Musterlösung zu Serie 14

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1 Dr. Lukas Meier Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung FS 21 Musterlösung zu Serie Der Datensatz von Forbes zeigt Messungen von Siedepunkt (in F) und Luftdruck (in inches of mercury) an verschiedenen Orten in den Alpen. Die Daten stehen als Datensatz forbes.dat mit den Variablen Temp und Press zur Verfügung. a) Trage in einem Streudiagramm den Druck gegen die Temperatur auf. Macht es Sinn, diese Daten mit einer Regressionsgeraden zu modellieren? Hinweis: der Datensatz kann unter heruntergeladen und mit folgenden Befehlen in Matlab eingelesen werden: >> forbes = dlmread('forbes.dat', ' ', 1, ); >> temp = forbes(:, 1); >> press = forbes(:, 2); Ein Plot der Daten zeigt, dass die Daten ziemlich schön auf einer Geraden liegen (s. Plot in b)). b) Berechne die Koeffizienten der Regressionsgeraden und trage die Regressionsgerade ins Streudiagramm ein. Hinweis: lineares Modell anpassen in Matlab: forbes = LinearModel.fit(temp, press) Das resultierende Objekt forbes der Klasse LinearModel kann dann mit der gewöhnlichen plot-funktion gezeichnet werden. Matlab-Code und -Output: >> forbes = LinearModel.fit(temp, press) forbes = (Intercept) e-16 x e-18 Number of observations: 17, Error degrees of freedom: 15 Root Mean Squared Error:.2 R-squared:.994, Adjusted R-Squared.994 F-statistic vs. constant model: 2.68e+, p-value = 2.5e-18 >> plot(forbes, 'LineWidth', 2, 'MarkerSize', 1); >> xlabel('temperatur [ F]'); >> ylabel('druck [inch. mercury]'); >> title('forbes-datensatz'); 2 Druck [inch. mercury] Temperatur [Â F]

2 2 c) Zeichne den Tukey-Anscombe-Plot ( gegen angepasste Werte) und den Normalplot der. Gibt es Hinweise, dass die Modellannahmen verletzt sind? Hinweis: die angepassten Werte erhält man mit forbes.ted, die mit forbes.residuals.raw. >> plot(forbes.ted, forbes.residuals.raw, 'o'); >> xlabel(''); >> ylabel(''); >> title('tukey-anscombe-plot'); Der Tukey-Anscombe-Plot zeigt einen klaren Trend; zudem gibt es einen Ausreisser: Im Regressions-Output (Aufgabe b)) fand sich kein Hinweis darauf, dass das Modell unpassend sein könnte. Im Gegenteil könnte man meinen, dass das hohe R 2 (.99) darauf hinweist, dass das Modell gut passt. Es ist aber eben sehr wichtig, sich nicht nur auf den Regressionsoutput zu verlassen, sondern die Daten und die anzuschauen, um Modellabweichungen festzustellen! d) Logarithmiere nun den Druck. Trage in einem Streudiagramm den logarithmierten Druck gegen die Temperatur auf, berechne die Regressionsgerade und trage sie ins Diagramm ein. Zeichne wiederum den Tukey-Anscombe und den Normalplot. Wie steht es nun mit den Modellannahmen? Gibt es Ausreisser? Hinweis: einen Normalplot kann man in Matlab mit der Funktion qqplot erstellen. Der Tukey-Anscombe-Plot zeigt nun keinen Trend mehr, der Normalplot sieht auch gut aus bis auf den Ausreisser: QQ Plot of Sample versus Standard Normal log(druck) Temperatur Wichtigste Zeilen des Matlab-Codes: >> forbeslog = LinearModel.fit(temp, log(press)) forbeslog = (Intercept) e-9

3 x e-18 Number of observations: 17, Error degrees of freedom: 15 Root Mean Squared Error:.87 R-squared:.995, Adjusted R-Squared.995 F-statistic vs. constant model: 2.96e+, p-value = 1.19e-18 >> plot(forbeslog); >> plot(forbeslog.ted); >> qqplot(forbeslog.residuals.raw); e) Identifiziere und entferne den Ausreisser. Berechne die Regressionsgerade neu und zeichne nochmals alle Plots aus Aufgabe d). Sind jetzt die Modellvoraussetzungen erfüllt? Hinweis: finde den Ausreisser mit find(forbeslog.residuals.raw >???) mit Hilfe eines passenden Schwellenwerts, den du aus dem Tukey-Anscombe-Plot aus Aufgabe d) bestimmen kannst. Wir identifizieren und entfernen den Ausreisser wie folgt: >> find(forbeslog.residuals.raw >.2) ans = 12 >> tempclean = temp; >> tempclean(12) = []; >> pressclean = press; >> pressclean(12) = []; >> forbesclean = LinearModel.fit(tempClean, log(pressclean)) forbesclean = (Intercept) e-16 x e-25 Number of observations: 16, Error degrees of freedom: 14 Root Mean Squared Error:.262 R-squared: 1, Adjusted R-Squared 1 F-statistic vs. constant model:.25e+4, p-value = 5.77e-25 Tukey-Anscombe-Plot und Normalplot zeigen nun keine Verletzungen der Modellannahmen mehr: x 1 2 QQ 6 x Plot of Sample versus Standard Normal 1 4 log(druck) Temperatur In der folgenden Tabelle stehen die Weltrekorde der Männer über 1 verschiedene Laufdistanzen,

4 4 Stand Distanz [m] Zeit [s] Distanz [m] Zeit [s] An diese Daten wurde folgendes Regressionsmodell angepasst: Zeit i = β + β 1 Distanz i + ε i, ε i i.i.d. N (, σ 2 ). Der Regressionsoutput und die Diagnoseplots sehen folgendermassen aus: (Intercept) x e-18 Number of observations: 1, Error degrees of freedom: 11 Root Mean Squared Error: 62.7 R-squared:.999, Adjusted R-Squared.999 F-statistic vs. constant model: 1.1e+4, p-value = 7.27e-18 6 Weltrekorde 15 QQ Plot of Sample versus Standard Normal Zeit Distanz [m] x a) Gibt es einen signifikanten Zusammenhang zwischen Distanz und Zeit, d.h. ist β 1 signifikant von verschieden? Der p-wert ist extrem klein ( ), also ist β 1 signifikant von Null verschieden. b) Eines der folgenden 4 Intervalle ist das 95%-Vertrauensintervall für β 1. Welches? i) [.18,.184] ii) [.1779,.1855] iii) [.1765,.1869] iv) [.18,.1852] Das Vertrauensintervall hat die Form.1817 ± t 11, Es ist t 11,.975 = 2.21, also haben wir [.1779,.1855]. Dies ist Vertrauensintervall ii). c) Wie gross ist das Residuum der 5. Beobachtung (1m)? Für 1m liefert das Modell den Wert = Das Residuum ist daher = d) Dürfen wir die berechnete Regressionsgerade benutzen, um zu schliessen, dass 1974 der Weltrekord über 1km (1m) ungefähr bei 18s gelegen wäre? Nein, denn für 1km müssten wir eine Extrapolation verwenden. In diesem Bereich haben wir keine Daten. e) Wie gross ist die geschätzte Standardabweichung der Fehler E i? Was heisst das für die Brauchbarkeit des Modells? Im Output können wir unter Root Mean Squared Error 62.7 ablesen. Für kleine Distanzen hat das Modell also einen viel zu grossen relativen Fehler!

5 5 f) Was folgerst du aus der Darstellung der gegen angepasste Werte? Man sieht einen sehr deutlichen Trend. Also stimmt das Modell nicht; wir haben einen systematischen Effekt nicht modelliert. g) Formuliere ein Modell, das vermutlich besser zu diesen Daten passen würde. Wir müssen den quadratischen Effekt noch berücksichtigen: Zeit i = β + β 1 Distanz i + β 2 Distanz 2 i + ε i

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