Dilatationen. Seminararbeit

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1 Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik Dilatationen Seminararbeit Niklas Geske Matrikelnummer: Betreuung: Prof. Dr. Detlev Hoffmann Alexander Schönert 19. November 2019

2 Inhaltsverzeichnis 1 Dilatationen Einleitung Definition Beispiele Satz Korollar Bemerkung Satz Bemerkung Fixpunkte und Fixgeraden bei Dilatationen Definition Satz Beispiele in AG(2, R) Satz Definition Satz Literatur 9 1

3 Kapitel 1 Dilatationen 1.1 Einleitung Dilatationen sind Abbildungen zwischen den Punkten affiner Ebenen. Bei Dilatationen müssen alle verschiedenen Bildpunkte einer Geraden g auf eine zu g parallele Gerade abgebildet werden. Wie bereits in LinA2, den vorangegangenen Vorträgen und der Schule besprochen, sind Abbildungen als Streckung, Drehung oder Verschiebung bekannt. Im Folgenden wird nun untersucht, welche dieser Abbildungen Dilatationen sind oder sein können. Notation: {P, Q} P 2 bedeutet, dass die Punkte P, Q verschieden sind. 1.2 Definition Eine Abbidung δ : P P heißt Dilatation: (i) {P, Q} P 2 : δ(q) (δ(p ) P Q) und (ii) {A, B} P 2 mit δ(a) δ(b). Dilatationen bilden Geraden auf (Teilmengen von) Geraden ab. Wir werden beweisen, dass Dilatationen Geraden auf eine dazu parallele Gerade abbilden. 1.3 Beispiele (i) Die Identität ist in jeder affinen Ebene eine Dilatation. (ii) In AG(2, R) ist jede Translation und jede Streckung wegen δ(g) g eine Dilatation. Die Parallelität bleibt bei diesen Abbildungen also erhalten. (iii) Drehungen sind hingegen in AG(2, R) keine Dilatationen. Ausnahmen sind Drehungen, bei denen der Drehwinkel ein Vielfaches von π ist. (iv) Welche Abbildungen im Minimalmodell sind Dilatationen? Lösung: Da Streckungen im Minimalmodell = Z/2Z keinen Sinn ergeben, sind nur Verschiebungen Dilatationen im Minimalmodell. 2

4 Dabei ist die Identität klar. Also gibt es insgesamt die Möglichkeiten: (x, y) (x, y) (x, y) (x + 1, y) (x, y) (x, y + 1) (x, y) (x + 1, y + 1), womit alle Fälle für Dilatationen in Z/2Z abgehandelt wären. (v) Warum ist die Abbildung α : (x, y) (x, y+1) eine Dilatation in der Moultonebene? Zur Erinnerung: In der Moultonebene verhalten sich Geraden mit negativer Steigung wie in der Anschauungsebene. Geraden mit positiver Steigung knicken hingegen an der y-achse und verdoppeln dort ihre Steigung. Somit ist der Unterschied zur Anschauungsebene folgender: g : y = mx + b für x 0 und m 0 und y = 2mx + b für x 0 und m 0. Damit haben wir 4 Fallunterscheidungen für diese Dilatation in der Moultonebene: 1. Fall: α(g k ) (g k ) und sind Geraden vom Typ (g k ) identisch unter α. 2. Fall: α(g m,b ) (g m,b+1 ) für x R und m 0, wobei (g m,b ) (g m,b+1 ) gilt. 3. Fall: α(g m,b ) (g m,b+1 ) für x (,0] und m > 0, wobei (g m,b ) (g m,b+1 ) gilt. 4. Fall: α(g 2m,b ) (g 2m,b+1 ) für x [0, ) und m 0, wobei (g 2m,b ) (g 2m,b+1 ) gilt. (vi) Eine Abbildung δ P : P P ; X Q für ein festes Q P erfüllt (i) der Definition einer Dilatation, (ii) wird hingegen nicht erfüllt, und so wird δ P eine ausgeartete Dilatation genannt. Die ausgeartete Dilatation hat also nach Definition nicht den Namen Dilatation verdient. Wie viel von einer Dilatation muss bekannt sein, damit diese eindeutig zu bestimmen ist? Der folgende Satz besagt, dass eine Dilatation bereits durch die Bilder zweier Punkte eindeutig bestimmt ist. 1.4 Satz Seien α, β Dilatationen(auch ausgeartet möglich). Für {P, Q} P 2 mit α(p ) = β(p ) ; α(q) = β(q) α = β. Beweis : Zu zeigen ist, dass α(r) = β(r) R P. Wir unterscheiden dabei zwei Fälle. 1.Fall: R / P Q. Nach Def 1.1 ist α(r) (α(p ) P R) = (β(p ) P R) β(r) analog α(r) (α(q) QR) = (β(q) P R) β(r) Wegen PR QR (α(p ) P R) (α(q) QR) (α(p ) P R) (α(q) QR) = 1 α(r) = β(r) 3

5 Also unterscheiden sich α und β nicht für die Punkte, welche nicht auf der Geraden PQ liegen. 2.Fall: R P Q Falls R = P R = Q ist, ist nichts zu zeigen. Durch (AE3) S / P Q. Für diesen Punkt S gilt nach Fall 1 α(s) = β(s). Weil nun R / P S, wenden wir wieder Fall 1 auf R, P, S an Behauptung. Also ist α(r) = β(r) R P. 1.5 Korollar Jede Dilatation δ mit zwei Fixpunkten ist die Identität. Beweis : Für Fixpunkte P, Q P gilt: δ(p ) = P = id(p ) ; δ(q) = Q = id(q) δ = id 1.6 Bemerkung Satz 1.4 kann nicht auf beliebige Kollineationen (Isomorphien) übertragen werden; z.b besitzt eine Geradenspiegelung in AG(2, R) unendliche viele Fixpunkte und ist ungleich der Identität. Im Weiteren wollen wir den Zusammenhang zwischen Kollineationen und Dilatationen genauer untersuchen. 1.7 Satz Jede (nicht ausgeartete) Dilatation δ ist eine Kollineation. Beweis : Nach Definition bilden Dilatationen Geraden auf Teilmengen von Geraden ab. Zu zeigen ist also noch die Bijektivität. 1. Injektivität: Angenommen für A, B P sei δ(a) = δ(b). Wir vergleichen δ mit der ausgearteten Dilatation δ P, welche jeden beliebigen Punkt X auf ein festes P abbildet. Da beide Dilatationen übereinstimmen, gilt nach Satz 1.4 δ = δ P. Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Vorraussetzung δ ist injektiv. 2. Surjektivität: Wir suchen zu einem beliebigen T ein Urbild. {P, Q} P 2 mit δ(p ) = P Q = δ(q). 1. Fall: T / P Q : Also T P T Q (P T P ) (Q T Q ). Die Geraden haben also einen Schnittpunkt :=T 0, der nach Definition bereits das gesuchte Urbild von T ist. 2. Fall: T P Q : Falls T = P T = Q ist nichts zu zeigen. Wähle beliebigen Punkt S / P Q. Wie gerade gezeigt S 0 P mit δ(s 0 ) = S; so wenden wir Fall 1 auf T / P S an. Behauptung 4

6 1.8 Bemerkung Bzgl. der Verkettung als Verknüpfung bilden die Dilatationen eine Untergruppe der Gruppe aller Affinitäten. (UG1) id (D, ) (UG2) Seien σ, δ D ; {P, Q} P 2 Nach Def. gilt δ(q) (δ(p ) P Q) (σ δ)(q) ((σ δ)(p ) δ(p )δ(q)). Es wurde die Transitivität der Parallelität ausgenutzt. (UG3) id = σ δ (δ 1) id δ 1 = σ δ δ 1 δ 1 = σ δ 1 (D, ) 5

7 Kapitel 2 Fixpunkte und Fixgeraden bei Dilatationen 2.1 Definition Sei α eine Kollineation. g G heißt Fixgerade : P g : α(p ) g. Fixgerade bedeutet aber nicht, dass jeder Punkt auf ihr ein Fixpunkt ist, sondern lediglich, dass der Punkt nach der Abbildung wieder auf der ursprünglichen Geraden liegt. 2.2 Satz Für jede Affinität α gilt: g,h Fixgeraden mit g h g h ist Fixpunkt von α. Also der Schnittpunkt zweier Fixgeraden ist stets ein Fixpunkt. Beweis : Seien g,h Fixgeraden mit g h Sei P der eindeutig bestimmte Schnittpunkt von g und h. Weil g und h Fixgeraden sind, folgt α(p ) g h P = α(p ) 2.3 Beispiele in AG(2, R) (i) τ : (x, y) (x + 1, y + 1) ist eine Dilatation mit Fixgerade g 1,0. τ(g 1,0 ) = {τ(x, x); x R} = {(x + 1, x + 1); x R} = g 1,0 Also ist kein Punkt Fixpunkt unter τ. Weiter ist jede Gerade mit der Steigung 1 Fixgerade. Die Geraden g 1,b bilden also ein Parallelbüschel. (ii) δ : (x, y) ( x, y) ist eine Dilatation, bei der jede Gerade durch (0,0) Fixgerade ist, und (0,0) nach Satz 2.2 Fixpunkt ist. ( ) ( ) ( ) 1 0 xy x Zusätzlich ist δ bereits aus LinA 2 bekannt: 0 1 = y Damit ist δ eine Drehung um 180 Grad. (iii) α : (x, y) (y, x) ist keine Dilatation, allerdings eine Kollineation. Die Parallelität bleibt unter α nicht erhalten. ( ) ( ) ( ) 0 1 xy y Auch α ist bereits aus LinA 2 bekannt. 1 0 = x Damit ist α eine Drehung um 90 Grad. (iv) β : (x, y) (x, y) ist wie (iii) eine Kollineation, allerdings keine Dilatation. Jede Gerade vom Typ g k ist Fixgerade, genau wie die Gerade g 0,0. Dabei ist jeder Punkt auf 6

8 g 0,0 sogar Fixpunkt. β ist also eine Spiegelung an der x-achse, bei der die Parallelität zwischen Geraden natürlich nicht erhalten bleibt. 2.4 Satz Im Fall von Dilatationen besitzen Fixgeraden interessante Eigenschaften. Für jede Dilatation δ gilt: (i) g ist Fixgerade P g mit δ(p ) g. (ii) Hat δ keine Fixpunkte, so bildet die Menge der Fixgeraden ein Parallelbüschel. (iii) Ist P Fixpunkt von δ id, so ist die Menge der Fixgeraden die Menge aller Geraden durch P. Insbesondere liegen die Fixgeraden parallel. Beweis : (i) folgt aus Def 2.1 Sei P g mit δ(p ) g. Weiter Q g mit Q P. So folgt δ(q) (δ(p ) P Q) = g, also ist g Fixgerade. (ii) g := P δ(p ) (P δ(p )) ist nach (i) für jeden Punkt P Fixgerade. Für jeden weiteren Punkt Q muss wegen (Satz 2.2) (g Qδ(Q)) seien, denn sonst hätte δ einen Fixpunkt. Qδ(Q) = (Q g) und so ist jede zu g parallele Gerade Fixgerade unter δ. Weitere Fixgeraden kann es wegen Satz 2.2 nicht geben. (iii) Nach (i) sind alle Geraden durch P Fixgeraden. Alle weiteren Geraden haben mit mindestens einer dieser Fixgeraden einen Schnittpunkt. Gäbe es weitere Fixgeraden, so würde es neben P einen weiteren Fixpunkt geben. Nach Satz 1.4 würde dann allerdings δ = id folgen, was allerdings ein Widerspruch zur Vorraussetzung ist. 2.5 Definition Dilatationen können keinen, einen oder jeden Punkt als Fixpunkt besitzen. (i) Eine Dilatation σ heißt Streckung : σ besitzt einen Fixpunkt. Dieser Fixpunkt wird auch Zentrum einer Dilatation genannt. Beispielaufgabe zu (i): Für α R {0} sei σ α : R 2 R 2 ; (x, y) (α(x), α(y) a) Bestimme die Bilder aller Geraden unter σ α σ α ist bijektiv. Weiter ist (0, 0) (0, 0) Fixpunkt unter σ α. σ(g k ) = g αk g k σ(g m,b ) = g m,αb g m,b Damit bleibt unter σ α die Parallelität für alle Geraden erhalten und so ist σ α eine Dilatation. Genauer ist σ α eine Streckung. Aus LinA2 ist die dazugehörige lineare Abbildung bekannt. 7

9 ( ) ( ) α 0 xy 0 α = ( ) αx αy mit det(σ α ) = α 2 0 (ii) Eine Dilatation τ heißt Translation : τ = id oder τ besitzt keinen Fixpunkt. Beispielaufgabe zu (ii): Gegeben sind 2 Punkte mit zugehörigen Bildpunkten. τ : ( 1, 1) (1, 0) und (1, 2) (3, 1) Da sich die Geraden aus Punkt und Bildpunkt (nach 2.4 (i) Fixgeraden) nicht schneiden, folgt, dass es keinen Fixpunkt unter τ gibt. τ : (x, y) (x + 2, y 1) So ist jede Gerade mit der Steigung 1 Fixgerade und bildet ein Parallelbüschel. 2 Korollar: In der Anschauungsebene ist jede Abbildung (x, y) (x + a, y + b) eine Translation. Bei Dilatationen haben wir gesehen, dass zwei Punkte mit zugehörigen Bildpunkten ausreichen, um sie eindeutig zu bestimmen. Bei Translationen ist dies noch leichter möglich. 2.6 Satz Seien τ 1, τ 2 Translationen mit τ 1 (P ) = τ 2 (P ) für P P τ 1 = τ 2 Beweis : Sei τ 1 (P ) = τ 2 (P ) = P P ( sonst wäre P Fixpunkt und nach Def 2.5 (ii) wäre τ = id) Sei R P P, so ist τ i (R) (R P P ) für i=1,2 und damit gilt: τ 1 (R) (R P P ) (P P R) τ 1 (P ) = τ 2 (P ), nach Satz 1.4 stimmen die Abbildungen überein. 8

10 Literatur [1] Kiechle, H.(2012). Skript: Grundbildung Geometrie [2] Kiechle, H. Skript: Geometrie. Online unter: zuletzt aufgerufen am