Mathematische Grundlagen der. Computergeometrie

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1 Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT C H E M N I T Z Mathematische Grundlagen der Computergeometrie (Vorlesung: Dr. M. Pester) Inhalt: Grundlagen der analtischen Geometrie 3. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Produkte von Vektoren Lagebeziehungen im Raum Koordinatenssteme 6. Affine Koordinaten Homogene Koordinaten Koordinatentransformationen 8 3. Objekttransformationen Transformation des Koordinatensstems Transformation auf Betrachterkoordinaten Projektionen 4 4. Parallelprojektion Spezialfälle Perspektiv Projektion Kurven und Flächen in der Ebene und im Raum 5. Parameterdarstellung für Kurven Parameterdarstellung für Flächen Flächenkurven Tangenten an Flächenkurven Krümmung einer Fläche

2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Literatur [] E. Kreszig. Differentialgeometrie. Akad. Verlagsgesellschaft Geest & Portig KG, 957. [] J. Encarnaçao und W. Straßer. Computer Graphics: Gerätetechnik, Programmierung und Anwendung graphischer Ssteme. Reihe Datenverarbeitung. Oldenbourg München Wien, 988. [3] J. Plate. Computergrafik: Einführung Algorithmen Programmentwicklung. Franzis-Verlag GmbH München, 988. [4] C. Hornung und J. Pöpsel. 3-D a la carte. c t, Hefte 4, 5, 7, 8 und, 989. [5] G. Aumann, K. Spitzmüller. Computerorientierte Geometrie. Wissenschaftsverlag Mannheim Leipzig Wien Zürich, 993.

3 M. Pester 3 Grundlagen der analtischen Geometrie. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Einsatz rechnerischer Methoden für die Behandlung geometrischer Beziehungen. Punkten werden Zahlentupel (Koordinaten) zugeordnet. Festlegung eines Koordinatensstems mit Ursprung und (rechtwinkligen) Koordinatenachsen, z. B.: IR = { : IR} IR = {(, ) :, IR} P P Gerade Ebene IR 3 = {(,, z) :,, z IR} z Raum P Vektoren Dem Punkt P = (,, z) kann ein Ortsvektor p = Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt P ). z zugeordnet werden (der Gerade in der Ebene, definiert durch voneinander verschiedene Punkte P und P. Geradengleichungen: Zwei-Punkte-Gleichung: = Punkt-Richtungs-Gleichung: = m ( ) + Allgemeine Gleichung: a + b + c = (Sonderfälle beachten!) Gerade im Raum, definiert durch P = (,, z ) und P = (,, z ). Richtungsvektor: a = α ( p p ) = α z z mit α = ( ) + ( ) + (z z ) Parameterdarstellung: p = p + t a, t IR, a =

4 4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Ebene im Raum, bestimmt durch: 3 nicht auf einer Geraden liegende Punkte P, P, P oder sich schneidende (oder zueinander parallele) Geraden. Ebenengleichungen: Parameterdarstellung: p = p + t a + s a, t, s IR, a = a = Allgemeine Gleichung: A + B + Cz + D = Hessesche Normalform: n + n + n z z + d = n = n n = Normalenvektor n = Abschnittsgleichung: n z d = Abstand der Ebene von a + b + z c = a, b, c Abstände der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen vom Ursprung. Produkte von Vektoren () Skalarprodukt (inneres Produkt) Def.: a, b = a b = a b cos ( a, b) Eigenschaften: a b a b = a b a b = ± a b Koordinatenschreibweise: a b = a b + a b + a z b z () Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt) Def.: a b = v mit: v = a b sin ( a, b) und v a, b a, b, v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssstem. Eigenschaften: a b a b = a b a b a b = O Koordinatenschreibweise: a i j k b = a a a z = b b b z (3) Spatprodukt (gemischtes Produkt) Def.: Eigenschaften: ( a b c) = a b, c = ( a b) c a, b, c sind komplanar ( a b c) = ( a b c) = ( b c a) = ( c a b) a b z a z b a z b a b z a b a b

5 M. Pester 5 Koordinatenschreibweise: ( a a a a z c (a b z a z b ) b c) = b b b z = + c (a z b a b z ) c c c z + c z (a b a b ).3 Lagebeziehungen im Raum () Punkt Gerade Geg.: Gerade g: p = p + t a, a = Punkt Q: q Ges.: Abstand d: kürzeste Entfernung von Q zu allen Punkten P (t) auf g. d = ( q p ) a a () Zwei Geraden Geg.: Gerade g : p = p + t a, a = Gerade g : q = q + t a, a = Ges.: Abstand d bzw. Schnittpunkt P a d g Q = Fläche (des aufgespannten Parallelogramms) Grundseite d = q p, a a, für a a = a a Spezialfälle: Q g d P g ( a a ) = Geraden sind parallel (wie Punkt Gerade) ( a a ), d = Geraden schneiden sich ( a a ), d Geraden sind windschief (3) Punkt Ebene Geg.: Ebene E: n p + d =, n = Punkt P : p Ges.: Abstand d Zu E parallele Ebene durch P : n p + (d d ) = d = n p + d E P n d (4) Gerade Ebene Geg.: Ebene E: n p + d =, n = Gerade g: p = p + t a Ges.: Schnittpunkt Gleichung in t: ( n a) t + ( n p ) + d = Für ( n a) = gilt: g E (5) Zwei Ebenen Geg.: Ebene E : n p + d =, n = Ebene E : n p + d =, n = Ges.: Schnittgerade Gleichungen in p = (,, z) parameterabhängige Lösung: p = p + t a mit: a = n n n n, für n n O E n g P a n n E a E

6 6 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Koordinatenssteme. Affine Koordinaten Ein Koordinatensstem dient als Bezugssstem für Darstellung von Punkten und Vektoren (Grundobjekte der analtischen Geometrie). Allgemeine Definition und Eigenschaften [X, T (X)] def = affiner Raum, bestehend aus X = Menge von Punkten T (X) = Menge von Translationen auf X Punkte P, Q, R,... X Vektoren v, w,... T (X) P, Q X v T (X) : Q = P + v P X, v T (X) Q X : Q = P + v v = P Q def = Q P P Q + QR = P R P P = O P Q = QP (Nullvektor) Als Koordinatenursprung wird ein Punkt O X ausgezeichnet: P X P = O + OP, P + Q = R OP + OQ = OR OP T (X) Wahl einer Basis in T(X): B = { u,..., u n } Koordinatensstem: (O, B) = (O, { u,..., u n }) Affine Koordinaten: v T (X) : v = j v j u j, v j IR P X : P = O + j p j u j, p j IR Vektorkoordinaten: v = Punktkoordinaten: P = v. v n p. p n IRn v T (X) IRn P X Kartesische Koordinaten im IR 3 : ( { }) O, i, j, k : i j = i k = j k = i i = j j = k k = } Orthonormalsstem i e =, j e =, k e3 =

7 M. Pester 7. Homogene Koordinaten Homogene Gleichungen sind solche Gleichungen, deren Lösungsmenge sich nicht ändert, wenn jede Gleichungsvariable durch ihr k-faches ersetzt wird. Betrachten wir z. B. die Ebenengleichung a + b + cz + d = mit den Gleichungsvariablen,, z. Durch Einführung einer zusätzlichen Variablen w entsteht die homogene Gleichung a + b + cz + dw = mit den Gleichungsvariablen,, z, w. Für jede Lösung P = z mit w ist auch P = w z = w w w z eine Lösung dieser homogenen Gleichung. Die Ebenengleichung kann somit auch mit dem Skalarprodukt formuliert werden: a b c z = d w Ein Punkt P mit den affinen Koordinaten (,, z) besitzt die homogenen Koordinaten (,, z, ) bzw. (w, w, wz, w) mit w. Bei der Darstellung von Vektoren in homogenen Koordinaten ist w = : q p q p v = P q Q = Q P = q z p p z = q p q z p z = Diese Rechnung ist zwar nicht ganz korrekt, veranschaulicht aber den Unterschied zwischen Punkt und Richtung. Für einen Vektor in homogenen Koordinaten ist nur die Richtung von Bedeutung. Jedes Vielfache ist gleichwertig (ebenso wie bei Punkten in homogenen Koordinaten). Anmerkungen: Ein Punkt mit den homogenen Koordinaten (,, z, ) besitzt keine affinen Koordinaten. Die Betrachtung als Grenzwert liefert: z = lim lim n z n n z n d. h. ein Vektor kann aufgefasst werden als ein unendlich ferner Punkt in der entsprechenden Richtung. In der projektiven Geometrie werden homogene Kooordinaten in einem n-dimensionalen projektiven Raum IP n als die Richtungsvektoren der -dimensionalen Unterräume des IR n+ definiert: (λ,..., λ n+ ). Die Punkte = (,..., n ) IR n können in diesen projektiven Raum eingebettet werden, z.b. als Schnittpunkte der D-Unterräume mit der Hperebene n+ =. Die Richtungen (Vektoren) IR n sind dann diejenigen D-Unterräume, die in der Hperebene n+ = liegen. (s.o.: w = bzw. w = ) v v v z

8 8 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 3 Koordinatentransformationen Für die Darstellung von dreidimensionalen Objekten wird grundsätzlich eine Reihe von Transformationen ausgeführt, die von den Modellkoordinaten bis hin zu den Gerätekoordinaten (z. B. Bildschirm) führen. Transformations Pipeline: MC Modellkoordinaten lokale Koordinaten eines zu betrachtenden Objekts, z. B. Koordinatenursprung im Mittelpunkt und Achsen parallel zu Begrenzungsflächen WC Weltkoordinaten Anordnung des Modells (bzw. mehrerer Modelle) in der Welt (Berücksichtigung der räumlichen Lage zueinander) VRC NPC DC Betrachterkoordinaten (View Reference Coordinate Sstem) Normalisierte Gerätekoordinaten (Normalized Projection Coordinate Sstem) Gerätekoordinaten (Device Coordinate Sstem) Festlegung der Lage der Bildebene in der Welt durch: VRP NRP VUP (View Reference Point) Bezugspunkt, z. B. Mittelpunkt der Bildschirmebene (Normal Reference Point) Punkt auf der positiven z Achse, die zum Betrachter zeigt, Betrachterstandpunkt (View Up Vector) Orientierung der Bildebene, Achse Festlegung des Ausschnitts aus der Welt, der nach Projektion auf die Bildebene sichtbar sein soll. Dieser wird als Einheitswürfel definiert (Seitenlänge z. B. 3 in ganzzahligen Koordinaten für hohe Auflösung und geringeren Rechenaufwand) Abbildung der geräteunabhängigen (normalisierten) Gerätekoordinaten auf die Koordinaten des konkreten Ausgabegerätes (Bildschirm, Drucker,... ) Transformationen werden für homogene Koordinaten durch 4 4 Matrizen beschrieben: p = T p bzw. z w = t t t 3 t 4 t t t 3 t 4 t 3 t 3 t 33 t 34 t 4 t 4 t 43 t 44 z w Die Nacheinanderausführung von Transformationen T und T entspricht einer Gesamttransformation T = T T, die durch Matrimultiplikation zu berechnen ist. Beachte: Matrimultiplikation ist nicht kommutativ. Da in der Regel darzustellende Objekte aus sehr vielen Punkten bestehen, sollte grundsätzlich zunächst die aus allen Einzeltransformationen T i entstehende Gesamttransformation T berechnet werden, so dass nur diese eine Matri mit allen Punkten zu multiplizieren ist.

9 M. Pester 9 3. Objekttransformationen In einem gegebenen Koordinatensstem werden Objekte (Punkte) transformiert (bewegt). () Translation Verschiebung aller Punkte um einen Vektor v = z Transformation und Rücktransformation T = z, T = z Es gilt offensichtlich: z w = T z = + + z + z und T + + z + z = z () Rotation Transformationsmatrizen für die Drehung aller Punkte um eine Koordinatenachse um einen Winkel ϕ im mathematisch positiven Drehsinn: cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ R (ϕ) = R (ϕ) = sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ R z (ϕ) = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ Die Rücktransformation ist eine Drehung um den Winkel ϕ um die gleiche Achse. Wegen cos( ϕ) = cos ϕ und sin( ϕ) = sin ϕ gilt: R = R, R = R, Rz = R z Transformationsmatri für die Drehung um eine beliebige durch den Ursprung verlaufende Achse (mit: c = cos ϕ, s = sin ϕ): R g (ϕ) = g : P = O + t a, t IR, a = a a a z, a = c + ( c)a ( c)a a sa z ( c)a z a + sa ( c)a a + sa z c + ( c)a ( c)a a z sa ( c)a z a sa ( c)a a z + sa c + ( c)a z Rotationsmatrizen sind orthogonale Matrizen ( R = R und R = ).

10 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE (3) Spiegelung Wir betrachten die Spiegelung an einer durch den Ursprung verlaufenden Ebene, die durch ihren Normalenvektor n gegeben ist. Der Bildpunkt P eines Punktes P liegt auf der entgegengesetzten Seite der Ebene im gleichen Abstand d von der Ebene. Der Verbindungsvektor P P verläuft senkrecht zur Spiegelungsebene, also parallel zu n: P = P d n, d = ( n OP ) = n p + n p + n z p z d. h. p p p z w = p n (n p + n p + n z p z ) p n (n p + n p + n z p z ) p z n z (n p + n p + n z p z ) = n n n n n z n n n n n z n n z n n z n z p p p z Spiegelungsmatri: S = I nn. Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen. Es gilt: S = S = S und S =. (4) Skalierung Durch Änderung der Maßeinheiten der einzelnen Koordinatenrichtungen werden alle Objekte entsprechend gestreckt bzw. gestaucht. Der Skalierungsfaktor s bedeutet hier eine Änderung der Einheitslänge der Achse auf s. Die Verkürzung der Einheit (s > ) entspricht somit einer Streckung des Objekts bei gleichbleibender Einheit, für s < wird das Objekt in Richtung gestaucht. p p p z w s p = s p s z p z = Dabei gilt offensichtlich w =. s s s z p p p z d. h. p = M p. Für den Fall einer einheitlichen Skalierung in allen drei Koordinatenrichtungen kann auch die folgende Skalierungsmatri verwendet werden (mit s = s = s z = s): M s = s d. h. p = p p p z s = s p s p s p z (5) Scherung Unter der Scherung versteht man eine Verzerrung des Bildes durch die Verschiebung eines jeden Punktes in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen um einen Betrag, der vom ursprünglichen Abstand des Punktes zu den jeweils anderen Achsen linear abhängt. z w = + s + s z s s 4 z s 5 + s 6 + z = s s s 3 s 4 s 5 s 6 z

11 M. Pester In der Ebene: P ( + s, + s 3 ) w = s s 3 3. Transformation des Koordinatensstems Die zu betrachtenden Objekte bleiben in der Welt unverändert. Lediglich das Bezugssstem (das Betrachterkoordinatensstem) wird neu festgelegt. Bezüglich dieses neuen Koordinatensstems entstehen für alle Objekte neue Koordinaten. Wir bezeichnen mit K O das Originalkoordinatensstem und mit K B das Bild oder Betrachterkoordinatensstem: K O = (O, { u, u, u 3 }) ( { K B = O, b, b, }) () b 3 Beispiel: Verschiebung des Ursprungs b u v O O P u Dabei ist b i = u i, d. h. die Basisvektoren stimmen überein. Es gilt: p = p v. Die Verschiebung des Ursprungs um den Vektor v entspricht somit einer (Objekt ) Verschiebung des Punktes P um den Vektor v. b Drehung (mit Zentrum im Ursprung) b u P b ϕ O u Die Basisvektoren werden um eine durch den Ursprung verlaufende Achse um den Winkel ϕ gedreht (Basistransformation). Die Koordinaten p entsprechen denen der (Objekt ) Drehung des Punktes P mit dem Winkel ϕ. Folgerung: Die Transformation des Koordinatensstems liefert jeweils die gleichen Bildkoordinaten wie die Inverse der entsprechenden Objekttransformation. Die Basistransformation Original und Betrachterkoordinatensstem seien wie in () gegeben, jeweils mit einer Orthonormalbasis. Für einen beliebigen Vektor v gilt in K O : v = v j u j in K B : v = v i b i ()

12 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Damit gilt auch für die Vektoren b i der Basis von K B Basisvektoren u j von K O : eine solche Zerlegung bezüglich der bi = 3 a ij u j, i =,, 3 (3) j= oder in Koordinatenschreibweise: b = a a, b = a a, b 3 = a 3 a 3 (4) a 3 a 3 a 33 Diese Zerlegungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basis werden zu einer Matri A zusammengefasst: b a a a 3 A = b = a a a 3 b 3 a 3 a 3 a 33 Wegen der Orthonormalität der Basisvektoren gilt: b b A b = b b = = e, analog: A b = e, A b 3 = e 3, b 3 b d. h. die Matri A bildet die Koordinaten der neuen Basisvektoren b i bezüglich der Basis von K O in die Einheitsvektoren e i ab. Daraus folgt unmittelbar: A A = A (b b b 3 ) = (e e e 3 ) = I also: A = A Für einen beliebigen Vektor v gilt nach (): v = v j u j und v = j i v i b i = i v i j ( a ij u j ) = j i a ij v i u j d. h. v j = i a ij v i Die Anwendung der Matri A auf einen Vektor in Koordinaten von K O liefert dessen Koordinaten in K B. Ebenso liefert die Anwendung von A auf einen Vektor in Koordinaten von K B dessen Koordinaten in K O : v = A v und v = A v. Die Gesamttransformation T des Koordinatensstems setzt sich aus der zuerst auszuführenden Verschiebung des Ursprungs um den Vektor c = OO und der anschließenden Basistransformation zusammen: ( ) ( ) ( ) A O I c A Ac T = O O = O ( ) ( ) ( ) T I c A = O A O O = c O Hier ist c die Koordinatendarstellung des Vektors c im Koordinatensstem K O. (Ac ist derselbe Vektor in Koordinaten von K B.)

13 M. Pester Transformation auf Betrachterkoordinaten Wir betrachten hier zunächst nur die Basistransformation unter der Annahme, dass der Koordinatenursprung zuvor in den Mittelpunkt des zu betrachtenden Ausschnittes verschoben wurde (später z. B. auf den Mittelpunkt des Bildschirms abzubilden). Die Basis des Betrachterkoordinatensstem K B sei im folgenden stets definiert durch die Vektoren: u: v: w: Up Vektor, der in der Bildebene liegt und nach oben zeigt; Blickvektor, senkrecht aus der Bildebene zum Betrachter (Normalenvektor der Bildebene); ein zu u und v orthogonaler Vektor, so dass { w, u, v} ein Rechtssstem ist, d. h. w = u v. z u v w 3 Die Basisvektoren des Weltkoordinatensstems (K O ) sind mit,, z bezeichnet. Die Basisvektoren u, v, w seien in Weltkoordinaten gegeben: u = u u u 3, v = v v v 3, w = w w w 3 = u v 3 u 3 v u 3 v u v 3 u v u v Dann lautet die Matri für die Basistransformation: w w w 3 A = u u u 3 bzw. T = v v v 3 w w w 3 u u u 3 v v v 3 ( = A ) Die Vektorkoordinaten von,, z in der Basis des Betrachterkoordinatensstems seien mit,, z bezeichnet. Im Ausgangskoordinatensstem hatten diese Vektoren die Koordinaten = = e, = = e, z = = e 3. Somit gilt: = A = = A = w w w 3 u u u 3 v v v 3 w u =, z = A z = w 3 u 3 w u v v v 3

14 4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 4 Projektionen 4. Parallelprojektion (a) Senkrechte Projektion auf eine Koordinatenebene Wir wählen als Projektionsebene die Ebene, d. h. in den Bezeichnungen von Abschnitt 3.3: v = z, u =, w = Die Projektion in z Richtung (auf die Ebene z = ) bewirkt keine Veränderung der und Koordinaten: p = z = p = P z p = Die Projektionsmatri lautet: P z = z (b) Schiefe Projektion auf eine Koordinatenebene P z = Die Projektionsebene sei weiterhin die Koordinatenebene. Die Projektionsstrahlen verlaufen in Richtung eines Vektors a, der nicht parallel (und im allgemeinen auch nicht senkrecht) zur Projektionsebene ist. Der Bildpunkt P des Punktes P ist der Schnittpunkt der Geraden g : {p + t a} mit der Projektionsebene (z = ). Mit P a = a a a z, p = z, p = z = wird der Schnittpunkt für t = z erreicht. a z Die Projektionsmatri in Richtung a hat die Gestalt: a a z a a P a = z z P a P (c) Senkrechte Projektion auf beliebige Ebene Die Projektionsebene E = (P, n) ist durch einen Bezugspunkt P und ihren Normalenvektor gegeben. Zunächst ist eine Transformation des Koordinatensstems (siehe 3.3) durchzuführen, bevor die Projektionsmatri P z angewendet werden kann. Zur Orientierung der Bildebene ist der Up-Vektor festzulegen:

15 M. Pester 5 Es sei also u ein Vektor, dessen projiziertes Bild u p nach oben zeigen soll. Es gilt u p = u ( u n) n und als Up-Vektor wird der normierte Vektor u = u p u p verwendet. Die Projektion setzt sich schließlich zusammen aus der Verschiebung des Koordinatenursprungs in den Punkt P der Basistransformation in die Basis { w, u, v} mit w = u n und v = n. der Projektion P z, d. h. aus der Richtung des dritten Basisvektors nach der Basistransformation. w w w 3 c P n = u u u 3 v v v 3 c c 3 4. Spezialfälle () Orthoprojektionen (a) Hauptrisse Durch orthogonale Projektion in Achsenrichtung entstehen die aus der darstellenden Geometrie bekannten Hauptrisse: Grundriss: Blick von oben Aufriss: Blick von vorn Seitenriss: Blick von einer Seite Je nach Zuordnung der Koordinatenachsen zu den Richtungen oben, vorn, Seite rechts oder links ergibt sich die Projektionsmatri. (b) Aonometrie Drei beliebige, von einem Punkt ausgehende Strecken in der (Projektions-) Ebene können als Bild von drei aufeinander senkrecht stehenden gleichlangen Strecken im Raum aufgefasst werden, sofern ihre Endpunkte nicht alle auf einer Geraden durch den Ursprung liegen (Satz von Pohlke). Wir betrachten einige Spezialfälle einer orthogonalen Projektion auf eine Ebene, die durch ihren Normalenvektor n gegeben ist. Isometrische Projektion: n = 3 ( u + u + u 3 ) bzw. n = 3 Der Vektor n bildet mit jeder Achsenrichtung den gleichen Winkel (gleiche -, - und z-komponenten). Ein beliebiger Vektor u = (u, u, u 3) wird als Up Vektor gewählt. Sein Bild in der Projektionsebene ist u p = u ( n u ) n. Dann gilt u p = u u u 3 3 (u + u + u 3) = 3 u Für den Vektor u = u p gilt dann u p u + u + u 3 = (5) u + u + u 3 = (6)

16 6 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Die Matri zur Basistransformation in die Basis { w, u, v} mit v = n und w = u v lautet dann A = u u 3 u 3 u u u u 3 u 3 u3 3 3 Somit erhält man als Projektion der drei Einheitsvektoren des Ausgangskoordinatensstems die folgenden Vektoren P e = 3 u u 3 u 3, P e = 3 P e 3 = 3 u u u 3 3 u 3 u u 3 und es gilt mit (5) und (6): P e k =, (k =,, 3) 3 Wegen der gleichen Länge der drei Einheitsvektoren nennt man diese Projektion isometrisch. Dimetrische Projektion: n = + α (α u + u + u 3 ) bzw. n =, + α Der Vektor n bildet mit zwei Achsenrichtungen einen gleichen Winkel, mit der dritten Richtung aber einen anderen. Man erhält in analoger Weise (für u = e 3 ): + α P e = ( + α )( + α ) P e = P e 3 = ( + α )( + α ) ( + α )( + α ) α α + α + α und für die Längen der projizierten Einheitsvektoren gilt: P e = + α, P e = P e 3 = + α + α. Trimetrische Projektion: n = α + α + (α u + α u + α 3 u 3 ) α 3 bzw. n = α + α + α 3 α α α 3 Der Vektor n bildet mit allen drei Achsenrichtungen unterschiedliche Winkel. Die Projektion der Einheitsvektoren liefert verschieden lange Strecken. () Schiefe Projektion Als Projektionsebene wird eine Koordinatenebene gewählt. Die Projektionsrichtung sei nicht orthogonal zur Projektionsebene. In diesem Abschnitt (Seite 4) wurde bereits die Matri P a für die Projektion in Richtung eines Vektors a auf die Ebene angegeben. Bei Projektion auf eine andere Koordinatenebene (z. B. z Ebene) ist zuvor eine Basistransformation auszuführen, um dann diese Matri anzuwenden. α

17 M. Pester 7 Beispiel: u 3 b u u b3 b Für die Basisvektoren { u, u, u 3 } bzw. { b, b, b 3 } gilt in diesem Beispiel offensichtlich b = u b = u 3 mit der Transformation A = b3 = u Hat der Vektor a im Originalkoordinatensstem (u Basis) die Komponenten (a, a, a 3 ), so hat er im transformierten Koordinatensstem die Komponenten (a, a 3, a ). Die auf die Koordinaten in der b Basis anzuwendende Projektionsmatri in Richtung a hat somit die Gestalt: P a = a a a3 a = a a a 3 a Die Multiplikation der Matrizen P a und A ergibt die Gesamtprojektion (einschließlich Basistransformation): P = a a a 3 a = a a a3 a Wir betrachten den Spezialfall: ˆ( a, n) = π 4 Wegen cos ˆ( a, n) = a a = +a gilt dann: a + a 3 = a +a 3 und somit für die Projektion der Basisvektoren des Ausgangskoordinatensstems: u : u = P e = (,,, ) u = u : u = P e = ( a a, a3 a,, ) u = u 3 : u 3 = P e 3 = (,,, ) u = a +a 3 a = Die Projektion ist folglich isometrisch. Alle drei Koordinatenachsen werden unverzerrt dargestellt. Setzt man einen normierten Richtungsvektor a und gleiche Winkel zu den u - und u 3 -Achsen voraus, so gilt: a = und a = a 3 =

18 8 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Die Projektion von u lautet dann: u = (,,, ). Eine solche isometrische Projektion, bei der zwei Achsen rechtwinklig zueinander dargestellt werden und die dritte Achse mit beiden einen Winkel von 45 o bildet, nennt man Kabinettperspektive. Durch eine Verkürzung der Länge der dritten Achse auf die Hälfte (Skalierung im Ausgangssstem) entsteht die bekanntere Kavalierperspektive. u 3 u 3 u u u u Kabinett Kavalier Perspektive 4.3 Perspektiv Projektion Die Projektionsstrahlen verlaufen nicht parallel, sondern gehen von einem Punkt, dem Projektionszentrum aus. Dieser Punkt entspricht dem Standpunkt des Betrachters. Prinzip: Projektionszentrum P Projektionsebene Eigenschaften: (offensichtliche Unterschiede zur Parallelprojektion) Die relative Entfernung vom Projektionszentrum hat Einfluss auf das Bild der Projektion, d. h. es erfolgt eine von der Raumtiefe abhängige Skalierung. Geraden, die im Original parallel sind, müssen nicht im Bild parallel sein. Das Betrachterkoordinatensstem sei so gewählt, dass die -Ebene die Projektionsebene ist und das Projektionszentrum sich senkrecht über dem Koordinatenursprung, also auf der positiven z-achse im Abstand z befindet: P = (,, z, ). Durch Berechnung der Schnittpunkte der Projektionsstrahlen mit der Projektionsebene erhält man den von z abhängigen Skalierungsfaktor z z Führt man diese Skalierung durch (ohne die Projektion auf die -Ebene), so entsteht eine Perspektivtransformation, d h. ein dreidimensionales Bild, dessen senkrechte Parallelprojektion auf die -Ebene das gleiche zweidimensionale Bild liefert wie die Perspektivprojektion. Die Matrizen T z für die Perspektivtransformation und P z für die Perspektivprojektion besitzen die folgende Gestalt: T z = z, P z = z

19 M. Pester 9 Für einen beliebigen Punkt mit den affinen Koordinaten (,, z) bzw. homogenen Koordinaten (,, z, ) ergibt sich ein Bildpunkt: T z z = mit den affinen Koordinaten = z z z bzw. P z z = z, = z z, z = z z z = z z z z z z z Für einen beliebigen Vektor a mit den homogenen Koordinaten (a, a, a z, ) und a z (d. h. a ist nicht parallel zur Projektionsebene) liefert die Perspektivtransformation T z a a a z = a a a z az z a als Bild des Vektors einen Punkt mit den affinen Koordinaten ( z a a z, z a z, z ). Dieser Punkt ist der Fluchtpunkt des Vektors a. Im Falle a z = ist offensichtlich das Bild des Vektors mit dem Vektor selbst identisch. Folgerungen: Punkte in der z-ebene (z = ) werden durch T z nicht verändert. Parallele Geraden, die außerdem parallel zur z-ebene verlaufen, bleiben im Bild parallel. Parallele Geraden, die nicht parallel zur z-ebene sind, besitzen einen Fluchtpunkt, in dem sich ihre Bilder schneiden. Alle Fluchtpunkte befinden sich in der Ebene z = z. Bemerkung: Liegt das Projektionszentrum in einem beliebigen Punkt (,, z ), so erhält man für die Perspektivtransformation nach entsprechender Basistransformation für die Bildebene mit dem Normalenvektor v = (,, z ) eine Matri der Art: + +z T = w w w 3 u u u 3 v v v 3 + +z + +z z + +z Die Bestandteile der Transformationsmatri: 3 { Drehung Spiegelung Skalierung Scherung Perspektive Translation Gesamtskalierung

20 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 5 Kurven und Flächen in der Ebene und im Raum 5. Parameterdarstellung für Kurven Für Kurven oder Flächen gibt es unterschiedliche Definitionsgleichungen: in der Ebene im Raum Implizite Form F (, ) = F (,, z) = Eplizite Form = f() z = f(, ) Parameterdarstellung = (τ) = (τ) oder = (τ, τ ) = (τ) = (τ) = (τ, τ ) z = z(τ) z = z(τ, τ ) Die Parameterform erweist sich als gut geeignet für die Darstellung von Kurven mittels Computer: einfache Berechnung durch Inkrementierung des Parameters τ mit vorzugebender Schrittweite; bei impliziter Form sind komplizierte Berechnungen zu erwarten (z. B. Lösung nichtlinearer Gleichungen, um für jeden Wert einen oder mehrere zugehörige -Werte zu bestimmen); jedem Parameterwert ist eindeutig ein Raumpunkt zugeordnet; bei Funktionsdarstellung (eplizite Form) bereiten die Mehrdeutigkeiten Probleme. Wir bezeichnen im folgenden die Koordinaten (,, z) mit (,, 3 ) und betrachten ein Kurvenstück K der folgenden Art: K = p = 3 : j = j (τ), j ẋ j (τ) =, α τ β (7) Mit ẋ j (τ) wird die Ableitung der j-ten Komponente bezeichnet: ẋ j (τ) = d j(τ). Die Differenzierbarkeit der einzelnen Funktionen j (τ) wird vorausgesetzt. Die in (7) angegebene Forde- dτ rung, dass für jeden Kurvenpunkt mindestens eine der Ableitungen ẋ j von Null verschieden ist, sichert das Fortschreiten der Kurve mit sich änderndem Parameterwert für jeden Punkt. Jeder Kurvenpunkt p ist somit als Wert der (Vektor-) Funktion p = p(τ) für einen konkreten Parameterwert τ aufzufassen. Ebenso sei ṗ(τ) die Ableitung der Funktion p(τ): ṗ = ẋ ẋ. p(τ) p(β) ẋ 3 p(α)

21 M. Pester Charakteristika einer Kurve (a) Tangente Die Tangente in einem beliebigen Kurvenpunkt p = p(τ ) ist bestimmt durch den Punkt p selbst und einen Richtungsvektor t, der die Richtungsänderung der Kurve K in diesem Punkt p beschreibt, also p(τ ) p(β) t(τ) = dp(τ) = ṗ(τ) dτ p(α) { ( ) ( ) } Beispiel: Kreisbogen in der Ebene: K = p = cos τ = : τ π sin τ ( ) ( ) ẋ t(τ) = (τ) sin τ = ẋ (τ) cos τ (b) Bogenlänge t() = ( π ) t = ( ( ) ( π ), t 4 ) = ( ) t(τ ) Die Bogenlänge einer Kurve K lässt sich berechnen als Grenzwert der Länge eines die Kurve annähernden Polgons mit den Eckpunkten p k = p(τ k ) (k =,..., n) mit: τ = α, τ n = β, τ = τ k τ k = β α n S K = lim n k= n 3 ( j (τ k ) j (τ k )) = j= β α also: lim τ = n 3 β ẋ j (t) dt = ṗ(t) dt j= α Die Länge des Kurvenstücks zwischen p(α) und einem beliebigen Punkt p(τ ) ergibt sich als Integral mit variabler oberer Grenze: s(τ) = τ α 3 τ ẋ j (t) dt = ṗ(t) dt j= α Die Bogenlänge s ist somit als Funktion von τ angebbar und es gilt ds dτ Betrachtung eines unendlich kleinen Kurvenstücks liefert das Bogendifferential: ds = ẋ + ẋ + ẋ 3 dτ = ṗ dτ = ṗ. Die und es gilt: S K = s(β) ds Jeder Kurvenpunkt p kann als Funktion p = p(τ) wie auch als Funktion p = p(s) angegeben werden (eigentlich p = p(s), aber hier soll die Unterscheidung der Funktionen durch Angabe des jeweils anderen Parameters genügen). Das gleiche trifft für die Komponenten von P zu: j (s) = j (s(τ)) = j (τ)

22 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Auch hier sei im folgenden j (s) = j. Wir bezeichnen weiterhin die Ableitungen nach dem (beliebigen) Parameter τ mit ẋ j, die Ableitungen nach der Bogenlänge aber mit j. Wegen s = s(τ) gilt: ẋ j (τ) = d j(τ), dτ j(s) = d j(s) ds d j ds = d j dτ dτ ds, d. h. j = ẋj ṗ Damit ergibt sich für den Tangentenrichtungsvektor (mit der Bogenlänge als Parameter): t(s) = p (s) = (s) (s) 3(s) = ṗ(τ) ẋ (τ) ẋ (τ) ẋ 3 (τ) = ṗ(τ), = t(s) = ṗ(τ) (c) Begleitendes Dreibein Für jeden Kurvenpunkt p(s) wird ein lokales Koordinatensstem mit den (orthonormierten) Basisvektoren {t, n, b} bestimmt, welches das Verhalten der Kurve in diesem Punkt charakterisiert. Die Bewegung dieses Dreibeins bei Variation von s entspricht der Bewegung eines starren Körpers entlang der Kurve. Für diese Basisvektoren gelten folgende Beziehungen: Tangente : t(s) = p (s) bzw. ṗ(τ) ṗ(τ) = t(τ) Binormale : b(s) = p (s) p (s) p (s) p (s) bzw. ṗ(τ) p(τ) ṗ(τ) p(τ) = b(τ) Hauptnormale: n(s) = b(s) t(s) bzw. b(τ) t(τ) = n(τ) Je zwei dieser Vektoren spannen eine Ebene auf, deren Normalenvektor jeweils der dritte Vektor ist: E r E n : Normalebene b enthält alle Normalen der Kurve K im Punkt P E s : Schmiegebene P die dem Verlauf der Kurve am t E s n nächsten kommende Ebene E r : rektifizierende Ebene rechtwinklig zur Hauptnormalen. E n Für die zweiten Ableitungen nach der Bogenlänge s bzw. nach dem beliebigen Parameter τ gilt folgende Beziehung: ( ) p = dp ds = dp dτ dτ ds = ṗ, p ṗ p ṗ ṗ p = ṗ 3 ṗ p ṗ, p

23 M. Pester 3 (d) Krümmung Die Krümmung κ(s) einer Kurve K charakterisiert für jeden Kurvenpunkt p = p(s) die Abweichung der Kurvenform von einer Geraden. Als Krümmungskreis wird derjenige Kreis in der Schmiegebene der Kurve (für den Punkt p(s)) bezeichnet, der sich als Grenzfall einer Folge von Kreisen durch drei benachbarte Punkte auf der Kurve ergibt, wenn deren Abstand gegen Null geht. Die (konstante) Krümmung dieses Kreises ist die Krümmung der Kurve im gegebenen Punkt. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises liegt auf der Hauptnormalen des Kurvenpunktes. Der Radius des Krümmungskreises sei ϱ. Dann gilt: κ(s) = ϱ(s) = p (s) Da für eine Gerade der Richtungsvektor (erste Ableitung) konstant ist, verschwindet die zweite Ableitung und es ist κ(s). In diesem Fall eistiert kein Krümmungskreis (bzw. unendlicher Radius). (e) Windung (Torsion) Für jeden Kurvenpunkt p(s) ist die Windung w(s) ein Maß dafür, wie sich die Kurve aus der Schmiegebene herauswindet, d. h. ein Maß für die Änderung der Schmiegebene (bzw. deren Normalenvektor): b = db. Es gilt: ds w(s) = p p p p Die Größe χ = w wird als Torsionsradius bezeichnet. Zwischen den einzelnen charakteristischen Werten einer Kurve gelten die folgenden Beziehungen (Frenet sche Formeln): t = κn n = κt + wb b = wn 5. Parameterdarstellung für Flächen Eine einfach zusammenhängende Fläche im Raum wird in folgender Weise durch zwei unabhängige Parameter τ und τ definiert. F = p = : j = j (τ, τ ), (τ, τ ) D IR, j partiell diff.bar (8) 3 Die Matri J = J(τ, τ ) aller partiellen Ableitungen (Jacobi-Matri) stellt eine Charakteristik für jeden Kurvenpunkt p(τ, τ ) dar: τ τ J = τ τ =.. p τ p τ mit: p τj = p (τ, τ ) τ j.. 3 τ 3 τ Ist der Rang der Jacobimatri für einen Punkt gleich, so spricht man von einem regulären Punkt; ist er kleiner, so nennt man den Punkt singulär. Diese Einteilung ist von der gewählten Parameterdarstellung abhängig und muss keine geometrische Eigenschaft des Punktes sein. Für einen singulären Punkt lassen sich die Parameter (τ, τ ) nicht eindeutig angeben, d. h. es gibt mehrere Parameterwerte, die denselben Flächenpunkt bestimmen. Es gilt: rang(j) = p τ p τ O, da das Vektorprodukt alle zweireihigen Determinanten aus J enthält.

24 4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE 5.3 Flächenkurven Um geometrische Eigenschaften von Flächen zu bestimmen, werden geeignete Kurven auf diesen Flächen betrachtet. Es sei im folgenden: D einfach zusammenhängendes beschränktes Gebiet in der τ τ - Ebene, F die Punktmenge im Raum, die durch Variation von τ, τ in D entsteht; F = F (τ, τ ) IR IR 3 τ K D p(τ, τ ) (τ, τ ) K = F D F τ Zu einer Kurve K D in der Parameterebene gehört die Flächenkurve K F auf der Fläche F : { ( K D = u D : u = τ τ ) } τ = τ (τ), τ = τ (τ) K F = p F : p = 3 j = j (τ (τ), τ (τ)), j =,, 3 Koordinatenlinien sind spezielle Flächenkurven für jeweils einen konstanten Parameter, d. h. für Parameterkurven K D, die parallel zu einer der beiden Achsen in der τ τ Ebene verlaufen: K F = {p F : p = p(c, τ)} d.h. τ = c, τ = τ K F = {p F : p = p(τ, c )} d.h. τ = τ, τ = c Insofern werden die Parameterwerte (τ, τ ) als Gaußsche Koordinaten der Punkte auf der Fläche F bezeichnet. 5.4 Tangenten an Flächenkurven Die Tangentenrichtung einer Flächenkurve K F beschreibt die Änderung des Kurvenverlaufs bei Variation des Parameters τ, d. h. die Flächenkurve hat in einem beliebigen Punkt p(τ) = (τ) (τ) 3 (τ) die Tangentenrichtung: ṗ(τ) = dp(τ) dτ = ṗ (τ (τ), τ (τ)) = p dτ τ dτ + p dτ τ dτ ṗ(τ) = p τ τ + p τ τ

25 M. Pester 5 In einem festen Punkt p = p(τ ) = p (τ (τ ), τ (τ )) ist die Tangente an die Flächenkurve K F somit eine Linearkombination der Vektoren p τ (τ ) und p τ (τ ), die für diesen Punkt p fest definiert sind. Nur die Koeffizienten τ, τ sind von der gewählten Flächenkurve abhängig. Alle Tangenten an beliebige Flächenkurven durch einen festen Punkt p = p (τ (τ ), τ (τ )) auf F liegen also in einer Ebene, die durch die beiden Vektoren p τ = p τ (τ,τ ) und p τ = p τ (τ,τ ) aufgespannt wird. Diese Ebene heißt Tangentialebene: ( E T = E (p, p τ, p τ ) = E p, f ). Dabei ist f der Flächennormalenvektor (Normalenvektor der Tangentialebene): f = p τ p τ p τ p τ (Diese Beziehungen gelten nur für reguläre Punkte, d. h. p τ p τ O.) Damit lässt sich der Schnittwinkel zweier Flächenkurven definieren als Schnittwinkel der beiden Tangenten im Schnittpunkt. t = α p τ + α p τ. Tangentenrichtung t = β p τ + β p τ. Tangentenrichtung Dann gilt für den Winkel ϕ zwischen beiden Vektoren: cos ϕ = t t t t t t = α β p τ + α β p τ, p τ + α β p τ, p τ + α β p τ t = α p τ + α α p τ, p τ + α p τ t = β p τ + β β p τ, p τ + β p τ Mit den Bezeichnungen g = p τ, g = p τ, g = g = p τ p τ gilt folglich: α i β j g ij i,j cos ϕ = α i α j g ij β i β j g ij i,j i,j Der folgende Ausdruck heißt Maßtensor oder metrischer Tensor: G = ( g g g g ). (9)

26 6 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Wir betrachten die Differentiale für eine Flächenkurve K F, die in Abhängigkeit von der Bogenlänge s anstelle eines beliebigen Parameters τ definiert sei: K F : p (τ (s), τ (s)) Dann gilt für das Bogenelement ds: ds = dp, dp (wegen: dp ds = ) ds = ( p dτ + p ) dτ, wobei (. ) =.,. τ τ Man nennt die so gebildete quadratische Form ds = g dτ + g dτ dτ + g dτ erste Grundform der Flächentheorie oder metrische Grundform der Flächentheorie. Sind t, t die Tangentenvektoren der Gaußschen Koordinatenlinien, so gilt: cos ˆ( t, t ) = cos ˆ( p τ, p τ ) = g g g () In einem gegebenen Punkt schneiden sich die Koordinatenlinien rechtwinklig, genau dann wenn für diesen Punkt g = gilt. Wenn dies für alle Punkte auf F gilt, dann liegt ein rechtwinkliges Gaußsches Koordinatensstem auf F vor. 5.5 Krümmung einer Fläche Wir betrachten zunächst das Krümmungsverhalten von Flächenkurven. Der Flächennormalenvektor f = p τ p τ p τ p τ in einem Punkt p liegt stets in der Normalenebene einer (jeden!) Flächenkurve durch p, ist aber nicht notwendig mit dem Hauptnormalenvektor n identisch. n f n = f n f Wir betrachten eine Flächenkurve K F auf der Fläche F : F = {p : j = j (τ, τ ), j =,, 3} K F = {p F : τ = τ (τ), τ = τ (τ)} Für Tangentenrichtung bzw. Hauptnormale der Kurve gilt: t K = p τ dτ dτ + p τ dτ dτ n K = κ K d t K ds, κ K = d τ K ds (Krümmung der Kurve K F )

27 M. Pester 7 Unter Beachtung von (9) und () folgt p τ p τ = p τ p τ sin ˆ ( p τ, p τ ) = g g gg g g g = g g g = det G und somit gilt für den Flächennormalenvektor f = g ( p τ p τ ), g = det G f, nk = f ( ) n K cos ˆ f, nk ( ) = cos ˆ f, nk () κ K n K = dt K ds κ K f, nk = = f, i,j = i,j dτ i dτ j p τiτ j ds ds dτ i dτ j p τiτ j ds ds = h ij dτ i dτ j h ij dτ i dτ j i,j ; mit h ij = f, pτiτ j g ij dτ i dτ j i,j i,j ds () (3) Der Ausdruck h ij dτ i dτ j = h (dτ ) + h dτ dτ + h (dτ ) i,j heißt. Grundform der Flächentheorie. Bemerkung: Während die Größen κ K und n K der linken Seite von () von der konkreten Gestalt der Flächenkurve K F im betrachteten Punkt p abhängen (Krümmungsverhalten), ist der Quotient (3) nur von der Tangentenrichtung der Kurve K F abhängig. Die Zahl ( ) κ n = κ K cos ˆ f, nk = h ij dτ i dτ j i,j g ij dτ i dτ j i,j heißt Normalkrümmung der Fläche F im Punkt p bezüglich der Tangentenrichtung der Kurve K F. Der Vektor k n = κ n f ist der Normalkrümmungsvektor. Der Krümmungsvektor p einer Flächenkurve K F lässt sich in zwei Komponenten zerlegen: p = κ nf + k Der Wert k = κg ist die geodätische Krümmung von K F. Es gilt κk = κ n + κg. Die Normalkrümmung κ n hat unterschiedliche Werte für verschiedene Kurven (mit unterschiedlicher Tangentenrichtung) durch P. Die dabei auftretenden Etremalwerte λ, λ heißen Hauptkrümmungen. Die zu den Etremalwerten gehörenden Tangentenrichtungen (von Flächenkurven durch P ) sind die Hauptkrümmungsrichtungen. Eine Flächenkurve, bei der in jedem Kurvenpunkt Tangenten- und Hauptkrümmungsrichtung zusammenfallen, ist eine Krümmungslinie.

28 8 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN DER COMPUTERGEOMETRIE Es gibt weiterhin folgende spezielle Bezeichnungen: Gaußsche Krümmung: mittlere Krümmung: K = λ λ = h h h g g g H = λ + λ = h g h g + h g (g g g ) Einige Spezialfälle: K(P ) = ; λ = λ = = Flachpunkt (Ebene) K(P ) = ; λ + λ = = parabolischer Punkt (z. B. Seitenpunkt auf Reifen) K(P ) > ; h h h > = elliptischer Punkt (z. B. Lauffläche auf Reifen) K(P 3 ) < = hperbolischer Punkt (Sattelpunkt, z. B. Felge) P 3 P P