13.3 Integraldarstellungen von Lösungen

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1 3.3 Integraldarstellungen von Lösungen a) Laplace und Poissongleichung mit Dirichletschen Randbedingungen Definition: Eine auf einem Gebiet D R d harmonische Funktion ist eine Funktion u C 2 (D), die in D die Gleichung u = 0 erfüllt. Die harmonischen Funktionen sind also gerade die Lösungen der Laplace-Gleichung u = 0. Definition:Essei D R 3 einbeschränktes Gebiet.EineGreenscheFunktionderLaplacegleichung in D mit Dirichletschen Randbedingungen ist eine in { (x,y) D D x y } gegebene Funktion der Gestalt G(x,y) = g(x,y), wobei g(x,y) eine bezüglich y 4π x y in D harmonische Funktion aus C 2 (D D) ist, die für x D und y D mit übereinstimmt. 4π x y Eine Fundamentalösung des Laplaceschen Differentialausdrucks im R 3 ist f(x) =. Mit ihrer Hilfe wurde im Abschnitt.3, Satz 6 eine Integraldarstallung für 4π C2 - Funktionen gefunden. Aus dem Beweis war ersichtlich, dass die Funktion in der 4π x y Integraldarstellung auch durch eine Greensche Funktion G(x, y) ersetzt werden kann, dass also unter den Voraussetzungen dieses Satzes an das betrachtete Gebiet für eine Greensche Funktion G(x,y) und für u C 2 (D) und x D stets gilt u(x) = D ( ) u(y) n G(x,y) u(y) G(x,y) do y n y D (u(y)) G(x, y)dy Da aber für y D gilt G(x,y) = 0, verschwindet der erste Summand im Randintegral. Deshalb erhält man zunächst unter der Zusatzbedingung, dass die Lösung in C 2 (D) liegt, eine Integraldarstellung für klassische Lösungen des inhomogenen Dirichlet Problems { u = f ( in D) u = u 0 ( auf D) mit gegebenen Funktionen f C(D) und u 0 C( D): u(x) = u 0 (y) G(x,y) do y + n y D G f(y)g(x,y)dy. In vielen Fällen gilt die Formel auch ohne die Zusatzvoraussetzung. Im Folgenden wird eine solche Aufgabe für die Kugel betrachtet.

2 Greensche Funktion für eine Kugel Zur Konstruktion einer Greensche Funktion für die Kugel K R = { x R } 3 < R kann man die Spiegelung an der Kugeloberfläche benutzen, die den Punkt x mit 0 < in den Punkt x = R2 x überführt. Diese Spiegelung hat die Eigenschaft, dass für Punkte y 2 der Obefläche der Kugel die Dreiecke 0xy und 0y x ähnlich sind, woraus = y, x y x y also auch = R folgen. Die Funktion g(x,y) = R stimmt also auf der 4π x y 4π x y 4π x y KugeloberflächeS R = K R mitdergrundlösungübereinundistfürjedesfestex K R \{0} in ganz K R harmonisch bezüglich y, da ja x außerhalb K R liegt. Für x 0 hat sie den Grenzwert, den man als Wert g(0,y) nimmt. Man kann dann nachweisen, dass g auch R die Differenzierbarkeitseigenschaften aus der Definition der Greenschen Funktion erfüllt, dass also die für x = 0 stetig fortgesetzte Funktion G(x,y) = ( 4π x y R ) x y = 4π x y R ( 2 R ) x y eine Greensche Funktion für die Kugel ist. Da die äußere Normale gleich y = y ist, y R erhält man als Normalenableitung nach y G(x, y) n y = ( ( y 4πR y grad ) y x 2 /2 R ( ) ) y x 2 /2 = ( ( y 4πR y ) x 2 3/2 (y x) R ( ) ) y x 2 3/2 (y x) ( ) 2 ( y x ) 3 (y x)) = 4πR y ( = 4πR ( y x ) 3 (y x) ( R ( ) 2 )R 2 ( y x ) 3 = R2 2 R 4πR x y 3, wobei in der vorletzen Umformung x = ( R) 2 x und y y = R 2 verwendet wurden. 2

3 Darstellung harmonischer Funktionen durch das Poissonintegral Unter Verwendung der gerade konstruierten Greenschen Funktion lässt sich das inhomogene Dirichlet-Problem der Laplace-Gleichung für die Kugel lösen. Dabei erhält man eine Integraldarstellung für harmonische Funktionen, die Poissonintegral genannt wird. Satz : Für K R = { x R 3 < R } hat das Dirichletproblem { u = 0 ( in KR ) u = u 0 ( auf K R = S R ) mit vorgegebener Funktionen u 0 C(S R ) die klassische Lösung u(x) = R2 2 u 0 (y) 4πR y x do y. 3 S R Ein entsprechendes Ergebnis gilt für d-dimensionale Kugeln K = { x R } d < R. Im Falle d = 2 geht man von der Grundlösung ln aus. Im Falle d 3 ist die 2π Grundlösung (d 2)ω d d 2, wobei ω d den Flächeninhalt der Oberfläche S R einer Kugel vom Radius R = im R d bezeichnet. Für d 3 ist das Poissonintegral gegeben als R 2 2 u 0 (y) Rω d y x do y. d S R Für d = 2 ist es gleich u(x,x 2 ) = R2 2 2πR C u 0 (y) y x 2 ds y, wobei C die Peripherie des Kreises vom Radius R um den Koordinatenursprung ist. In Polarkoordinaten hat es die Gestalt u(r,ϕ) = R2 r 2 2π 2π 0 u 0 (R,ϕ) R 2 2rRcos(ϕ ψ)+r 2 dψ. 3

4 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen Setzt man im Poissonintegral x = 0 ein und berücksichtigt man, dass die Funktionswerte von u 0 zugleich die Randwerte von u sind so erhält man einerseits den Funktionswert u(0) der harmonischen Funktion, andererseits aber den Mittelwert von u über die Sphäre mit Radius R und Mittelpunkt 0. Wendet man dies für eine feste Stelle ξ auf die ebenfalls harmonische Funktion v(x) = u(x + ξ) an, so erhält man die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen, die wieder in beliebigen Dimensionen d 2 gilt, die aber im folgenden Satz für d = 3 formuliert wird. Satz 2: Ist u harmonisch in K R (ξ) = { x R } 3 x ξ < R und stetig in KR (ξ), so gilt u(ξ) = u(ξ y)do 4πR 2 y. S R Maximumprinzip für harmonische Funktionen Gibt es für eine in einem Gebiet G harmonisch Funktion eine Maximalstelle ξ D, so folgt aus der Mittelwerteigenschaft, dass das Maximum u(ξ) auf der gesamten Kugeloberfläche einer in D enthaltenen Kugel mit Mittelpunkt ξ als Funktionswert angenommen wird. (Sonst wäre der Mittelwert kleiner als u(ξ).) Damit gilt u(x) = u(ξ) auch auf jeder in D enthaltenen Kugel mit Mittelpunkt ξ. Um zu zeigen, dass u(x) = u(ξ) für ein beliebiges x D gilt, verbindet man dieses x durch eine in D liegende Kurve mit ξ und überdeckt diese Kurve mit endlich vielen ganz in D liegenden Kugeln, wobei man sichert, dass bei passender Numerierung der Mittelpunkt der jeweils nächsten Kugel in der vorhergehenden Kugel liegt. Die Existenz einer endlichen Überdeckung mit Kugeln folgt aus dem Überdeckungungssatz für kompakte Mengen. Die zusätzlich erwünschte Eigenschaft kann man dadurch sichern, dass man die Kurve durch ein Polygon durch die Mittelpunkte der Kugeln ersetzt und dann weitere Kugeln in geeigneter Weise hinzufügt. Dies beweist den folgenden Satz. Satz 3: Ist eine reellwertige Funktion u in einem Gebiet D harmonisch und hat sie an irgendeiner Stelle ξ D ein globales Maximum, so ist sie in D konstant. Man kann sogar beweisen, dass jede in einem Gebiet D harmonische Funktion, die dort eine lokale Extremstelle hat, in D konstant sein muss. Folgerung 4: Ist eine reellwertige Funktion u in einem beschränkten Gebiet D harmonisch und in D stetig, so nimmt sie (als Funktion mit Definitionsbereich D) ihre Extremwerte auf dem Rand D an. 4

5 Folgerung 5:(Eindeutigkeit und Korrektheit des Dirichletproblems der Laplace-Gleichung) Es sei D R d ein beschränktes Gebiet. Dann hat das Dirichlet-Problem { u = 0 ( in D) u = u 0 ( auf D) zu gegebener Funktion u 0 C( D) höchstens eine klassische Lösung. Sind u 0, v 0 C( D) und sind u, v zugehörige klassische Lösungen des betrachteten Problems, so gilt sup u(x) v(x) sup u 0 (x) v 0 (x). x D x D Diesfolgteinfachdaraus,dassnachFolgerung4giltmin x D (u 0 (x) v 0 (x)) inf x D (u(x) v(x)) sup x D (u(x) v(x)) max x D (u 0 (x) v 0 (x)) Bemerkung: Die Korrektheit wird also hier durch die Aussage formuliert, dass der Abstand von Lösungen in der Supremumnorm den ebenfalls in der Supremumnorm gegebenen Abstand der gegebenen Randwerte nicht übersteigt. Bei anderen Problemen muss man eventuell andere Normen verwenden. Folgerung 6: (Eindeutigkeit des Dirichletproblems der Poisson-Gleichung) Es sei D R d ein beschränktes Gebiet. Dann hat das Dirichlet-Problem { u = f ( in D) u = u 0 ( auf D) mit gegebenen Funktionen f C(D) und u 0 C( D) höchstens eine klassische Lösung. Dies folgt einfach durch Anwendung von Folgerung 5 auf die Differenz von zwei Lösungen des hier betrachteten Problems. Bemerkung: Mit Hilfe der Eingangs betrachteten Integraldarstellung von Lösungen kann man auch für dieses Problem Korrektheitsaussagen begründen. 5

6 b) Formeln für Anfangswertprobleme der Wellengleichung Kirchhoffsche Wellenformel (dreidimensionale Wellengleichung) Satz 7: Für f C 2 (R 3 [0, )), u 0 C 3 (R 3 ) und u C 2 (R 3 ) wird eine klassische Lösung des Anfangswertproblems 2 u a 2 u = f ( in R 3 (0, )) t 2 u(x,0) = u 0 (x) (x R 3 ) u t (x,0) = u (x) (x R 3 ) durch u = V +V 0 +V gegeben, wobei für t > 0 gelten f(y,t x y /a) V(x,t) = 4πa 2 x y x y at V 0 (x,t) = t 4πa 2 t V (x,t) = 4πa 2 t (Poisson, Kirchhoffsche Wellenformel) S at(x) S at(x) u 0 (y)do y, u (y)do y. dy dy 2 dy 3, Bemerkung: Die Bestandteile V, V und V 2 nennt man auch retardierte Potentiale. In den Integralen werden Anregungen (durch f, u 0, u ) an Orten y zu Zeiten s gesammelt, von denen aus die Stelle (x, t), an der die Lösung betrachtet wird, mit konstanter Geschwindigkeit vom Betrag a erreichbar ist. Das Huygenssches Prinzip besagt, dass die Auslenkung der Welle am Ort x zur Zeit t gerade von den Anregungen an Stellen und Zeiten (y,s) abhängt, von denen aus (x, t) mit konstanter Geschwindigkeit vom Betrag a erreichbar ist. Es gilt in dieser Form für die Wellengleichung im R 3 (und in größeren ungeraden Dimensionen). Für Raumdimensionen und 2 (und größere geradzahlige Dimensionen) ist jedoch eine Modifikation erforderlich. 6

7 Poissonsche Wellenformel (zweidimensionale Wellengleichung) Formeln für die zweidimensionale bzw. eindimensionale Wellengleichung lassen sich aus dreidimensionalen Formeln z. B. durch die Abstiegsmethode finden. Dabei setzt man etwa in die dreidimensionalen Formeln von x 3 unabhängige Ausgangsdaten f,u 0,u ein und kann so Wellenformeln für d=2 erhalten. Verwendet man dabei für S r (x) die expliziten Flächendarstellungen y 3 = f(y,y 2 ) = x 3 ± r 2 (y x ) 2 (y 2 x 2 ) 2, so erhält man die sogenannte Poissonsche Wellenformel: u(x,t) = V(x,t)+V 0 (x,t)+v (x,t) t = 2πa 0 x y a(t s) + 2πa t x y at + 2πa x y at f(y,s) a 2 (t s) 2 x y 2 dy dy 2 ds u 0 (y) a 2 t 2 x y 2 dy dy 2 u (y) a 2 t 2 x y 2 dy dy 2 Diese Formel ergibt also für f C 2 (R 2 [0, )), u 0 C 3 (R 2 ) und u C 2 (R 2 ) eine klassische Lösung des Anfangswertproblems 2 u a 2 u = f t 2 u(x,0) = u 0 (x) u t (x,0) = u (x) d Alembertsche Wellenformel (eindimensionale Wellengleichung) Setzt man in die Poissonschen Wellenformel Funktionen f, u 0, u ein, die nicht von x 2 abhängen,solässtsichdieintegrationnachx 2 ausführenundmanerhältdied Alembertsche Wellenformel: u(x,t) = V(x,t)+V 0 (x,t)+v (x,t) x+a(t s) = 2a t 0 x a(t s) f(y,s)dyds+ 2 (u 0(x+at)+u 0 (x at))+ 2a x+at x at u (y)dy Diese Formel ergibt also zumindest für f C 2 (R [0, )), u 0 C 3 (R) und u C 2 (R) eine klassische Lösung des Anfangswertproblems 2 u a 2 u = f t 2 u(x,0) = u 0 (x) u t (x,0) = u (x) Tatsächlich lässt sich diese Formel einfacher aus der allgemeinen Lösung der eindimensionalen Wellengleichung herleiten und gilt unter allgemeineren Voraussetzungen. 7

8 c) Anfangswertprobleme der Wärmeleitungsgleichung Der sogenannte Wärmeleitungskern für Raumdimension d wird durch (2a exp 2, falls x πt) d 4a 2 t Rd und t > 0 E(x,t) = 0, falls x R d und t 0 gegeben. Unter Verwendung dieses Kerns lassen sich die Lösungen des Anfangswertproblems der Wärmeleitungsgleichung angeben. Satz 8: Für beschränkte Funktionen f C(R d (0, )) und u 0 C(R d ) wird eine klassische Lösung des Anfangswertproblems u t a2 u = f u(x,0) = u 0 (x) (x R d ) ( in R d (0, ) durch u = V +V 0 gegeben, wobei V und V 0 für t > 0 durch die Gleichungen V(x,t) = V 0 (x,t) = t 0 E(x y,t s)f(y,s)dyds R n R n E(x y,t)u 0 (y)dy definiert sind. 8