Finanz- und Versicherungsmathematik

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1 Finanz- und Versicherungsmathematik Frühjahrstrimester 2013 Risikomanagement Stand: 11. Juni 2013 Gabriel Frahm Helmut-Schmidt-Universität Lehrstuhl für Angewandte Stochastik Fächergruppe Mathematik/Statistik Hamburg

2 1 Einführung 1.1 Der Begriff des Risikos Das Oxford English Dictionary definiert den Begriff Risiko wie folgt: Hazard (d. h. Wagnis) A chance of bad consequences A loss or exposure to mischance In aller Regel versteht man unter Risiko die Möglichkeit eines negativen Ereignisses. 1

3 Aus der Sicht des Risikomanagements könnte man Risiko etwa wie folgt definieren: Die Gefahr eines Ereignisses, welche die Erreichung etwaiger Ziele oder den Entscheidungsspielraum eines Unternehmens einschränkt. Die messbare Wahrscheinlichkeit eines Verlustes oder gar des Nichterfüllens gegebener Erwartungen Zufall und Risiko Risiko bedeutet insbesondere Unsicherheit. 2

4 Der Begriff der Unsicherheit wurde zum ersten Mal 1933 von dem Russischen Mathematiker A.N. Kolmogoroff definiert. Er wählte dabei den axiomatischen Ansatz. Dieser bildet die heutige Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik). Ein probabilistisches Modell (Zufallsexperiment) besteht demnach aus drei Komponenten: 1. Die Ergebnismenge Ω, 2. die (σ-)algebra A, sowie 3. das Wahrscheinlichkeitsmaß P. Das Zufallsexperiment wird dann mit(ω, A, P) symbolisiert. Hierbei ist ω Ω ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments. 3

5 In ökonomischen Anwendungen beschreibt ω typischerweise einen Umweltzustand (State of Nature). Ferner ista A eine Teilmenge vonωund wird als Ereignis bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A auftritt, wird formal mit P(A) dargestellt. 4

6 Beispiel Man betrachte ein einfaches Zufallsexperiment mit einem Würfel. Die Ergebnismenge ist hierbeiω = {1,2,3,4,5,6}. Die natürliche Ereignismenge ist die Potenzmenge vonω, d. h. die Menge aller Teilmengen vonω. Das naheliegende Wahrscheinlichkeitsmaß für ein solches Zufallsexperiment ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit P(A) = A 6. Z. B. beträgt die Wahrscheinlichkeit für das EreignisA = {2,3} geradep(a) = 2/6 = 1/3. 5

7 Eine riskante Position kann nun als Zufallsvariable X aufgefasst werden. Hierbei istx: Ω R eine reellwertige Funktion. Der Funktionswert X(ω) wird als Realisation von X bezeichnet und oft mit x symbolisiert. In der Praxis wird jedoch üblicherweise nicht X selbst modelliert, sondern deren Verteilungsfunktion F, d. h. F(x) = P(X x). Liegen mehrere Zufallsvariablen vor, so werden diese in einem ZufallsvektorX = (X 1,...,X k ) angeordnet. 6

8 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsvektors wird sodann mittels F(x) = F(x 1,...,x d ) = P(X 1 x 1,...,X d x d ) gemessen Finanzrisiken Man unterscheidet drei Arten von Risiken: 1. Marktrisiko, 2. Kreditrisiko und 3. operationelles Risiko. 7

9 Marktrisiko: Gefahr einer negativen Veränderung von Marktpreisen, wie z. B. Aktien, Anleihen, Zinsen, Wechselkursen, etc. (z. B. im Zuge der Finanzkrise 2008). Kreditrisiko: Gefahr eine vertraglich vereinbarte Tilgungs- oder Zinszahlung nicht zu erhalten (z. B. während der Haushaltskrise in Griechenland 2009 und der Euro-Krise 2010). Operationelles Risiko: Gefahr unzulässiger oder misslungener unternehmensinterner Prozesse aufgrund von menschlichem und/oder maschinellem Versagen (z. B. der Untergang der Barings Bank 1995 aufgrund der Fehlspekulationen von Nick Leeson). 8

10 Darüber hinaus spielt in letzter Zeit das Liquiditätsrisiko eine entscheidende Rolle. Darunter versteht man das Risiko, dass der Markt nicht (schnell genug) hinreichend viel Liquidität (sprich: Geld) zur Verfügung stellt, um eine Transaktion durchzuführen. Dies kann u. U. zum vollkommen Kollaps der Finanzmärkte führen (siehe Finanzkrise 2008). Man sollte beim Umgang mit Risiken möglichst einen holistischen Ansatz verfolgen. Das bedeutet, alle Arten von Risiken sollten gemeinsam in Betracht gezogen werden, nach dem Motto: Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Einzelteile. 9

11 1.1.3 Risikomessung Angenommen, ein Investor besitzt ein Portfolio bestehend aus d einzelnen Finanztiteln (Assets). Das Portfolio besitze einen derzeitigen Wert vonv t > 0. Jeder Finanztitel ist mit einem wertmäßigen Anteil vonw i (i = 1,...,d) im gesamten Portfolio vertreten. Dieser Anteil wird auch als Portfoliogewicht bezeichnet. SeiS it der heutige Wert desi-ten Finanztitels und dementsprechends i,t der Wert zu einem ZeitpunktT > t. 10

12 Dann wird R i = S it S it S it als Rendite (des i-ten Finanztitels) bezeichnet. Die Portfoliorendite ist dann gegeben durch R = V T V t V t = d i=1 w i R i. Risikomessung bedeutet nun im Wesentlichen, die Verteilungsfunktion von R zu bestimmen. Üblicherweise fasst man das Risiko dann in einer bestimmten Kennzahl zusammen, z. B. der Varianz oder dem Value-at-Risk. 11

13 Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, benötigt man ein Modell für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der einzelnen RenditenR 1,...,R d. Es handelt sich also um die Verteilung des Zufallsvektors R = R 1 R 2. R d. D. h. die Messung von Risiken beruht hauptsächlich auf statistischen Verfahren. 12

14 Zu diesem Zweck werden historische Daten in Betracht gezogen. Auf diese Weise versucht man das Risiko künftiger Finanzkatastrophen abzuleiten. Oft geschieht dies auf Basis eines statistisches Modells Risikomanagement McNeil, Frey und Embrechts (2005): Risk management is a discipline for living with the possibility that future events may cause adverse effects. 13

15 Insbesondere Banken und Versicherungen gehen Risiken bewusst ein. D. h. das Ziel eines Unternehmens kann niemals darin bestehen, Risiken vollständig zu vermeiden! Vielmehr sind Unternehmen bestrebt, effiziente Positionen zu erlangen. D. h. man möchte ein gegebenes Ziel erreichen, ohne unnötige Risiken einzugehen. Zu diesem Zweck muss man zunächst verstehen, 1. wodurch das Risiko zustande kommt und 2. wie man dieses beeinflussen kann. 14

16 Anschließend versucht man das Risiko zu kontrollieren. Unter Risikomanagement versteht man also im Wesentlichen die Kontrollo von Risiken. 1.2 Historie und Gegenwart Geschichtliche Entwicklung Das Risikomanagement ist eng verknüpft mit der Entwicklung von Finanzderivaten. Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Zahlungsstrom von den Preisen anderer Finanztitel abhängt. 15

17 Bereits im Kodex Hammurapis von Babylon (ca v. Chr.) wurden Verträge dokumentiert, die man aus heutiger Sicht als Termingeschäfte bezeichnen würde. Eine sehr detaillierte Beschreibung einer Option finden man bereits im 17. Jahrhundert in Joseph de la Vegas Die Verwirrung der Verwirrungen: Börsenpsychologie Börsenspekulation. Optionen und andere Finanzderivate sind also nichts Neues. Sie wurden von je her in erster Linie zur Begrenzung von Risiken eingesetzt ( Anchors of security in a storm ). Problem: Global betrachtet, bleiben die Risiken bestehen, denn Finanzderivate verschieben Risiken lediglich von A nach B! 16

18 In der jüngsten Zeit sind diese Instrumente aufgrund zahlreicher negativer Schlagzeilen ( Wild beasts of finance ) im Kontext der Finanzkrise 2008 in Verruf geraten. Die gehandelten Instrumente wurden immer komplexer und damit undurchsichtiger. Zum Einen wird es damit immer schwieriger, dem jeweiligen Instrument 1. einen fairen Preis beizumessen, sowie 2. das potentielle Verlustrisiko abzuschätzen. Letzteres versucht man mit Hilfe der Finanzregulierung zu bewerkstelligen. 17

19 1.2.2 Heutige Finanzregulierung Erst in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhundert entwickelte sich die heutige Form der Bankenaufsicht. Der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht wurde 1974 von den Zentralbanken der G-10-Staaten gegründet. Der Basler Ausschuss besitzt keine legale Autorität. Es verfasst lediglich Richtlinien zur globalen Bankenaufsicht ( Recommendations ). Idee: Die jeweiligen Mitgliedstaaten sollen diese Richtlinien in der nationalen Gesetzgebung berücksichtigen. 18

20 Basel I Die erste Basler Eigenkapitalvereinbarung ( Basel I ) wurde 1988 getroffen. Das Hauptaugenmerk dieser Eigenkapitalvereinbarung ist das Kreditrisiko. Insgesamt wies Basel I jedoch noch viele inhaltliche und methodische Lücken auf listete die G-30-Gruppe zum ersten Mal systematisch außerbilanzielle Finanzprodukte (z. B. Derivate) auf. Zur gleichen Zeit führte JPMorgan den Value-at-Risk ein, das bis heute populärste Risikomaß in der Finanzdienstleistungsindustrie. 19

21 Basel II Die zweite Basler Eigenkapitalvereinbarung ( Basel II ) entstand Anfang des letzten Jahrzehnts aus diversen Eigenkapitalvorschriften des Basler Ausschusses 1. als Resultat der erwähnten Unzulänglichkeiten von Basel I und 2. aufgrund neuerer Erfahrungen, die man bis dato in der Finanzbranche erlangt hat. Banken wurde nun erlaubt, eigene Risikomodelle zu verwenden ( Internal Ratings-Based, kurz: IRB Approach), sofern diese gewissen Qualitätsstandards genügen. Darüber hinaus wurden nun zum ersten Mal operationelle Risiken in Augenschein genommen. 20

22 Basel II sieht ein 3-Säulen-Konzept vor. Damit wird ein holistischer Ansatz verfolgt. Bei der ersten Säule handelt es sich um eine Mindesteigenkapitalanforderung ( Regulatory Capital ). Für jede der drei Risikoklassen (d. h. Kredit-, Markt- und operationelles Risiko) wird separat das geforderte Eigenkapital bestimmt. Die zweite Säule betrifft den Prozess der Bankenaufsicht. Diese soll die Einhaltung der Anforderungen an Methodik und Offenlegung beurteilen und überwachen, welche notwendig sind, damit die jeweilige Bank den IRB-Ansatz verwenden darf. 21

23 Die dritte Säule zielt auf eine erweiterte Offenlegung und Marktdisziplin der Banken ab. Durch eine vermehrte Offenlegung von Informationen im Rahmen der externen Rechnungslegung der Banken sollen diese implizit gezwungen werden, unnötige Risiken zu vermeiden. Die Basel-II-Richtlinien gelten seit Anfang 2008 in den Mitgliedsstaaten der Europäischen Union für alle Kreditinstitute und Finanzdienstleistungsinstitute. Leider muss man jedoch konstatieren, dass mit der Finanzkrise 2008 alle Bemühungen einer funktionierenden globalen Bankenaufsicht vergeblich waren. 22

24 23

25 Basel III Sowohl aufgrund der Erfahrungen mit Basel II als auch der jüngsten Finanzkrise entstand gerade die dritte Basler Eigenkapitalvereinbarung ( Basel III ). Darin werden insbesondere höhere Eigenkapitalquoten gefordert. Ziel: Neben dem Schutz einzelner Banken vor dem Konkurs möchte man nun insbesondere die Stabilität des globalen Finanzsystems gewährleisten. Damit soll das vom Finanzsystem ausgehende systemische Risiko reduziert werden. 24

26 2 Risikomanagement 2.1 Verlustverteilung und Risikofaktoren Verlustverteilung Gegeben sei ein Portfolio ausdfinanztiteln, z. B. Aktien und Anleihen, Derivaten, riskanten Darlehen, etc. Der Wert des Portfolios im Zeitpunktt 0 beträgtv t. Sei nunt > t ein festgelegter Liquidationszeitpunkt, z. B. in einem Tag, in einem Monat oder in einem Jahr. 25

27 Der Wertverlust am Ende des Zeitraums[t,T] beträgt dann L t,t = (V T V t ). Beachte: Der Verlust wird erst im Zeitpunkt T realisiert, im ZeitpunkttistL t,t jedoch zunächst eine nicht realisierte Zufallsvariable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung vonl t,t wird als Verlustverteilung (engl.: Loss Distribution) bezeichnet. Die Verteilung von L t,t ist hingegen eine Gewinn-und-Verlust-Verteilung (engl.: Profit-and-Loss Distribution, kurz: P&L Distribution). 26

28 Im Risikomanagement verwendet man üblicherweise die Verlustverteilung, während die Gewinn/Verlust-Verteilung i. d. R. bei der Vermögensverwaltung zum Einsatz kommt. Die Zeitspanne T t wird als Anlagehorizont bezeichnet. Falls es sich um eine festgelegte Zeitspanne handelt, bietet es sich an, den Anlagehorizont auf 1 zu normieren. Auf diese Weise erhält man eine Zeitreihe{V t } t N von Portfoliowerten. Der bevorstehende Verlust wird nun einfach wie folgt notiert: L t = (V t V t 1 ), t = 1,2,... 27

29 2.1.2 Risikofaktoren Der VerlustL t wird nun als aggregierte Funktion vonk Risikofaktoren angesehen, d. h. L t = d f it (X t ) mit X t = i=1 X 1t X 2t., X kt wobeif it (X t ) der Verlust desi-ten Finanztitels ist. BeiX t handelt es sich also um einen Zufallsvektor. 28

30 Mögliche Risikofaktoren sind z. B. Aktienrenditen, Wechselkursänderungen, Zinssätze, Rating-Übergänge, etc. Die Auswahl der Risikofaktoren hängt maßgeblich von den im Portfolio befindlichen Finanztiteln ab. Die Verknüpfung des Portfoliowerts mit den Risikofaktoren wird als (Risk-)Mapping bezeichnet. Die Kunst besteht nun darin, die Risikofaktoren so zu definieren, dass{x t } einen stationären Prozess darstellt! Stationarität ermöglicht eine konsistente Schätzung der gemeinsamen Verteilung der Risikofaktoren anhand vergangener BeobachtungenX 1,X 2,...,X t 1. 29

31 Beispiel I Angenommen, man möchte die Verlustverteilung eines Portfolios bestehend aus d Aktien bestimmen. In diesem Fall kommen als Risikofaktoren die entsprechenden RenditenR 1,R 2,...,R d in Frage. Vorteil: Renditen besitzen eine stationäre Verteilung. Diese lässt sich i. A. gut aus einer historischen Zeitreihe abschätzen. Der Verlust des Portfolios am Ende der gegebenen Periode ist damit L t = V t d i=1 w i R i. 30

32 Beispiel II Angenommen, das Portfolio beinhaltet darüber hinaus inländische Staatsanleihen. Der Wert einer Staatsanleihe hängt sowohl von der Restlaufzeit als auch von der Umlaufrendite ab. D. h. der künftige Wert des Portfolios ist eine Funktion der Zeit (deterministisch) als auch der Umlaufrendite (zufällig). Betrachtet man die Zinsstrukturkurve als Risikofaktor, so kann die Wertveränderung sogar noch genauer modelliert werden. 31

33 Beispiel III Falls das Portfolio ausländische Staatsanleihen enthält, muss man den zur Umlaufrendite äquivalenten Zinssatz heranziehen (z. B. in den USA eine geeignete Bond Yield). Ausländische Staatsanleihen werden in der jeweiligen Währung notiert. Damit kommt das Währungsrisiko ins Spiel. SeiW t 1 der heutige undw t der morgige Wechselkurs. Dann ist z. B.X t = logw t logw t 1 ein geeigneter Risikofaktor. Insgesamt ist der künftige Wert einer ausländischen Staatsanleihe also eine Funktion der Zeit, der Rendite und des Wechselkurses. 32

34 Beispiel IV Enthält das Portfolio zusätzlich eine Option, so erhöht sich wiederum die Anzahl der Risikofaktoren. Eine Europäische Call-Option wird mit Hilfe der Black-Scholes-Formel bewertet, d. h. ( ) ln(st /K)+(r+σ 2 /2)(T t) C t = S t Φ σ T t ( ) Ke r(t t) ln(st /K)+(r σ 2 /2)(T t) Φ σ T t für allet < T und sonstc T = max{s T K,0}. 33

35 Hierbei sind 1. Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, 2. S t der Preis des Basiswerts (z. B. eine Aktie), 3. K der Ausübungspreis, 4. T der Zeitpunkt der Fälligkeit, 5. r der stetige Geldmarktzinssatz (p.a.) und 6. σ die sogenannte implizite Volatilität des Basiswerts. Komplexe Finanzderivate können eine Vielzahl weiterer Risikofaktoren besitzen. Darüber hinaus stellt das Pricing komplexer Finanzderivate i. d. R. eine mathematische Herausforderung dar. 34

36 2.2 Chronisches vs. akutes Risiko Die chronische Verlustverteilung Man betrachte die Zeitreihe{X t } t N eines beliebigen Risikofaktors. Dieser Risikofaktor besitzt im Zeitpunkt t eine bestimmte Verteilungsfunktion F(x) = P(X t x). Beachte: Aufgrund der Stationarität von{x t } ist diese Verteilungsfunktion unabhängig vom Zeitpunkt t N. 35

37 Betrachtet man nun einen gegebenen Zufallsvektor von Risikofaktoren, so erhält man die gemeinsame Verteilung F(x) = P(X t x) der inx t enthaltenen RisikofaktorenX 1t,...,X kt. Die Funktion F(x) wird als unbedingte oder stationäre Verteilung vonx t bezeichnet. Die Verteilung vonl t, welche auf Basis vonf(x) berechnet wird, heißt unbedingte oder chronische Verlustverteilung. Damit quantifiziert man also das chronische Risiko eines Verlustes am Ende des gegebenen Anlagehorizonts. 36

38 Die chronische Verlustverteilung ist die über alle Perioden hinweg gemessene Verteilung des Verlustes des gegebenen Portfolios am Ende der festgelegten Periode. D. h. wenn man eine lange Zeitreihe von Verlusten des in seiner Zusammensetzung gleich bleibenden Portfolios betrachtet, wird sich approximativ die chronische Verlustverteilung einstellen. Die chronische Verlustverteilung ist also maßgeblich, wenn man ein langfristiges Risikomanagement verfolgt. Dies gilt z. B. für Versicherungsunternehmen und die Finanzdienstleistungsaufsicht (insbesondere wenn es um systemische Risiken geht). 37

39 2.2.2 Die akute Verlustverteilung Man betrachte nun die bis zum Zeitpunktt 1akkumulierten Beobachtungen der Risikofaktoren, d. h.x 1,X 2,...,X t 1. [ ] Die Matrix X 1 X 2 X t 1 wird als Historie bezeichnet und man schreibt dafür kurzh t 1. Der ZufallsvektorX t besitzt nun eine bedingte Verteilungsfunktion F t 1 (x) = P(X t x H t 1 ). Die bedingte Verteilungsfunktion kann sich u. U. erheblich von der unbedingten Verteilungsfunktion vonx t unterscheiden! 38

40 Die Verteilung vonl t, welche auf Basis vonf t 1 (x) berechnet wird, wird als bedingte oder akute Verlustverteilung bezeichnet. Man quantifiziert damit also das akute Risiko eines Verlustes am Ende des gegebenen Anlagehorizonts. Die akute Verlustverteilung ist die momentane Verteilung des Portfolioverlustes am Ende des gegebenen Anlagehorizonts. Wenn man also ein kurzfristiges Risikomanagement verfolgt, d. h. wenn man sich kurzfristig gegen Finanzrisiken absichern möchte, ist die akute Verlustverteilung maßgeblich. Man möchte dann insbesondere die aktuelle Entwicklung auf den Finanzmärkten in Betracht ziehen um schnell zu reagieren. 39

41 2.3 Risikomessung Finanzrisiken werden insbesondere aus den folgenden drei Gründen gemessen: 1. Bestimmung des Eigenkapitals im Rahmen der Bankenaufsicht oder zwecks Clearing von Terminkontrakten, 2. Reporting zwecks Kontrolle der Akteure im Unternehmen und einer risikobewussten Entscheidungsfindung, sowie 3. Berechnung von Versicherungsprämien. 40

42 2.3.1 Grundlegende Ansätze Es gibt vier grundlegende Ansätze zur Messung von Finanzrisiken. Diese basieren auf der Berechnung von 1. Risikoprämien, 2. Sensitivitäten, 3. Verlustverteilungen und 4. Szenarien. 1. Berechnung von Risikoprämien: Hierbei wird das Risiko als Summe der risikoadjustierten Werte aller Bestandteile eines Portfolios abgebildet. 41

43 Der risikoadjustierte Wert einer Position entspricht dem Marktwert abzüglich einer Risikoprämie. In praxi werden die imaginären Werte einer Risikoklasse zusätzlich mit einem bestimmten Gewicht versehen. Vorteil: Scheinbar plausibler und transparenter Ansatz. Nachteile: 1. Fehlende Unterscheidung unterschiedlicher Fälligkeiten. 2. Fehlende Berücksichtigung gegenläufiger Positionen ( Netting ) oder von Diversifikationseffekten. 3. Keine saubere Trennung von Basiswert und Derivat. 42

44 2. Berechnung von Sensitivitäten: Hierbei wird der potenzielle Verlust eines Portfolios bei einer partiellen Änderung eines Risikofaktors berechnet. Z. B. kann die Black-Scholes-Formel nach ihren Determinanten abgeleitet ( Greeks ) und damit die Sensitivität des Portfoliowerts hinsichtlich der einzelnen Risikofaktoren quantifiziert werden. Vorteil: Erlaubt die Fokussierung auf bestimmte Risikofaktoren und damit eine gezielte Absicherung ( Hedging ). 43

45 Nachteile: Das Gesamtrisiko (sprich: das totale Differential) wird außer Acht gelassen. Sensitivitäten können nicht ohne Weiteres aggregiert werden. 3. Berechnung von Verlustverteilungen: Dieses Prozedere wurde ja bereits besprochen. Vorteile: Fokussierung auf das Gesamtrisiko eines Unternehmens. Berücksichtigt insbesondere Diversifikationseffekte auf allen Ebenen des Unternehmens. 44

46 Bildet auf allen Aggregationsebenen das entsprechende Risiko adäquat ab. Nachteile: Verlustverteilungen werden auf Basis historischer Zeitreihen geschätzt. Bei einer langfristigen Änderung der ökonomischen Rahmenbedingungen ( Strukturbruch ) führen Zeitreihen u. U. zu einer verzerrten Einschätzung der künftigen Entwicklung. Verlustverteilungen können praktisch nicht fehlerfrei berechnet werden. Sie sind Schätz- und Modellrisiken unterworfen. 45

47 4. Berechnung von Szenarien: Hierbei werden potenzielle Szenarien und deren Konsequenzen analysiert. Ein Szenario ist eine Kombination möglicher Ausprägungen der Risikofaktoren, welche sich in der Zukunft einstellen kann. Beispiel: Der Aktienmarkt fällt um 20%, die Schlüsselwährungen steigen um 10% und ein Leitzins bleibt konstant. Als Risikomaß kann nun z. B. der maximale Verlust unter allen Szenarien herangezogen werden. 46

48 Vorteile: Dieser Ansatz erfordert Expertenwissen und ist daher eben nicht vollständig datengetrieben. Damit können selbst extreme Ereignisse, die sich historisch noch gar nicht manifestiert haben, in den Kalkül einbezogen werden. Nachteile: Lediglich praktikabel bei einer relativ kleinen Anzahl von Risikofaktoren. Das Ergebnis hängt essenziell von der Szenariomenge ab. Ermöglicht keinen direkten Vergleich von Portfolios mit unterschiedlichen Risikofaktoren. 47

49 2.3.2 Der Value-at-Risk Der Value-at-Risk (kurz: VaR oder ist das wohl populärste Risikomaß in der Finanzdienstleistungsindustrie. Es ist u. A. Bestandteil von Basel II. Gegeben sei ein Portfolio riskanter Finanzinstrumente und ein fixer Anlagehorizont. Sei F L (x) = P(L t x) die Verteilungsfunktion des Verlustes am Ende der Periode. Hierbei kann es sich entweder um die bedingte oder unbedingte Verlustverteilung handeln. 48

50 Man möchte nun wissen, wie sich ein seltenes und negatives Ereignis am Ende der Periode auf das Vermögen auswirkt. Ein möglicher Kandidat ist der maximale Verlust, d. h. inf {x R : 1 F L (x) = 0}. Problem: In vielen Anwendungen wird angenommen, dassl t einen unbeschränkten Träger hat, d. h. der maximale Verlust wäre unendlich groß. Abgesehen davon ist der maximale Verlust das denkbar konservativste Risikomaß. Stattdessen wählt man den Verlust, der gerade noch mit einer vorgegebenen kleinen Wahrscheinlichkeit überschritten wird. 49

51 Definition des Value-at-Risk Gegeben sei eine kleine Wahrscheinlichkeitα > 0 und ein fixer Anlagehorizont. Der VaR eines Portfolios mit dem potenziellen VerlustL t ist definiert als VaR α = inf{x R : 1 F L (x) α}. Fürαkommen z. B. die Werteα = 0.05,0.01,0.005 in Frage. Der Anlagehorizont beträgt z. B. ein Tag oder 10 Tage (im Bereich Marktrisiko) bzw. ein Jahr (in den Bereichen Kreditrisiko und operationelles Risiko). 50

52 5%-Value-at-Risk einer Verlustverteilung (Quelle: McNeil et al., 2005). 51

53 Gegeben sei eine univariate VerlustfunktionF L (x). Die dazugehörige Quantilfunktion ist F 1 L (p) = inf{x R : F L(x) p}. Hierbei istf 1 L (p) gerade dasp-quantil vonf L. Daraus folgt VaR α = inf{x R : 1 F L (x) α} = inf{x R : F L (x) 1 α} = F 1 L (1 α). D. h. derα-var eines Portfolios ist gerade das(1 α)-quantil seiner Verlustverteilung! 52

54 Angenommen der Verlust folgt einer Normalverteilung, d. h. L t N(µ,σ 2 ) und damit ( ) x µ F L (x) = Φ. σ Das(1 α)-quantil kann nun wie folgt berechnet werden: ( ) VaRα µ 1 α = Φ σ = VaR α = µ+σφ 1 (1 α). Hierbei istφ 1 die zur Standardnormalverteilung gehörende Quantilfunktion. Problem: Verluste sind typischerweise nicht normalverteilt! 53

55 Stattdessen weist die Verlustverteilung i. d. R. eine schwere rechte Flanke auf. D. h. potenzielle Verluste sind in Wirklichkeit schwerer als vermutet, sofern man bei der Berechnung des VaR von einer Normalverteilung ausgeht. Es wurden allerdings zahlreiche Alternativen zur Normalverteilung vorgeschlagen. Eine besonders nahe liegende Methode stammt aus der Extremwerttheorie. Solche Verfahren werden u. A. auch für die Berechnung der Gefahr von Flutkatastrophen, Erdbeben und terroristischen Anschlägen eingesetzt. 54