Verfahren zur Berücksichtigung von Vorkenntnissen zeigt einige aus der Literatur ekannte Verfahren auf, die ei der Planung von Tests Vorkenntnisse erücksichtigen. Die Verfahren werden vorgestellt und erweitert, so daß eine von der Leensdauer aweichende Prüfzeit eenso erücksichtigt werden kann wie eine zeitraffende Leensdauerprüfung. Um Vorkenntnisse in der Planung von Tests erücksichtigen zu können, ist es erforderlich, diese mathematisch anhand einer Dichtefunktion zu eschreien. Im Kapitel Bestimmung der a priori-verteilung wird erläutert, wie Vorkenntnisse aus Vorver-

22 4 Einleitung suchen, dem Ausfallverhalten ähnlicher Produkte sowie Betriesfestigkeitsrechnungen in Form einer a priori-dichtefunktion definiert werden können. Kapitel 2 Stand der Forschung und Technik x n n i PA = R( t) R( t) i i= ( ) i Kapitel 3 Bayes-asierte Verfahren Kapitel 4 a priori-dichte Kapitel 5 neu entwickeltes Verfahren Kapitel 6 Transformationsfaktor φ Stichproenumfang n Kapitel 7 eispielhafte Anwendung Transformationsfaktor (Test) φ2: φ2 = φ2 =,2 φ2 =,4 φ2 =,8 φ2 =,6 φ2 =,,2,3,4,5,6,7,8,9 Transformationsfaktor (Vorgänger) φ Bild.2: Aufau der Areit

23 .3 Aufau der Areit 5 Die in dieser Areit vorgestellten Verfahren zur Berücksichtigung von Vorkenntnissen sind zum Teil auf estimmte Arten von Vorkenntnissen eschränkt oder lassen sich in einigen Fällen nur mit aufwendigen numerischen Methoden anwenden. Im Kapitel Entwicklung eines neuen Verfahrens wird eine neue Vorgehensweise vorgestellt, die uneingeschränkt anwendar und mit relativ geringem Rechenaufwand verunden ist. Da ei der Nutzung von Vorkenntnissen Unsicherheiten zgl. ihrer Üertragarkeit auf aktuelle Betriesedingungen estehen, wird der sog. Transformationsfaktor eingeführt. Im Kapitel Möglichkeiten zur Bestimmung des Transformationsfaktors wird eine methodische Vorgehensweise zur Schätzung dieses Faktors vorgestellt. Das Kapitel Beispielhafte Anwendung stellt die Anwendarkeit des neu entwickelten Verfahrens an einem synthetischen Beispiel dar und schließt die Betrachtungen a.

24 2 Stand der Forschung und Technik Im folgenden Kapitel werden die wichtigsten Begriffe und Definitionen aus der Zuverlässigkeitstechnik und Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt, sowie einige Verteilungen, die für die Thematik der hier vorliegenden Areit grundlegend sind. Der Begriff der Aussagewahrscheinlichkeit wird ausführlich ehandelt. Die Behandlung des Nachweises von Zuverlässigkeitsvorgaen durch Leensdauertests rundet dieses Kapitel a. 2. Begriffe und Definitionen Zunächst werden die gängigen Begriffe und Definitionen erläutert, angelehnt an die Standardwerke [5], []-[9]. 2.. Begriffe und Definitionen in der Zuverlässigkeitstechnik Ausfallwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ausfalls im Zeitintervall [, t] wirdals Ausfallwahrscheinlichkeit ezeichnet. Allgemein ist die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t), auch Ausfallverteilungsfunktion, gegeen als: Ft () = P( τ t). (2.) Daei entspricht P(τ t) der Wahrscheinlichkeit, daß die Leensdauer τ einer Betrachtungseinheit die vorgegeene Zeit t unterschreitet. In der Zuverlässigkeitstechnik gilt für die Zufallsgröße τ. Die Verteilungsfunktion steigt vom Wert F() = is zum Wert F( ) = monoton an. Zuverlässigkeit Das Komplement der Ausfallwahrscheinlichkeit ist die Zuverlässigkeit R(t). Sie ist gegeen als die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zufallsgröße τ einer Betrachtungseinheit den Wert t üerschreitet, d.h. die Einheit im Zeitintervall [, t] nicht ausfällt: Rt () = P( τ> t) = Ft (). (2.2) Die Zuverlässigkeit R(t) entspricht einer monoton fallenden Funktion.

25 2. Begriffe und Definitionen 7 Ausfallwahrscheinlichkeitsdichte Die Ausfallwahrscheinlichkeitsdichte f(t) entspricht der Aleitung der Ausfallverteilungsfunktion und git die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls zur Zeit t an, ezogen auf ein kleines Zeitintervall dt: d Ft ( ) d P( τ t) f() t = =. (2.3) dt dt Ausfallrate Die Ausfallrate λ(t) wird in der Zuverlässigkeitstechnik häufig verwendet und eschreit die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls in einem Zeitintervall dt, ezogen auf die zum Zeitpunkt t intakten Einheiten. Die Ausfallrate ist somit gegeen in Ahängigkeit von der Ausfalldichte und der Zuverlässigkeit: f() t λ () t =. (2.4) Rt () Quantil Unter dem Quantil x q ist der Wert einer Zufallsgröße zu verstehen, der mit der vorgegeenen Wahrscheinlichkeit q von der Zufallsgröße X unterschritten wird: PX ( x) = q, q. (2.5) q Für q =,5 ist das Quantil x,5 als Median ekannt. Ein in der Praxis gängiges Quantil ist die B γ -Leensdauer, is zu deren Erreichen γ% aller Einheiten ausgefallen sind. Die B γ -Leensdauer erechnet sich aus der Umkehrfunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit: B F ( /) γ = γ. (2.6) Erwartungswert Der Erwartungswert entspricht dem Mittelwert einer Zufallsgröße. Bei stetigen Zufallsgrößen erechnet sich der Erwartungswert allgemein durch folgenden Ausdruck: EX ( ) = xf( x)dx. (2.7) Der Erwartungswert für diskrete Zufallsgrößen ist definiert als: EX ( ) = xf( x). i i Arithmetischer Mittelwert i Der empirische arithmetische Mittelwert wird aus den Merkmalswerten x, x 2,..., x n folgendermaßen erechnet: (2.8)

26 8 2 Stand der Forschung und Technik x n xi n i = =. (2.9) Varianz Die Varianz git an, wie die Zufallsgröße X um ihren Erwartungswert E(X) streut. Sie wird auch als zweites zentrales Moment ezeichnet und ist ei stetigen Zufallsgrößen allgemein definiert durch: ( ) 2 Var( X ) = x E( X ) f ( x)dx und ei diskreten Zufallsgrößen durch: (2.) ( ) 2 i i. (2.) Var( X ) = x E( X ) f ( x ) i Für die Varianz empirischer Merkmalswerte ist der Begriff der Streuung geräuchlicher. Es gilt: n 2 s ( X) = ( x ) 2 i x. (2.2) n i = 2..2 Begriffe und Definitionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie Ereignis und Ereignisraum Im Gegensatz zu determinierten Vorgängen, deren Ergenisse vorher erechnet werden können, stehen Vorgänge, deren Ergenisse unestimmt sind, da sie von zufälligen Faktoren ahängen. Ein Zufallsexperiment, wie etwa das Werfen einer Münze oder das Ziehen von Kugeln aus einer Urne, entspricht einem solchen Vorgang mit nicht vorhersagarem Ergenis. Die möglichen Ergenisse eines Zufallsexperiments sind zufällige Ereignisse, deren Menge den sogenannten Ereignisraum oder Stichproenraum Ω ildet. Eine Teilmenge des Ereignisraums Ω heißt Ereignis E. Teilmengen, die genau ein Element enthalten, werden als Elementarereignisse ezeichnet. Der gesamte Ereignisraum wird eenfalls als Ereignis aufgefaßt und heißt das sichere Ereignis S mit P(S)=. DaszuE entgegengesetzte Ereignis E wird als komplementäres Ereignis zgl. S oder logisches Komplement ezeichnet. Verknüpfungen von Ereignissen Mehrere Ereignisse E i, i =()n eines Ereignisraums Ω können auf verschiedene Arten miteinander verknüpft sein. Tritt mindestens ein Ereignis E k ein, handelt es sich um die Oder-Verknüpfung, die als Vereinigung (engl. union) aller Ereignisse E i ezeichnet wird.

27 2. Begriffe und Definitionen 9 Bei Eintreten von Elementarereignissen, die in allen Ereignissen enthalten sind, spricht man von einer Und-Verknüpfung zw. dem Durchschnitt (engl. intersection) aller Ereignisse E i. Im Fall, daß die Ereignisse keine Elementarereignisse gemeinsam haen, schließen sich die Ereignisse gegenseitig aus. Die Ereignisse heißen disjunkt. Der Durchschnitt liefert dann das unmögliche Ereignis. Die Zusammenhänge sind in Bild 2. eispielhaft für zwei Ereignisse E und E 2 anhand von Venn-Diagrammen dargestellt. Komplement E zu E Vereinigung E E 2 E Ω Ω E E E2 Durchschnitt E E 2 Disjunktheit E E = 2 Ω Ω E E2 E E2 Bild 2.: Zusammenhänge anhand von Venn-Diagrammen Bedingte Wahrscheinlichkeit Gegeen sei ein Ereignis E, das einer Teilmenge des gesamten Ereignisraums Ω entspricht. Das Ereignis E 2 sei eenfalls eine Teilmenge des Ereignisraums Ω. Wennsich das Interesse eispielsweise lediglich auf das Ereignis E eschränkt und nicht dem gesamten Ereignisraum Ω gilt, ergit sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E 2 als sog. edingte Wahrscheinlichkeit: PE ( E2) PE ( 2 E) =, PE ( ). (2.3) PE ( ) Die edingte Wahrscheinlichkeit P(E 2 E ) entspricht der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E 2 unter der Voraussetzung, daß das Ereignis E eenfalls eintritt zw. gilt. Analog ist die edingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisse E gegeen durch: PE ( E2) PE ( E2) =, PE ( 2). (2.4) PE ( ) 2

28 2 Stand der Forschung und Technik Multiplikationssatz Aus Gl. (2.3) und (2.4) ergit sich durch einfaches Umformen der Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung für das gleichzeitige Eintreffen zweier Ereignisse E und E 2, das einer Und-Verknüpfung entspricht: PE ( E) = PE ( ) PE ( E) = PE ( ) PE ( E) = PE ( E). (2.5) Allgemein lautet der Multiplikationssatz für das gleichzeitige Eintreffen elieiger Ereignisse E, E 2,..., E n : PE ( E2... En) (2.6) = PE ( ) PE ( 2 E) PE ( 3 E E2)... PE ( n E E2... En ). Totale Wahrscheinlichkeit Es sei E ein Ereignis des gesamten Ereignisraums Ω, der zugleich dem sicheren Ereignis S entspricht. Die Ereignisse E i ilden eine disjunkte Zerlegung von S. Folglich ilden die Durchschnitte E i E eine disjunkte Zerlegung von E, Bild2.2.DieWahrscheinlichkeit des Ereignisses E ergit sich dann zu: PE ( ) = PE ( i E). (2.7) i Unter Anwendung des Multiplikationssatzes ergit sich die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E : PE ( ) = PE ( i E) = PE ( i) PEE ( i). (2.8) Bayes-Theorem i i Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E k, das in Verindung mit dem Ereignis E auftritt, gilt die edingte Wahrscheinlichkeit nach Gl. (2.3): PE ( ) ( ) k E PEk E =. PE ( ) Die Anwendung des Multiplikationssatzes nach Gl. (2.5) auf den Zähler und der totalen Wahrscheinlichkeit nach Gl. (2.8) auf den Nenner führt zum sog. Bayes- Theorem oder auch der allgemeinen Bayes-Formel: PE ( k) PEE ( k) PE ( k E) =, n (2.9) PE ( ) PEE ( ) i= i i enannt nach dem englischen Theologen und Mathematiker Thomas Bayes (72-76), dessen Werk posthum im Jahr 763 veröffentlicht wurde [7].

29 2. Begriffe und Definitionen E E 2... E k... E n Ω=S E E E 2 E... E k E... E n E E Bild 2.2: Beispiel zur totalen Wahrscheinlichkeit und zum Bayes-Theorem Beispiel zur Bayes-Formel: Ausschußteile einer Produktion Eine Firma stellt ein estimmtes Produkt her. Die Gesamtproduktion teilt sich zu jeweils 2%, 25%, 4% und 5% auf vier verschiedene Maschinen M is M4 auf, d.h. P (M) =,2 P (M2) =,25, P (M3) =,4 und P (M4) =,5. Es ist ekannt, daß die erste Maschine M mit einer Wahrscheinlichkeit von % Ausschuß produziert. Es handelt sich somit um eine edingte Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Ausschußteilen unter der Voraussetzung, daß die Teile von Maschine M hergestellt wurden. Die Maschinen M2 is M4 produzieren mit einer Wahrscheinlichkeit von,5%,,2% und,5% Ausschuß. Die edingten Wahrscheinlichkeiten sind gegeen durch PE ( M) =,, PE ( M2) =,5, PE ( M3) =,2 und PE ( M4) =,5 mit dem Ereignis E, das dem Merkmal Ausschuß entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein elieiges Produkt der Gesamtproduktion Ausschußware ist, erechnet sich nach der totalen Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E zu: PE ( ) = P(M) PE ( M) + P(M2) PE ( M2) + P(M3) PE ( M3) + P(M4) PE ( M4) =, 2,+, 25,5 +, 4,2 +,5,5 =,63 =,63%. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig der Produktion entnommenes Produkt, das Ausschußware ist, von Maschine M stammt, erechnet sich nach der Bayesschen Formel: P(M) P( E M), 2, P(M E) = = =,37 = 3,7%. PE ( ),63 Es handelt sich hier um eine edingte Wahrscheinlichkeit, da das Interesse nicht der gesamten Produktion gilt, also sowohl den Ausschußteilen als auch den Gutteilen, sondern lediglich den Ausschußteilen. Die Bayessche Formel kann anhand von Baumdiagrammen anschaulich erläutert werden. Die Formel läßt sich veral schreien als:

30 2 2 Stand der Forschung und Technik Wahrscheinlichkeit des günstigen Pfads P(M E) = Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu E. führen In Bild 2.3 ist das Baumdiagramm für das Beispiel Ausschußteile einer Produktion gezeigt. Das Komplementärereignis E entspricht dem Merkmal kein Ausschuß. Wahrscheinlichkeit des günstigen Pfads: P(M) P( E M) =,2,,2,25,4,5 M M2 M3 M4,,99,5,995,2,998,5,985 E E E E E E E E Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu E führen: PE ( ) =,2, +,25,5 +,4,2 +,5,5 Bild 2.3: Veranschaulichung der edingten Wahrscheinlichkeit anhand eines Baumdiagramms für das Beispiel Ausschußteile einer Produktion Die in der Zuverlässigkeitstechnik wohl ekannteste, edingte Wahrscheinlichkeit ist die Ausfallrate. Diese ist definiert als die Wahrscheinlichkeit eines Bauteils zu einem Zeitpunkt auszufallen unter der Voraussetzung, daß es is zu diesem Zeitpunkt üerlet hat. In diesem Fall ezieht sich die Aussage nicht auf alle Teile der Grundgesamtheit, sondern nur auf die intakten Einheiten, da nur diese noch ausfallen können. Eine Herleitung hierfür ist z.b. in [2] zu finden. 2.2 Statistische Verteilungen In diesem Kapitel werden einige wichtige Verteilungen diskreter und stetiger Zufallsgrößen eschrieen und deren Anwendung im Rahmen der Qualitätssicherung und Zuverlässigkeitstechnik erläutert [5], [], [], [3]-[24] Hypergeometrische Verteilung Die hypergeometrische Verteilung eignet sich zur Beschreiung der Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete Zufallsgröße, die eine estimmte Eigenschaft esitzt, in einer Stichproe auftritt, die einer Grundgesamtheit entnommen wird.

31 2.2 Statistische Verteilungen 3 Betrachtet wird eine zweistufige Grundgesamtheit, d.h. eine Grundgesamtheit, deren Einheiten in zwei Klassen von Eigenschaften eingeteilt werden, die sich gegenseitig ausschließen z.b. fehlerhafte und intakte Einheiten. Die Grundgesamtheit von insgesamt N Einheiten esteht aus d Einheiten mit der Eigenschaft E. Die Wahrscheinlichkeit dieser Eigenschaft ist dann p = d/n. Die restlichen N d Einheiten der Grundgesamtheit esitzen die gegenteilige Eigenschaft E, deren Wahrscheinlichkeit entsprechend mit q =(N d)/n = p gegeen ist. Aus der Grundgesamtheit wird eine Stichproe mit dem Umfang n zufällig entnommen, ohne die n Einheiten wieder zur Grundgesamtheit zurückzulegen. Die in der Stichproe enthaltene Anzahl an Einheiten, die eine estimmte Eigenschaft, wie etwa die Eigenschaft E, esitzen, wird mit x ezeichnet. Die Anzahl an Möglichkeiten, x fehlerhafte Einheiten aus den d fehlerhaften Einheiten der Grundgesamtheit in der Stichproe zu entnehmen, ergit sich zu: d. x Analog ergit sich die Anzahl an Möglichkeiten, (n x) intakte Einheiten aus den (N d) intakten Einheiten der Grundgesamtheit in der Stichproe zu entnehmen, zu: N d. n x Für die Entnahme der Stichproe mit der Anzahl n aus der Grundgesamtheit mit dem Umfang N, ist die Anzahl an Möglichkeiten gegeen durch: N. n Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit als Zahl der günstigen Fälle dividiert durch die Zahl aller möglichen Fälle gegeen. Die Zahl der günstigen Fälle ergit sich aus der Multiplikation der Anzahl an Möglichkeiten, fehlerhafte zw. intakte Einheiten aus der Grundgesamtheit zu entnehmen. Die Anzahl aller möglichen Fälle ist gegeen mit der Anzahl an Möglichkeiten für die Entnahme der Stichproe. Man erhält somit für die Wahrscheinlichkeit, x fehlerhafte Einheiten in der Stichproe zu entnehmen: dn d x n x f( x; n, N, d) =. (2.2) N n Die Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung ergit sich zu:

32 4 2 Stand der Forschung und Technik dn d x i n i F( x; n, N, d) =. (2.2) N i= n In der Praxis findet die Hypergeometrische Verteilung selten Anwendung. Sie wird je nach Anwendungsfall durch die Binomial- oder Poissonverteilung angenähert [6], [24] Binomialverteilung Die Binomialverteilung ist wie die hypergeometrische Verteilung eenfalls eine diskrete Verteilung. Der Unterschied zur hypergeometrischen Verteilung liegt darin, daß die Entnahme der Einheiten der Stichproe mit Zurücklegen erfolgt. Geht man vom mathematischen Grenzfall einer unendlich großen Grundgesamtheit aus (N ), läßt sich die Binomialverteilung auch auf den Fall der Stichproenentnahme ohne Zurücklegen anwenden. Unter dieser Voraussetzung sind die Wahrscheinlichkeiten p zw. q der Eigenschaften E und E konstant. Die hypergeometrische Verteilung konvergiert für N und p = gegen die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit der Entnahme von x Einheiten mit der Eigenschaft E ist p x. Für die Entnahme von (n x) Einheiten mit der Eigenschaft E ergit sich die Wahrscheinlichkeit q n x zw. ( p) n x. Die Einzelwahrscheinlichkeit der Zufallsgröße x (gleich Anzahl der Einheiten mit der Eigenschaft E in der Stichproe), ist dann gegeen durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion: n x n x f( x; n, p) = p ( p). (2.22) x Die Verteilungsfunktion lautet: x n i n i F( x; n, p) = p ( p). (2.23) i i= Folgender Zusammenhang ergit sich aus der Symmetrieeigenschaft der Summenfunktion der Binomialverteilung und findet sich z.b. in [6]: n n n i i F( x; n, p) = F( n x ; n, p) = ( p) p n i. (2.24) i= x Poissonverteilung Die Poissonverteilung leitet sich aus der Binomialverteilung a, falls der Stichproenumfang theoretisch unendlich groß wird (n ) und die Wahrscheinlichkeit der

33 2.2 Statistische Verteilungen 5 Eigenschaft E theoretisch gegen null geht (p ). Die Einzelwahrscheinlichkeit, in der Stichproe eine Anzahl an Einheiten der Eigenschaft E zu finden, wird durch die mittlere in der Stichproe zu erwartende Anzahl von Einheiten der Eigenschaft E estimmt. Die Einzelwahrscheinlichkeit ergit sich durch: x µ µ f( x; µ ) = e, µ >. (2.25) x! Die Verteilungsfunktion der Poissonverteilung ist gegeen mit: µ F( x; ) e i! x i= i µ µ =. (2.26) Betaverteilung Die Betaverteilung eignet sich zur Beschreiung von stetigen Zufallsgrößen im Intervall [, ]. Die Dichtefunktion der Betaverteilung ist definiert als: A B x ( x) x ; A, B > f( x) = β ( AB, ), (2.27) sonst mit den eiden Parametern A und B und der sog. Betafunktion β ( ) : A B, (2.28) β ( AB, ) = x ( x) d x, AB, > die in Ahängigkeit von der Gammafunktion Γ ( ) gegeen ist: Γ( A) Γ( B) β ( AB, ) =. (2.29) Γ ( A + B) Für ganzzahlige Argumente n > der Gammafunktion gilt Γ ( n) = ( n )!. Für identische Werte der Parameter A und B ergit sich eine zu x =,5 symmetrische Dichte. Das Tauschen der Parameter ewirkt eine Spiegelung der Dichtefunktion an der Geraden x =,5. Es gilt folgende Symmetrieeziehung [3]: x x A B B A x ( x ) d x = x ( x ) d x β( AB, ) β( AB, ). (2.3) Das Bild 2.4 zeigt einige Dichtefunktionen der Betaverteilung für verschiedene Parameter. Die Verteilungsfunktion der Betaverteilung ergit sich durch Integration der Dichtefunktion aus Gl. (2.27): x A B. (2.3) β( AB, ) F( x) = x ( x ) d x

34 6 2 Stand der Forschung und Technik Dichtefunktion f(x) 4, 3, 2,, A =4,B = A =7,B =2 A =2,B =7 A = B =,5 A = B =4,2,4,6 Zufallsgröße x Bild 2.4: Dichte der Betaverteilung für unterschiedliche Parameter A und B Das Integral der Dichtefunktion ist analytisch nicht lösar. In [25] ist eine Näherung der Verteilungsfunktion der Betaverteilung durch folgende Summenformel angegeen: x B A B ib A+ i F( x) = x ( x ) d x ( ) x ( A+ i) β( AB, ) β( AB, ) i i=,8,. (2.32) Eine weitere nützliche Eigenschaft der zweiparametrigen Betaverteilung ist, daß ihre Verteilungsfunktion auch durch die Binomialverteilung eschrieen werden kann [25]. Es gilt: A A B A+ B i A+ B i x ( x) d x= p ( p) ( AB, ) i. (2.33) β p i= Die Werte für die Verteilungsfunktion sind in Taellen enthalten oder mit gängigen Programmen erechenar, eispielsweise mit dem Programm Excel von Microsoft. Der Erwartungswert der Betaverteilung ist folgendermaßen gegeen: E( X) = A. (2.34) A+ B Für die Varianz gilt: Var( X ) = AB 2 ( A+ B) ( A+ B+ ). (2.35) Einige ekannte Verteilungen ergeen sich als Sonderfälle der Betaverteilung oder lassen sich durch Transformationen oder Grenzwertetrachtungen in diese üerführen. Hierzu gehören z.b. die Normalverteilung, die Poissonverteilung, die Gammaverteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die F-Verteilung (Fisherverteilung) [25].

35 2.2 Statistische Verteilungen Gleichverteilung Existiert eine Anzahl n an möglichen Zufallsgrößen und ist deren Wahrscheinlichkeit gleich hoch, eignet sich zur Beschreiung die diskrete Gleichverteilung mit der Dichte: f( x) =, x n, n. (2.36) n Die Wahrscheinlichkeitsdichte der stetigen Gleichverteilung im Intervall [a,] ist konstant und gegeen durch: a x f( x) = a. (2.37) sonst Die Verteilungsfunktion läßt sich durch Integration von Gl. (2.37) ermitteln und ergit sich zu: x< a x a F( x) = a x. (2.38) a x> Bei Zufallsgrößen im Intervall [, ] handelt es sich um den Spezialfall der stetigen Gleichverteilung mit der Dichtefunktion: x f( x) = (2.39) sonst und der Verteilungsfunktion: x < F( x) = x x. (2.4) x > Dieser Spezialfall entspricht dem Sonderfall der Betaverteilung mit den Parametern A = B = Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung ist die wohl ekannteste Verteilung zur Beschreiung der Streuung von Leensdauern und entspricht, im Gegensatz zu den zuvor genannten Verteilungen, einer sog. Leensdauerverteilung. Ihre Dichtefunktion nimmt von einem Anfangswert monoton a und ist gegeen mit: λt f() t = λe, t und λ >. (2.4) Für die Ausfallwahrscheinlichkeit gilt: λt Ft ( ) = e, t und λ >. (2.42)

36 8 2 Stand der Forschung und Technik Die Exponentialverteilung esitzt lediglich einen Parameter, nämlich die konstante Ausfallrate λ =, die dem Kehrwert des Erwartungswerts der Leensdauer entspricht. Es gilt für den Erwartungswert E(τ)=/λ und die Varianz Var(τ)=/λ 2. Das Bild 2.5 zeigt einige Dichtefunktionen der Exponentialverteilung für unterschiedliche Werte der Ausfallrate. Des weiteren ist die konstante Ausfallrate dargestellt. 2, 3, Dichtefunktion f(t),5,,5 λ =2 λ = λ =,5 Ausfallrate λ(t) 2,, λ =2 λ = λ =, Leensdauer t Leensdauer t Bild 2.5: Ausfalldichte und Ausfallrate der Exponentialverteilung [], [26] Die Exponentialverteilung wird vor allem zur Beschreiung des Ausfallverhaltens elektrotechnischer Produkte angewendet. Bei Maschinenauprodukten ist sie wegen der konstanten Ausfallrate nur egrenzt anwendar Weiullverteilung Die Weiullverteilung [27], [28], enannt nach dem Ingenieur und Wissenschaftler Waloddi Weiull ( ), ist die im Maschinenau am häufigsten verwendete Leensdauerverteilung. Aufgrund ihrer Flexiilität eignet sie sich zur Beschreiung unterschiedlicher Arten von Ausfallverhalten. Die Weiullverteilung existiert in der zwei- und dreiparametrigen Form. Die dreiparametrige Dichtefunktion ist definiert als: t t T t t t f() t = e, t t, T > t, > ( T t) T t Die Ausfallwahrscheinlichkeit lautet: t t T t Ft () = e. Die Zuverlässigkeit als Komplement der Ausfallwahrscheinlichkeit ist gegeen mit:. (2.43) (2.44)

37 2.2 Statistische Verteilungen 9 t t T t Rt () = e. Die Ausfallrate erechnet sich als Quotient aus Dichte und Zuverlässigkeit zu: t t λ () t = ( T t) T t (2.45). (2.46) Die Lage der Verteilung zgl. der Zeitachse ist durch die charakteristische Leensdauer T festgelegt, ei der die Ausfallwahrscheinlichkeit gegeen ist mit F(T) = 63,2%. Die Kurvenform der Verteilung ist durch den Formparameter definiert. In Bild 2.6 sind zweiparametrige Weiullverteilungen mit T = für unterschiedliche Formparameter dargestellt. Die Weiullverteilung läßt sich für = exakt in die Exponentialverteilung üerführen. Dichtefunktion f(t) Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) 2,,5 =5 3,5 2,,5,25, Ausfallrate λ(t) 5, 4, 3, =5 3,5, 2,5,5 2, 2,,5,25,25,5,,,,5,25,5,25,5,,5 2, 2,5,5,,5 2, 2,5 Leensdauer t Leensdauer t =5 % 3,5 % 2, 2,5,5 8,5 8,25,25, Üerleenswahrscheinlichkeit R(t) 5,,5,,5 2, 2,5,5,,5 2, 2,5 Leensdauer t Leensdauer t ,5 3,5 2,5 2, =,25,5 Bild 2.6: Weiullverteilung für unterschiedliche Formparameter, charakteristische Leensdauer T = und ausfallfreie Zeit t = [], [26]

38 2 2 Stand der Forschung und Technik Im Gegensatz zur zweiparametrigen Form esitzt die dreiparametrige Weiullverteilung zusätzlich die ausfallfreie Zeit t. Diese ewirkt eine Verschieung der Verteilung längs der Zeitachse und legt somit den zeitlichen Beginn der Ausfälle fest. Die Gleichungen der zweiparametrigen Weiullverteilung leiten sich aus den oen gegeenen Gleichungen der dreiparametrigen Variante a, indem t = gilt. 2.3 Berücksichtigung statistischer Streuereiche Bei der statistischen Analyse von Versuchen ist man in der Regel darauf angewiesen, aus einer mehr oder weniger kleinen Stichproe, eine allgemeingültige Aussage üer das etreffende Produkt zu treffen. Die Versuchsauswertung liefert jedoch nur eine Aussage üer die untersuchte Stichproe, und zwar üer genau diese. Bei einer neuen Stichproe ist ereits mit einem anderen Ergenis zu rechnen, auch wenn von den Versuchsedingungen und der Anzahl an Prüflingen keine Änderungen vorgenommen werden. Das Interesse richtet sich jedoch nicht auf die untersuchte Stichproe sondern vielmehr auf die Grundgesamtheit. Vor allem ei sehr geringen Stichproenumfängen kann das Ergenis der Stichproe erhelich von dem tatsächlichen Verhalten der Grundgesamtheit aweichen. Ein direkter Schluß von der Stichproe auf die Grundgesamtheit irgt somit eine gewisse Unsicherheit. Aus diesem Grund ist es ei der Datenanalyse unumgänglich, eine statistische Sicherheit zgl. der getroffenen Aussage anzugeen Der Vertrauensereich Bei der Analyse einer Stichproe ergit sich im Idealfall ein Verhalten, das sich durch eine mathematische Verteilungsfunktion annähernd gut eschreien läßt. Diese Verteilungsfunktion und deren dazugehörige Parameter eziehen sich auf die analysierte Stichproe. Die Parameter der Stichproe sind Schätzwerte der Parameter der Verteilungsfunktion, die der Grundgesamtheit entsprechen würde. Die Parameter der Grundgesamtheit entsprechen daher Zufallsgrößen. Zu einem Schätzwert läßt sich ein Intervall mit einem oeren und einem unteren Grenzwert angeen, in dem die für die Grundgesamtheit gültige Zufallsgröße mit einer estimmten Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Das Intervall um einen Schätzwert wird als Vertrauensereich ezeichnet. So lassen sich eispielsweise ei einer dreiparametrigen Weiullverteilung Vertrauensereiche für die ausfallfreie Zeit t, die charakteristische Leensdauer T und den Formparameter angeen, in deren Grenzen die Parameter der Grundgesamtheit mit einer estimmten Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind. Eenso können Vertrauensereiche auch für Ausfallzeiten zw. deren zugeordnete Ausfallwahrscheinlichkeiten ermittelt werden, da auch die Ausfallzeiten zw. die Ausfallwahrscheinlichkeiten Zufallsgrößen sind.

39 2.3 Berücksichtigung statistischer Streuereiche 2 Der Vertrauensereich ist immer verunden mit einer Wahrscheinlichkeitsangae. Ein 9%-Vertrauensereich eispielsweise sagt aus, daß eine Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von 9% innerhal des Vertrauensereichs liegt und mit einer Wahrscheinlichkeit von % außerhal der Grenzen des Vertrauensereichs zu erwarten ist [5], [], [2], [2]. Die in Zusammenhang mit dem Vertrauensereich angegeene Wahrscheinlichkeit wird als Aussagewahrscheinlichkeit ezeichnet [2] und entspricht der statistischen Sicherheit. Die Wahrscheinlichkeit der Zufallsgröße, außerhal des Vertrauensereichs zu liegen, entspricht der sog. Irrtumswahrscheinlichkeit [2], [2]. Wird das Intervall des Vertrauensereichs durch einen oeren und einen unteren Grenzwert egrenzt, handelt es sich um einen zweiseitigen Vertrauensereich. Entspricht einer der eiden Grenzwerte der Intervallgrenze des Definitionsereichs der Zufallsgröße, spricht man von einem einseitigen Vertrauensereich, der entweder einer linksseitigen oder einer rechtsseitigen Wahrscheinlichkeit entspricht. Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, daß die stetige Zufallsgröße X, die durch die Verteilungsdichte f(x) definiert ist, innerhal eines Intervalls [x u, x o ] liegt, gegeen als P(x u X x o ) [2]. Bei einseitigen Wahrscheinlichkeiten ergit sich für die linksseitige Wahrscheinlichkeit P(X x). Analog ist die rechtsseitige Wahrscheinlichkeit gegeen mit P(X x). Die Zusammenhänge sind eispielhaft in Bild 2.7 dargestellt. Dichte f(x ) P A Dichte f(x ) P A Dichte f(x ) P A x u x x x x x zweiseitiger Vertrauensereich P = P( x X x ) A u o xo = f( ) x dx xu x o linksseitiger Vertrauensereich xu P = P( X x) A x = f( ) x dx rechtsseitiger Vertrauensereich xo P = P( x X) A = f( ) x dx Bild 2.7: Zweiseitiger, linksseitiger und rechtsseitiger Vertrauensereich Wie aus Bild 2.7 ersichtlich, entspricht die Aussagewahrscheinlichkeit der zwischen den Grenzwerten des Vertrauensereichs liegenden Fläche unterhal der Dichtefunktion. Die Aussagewahrscheinlichkeit erechnet sich daher aus dem Integral der Dichtefunktion mit dem oeren und unteren Grenzwert als Integrationsgrenzen [2]. In [5], [] ist für eine zweiparametrige Weiullverteilung mit der charakteristischen Leensdauer T = und dem Formparameter =,5 aufgezeigt, welche Vertrauense- x

40 22 2 Stand der Forschung und Technik reiche sich für die Ausfallwahrscheinlichkeiten ei insgesamt 3 Ausfallzeiten ergeen. In Bild 2.8 ist der Streuereich der Ausfallwahrscheinlichkeiten am Beispiel der fünften, zehnten, 5., 2. und 25. Ausfallzeit (Ranggröße) als Dichtefunktion dargestellt. Die Achsen für die Ausfallzeit und die Ausfallwahrscheinlichkeit sind entsprechend transformiert, wodurch die Weiullverteilung in Bild 2.8 als Gerade dargestellt ist. Dichtefunktion f(u) i =5,2 2 Median Ausfallzeit t Median i = Median i =5 i =2 i = 25 Median Median 2 % Ausfallwahrscheinlichkeit u i (F i ) Weiullgerade Bild 2.8: Dichtefunktionen der Ausfallwahrscheinlichkeiten der Ausfallzeiten [5], [] Die Dichtefunktion der Ausfallwahrscheinlichkeit ist nach [], [3], [6] mittels der zweiparametrigen Betaverteilung gegeen: i n i f( u) = u ( u), (2.47) β(, in i+ ) woei die Variale u für die Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) steht. Die Parameter sind mit A = i und B = n i + zu wählen. In Gl. (2.47) steht i für die Rangzahl und n für den Stichproenumfang. Die Aussagewahrscheinlichkeit läßt sich durch Integration von Gl. (2.47) erechnen. Da das Integral nicht geschlossen lösar ist, existieren keine exakten Gleichungen zur Berechnung von Quantilen. Diese lassen sich jedoch z.b. in Ahängigkeit der F-Verteilung angeen [29], [3]. Für das 5%-Quantil, den Median, ist folgende Näherungsformel ekannt [5], [], [], [3], [6], [3]: i,3 umed. (2.48) n +,4