Fliesskommazahlen sind rationale Zahlen. Halblogarithmische Darstellung auf 2er-Basis: 1) s m 2 e

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1 Inaltsverzeicnis 1 Grundlagen 1.1 Zalendarstellungen Grundlegende Untersceidungen: Ganzzalen (Integer, int, etc.) Fliesskommazalen (float, double, REAL) Spezielle Typen: Komplex,... Jede Zal wird in einer bestimmten Anzal von bits gespeicert (Typisc: 16, 3, 64, 18 bit). Anzal Bits und Darstellung entsceiden über den Zalenvorrat eines Typs. Insbesondere: Dynamik: Verältnis von (betragsmässig) grösster zu kleinster Zal. Auflösung: Di erenz zwiscen benacbarten Zalen. Fliesskommazalen sind rationale Zalen. Halblogaritmisce Darstellung auf er-basis: z =( 1) s m e Typisc: double (FORTRAN: REAL*8), in 64 bit dargestellt nac IEEE-Standard (s. ttp://en.wikipedia.org/wiki/ieee754): 1 bit Vorzeicen (s), 5 bit Mantisse (m), 11 bit Exponent (e). Dynamik: 11 bit Exponent mit Vorzeicen e = = ) Dynamik des Exponenten relative Auflösung der Mantisse:

2 Matlab: Default -Typ ist double (bzw. komplex mit double -Darstellung für Real- u. Imaginärteil) Ganzzalen müssen explizit generiert werden, z.b. int3(). Ganzzalaritmetik rundet auf oder ab (untypisc)! Vgl. Sprace C etc.: Nur Abrundung (Abscneiden). 1. Diskretisierung Diskretisierung von Funktionen Funktion, z.b. f(x) wird durc endlice Menge von Zalen, z.b. f i (Zälindex i), dargestellt. f(x) ) f i,i=1,, 3,... Beispiel: f i ist Wert von f(x) an bestimmter Stelle x i f i ist Mittelwert von f(x) in einem bestimmten Intervall x I i f i ist ein bestimmter Fourerkoe f i ist sonstiger Entwicklungskoe Polynome etc.) zient von f(x) zient in einem anderen Funktionensystem (z.b. Entsprecend: Diskretisierung von Operatoren Operator, z.b. L[f] ) Recenvorscrift, z.b. L d [f i ] Index d: DiskreterOperatorängt von der Art der Diskretisierung von f ab. L d [f i ] ist i.a. eine Näerung für L(f) Bei gleicer Diskretisierung von f ist die Diskretisierung von L i.a. nict eindeutig. 4

3 1.3 Di erentiation Einfacstes Beispiel: Funktion f(x) in einer unabängigen Variablen x, di erenzierbar. Gesuct: Diskrete Form der Ableitung f 0 (x) =:D[f] (D: Di erential-operator ) als Recenvorscrift für diskrete Funktionswerte f i. Aus Definition der Ableitung (rectsseitig) df dx (x) =f 0 f(x + ) f(x) (x) :=lim!0 Approximation für die Ableitung f 0 an der Stelle x mit endlicem : Dies ist die Vorwärts-Di erenz. f 0 (x) f(x + ) f(x) Konvergenztest Beispiel Vorwärts-Di erenz: bekanntes f(x), f 0 (x) für kleiner werdendes ( Li- wäle Stelle x, Stützstellenabstand >0 berecne diskreten Operator D [f] := f(x+) mes ) f(x) berecne Diskretisierungsfeler E := f 0 (x) D [f] Ergebnis für alle (di baren) f(x) und x: 1. Vorwärts-Di erenz ist konvergent: lim!0 D [f] konvergiert bis zum Rundungs/Darstellungs/Abscneidefeler. Vorwärts-Di erenz ist konsistent: D [f] konvergiert gegen den rictigen Wert f 0 (x) 3. Konvergenz ist 1. Ordnung in : E get mindestens wie gegen null 5

4 Alternative: Linksseitige (Rückwärts-)Di erenz: f 0 (x) ) Rückwärts-Di erenz ebenfalls konsistent konvergiert ebenfalls mit 1. Ordnung in f(x) f(x ) Weitere Alternative: Zentrale Di erenz: f 0 (x) f(x + ) f(x ) ) Konvergiert mit. Ordnung in Diskretisierungsfeler E / im Limes! 0 Bestimmung der Konvergenz-Ordnung aus Taylor-Entwicklung: f(x + ) = f(x)+f 0 (x)+ f 00 (x) + 3 f 000 (x) + O( 4 ) 6 f(x ) = f(x) f 0 (x)+ f 00 (x) 3 f 000 (x) + O( 4 ) 6 Daraus: f(x + ) f(x) f(x) f(x ) aber: f(x + ) f(x ) = f 0 (x)+ f 00 (x) = f 0 f 00 (x) (x) = f 0 (x)+ f 000 (x) 6 + f 000 (x) 6 + f 000 (x) 6 + O( 3 )=f 0 (x)+o() + O( 3 )=f 0 (x)+o() + O( 3 )=f 0 (x)+o( ) 1.3. Stencil -Notation ( Scablone ), deutscer Term: Stempel oder Stern. Oder Stencil. 6

5 0 Finite Differenzen Konvergenz 5 log Feler log Abbildung 1: Konvergenz von Vorwärts- (rot), Rückwärts- (grün) und zentraler (blau) Di erenz aus Test an Beispielfunktion. Stencil bezüglic Stützstellenabstand : := := := f(x + ) f(x) = Standard Vorwärts-Di erenz f(x) f(x ) = Standard Rückwärts-Di erenz f(x + ) f(x ) = Standard zentrale-di erenz Bem: = Elimination des Felerterms / Zentrale Di erenz mit breitem Stencil, ersetze! : 1 f(x +) f(x ) = 4 4 = f 0 (x)+ 4 f 000 (x) +O( 3 )=f 0 (x)+o( ) 6 7

6 Elimination des -Felerterms: =3 f 0 (x)+o( 3 ) 4 Damit: f 0 (x) = O( 3 ) Höere Ableitungen Analoges Vorgeen. Beispiel:. Ableitung. Starte wieder mit Taylor: f(x + ) = f(x)+f 0 (x)+ f 00 (x) + 3 f 000 (x) + O( 4 ) 6 f(x ) = f(x) f 0 (x)+ f 00 (x) 3 f 000 (x) + O( 4 ) 6 Daraus Standard.-Ableitung mit 3-Punkt Stencil f 00 (x) = f(x + )+f(x ) f(x) + O( )= O( ) Spektralveralten eines diskreten Operators Biser: Feste Testfunktion f(x), varriert ) Konvergenz Jetzt: Betracte versciedene Funktionen, speziell Fourier-Moden f(x) =e ikx f 0 (x) =ike ikx Beacte: Operator ist linear, damit entält Wirkung auf Fourier-Moden praktisc komplette Information! Bestimme f 0 aus zentraler Di erenz: 8

7 f(x + ) f(x ) = eik(x+) eik(x ) = eikx = f 0 (x) {z } exakterw ert e ik e ik = ieikx sin(k) sin(k) k Spektraler Diskretisierungsfeler: sin(k) k 1 Amplitudenfaktor der zentralen Di erenz: x sin(x)/x 1+O(k),Diskretisie- langwellige (niederfrequente) Moden k 1: sin(k) k rungsfeler. Ordnung Zentrale Di. wirdnullbeik = bzw. Wellenlänge := k falsces Vorzeicen! =. Danac Betrag der zentralen Di. von e ikx ist immer apple 1 Spektrum der zentralen Di. ist rein reell,kein Pasenfeler. 9

8 1.4 Nullstellen und Minima (Extrema) Eindimensionale Algoritmen Nullstellen von f(x) im Intervall [a, b] mit f(a)f(b) < 0 finden: Iterationsverfaren x i! x i+1,sucef(x? )=0 Bisektion (Intervallscactelung): Funktioniert immer, Intervallgröße reduziert sic mit jeder Iteration um Faktor 1/. Nur Vorzeicen, nict Wert von f(x) bei a, b, a+b verwendet. Sekantenmetode und Regula Falsi: I.A. scneller als Bisektion, da mer Information über Funktionsverlauf ausgenutzt wird. f(x) 3 4 x f(x) x 1 10

9 Skizzen zur Sekantenmateode (oben) bzw Regula Falsi (unten) Newton-Rapson: x i+1 = x i f(x i ) f 0 (x i ) Nae einer Nullstelle deutlic scneller als obige, aber funktionert nict immer. Ableitung f 0 (x) muss bekannt sein. Häufig angewandt in seiner Verallgemeinerung auf merdimensionale Probleme. f(x) 1 3 x Komination, Verbesserungen von obigen,... Minima (äquivalent: Maxima) von f(x) finden: Intervallverfaren zum Einkreisen eines Minimums: 3 Stellen (a, b, c) notwendig, Zusammenzieen des Intervalls, Goldene Regel. Verbesserung: Nutze Information aus f 0 (x) 1.4. Nullstellen und Minimierung im Merdimensionalen Nullstellensuce für f(x 1,x,x 3,...) scwierig. Aber: Minimierung (relativ) einfac. f(x? 1,x?,x? 3,...)=0) f at Minimum bei (x? 1,x?,x? 3,...) also: Suce Minimum von f als Kanditat für Nullstelle von f 11

10 Metoden: Gradientenverfaren: Füre sukzessive eindimensionale Minimierungen entlang von Sucrictungen durc Steilster Abstieg : Gee in Rictung des Gradienten bis zum Minimum. Dann neue Bestimmung des Gradienten. Beispiele für guten und weniger guten Abstieg. 1

11 In der Regel nict zu empfelen! Verbesserung: Konjugierte Gradienten. Neue Sucrictung nict unbedingt senkrect zur vorerigen. Scnelle Konvergenz bei quadratiscen Formen. Verbreitete Anwendung in der linearen Algebra zum Lösen von lin. Gleicungssystemen. Anderer Zugang: Simplex-Downill-Verfaren Simplex-Algoritmus zum Finden von Extrema im Merdimensionalen Simplex-Verfaren: Funtion f(x 1,x,...,x N ) gegeben. Finde (ein) Minimum! Idee: Verallgemeinerung der Intervallscactelung, aber Intervall ersetzt durc Simplex = N +1-Eck (z.b. N =:Dreieck) Simplex versuct, sic am Minimum auf Punkt zusammenzuzieen Simplex wandert um Minimum aufzuspüren Vier möglice Simplex-Operationen: Spiegelung, Spiegelung mit Expansion, Kontraktion in einer Rictung, Kontraktion in N Rictungen. 13

12 Algoritmus: (Nelder & Mead, 1965) 1. Starte mit beliebigen Simplex-Eckpositionen r 1... r N+1 und berecne Funtionswerte f 1,...f N+1. Suce den maximalen (= sclectesten ), zweitgrößten, kleinsten (= besten ) Wert und die entsprecenden Ecken 3. Spiegele den sclectesten Wert, wenn dadurc Verbesserung wenn Spiegelung erfolgreic und ausserdem neuer Wert kleiner als vormals kleinster, füre zusätzlice Expansion um Faktor aus ( ser gute Rictung) 4. Wenn bei 3. keine Spiegelung erfolgte: versuce Kontraktion in dieser Rictung um Faktor 1/ (Simplex wird kürzer in dieser sclecten Rictung) 14

13 Wenn durc diesen Kontraktionsversuc der Wert nict kleiner wird, kontraiere statt dessen in allen anderen Rictungen um Faktor 1/ (Simplex ziet sic in die Länge) 5. Wiederole Iteration, bis alle Funktionswerte bis auf vorgegebene Genauigkeit gleic sind (oder: Eckpunkte zusammengezogen sind). Beispiel: simplex.m 15