Stackelberg Scheduling Strategien

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1 Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst

2 Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 2

3 Einleitung Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 3

4 Einleitung: Umgebung Wir betrachten eine Menge von Jobs und ein System verteilter Rechner Jeder dieser Rechner besitzt eine Latenzfunktion, die die Zeit bis zum beenden eines Jobs an diesem Rechner spezifiziert Die Systemperformance ist die gesamt benötigte Zeit zum beenden aller Jobs bei einer bestimmten Verteilung m1, l1 10 Jobs 7 3 m2, l2 Systemperf. Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 4

5 Einleitung: Egoistische User Jobs werden sowohl zentral als auch von einzelnen Usern verwaltet User sind egoistisch und nicht kooperativ, d.h. sie wollen lediglich die Zeit zum beenden ihrer eigenen Jobs minimieren Systemperformance in rein egoistischen, nicht kooperativen Systemen resultiert in Nash Equlibria, diese sind in der Regel nicht optimal und können beliebig schlecht werden Durch cleveres belegen der zentral verwalteten Jobs soll trotz des Anteils selbst verwalteter Jobs eine Systemperformance erreicht werden, die möglichst nah an die Systemperformance bei optimaler Belegung herankommt Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 5

6 Einleitung: Stackelberg Games Es gibt mehrere Spieler Ein Spieler agiert als leader (hier die zentrale Verwaltung, die Interesse an der Optimierung der Systemperformance hat) Die übrigen Spieler sind followers (hier die egoistischen User), sie agieren unabhängig von leader und egoistisch Die followers erreichen ein Nash Equilibrium, das relativ zur leader Strategie ist, ein Stackelberg Equilibrium Das Problem besteht darin, eine Strategie für den leader zu berechnen (Stackelberg Strategie), die die followers dazu bringt, sich möglichst so zu verhalten, dass die Gesamtlatenz im System minimiert, bzw. die Systemperformance optimiert wird Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 6

7 Einleitung: Ergebnisse Wir lernen einen Algorithmus kennen, der unabhängig von den Latenzfunktionen der Rechner eine Strategie berechnet, die eine Belegung induziert, deren Systemperformance nur konstant viel schlechter ist, als die Systemperformance bei optimaler Belegung Sind die Latenzfunktionen linear, können wir eine noch stärkere Schranke nachweisen Die Berechnung der optimalen Stackelberg Strategie ist NP-hart Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 7

8 Vorbetrachtungen Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 8

9 Vorbetrachtungen: Das Modell Gegeben M mit m Maschinen (Rechner) 1, 2,, m l i () ist die Latenzfunktion von Rechner i (stetig, nicht negativ und nicht fallend). Systemperformance: C m ( x) =. ( ) i 1xi li x = i (M, r) - eine Instanz mit Maschinen M, Rate r und keinen zentral verwalteten Jobs. (M, r, α) - eine Stackelberg Instanz, wobei α (0,1) den Anteil der zentral verwalteten Jobs angibt. Wir gehen im folgenden davon aus, das die Rate r sich auf eine grosse Anzahl relativ kleiner Jobs bezieht, sodass wir von einem kontinuierlichen Modell über den reellen Zahlen sprechen. Ausserdem seien l i (x i ) differentierbare und x i *l i (x i ) convexe Funktionen. Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 9

10 Vorbetrachtungen: Das Modell 1, l1(x) Instanz (M,r=1) X=0,3 2, l2(x) X1* l1(x)= 0,3*l1(0,3) Jobrate = 1 0,1 0,5 3, l3(x) + Systemperf. = C(x) 0,1... m, lm(x) 0,1* lm(0,1) Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 10

11 Vorbetrachtungen: Nash Equilibria Definition 2.1: Eine Belegung x auf M befindet sich im Nash Equilibrium wenn x i >0 und i, j M gilt l ( x ) l ( x ) i i j j D.h. dass alle in der Belegung benutzten Rechner die gleiche Latenz haben. Definition 2.2: Für Rechner i sei die marginale Kostenfunktion, mit l * i * Definition 2.3: Eine Belegung x auf M ist genau dann optimal = x, wenn * * i, j M gilt l ( x ) l ( x ) i * l i ' ( x ) = l ( x ) + x l ( x ) i i i i i i i Ein Nash Equilibrium existiert und zwei Nash Equilibria haben gleiche Kosten. j j Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 11

12 Vorbetrachtungen: Nash Equilibria Instanz (M,r) M={1,2} r=1 l 1 ( x 1 ) = 1 Nash X1=0 X2=1 Optimum X1=0,5 X2=0,5 l ( = x 2 x2) 2 L1=1 r=1 0 0,5 L1=1 1 L2=1 0,5 C1=0*1=0 C1=0,5 C2=1 C2=0,25 C(x)=1 C(x)=0,75 L2=0,5 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 12

13 Vorbetrachtungen: Stackelberg Strategien Definition 2.4: Eine (Stackelberg) Strategie für eine Stackelberg Instanz (M,r, α) ist eine zulässige Belegung für (M, αr) Definition 2.5: Sei s eine Strategie für Stackelberg Instanz (M, r, α), Rechner ~ i hat Latenzfunktion l i, und sei l i ( x i ) = l i (s i + t i ) für alle i M. Ein durch s induziertes Equilibrium ist eine Belegung t im Nash Equilibrium für (M,(1-α)r) ~ bezogen auf Latenzfunktionen l i ( x i ) Man mache sich klar, dass dann alle Rechner, die von t belegt werden, die gleiche Latenz bezogen auf (s+t) haben. Ein induziertes Equilibrium existiert und zwei solche Equilibria haben gleiche Kosten Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 13

14 Vorbetrachtungen: Stackelberg Strategien Instanz (M,r, α) Strategie Induziertes Equ. Optimum M={1,2} S1=0,5 t1=0,5 X1=0,5 r=1 S2=0 t2=0,5 X2=0,5 α =0,5 l 1 ( x 1 ) = 1 l ( = x 2 x2) 2 L1=1 r=1 0,5+0 0,5 L1=1 0+0,5 L2=0,5 0,5 C1=0,5 C1=0,5 C2=0,25 C2=0,25 C(x)=0,75 C(x)=0,75 L2=0,5 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 14

15 Vorbetrachtungen: Stackelberg Strategien Instanz (M,r, α) Strategie Induziertes Equ. Optimum M={1,2} S1=0,5 t1=0,5 X1=0,75 r=1 S2=0 t2=0,5 X2=0,25 α =0,5 l 1 ( x 1 ) = 1 l ( = x 2 x2) 2 2 L1=1 Strategie kann beliebig verändert werden, bei gleichem Ergebnis r=1 0,5+0 0,75 L1=1 0+0,5 L2=1 0,25 C1=0,5 C1=0,75 C2=0,5 C2=0,125 C(x)=1 C(x)=0,875 L2=0,5 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 15

16 Stackelberg Strategien Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 16

17 Stackelberg Strategien Aloof Strategie Definition 3.1: Für die Stackelberg Instanz (M, r, α) berechne Strategie s wie folgt: Sei x* die optimale Belegung für (M, αr), setze s = x*. Aloof = distanziert, abgehoben Die minimale Kosten Strategie (ignoriert die Existenz von Jobs, die nicht zentral verwaltet werden). Schlechte Performance. Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 17

18 Stackelberg Strategien Scale Strategie Definition 3.2: Für die Stackelberg Instanz (M, r, α) berechne Strategie s wie folgt: Sei x* die optimale Belegung für (M, r), setze s = α x*. Die optimale Belegung der Jobs, entsprechend skaliert. Schlechte Performance. Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 18

19 Stackelberg Strategien Largest Latency First Strategie Eine gute Strategie sollte zuerst die für egoistische User unattraktiven Maschinen belegen, d.h. Maschinen mit verhältnismässig hoher Latenz. Definition 3.3: Für die Stackelberg Instanz (M, r, α) berechne Strategie s wie folgt: Berechne optimale Belegung x* für (M, r) Indiziere die Maschinen aus M so, das l 1 (x 1 *)... l m (x m *) k m sei minimal mit Σ i>k x i * αr Setze s i = x i * für i > k, s k = αr - Σ i>k x i *, s i = 0 für i < k Definition 3.4: Eine Maschine i sei gesättigt durch s, wenn s i = x i *. LLF sättigt die Maschinen mit größter Latenz, bis keine zentral verwalteten Jobs mehr übrig sind. LLF kann in polynomieller Zeit berechnet werden, da eine optimale Belegung für (M,r) in polynomieller Zeit berechnet werden kann Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 19

20 Stackelberg Strategien Largest Latency First Strategie Gesättigt Jobrate = 1 Gesättigt... Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 20

21 Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 21

22 Ergebnisse: Beliebige Latenzfunktionen Lemma 4.1: Gegeben seien (M,r, α), s und x*. Es sei l m (x* m ) l i (x* i ) für alle i. Aus s m =x* m folgt, es existiert ein induziertes Gleichgewicht t mit t m =0 Beweisidee: t m >0 kommt nur dann vor, wenn mehrere Funktionen (inkl. l m ) lokal konstant sind. Dann aber können die Jobs von Maschine m auf die andern verteilt werden und man erhält ein äquivalentes Gleichgewicht Theorem 4.2: Für beliebige Latenzfunktionen berechnet die LLF Strategie immer eine Belegung, die nicht mehr als 1/α mal so teuer ist, wie die optimale Belegung, d.h. C( s 1 + t) C( x α * ) Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 22

23 Ergebnisse: Beliebige Latenzfunktionen Beweis 4.3: Gegeben (M,r, α), l m (x* m ).. l 2 (x* 2 ) l 1 (x* 1 ), r=1, L= l i (s i +t i ) für alle I mit t i >0. Fall1: Annahme t i =0 für einige Rechner i. Dann seien M 1 diese Rechner und M 2 die mit t i >0. α i = Anteil zentral verwalteter Jobs in M i. (D.h. α 1 +α 2 =α). C i = C(s+t) begrenzt auf M i. Es gilt: C 2 = (1- α 1 )L, C 1 α 1 L und s begrenzt auf M 2 ist LLF Strategie für I = (M 2,1- α 1,α ) mit α = α 2 / (1-α 1 ) Theorem 4.2 angewendet auf I =(M 2,1-α,α ) und x* i s i = s i +t i für alle i aus M 1 liefert: C(x*) C 1 + α C 2. Noch zu zeigen: α C(s+t) = α(c 1 +C 2 ) C 1 + α C 2 C(x*). Da α 1 können wir sagen C 1 = α 1 L, einsetzen bringt α α Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 23

24 Ergebnisse: Beliebige Latenzfunktionen Fall2: Annahme t i >0 für alle Rechner. Es gilt α < x* m (sonst könnten wir nach Lemma 4.1 ein äquivalentes Gleichgewicht nehmen, mit t m =0 und wie in Fall 1 verfahren) Es gilt l m (x* m ) L C(x*) x* m l m (x* m ) αl = α C(s+t) Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 24

25 Ergebnisse: Lineare Latenzfunktionen Bemerkung 4.4: Gegeben seien m Rechner mit linearen Latenzfunktionen. Dann gilt: A) Wenn x* die optimale und x die Nash Belegung für (M,r) sind, dann x* m x m B) Für eine beliebige Rate r kann die optimale und die Nash Belegung für (M,r) in Zeit O(m²) berechnet werden. Lemma 4.5: x* sei die optimale Belegung für (M,r) und Rechner i habe Latenzfunktion l i (x i )= a i x i +b i. Dann gilt l i (x* i ) l j (x* j ) genau dann, wenn b i b j. Theorem 4.6: Gegeben sei (M,r,α) mit linearen Latenzfunktionen. s sei eine LLF Strategie mit induziertem Equilibrium t und x* sei die optimale Belegung für (M,r), dann gilt C( s + t) 4 C( x 3 + α Fall1: t i =0 für einige Rechner i. (analog zu Beweis 4.3) * ) Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 25

26 Ergebnisse: Lineare Latenzfunktionen Fall2: t i >0 für alle Rechner. Wir ordnen die Rechner nach 0=b 1 b 2 b m und bezeichnen mit L die gemeinsame Latenz aller Rechner. Aus s m < s m + t m x* m folgt s m = α und s i = 0 für alle i<m. Wenn wir Rechner 1 entfernen, erhalten wir mit (M,(1-t 1 ), α ) eine Instanz, für die s dieselbe LLF Strategie bleibt. Wir unterteilen C(x*) in C 1 * von Rechner 1 und C 2 * von den Rechnern aus M. * * 2 Wobei C = a (x ) Lemma 4.7: Wenn r 1-t 1, dann sind die Kosten für die optimale Belegung der Instanz (M,r ) mindestens 3 + α' (1 t1) L + ( r' 1+ t1) L mit α' = α 4 1 t 1 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 26

27 Ergebnisse: Lineare Latenzfunktionen Wir wollen zeigen, dass gilt: * * (3 +α) C ( s + t) 4C( x ) = 4( C + C Mit Satz 4.6 können wir das umformen zu: 1 * 2 ) * 2 * (3 + α) L 4a ( x ) + (3 + α')(1 t ) L + 4( t x ) L Mit a 1 t 1 =L finden wir über differentieren ein Minimum für x*=0,5: 1 2 ( 3 + α) L a1t 1 + (3 + α' )(1 t1) L + 2t1L Mit α' = α und a 1 t 1 =L erhalten wir nach Division mit L: 1 t 1 α ( 3 + α) (3 + )(1 t1) + 3t 1 t 1 1 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 27

28 Ergebnisse: Komplexität Die LLF Strategie liefert nicht immer die beste, d.h. kostengünstigste Strategie für eine gegebene Stackelberg Instanz. Definition 4.8: (1/3-2/3 Partition): Seien a 1,,a n n positive Integer. Gibt es eine Menge S { 1,2,..., n}, sodass n a i S i = 2 a 3 i= 1 i Theorem 4.9: Das Problem, die optimale Stackelberg Strategie zu berechnen, ist (auch bei ausschließlich linearen Latenzfunktionen) NP-hart. Beweis 4.10: Wir reduzieren von 1/3-2/3 Partition. D.h. wir zeigen, dass 1/3-2/3 Partition zu entscheiden sich darauf reduziert, zu entscheiden, ob eine gegebene Stackelberg Instanz eine Strategie besitzt, die eine Belegung mit bestimmten vorgegebenen Kosten induziert. Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 28

29 Ergebnisse: Komplexität I sei eine beliebige Instanz von 1/3-2/3 Partition mit n A = = i 1 a i Definiere Stackelberg Instanz I = ({1,2,,n+1}, 2A, ¼), mit Latenzfunktionen xi 3 x l i (x i )= + 4 für i = 1,2,,n und l n+1 (x n+1 )= n+ 1 ai A Behauptung 4.11: I ist in 1/3-2/3 Partition genau dann, wenn es eine Strategie für I gibt, die eine Belegung induziert mit C( x) 35 A 4 Fall1: I sei in 1/3-2/3 Partition. Die Strategie si = 3 ai für i S 4 und für allen anderen i s i =0, induziert eine Belegung mit Kosten genau 35 A 4 Fall2: I sei nicht in 1/3-2/3 Partition. A) t i >0 für alle i=1,2,..,n. Dann sind alle Rechner im Nash Equilibrium mit C(x)=9A. i S i B) sonst sei S { i {1,2,..., n} t = 0} und a = β A und = i s A i S i = λ Jetzt kann man C(x) in Abhängigkeit von den beiden Parametern ausrechnen und erhält C(x)> 35 A 4 Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 29

30 Zusammenfassung Wir haben gesehen, dass die LLF Strategie für beliebige Latenzfunktionen der Rechner eine Belegung induziert, deren Systemperformance nur 1/α mal schlechter ist, als die Systemperformance bei optimaler Belegung Sind die Latenzfunktionen linear, können wir 4/(3+α) als Schranke nachweisen Die Berechnung der optimalen Stackelberg Strategie ist NP-hart Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 30

31 Ende Vielen Dank fürs Zuhören Seminar Algorithmische Spieltheorie: Stackelberg Scheduling Strategies 31

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